（应用数学专业论文）离散非线性schrodinger方程的离散呼吸子解和行波解.pdf

d n l s 方程的离散呼吸子解和行渡解中文提要 中文提要 本文第部分考虑一维格点系统中有阻尼和a o - 驱动的离散非线性s c h r 文l i n g e r ( d n l s ) 方程 i 以+ 2 1 妒1 2 以+ 口一) = 舻一 倾 r 矗 的离散呼吸子的存在性和稳定性通常所用的同宿轨方法只能给出数值模拟，而不能得 到严格的证明因此我们先考虑其单个振子周期解的存在及稳定性，然后给出在rxp 空问上的映射的零解延拓定理，再应用此定理证明了在耦合情况下当阻尼7 ，外力 和频率，满足 3 矿，研 h 2 3 7 2 ，研 h 2 0 分别确定了驱动外力和阻 尼；实数a r 为耦合常数，刻画了格点间的耦合力； r n 代表结点n 的邻近结点的 集合，描述耦合方式；q 为外力频率我们用文献 2 0 l 中的方法t 先考虑( 1 2 ) 单个 振子 i 参+ 2 1 妒1 2 妒= 俨一 仰( 1 3 ) 的周期解的存在性和稳定性，再利用延拓定理将其延拓至弱耦合的情形对( 1 3 ) ，先 作变换。妒 = ，代入并消去e “= q ) ，得到 i 毒一u 妒+ 2 l 妒1 2 妒= h e * 一i 7 毋( 1 4 ) 易证( 1 3 ) 的周期解对应( 1 4 ) 的周期解或平衡点，而又由b e n d i x s o n s 准则【3 8 】知( 1 4 ) 无周期解，这样( 1 3 ) 的周期解即对应( 1 ，4 ) 的平衡点先研究( 1 4 ) 的平衡点的存在 性和稳定性，再利用延拓定理可得，当阻尼* 外力h 和频率埘满足1 2 3 铲，皤 0 分别确定了驱动外力和阻尼；实数口r 为耦合常数，刻 画了格点间的耦合力；口 0 为实数；啊。代表结点n 的邻近结点的集合；q 为外力 频率 ， 定义若妒= ( 如) 是( 2 1 ) 的周期解，并且( 怯) 具有指数衰减性，即存在k o ，町 i ，使得 l l j 幼一如，o ) ，d ，o ) 表示第n 个格点与点。的距离， 则称妒为( 2 1 ) 的呼吸子解 实际上，上述呼吸子是关于原点指数衰减的，又称b r i g h t 呼吸子；而在某些情况 下，若存在每，k 0 ，f 1 ，使得 i 妒。一币f k , i 一曲力， 我们也认为妒= ( 怯) 是呼吸子解，称为d a r k 呼吸子 下面我们讨论( 2 1 ) 的形为以o ) = 妒。e 觚0 o 为旋转频率) 的解，显然它已是 周期的，只要再证明“为指数衰减的，则有机( t ) 为( 2 1 ) 的呼吸子解 为了应用延拓定理研究【2 ”的离散呼吸子解，我们首先要详细讨论单个振子的 周期解 2 1 单个振子的周期解 这节考虑单个振子的周期解： i 移+ 2 i 妒1 2 妒= 俨一钾妒 5 ( 2 2 ) d n l s 方程离散呼吸子的存在性及稳定性 =a c - 驱动 作变换： 妒( t ) = 币0 ) e t , 。，i = q 代入( 2 2 ) 式得； 彩一叫妒+ 2 1 毋1 2 妒= h i 7 4 , ( 2 3 ) 引理2 1 设妒( 力是( 2 2 ) 的个周期解，则妒( 力= 妒( 力e “是( 2 3 ) 的周期解或 平衡点 证明；设妒( t ) 的周期为t ，即妒0 + t ) = 妒c 0 ，对任意t r ，则 妒( 厄刃= 妒( 佗刃e 缸灯= 妒( 0 ) e 一“柑= ( 0 ) e 一缸”一 若o , t ，r 是有理数，则存在整数竹和危，使得w n t = 2 k l r ，因此咖c - t ) = 妒( o ) ，所以 ( t ) 是( 2 3 ) 的周期解或平衡点；若u 叫霄是无理数。则妒( o ) 的，一极限集至少包含一 个半径为i ( 0 ) l 的圆，且从l 庐( 0 ) i 到i 声( d l 的闭曲线上的点都落在这个圆上；否则解 l 妒( 0 i 的一极限集至少包含个圆环，这与f 3 1 】中定理1 8 1p o i n c a r d b e n d i x s o n 定理矛盾因此，存在t l ( 0 ，q 及正整数m ，使得妒( m 刁= 妒( t ) ，所以妒( 力是一 周期解或平衡点 口 引理2 2 若，y 0 ，则方程( 2 3 ) 无周期t 0 的周期解 证明，记妒= 霉+ 匆0 ，y 脚代入( 2 3 ) 式，并分离实虚部，得t 船= ：荔：黧二：w 毁未 协 【雪= 叫$ + 2 ( 9 2 + 暑2 ) z 一 一w 全，2 0 ，暑，) 则 碧+ 警= 【_ 缸掣一卅+ 【缸州 = 一2 吖 所以据【3 1 】中定理1 8 2b e n d i x s o n s 准则知( 2 - 4 无周期解 口 注：b e n d x s o n s 准则： 矧， ：三磐2 删触獭区域。上连续可觎且瑟+ 鬻在 d 上不变号，同时在d 的任子域不恒为零，则( t ) 在d 内无闭轨 d n l s 方程离散呼吸子的存在性及稳定性 二 a o 驱动 推论2 3 若7 0 ，则妒( t ) 是( 2 2 ) 的周期解当且仅当庐( t ) = 妒( t ) e 一溉是( 2 3 ) 的平衡点而且妒( 力的频率为埘= q 因此，要找( 2 2 ) 的所有周期解，就需要确定( 2 3 ) 的所有平衡点接下来我们总 假设h 0 且，y 0 ，使( 2 3 ) 成为耗散系统 显然零不是( 2 3 ) 的平衡点，下面求其非零平衡点，设为= r ，( 若有多个平衡 点用南= r j e 吗表示) 代入( 2 3 ) ，得： 即： 令r 2 = o ，刚( 2 6 ) 式变为： f 一i r + 2 r 3 1 五s i n 疗 = h c 0 8 p = 一吖r 4 r 6 一c a r 4 + 0 2 + f ) r 2 = h 2 c o t p = - t o + 2 r 2 一t 4 一一4 w a 2 + ( 【，2 + 矿) 口一铲= 0 再令口= b + 警，可消去( 2 8 ) 的二次项： 即 记 则( 2 9 ) 式为； 4 6 3 一等6 + ( m b + 等+ 孚一胪- o 州等一笔) 6 + - ( 1 , c 万o s + 孚埘 p = 等一扩i - i ，g = ；( 等+ 胛- 7 - 川p 5 百一，9 2 i 【而+ 一 j 解一元三次方程( 2 1 0 ) 【3 2 】： ( ，) 利用辅助数解； 6 3 + 力+ q = 0 7 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) d n l s 方程离散呼吸子的存垄竺墨堡皇兰二三兰! ：! 堡 令6 ：a + 反= 辛6 3 = 矿+ 3 3 + 3 q p ( a + 卢) = + 卢3 + 3 筇b 即z b s 一3 卵6 一( a 3 + 卢3 ) = 0 一3 筇= p ，一( 舻+ 卢3 ) = q i 扩+ 卢3 = - q ， 茸1 舻卢s ：一象 ， 把矿，矿看作是一元二次方程， c 2 + q c - 芝2 7 = o 的两个根，解得 c = 一：士伛， 其中 = 譬+ 蓦 = 志【+ 扩1 j 2 + 删地炉2 + 吖) 1 不失般性，令 矿= 一；+ 抠，卢3 = 一；一抠， 则矿与卢3 的三次根分别为： 口l = 一+ 垒，毗= a l 岛2 叩2 ；( 2 1 1 ) 风= 乒一抠，岛= 尻户，风= 晟s 其中f = 业2 ( ，d 由卵= - p 3 确定n 和卢： 因为a l 尻：一3 ， 嘞岛= ( a 1 0 ( 卢l p ) = - p 3 ， 。3 风= l 矿) 1 0 = - p 3 ， 所以6 3 3 a 肋一( + 矿) = 0 的三个根的公式是： 6 l = o t l + 卢l ，k = 嘞+ 岛，6 3 = 钧+ 岛 8 d n l s 方程离散呼吸子的存在性及稳定性 二 a e - 驱动 下面通过讨论来确定b t ，k ，6 3 的性质， ( 1 ) 若= 0 ，那么矿和卢3 都是实数，并且矿= 卢3 ，方程( 2 1 0 ) 有三个实根， 并且其中有两个根相等： 6 l = 铆+ 风= 2 a l ， 6 2 = o l + 尻扩= 一口l ， b s = n l 孑+ 区e = 一m ( 2 1 2 ) ( 2 ) 若a 0 ，那么矿和卢3 都是实数，并且a z 卢3 ，方程( 2 1 0 ) 有个实根和 两个共轭虚根； 6 l 20 1 1 + 展， 6 2 = a l e + 卢l 产= 一丑笋+ 丑手、瓢， ( 2 1 3 ) 6 3 = a i 酽+ 芦l = 一丑笋一丑笋 虱 ( 3 ) 若 0 ，那么q 3 和卢3 是共轭虚数，设a 3 = u ( c o sq o + i s i n 功，卢3 = u ( c 0 6 一 i s i n ( 由共轭性，不妨设0 0 的实数6 值，这样通过限制参数，1 ，h 的取值，讨论 的正负，进而得出( 2 6 ) 不同范围下的根r = + 7 3 的个数及具体取值首先从 入手。因为 = 志+ u 2 ，y ) 2 + 2 7 h 4 2 w h 2 ( w 2 + 旰) 】， 所以我们可记 ，( 炉) = 1 7 2 8 a = i ( 矿+ 埘2 们2 + 2 7 h a 一2 w h 2 ( w 2 + 9 f ) 】 = 2 7 ( 炉) 2 2 u ( + 9 矿) 酽+ 矿( u 2 + 矿) 2 9 d n l s 方程离散呼吸子的存在性及稳定性 二 a o 驱动 f ( a ( u 2 砰时， 0( 6 ) 扩 卵时， 0 f i g u r e1 ：( a ) 中。0 0 ，即 0 ；h 2 = 1 , 2 或蝇时， a = o ；a 2 h 2 3 f 时，有a 0 ，此时f ( h 2 ) 的图象如f i g u r e1 ( a ) 又，( o ) 0 ， 则f ( h 2 ) = 0 的两实数根为： h 2 。：塾坐兰掣：丛生喾 。( 不防设砰 0 ，所以 b 1 = 一2 沥 o 吃= 睨= 如+ ，3 = 历+ u 3 为方程( 2 6 ) 的两根 事实上，因嵋= ( 一2 1 知2 ) 3 = 一幻= _ v , h - 万1 2 7 ，0 3 ) 3 = u 3 2 7 ，所以磅+ ( - 3 ) 3 = ( 3 一v - 酽) 1 2 7 , 又u 6 一”= 9 w 4 7 2 2 7 w 2 ，+ 2 冲= 9 【产铲( ，2 一卵) + 2 冲 0 ，所以醒+ 1 3 ) 3 0 ，即b l + ，3 0 同理，当h 2 = 磋时， q = 一蕊i 佃 0 ，6 2 = 河 o ，显然有历+ 埘3 0 似2 ) 当o 0 ，此时符合前面的情况( 1 ) ，方程有 个实根和两个共轭虚根。我幻只取那个实根： 6 t = a t + 尻= 一；+ 伛+ f ；一伛 当 2 嚏时，由( 2 1 6 ) 式知：q 一志抠i 0 ， r 2 = 口= 6 t + 埘3 而当0 0 ，此时b l 0 知b l - 1 - w 3 正负还不易确定；而当舻 0 ，所以当舻 镌时； r 2 = 巩+ 埘a = 1 7 一；+ 伛+ f ；一伛+ u 3 ( a 3 ) 当h h 2 燧时，有a 0 ，此时符合前面的情况( 3 ) ，方程有互不相等的 三- - t 实数根且 p o ，一志历 叮 而1v 一 由情况( 3 ) 知： 且 而 舻= 一；+ i 伍= 批( 伽妒+ f 咖力， 卢3 = 一；一i 瓜= 妒一i 如西，社= 6 l = 2 缸c 0 8 ( i p 3 ) ， 6 2 = 2 缸c 0 8 ( 妒3 + 2 霄3 ) ， b = 2 缸, - o s ( , p 3 1 4 ，r 3 ) ， 胚：湾 詈 o ，6 2 o ，6 3 = 0 ， 0 妒 o ，6 2 o ，6 3 0 2 托 0 ，所以2 知 = 口 g g ，i-，、i-l d n l s 方程离散呼吸予的存在性及稳定性 =a c - 驱动 ( b ) 当，2 3 铲时，有 0 ，符合前面的情况 ( 2 ) ，方程有个实根和两个共轭虚根，我们只取那个实根 a 。= a 。+ 尻= 哥+ 哥 此时q 正负值都能取到，若限制qs0 ，则b l 之0 ，所以有r 2 = n = b 1 - i - c ，3 另外，由( 2 5 ) 第二式及( 2 7 ) 式知 s i n 0 3 f 中， ( a ) 当舻= 斌或h 2 = 堤时，对应方程( 2 6 ) 分别有两个实数根t 。 当炉：皤时。r n = 、一2 彤历+ u 3 ，7 也= 、彤历+ w 3 ，对应( 2 3 ) 的平衡点 记为妒i l ，妒1 2 当 2 = 镌时，。= 、一2 彤历+ t t ，3 ，t 。= 0 泻万+ 埘3 ，对应( 2 3 ) 的平衡点 记为矾，矾： ( a 2 ) 当 2 镌) 时，对应方程( 2 6 ) 分别有个实 数根； r 2 。( 或t 。) = 、影习i 了云+ 影j = 了云+ u 3 ，对应( 2 3 ) 的平衡点记为也t ( 或如。) ( a 3 ) 当增 2 堤时，对应方程( 2 6 ) 有三个实数根t 7 3 1 r 3 2 ：瘵鬻篙2 ，r 3 而，：湾 = 、2 孔c ( 妒3 +) + ，3 ，2 、一务 嘲= 以知c o s ( 妒3 + 4 x 3 ) + u 3 ， 对应( 2 3 ) 的平衡点记为九- ，也2 ，九s 情况( 口) u 2 0 所以平衡点妒- t 渐近稳定；同理若毋= 衍l ，l a i i = i a - “ 0 ，平衡点矗l 渐近稳定 若妒= 妒1 2 ， l a l 2 l = f + 户+ 1 2 r 乞一& 2 2 = 矿+ 户+ 4 r 毳( 3 吃一2 u ) ， = f + u 2 + 4 r 2 1 2 、。v f 面- 4 矿一u ) = f + 1 2 + ( 4 僳+ ；u ) ( 3 僳一u ) = 矿+ 埘2 + ( 1 2 者告一；u 2 ) = 矿一譬+ ；酉= o 所以平衡点他稳定性无法确定，方程( 2 6 ) 的解妒在h 2 = 研处会产生分支；同理对 应而：，i a 1 2 i = i a - z i = 0 ，平衡点衍2 稳定性无法确定，方程( 2 6 ) 的解妒在h 2 = 嵋 处会产生分支； 1 4 d n l s 方程离散呼吸子的存在性及稳定性二 a c - 驱动 ( a ：) 中。若妒= 也i ， i a 2 1 i = 矿+ u 2 + 1 2 r 墨l 一8 i r ；l = 矿+ 户+ 4 ( a z + 屈+ 吖3 ) ( 3 a l + 3 展一力 = 铲+ u 2 + 1 2 ( a l + 卢1 ) 2 一；u 2 = 护一譬+ 1 2 ( 0 r l + 卢1 ) 2 正负不易确定，但当胪 0 ，所以平衡点 也- 渐近稳定；同理，h 2 嵋但充分接近磅对，对如1 由连续性知1 4 。| 0 ，所以 平衡点如，渐近稳定 ( a 3 ) 中。 所以 嵋。 龟 穗 2 狮c 0 8 詈+ i 3 = 2 泻啷警+ i 3 ，= 2 厂丽c 0 8 詈+ c ，3 ， 2 f 丽c o s ( 警+ 孥) + u 3 ， 2 丽c o s ( 詈+ 譬) + u 3 ， a 3 l i =铲+ ，2 + 1 2 r ：l 一j 嵋l 铲+ 铲+ 4 嵋- ( 6 、孚c o s 警一，) 俨+ 护+ ( 8 、寻c 荸+ ；) ( 6 寻c 0 8 詈一“) 铲+ 1 2 + ( 鹄( ；) 嘲2 詈一；“产) 矿一譬一1 6 p c o s 2 詈 矿一譬一( 钾2 一；u 2 ) c 0 6 2 警 由于0 妒 r ，所以0 3 丌3 ，所以i 4 0 ，平衡点也t 渐近稳定；同理 而 警 詈+ 警 ，r ，等 詈+ 百4 7 i 了5 7 1 ，了 亏+ 了 霄，了 言+ 百 3 中 f i g u r e2 ： 1 4 娜2 ( 专+ 了2 z ) 3 铲时，若h 2 镌但充分接近碹，周期解如。e “存在且渐近 稳定；若墙 舻 嚏，周期解如，惋e 埘存在且渐近稳定；周期解妒3 3 e 讲存在 且不稳定当u 2 0 ，使得对i a l o ( o 0 ，使得 i l ( 一孟。i c ( 0 。 7 一d ( “，j ) ，v n z 其中f = n l ，耽，n m ，且d ( n ，d = m i n t j m d ( n ，啦) 证明；第部分只是隐函数定理的应用，而第二部分由【2 5 】中定理2 可立即得到 我们可以定义一些映射，将代数方程( 2 1 8 ) 的解转化为映射的零解取m ；2 有 p = = ( 如) l 如= ( a n ，k ) r 2 ，n z ，s u p i i + o o ) 1 7 d n l s 方程离散呼吸子的存在性及稳定性二a o - 驱动 定义一映射h ( q ，) ：p f o o 如下z ( h ( q ，) ) 。= 一，“+ 2 1 4 , 1 2 如+ a ( 办一九) 一 + 竹“， ( 2 1 9 ) 则上式的零解即为( 2 i s ) 的解同时( 2 1 9 ) 等价于 fu k 一口f ( 6 r k ) 一2 ( 磉+ 坛) k 一，y ( h 瑚h 2 i+：羔嘛-a)+施n。-h-wan一佩j i+ 口( r) + 2 ( + 醒) n 。一7 kj 、 r 以， 若h 有零解妒( n ) ，则我们得到( 2 1 8 ) 的解，并且( 2 1 ) 的离散呼吸子解妒( 砂。= q ) 关于空问在无穷远处是指数衰减的因此，只要验证定理2 5 的条件对h 是否满足 即可接下来，我们假设研 3 f ，研 胪 0 ，使得当l a i 口1 时。系统( 2 1 ) 有d a r k 呼吸子( t ) = “( 口) e 姒 证明：取弓= 九- ，对j = 1 ，：，q = 纰，得到的解也( t ) = 如( 0 。是d a r k 呼吸子，其中当d ( n ，j ) + o o 时， i 如( 0 。一惋i 攀0 ， d n l s 方程离散呼吸子的存在性及稳定性=a c - 驱动 且由定理2 5 ，这里的如( a ) 连续于( 元) 口 以( t ) = 也( t ) + ( t ) e “， 这里蟊( t ) 为由定理2 6 得到的呼吸子解，i a i 3 矿，醒 h 2 嵋时都有负实部即m ( 0 ) 的谱分布在左半平面我们可以证明 m ( 口) 的谱当口充分小时也属于左半平面 事实上。由 6 3 ，若i i m ( a ) 一m ( 0 ) i i 0 ( a j m ( o ) ) - 1 | l - 1 ，则由agm ( 0 ) 的谱 考a g m ( a ) 的谱 令 r = s u p0 ( a j m ( o ) ) 一1 1 ： m 之o 易证0 r 0 使得 1 i i m c a ) 一m ( 0 ) i l 妄，对川 研2 ，研 h 2 燧且 3 f ，研 o ) ，即； q 2 4 舻户c 0 8 2 口+ 4 舻扣+ 2 a ) c o s q t 2 【+ 2 0 。2 一h 2 】= o ；( 3 1 2 ) 2 3 d n l s 方程的离散呼吸子解和行波解 兰 行波解 矿= 4 舻户( c 佛q - w + 2 a 2 口1 ，2 一户炉 ( 3 1 3 ) 上式对应着单特征值，而要求二重特征值还要满足下式t q + 2 舻r 2 s i n ( 2 曲一2 舻( ，+ 2 口) s i n q = o ；( 3 1 4 ) 对三重特征值还要满足； l + 4 3 铲c o s ( 2 q ) 一2 w r 2 + 2 3 ) c o s q = o ；( 3 1 5 ) 对四重特征值还要满足。 ， 一4 0 c 2 r 2 s l n ( 2 q ) + 口户( u + 2 s i n q2 0 ， ( ( 3 1 3 ) 茸s i n q 0 ) 弓- 8 a c o s q + + 2 口) = 0 ( 3 1 6 ) 3 3 弱耦合和周期波 。 令。= ( a ，下) i 乏二o k ，只包含一对单特征值士幻- ) 这节我们要研究( 订 o 的情况把工。，的谱分成：= 舀+ 乏、 ，则( 3 5 ) 可分成中心部分和双曲部分 我们应用文献【2 9 】中的无穷维空间上的中心流形定理，可将( 3 5 ) 约化到二维空间上 首先给出这个中心流形定理t 令x ，y , z s gb a n a e h 空间。x 连续的嵌入ky 连续的嵌入z 令a c ( 五z ) ，g c k ( x , y ) ( 七1 ) 考虑微分方程 圣= 血+ 9 0 ) ( ) ( + ) 的解是连续的可微映射z ：i i - - - 4z ，其中j 是开区间，使得下述性质成立。 o ) 茹( t ) x ，且z ：i h x 是连续的； 0 f ) 圣( t ) = 止( t ) + g ( 茹o ) ) ，vz i 引入空间骘( z ) ，p r ，n ，范数为f i 川j ： 骘( z ) = ( ，( r ，z ) li l f l l j - - - - 躐骤e 钟i d 邢) i o ，使得对v p 【0 ，伽) 和v f 瑶( k ) ，线性问题： 圣 = a h * h + ，( 力，z 尉( 施) ) 存在唯一解z = k h ，其中j r c ( 磁( ) ，磁( x i ) ) ，且对vp 【o ，肋) ，有 0 j 矗f l 瑶( j “) g ( p ) ，v p ( 0 ，p o ) ， c ( 为连续映射c ：【o ，伽) h 尼 ，即t 忙h 1 1 彤( 瓢) c ( 0 川瑶陬) 中心流形定理：若假设( h ) 成立，令g 俨( 五y ) ( 七1 ) ，且9 ( 0 ) = 0 ，d g ( o ) = 0 则存在x 中原点的个邻域n 和映射妒钟( 五；溉) ，满足妒( o ) = 0 ，上) 妒( o ) = 0 ，使得以下性质成立t 若五：i - _ 五是o + ) ：圣。= 也$ 。+ 砌( 茹。+ 妒( z 。) ) 的解，且量( f ) = 磊0 ) + 妒伍0 ) ) q ，对v t j | ，则舅：，hz 是( ) 的解 g i ) 若i ：r x 是( ) 的解，且童( t ) q ，对v t 冗，则 p n 叠( t ) = 妒( 只i ( t ) ) ，v t 兄 且只孟：r - _ 恐是( ) 的解 口 为应用上述中心流形定理，首先定义在中心空间上的投影映射； 只= 嘉正( a j k ，) 一1 烈， 2 5 d n l s 方程的离散呼吸子解和行波解 三 行波解 其中c 为只包含中+ i q l 的闭曲线 则在双曲空间上的投影映射为，q = i 一只，并记玩= q h u 因只，= 丽1 尼( 一k ，) 一u d a ，由( a o 式t( a j 一瓦r ) 【，= f 知；u = ( a ，一工。) 一1f ，所以当f 取u = ( z ，玑x ( o ，y ( o ) 时，厅= ( a i - l 。) 一1 u 为( 3 8 ) 式的解t 其中 毫( 9 移馐) x 偌， y ( 己 ) 【( 凡口，下) 】一1 ( a z a 盯氏一啾! ，一纵町& ) ， 【d ；a ，下) 1 1 ( 一h z + h o 彳& + a y + a a r 丸) ，( 3 1 7 ) e h i ( 0 - o 。矿扣一) x ( o 幽， e 知哥( f ) 一j ( 。e 批y ( s ) d 3 庇= o c 一矿( 1 一，) x o ) + e - a o - ) x ( 一s ) 】如， 氏= 上1 【一矿( 1 叫l ，( s ) + e 州l _ | ) y ( 一s ) 溉 ( 3 - 1 8 ) 纵= 一0 + 2 a 一r + 甜( + e - x ) ， h = ( ，+ 2 a + h ) r c 盯( 矿+ e 一1 ) 所以只矿=y c c x r - l a ，, ) u d a ，则由残数的定义知足u 为厅即( 3 1 6 ) 在颤q 1 处 的残数；这样我们得到： 引理3 1 设( 口，下) o ，即o k ，= 士锄) ，则定义在h 上的投影映射 ( e i g e n p r o j e c t i o n ) p c 为t 其中 ( 只o = o t ( l ，僻- = 6 - ( c ，) m ， 假吒= 焘m c 嘶t 卅c ，( s i n ( 刚) 】i ( 3 1 9 ) ( 只s = 击【6 l ( u ) c o s ( ) + d l ( u ) s i n ( 酬】 u = 扛，! ，x ，y ) t h ， d n l s 方程的离散呼吸子解和行波解 三 行波解 n l ( = q t x + q t o e t p + ( + 0 r r 口c - ( 叨， b l ( = 一6 盯户一( + q t y o t r q l “( ， c l ( = - a q t p - ( u ) 一叼+ 口吖“( ， d l ( = - b ：c 一如r “( + o f r q l o ( ， n = 一0 + 2 口一，0 f + 2 ( x r c o s q t ， b2 ( u + 2 口+ ) 下一9 0 ( 1 c o s q l “( = f 0 1 c o s ( q t ( 1 一s ) ) ( s ) 一x ( 一s ) 】d s ， ( _ ( = f 0