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中文摘要 纠缠态的制备和度量 中文摘要 量子纠缠是量子信息和量子计算中的一种重要资源，本论文主要讨论了量子纠缠 态的制备和度量的一些方式。 首先，通过用脉冲函数调制原子问的耦合，研究了两个两能级原子同白噪声驱动 的第三个原子相互作用时产生的纠缠。初始的触发时间和脉冲宽度能在纠缠中产生峰 值，脉冲的最佳宽度能使得纠缠达到最大值。原子之间耦合的不对称性在系统中产生 不同的纠缠。多重触发能在纠缠中产生多个峰，纠缠中两峰之间的距离随脉冲宽度的 增加而增加。 其次，研究了在非均匀磁场中三量子比特海森堡) ( 1 模型中两粒子和三粒子的纠 缠。当磁场的大小在三个量子比特之间的分布不同时，两粒子纠缠中有两个或者四个 峰。非常有趣的是，当磁场的幅度在三个量子比特之间变化时，系统不存在三粒子纠 缠。然而，磁场方向的改变却能诱导三粒子纠缠。三粒子纠缠随磁场和自旋z 轴之间 的夹角作周期性交化。 关键词：纠缠、剩余纠缠、量子噪声、海森堡模型 作者：任杰 导 师：朱士群 纠缠态的制各与度量 英文摘要 g e n e r a t i o na n dm e a s u r e m e n to fe n t a n g l e m e n t a b s t r a c t t h ee n t a n g l e m e n ti sa ni m p o r t a n tr e s o u r c ei nt h ef i e l d so fq u a n t u mc o m p u t a t i o na n d q u a n t u mi n f o r m a t i o n t h et h e s i sd i s c u s s e st h ep r e p a r a t i o na n dt h em e a s u r eo fs o m ek i n d s o f t h eq u a n t u me n t a n g l e m e n t f i r s t l y , t h eg e n e r a t i o no ft h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w ot w o - l e v e la t o m si n t e r a c t e d w i t ht h et 1 1 i r da t o md r i v e nb yw h i t en o i s ei si n v e s t i g a t e dw h e nt h ec o u p l i n gb e t w e e na t o m s i sm o d u l a t e db ya p u l s ef u n c t i o n i ti sf o u n dt h a tt h ei n i t i a lt r i g g e r i n gt i m ea n dt h ew i d t ho f t h ep u l s ec a l lg e n e r a t eap e a ki nt h ee n t a n g l e m e n t t h e r ei sa l lo p t i m a lw i d t ho f t h ep u l s e t h a tt h ee n t a n g l e m e n tc a l lr e a c ham a x i m u m t h ea s y m m e t r yo ft h ec o u p l i n gb e t w e e n a t o m sc a ng e n e r a t ed i f f e r e n te n t a n g l e m e n ti nt h es y s t e m t h em u l t i p l et r i g g e r sc a n g e n e r a t em u l t i p l ep e a k si nt h ee n t a n g l e m e n t t h es e p a r a t i o nb e t w e e nt w op e a k si s i n c r e a s e da st h ew i d t ho f t h ep u l s ei si n c r e a s e d s e c o n d l y , t h eb i p a r t i t ea n dt r i p a r t i t ee n t a n g l e m e n to fah e i s e n b e r gx ym o d e lw i t l la n o n u n i f o r mm a g n e t i cf i e l di ss t u d i e d t h e ma l et w oo rf o u rp e a k si nt h ec o n c u r r e n c eo f t h e b i p a r t i t ee n t a n g l e m e n tw h e nt h ea m p l i t u d e so ft h em a g n e t i cf i e l d sa r ed i f f e r e n t l y d i s t r i b u t e db e t w e e nt h et h r e eq u b i t s i ti sv e r yi n t e r e s t i n gt on o t et h a tt h e r ei sn ot a n g l eo f t r i p a r t i t ee n t a n g l e m e n tb e t w e e n t h et h r e eq u b i t sw h e nt h ea m p l i t u d e so f t h em a g n e t i cf i e l d s a r ev a r i e d h o w e v e r , t h ev a r i a t i o no ft h em a g n e t i cf i e l dd i r e c t i o nc a ni n d u c et h et a n g l e t h et a n g l ei sp e r i o d i ca b o u tt h ea n g l eb e t w e e nt h em a g n e t i cf i e l da n dt h eza x i so f t h e s p i n k e yw o r d s ：e n t a n g l e m e n t ，r e s i d u a le n t a n g l e m e n t ，q u a n t u mn o i s e ，h e i s e n b e r gm o d e l i i w r i t t e n b y ：r e n j i e s u p e r v i s e db y ：z h us h i q u n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 9 5 6 7 二5 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已 经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书 而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名：丝日 期： 学位论文使用授权声明 蚴 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、 中匡i 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文 档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以 公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大 学学位办办理。 研究生签名 导师签名 帮 轩 纠缠态的制各和度量 第一章引言 第一章引言 从2 0 世纪7 0 年代量子信息的诞生开始，鉴于量子纠缠在量子通讯和量子计算 领中的核心作用，无论是在理论分析中，还是在实验探测中，量子纠缠都成为人们 重点研究的对象之一。纠缠态的制备、纠缠态的度量、纠缠态的控制尤其受到人们 的关注。在纠缠态制备方面，人们提出很多的方案和模型，例如，非线性光学【l ，2 】、 离子井方案【3 】、腔量子电动力学【4 ，5 】、核磁共振和量子点方案等等。近年来，n i e l s o n 根据海森堡模型的特点，提出了固态自旋系统中的纠缠问题【6 】。在纠缠态的度量方 面，人们提出了c o n c u r r e n c e 7 、t a n g l e 8 等一些度量方式。在纠缠态的控制方面， 人们提出利用噪声来控制纠缠。这些研究为我们实现量子计算和量子通讯提供了方 案。 $ 1 1 腔中纠缠态的制备 基于已经能够实现对单原子和单光子操作的实验水平，1 9 9 5 年，b a r e n c o 9 和 l a e t e r 1 0 等人提出在腔q e d 中实现两个量子位控制操作的方案。他们利用腔和原 子的相互作用，将处在激发态的原子通过初态真空的光腔，经过7 r 2 的r a b i 旋转， 再将处于基态的原子通过腔，经过石的r a b i 旋转，就产生了两个原子的纠缠态。 在量子通讯和量子计算的实际过程中，量子系统不可避免地受到外部环境噪声 的影响，从而产生消相干。因此，我们有必要去研究如何抑制或减小噪声，乃至于 进一步利用噪声的影响方法。在纠缠态的制备和控制方面，p l e n i o 等人利用两个独立 的腔分别和一个处于激发态的原子产生相互作用，原子在白噪声的驱动下，间接地使 得两个腔中的光场相互纠缠起来 1 l 】。y i 等人使两个处于基态且互相独立的原子和 一个腔中的光场分别相互作用，当光场被白噪声驱动后两个原子相互纠缠起来【1 2 】。 而c h e n 等人则通过两个处于基态且互相独立的原子和第三个原子分别产生相互作 用，也利用噪声驱动原子使得另外两个原子相互纠缠起来 1 3 】。这些方案的共同特点 就是研究者利用噪声来产生纠缠，通过噪声的大小来控制纠缠。当没有噪声或者噪声 纠缠态的制备和度量第一章引言 很大的时候，系统中的纠缠消失，当噪声取某一个特定值的时候，系统可以达到一个 相对较好的纠缠态( 非最大纠缠态) 。 $ 1 2 海森堡模型中的纠缠 研究人员发现，在量子自旋系统中存在着一种固有的纠缠现象热纠缠 【1 4 - 2 0 】。它是指在正则系统的热平衡状态下，系统的状态可以用g i b b 密度矩阵 所= o x p ( - u k r ) z 来描述，如果这个态是不能分成各个子系统态的直积形式，那 么这个态就称为纠缠态。由于岛是一个热平衡态，所以人们称这一热平衡态的纠缠 为热纠缠。近年来，量子自旋系统的相变与纠缠的关系也受到人们的关注 2 0 ，2 1 。 a r n e s e n 、b o s e 和v e d r a 等人研究了一种各向同性的有限粒子数的海森堡链中的纠 缠，讨论了温度和外磁场对纠缠的影响【2 2 】，n e i l s o n 等人探讨了在非零温度下海森 堡模型中两量子比特的相互作用对纠缠的影响【6 】，o c o n n o r 和w o o t t e r s 等人对反 铁磁海森堡模型基态粒子中的纠缠进行了研究【2 0 】，w a n g 等人分析讨论了两粒子 海森堡模型中相互作用的各向异性对纠缠的影响 2 1 ，k a m t a 、s u n 、a s o u d e h 和z h a n g 等人分别讨论了磁场的非对称性对纠缠以及对温度阈值的影响 1 8 ，1 9 ，2 3 ，2 4 。三量 子比特的海森堡模型在量子隐性传态，量子编码t 2 5 ) 和量子克隆【2 6 】中的一些优越性 也渐渐被人们认识 2 7 31 1 。 $ 1 3 论文的研究目的和主要内容 基于量子纠缠在量子信息和量子计算过程中的重要作用，我们分析了不同的相 互作用时间对系统纠缠的影响。在一个存在三个原子a 、b 、d 的系统中，其中原 子d 受到白噪声的驱动，并且分别与原子a 、b 相互作用，而a 、b 之间原先并无 相互作用。这个三原子随时间演化的主方程可以表示为( 壳= 1 ) ： 纠缠态的制各和度量 第一章引言 塑d t = f 阻，p 1 + 三) ( 1 1 ) 其中三) 为取决于噪声的耗散项( l i o v i l l e a n ) ，日为系统的哈密顿量，在相互作用 表象中，它可以表示为日，= g d i ( f ) p 三仃| - + 矗c ) ，式中，g 。( f ) 是原子d 和其 它两个原子之间的耦合，盯j ，町分别表示上升算符和下降算符，可以用泡利算符表 示为盯；：去幻f 吖) 。原子之间的耦合受到调制时，就可以用下式 f 0 t g o i ( r ) = 1 t l f t 2 表示原子d 和原子a 、b 之间发生的相互作用。 我们研究了原子之间的耦合受单脉冲和多脉冲调制后，对原子a 、b 之间纠缠 的影响，结果表明，初始的触发时间和脉冲宽度能在纠缠中产生峰值，脉冲的最佳 宽度能使得纠缠达到最大值。原子之间耦合的不对称性在系统中产生不同的纠缠。 多重触发能在纠缠中产生多个峰，纠缠中两峰之间的距离随脉冲宽度的增加而增 加。 由于多量子位纠缠在量子通迅和量子计算中的优越性， 我们研究了三量子比 特海森堡模型中的两粒子的热纠缠和基态的三粒子纠缠，其哈密顿量可以表示为： 日= 喜吾略+ q y y ，) + 导衙+ 西) + 鲁c 。s 盯；+ 鲁s i n 们； ms ， 其中，盯? 是泡利矩阵，b 是磁场，利用周期性边界条件硝= 吖= x , y ，z ) ，我们 - h i k t 研究了温度为t 时的热平衡态p 2 南两粒子的纠缠，其中k 为波耳兹曼常数。 两粒子的纠缠我们用c o n c u r r e n c e 来度量。我们还研究基态的三粒子纠缠，三粒子 纠缠我们用剩余纠缠t a n g l e 来度量，其定义为：f 。：，= c ；：，) 一c 磊一c 矗，其中c ，：，c 。 为两粒子之间的c o n c u r r e n c e ，c 1 ( 2 3 ) 是将量子位2 ，3 视为一个子系统和量子位1 之间的c o n c u r r e n c e 。 丝幽巡塑塑l 一 笙二童! ! 童 三量子比特海森堡反铁磁模型中，在非均匀磁场 = 0 ，马岛) 情况下，存在 着两粒子热纠缠，而在均匀磁场中热纠缠却不存在。无论怎么改变磁场的大小，基 态也无法产生三粒子纠缠。当磁场的方向改变时，两粒子纠缠和基态的三粒子纠缠 同时存在。 纠缠态的制各和度量第一章引言 参考文献 1 1p gw a i t ，h y p e r - e n t a n g l e ds t a t e s ，j m o d o p t 4 4 ，2 1 7 3 ( 1 9 9 7 ) 2 】d k h o n ga n dl m a n d e l ，t h e o r yo f p a r a m e t r i cf r e q u e n c yd o w nc o n v e r s i o no f l i g h t ， p h y s r e v a 3 1 ，2 4 0 9 ( 1 9 8 5 ) 【3 】c a s a c k e t t , r e c e n tr e s u l t si nt r a p p e d - i o nq u a n t u mc o m p u t i n g ，q u a n t i n f o r m c o m p u t 1 1 2 ) ，5 7 ( 2 0 0 1 ) 【4 】j m r a i m ，m b r u n e ，a n ds h a r o c h e ，m a n i p u l a t i n gq u a n t u me n t a n g l e m e n t 谢t l l a t o m sa n dp h o t o n si nac a v i t y , r c v m o d p h y s 7 3 ，5 6 5 ( 2 0 0 1 ) 【5 】m s a s u r ea n dvb u z e k ，c o l dt r a p p e di o n sa sq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s o r s ，j m o d o p t 4 9 ，1 5 9 3 ( 2 0 0 2 ) ( q u a n t - p h 0 1 1 2 0 4 1 ) 【6 】m a n i e s l o n ，p h dt h e s i s ，u n i v e r s i t yo fm e x i c o ，q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y , e - p r i n t ：q u a n t - p h 0 0 1 0 3 6 【7 】k w o o t t e r s ，e n t a n g l e m e n to f f o r m a t i o no f a na r b i t r a r ys t a t eo f t w oq u b i t s ，p h y s r e v l e t t 8 0 ，2 2 4 5 ( 1 9 9 8 ) 【8 】v c o f f m a n ，j k u n d u , a n dw k w o o t t e r s ，d i s t r i b u t e de n t a n g l e m e n t ，p h y s r e v a 6 1 ，0 5 2 3 0 6 ( 2 0 0 0 ) 【9 】n a g - e r s h e n f e l da n di l c h u a n g ，b u l ks p i n - r e s o n a n c eq u a n t u mc o m p u t a t i o n ， s c i e n c e2 7 5 ，3 5 0 ( 1 9 9 7 ) 1o 】t s l e a t o ra n dh w e i n f u r t e r , r e a l i z a b l eu n i v e r s a lq u a n t u ml o g i cg a t e s ，p h y s r e v l e t t 7 4 ，4 0 8 7 ( 1 9 9 7 ) 11 】m b p l e n i oa n ds f h u e l g a ，e n t a n g l e dl i g h tf r o mw h i t en o i s e ，p h y s r e v l e t t 8 8 ， 1 9 7 9 0 1 ( 2 0 0 2 ) 【1 2 】x x y i ，c s y u ，l z h o u ，a n dh s s o n g ，n o i s e - a s s i s t e dp r e p a r a t i o no f e n t a n g l e d a t o m s ，p h y s r e v a6 8 ，0 5 2 3 0 4 ( 2 0 0 3 ) 1 3 】j c h e n ，x x y i ，h s s o n g ，a n dl z h o u ，n o i s ei n d u c e de n t a n g l e m e m ，a r x i v ： q u a n t - p h 0 3 0 9 2 0 2 【1 4 】x w a n g ，e f f e c t so fa n i s o t r o p yo nt h e r m a le n t a n g l e m e n t ，p h y s l e t t a2 8 1 ，1 0 1 ( 2 0 0 1 ) 1 5 】x w a n ga n dk m o l m e r , p a i r w i s ee n t a n g l e m e n ti ns y m m e t r i cm u l t i - q u b i ts y s t e m s ， e u r p h y s j d1 8 ，3 8 5 ( 2 0 0 2 ) 【1 6 】x w a n g , h ，f u ，a n da i s o l o m o n ，1 1 1 e 咖a le n t a n g l e m e n t i n t h r e e - q u b i t h e i s e n b e r gm o d e l s ，j p l a y s a3 4 ，11 3 0 7 ( 2 0 0 1 ) 【1 7 】p z a n a r d ia n dx w a n g ，f e r m i o n i ce n t a n g l e m e n ti ni t i n e r a n ts y s t e m s ，j ，p h y s 、a 3 5 ， 5 2 7 9 ( 2 0 0 2 ) ( q u a n t - p h 0 2 0 1 0 2 8 ) 【1 8 】gl k a m t aa n da es t a r a c e ，a n i s o t r o p ya n dm a g n e t i cf i e l de f f e c t so nt h e e n t a n g l e m e n to fat w oq u b i th e i s e n b e r gx yc h a i n ，p h y s r e v l e t t 8 8 ，1 0 7 9 0 1 ( 2 0 0 2 ) 【1 9 ys u n ，ygc h e n ，a n dh c h e n ，t h e r m a le n t a n g l e m e n ti nt h et w o - q u b i th e i s e n b e r g 剧m o d e lu n d e ran o n u n i f o r me x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d ，p h y s r e v a 6 8 ， 0 4 4 3 0 1 f 2 0 0 3 ) 2 0 】k m o c o 皿o ra n dk w o o t t e r s ，e n t a n g l e dr i n g s ，p h y s r e v a6 3 ，0 5 2 3 0 2 ( 2 0 0 1 ) 【2 1 】x w a n g ，t h e r m a la n dg r o u n d s t a t ee n t a n g l e m e n ti nh e i s e n b e r g 崩q u b i tr i n g s ， p h y s r e v a6 6 ，0 3 4 3 0 2 ( 2 0 0 2 ) 【2 2 】m c a r n e s e n ，s b o s e ，a n dvv e d r a l ，n a t u r a lt h e r m a la n dm a g n e te n t a n g l e m e n t i nt h e1 dh e i s e n b e r gm o d e l ，p h y s r e v l e t t 8 7 ，0 1 7 9 0 1 ( 2 0 0 1 ) 2 3 】m a s o u d e ha n dvk a r i m i p o t l r , 1 1 1 e r m a le n t a n g l e m e n t o fs p i n si na n i n h o m o g e n e o u sm a g n e t i cf i e l d ，p h y s r e v a7 1 ，0 2 2 3 0 8 ( 2 0 0 5 ) 2 4 】gez h a n ga n ds s l i ，t h e r i n a le n t a n g l e m e n ti nat w o q u b i th e i s e n b e r g 黝s p i n c h a i nu n d e ra l li n _ h o m o g e n e o u sm a g n e t i cf i e l d ，p h y s r e v a7 2 ，0 3 4 3 0 2 ( 2 0 0 5 ) 2 5 】j c h a o ，c f l i ，a n dg c g u o ，c o n t r o l l e dd e n s ec o d i n gu s i n gt h eg r e e n b e r g e r - h o m e z e i l i n g e rs t a t e ，p h y s r e v a6 3 ，0 5 4 3 0 1 ( 19 9 8 ) 2 6 】d b m 鼻，d p d i v i n c e n z o ，a e k e r t ，c a f u c h s ，c m a c c h i a v e l l o ，a n dj a s m o l i n ，o p t i m a lu n i v e r s a la n ds t a t e - d e p e n d e n tq u a n t u mc l o n i n g ，p l a y s r e v a 5 7 ， 2 3 6 8 ( 1 9 9 8 ) 6 纠缠态的制各和度量 第一章引言 【2 7 】w d u r , gv i d a l ，a n dj i c i m c ，t h i n eq u b i t sc a l lb ee n t a n g l e di nt w oi n e q u i v a l e n t w a y s ，p h y s r e v a6 2 ，0 6 2 31 4 ( 2 0 0 0 ) 【2 8 】h a c a r t e r e ta n da s u d b e r y , l o c a ls y m m e t r yp r o p e g i e so f p u r et h r e e - q u b i ts t a t e s ， j p l a y s a3 3 ，4 9 81 ( 2 0 0 0 ) 【2 9 】t a b r u na n d0 c o h e n ，p a r a m e t r i z a t i o na n dd i s t i l l a b i l i t yo ft h r e e - q u b i t e n t a n g l e m e n t ，p h y s l e t t a2 8 1 ，8 8 ( 2 0 0 1 ) 3 0 】a a c i n ，a a n d r i a n o v ，l c o s t a , e j a n e ，j i l a t o r r e ，a n dr t a r r a c h ，g e n e r a l i z e d s c h m i d td e c o m p o s i t i o na n dc l a s s i f i c a t i o no ft h r e e - q u a n t u m - b i ts t a t e s ，p l a y s r c v l e t t 8 5 ，15 6 0 ( 2 0 0 0 ) 3 l 】a k r a j a g o p a la n dr w r e n d e l l ，r o b u s ta n df r a g i l ee n t a n g l e m e n to f t h r e eq u b i t s ： r e l a t i o nt op e r m u t a t i o ns y m m e t r y , p h y s r e v a6 5 ，0 3 2 3 2 8 ( 2 0 0 2 ) 7 纠缠态的制各和度量 第二章量子纠缠的度量方式 第二章量子纠缠的度量方式 量子纠缠描述了量子体系之间非定域的量子关联。从数学表达方式上看，纠缠 态不能表示成两个子系统态的直积的形式，在经典理论里没有相关的对应体。人们 经常把纵缠和b e l l 不等式f l , 2 3 联系起来，实验上已经通过b e l l 不等式证明了量子非 定域关联的存在。现在，量子纠缠不仅作为量子力学的一种奇特的现象，而且更作 为一种非常重要的物理资源，在量子信息和量子计算中有着巨大的应用前景。例如， 量子隐形传态 3 】( t e l e p o r t a t i o n ) 就是利用基于纠缠的e p r 态为通道；量子计算中 的s h o r 算法【4 】就是利用纠缠实现平行计算【5 】的。另外，量子纠缠还在密匙分配 6 】、 量子密集编码【7 】等量子通信中有着广泛应用。目前，对纠缠度比较公认的定义有三 种：形成纠缠度【8 】( e n t a n g l e m e r i to ff o r m a t i o n ) ，提纯纠缠 8 ( e n t a n g l e m e n to f d i s t i l l a t i o n ) 和相对纠缠熵 9 】( r e l a t i v ee n 仃o p yo f e n t a n g l e m e n t ) 。在两体纠缠的度量 方面取得进展的基础上，人们越来越注重对多体纠缠度量的研究。 $ 2 1 二量子位纠缠的度量方法 假设存在一对量子系统a 和b ，整体任意量子态可用密度矩阵p 。来表示。对于 两粒子的纯态系统，纠缠度可以用系统的部分熵e 来表示，即：a 和b 任意一个子 系统的熵为 e = 乃( ，钆l o g ：办) = 一t r h l 0 9 2 p b ) ( 2 1 ) 其中p a ( 是以。对子空间b ( a ) 部分的迹，表示的是子系统a ( b ) 的约化密度矩阵。 对于两粒子的混合态系统，考虑对密度矩阵的各种可能纯态的分解，有 p a 。= p ，i 刚( 饵i ( 2 2 ) j 式中，p ，指的概率，k ，i 仍) j 是p a 。的任意一种分解形式。 显然，对于一般的混合态，其形成纠缠度可以定义为：各种可能分解的纯态纠 纠缠态的制各和度量第二章量子纠缠的度量方式 缠度的最小平均值。 根据这种度量方式的定义，w o o t t e r s 提出并证明了可以用c o n c u r r e n c e 来精确 度量二粒子系统纠缠的方法 1 0 】。设p 为2 - - q u b i t 系统的密度矩阵。首先得到一 个旋转后的密度矩阵 芦= p ，。q 加b ，。o r ，) ( 2 3 ) 其中，巳为泡利矩阵。于是，c o n c u r r e n c e 可定义为 c a 。= m a x 一如一五一厶，0 ) ( 2 4 ) 其中砰( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为算符五= 的本征值，且有如下关系： = 蚴x ，如，五，厶) ( 2 5 ) 当然，c o n c u r r e n c e 也可以度量纯态系统的纠缠。如果p 为纯态，即p = i i c ，) 缈 ， 痧) = p ， 盯，】妒) ，声= i 伊) 缈f ，r = = i y ) ( y 眵) 舻i 仅有一个非零的本征值 m 硝。 对于二量子位的纯态l _ f ，) ，c o n c u r r e n c e 为 c 。= 陟蚓 ( 2 - 6 ) 下面我们来详细推导两量子位的任意纯态的纠缠值，即c o n c u r r e n c e 。设 l 妒) 。= q 1 0 0 ) + 1 0 1 ) + i l o ) + 口。1 1 1 ) ，为实数且归一化) 口，2 = 1 在h i l l b e r t 空间中，i ) 可以写成如下的形式 我们可以得到i 扩) ) = 口1 口2 口3 o t 4 ( 2 7 ) 纠缠态的制各和度量 第二章量子纠缠的度量方式 从而可以得到 矿) = h 。q 】) = c a b = m 痧) i = 陋口：玛 我们可以得到结论： i 强= 4 0 i 口4 一口2 口3 ) 2 = 4 d e t p o 0 00 o 1 一l0 一口1 口3 口2 一口l ( 2 8 ) = i 一2 口4 + 2 口2 口3 = 2 a 1 口4 一口2 a 3 i ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 其中，d e t p a 为子系统a 的约化密度矩阵的行列式，当c o n c u r r e n c e = l 时，表明系 统达到最大的纠缠，相反，当c o n c t t r r e n c e = 0 时，系统不存在纠缠。 $ 2 2 复杂多体系统的s c h m i d t 正交分解 复合系统纯态的s c h m i d t 分解定理适用于由子系统1 和2 组成的复杂体系，如 果它处于一个纯态p = i y ) 缈f ，那么相应的子系统的约化密度矩阵就为， p = 吼p ，p o = 巩岛， 则i 少) = 万雠) i 嘏) ，i 嬲) ，i 砖) 分别为 p ( ”，p ( 2 ) 的本征态且相应的本征值都为成。 定理的证明过程如下：取i 硝) 为p ( 1 ) 的本征态，相应的本征值成， 声o f 以) = 以l ! )， 以) 构成一组正交归一的基矢。设子系统2 的正交归一基 矢为 砖) j ，下面就需要求出这个共同的本征值户k 。如果存在这个本征值就表明这 样的纯态分解是可行的，即定理是成立的。 i 妒) = i 酵) = l i 砖1 ) i 庐笋) ( 2 1 1 ) 肼肌肌 voooooo几 一0 o o 叫iiii 吨吨 ，ul_?，i 口 纠缠态的制各和度量 第二章量子纠缠的度量方式 我们定义：c m l 砖) = c 。i 许) ，可以设l 砖) 归一。于是有，i 缈 - - e i 础) i 旅) 同时有，( 俐蜊= 专q - 。 一m m 巴。= 雠眇) g 。= ( 妒i 棚) 拶) ( 砖1 4 ) = 壶驯俐蜊m ) 2 壶( 州军( 州刊 2 壶( 删。2 老 我们可以得到共同的本征值成= l c o l 2 ，复杂系统的纯态就表示成 i y ) = 习嬲) 拶) ( 2 1 2 ) 接下来，我们把定理推广到更复杂的多体系统。设i y ) 为a ，b ，c 子系统组成的 纯态，l 可看作为由a 和( b c ) 两个子系统组成的纯态，由上述s c h m i d t 分解定理 可知p 。= t r , c p ，纽= 吼p 有相同的本征值，因为p a 为一个q u b i t 系统，它最多 只有两个非零的本征值，故p 口c 也最多只有两个非零的本征值。 对于更多粒子系统组成的纯态，我们可以扩展它的概念，将系统分成任意的两 个部分系统a 和系统b 的和，如图2 i 所示。 图2 1 ，将一个大的系统看成两个子系统的和 纠缠态的制各和度量第二章量子纠缠的度量方式 $ 2 _ 3 三量子位纯态系统的剩余纠缠( r e s i d u a le n t a n g l e m e n t ) 设一个三粒子的任意纯态1 5 f ，) = 。l 批) ，由上一节的s c h m i d t 正交定理可知 ，i p 4 。最多只有两个非零的本征值。r 。= 矶。一，一，、r n 一一- ，r u 。一z 征值： 彳，置。通过c o n c u r r e n c e 的定义，我们可以得到子系统a 和b 的纠缠： q 。= “一五) 2 = 彳+ 墨- 2 a ，a 7 = t r ( i o a 。玩。) 一2 五 t r ( p , 4 。玩。) ( 2 1 3 ) 同理 c 三c n 。声。) 这样我们就能得到：c 么+ c 三c - t r ( a a 。玩。) + 乃( n 。厄。) 设 拈 为卜7 的二进制数，则 7 i = i 埘= q i f ) ， k i = o ( 2 1 4 ) f 簖+ 彳t + 学哦+ q + q 锡 以a2 磁( 小i 篡：篡差：豪麓：= 篡+ 妈c t s c 。7 耻0 10100 h 0 001010 jf o1 几扩l 1oo 卜lo1oo i o 0 jl 一 0 o j (+ 面 一l 一如。口。+ 口，口，) 一l k 瓯+ 口，) l + 口1 一瓴+ ) a ：+ 口； 口2 + 一瓯+ 口。) 1 2 一p 2 + 口，) 口2 掰4 + a 3 口5 西+ 霹 一0 。锡+ 口。) 戍毋6 + l a l 一q o 口4 + a l 口5 ) 一+ ) 簖+ 口? 型堡查盟塑鱼塑匡量 筮三童量王型堡笪鏖量塑 因此，我们很容易得到 乃厄。) = 2 k + 彳+ 彰) + k + 霹+ ) + ( 瓯+ q ) 2 + ( + ) 2 2 k + 嘶+ ) 一2 + q 魄+ 为 同时有： p 。= k + 掰? + 吃2 + 霹】o ) ( o 卜0 ：+ + 口：+ 斫】1 ) ( 1 | + ( 吼+ 0 1 c 1 5 + 口：+ ) 0 0 ) ( o l + p ) o i ) 雎= ( 砖+ 2t 2 + 】0 ) ( o 卜k + 霹 0 0 ) ( o f + i l ) ( 1 f ) 于是有如下的关系成立： + 蠢+ 霹】1 ) ( 1 卜( 喁+ + a q a 5 + a 6 a 7 ) 乃0 钆。p a 。) + 7 r 0 钆c 厄c ) = 4 d e t p a 一- - 。2 ( ) 由上述公式，我们可以得到： c 五十c 三cs c 三( 1 这样就可以得到剩余纠缠t a n g l e 的定义： z a b c = c ；( ) 一c 乞一c j c 进一步展开乃可以表示成： o 。= q ( 解) 一c 乞+ q 。= 乃h 。厄。) + r r c o 。玩。) 一q 。一q 。 = 强删+ z ( 。) + 强c ) + 正( 删 一“( 一屯( ) 2 一“( 删一五( 删) 2 = 2 钾8 斧+ 彳c 4 c ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 对于三量子位中有两种典型的多体系纠缠，即三粒子的w 态 ( 形= 去o o o ) + i 。) + j ，。) ) ) 和g h z 态g = 去o 。) + ) ) ，对于三粒子的w 3 + 吼 + q 口+ 瓴 + 以 研 + + + 2 2仁 + p哆 露 + m w面以 + + 彳删+ k 0 i i 肪 纠缠态的制各和度量第二章量子纠缠的度量方式 态和g h z 态，它们的t a n g l e 分别为0 和1 。 s2 4 n e g a t i v i t y v i d a l 和w e m e r 1 3 基于p e r e s 1 4 的可分离判据：部分转置正定是判定态是否 为可分离态的充分必要条件，提出了一种比较通用的量子纠缠的度量方式一一 n e g a t i v i t y , 它的定义 托。：哔 ( 2 1 9 ) 其中，p 乃是p 的部分转置，删为矩阵的迹。其实n e g a t i v i t y 就是p 巧负的本 征值绝对值之和。 还有另一种l o g a r i t h m i cn e g a t i v i t y e 。b , ) - - l o g ：护 ( 2 2 0 ) n e g a t i v i t y 和l o g a r i t h m i cn e g a t i v i t y 不但适用于两粒子量子体系，而且对于多 粒子量子体系也可以有不同的推广。 纠缠态的制各和度量 第二章量子纠缠的度量方式 参考文献 【1 】ia a c i ，d b r u b ，m l e w e n s t e i n ，a n da s a n p e c l a s s i f i c a t i o no f m i x e dt h r e e q u b i t s t a t e s ，p h y s r e v a 5 7 ，1 6 1 9 ( 1 9 9 8 ) 【2 vv e d r a l ，m b p l e n i o ，m a r i p p i n ，a n dp l k n i g h t ，q u a n t i f y i n ge n t a n g l e m e n t ， p h y s r e v l e t t 7 8 ，2 2 7 5 0 9 9 7 ) 【3 】c h b e n n e t t ，c tb r a s s a r d ，c c r d p e a