（计算数学专业论文）古典风险模型在多发点过程上的推广.pdf

ab s t r a c t i n t h i s p a p e r , a n e w r i s k m o d e l c o m p o s e d o f m u l t i p l e o c c u r r e n c e s r i s k m o d e l i s d e v e l o p e d , a c c o r d i n g t o t h e f a c t t h a t s e v e r a l c l a i m s o ft e n t a k e p l a c e i n o n e m o m e n t i n o u r l i f e . a ft e r d i s c u s s i n g h o w t o t r a n s f o r m i t , t h e n e w r i s k m o d e l i s c o m p a r e d w i t h t h e c l a s s i c a l r i s k m o d e l o n t h e i r l u n d b e r g e x p o n e n t , r u i n p r o b a b i l i t i e s a n d t h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e i r t o t a l s u r p l u s e s . t i m e s o f n e g a t i v e k e y w o r d s : r i s k m o d e l , m u l t i p l e o c c u r r e n c e s r i s k m o d e l , l u n d b e r g e x p o n e n t , r a i n p r o b a b i l i t y , n e g a t i v e s u r p l u s 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、 使用学位论文的 规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国 家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以 赢利为目的的前 提下，学校可以适当 复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 :鹤 茨， 一 一2 刁 b 年 i 1月 儿 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: f 黄 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 一 n 践 m密 5 攘( ilk k ,5 : - 一 ii ,i t - 5 参 奢 一 练艘旗家 * 1 0 s - ( fi t #j14 * z0 1 - ( sr s 黯 tit% j- 10 if )20 -f , - !t 20 t ) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。 除文中己经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均已在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担 。 黄 蕊叮 学位论文作者签名: s . -, d 年f / 月 才 日 第一章 引言 第一章 引言 日 常生活中，有许多的投资行为，在可能赢利的同时，都存在一定的风 险.在保险业务中，最具代表性的就是古典风险模型: u , ( t ) = u + c t 一 艺z t 0 ( 1 . 1 ) 其中 ， u 1 ( t ) 表 示 保 险 公 司 在时 刻t 的 资 产 盈 余 :u , ( 0 ) = u : 。 为 公 司 的 初 始资 产 ; c 0 为 单 位 时 间 内 的 保 费 收 入 ; 扭( ， ) ，: 。 为 一 个强 度 为兄0 为 齐次p o i s s o n 点过程， 表示到时刻t 为止公司收到的索赔次数， 且有n ( 0 ) = 0 ; z k 殊1 ,2 ,3 . 为 一 列 独 立 同 分 布 的 取 正 值 的 随 机 变 量 ， 代 表 第k 次 索 赔 值 的 大小，且与n( t ) 是独立的，p= c - r e z 1 。 兄 五 21 p o i s s o n过程具有 “ 普通性” ，即在充分小的时间段内的跳至多为 1 .换 种说法就是 p o i s s o n过程的一个点只对应一次跳，在这里也就是对应着一次 索赔，古典风险模型的一类很重要的推广是对点过程n ( t ) 的推广，将其定 义为比p o i s s o n 过程更普通的更新过程、 c o x 过程等， 但是这些点过程仍然受 到 “ 普通性”的限制.然而在实际生活中有许多情况并不受此约束，在同一 时刻有多次索赔的情况经常会发生 ( 常见于汽车保险、 火灾保险等) . 这就要 求在推广点过程n( t ) 的时候，也要考虑到对 “ 普通性” 条件的推广，也就 是本文的出发点. 将一般点过程的“ 普通性” 约束去掉后， 就得到了一类点过程， 叫做“ 多 发” 点过程( m u l ti p l e o c c u r r e n c e s p ro c e s s e s ) . 3 中 给出了 多发点 过程的定 义. 定义 1 :如果一点过程在某一时刻的一点对应着一次或多次跳的发生，则定 义 这 样 的 点 过 程 为 多 发 点 过 程 ， 记 为 r ( t ) i f .， 此 时 刻 发 生 的 次 数 定 义 为 对 应这一时刻的点的重数. 由 上面的定义可以 看出一个多发点过程r ( t ) 对应着一个一般的点过程， 第一章 引言 它们的 差别仅 在 于相应点的重数不同. 于是可以 用一个一般的 点 过程n r ( t ) 来表示一个多 发点过程r ( t ) 的点的发生.下面考虑一类特殊的多 发点过程， 即 不 同 点 的 重 数 是 独 立 同 分 布 的 取 正 整 数 值 的 随 机 变 量 m , l = ; ，一 且 与 表 示 过 程的 点的n r ( t ) 是 独 立的. 此时r ( t ) 可以 表 示为下 面的 形式 : n r ( t ) r ( t ) = m , + m z + m n . ( ) =艺m ; ， t 0 ( 1 . 2 ) 用一个多发点过 程r ( t ) 表示到t 为止保险公司收到的索赔次数，我们就得到 了模型 ( 1 . 1 )的一类推广: r ( t ) 其 中 ， (t) 一 逻 m t _0 ( 1 . 3 ) 点扭钊k z 、艺川 u z ( t ) = u + c t 一 艺z k ， k = l 即有: u z ( t ) = u + c t 一 我们称模型 ( 1 . 3 ) 为多发风险模型. 很自 然地会想到是否可以 通过某种变形 将其转化为与模型( 1 . 1 ) 类似的 形式? 4 中考虑了叽( t ) 为 齐次p o i s s o n 过程时相应的古典多发风险模型的转化问题，以及在索赔额服从指数分布的 特殊情况下对普通的古典风险模型与古典多发风险模型进行了比 较.本文在 第二章首先提出了 更为一般的多发风险模型并将新的模型进行了 转化，把这 个新模型化成了与模型 ( 1 . 1 ) 类似的形式: 在第三章中对索赔额服从一般分 布的 情形对普通的 古典风险模型与古典多发风险模型在破产概率、 l u n d b e r g 指数、存活概率等方面进行了比较;在第四章给出了古典多发风险模型负盈 余持续时间的计算方法并与古典风险模型负盈余持续时间加以比 较.从而得 到了 不论是 破产 概 率， 还是l u n d b e r g 指数、 存活概率、 负盈余 持续时间等都 更加与实际相符的结论. 第二章多发风险模型及其转化 第二章 多发风险模型及其转化 下面考 虑n r ( t ) 为 一 个一 般点过程时的情况， 事实 上， 当n r ( t ) 为一 个 一般点过程时，模型 ( 1 . 3 ) 就是本文所要给出的多发风险模型. 首 先 给 出 几 个 已 知 条 件 : lz k 1 1 1 ,2 ; .服 从 分 布 p z ( z ) ， 且 有 p z ( 0 ) = 0 ; 伽， 从2. . 服 从 分 布 u i, i = 1 ,2 , , . , ; 且 设 。 - e n, ( t ) t e z , - e m, 0 . 引 入 随 机 变 量 列 x . 1 .,= ,2 . ， 其 中 扭 ， 定 义 为 x mj + 1 城艺1:1为 =化 于是模型 ( 1 . 3 ) n r ( t ) u 3 fit ) 二 。 + c t - 艺 x k ， 0 ( 2 . 1 ) 模 型( 2 . 1 ) 与 ( 1 . 1 ) 在 形 式 上 已 经 完 全 一 样 ， 关 键 还 要 看 风n- 1.2 :. 是 否 具 有 独立同 分布的 性质. 任取正 整 数m , n ， 满足1 _ m_ 0 , u , ( t ) 0 , u , ( t ) 0 ) 分 别表示 模型 ( 1 . 1 ) 和 ( 2 . 1 ) 的破产时间: w , ( u ) = p t , 1 ， 否则两模型就相 同了. 1 n ( t ) 和n r ( t ) 为齐次p o i s s o n 过程 令n ( t ) 服从指 数分布 和叽( t ) 分别为具有参数a 和心的 齐次p o i s s o n过 程，由 上述前 提知兄 和人满足: 几 = a r - e m, 当 z , 和m ， 服 从 两 点 分 布 时 在 4 中 进 行 了 初 步 讨 论 ， 下 面 我 们 对 具 有 任 意 分 布的 乙和m ， 证明 下 面的 结 论 : 结论1 : r , r z . 证明:因为r r z 分别满足下面的基本方程 第三章新旧模型的比较 a + r c = a ( ( r ) + 1 ) 人+ r c = 人( 气( r ) + 1 ) 将a = 心. e m: 和h 2 ( r ) 的 定义分别代入 ( 3 . 1 ) 、 ( 3 .2 ) 得 ( 3 . 1 ) ( 3 . 2 ) ae m, =a( r i ) r 2 会 一 客 p (a (r 2) + 1) ” 两式相除得 e m, = ( h , ( r 2 ) + 1 ) 一 1 ) / r 2 h , ( r , ) / r , 。艺间 = h , ( r 2 ) / r , h , ( r , ) / r , 艺p 艺( h , ( r 2 ) + 1 ) ( 3 . 3 ) 由h , ( r ) 的定义知a ( r 2 ) 。 ，故 艺 ( h , ( r 2 ) + 1) n ，因而要使得( 3 . 3 ) 中的等式成立，必须有 np .艺间 -一 1 -0 而e m, 4( r 2 ) r 2 ,(r,) r , ( 3 . 4 ) 又由于当r 0 时，有 业) = 粤 r (二 一 、十 1dp z (z ) r/尸 二二， _， 、 二. ， ，二。， 。. _ 、“ ; 田 : ， .工二*二.h , ( r ) *二、 及 函 数 (“ 一 )q s 十 于 区 fal 0 ,间上 单 调 递 增 ， 于 是 有 函 数 半 在 区 间 ( 0 , + o o ) 上严格单调 递增. 于是由 ( 3 .4 ) 知 结 论 成立，即r , r . 结论2 : 0 , ( u ) 再 ( u ) , u 0 . 第三章 新旧模型的比较 证明: 令g , ( x ) =劣r (1 一 p z ( z )dz ,g 2 ( x ) 乙乙1，丑 丫 ， r (1 一 p x (z ) dz ， 则 有 g , ( 0 ) = q( 0 ) = 0 . 由 于p z ( 0 ) = 0 ， 于是对充分小的z 有p z ( z ) o , x o .同理可证:g 2 ( x ) 0 , x 0 . 下面先证明一个引理: 引 理1 : 设f ( x ) , g ( x ) 均为 o , + o o ) 上的 分布函数， 若g ( x ) - f ( x ) , x e o ,+ o o ) , 则 对 任意正整 数n 有g * ( x ) z f ( x ) . 证明:当n = 2 明，有 g 2 ( x ) 二 f g (x 一 y )d g ( y )f f (x 一 y ) d g (y ) 一 f g (x 一 ， )d f (y ) f f (x 一 y ) d f ( y ) = f 2 ( x ) . 利用数学归纳法易 证对任意正整数n 有g * ( x ) - f m ( x ) 二 由b e e k ma n公式得 0 1(u ) 一 c - a e z , t p .e z , 丫 g m (u ) c =o c j 、 (卜 c - .1c e x , j ( are x , )n g 2(u) ( 3 . 5 ) ( 3 . 6 ) 由a 二 人 e m e x , = e z , - e m 、 和引 理1 知 要证0 1 ( u ) 0 2 ( u ) ， 只 需 证明 至少 存在一个k - 0 ，使得 g ,k * ( x ) ? g 2 k * ( x ) , u 0 .( 3 .7 ) 第一 步 : 先证g , ( u ) 2 g 2 ( u ) , u 0 . 为此我们引入函数的完全单调性的概念及几个引理. 定义2 : 称函 数f ( s ) , s 。 完 全单调， 如果它的各阶导数f ( ) 均存在， 并且有: 卜1 ) f ( ) ( s ) ? o , s 0 ， 其中n 为it 整数. 引理2 :函数f ( s ) 完全单调的充分必要条件为存在 0 , + a o ) 上的分布函数 g ( x ) ，使得 f (s ) 一 r e - d g (x ) 第三章新旧棋型的比较 引 理3 : 若函 数f ( s ) 完 全单调，c 为正数， 则f ( s ) + c , c f ( s ) 也完全单调. 引 理4 : 若函 数f , ( s ) , 凡 ( s ) 完 全单 调， 则( f , + 凡 ) ( s ) , ( f , 凡) ( s ) 也 完 全单 调 引 理5 : 若 伍 ( m . ,2 : . 是 完 全 单 调 序 列 ， 而 艺f , ( s ) 可 任 意 阶 逐 项 求 导 ， 则 艺 f , ( s ) 也 完 全 单 调 . 引理2 的证明可参看 【 5 ，引理3 , 4, 5 的证明比 较简单，在这里我们不 作证明. 邮 理 “ 可 知 ， 只 需 证 明 b e - (g , (x ) - g 2 (x )d x 完 全 单 调 ， 即 可 推 出 g , ( x ) z g . ( x ) ， 而 f e - (g ,( x ) 一 g z (x ) d x e z if (1一 。 () 一 _ 1ex , : (，一 。 (z)dz ldx reseseses.1 嘴 e 尸工 -一 一 一 ( 1 一 p ( s ) ) - e z , s 习一( 1 一 p ,. ( s ) ) e z , s , 一 1e x ,s2 i n p ( 1 一 人 ( s ) ) 一 ep a 一 。 () = 1 二 t ， 。 丈 么 叹 , s一. - i ( 1 一 p z ( s ) ) (1 - p z( s ) 断 .1 月. 产 -, e x , s 艺p . ( 1 一 凡 ( s ) ) 2 艺艺匆( s ) 1 . 1 , . o 一 亩 客 ， 坦 羚 2 )(一 1卜 (一 2)p , (,)+ (。 一 3)p,2(s) + 十 。 一 (:) (3 .8) 由 引 理2 知真 ( s ) , 人( s ) 均 完 全 单 调 ， 从 而 由 引 理3 、 引 理4 知 ( 。 一 1) + ( 二 一 2 ) 凡 (s ) 十 (n - 3 )凡 2 (s ) 十 十 砂 一， ( s ) 也 完 全 单 调 ， 而 上 二 丝 经 计 算 可 知 是 ( ， 一 p z ( z ) 的 l a p la c e - s tie ld j e s 变 换 ， 从 而 也 是 完 全 单 调 的 ， 故 ( 二 p z ( s ) 、 z i(n - 1) + (。 一 2 )丸 : ) 十 。 一 3 ) p z (s ) + 十 勿 一 s ) l 完 全 单 调 . 、s- 因为对b k 0 ，有 第三章新旧模型的比较 .州川 np i(1一 “ (。()一 1 一 p x ( s ) n 客 np n(i p iki (.,)i+ ip zki(s)i) 一 e m , (ip z k l ( s )卜 ip x k ,(s )卜 - g z ( u ) , u 0 得证. 第二 步:已 知g , ( u ) - g 2 ( u ) , u 0 ， 证明结 论2 成立. 若q( u ) 仇( u ) , u 0 ， 则( 3 . 5 ) . ( 3 .6 ) 式引 理1 即可推出鹤 ( u ) 盛 ( u ) . 若 存 在。 0 ， 使 得g , ( u ) = g 2 ( u ) ， 则 令u , = i n f 扣 ; u 0 , g , ( u ) 二 g 2 ( u ) ) ， 易 知 u , 0 ， 因为 当 正 数u 充分小 时， 1-p, ( u ) 于是对某一正整数 n o 1 , p n o 0 ， 有 n o ( 1 一 p z ( u ) ) p n , p n o ( 1 - 砂, ( u ) ) p n . ， 于是 g , ( u ) 一 认( u ) e 丫 if 鑫 ，一 p z (x )， 一 “ 一 p i * (x )jp dx 0 即“ ， 。 . 由p z ( 0 ) = 。 和g , ( u ) 的 定义知一定 可以 找 到一 个正数u 2 ， 满足1 一 p z ( u ) 在 0 , u 2 1 上大 于0 ， 即q( u ) 在 0 , u 2 上 严 格单 增. 令u o = m i n l u i , u 2 j ， 下 面 分 两 种 情 况 证 明 结 论 : ( 1 ) 当0 人( u ) ( 2 ) 当u _ u 。 时， 令u = m u o ， 其中k g z 伴( u ) _ g z g 2 * ( u ) = g (k + lr ( u )2 所以由 ( 3 . 5 ) , ( 3 .6 ) 式即 可推出y . ( u ) 9 z ( u ) 的结论成立. 1 0 一 第三章新旧模型的比较 2 n ( t ) 和n ,q ( t ) 为c o x 过程 令n ( t ) 和n r ( t ) 分别 具有底 测度a ( t ) 和a r ( t ) 的c o x 过程， 则n ( t ) 和 n r ( t ) 可 以 表 示 为 n ( a ( t ) ) 和n ( a r ( t ) ) ， 其 中 k ( t ) 和n r ( t ) 都 是 标 准p o i s s o n 过程，a ( t ) 和a r ( t ) 为定义 在概率空间( s 2 , 3 , p ) 上的扩散随 机测度，a ( t ) 与 n ( t ) 和 a a ( t ) 与 n r ( t ) 都 是 相 互 独 立 的 ， 且 假 设 a ( t ) = a r ( t ) - e m , . 这种情况下我们考虑模型 n ( t ) u , ( t ) = u + ( 1 + p ) e z ,a ( t ) 一 艺z k , t _ 0 和利用多发点过程r ( t ) 构造的模型的变型 u (t)3= 。 + 。 十 ， )二 。* ， 。 ) 一 逻 x k t 。 ( 1 . 1 ) ( 2 . 1 ) 其中p 为一正数. 令 必( u ) = p i o f u , ( t ) r , . 证 明 : 由 上 面 的 说 明 我 们 可 知 r r z 分 别 满 足 下 面 的 方 程 : 1 + r ( 1 + p ) e z , = k ( r ) + l 和 1 + r ( 1 + p ) e x , = 气 ( r ) + 1 将h 2 ( r ) 的 定 义 代 入 ( 3 . 1 2 ) 中 有 r , ( 1 + p ) e z , = a , ( r , ) ( 3 . 1 1 ) ( 3 . 1 2 ) r , ( i + p ) e z , - e m , = y-p ( h , ( r 2 ) + 1 ) ” 一 1 两式相除得 e m, = p n ( ( r z ) + 1 ) 由1 中 的 结 论1 的 证 明 可 知 结 论r , r z 成 立 二 结 论2 : 仄 ( 。 ) 属 ( u ) , u 0 证明 : 分布函 数q ( 称g 2 ( x ) 的 定 义与1 中 相同 . 由 于模型( 1 . 1 ) 与c = ( 1 + p ) e z a = 1 时的 模型 ( 1 . 1 ) 具有 相同的 破产概 率，故由b e e k m a n 公式有 0 , ( u ) = ( 1 + p ) e z ， 一 e z , ( 1 + p ) e z , 宁 r - we . e z ,丫 g , (u ) 漏戈 ( 1 + p ) e z , ) 一p 了 牛 二 t +p -i t +p g , ( u ) ( 3 . 1 3 ) 同理可得 二 ， _、( 1 十 p ) e x , 一 e x , r 甲, t ut = - 7 . . ( 1 + p ) e x , -= o l g z ( u ) _ p 矛1 -e f . . 丁 ， -一2山丁 厂 -z l 1 1 + p-. 二 o ( i 十pi ( 3 . 1 4 ) 将( 3 . 1 3 ) , ( 3 . 1 4 ) 和 ( 3 .5 ) , ( 3 .6 ) 式比 较后我 们不难看出1 中 结论2 的 证明 方法 这里仍然适用，由于篇幅关系这里就不再详细证明了. 结论2 证毕二 经过上面两 种 情况的 讨论我们可以 看出:当n ( r ) 和n r ( t ) 为 齐次p o i s s o n 一 1 2 一 第三章新旧棋型的比较 点过程时， 用r ( r ) 表示保险公司到时刻r 为止收到的 索赔次数而建立的风险 模型 ( 2 . 1 ) 与 古 典 模 型 ( 1 . 1 ) 有 着明 显的 差 异， 即 其调 节 系 数r z 要比 相 应的 古 典 模型 的 调节系数r ， 小. 换句话说 也就是 模型 ( 2 . 1 ) 的最终破产概率的 上界要比 模型 ( 1 . 1 ) 的 大. 此外我们 还进一步 得出了 模型 ( 2 . 1 ) 的 最终破产概率大 于模型 ( 1 . 1 ) 的 结论 当n ( t ) 和n r ( r ) 同 为c o x 点 过程时， 我们对模型( 1 . 1 ) 和模型 ( 2 . 1 ) 进行了比 较， 结果得出了 与前面相同的结论， 即在单位时间内 索赔次数 相同 和单个索赔分布相同的 前提下， 模型( 1 . 1 ) 无论是破产概率的上界还是破 产概率本身都要比 模型( 2 . 1 ) 的大. 因此我们在建成立模型时， 如果忽略了 区 分是否用多发点过程的问 题，就会最终影响到我们对保险公司破产概率的估 计. 第四章 新模型的负盈余持续时间分布的计算 第四章新模型的负盈余持续时间分布的计算 为了 进一步 验证模型 ( 1 .3 ) 与 模型( 1 . 1 ) 的差别， 我们将计 算n r ( t ) 为具有 参数a r 的齐次p o i s s o n 过 程时 模型 ( 2 . 1 ) 的负 盈余持续时间分 布， 并与 模型( 1 . 1 ) 的相应结果进行比 较.在进行具体计算之前，现在先来看一下有关古典风险 模型的负盈余持续时间分布的一些已知结论( 见 7 l ) . 令yv , ( u ) 二p i t , 0 0 i u , ( 0 ) = u l 为 模 型 ( 1 . 1 ) 的 初 值 为 。 的 最 终 破 产 概 率， t , 为 破产时 间， 则0 , ( u ) = 1 - w , ( u ) 为生 存概率; 令 g , ( u , y ) ” p i t , - y i u , ( 0 ) = u 表示公 司从初始资 产u 破产 且破 产时公司的 亏空不 小于y 的 概率;记 h , ( u , y ) = g , ( u , y ) w , ( u ) ， 表 示 在 破 产 条 件下y , 的 分 布函 数 :ti = 1 ,2 , . - - , n , 为公 司 第i 次 达到 负盈余的持续时间， 其中n , 为公司 发生负盈余的 总次数，由 不 破 产 原 则 知 拭 。 的 指 数 分 布， 即p z ( z ) = 少一 气凡( t ) 是 第四章新模型的负盈余持续时间分布的计算 具有 参数a r 的 齐次p o i s s o n 过程;r ( t ) 的点的 重数城服从两点分布 )， ， + 。 一 1; 且 设 ， p 9 j = c - a r ( p + 2 丝 / ,6 。 心( p + 2 4 ) l 刀 对模型 ( 2 . 1 ) 我们定义相应的符号 如下: w ( u ) = p t 叫矶( 0 ) 二 u 为初值为u 的 最终 破产概率， 其中t 为破 产时间; 沪 ( u ) = 1 一 v ( u ) 为生存概率; g ( u , y ) = p t - y! 矶( 0 ) = u l ; h ( u . v 卜旦 ( u , y ) ， 表 示 在 破 产 条 件 下 破 产 时 公 司 的 亏 空 y 的 分 布 函 数 ; wt u ) 元j = 1 ,2 , . . ., n 为 公 司 第i 次 达 到 负 盈 余 的 持 续 时 间 . n为公司发生负盈余的总次数，则由 不破产原则知n o o ; tt二 t + t 2 + - 二 十 t为 公 司 负 盈 余 持 久 续 的 总 时 间 . 由 上 面 的 己 知 条 件知 戈的 分 布 密 度函 数 为p x ( x ) = ( p 十 4 , cq， q为 任 意 常 数 故有c , = 0 ，所以 ( 4 . 1 4 ) .由 于( 4 . 1 3 ) 具有边界条件 g ( u ) = q e + c , e ( 4 . 1 5 ) 将( 4 . 1 5 ) 和g ( u ) = c ,r e + c z r 2 e “ 代入( 4 . 1 0 ) 后有 第四章 新模型的负盈余持续时间分布的计算 c ,r e 十 c z rz e ， 一 a (c ,e * + c 2 e ) = - a r (c i (“一 ，+ c z e s ( - ) ( p + q ,6 z ) p e - i d z + 主 ( 1 十 g j6 ( u + y ) ) e -a (v + y ) 一 ( 1 + 咖) e - fl a ( 4 . 1 6 ) 展开并化简后得 c( r ,c z (。 一 与 。 ， ，.lesesj 明 心 二 a c ,18 ( r + / 3 ) ( p + q f u ) + q 6 ( r , + 刀 ) 2 e - 脚一an+ 刀 ) + 叨 ( r , + 那z 又_ 十一七2 p c ( r 2 + ,(3 ) ( p + g jo u ) + q o e ， 一 p ( r 2 + ,6 ) + q f ( r 2 + ,6 ) 2( r 2 + q ) , 十 主 ( 1 十 护 (。 + ， )。 ， ， 一 ( 1 + q ,3u )e -e u 】 ( 4 . 1 7 ) 分别比 较( 4 . 1 7 ) 中 c , p e - r 和u e - fl . 的系数有 p r , 十刀， ，刀 r ， 十p 丁 一 一 ， : 二 了十c e p寸，太2= l r + l 3 ) 一l r 2 +p1 1 一 ( 1 + q iy ) e - .6y( 4 . 1 8 ) ,6 。 . fi 。_ i ,. - b y - - ， 二1 了- - 甲 一 万2一且 一 r , 十p r 2 十p ( 4 . 1 9 ) 解方程组( 4 . 1 8 ) 和( 4 . 1 9 ) 可得: c , = c z = ( r , + ,0 ) 2 r 2 一 ( r 2 ( 1 + )6 y ) + ,6 2 y ) e - p r ( r 2 一 r , ) 刀 2 ( r 2 + )6 ) 2 r , 一 ( r , ( 1 + 脚) + 8 2 y ) e - 9 r i ( r , 一 r 2 ) 声 2 故g ( u , y ) 的具体表达式也己 求出. 下 面 令 p = ; 一 。 .5 , 刀 一 i a = 粤 p = 3 前面的结果可得: r , = 刁.0 6 8 5 9 2 7 , r 2 =- 1 . 3 2 5 3 5 c , = -0. 9 1 4 8 6 8 , c 2 = 0 . 0 0 5 7 7 7 2 4 0 . 1 ， 则c = 1 . 1 , p ， 二 1 . 5 1 p 2 = 4 , a = 1 5 .由 0 .9 1 4 8 6 9 一 ( 0 . 9 1 4 8 6 9 + 0 .2 2 4 5 8 2 y ) e r -0. 0 0 5 7 7 7 2 4 + ( 0 . 0 0 5 7 7 7 2 4 一 0 . 0 7 8 4 4 8 1 y ) e l 留= qq 即 第四章 新模型的负盈余持续时间分布的计算 y r ( u ) = 0 .9 1 4 8 6 8 -0 .o s n - 0 . 0 0 5 7 7 7 2 4 - 1 .3 2 5 3 5 g ( u , y ) 二 c ,1e - 0 .0 68 59 2 7 + c z e - 1.3 2 5 3 5 于是有 e yi 封 = e y 2 i u l 1v (u )1 ( 1 . 1 3 9 4 5 - 0 0 5 92 + 0 .0 7 2 6 7 0 9 - 1 2 5 3 5 ) w ( u ) ( 2 .7 2 8 0 7 - 0 0 2 + 0 .3 0 2 2 3 8 - 3 2 5 3 5 ) e t i i 川= e t , 2 i 。 +v (u )1 ( 1 1 .3 9 4 5 -0 0 5 + 0 . 7 2 6 7 0 9 - 2 5 3 5 ) 14 ( u ) ( 3 3 1 1 . 3 4 - 0 0 5 9 1 7 + 2 4 4 .0 1 7 - 1 3 2 5 3 5 ) = 1 0 . 0 6 3 6 -0 .0 5 9 1 7 + 0 . 0 6 3 5 5 0 6 - 1 2 5 3 5 = 1 2 1 y i ( u ) ( 1 . 9 0 9 0 9 一 w ( u ) ) ，.jl.j uu e 7 t i u = 1 3 3 .3 7 7 -0 9 2 - 0 .0 4 3 5 8 7 7 - 1 3 2 5 3 5 e 7 -t 2 i u l = 7 4 4 5 6 . 7 -0 .0 5 9 2 7 1 2 .2 7 6 9 - 1 .3 2 5 3 5 下表 给出了当“ 取不同 值时的 具体结果， 其中分别考虑了p 取0 . 1 和0 .2 两种 情况， e n i u 1 0 . 1 阅 旧 e n i m l 5 . 0 0 0 0 4 . 4 4 6 3 . 9 2 8 3 . 4 6 4 3 . 0 5 3 2 . 6 91 2 . 3 7 1 2 . 0 9 0 !8 41 1 . 6 2 3 1 . 4 3 0 0 . 7 印 0 . 4 0 4 0 . 2 51 0 . 1 1 4 0 . 0 3 2 0- 月 m 叮ni u 3 0 . 0 0 0 2 9 . 1 3 8 2 7 . 7 7 9 2 6 . 1 0 6 2 4 . 2 6 5 2 2 3阅 2 0 . 4 6 2 1 8 . 6 2 0 1 6 . 8 6 5 1 5 . 2 1 7 1 3 . 6 8 5 7 . 7 8 1 4 . 2 7 8 2 . 3 1 4 ! 2 4 1 0 . 3 5 3 0 . 1 0 0 e i 7 7 i 司 3 3 . 3 3 3 2 9 . 3 7 9 2 5 . 91 3 2 2 . 8 3 7 2 0 . 1 2 5 1 7 . 7 3 4 1 5 . 6 2 8 1 3 . 7 7 1 1 2 . 1 3 5 1 0 . 6 9 4 9 . 4 2 4 5 . 仪】 7 2 . 6 6 1 1 . 4 1 4 0 . 7 5 1 0 . 2 1 2 0 . 0 6 0 叮刀. i u l 3 7 5 0 刀 3 4 21 . 2 3 1 0 5 . 5 2 8 0 6 . 9 2 5 2 8 . 1 2 2 7 0 . 2 2 0 3 3 . 4 1 8 1 7 . 5 1 6 2 1 . 4 1 4 4 4 . 2 1 2 8 4 . 6 7 0 4 . 7 3 8 7 2 0 4 . 1 1 0 8 . 9 012345678910” nui，1j，弓61了0门q 3 0 .98 .7 加乃3040犯一19 9 . 3 8 7 8 . 7 7 1 8 . 1 91 7 . 6 4 9 7 . 1 4 2 6 . 6 6 吕 6 . 2 2 6 5 . 8 1 4 5 .4 2 8 5 . 0 6 8 3 . 5 9 7 2 . 5 5 2 1 . 8 1 1 1 . 2 8 6 0 . 6 4 7 0 . 3 2 6 v n i u ) 1 1 0 . 仪旧 1 0 8 . 9 料 1 0 7 . 2 5 4 1 0 4 . 9 1 7 1 0 2 . 1 1 9 9 8 . 9 7 1 9 5 . 5 6 8 9 1 . 9 8 5 8 8 . 2 8 6 8 4 . 5 2 6 8 0 . 7 4 6 6 2 . 5 9 5 4 7 . 0 8 7 3 4 . 7 5 8 2 5 .3 4 3 1 3 . 1 7 6 6 . 7 4 1 e 7 t i m l v 7 t i . l 1 3 3 . 3 3 3 5 6 6 6 6 .6 1 2 4 . 5 2 3 5 4 0 1 1 .4 1 1 6 . 2 7 6 5 1 3 9 1 .0 1 0 8 . 5 7 0铭8 2 1 j 1 0 1 . 3 7 3 4 6 3 1 4 . 3 9 4 . 6 5 3 4 3 8 8 0 . 1 8 8 . 3 7 8 4 1 5 2 5 . 7 8 2 . 5 1 9 3 9 2 5 6 .3 7 7 . 0 4 9 3 7 0 7 5 滩 7 1 . 9 4 1 3 4 9 8 5 . 0 6 7 . 1 7 2 3 2 9 8 6 . 1 4 7 . 6 6 9 2 4 3 3 8 . 7 3 3 . 8 2 9 1 7 7 4 0 . 5 2 4 . 0 0 7 1 2 8 2 5 . 6 1 7 . 0 3 7 9 2 2 0 . 6 8 . 5 即4 7 1 6 . 3 4 . 3 2 1 2 3 9 3 . 6 10巧20乃3040知 第四章新模型的负盈余持续时间分布的计算 与 7 l 中的 表1 ( 见附 表) 相比 较， 我们可以 看出 模型 ( 1 . 3 ) ( 即 ( 2 . 1 ) ) 与模型 ( 1 . 1 ) 在单位时间内 索 赔次数相同的条件下相比 较，e n i u , v n i u l , e 7 t i u , v t t i u l 四 个指标的 值都明显 地增大了 ( 除e n 1 0 1 , v n 1 0 1 ) ， 也就 是说用多发点过程构造的风险模型无论是从平均总破产次数，还是平均总破 产时间的角度来看，都要比相应的古典风险模型的大，且总破产次数和总破 产次数和总破产时间的波动也变大了.这就从另一个角度说明了本文第四章 中对两模型进行比较而得出的结论. 附表 附表 为了 便于将第四章中的表1 与已 知结果进行比较， 特附上 7 中的 表1 如 下: t a b l e 1 01234，991015202530