（凝聚态物理专业论文）磁场下量子环的电子态及其输运性质的研究.pdf

河北师范大学硕士学位论文 摘要 近年来，随着低维半导体器件制备技术的发展，人们已成功地 制备了一种新型半导体低维结构一一量子环。由于这种低维结构有 其独特的物理性质和潜在的应用前景，因而引起了人们极大的研究 兴趣。 在以往有关量子环的理论研究中，人们通常采用偏心抛物环状 约束势模型。由于抛物约束势在对量子点的描述中十分成功，因此 备受人们青睐。然而，采用偏心的抛物势来描述环状约束势时，却 不是一个很好的近似方法。为此，我们选取二维各向同性谐振子为 基展开的波函数对外加垂直磁场下二维有限深圆柱形方势阱量子 点和量子环中单电子的电子态和a b 环的输运性质进行相关的理论 计算和分析。 首先，我们计算并讨论了磁场对量子点和量子环量子能级的影 响。计算结果表明：在磁场强度取定值的情况下，量子点半径越小， 势垒对其能级的影响越大；当量子点的半径取确定值时，磁场强度 越大，势垒对其能级的影响也越大。在磁场强度取定值的情况下， 量子环基态能出现在磁量子数m 0 态，并且l m i 十分依赖于磁场强 度b 和量子环的内半径r l ；随着磁场强度的增加，基态将从m = 0 态 依次变成m = 一l ，一2 ，态，而且我们计算得到的量子环的有效半径 比采用无穷高势垒模型的结果略大而电子能级较之略低。 其次，我们采用传递矩阵的方法研究了a b 环的传输性质。我 们发现，在a b 环中，隧穿几率表现出非常典型的共振隧穿性质， 共振峰的能量较好的对应于闭环限制态的能量值，并且随着磁场强 度的增加，共振峰的个数减少。 关键词：量子点，量子环，a b 效应，电子态，输运性质 河北师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e c e n t y e a r s ，w i t ht h ed e v e l o p m e n t o fl o w - d i m e n s i o n a l s e m i c o n d u c t o rd e v i c e sf a b r i c a t i o nt e c h n o l o g y ，q u a n t u mr i n g sh a v e a t t r a c t e dc o n s i d e r a b l ei n t e r e s tb e c a u s eo fi t s u n i q u ep h y s i c a l p r o p e r t i e sa n dp o t e n t i a la p p l i c a t i o n s i nf o r m e rt h e o r i e so fq u a n t u mr i n g s ，e c c e n t r i cc i r c u l a rp a r a b o l i c p o t e n t i a lm o d e li sw i d e l yu s e d t h ep a r a b o l i cc o n f i n e dp o t e n t i a l sa r e s u c c e s s i v e l ye m p l o y e dt oc a l c u l a t et h ep r o b l e m so fq u a n t u md o t s h o w e v e r ，f o rq u a n t u mr i n g s ，w ed on o tt h i n kt h a tt h ep a r a b o l i c c o n f i n e d p o t e n t i a l i sa g o o da p p r o x i m a t i o n s o w e s t u d y t h e e l e c t r o n i cs t a t e so ft w o - d i m e n s i o n a lq u a n t u md o t sa n dr i n g sw i t ha f i n i t e h i g hc y l i n d r i c a ls q u a r e - w e l lp o t e n t i a l i n p e r p e n d i c u l a r m a g n e t i cf i e l da n dt r a n s p o r tp r o p e r t i e so fc o r r e s p o n d i n ga br i n g s ， a n dt h ew a v ef u n c t i o ni se x p a n d e di nt e r m so ft h et w o d i m e n s i o n a l i s o t r o p i ch a r m o n i co s c i l l a t o r i nt h i st h e s i s ，t h ef a c t o ro ft h ep e r p e n d i c u l a rm a g n e t i cf i e l d s i n f l u e n c eo nt h eq u a n t u ml e v e li ss t u d i e d t h er e s u l t ss h o wt h a tw h e n t h em a g n e t i cf i e l ds t r e n g t hi sf i x e d ，i ft h er a d i u so ft h eq u a n t u md o t r e d u c e s ，t h ei m p a c to fp o t e n t i a l b a r r i e ro ni t s e n e r g yl e v e lw i l l i n c r e a s e ；w h e nt h er a d i u so fq u a n t u md o ti ss e t t l e d ，w i t ht h em a g n e t i c f i e l ds t r e n g t hi n c r e a s e s ，t h ei m p a c to ft h ep o t e n t i a lb a r r i e ro ni t s e n e r g yl e v e lw i l li n c r e a s e a tt h es a m em a g n e t i cf i e l ds t r e n g t h ，t h e e n e r g ym i n i m u mo fq u a n t u mr i n gi s a tm 0s t a t e ，w h i c hi sc a u s e d b yt h em l i n e a rt e r mi nl a n d a ul e v e l ，a n dt h ea b s o l u t ev a l u eo f 坍a t w h i c ht h ee n e r g ym i n i m u mi sl o c a t e da l s ov e r yd e p e n d e n to nt h e i i 河北师范大学硕士学位论文 m a g n e t i cf i e l da n dq u a n t u mr i n gi n n e rr a d i u srl ；w h e nt h em a g n e t i c f i e l di n c r e a s e st h eg r o u n ds t a t ec h a n g e sg r a d u a l l yf r o ma nm = 0 s t a t et om = 一1 ，一2 ，s t a t e s a n dw ed r a wac o n c l u s i o nt h a tt h er e a l c o n f i n e m e n tp o t e n t i a lw i d t hw er e c e i v e df r o mo u rm o d e li sl a r g e r t h a nt h a tr e c e i v e db yi n f i n i t eh a r d w a l l a p p r o x i m a t i o n ，b u tt h e e l e c t r o n i ce n e r g yl e v e li sl o w e r t h e nw eu s et r a n s f e rm a t r i xm e t h o dt o s t u d y t h et r a n s p o r t p r o p e r t i e so fa br i n g i ti sf o u n dt h a tt u n n e l i n gp r o b a b i l i t yts h o w s v e r yt y p i c a l r e s o n a n tt u n n e l i n gp r o p e r t y t h ee n e r g yv a l u e so f r e s o n a n c ep e a k sc o r r e s p o n dt ot h ev a l u e so fc o n f i n e de n e r g y 是o ft h e c l o s e dr i n g ，a n dw i t ht h em a g n e t i cf i e l di n c r e a s e s ，r e s o n a n c ep e a k s w i l lr e d u c e k e yw o r d s ：q u a n t u md o t s ，q u a n t u mr i n g ，a be f f e c t ，e l e c t r o n i cs t a t e s ， t r a n s p o r tp r o p e r t i e s m 河北师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 低维半导体及纳米电子器件简介 半导体的研究和应用，在当代物理学和高新技术发展中占有突 出的地位。半导体低维结构则是近些年来开拓的新领域，它在一个 新的水平上有力地推进了半导体物理的研究和应用。目前，半导体 低维结构已经成为推动整个半导体科学技术迅猛发展的重要动力。 自1 9 6 9 年江崎和朱兆祥【1 l 提出超晶格概念以来，以半导体超晶格、 量子阱、量子线、量子点和量子环为典型代表的低维半导体结构经 历了3 0 多年的发展，已成为凝聚态物理最活跃的新生长点和最富 有生命力的重要前沿领域之一。半导体低维结构的能带人工可剪裁 性、量子尺寸效应、共振隧穿效应1 2 - 6 1 和电子波的量子相干属性等 赋予它许多三维固体不具备的、内涵丰富而深刻的新现象和新效 应，使它发展成为介观物理现象的新学科领域。另一方面，半导体 低维结构又和电子、光电子等高新技术产业有着密切的联系，在这 个领域内所发现的新现象和新效应，大都被广泛地用来开发具有新 原理、新结构的固态电子和光电子等纳米电子器件。 1 1 1 半导体低维结构 半导体低维结构的发展使信息科学技术的发展提高到了一个 前所未有的高度。随着人类社会对信息量需求的不断增加，微电子 技术正向它的“极限”挑战。以存储技术为代表的半导体集成电路 遵守著名的m o o r e 定律，即：在过去的三十年间，大约每三年集成 度增加四倍，特征尺寸缩小为原尺寸的1 2 ，而且在可以预知的未 来，这种趋势仍将保持下去。在传统晶体管的尺度下降到不寻常尺 度一一纳米f n m ) 的时候，人们已经在积极构思具有革命性概念的新 河北师范大学硕士学位论文 型器件。 在这样的历史背景下，江崎和朱兆祥于1 9 6 9 年提出了半导体 超晶格的概念，他们设想如果用两种晶格常数匹配很好的半导体材 料a 和b 交替生长，就可以得到人工长周期的半导体晶格结构， 由于其周期长度小于载流子的德布罗意波长，因而被称之为半导体 超晶格【”。 两种半导体墨和s ：组成异质结，在异质结的s 一侧再连接上一 层s ：，就组成一个s ：墨一s ：型的三层结构如果中间的s 层厚度小 到量子尺度，而且e s 。 e 9 2 ，显然对于载流子来说，s 犹如一口“阱”， 处于其中的载流子如同掉进了阱里，无论向左还是向右离开s 进入 都必须越过势垒。由于有关尺寸是量子尺度，故这样的体系称为 量子阱 s l ( q u a n t u mw e l l ，简记为q w ) 。 量子阱在一个方向上限制了载流子的运动，产生了许多新的量 子效应，并具有了许多新的应用，因而，人们就想用各种方法在其 他两个方向上也限制电子的运动，使之产生更强的量子约束效应 9 - 1 0 】，于是，产生了量子线和量子点。 若在量子阱平面内的一个方向上再加以限制，并使其尺寸也减 小到量子尺度，则势阱成为线状。在其中的载流子只能在一个空间 方向上自由运动；而在与之垂直的另外两个空间方向上都受到势垒 的限制。这样的体系称为量子线【h l ( q u a n t u mw e l lw i r e ，简记为 q w w ) 。若再将量子线的长度也减小到量子尺度，则成为一个量子 点 15 - 1 9 l ( q u a n t u md o t ，简记为q d ) 。量子点是准零维体系，在其中 的载流子在任何一个方向上都不能自由运动，表现出若干特别的量 子尺寸受限行为。 量子点是纳米科技的重要研究对象。自从扫描隧道显微镜 2 河北师范大学硕士学位论文 ( s t m ) 发明后，世界上便诞生了以0 1 1 0 0 n m 为研究对象的新科 技，这就是纳米科技。纳米科技通过操纵原子、分子或原子团和使 其重新排列组合，形成新的物质，制造出具有新功能的器件和仪器。 未来的纳米电子器件将取代现在的微电子器件。 1 1 2 纳米电子器件 当系统的尺寸小到可以与电子的波长比较的时候，量子效应就 成为支配载流子行为的主要因素。当现代晶体管尺寸进一步下降， 其特征尺度会达到纳米尺度( 1 0 0 纳米以下) ，就会发生量子效应 占支配地位的现象。新现象和新效应既是对原来的半导体器件的挑 战，也为开发新的器件提供了机遇。新型的纳米器件就是以这些新 f 效应和新现象为工作原理的器件。 器件和特征尺寸进入纳米范围后的电子器件，简单地可称为纳 ”米电子器件。纳米电子器件的发展依赖于新型材料的设计、技术工 撬 ”艺的提高和相关理论研究的支持。现在研究较多的纳米结构有二维 电子气、一维量子线和零维量子点等，而纳米电子器件的基本特征 是单电子行为和超高密度集成，人们利用这些结构和特性研制成功 了为数不少的纳米电子器件，主要有：( i ) 电子共振隧穿器件 2 0 - 2 1 j ， ( 2 ) 量子点单电子器件，( 3 ) 量子点阵耦合器件，( 4 ) 逻辑存储器件， ( 5 ) 超高密度信息存储器件等。研究纳米电子器件，用它组建未来 的计算机和自动器，成为未来科技和经济的重要基础，具有不可估 量的应用价值。 在纳米电子器件中，最有特色的是单电子器件。单电子器件和 电路由于超高灵敏度、超微功耗和极限密度集成使其在纳米电子领 域中具有独特的地位。纳米电子器件的典型结构是纳米粒子，它的 河北师范大学硕士学位论文 电子结构特点是一个势阱内具有分立能级的量子点。若处于量子点 内的电子能量高于热起伏，那么就可以检测到单电子隧穿现象。 单电子器件的简单工作原理是控制在小的隧道结构体系中单 电子的隧穿过程，并利用它设计各种功能器件。研究单电子器件驱 动力主要来自两方面：一是对纳米结构中的单电子现象进行深入研 究，可以揭示低维量子系统中具有的许多新的物理性质，这对蓬勃 发展的凝聚态物理学具有重要意义；二是单电子器件及其集成电路 在未来的海量信息存储、快速逻辑运算、复杂数据处理以及量子计 算中都具有广阔都应用前景。 近年来，随着低维半导体器件制备技术的进一步发展，人们已 成功地制备了另一种新型半导体低维结构一一量子环。这一纳米结 构的出现，不仅有助于相关理论研究的发展，更重要地为新的纳米 电子器件的成功制备提供了可能。 1 2 量子环的制备及其研究进展 1 2 1 量子环的制备 1 9 9 8 年，德国的l o r k e 小组首先用自组织生长的方法制备了 环状i n g a a s 量子结构f 2 2 1 。他们首先用g a a s 薄层部分覆盖i n a s 量子点，并在生长过程中通过退火使之产生明显变化，即i n 从量 子点的位置扩散到g a a s 表面，混合形成i n g a a s 火山口状的结构， 这样量子点就变成了环的形状。不同于以往人们研究的介观环，这 种环状结构的尺寸远小于微米尺寸的金属环，它只有纳米量级，被 称为纳米环( 或量子环q u a n t u mr i n g ，简记为q r ) 。在这种纳米结 构中载流子的运动是完全量子化的，因此对其运动状态的描述必须 借助于量子力学及其相关理论。 4 河北师范大学硕士学位论文 l o r k e 小组在成功制各l n o a a s 纳米环的同时也测量了其能级 结构和光学性质2 。2 ”，他们的研究结果一经发表，便很快引起了 人们极大研究兴趣。随后，基于分子束外延技术和s k 生长模型， 不同材料的半导体纳米环也陆续制作出来，并且利用光刻蚀技术人 们还制各出了单个的纳米环 2 6 2 7 1 。图l i 是几种纳米环的形貌图。 o )( 6 )( c ) 图1 1 ：不同生长技术制备的纳米环扣) 白组 织生长的i n g a a s 纳米环【”i ；( 6 ) 刻蚀制备的 a i g a a s o a a s i2 6 】；( c ) 光刻技术制各的o a a s i n o a a s 纳米环1 2 7 1 。 1 2 2 量子环的研究进展 在对纳米环的实验研究中，人们测量了纳米环的许多物理现 象如电子f i r 吸收谱、电容谱以及环中电流等，展示了这些光电 特性的形状尺寸效应、外磁场下a b 效应1 2 8 以及库仑阻塞效应。不 同于以前人们研究的介观环自组织生长的纳米环的高度只有 2 r i m ，内半径仅为1 0 n m ，外半径在3 0 7 0 h m 之间。在这样小的环 状结构中，载流子的运动是完全量子化的。从实验测量的电容谱、 两电子的f i r 谱以及激子和带电激子的p l 谱来看，纳米环的能级 结构和光学跃迁谱充分显现出了环状结构的特征，如磁场下的a b 5 河北师范大学硕士学位论文 振荡效应，比量子点更为丰富的光谱结构等。因此，无论是对基本 物理问题的探索，还是对纳米器件的应用研究，纳米环的理论和实 验研究工作都具有非常重要的意义。 为了解释实验和探索纳米环的光电特性，人们在理论上作了许 多的研究工作。在有关纳米环的理论工作中，人们经常采用的计算 模型为方势阱模型或偏心抛物势模型 2 9 3 3 l 。 1 9 9 6 年h a l o n e n 等人研究了量子点和量子环的电子态34 1 。在 他们的理论模型中，他们假设量子点和量子环中的电子在一抛物势 的( x ，y ) 平面内运动，其哈密顿为： 疗：旦+!m。西(hj)z2m 。2 ”7 其中r o 是量子环的半径。由于抛物约束势在对量子点的描述中十分 成功，因此备受人们青睐。然而对于量子环，偏心抛物势并不是一 个很好的近似势，因为它很难描述量子环内半径对电子态的影响， 也很难同时给出合适的中心势垒高度、有效的环半径和宽度这些结 构参数。在环的半径不是很大时，偏心抛物势给出的中心势垒高度 较低，使得约束势只是一个类点的结构。在这样的势模型中，载流 子穿越约束势中心的几率很大。使得势模型失去了环状结构的特 征。而圆柱形方势阱是一种定性模型，能够解决由于采用抛物势模 型所带来的种种困难。 2 0 0 0 年，l i 和x i a 研究了三维l n a s g a a s 量子环的电子态【3 。 他们所采取的模型为一圆柱形方势阱，该模型不仅可以很好地计算 量子环的电子态，而且改变其内半径、外半径或者高度还可以计算 量子点、量子阱和量子线的电子态。他们的结果表明：量子环的电 子态受内半径的影响很大，而对较大量子环的外半径的依赖性却很 6 河北师范大学硕士学位论文 小；同时增加量子环的内半径和外半径，可以增加能级问的能量间 隔而不改变能级的基态；改变其中一个半径( 内半径或外半径) ，电 子的基态能级和能量问隔会同时改变。 2 0 0 2 年，o v o s k o b o y n i k o v 等人研究了外磁场下环面量子环中 电子的电子态及磁化强度36 1 。他们发现在温度为零时，量子环的 磁化强度随着磁场强度的增加而作非周期性振荡。 由于三维模型在计算上有一定的难度，主要在于对角化过程中 哈密顿矩阵元展开项数越多，计算量越大，而为了得到较为精确的 结果，需要展开的项数却很多。对于高度为2 r i m 的典型环而言， 其高度远小于它们的横向尺寸的大小( 外半径为6 0 n m 1 4 0 n m ，内半 径为2 0 n m ) ，在这种情况下，可以采用绝热近似的方法，将电子z 方向的运动状态和( 石，y ) 平面内的运动状态分开来研究，于是该问题 的研究可由三维简化为二维。 2 0 0 2 年x i a 和l i 采用无穷高圆柱形方势阱模型研究了磁场下 二维量子环的电子态和输运性质【37 1 ，他们发现量子环实际限制势的： 宽度为1 4 n m ，远小于量子环的几何宽度。在输运性质方面，他们 研究了a b 环渠道夹角为秒= 石时电子的隧穿几率，发现a b 环中， 共振峰的位置与闭环中电子束缚态的能量相对应，并且窄环的对应 性比宽环更好。 我们知道，由于无穷高势垒模型计算较为方便，因此受到人们 的广泛应用。然而从实验上来讲，对于量子环的研究采用有限高势 垒模型会比无穷高势垒模型更接近实际 7 河北师范大学硕士学位论文 1 3 本文主要研究工作 综上所述，本文采用二维有限高圆柱形方势阱模型来研究磁场 下量子环的电子态及其输运性质。当量子环的内半径为零时，量子 环退化为量子点，因而该模型也能够用来计算量子点的相关物理性 质。为了便于理论上的比较，我们在计算量子环电子态的同时也计 算了量子点的电子态。 本文主要研究工作如下： ( 1 ) 垂直外磁场下量子环的电子态： 我们计算了磁场下量子点和量子环的电子能级随角动量的磁 量子数历和磁场强度b 的变化规律，并且得到了一些结果。 ( 2 ) a b 环的输运性质： 我们利用传递矩阵方法计算了不同磁场下a b 环中电子的隧穿 几率，并且和闭环的能级进行了比较，得到了比较好的结果。 0 河北师范大学硕士学位论文 第二章理论框架 2 1 垂直磁场下单电子的电子态 疗= 击( 声+ 川w ) ( 2 - 1 ) l 其中矿( 毛y ) = 0 j 篓盂妒+ 广为量子环的势场，为势垒高度； 取朗道规范；j = ( 一詈y ，詈工，o ) ，代入电子哈密顿膏中，得： 疗= 三i 【( 只一瓦e b 力2 + ( e + 万e b 工) 2 】+ y ( 墨力 ：丢c 妣，+ 譬争，+ 蒜c 皿确川训，q 。3 成= 去( 露十影) + 了m e 2 x 2 t j ，2 ) + q e ( 2 - 4 ) 其中e = 以一谚= 确 熹一y 丢) = 确品为角动量算符在z 轴的分 9 河北师范大学硕士学位论文 量；卿= 生为拉莫尔( l a r m e r ) 频 。 z m c 可以看出( 2 - 4 ) 式的形式与二维各向同性谐振子相同。 不考虑势鲫w ，= 俄篓，蚰；的帆则电子的哈 密顿为； 鼠2 瓦1 ( 睁y ( 2 ，) = 去( 譬+ 考) + 下m e 国；( x 2 + y 2 ) + q c 电子的薛定谔方程为： i i o 妒( x ，y ) = e o 伊( x ，j ，) ( 2 - 6 ) 电子的能量本征态可取为守恒量完全集( 反，) 的共同本证态， 即( 采用平面极坐标) ： 伊( r ，口) = 去r ( ，) 8 ， 其中m = o ，1 ，2 ，3 ， ( 2 - 7 ) 吖z 万 将( 2 7 ) 式代入薛定谔方程( 2 - 6 ) 式中，可求出径向方程： t 【2 壳他2 、务0 2 f + 7 1 石0 7 m 2 ) + i 1 珊，砰，2 ) r ( ，) = ( 乓一砌q ) r ( ，) ( z - s ) 此式可解出 3 s 】能量本征值e o ( l a n d a u 能级) ，即： e 。= ( 2 n + i 卅+ m + 1 ) h t o , 押= o ，1 ，2 , 3 ，( 2 9 ) 相应的能量本征函数为： r ( ，) = n r “，( 胛，i 肌i + 1 ，口2 r 2 ) p 丁一 ( 2 - t o ) 其中口= 莩= 雁m 示径向波函数的轨道量子数，f 为合流 韶，1 何函数，其形式为： 1 0 河北师范大学硕士学位论文 归一化常数为： f ( 叶刷= 喜( - 1 ) ”丽n 丽r ! ，瓦1 ( 2 - 1 1 ) ( ，) 。= ，( ，+ 万一1 ) 将( 2 - 1 2 ) 式代x ( 2 - 7 ) 式中得到电子波函数： 北印= 昔 ( 2 1 2 ) a r 2 ，嘶( 一万，i 圳+ l ，口2 ，2 ) p 丁p “8 ( 2 - 1 3 ) 我们假设电子波函数具有如下形式： = 莓酱 口2 ，l r i ”l ，( 一盯，i m l + l ，口2 ，2 ) p i p “9 ( 2 1 4 ) 其中口册为展开系数。 将( 2 - 1 4 ) 式和( 2 - 3 ) 式带入( 2 - 2 ) 式中，可得方程： ( 日。，钿，一e 碱一矗，) c i 。= 0 ( 2 - 15 ) 这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即久期方程： h 。t f e 6 。f 6 。一1 ：0 t 2 - 1 6 、 矩阵元椭，的形式为： h n m , n , m , - 一k 川) + k ，y ) l q ，- ) ( 2 - 1 7 ) 其中： ( l 反l 伊，) = 2 栉+ | 卅+ 所+ l 壳q 最一瓯一， ( 伊。旷似力1 俪，) = ( 瓯一一墨) 民，一， ( 2 - 18 ) s = e r ( r ) r ( r ) 胁 l l 河北师范大学硕士学位论文 于是，我们可以通过求解久期方程( 2 1 5 ) 和( 2 - 1 6 ) 式得到电子的能 量及其对应的波函数。 2 2 垂直磁场下a b 环的输运性质 图2 - 2 ：a b 环结构图 我们将环外势垒视为无限高，那么在渠道内电子波函数为： 妒。= ( a l e 嘶。+ 岛p 蛳) 办o ，) ( 2 1 9 ) 其中x 是沿渠道由内向外的坐标，y 是横坐标；n 是输运中的横模 数；办) 是本征能量为与的横向限制态波函数，并且： 其中d 为渠道宽度。 局为第，个横模的波传播矢量： k t = 其中e 为电子总能量，t 可为实数或虚数。 ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) 为了计算方便，我们采用无量纲形式( 详见第三章) ，卉( 力、蜀、 型d q 呜翁后生矾 丢 h 二、 = ， ，v 讹 目 河北师范大学硕士学位论文 可分别表示为； 办( j ，) = 压s i n l r t y ， ( 2 - 2 3 ) r 2 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 在量子环区域内( 图2 - 2 ) 波函数可表示为： 2 去娶姒咖舢( 2 - 2 6 ) 其中： 拍m 以丁 m l + l 一譬笋，i 所 + l , b r 2 m u ( 学一t 矿e - 2 l m l b ，i 叫+ l , b r 2 ) ( 2 - 2 7 ) ：为闭环径向波函数；m 为角动量的磁量子数；f ，u 分别为第一、 第二类合流超几何函数，且九( ，) 在r l 处满足边界条件： 九( 蜀) = f o ， 形( r 1 ) = 昂 ( 2 - 2 8 ) ( 2 2 9 ) 冗=f(学一t石2(e-vo)-2lmlb朴l6，2) ( 2 - 3 。) 于是就可以求出口。和风： = 面u f ：丽- f o u ，( 2 - 3 0。面丽 成= 器等( 2 - 3 2 ) 波函数在r 2 处满足边界条件； 荟( q + 6 ，) 川+ 荟( 口j + 6 ) 彬) 2 面1m - - m c m 丸( 如) p ，( 2 - 3 3 ) 河北师范大学硕士学位论文 n 一 村 ，i li k , c a , 一b t ) q k l ( j ，) + i - 1 州一吖) 删) 2 面1 m ( r 2 ) e ( 2 - 3 4 ) r a - m 一i二7 其中岛为量子环的外半径，a l 。6 和a ；。吖分别为电子进入渠道和 出射渠道的波函数系数。 由传递矩阵方法1 3 9 1 ，将等式( 2 3 2 ) 两边同乘以口“9 芴，并且 对角护从0 到2 石积分。坐标y 可变为r ：护，横向限制波函数谚0 ，) 的 常系数可写为2 r 2 d 。两个渠道到环的两个夹角分别为b ，岛和岛， 见。于是我们得到： ( 口，+ 岛) b + ( a ；+ b d r 。= c 。九( 马) ( 2 3 5 ) i - ii - i m = o ，1 ，2 ，m 将( 2 - 3 3 ) 式两边同乘以磊o ) ，并对护从a m 到岛积分，得到： m 以( 一九) = c 。形( r 2 ) l 。， 席= 1 ，_ ，2 ，n( 2 - 3 6 ) 同理，将( 2 - 3 3 ) 式两边同乘以办( j ，) ，并对口从岛到以积分，得到： 其中： 掰 溉( 一玩) = c ，形( 月：) ，0 ， 打= l 2 ，n ( 2 - 3 7 ) k = 岳e s m t n n r 2 ( 0 - 0 1 ) 矿饥 陋s s ， 匕= 历肛等产棚 弘s 9 ， 这样我们就得到2 m 2 + 1 个方程。b 。和a ：分别为入射和透射 系数，配= o ，其中一个以= 1 i ，其余包= 0 。解这个方程组我们 得到系数和( 撑= l ，2 ，) ，它们与透射、反射振幅有如下关系： t 4 河北师范大学硕士学位论文 所以，总隧穿几率r 和反射几率r 分别为： 而且 r = 忻， 且= ” t + r = n t ( 2 - 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 渠道内所有传输态能量总和是e ，并且e e ，其中e 由( 2 2 4 ) 式给出。f 是传输态的数目。于是给定一个对应能量为研式( 2 - 2 5 ) 】 的中心区域的波函数，就可以同时得到系数c 。 上压 上压 = = 河北师范大学硕士学位论文 第三章结果与讨论 单位昂= 芸时所磊雁嘲= 笋。扯冉譬为 似俐：蹴j 2 + 捌分暇n - ，= 2 栉+ i 珊卜肌+ 1 詈皖一民+ ( 皖，一墨) 3 1 单电子量子环的能级结构 3 1 1 量子点电子态 1 6 河北师范大学硕士学位论文 为了研究在垂直磁场作用下，圆柱形势垒y ( ，) ( y y ) 的极坐标 形式) 对量子点能级的影响，我们计算了不同参数( 圆柱形势垒v ( r ) ， 量子点的半径r ：) 情况下电子的能级k 随角动量的磁量子数m 的变 化关系。 图3 1 所示的是在圆柱形势垒v ( r ) 的作用下，量子点半径分别 为r 2 = 1 0 ，r 2 - - 1 2 5 ，且b = 8 时，单电子低能级k 随角动量的磁量 子数m 的变化曲线。图3 - 2 所示的是不考虑圆柱形势垒y ( ，) 的作用， 外磁场b = 8 时，电子的朗道能级k 随角动量的磁量子数m 的变化曲 线。图中分别表示径向量子数为疗= 0 ，r t = 1 ，厅= 2 时的电子 能量。 ，表3 1 所列为不同半径量子点分别对应于( 孵，珊) 电子态时低能 级的电子能量k 的值。 i 。 表3 1 ：不同外半径量子点低能级电子能量 电子态( ”m )基态( o ，0 )第一激发态( 0 ，1 )第二激发态( 0 , - 2 ) r 2 = 1 0k 1 2 7 5 1 41 2 8 6 9 41 3 2 2 7 5 r 2 = 1 2 5k 1 2 7 3 2 71 2 7 3 6 l1 2 7 5 4 0 由图3 - 1 可以看出；对于量子点，电子能量k 的最小值对应于 ( o ，o ) 态。比较( 口) ( 6 ) 两图，不难发现电子能量随着量子点半径是的 增加而降低，能级间距也随半径心的增加而减小( 见表3 1 ) ，出现 这一结果的原因在于圆柱形方势垒的作用，当势垒变宽时，能级会 降低，能级间距会减小。另外，我们也发现，m 0 时，( 6 ) 图的能 量曲线比( 口) 图的弯曲度小，这是由于在m o 低能级随m 的变化曲线的曲率几乎为零。 图3 3 和图3 4 所示的是不同半径量子点的电子态k 随磁场强 度b 的变化曲线。图中单电子的电子态由量子数( 疗，肌) 表示，其中 m = l ，2 ，3 ；实线，虚线和点线分别表示”= 0 ，疗= l ，一= 2 时的电子 态。 由图3 3 我们可以看出：随着磁场强度b 的增加，当磁场强度 b 达到一定值( 约为1 0 ) 时，电子态( 0 ，o ) 、( o ，一i ) 、( o ，一2 ) 、( 0 ，3 ) 的能 级曲线合并为一条，这些态均为电子的基态。从图中我们可以进一 步看出，当通过量子点的磁场强度b 增加到一定值时，疗= l ，m s 0 时电子态能级重合成为第一激发态，随着磁场强度b 的继续增加， 行= 2 ，拼s 0 、疗= 3 ，拼s 0 电子态能级也将重合成为第二激发态、 第三激发态。 图3 - 4 所示的结果与图3 3 基本一致，但是存在一些差别，即； 电子态( o ，o ) 、( 0 ，- 1 ) 、( 0 , - 2 ) 重合时磁场强度b 的大小比图3 - 3 小， 约为6 5 左右。这是因为量子点半径岛越大，v c r ) 的作用越小。图 中各个能级出现许多交叉项，是由于抛物势= 1 q 2 r 2 、轨道角动量 二 的磁量子数m 与磁场b 的相互作用势q t 、圆柱形有限高势阱矿( ，) 三 项作用相互竞争的结果。 图3 3 和图3 - 4 与图3 2 的结果一致，说明了随着量子点半径r 2 和磁场强度6 的增加，外加势场v ( r ) 的作用减小。 2 0 河北师范大学硕士学位论文 b 图3 - 3 ：量子点半径分别为r l = o ，r 2 = l 时，量子 点低能级k 随磁场强度b 的变化曲线。 2 1 河北师范大学硕士学位论文 b 图3 4 ：量子点半径分别为r l = o ，r2 = 1 2 5 时，量子 点低能级k 随磁场强度b 的变化曲线。 河北师范大学硕士学位论文 3 1 2 量子环中单电子的能级 图3 - 5 所示的是磁场强度b = 8 时，不同内半径的量子环单电子 低能级k 随角动量的磁量子数脚的变化曲线。图中分别表示 径向量子数为行= 0 ，刀= l ，f = 2 时电子能量。从图中我们可以看出， 图( 口) 与图3 - 2 ( 6 ) 趋势相近，但相比量子点的能级，量子环的能级整 体向左平移，电子的基态能量最小值出现在i f 0 态，这是由于朗 道能级e o = ( 2 珂+ l 肌卜m + 1 ) h c o t 中存在m 项。我们还可以看出，随着内 半径置的增加，能量出现最小值时所对应的v t l 的绝对值l 圳也随之增 大( a 图为i n i = 3 ，b 图为l 珊l = 1 0 ) 。这是由于量予环所包围的磁通量 的增加导致能量最小值所对应的i 圳增大的缘故。 图3 - 6 所示的是量子环内外半径分别为r l = o 2 5 ，r 2 = 1 2 5 时的 量子点低能级k 随磁场强度b 的变化曲线。图中单电子的电子态由 量子数( 行，所) 表示，其中m = + - 1 ，2 ，3 ；实线，虚线和点线分别表示 甩= 0 ，疗= 1 ，行= 2 时的电子态。由图中可以看出，随着磁场强度b 的 增加，基态从小= 0 态，逐渐变化到i f = 一1 ，册= - 2 ，电子态。当b 增加到1 2 5 时，基态从 1 = 0 态突变成研= 一l 态。这点已经在实验中 得到证实1 2 4 1 。实验中，基态的突变发生在b = 8 t 时。为了将我们的 数值结果与无穷高势垒模型 3 7 j 的结果很好的比对，我们选取量子 环的参数分别为：长度单位a o = 4 0 n m 、有效质量= 0 0 7 m 。、能量 单位g o = 3 3 6 m e v 、内外半径分别为置= 1 0 n m ，r 2 = 5 0 n m 和势垒高 度= 3 3 6 m e v 。将b = 1 2 5 和b = 8 t 带入式6 = ! 警中，我们得到量 子环的实际宽度为d = 1 4 4 n m ，说明量子环实际限制势的宽度比量 子环的几何宽度4 0 n m 要小的多。我们的结果比无穷高势垒模型的 河北师范大学硕士学位论文 计算结果略大，这是合理的，其原因在于无穷高圆柱形方势阱比有 限高的情形对电子的束缚更为强烈。 ” o 9 8 7 6 卫 5 4 3 2 1 3 1 2 1 1 1 0 9 8 7 6 5 4 3 01 0 m 0 m 图3 5 ：磁场强度b = 8 时不同内半径最子环单电子低 能级k 随角动量的磁量子数所的变化曲线。( 口) r l = 0 2 5 。 r 2 = 1 2 5 t ( 6 ) r 1 = 1 ，r 2 = 1 2 5 。 河北师范大学硕士学位论文 b 图3 6 ：量子环内外半径分别为r l = o 2 5 ，r 2 = 1 2 5 时，电子低能级k 随磁场强度b 的变化曲线。 为了进一步和无穷高势垒模型3 7 1 比较，我们取参数：置l = o 2 5 ， r 2 = 1 2 5 ，b = 9 8 7 即b = 8 1 2 。计算了电子能量随角动量的磁量 子数的变化。图3 7 所示的即为所取参数值在不同势垒作用下， 电子能量k 疃角动量的磁量子数m 的变化曲线。图中( 口) 为有 限高势垒，( b ) 为无穷高势垒 37 】。从图中我们很明显可以看出 我们的计算结果比采用无穷高势垒模型计算的能级低。 河北师范大学硕士学位论文 1 0 0 8 7 6 卫5 4 3 2 1 1 0 9 8 7 6 i 5 4 3 2 1 o1 0 m o m 图3 7 ：外加磁场强度b = 8 1 2 ，量子环内外半径为 盂l = o 2 5 ，足2 = 1 2 5 时，不同势垒作用下，电子能量k 随 角动量的磁量子数m 的变化曲线( 口) 有限高势垒，( 6 ) 无穷高势垒1 3 7 l 。 河北师范大学硕士学位论文 3 2a b 环的输运性质 在电子的输运性质研究方面，w d s h e n g 和j b x i a 利用传递 矩阵的方法研究了量子波导中的电导。传递矩阵方法是用已知波函 数和边界条件组成方程组，求解这个方程组即可得到隧穿几率。本 文我们利用此方法来研究垂直磁场下a b 环( 见图2 2 ) 的输运性质。 当a b 环两边没有渠道时的量子环，我们称之为闭环。表3 - 2 所列为磁场强度b = 8 ，量子环内外半径分别为r l = o 2 5 ，r 2 = 1 2 5 时， a b 环和闭环分别对应于( 玎，m ) 电子态时电子能量k 的值。 表3 - 2 ：b = 8 ，r = o 2 5 ，r 2 = 1 2 5 时量子环电子的能量 ( 玎，小)( 3 ，一1 1 )( 1 ，6 )( 4 ，- 7 )( 2 ，一l7 )( 3 ，1 2 )( 3 ，4 )( 2 。一1 8 )( 3 ，- 1 3 ) a b 环k4 5 54 6 44 6 74 7 34 7 64 8 64 9 55 o 闭环k4 5 54 6 24 6 74 7 3 4 7 7 4 8 64 9 65 o 图3 - 8 所示的是外加磁场的磁场强度b = 8 ，量子环内外半径分 别为r i =