（计算数学专业论文）广义交替迭代法和schur余研究.pdf

摘要 摘要 本文主要研究了大型线性方程组的交替迭代法及迭代法的各种变形， 给出了当系数矩阵为h e r m i t i a n 正定矩阵时各类迭代法的收敛原理及其相应 的比较理论。另外本文对广义双对角占优矩阵s c h u r 余和对角鼢u 鱼r 余作了 分析研究全文共分为三章，创新成果着重体现在第二和第三章 第一章主要介绍了论文的选题背景，同时对迭代法和矩阵的s c h u r 余做 了概述 第二章首先介绍当系数矩阵是h e r m i t i a 芷定矩阵时经典交替迭代法的 收敛理论和相应的比较理论，同时我们给出了当分裂不同时对迭代渐进收 敛率的影响接着，讨论了当系数矩阵是h e m i t i a n 正定矩阵时广义交替迭 代法，并行同步迭代法，并行交替同步迭代法的收敛理论 第三章针对广义双对角占优矩阵的s e h u r 余和对角s c h u r 余进行了分析， 给出了广义双对角占优矩阵的对角s c h u r 余的一个性质同时给出了广义双 对角占优矩阵s c h u r 余的特征值分布情况 关键词；线性方程组，交替迭代法，h e m i t i a n 正定矩阵，收敛理论，s c h u r 余 电子科技大学硕士学位论文 a b s t r a e t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e sa i t e r n a t i n gi t e r a t i v em e t h o da n dg e n e r a l i z e d a l t e r n a t i n gm e t h o d f o rt h es o l u t i o no fa1 a r g el i n e a rs y s t e m ，e x t e n dt h e c o n v e r g e n c et h e o r e ma n dc o m p a r i s o nt h e o r e mf o rg e n e r a l i z e do ra l t e r n a t i n g i t e r a t i v em e t h o dw h e nt h ec o e f n c i e n t ，a r eh e r m i t i a i lp o s i t i v ed e f i n i t es y s t e m s a tt h es a m et i m e ，t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e ss c h u rc o m p l e m e n t sa 1 1 dd i a g o n a l - s c h u r c o m p l e m e n t so fg e n e r a l i z e dd o u b l yd i a g o n a l i yd o m i n a n tm a t r i c e s t h et h e s i s c o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yi n t r o d u c e dt h ep a p e rs e l e c t e dt o p i cb a c k g r o u n d ， s i m u l t a n e o u s l y m a d et h eo u t l i n et ot h ei t e r a t i v em c t h o d s a n ds c h c o m p l e m e n t s i c h a p t e r2 ，w es e t su pt h ec o n v e r g e n c et h e o r yo ft h ea l t e m a t i n gm e t h o d f o rs 0 1 v i n gh e m i t i a np o s i t i v ed e 丘n i t es y s t e m so fl i n e a re q u a t i o n s ，a n d e s t a b l i s h e st h e c o r r e s p o n d i n gc o m p a r i s o n t h e o r e mo ni t s a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c er a t e o nt h eo t h e rh a n d ，w ei n t r o d u c et h ec o n v e r g e n c et h e o r i e sf b r g e n e r a l i z e da l t e r n a t i n gm e t h o d ，p a r a l l e ls y n c l l r o n o u si t e r a t i v em e t h o d sa n d p a r a l l e la l t e m a t i n gs y n c h r o n o u si t e r a t i v em e t h o d sw h e nt h ec o e f f i c i e n tm a t r i x a r eh e r m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i nat h e o r e mo nm ed i s t r i b u t i o no fe i g e n v a l u e sf o r s c h n rc o m p l e m e n t so fg e n e r a l i z e dd o u b i y 出a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i c e s f u t h e r w eg i v eap r o p e r t yo fd i a g o n a l - s c h u rc o n l p l e m e n t so ng e n e r a l i z e dd o u b l y d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i c e s k e yw o r d s ：l i n e a re q u a t i o n s ，a l t e r n a t i n gi t e r a t i v em e t h o d ，h e r m i t i a np o s i t i v e d e f i n i t em a t r i x ，c o n v e r g e n c et h e o r y s c h u rc o m p l e m e n t s i i 电子科技大学硕士学位论文 c ”伍“) c 删” 4 _ 1 一日 名( 4 ) p ( 爿) 彳0 4 o 肘。 a = m n 州l 主要符号表 一维复( 实) 向量集合 疗阶复矩阵集合 矩阵爿的逆矩阵 矩阵一的共轭( 转置) 矩阵 矩阵一的特征值 矩阵一的谱半径 矩阵爿是非负矩阵 矩阵4 是正矩阵 解线性方程组之迭代矩阵 矩阵一的一个分裂 矩阵或向量的2 - 范数： 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学 或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 签名：墓整 日期：劲喀年乜月形日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：星整导师签 日期：刀吐年，j 月名日 第一章引言 1 1 选题背景 第一章引言 随着科学技术的飞速发展，矩阵计算的理论和方法与方程组的求解已 经成为各科技领域处理数学问题不可或缺的强大工具，它是计算数学的一 个重要分支，同时它在系统工程稳定性理论等相关学科，特别是计算机科学 中也得到了广泛的应用 众所周知，科学与工程计算的许多重要领域，如计算流体力学、材料模 拟与设计、电磁场理论、电力系统优化设计、数值天气预报及核爆数值模拟 等最后常常归结为解一个或一些大型稀疏矩阵的方程组的求解问题，线性 方程组的求解成为计算数学中数值代数研究的核心之一 大量经验表明，在以上物理问题的数值模拟中，求解线性方程组所需要 的时间在整个问题的总计算时间中往往占很大比重，有时甚至达到百分之 八十，成为整个计算中的瓶颈，从而探讨其高效解法十分重要解线性方程 组可以分成直接法和迭代法两种直接法有在不计舍入误差的情况下能得 到准确解的优点，但当系数矩阵的条件数很大时，舍入误差的影响常引起所 求出的解与准确解相差甚远，而且直接法一般内存要求与计算时间均很大， 所以虽热近年来还有关于直接法的少量研究，但对迭代法的研究已经成为 主流 迭代法不仅易于控制，而且存储需求与每步迭代的计算量都很少，尤其 是迭代法对稀疏性充分利用的潜力，只需知道系数矩阵与向量乘积的计算 法则，而不必知道具体系数矩阵就能求解相应线性方程组的能力更是直接 法所无法比拟的 迭代法的种类很多，而且每种迭代法都有自已的优势与不足。由于方程 组的系数矩阵类的多样性，这就要求迭代法有更广泛的适应性，我们理想的 迭代法就是能在各种线性系统中使用，也就是能尽量多的适合各种系数矩 阵类 为求得一个给定线性方程组的解我们经常选用合适的迭代方法求其近 似解交替迭代法就是个行之有效的解决线性方程组的迭代方法自】9 9 7 年，b e n z i 和s z y l d 【1 l 给出了交替迭代法更加简洁的迭代格式以后，很多学者 电子科技大学硕士学位论文 对交替迭代法做了很多深入的研究此外，随着计算规模的增大。求线性方 程组的存储需求与计算量加速增加，并行计算势在必行因此交替迭代法结 合矩阵的多分裂，形成了并行同步迭代法、并行交替同步迭代法等更加行之 有效的方法目前，对交替迭代法的研究主要集中在当系数矩阵是非奇异的 单调矩阵，对称正定矩阵等本文试图从更广泛的矩阵类一一h e m i t i 蛐正 定矩阵这一重要的特殊矩阵的条件下了来研究交替迭代法和相应的一些性 质 对于一个给定的矩阵类，我们常常感兴趣的是该矩阵类被它们的子矩 阵或与原矩阵相关的矩阵继承的某些重要的性质和结构c a r l s o n 和 m a r k h a m 证明了严格对角占优矩阵的s c h u r 余仍是严格对角占优矩阵，这种 性质经常被用于数值分析迭代法的一致收敛的研究【2 1 文献【3 】和【4 】分别证 明了严格双对角占优矩阵的s c h u r 余和严格广义双对角占优矩阵的s c h u r 余 的继承性 另外，矩阵特征值的估计在数学理论和应用中一直是非常重要的课题， 国内外学者得到了许多著名的结果( 参见【5 】【6 儿7 】) 而对矩阵的s c h u r 余的 特征值的讨论却比较困难1 9 9 2 年r l t s m i t l l 在文献【8 】中给出了一个非正定 h e r m i t i a n 阵的s c h u r 余的交错定理最近，刘建州和黄云庆【9 】得到了h 矩阵 和对角占优矩阵s c h u r 余的一些性质本文将把这些已有的性质拓广到广义 双对角占优矩阵中，同时给出广义双对角占优矩阵s c h l l r 余的继承性 1 2 交替迭代法概述 迭代法一股可以表述为： 工( ) = 婊。1 ) ，卜0 1 ，七= ，z + 1 ， ( 1 1 ) 其中纯称作迭代算子，x ( 。”，x ( h ) 为迭代初值，通常称迭代法( 1 1 ) 为，步迭 代法；，= l 时，亦称为单步迭代法如果迭代算子钦与七无关，即纯；伊，则 称迭代法( 1 1 ) 为定长迭代；否则称为不定长迭代 下面讨论单步定长迭代法： ) = 戤( 扣1 ) + c ，j = l ，2 ， 一 ( 1 2 ) 其中r 称为迭代矩阵，工称为初值 定义1 1 i 1 0 1 如果存在x r 1 ( c “) ，使得对任意的初值x ( o ) 科f c ”1 ，由 2 第一章引言 迭代法( 1 2 ) 产生的序列f 工( l 。都收敛到矗即 ，i = 1 l i m x ( ) ：x i _ 则称迭代法( 1 2 ) 是收敛的；否则称之为发散的 如果迭代法( 1 - 2 ) 是收敛的，则必有 x = 戤+ c 记 “o ) = x o ) 一z 则易证 一= 矿， 由此可知，迭代法( 1 2 ) 收敛的充要条件是 1 h r = o 田 定理1 - 1 【1o l 迭代法( 1 2 ) 收敛的充要条件是 p ( r ) 1 设给定大型稀疏线性方程组 彳x = 6 其中a 和6 已知，x 是未知向量现在我们讨论如何来构造迭代法来求解方程 组血= 6 的解 现考虑爿= m 一是爿的一个分裂，那么我们可以得到如下迭代过程： z ( + 1 ) = f “1 麒砷+ ，1 6 ，_ j = o ，1 ， 根据定理1 1 可知当p ( m 一1 ) o ( ，出o ) o 为零矩阵，对一，占c “”，用 爿 b ( 一b ) 来表示( 彳一b ) o ( ( 一一口) o ) 定义2 1 1 1 0 i p 卅设口c 嗍，若b = 占打，则称且是h e r m i t i a n 矩阵 定义2 2 设占e c 黼是h e r i n i t i a n 矩阵，对任意向量x c “且x o ， 若，麻 o f ，擞0 1 ，则称四是正定矩阵( 半正定矩阵) ； 若z “盘 o f x ”出0 1 ，则称曰是负定矩阵( 半负定矩阵) 2 1 2 主要结论 在介绍主要结论之前，我们先给出几个重要的引理 引理2 1 【3 5 1 设一= m 一c “”是一的一个分裂，其中爿和m 是非奇 异矩阵，h = m _ 1 假定一是h e r m i t i a n 矩阵且 + 是正定矩阵，那么 户( h ) o ，则 称这个分裂为p 一正则分裂( 见 3 6 】) 在介绍主要结论之前，我们先给出两个重要的引理 引理2 6 f 1 2 1 设爿c 是h e r m i t i a n 矩阵，一= m 一是爿的p 正则分裂， 那么8 一”2 m 一1 m 一啦8 1 当且仅当爿c “1 是正定矩阵 引理2 7 1 7 1 设c 是h e r m i t i a i l 正定矩阵， m ，f ，与) 乏。是a 的一个 多分分裂如果多分裂中的每一个分裂一= 蝎一m ( z = 1 ，2 ，p ) 是p 一正则分 - 1 2 - 第二章h e m i t i 8 n 线性系统迭代法的收敛性理论 裂且权重矩阵满足马= 口f ，这里q ( ，= l ，2 ，p ) 表示数量令 g = ：。岛何1 ，= 二与何1 m ，那么g 是非奇异矩阵彳= g 一( g “日) 是p 正则分裂 2 2 2 主要结论 ( 一) 广义交替迭代法 我们令 ) = ( 何1 ) m ”， ( 2 3 ) 其中f = 1 ，2 ，p ，七= o ，1 ， 用这个记号和固定向量r ( “，我们可以将广义交替迭代法( 1 1 0 ) 写为如下 形式： x “9 = n & 肿1 时z ”+ r “ ( 2 - 4 ) 定理2 4 设爿e c 是h e n n i t i a n 正定矩阵， m ，f ，局) ：。( f = 1 ，2 ，p ) 是 4 的一个多分裂若每一个分裂爿= m 一f ( z = 1 ，2 ，p ) 是p - 正则分裂且权重 矩阵满足岛= ，这里嘶( z = 1 ，2 ，p ) 表示数量，那么对任意给定的初值 z ( 0 ) ，广义交替迭代法( 1 1o ) 都收敛到方程组出= 6 的唯一解 ，p、 证明：显然我们只要证明p i 】了& p m - ) i 仆可 ，= 1 令 i 弦1 4 = m a x 硼圻1 m 0 川，2 ，p ) ， 根据已知条件4 = m 一f 是p 正则分裂，那么由引理2 6 可知，存在一 个非负常数岛 o ，1 ) 使得 一1 3 p r ， _ 一 m ，n h + p日、 h 阻 有则 电子科技大学硕士学位论文 p ( 府一1 ) 2 = 户( 彳啦舫一1 丙_ 邶) 2 = 忙”2 盛一1 丙_ 一牡1 1 2s 砰， = i i 彳蜘( 庸- 1 ) 二( f 砷一一班i j i i i 爿v 2 ( - 国r 一1 膏) 爿一v 2 l i ：i ( l t ) p ( 府1 膏) 一中峥岛 1 从而 p ( 冉，+ 。 = p ( 再& 川枷爿雌 s 忙啦再删彳中忙q - 这样我们就证明了这个定理 如果在广义交替迭代法( 1 - 1 0 ) 中，我们考虑( ，i ) = m ( ，= l ，2 ，p ) 时的 特殊情况，也就是说每一个迭代的迭代次数仅与本身的分裂有关，与整体的 迭代无关，那么我们可以得到下面的推论 推论2 1 设一c ”是h e r m i t i a n 正定矩阵， m ， ，局 ：。( z = l ，2 ，p ) 是 4 的一个多分裂若每一个分裂一= m m ( ，= l ，2 ，p ) 是p - 正则分裂且权重 矩阵满足骂= 嘶，这里啦( ，= 1 ，2 ，p ) 表示数量如果( ，i ) = h ，那么对 任意给定的初值z ( o ) ，广义交替迭代法( 1 1 0 ) 都收敛到方程组出= 6 的唯一 解 ( 二) 并行同步迭代法 为了讨论方面，我们给出下面几个矩阵 r ( ，七) = 艺岛玛( 肛七) ，蜀( ，i ) = ( 圻1 j ) 7 何1 ， pf ( ，女) 丁( 从i ) ：杰蜀互( ，七) ，巩啦) ：( 坷- f ) 彬 通过直接计算，可以得到如下关系 丁( ，_ j ) = ，一胄( ，i ) 4 ，巧( ，i ) = ，一马( ，i ) 一 m o 匹， 怛 f r 硝 p 啊 聊 一 觚m 申 q 刘i刮l 第二章h e 珈i t i a n 线性系统迭代法的收敛性理论 那么 由一c “”是h e r m i t i a n 正定矩阵可知爿- 1 存在，所以 墨( ，i ) = ( ，一写( ，七) ) 设局( ，七) 和r ( 肚| j ) 是非奇异矩阵，且定义 岛( ，j j ) = 马( ，七) ，c j ( ，七) = 墨( ，七) - 1 写( ，i ) ， b ( ，j j ) = r ( ，七) ，c ( 肛| j ) = 胄( ，j j ) - 1 r ( ，七) 爿= 马( ，i ) 一c ? ( 卢，七) = b ( ，j ) 一c ( ，| j ) 现在我们来确立并行同步迭代法的收敛理论 定理2 - 5 设一c 是h e m i t i a n 正定矩阵， m ，岛) ：l ( ，= 1 ，2 ，p ) 是 彳的一个多分裂若每一个分裂爿= m 一( ，= l ，2 ，p ) 是p 正则分裂且权重 矩阵满足骂= 嘶，那么对任意给定的初值0 ”，并行同步迭代法( 1 1 1 ) 都收 敛到方程组血= 6 的唯一解 证明：利用给出的记号，并行同步迭代法( 1 1 1 ) 可以简单地表示为下列 矩阵向量的形式： “1 ) = 丁( ，i ) 工( ) + 胄( ，七) 6 ， i = 1 ，2 ， ( 2 5 ) 我们断言r ( ，i ) 是非奇异矩阵，那么彳= b ( ，七) 一c ( ，j j ) 存在，而且， 分裂爿= 目( 从j i ) 一c ( ，七) = b ( ，j j ) 一c ( ，j ) ( ，= l ，2 ，p ) 是p 正则分裂 事实上，由于 马( ，j j ) = ( j 一互( ，j ) ) 一， 因此，若p ( 巧( ，七) ) o ，则爿= 与，】 ) 一g ( ，_ j ) 是p 正则分裂 由假定爿= m m 是p 正则分裂和引理2 6 ，可知存在一个非负常数 岛 0 ，1 ) ，使得 p ( m 。1 ) 2 = p ( 一啦m 。1 m 爿牛) 2 = 忙啦m 。1 川一一牡j 1 2 彰， 因此 乃( 础) 叫斗”2 ( 卅f ) m q 叫j = l | ( 一牡( 何1 ) 卅删0 胪( 何1 f ) 彳一啦旷。( 何1 f ) 彳一啦b o 所以，4 = 马( ，l j ) 一g ( “| j ) 是p - 正则分裂 再由引理2 7 可知，胄( ，七) 是非奇异矩阵，且分裂= 召( 肚j i ) 一c ( ，后) 是p 正则分裂 再次根据引理2 6 可得 p ( 丁( 麒j j ) ) = p ( b ( ，七) - 1c ( ，后) ) = p ( 爿牡( 曰( ，七) 1c ( 卢，i ) ) 爿一”2 ) l 卜啦( b ( ，j ) 一c ( 胁- j ) ) 爿一班8 ， 对任意的岛，和( ，| j ) 都成立 第二章h e 珊i t i 肌线性系统迭代法的收敛性理论 综上可得，并行同步迭代法对任意给定的初值x ( o ) 都收敛到方程组 出= 6 的唯一解证毕 类似于广义交替迭代法的讨论，我们在并行同步迭代法( 1 - 1 1 ) 中，同样 考虑( ，七) = “( ，= 1 ，2 ，p ) 时的特殊情况，便可以得到下面的推论 推论2 2 设一c “”是h e 埘i t i a i l 正定矩阵，( m ，蜀 ：1 ( ，= 1 ，2 ，p ) 是 4 的一个多分裂若每一个分裂4 = m 一，( f i l ，2 ，p ) 是p 一正则分裂且权重 矩阵满足目= 嘶j ，这里( ，= 1 ，2 ，p ) 是数量如果( ，| j ) = h ，那么对任 意给定的初值x ( ”，并行同步迭代法( 1 1 1 ) 都收敛到方程组血= 6 的唯一解 ( 三) 并行交替同步迭代法 类似于并行同步迭代法，我们首先给出下列矩阵： f ( 鸬j j ) = 岛碍( ，七) ； 耐( 时) ：( 异一- q ) 哪) 尝1 ( 何，川) 何t + 笠1 ( 彳z q ) i 异_ 1 r ( ，七) = 骂乃( ，j j ) ； 矾，七) = ( 异一1 q j ) 哪( 何1 川) 肌 于是可得下列矩阵关系 r ( ，七) = j r ( ，七) 爿，写，( ，七) = 一碍( ，七) 爿， 碍( ，| j ) = ( ，一巧( ，七) ) 一 假定碍( ，七) 和掣( ，| j ) 是非奇异矩阵，定义 爿( ，i ) = 碍( 肛i ) ；q ( ，后) = 耳( ，i ) 。巧7 ( ，i ) ； b ( ，七) = r ( ，七) ； c 7 ( ，七) = r ( ，七) - 1 丁( ，七) 那么 爿= 耳( ，j ) 一q ( ，i ) = b ( ，七) 一c ( ，_ i ) 电子科技大学硕士学位论文 现在我们来给出并行交替同步迭代法的收敛理论 定理2 6 设彳c 是h e m i t i a n 正定矩阵， m ，马) 二 和 弓，q ，局 三，是爿的两个多分裂若z = 鸩一= 弓一q ( f - 1 ，2 ，p ) 都是p 正则分裂，且局= q ( ，= 1 ，2 ，p ) 是权重矩阵那么对任意给定的初值x ( ”， 并行交替同步迭代法( 1 1 2 ) 都收敛到方程组出= 6 的唯一解 证明：类似于定理2 5 ，我们只需要证明 p ( 五( ，七) ) o 令 庸”1 0 = r n a x 0 圻1 川0 或0 日。1 q 护= 1 ，2 ，p ， 则有 删= p q ) 以砷( 何1 f ) “惮矿1 秽。卜以砷 因为彳= m 一= 卑一q 是p 正则分裂，由引理2 6 可知存在一个非负 常数岛 o ，1 ) 使得 p ( 庸”1 ) 2 = p ( 一啦府”1 疵4 一牝) 2 = l 彳犯露川么叩1 1 2 卯， 因此 垆巧协) 叫啼啦( 月1 q ) 呻一( 圻1 f ) m 砷件归( 矿1 秽上卜m 砷叫i = f j ( 爿啦( 庸”1 7 ) 一。啦) 呻。卜“耻i 0 一啦( 庸“1 霄7 ) 彳一啦0 ”。卜“砷 从而 s p ( 庸“) 彳一啦忙岛 p ( 丑) ，称彳为m 矩阵，记 作m 定义3 - 4 m 1 设一= ( ) 为玎阶复矩阵( 爿) = ( 心) 称为4 的比较矩阵， 其中 心= 剖喾 定义3 5 删设爿是非奇异矩阵，如果爿的比较矩阵( 一) 鸩，那么彳 为h 矩阵 令爿c 我们定义： ( 一) = f 啤e o ) ，上( 彳) = f i r e o ，口) ，r ( 彳) = 仁i r e 只( ) ，显然如果g = ( 撑) ，则4 是严格对角占优矩阵 这里我们讨论的矩阵至少有一行是行严格对角占优的，也就是说至少存在 一个f ( ”) ，使得k l 卑( 一) ，即g a 引理3 1 4 1 彳s g d 磷一，则彳( 玛) - 虹、，彳( 心) j s ：d 引理3 2 4 1 爿翻删一，则m g 或n 2 g 引理3 - 3 3 9 1 一c “，b 鸠，( 彳) 曰，则一峨且b - 1 i 爿一1 l o 弓i 理3 4 3 8 1 彳最e 或彳s g d ! q ，则( 爿) 厶，即巩 引理3 5 堋彳= ( 嘞) q ，若所有的( f _ 1 ，2 ，聆) 是实数，且 o ( f = l ，z ) ，气 。 因为所有的嘞( f = l ，2 ，行) 是实数，那么 注意到 咖黜卜”训小妇 n j 一0 i ，o i h) 彳( 口) _ l 彳( 口) 一。 是口所有的主对角元素，所以由引理3 6 ，3 4 ，3 5 和( 3 3 ) 结论得证 定理3 2 设& 趔一， 2 2 ( 3 3 ) h i 川 慨；k i 一 一 初 j = 刖 山；哏 ，。l 、 ； ，。l 证明：( 1 ) 令啊2 ，珏吃= ，石) ，七+ ，吼 ( i ) 啊2 口：此时口7 = 吃，那么 。口2 舭( 口) = 彳( 口) 一 彳( 口：口) ( 口) 一彳( 叩，) 。， 气。 j n 岫) f ，1 ) 彳( 甜) _ l f ；f i o o ( ，) 一( a ) 。1e 1 三，芝三篇篡，者蚓理3 - 知彳( 口) 嘞，因此m ) 对 t 2 l ，2 ，由( 3 - 2 ) 有 ” 。、1 旷“。 卜* 一c 一，。，c 彳c 口，。e j | f 一砉j 气 f 一卜一n r m 训 一2 3 五熏 高=翥篇 一”的 梆磊有做 一= 所 个 仨，一 1。i一言il(i气。i，f。l，c爿c口，1i瞻!： i一f一砉iq饥lci，l，一，f。j，tc彳c口，j1_： 。南a e t。瓦面网僦 m 一言j 一 一h ： 一m ! ； 一k l i j 气。f 一耋l q 以f i f 一砉j 。i 妻i 气 j 妻i a 。 再根据引理3 2 ，当啊g 时，有 k j 孝i | + 委k | 骞k | + | i ； 或当g 时，有 刚 砉+ 砉m 第三章s c h l l r 余的研究 丑皇 进一步，由引理3 5 我们得到 d c t 骂 o ，d e t 彳( 口) o 结合( 3 4 ) 和( 3 1 1 ) ，对t _ 1 ，2 ，有 气。一c气。，气。，cc窿，。三二f一耋i气i。 因此卅。口跛一” ( i i ) = g 我们可以类似得证 ( 2 ) 仿照定理3 1 可以类似得证 一2 5 ，( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 一1 0 ) ( 3 1 1 ) k 叫 七 一 h i l 啦 幢?屯；屯小曹。 1 川叫 h 电子科技大学硕士学位论文 结束语 大型方程组的迭代解法在理论研究和实际应用中具有重要的价值本 文首先对迭代法做了介绍，讨论了当系数矩阵是h e r m i t i a n 矩阵这种特殊矩 阵类时，交替迭代法、广义交替迭代法、并行同步迭代法、并行交替同步迭 代法等迭代法的收敛理论，在理论上获得了一些结果但这方面的工作还不 完善，如何判断这些迭代法是否优于其他迭代法仍是一个需要和值得研究 的问题另外，本文只是针对h e 珊i t i 趴矩阵进行讨论，是否可以将交替迭代 法的适用范围进一步扩张也是非常值得研究的课题之一 接着文章对广义双对角占优矩阵的s c h u r 余和对角s c h u r 余作了简单的 分析研究，给出了广义双对角占优矩阵对角s c h u r 余的一个性质，同时给出 了广义双对角占优矩阵s c h u r 余的特征值分布情况本文只是简单对s c h u r 余的继承性和一些性质进行了分析研究，但是对于其他矩阵类s c h u r 余的继 承性和特性仍是一个有待研究的课题 2 6 塾塑 致谢 首先衷心感谢导师黄廷祝教授两年多来对我细致入微的指导、关心、帮 助和鼓励 本文从选题到完成都是在黄廷祝教授的指导下进行的期间得到了他 悉心的指导和热情的鼓励，我所取得的每一个成绩，每一点进步都离不开他 的指导他严谨的治学态度，渊博的学识，对问题敏锐的洞察力及高尚的人 格都给予我极大的影响，将令我终身受益 感谢应用数学学院所有的老师给我的帮助和鼓励 感谢我的父母和所有与我共度青春的朋友们 2 7 电子科技大学硕士学位论文 【6 】 【7 】 8 】 【9 】 【1 0 】 1 1 【1 2 】 【1 3 】 1 4 】 【1 5 】 参考文献 m b e n z i ，d b s z y l d ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs p l i t t i n g sf o rs t a t i o n a r yi t e r a t i v e m e 恤0 d sw i t ha p p l i c a t i o nt o a l t e r n a t i n gm e t h o d s ，n u m e r i s c h em a t h e m a t 像7 6 ( 1 9 9 7 ) 3 9 - 3 2 1 d c a r l s o n ，t m a r k h a m ，s c h i l rc o m p l e m e n t so fd i a 9 0 n a l l yd o m i n a n tm a t r i c e s ，c z e c h m a t h j ，2 9 ( 1 0 4 ) ( 1 9 7 9 ) ：2 4 6 2 5 1 k d i k r a m o v i v a r i 柚c eo ft h eb r a u e rd j a g o n a ld o m i n a l l c ei ng 明u s s i a ne l i m i n a t i o n ， m o s c o wu n iv c o m p u t m a m c y b e r n e t ( n 2 ) ( 1 9 8 9 ) 9 1 - 9 4 j z l i u ，y q h u a n g ，f z z h 跏g ，t h es c h u rc o m p l e m e m so fg e n e r a i i z e dd o u b l y d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i c e s ，l i n e a ra 1 9 e b r aa p p i ，3 7 8 ( 2 0 0 4 ) ：2 3l 一2 4 4 a w m a r s h a l l ，i o i k i n ，i n e q u a l i t i e s ：t h e o r yo fm a j o r i z a t i o n 锄di t s 印p l i c a t i o n s ， a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 9 m m a r c u s ，b n m o y l s ，o nt h em a x i m u mp r i n c i p l eo fk yf 蛆，c a n a d j m a t h ，9 ( 1 9 5 7 ) ，3 1 3 - 3 2 0 w h n gb y ，z h a n gf z ，s o m ei n e q u a l i t i e sf o r t h ee i g e n v a l u e so ft h ep r o d u c to f p o s i t i v es e m i d e f i n i t eh e r m i t i a nm a t r i c e s ，l i n e 甜a l g e b r a a p p l - ，1 6 3 ( 1 9 9 2 ) ，1 1 3 - 1 1 8 r l s m i t h ，s o m ei n t e r l a c i n gp r o p e r t i e so fs c h u rc o m p l e m e mo fah e r m i t i a nm a t “x ， l i n e a r a l g e b r a a p p 】，1 7 7 ( 1 9 9 2 ) ，1 3 7 1 4 4 j z l i u ，h u a n gy q s o m ep r o p e r t i e so ns c h u rc o m p l e m e n t s o fh - m a t r i c e sa n d d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i c e s 【j l i n e a ra 1 9 e b r 8a n di t sa p p l i c a t i o n s 2 0 0 4 ，3 8 9 ： 3 6 5 - 3 8 0 徐树芳，矩阵计算的理论和方法，北京大学出版社，1 9 9 9 r s v a r g a ，m a t r i xi t e r a t i v ea n a l y s i s ，p r e n t i c e - h a l l ，e n g l e w 0 0 dc l i f f s ，n j ，1 9 6 2 a b e r m a n ，r j p l e m m o n s ，n o n n e g a t i v em a t r i c e si nt h em a t h e m a t i c a ls c i e n c e s 。 a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，19 7 9 r e p r i n t e db ys i a m ，p h i l a d e l p h i a ，p a ，19 9 4 g c s o r d a s ，r v a r g e ，c o m p a r i s o n so fr e g u l a rs p l i t t i n g so fm a t r i c e s ，n u m e “s c h e m a t h e m a t i k4 4 ( 1 9 8 4 ) 2 3 3 5 i m a r e k ，d b s z y l d ，c o m p a r i s o nt h e o r e m sf o rw e a ks p l i t t i n g