（应用数学专业论文）一类差分方程的全局吸引性与渐近稳定性.pdf

摘要 差分方程是描绘离散型自然现象变化规律的强有力工具。近十年来， 差分方程定性分析成为国内外研究的热点。鉴于有理型差分方程的形式相 对比较简单，所以，最近几年关于有理型差分方程的研究成果最丰富。 本篇硕士论文引入“子列分析法”来研究一大类有理型差分方程的全 局吸引性和全局渐近稳定性。我们试图研究一般的差分方程： z 。= ，( z 。一l ，善。一2 ，。一# ) ，n = 1 ，2 ，3r ，( e ) 其中f 1 是整数，e ( ( o ，o 。) 2 ，( o ，o 。) ) ，对所有i = 1 ，2 ，f ，z 一( ) ( 0 ，o 。) 在一定的假设条件下，我们得到上面差分方程f e ) 满足全局吸引性的 一个充分条件。作为应用，在一定的条件下，我们证明了下面方程的全局 渐近稳定性。 r 9 t ( z 。一i ) + z 。跏( z 。一p ) t = l ；m ，p o ”2 i 一 玑( 一。) + 一。吼( z 。一g ) = l t n = 1 ，2 ，( 西o ) 其中 1 ，2 ) ，m ，p ，g 1 ，2 ，) 并且初值跏，z “，。一( 一1 ) 都 是正实数。 我们可以看到相关文献中研究的方程都是( e l o ) 的特例。因此，我们 的研究成果包含并完善了相关文献中的结果。作为方法上的改进，经证实 “子列分析法”不但想法新奇而且在证明此类差分方程的全局吸引性与全 局渐近稳定性时非常有效。 在微分方程中，“n e d h 0 1 m 更替引理”是研究微分方程周期解存在 性的重要定理。本文给出了这一重要定理在差分方程中的推广形式及其证 明。 关键词：差分方程，全局吸引性，全局渐近稳定性，子列分析法，符号 链，周期解，f r e d h o l m 更替引理。 a b s t r a c t d i 脑e n c ee q u a t i o ni sas o r t o fp o w e r 缸lm e a n st oi i l v e s t i g a t et h er u l eo ft i l e d i s c r e t en a t u r a lp h e n o m e a i nr e c e n t1 0y e a r s ，t h e r e f o r e ，t h eq u m i t a t i v e a 皿a l y s i so fd i f k r e n c ee q u a t i o nh a sa l w a y sb e e nt h eh o ts p o ts u b j e c ts “【d i e d b yt h er e s e a r c h e r 8h o m ea n da b r o a de s p e c i a l l y ，a ni n c r e a s i n g l ym o r en u m b e r o fr e s u l t 8o nr a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n ，i nv i e wt h a tw h i c hh 8 sas i m p l e r f o r m ，a r ep l l b l i s h e d i nt l l i sd i s s e r t a t i o n ，w ei t r o d u c ean e wm e t h o d w h i c hi 8c a l l e d“s l l b s e q u e n c ea n 以y s i s ”，t oi n v e s t i g a c et h eg l o b a la s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fak i n d r a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u 8 t i o n s 硒t hh 遮ho r d e r a tf l r s t ，w es t u d yag e n e r a l d i f f j r e n c ee a u a t i o n ： z n = ，( a 一l ，z n 2 ，一，z 。一f ) ，n = 1 ，2 ，3 ，( e ) w h e r el 1i 8a ni n t e g e r ，e ( ( o ，o 。) 2 ，( o ，o 。) ) ，茹一卜1 ) ( o ，o 。) f 。rt = 1 ，2 ，- - ，f u n d e rc e r t 越na s s u m p t i o i l s ，w eo b t a i nas e to f8 u m c i e n tc o n d i t i o 璐f o r t h ed o b a la t t r a c t i v e e s so fe q u a t i o n ( e ) t h e n ，w h e nt h ea b o v er e 8 u l ti s a p p l i e d 协t h ef o h o w i n gd i 如r e n c ee q u a t i o n ： m ( z 。一 ) + z 。9 p ( z 。一p ) t = 1 i 巾l f o n2 f 一 皿( 一 ) + 。一。蜘( z 。一) = i w n = 1 ，2 ， ( e l o ) t h eg l o b a la s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yi so b t a i n e di fs o m ec o i l d i t i o n 8a r es a t i s b e d ， w h e r e 七 1 ，2 ) ，m ，p ，g 1 ，2 ，- 一，埘a n d 勘，z 一1 ，- 一，z 一陆一1 ) a r ep o s i t i v er e a li i l i t i mv 出u e 8 a 8w ec a ns e et h a 土t h ed i 圩e r e n c ee q u a t i o n s8 t u d i e di nt h ec i t e dr e f - e r e n c e 8 盯ea u8 p e c i a lc a s e 8o fe q u a t i o n ( e 1 0 ) h e n c e ，o u rr e 8 u l ti n c l u d e s a n de x t e n d sm 舭l yc o r r e s p o n d i n gr e s u l t 8 m o r e o v e r ，i ti sc o n f i r m e dt h a tt h e i d e ao f “s u b s e q u e n c ea n a l y 8 i s ”i sq u i t ei l ( ) v e la n dp o t e n tt op r o v et h 。g l o b a l a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo ft h i sk i n do fr a t i o n a ld i r e n c ee ( | u a t i o 工l sw i t hh i 曲 o r d e r 1 i nt h et h e o r yo fd i 虢r e n t “e q u a t i o n s ，t h en e d h o l ma l t e r n a t i v el e m m a i so fg r e a ti m p o r t a n c ei nt h es t u d yo ft h ee x i s t e n c ef o rt h ep e r i o d i cs o l u t i o n o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h el a s tr e s u l to ft h j 8t h e s i s 喇e n d st h el e m m ai n t o t h et h e o r yo fd i 雎r e n c ee q u a t i o i l 8 k e yw o r d s ：d i r e c ee q u a t i o n ，g l o b a la t t r a c t i v e e s s ，g l o b a la s y m p t o t i c s t a b i l i t y ，s u b s e q u e n c ea i l a l y s i 8 ，s i g nc l a i n ，p e r i o d i cs o l u t i 。n ，n e d h 0 1 ma l - t e r n a 七i v el e n u n a ， 2 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除本文中已注明引用的内容外，本论文不包含其他 个人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中做了说明并表示感谢。 作者签名：。蕉= j 垫i 学位论文使用授权声明 日期：锎6 牟龋点日 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质 版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位 论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用于本声明。 作者签名： 导师签名 畚美 等_ o 一 日期：年驻日 1 引言 同微分方程一样，差分方程也是用来描绘自然现象变化规律的一门科 学。在生物数学、经济数学、计算机科学中，差分方程就分别可以用来刻 画种群数量的变化规律、投入产出和高速运行计算机中无损传输线路的变 化规律等等。正因为这样，差分方程的定性分析近年来成为国内外学者研 究的热点课题。 差分方程的理论研究主要涉及到稳定性理论、定性理论和分支理论 等。近年来研究的内容不断细化，涌现出不少新的分支，如有界性、振动 性和渐近性理论、周期解和概周期解的存在性理论等等。 差分方程理论研究的历史相对于微分方程而言是比较短的，真正开始 于九十年代初期，最近十多年发展较为迅猛。在文献中凸现出一大批研究 成果，其中代表著作有r p ，a g a r w a l1 9 9 2 出版的专著，v l k o c i c 和 g l a d a s1 9 9 3 年出版的专著【6 卜a g a r w a l 在【l 】中对差分方程从符号和基 奉概念到已发表在文献中的重要结果进行了详细系统地阐述。该书在2 0 0 0 年发行了再版f 2 1 ，扩充了一些内容，并增加了些具有实际意义的例题。 而v l k o c i c 和g l a d a s 的专著f 6 1 ，在介绍基本理论，总结已有结果与 方法的基础上提出了许多研究问题( m 塔e r c hp r o j e c t ) 。尤其是书中专门劈 出一章，就研究过程中遇到不能解决的问题以“公开问题与猜想”f o p e n p r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e 8 ) 的形式提供给读者去探讨。 因为有理型差分方程的形式相对比较简单，所以近些年来倍受研究者 关注。 在文献【4 】中，a m l e h ，k r l l s e 和l a d a s 使用“强负反馈性质”首先研 究了下面一组差分方程的全局渐近稳定性。 o n 十o n 一1 z n 一2 z h + 12 一 z n z n l 十z n 一2 z n l 十o n o n 一2 z n + 1 2 z n 一1 z n + z n 一2 z n 十o n 一2 茁n l o n + 1 。_ 一 n z n 一2 + z n l n = 0 ，1 ，2 几= 0 ，1 ，2 ， 扎= 0 ，1 ，2 ， ( e 1 ) ( 岛) ( 局) 其中初始值。_ 2 1 。_ 1 1 z o ( o ，。) 对有理型差分方程平衡点虿的全局吸引性和全局渐近稳定性的研究， 目前使用较多的一种方法是“半环分析法”：分析半环，取上下极限，即 考察方程解的正半环的极大值序列 z 地) 与负半环的极小值序列 。，) ，证 明l i i n s u p 。慨一l i m i n 。z 。，= 牙事实证明在研究差分方程解的定性 性质时，“半环分析法”是相当奏效的。应用此方法，李先义和朱德明研 究了一大类差分方程的全局渐近稳定性，得到了一系列重要结果，其中具 有代表性的成果可见文献1 2 一1 4 1 。 在文献1 3 1 和【1 4 】中，他们分别得到了下列差分方程全局渐近稳定性 的充分条件。 z n o n 一2 + 口 “2i 干；：= = j 山ni 山n z z n 一1 z n 一2 + o + 1 2 i 了万i山n l o n 一2 n = o ，l ，2 n = 0 1 2 。+ 。：；= ；塑，。：o ，1 ，2 “一琢j i 两二币 “一u l2 ( 肠) ( b ) ( 风) 其中o ，b 【o ，o 。) ，初值茁一2 ，z “茹o ( o ，o 。) g p a p a s c h i n o p o l u o s 和c j s c h i n a s 在文献【1 6 】中证明了下面差分方 程族的唯一正平衡点牙= l 是全局渐近稳定的。 其中n o ，1 ，2 ， 1 ，2 ， ，初值。o ，z 一一，z 一女都是正实数。 鉴于“半环分析法”不好直接应用于阶数较高的差分方程，关于这一 点我们将在第三节予以说明。因此，为了研究高阶差分方程的全局吸引性 与全局渐近稳定性，我们引入一种新的研究方法称为“子列分析法”。 实际上，我们把方程的解序列f 分成若干个子列，如分成m 个子列 z 。州) ( m 是一正整数t = o ，1 ，2 ，m 一1 ) ，然后，证明这m 个子列都 收敛到平衡点雪 运用“子列分析法”我们证明了一系列更加普遍的结果。首先，我们 证明了下面两个高阶差分方程的唯一正平衡点是全局渐近稳定的。 z n 自茁”一2 + 0 o n 2 ， o n k 十z n j z n k + o n 一 2 再面鬲 扎= 1 2 n = 1 2 ( b ) ( 毋) 其中奄和z 是正整数，并且8 o ，初始值勋，z “，。一( ) ( o ，。o ) 。 2 岛 2 = j 。!l u + 1 +1 + 一 。：i妾 | | 机 接着考察高阶差分方程： 一拿譬! 挈，。：1 ，2 ，( 剐 一忑再i j ；：j i 8 刮7 乙p 列 其中自，m ，l 都是正整数，并且z 。，z 1 ，z o ( o ，。) ，s = m i n ( 1 一，1 一 m ，1 一f ) ，o ，b 0 用同样的方法，我们证明了差分方程( 马) 的唯一正平衡点牙= 1 是 全局渐近稳定的。这一成果被a p p l i e dm a t h e m a t i c sl e t t e r 8 接收发表。因 此，在本文中我们不再叙述。 鉴于上面两个具体方程的研究，最后我们试图研究更一般的差分方 程： a = ，( z 。一1 ，。一2 ，一，茹。一 ) ， 竹= 1 ，2 ，3 ，( e ) 其中z 1 是整数，g ( ( 0 ，。) 。，( 0 ，) ) ，对所有i = 1 ，2 ，z ，z 一( ) ( o ，o o ) 在一定的假设条件下。我们得到上面差分方程( 聊满足全局吸引性的 一个充分条件。然后作为应用，我们研究了以卜差分方程： 吼( z 。一 ) + 茁。一。缈( z 。一p ) z 。= 专生一，n = 1 ，2 吼( 。一。) + z 曲( 。一g ) t = 1 t ( e 1 0 ) 其中k ( 1 ，2 ) ，m ，p ，口 l ，2 ，女) ，并且初值z o ，z l ，z 一( 一1 ) 都 是正实数。我们得到了下面的结果： 定理：假设$ ，乳g 1 ( ( o ，) ，( o ，o 。) ) ，当i m ，p ，g ，t = 1 ，2 ， 时，吼g 1 ( ( o ，。o ) ，【o ，o o ) ) ，那么方程( e 1 0 ) 有唯一的正平衡点z = 孟，并且 它是全局渐近稳定的。 我们将看到前面引用文献研究的方程都是( 最。) 的特例，因此，这一 成果包含并完善了前人的相关研究结果。 应用不动点定理、指标定理和拓扑度定理研究方程某类解，如正解、 周期解等的存在性，此类工作目前国内外都很多5 ，9 1 1 ，1 7 ，1 8 ，2 m 2 2 1 。尤 其，重合度理论中的延拓定理被广泛用于研究方程周期解的存在性，参见 文献【1 1 ，1 9 ，2 3 】。我们知道在微分方程理论中n e d h o l m 更替引理是研究微 3 分方程周期解的重要工具。在本文中我们把这一重要引理推广到差分方程 中并给出了证明。 整篇文章分成四大节：第一节，引言部分说明本文研究的起因和得到 的主要结果；第二节，介绍一些本文要用到的基本概念和理论；第三节， 引用“予列分析法”证明一类差分方程的全局渐近稳定性；第四节，在差 分方程中推j 。并证明更替引理。 4 2 基本概念和理论 我们首先把本篇论文中要用到的基本定义和概念叙述出来，然后阐述 文献中。1 些相关结果。这部分内容主要摘自f 2 ，6 1 。 我们用冗，r + ，j v 分别表示实数集合、非负实数集合、非负整数集合， 即，r = ( 一o o ，+ 。o ) ，r + = 【o ，。) ，= o ，1 ，2 ，) 对任意o ，定义 集合( o ) = o ，o + 1 ，1 对扣且6 ，定义集合( o 、6 ) = n ，n + l ，6 ) 设o ( n ) 是定义在上的函数，习惯上记z ( n ) = z 。考虑差分方程 z 。+ l = ，( z n ，z 。l ，z n 一女) ，n = o ，l ，2 ，( 2 1 ) 其中蠡， ，e ( 带十1 ，r ) ，初值z 即z 一1 ，z o 是任意实数。( 2 2 ) 如果给定初值 戤= 凸i ，啦冗，i = 一，一，一1 ，o ，( 2 3 ) 由方程( 2 1 ) 就可以唯一的得到方程( 2 1 ) 的一个解序列 。) 甚一* ，并且满 足初始条件( 2 3 ) 定义2 1 方程( 2 1 ) 的平衡点是指方程 。= ，( 嚣，嚣，- ，嚣)( 2 4 ) 的解，一般用牙表示。方程( 2 4 ) 也称为方程( 2 1 ) 的平衡方程。方程( 2 1 ) 的平衡解是指满足z 。= 牙，n = 一七，一+ 1 ，的解。 定义2 2 设 z 。) 是一是方程( 2 1 ) 的解序列，牙是方程( 2 ，1 ) 的平衡点， 是集合 一，一七+ 1 ，1 ，2 ， 的子集，我们把序列 。一孟h j 各项的 符号称作此解序列的子列 茹。) 。e f 的子列符号。如果z 。一面= 0 ，相应的 子列符号中这项的符号记作o 。 定义2 3 设牙是方程( 2 1 ) 的一个平衡点。 ( a ) 平衡点牙称作稳定的，如果对任意的 0 ，存在6 o ，使得当 z k ，- 一，z 一1 ，铷月且i z 一一孟i + + i z l 一引+ l z o 一牙l 时，都有z 。= 孟，其中孟是方程( 2 1 ) 的平衡解：否则，是非平凡 的。显然，方程( 2 1 ) 的平衡解雪是其平凡解。 定义2 6 方程( 2 1 ) 的任意一个解 z 。) 罂一称为最终正( 负) 解，如果 存在一整数伽( 1 ) 使得z 。 ( 靴成立。 定义2 7 方程( 2 1 ) 的任意一个正解 。 器一女称为关于孟是最终正( 负) 解，如果存在一整数n o ( 一) 使得z 。一蕾 ( n o 成 立。 定义2 8 振动性定义。 ( a ) 一序列 z 。 称为关于。振动或者简称振动，如果序列的项既不最 终正也不最终负；否则，序列称为非振动的。 ( b ) 一序列 z 。) 称为严格振动，如果对任意整数n o ，存在整数n 。，n 。 n o 使得。n l 茁n 2 o ，初始值茹o ，z l ，z 一“一1 ) 变量替换 。：西和。：击骱， z 。= 、o 和o 。= 骱， 替换后蜘仍记作z 。，可以把方程( 如) 和( 岛) 分别化简成下面两个方程 z n k z n f + l z n 2 o n 一女+ z n f z n k + 墨t f 2i j 丽 山n 一山n c 。l 1 n = l ，2 ，( 3 1 ) n = 1 2 其中七和f 都是正整数，并且初值知，z “，。一( “) ( o ，。) 易见方程( 3 ，1 ) 和( 豇) 都只有唯一的正平衡点牙= 1 下面引入“子 列分析法”来证明如下结论： 定理3 1 如果n ( o ，o 。) ，方程( 玛) 和( 岛) 的唯一正平衡点牙是全局渐 近稳定的。 9 由于子列分析法的证明过程对于方程( j 了) 和( 31 ) 来说是类似的，所 以下面我们只给出关于方程( 3 1 ) 的证明过程。实际上， z 。，芒- i _ 1 1 是方 程( 3 1 ) 的解，当且仅当 z 二1 ) 甚卅- 1 1 是方程( 百了) 的解。 下面我们引进一些证明过程中要用到符号和定义，这些符号和定义贯 穿全文。 我们用序列 n 。 罂。和 6 。) 墨。做成的集合 o 。，k 县。来表示序列 n - ，6 l ，0 2 ，幻，并把 o 。 器。叫作这个序列的第一列，依此类推， k ) 器， 叫作这个序列的第二列。 在本文中我们用d 来表示和f 的最大公约数，即( ，z ) = d 我们把方程( 3 1 ) 的解序列 ) 鲁卅- 1 1 分成以下个子序列： a = z 耐+ ) 巽一1 ，i = 1 ，2 ，2 然后，相应上面的子列我们给出下面d 个子列 a = z n z 。斟州，z 州+ ( 一1 ) “难诘l ，2 ，d 很清楚，以上子列g 都是方程( 3 1 ) 解 z 。) 甚卅_ 1 1 的“m o d ( 印一同余 类”。 现在，我们先给出一些引理和定理，他们对于我们证明本文的结论是 很重要的。 引理3 1 子列g = 1 ，2 ，d ) 中的每一项只和g 中的项有关，而和 g 中的项无关，其中j ，j = 1 ，2 ，d 证明：对于任意的z 。g ，根据方程( 3 1 ) ，。和一 与z 。一f 之间的关 系可以写成 。：笙型掣，。：1 忍，4 n 一， 一1 _ 1 z ”一 d 十茁n 一d 因为 n = 一；d ) m 。d ( d )和n = ( n 一：d ) m 。d ( d ) ， 这说明z 。，z 。女和z 。一l 都是同一子列g 中的项，因此引理3 1 成立。 口 定理3 2 子列g 0 = 1 ，2 ，d ) 满足以下方程 ：警兰等， 。钆2 ， ( 3 2 ) 一+ 一 1 0 其中一( 5 一1 ) 2 。( ，一( 一2 ) = 。一( f d i ) ，珈= z 一( 删 证明：令= z d ( 。一1 ) “并且把蜘代入方程( 3 1 ) 口 评注3 1 引理3 1 和定理3 2 说明方程( 3 1 ) 可以分解成d 个较低阶方 程，并且分解后的方程( 3 2 ) 和原方程( 3 1 ) 具有相同的形式。 引理3 2 方程( 3 1 ) 的唯一正平衡点牙= 1 是局部渐近稳定的。 证明：在平衡点牙= 1 处方程( 3 1 ) 的线性化方程是 = o 一l + + o 一女+ + o 一f ，n = 1 ，2 ， 根据【6 ，评注1 ，3 ，7 ，可知方程( 3 1 ) 的平衡点蕾= l 是局部渐近稳定的。口 评注3 2 方程( 3 2 ) 的唯一正平衡点牙= 1 也是局部渐近稳定的。 依据定理3 2 和引理3 2 可以得到下面重要论断。 定理3 3 方程( 3 1 ) 的正平衡点牙= 1 是全局渐近稳定的，当且仅当方程 ( 3 2 ) 的正平衡点口= l 是全局渐近稳定的。 定理3 4 如果( k ，z ) = 1 ，那么方程( 3 1 ) 的解 z 。) 巽一( 1 - 1 ) 是平凡的，当 且仅当 ( z 一( i 一1 ) 一1 ) ( 茹一( 2 2 ) 一1 ) ( z o 一1 ) = 0 ( 3 3 ) 证明：如果( 3 3 ) 成立a 不失一般性，不妨假设z 一( f - 1 ) = 1 从方程( 3 1 ) 容易看出z 1 = l 和 吼l ：塑兰璺业：l z k + l k 十。缸 l f 根据数学归纳法，我们可以得到 茁n + 1 = 1 ，n = ：1 ，2 ( 3 4 ) 因为( ，f ) = 1 ，所以存在两个整数s 和t ，使得 s z + 掘= 1 ( 3 5 ) 1 1 我们可以假设t o ，否则，在下而的证明中用( 1 一j ) 来替代0 1 ) 。依 据( 3 5 ) 有 ( j 一1 ) t 七十1 = 一0 1 ) 鲥+ j ， 其中2 js l + 1 因此我们得到 0 1 ) t + 1 = j m o d ( f ) ( 3 6 ) 一方面( 3 6 ) 说明。( 卜1 ) 舯1 是子列冯的项，另一方面根据( 3 4 ) 可以 推得。f j - 1 1 蚪1 = 1 从而，再次应用数学归纳法我们容易证明山= z “ 器一1 是平凡的。如果让j 取遍集合 2 ，3 ，l + 1 ，我们就证明了 。) 器- f f _ 1 1 = u = 1 a 是平凡的。 下面假设 ( z 一( f 一1 ) 一1 ) ( z 一( 1 2 ) 一1 ) ( z o 一1 ) o ， 我们说明对于任意的n l 都有石。1 。 为了得到矛盾，假设对于某个整数21 有。= 1 所有一( f 一1 ) n 一1 都成立。 显然 ， 1 ：z ：塑型型” 茁一 + 茁一z ( 3 7 ) 说明z _ 一= l 或者。一 = 1 这都与假设相矛盾。 并且z 。1 对 ( 3 7 ) 口 评注3 3 如果d = 1 ，方程的解 z 。) 器一( f _ 1 ) 是非平凡的，那么对任意的 n 一0 1 ) 都有。1 - 为了表示方便起见，我们引用下面的记号 k = lj = im o d ( d ) ，其中一( f 一1 ) j o ) ，t = l ，2 ，d 用i k i 表示k 的值，其定义如下： l k i = ：翼暑喜嘉，巧k 使得巧2 1 其中一。一d o 我们可以看到正是集合g 的初始值做成的集合。由于( 5 ，5 ) = l 根据定理3 2 和定理3 4 ，我们就会得到下面的结果。 引理3 3 子列g 是平凡的，当且仅当i i = 1 ， = 1 ，2 ，d 定理3 5 方程( 3 1 ) 的解 ) 器- l - 1 1 是平凡的，当且仅当墨，l kj = d 现在我们来证明定理3 1 。下面的论断是定理3 1 的重要组成部分，我 们首先证明其成立。 定理3 6 如果 z n ) 罂一( f - 1 ) 是方程( 31 ) 满足初始条件的解，则! 骢z n = 证明：根据定理3 3 ，我们只需要在( ，f ) = 1 的条件下证明定理3 6 如果0 一( ) 一1 ) ( 。一( | 2 ) 一1 ) ( 跏一1 ) = 0 ，那么根据定理3 4 ， z n ) 墨一一) 是平凡的，就是说t ! _ 骢z n = 1 如果( z 一( 1 _ 1 1 1 ) 扣一“一2 ) 一1 ) ( o o 1 ) o ，则根据评注3 3 ，对任意 的n 一“一1 ) 都有o 。1 现在我们假设对所有的礼一( 1 一1 ) 都有z 。1 。命 a l = 茁。一1 ) 黑一l = 1 u h ，1 = a 1 i 可 1 ) ，u = a 1 l 可 1 对于z 一( f - 1 ) a ：l + l 一 说明 。) 墨一。是单调递减有下界序列。所以极限l i m ；+ l = 三存在并 且是有限的。 在( i i ) 的情况下， z 1 z f + 1 。 z 一( ；一1 ) + ( m l 1 ) “ z 一( f 一1 ) + m l f z 一( f 1 ) + ( m l + 1 ) ! 。 z 一( 一1 ) + ( m 1 + m 2 + 砖一1 ) ， 茁l h ( m 1 + m 2 + m 3 ) f z 1 一f + ( m l + m 2 + m 3 + 1 ) f z l o h l 。 z 一( 一1 ) + ( ”。1 1 ) l l 1 z 一( f 一1 ) + m l fz 一( 1 1 ) + 【m l + l ” z 一( 1 1 ) + ( m l + t ”2 一l ” z 一( z 一1 ) + ( m l + 仇2 ) l 。一( 1 1 ) + ( m 1 + m 2 + 1 ) l z 一( f 一1 ) + ( m l + m 2 + m 3 1 ) 2 l 11 z 1 2 十( m 1 + m 2 + m 3 ”z l i + ( m 1 + m 2 + m 3 + l ”z l f + ( m 1 + m 2 + m 3 + m 4 1 ” ( 3 1 4 ) 从不等式( 3 ，1 4 ) 可以看出1 是单调递减有下界序列；而l 是单调 递增有上界序列。因此，它们的极限都存在并且是有限的。我们假设它们 分别是l 和r ，然后证明月= 圭 从不等式( 3 1 4 ) 还可以看到 1 。一( f 一1 ) + ( m t + m 。” ；：i 二i i j ：= = ：i 。一。一1 ) + ( m + m z + m s + m t ) z 因此，对任意的m l ，下面不等式成立。 n ( 哪z 孙 瓦j 去i 州h 咎z 。- ( 3 1 5 ) 让m o 。，不等式( 3 1 5 ) 说明l 击2l 从而冗= 圭 第一步证明到此就结束了。 第一步证明的一个直接结果便是：对任意o 她时， b l + 1 一l l 时， m * t m i e 或者小一一击i e ( 3 1 7 ) 1 5 因此，对任意的o e m a x 尬，) + 1 根据( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) ，我们可以得到下列不等式： 一l i e 或者+ ，一圭i e ； ( 3 1 8 ) z 。o “1 一l l i e 或者z 。o f + 1 z 瑚l 一女一m i e 或者l z n o + l 一 根据方程( 3 1 ) 1 云l ； 1 面l 6 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) m = 蒜羔篙等 c s z - ， 不失一般性，我们可以假设 i 。l + 1 一l f o ；i ；紫， 。 或者 ( 3 2 4 ) 由e 的任意性，最后根据( 3 2 3 ) 或者( 3 2 4 ) 都可以得到三= 1 ，所 以，l i m 嚣n l + 1 = 1 m 显然，上面的证明过程和子列在 a 1 ，a 2 ，a 中的选择无关，因 此l i m z + = 1 ，对所有i = 2 ，3 ，f 都成立。这就证明了l i m 。= 1 ” 根据定理3 6 和引理3 2 我们就证明了定理3 1 口 3 2 符号链 在参考文献 1 2 14 】中，我们发现方程( 3 1 ) 的具有不同初值的解序列 符号有着相同的循环。这并不是偶然现象，而且文献【1 2 一“ 中所采用的 1 6 攀 + + o 0 n n z z e e 一 + l 己 ，、【 “半环方法”是否奏效在很大程度上依赖着这一现象。正因为这样，我们 引进“符号链”，它能更简洁地刻画差分方程解的半环状态。 定义3 1 如果方程( 31 ) 的解序列的符号出现了相同的循环，我们把其中 一个循环部分叫作这个解或者方程( 3 1 ) 的一个“符号链”。 我们认为两个“符号链”是相同的，如果他们都能确定方程相同解 序列的符号。例如：1 + ，3 一，2 + ，1 - 和2 + ，1 一，1 + ，3 一被认为是同一个“符号 链”。 定义3 2 一个符号链被认为是真的，如果它不含o ，而且既不是全正也不 是全负。 符号链的确刻画了方程解的半环性质。例如：当= 3 ，f = 4 时，方 程( 3 1 ) 的真符号链是1 一，2 + ，2 一，l + ，l 一，1 + ，4 一，3 + 。也就是说，一个长度 为1 的负半环后面是一个长度为2 的正半环，然后又是一个长度为2 的负 半环，最后是一个长度为3 的正半环。现在让我们用符号链( 实质 上就是半环方法1 来研究下面两个具体方程的全局渐近稳定性。顺便可以看 到“半环方法”对符号