专题01 经典母题30题-数学(理)走出题海之黄金30题系列.doc

母题1【集合运算】（2016甲卷理2）已知集合，则（ ）.A. B. C. D.【答案】C【解析】 因为，所以，所以.故选C.母题2【充分条件和必要条件】（2016四川理7）设：实数，满足；：实数，满足，则是的（ ）.A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A母题3【函数的性质】（2016甲卷理12）已知函数满足，若函数与图像的交点为，则( ).A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由得，关于对称，而也关于对称，所以对于每一组对称点有，所以.故选B.母题4【函数的图象】（2016乙卷理7）函数在的图像大致为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.母题5【三角形函数的图象和性质】（2016全国乙理12）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 依题意，可得，且，即.故，即，.当时，.又，因此在上不单调.当时，且.又，因此在上单调，则的最大值为9.故选B. 母题6【平面向量数量积】（2016天津理7）已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）.A. B. C. D.【答案】B【解析】 由题意作图，如图所示.则.故选B.母题7【内切球】（2016全国丙理10）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是（ ）.A. B. C. D.【答案】B 【解析】 如图所示，假设在直三棱柱中，有一个球与平面，平面，平面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为，则且，得.因此，直三棱柱内球的半径最大值为，则.故选B.母题8【平面与平面平行的判定】(2016全国乙理11)平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为（ ）.A. B. C. D.【答案】A母题9【直线和双曲线位置关系】2016天津理6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）.A. B. C. D.【答案】D 【解析】 根据对称性，不妨设在第一象限，联立，得.所以，得.故双曲线的方程为.故选D. 母题10【直线和抛物线位置关系】（2016四川理8）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为( ).A. B. C. D. 母题11【程序框图】（2016全国丙理7）执行右图的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）.A. B. C. D. 【答案】B母题12【排列和组合】（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）.A.24 B.18 C.12 D.9【答案】B 【解析】 从的最短路径有种走法，从的最短路径有种走法，由乘法原理知，共种走法.故选B母题13【几何概型】（2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B 母题14【复数的运算及概念】（2016全国乙理2）设，其中，是实数，则（ ）.A. 1 B. C. D.2【答案】B 【解析】 由，得，所以.故选B.母题15【导数的几何意义】（2016甲卷理16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .【答案】 【解析】 的切点为，则它的切线为.的切点为，则它的切线为：，所以，解得，所以.母题16【二项式定理】（2016全国乙理14）的展开式中，的系数是 （用数字填写答案）.【解析】 的展开式的通项公式为.令，得.故的系数是.母题17【直线和圆】（2016全国丙理16）已知直线与圆交于，两点，过，分别做的垂线与轴交于，两点，若，则_.【解析】 解法一：根据直线与圆相交弦长公式有，得，又，得.因此圆心到直线：的距离，解得因此直线的方程为.所以直线的倾斜角为.如图所示，过点作于点，则.母题18【线性规划】（2016全国乙卷理16）某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时.生产一件产品的利润为元，生产一件产品的利润为元，该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过个工时的条件下，生产产品，产品的利润之和的最大值为 元.【答案】 母题19【平面向量坐标运算】（2016全国乙理13）设向量，且，则 .【答案】 【解析】 因为，故，即.所以，得.母题20【等比数列通项公式和性质】（2016全国乙理15）设等比数列满足，则的最大值为 .【答案】 解法一：由，得，得，且.故当或时，取得最大值，即.解法二：.故当或时，取得最大值.母题21【立体几何与空间向量】【2014高考北京理第17题】如图，正方体的边长为2，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，.（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.母题22【解三角形】（2016全国乙理17）的内角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积为，求的周长【解析】（1）由已知及正弦定理得，即，故，可得，所以.母题23【等差数列通项公式和数列求和】（2016全国甲理17）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如，（1）求，；（2）求数列的前项和【解析】 （1）设的公差为，所以，所以，所以所以，（2）当时，；当时，；当时，；当时，所以母题24【数列递推公式和数列求和】（2016山东理18）已知数列的前项和，是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和.【解析】 （1）由题意知当时，当时，所以.设数列的公差为，由，即，解得，所以.（2）由（1）知，又，得，两式作差，得：，所以.母题25【空间向量与立体几何】（2016全国乙理18）如图所示，在以，为顶点的五面体中，面为正方形，且二面角与二面角都是（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值由（1）知为二面角的平面角，故，则，可得，.由已知，所以平面.又平面平面，故，.由，可得平面，所以为二面角的平面角，母题26【离散型随机变量的分布列和期望】（2016全国乙理19）某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买台机器的同时购买的易损零件数.（1）求的分布列；（2）若要求，确定的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为，的概率分别为，. 从而：；.所以的分布列为：（2）由（1）知，故的最小值为.（3）记表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当时，.当时，.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.母题27【直线和椭圆位置关系】（2016全国甲理20）已知椭圆E:的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，.（1）当，时，求的面积；（2）当时，求的取值范围.解法二：设点，且交轴于点. 因为，且，所以， .由，得.又，所以，解之得或.所以 ，所以.因为，所以.所以.解法二：设直线AM的方程为，联立并整理得，解得或，所以，所以.因为，所以，整理得，因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得，解得母题28【导数的综合运用】（2016乙卷理21）21.已知函数有两个零点.（1）求的取值范围；（2）设，是的两个零点，求证：.（）当，即时，当时，所以.同理时，.故的单调增区间为；（）当，即时.令，则或，所以的单调增区间为和，同理的单调减区间为.综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，的单调增区间为，单调减区间为.（2）若有两个零点，则，且在上单调递减，在上单调递增.要证明，不妨设，且.只需证明：，因为在上单调递减，所以，又，则，即令，因为，当时，且，所以，所以函数在上单调递增，因此，故，即有，则，又在上单调递减，则.故.证毕. 母题29【坐标系与参数方程】（2016全国乙理23）在直角坐标系中，曲