（概率论与数理统计专业论文）一类相依风险模型的阈值分红.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 b o u d r e a u l te t a 1 在文献 3 】中提出了一个索赔额与索赔间隔相依的风险模型， 本文将在其基础上进行推广，考虑了阈值分红及借贷问题并得到了如下主要结果：一是 g c r b e r - s h i u 期望折现罚金函数所满足的积分一微分方程，二是折现分红函数所满足的积 分一微分方程 根据内容本文分为以下三章： 第一章通过引入分红风险模型从独立模型到相依模型的发展，介绍了随机变量之间 的相依关系及两种重要的借贷模型，随后介绍了相关问题的研究结果，最后提出本文要研 究的问题 第二章第一节中介绍了g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数的概念并给出了主要结果；在 第二节，第三节，第四节中我们通过对初始索赔时刻与索赔额取条件而推导出了g e r b e r - s h i u 期望折现罚金函数所满足的积分一微分方程；第五节中，通过例子指出文献【1 6 】， 1 7 】 中的结果是本章研究结果的特例 第三章第一节是预备知识，为后面推导方程打下了基础，第二节介绍了折现分红函 数的概念并给出了主要结果；第三节运用无穷小元法推导出折现分红函数所满足的积分 微分方程，第四节将此结果与相关文献【1 1 】研究的问题进行了对照，指出参考文献【1 1 】 中相关结果是本章研究结果的特例 关键词：相依风险模型；带借贷的风险模型； 函数；积分一微分方程；阈值分红；折现分红函数 g e r b e r s h i u 期望折现罚金 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t ad e p e n d e n tr i s km o d e lb e t w e e nc l a i ms i z e sa n di n t e r c l a i ma r r i v a l sw a sp r o p o s e d b yb o u d r e a u l tc t a 1 i nr e f e r e n c e 【3 】i nt h i sp a p e rw eg e n e r a l i z et h i sc o r r e l a t i o nb a s e d o nt h em o d e l ，a n dw eu s et h et h r e s h o l dd i v i d e n ds t r a t e g yw i t hd e b i t t h ea i mo ft h i st h e - s i si st og e tt h er e s u l t sa sf o l l o w s ：o n ei si t si n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f i e db yt h e g e r b e r s h i ue x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ，a n o t h e ri si t si n t e g r o - d i f f e r ( 、n t i a lc q u a - t i o n ss a t i s f i e db yt h ed i c o u n t e dd i v i d e n df u n c t i o n t h i sp a p e ri sd i v i d e n di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： c h a p t e r1i sm a i n l yt oi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n tp r o c e s so fr i s km o d e lf r o mt h ei n d c - p e n d e n tm o d e lt ot h ed e i ) c n d e n tm o d e l ，a n dw ei n t r o d u c et w om o d e l sw i t hd e b i to ft h e r a d o mv a r i a b l e s t h e nw ed e s c r i b et h er e s u l t si nh a n d a tl a s tw ep u tu pt h eq u e s t i o n s w ew i l ! d i s c u s si nt h ep a p e r i nc h a p t e r2 w cg e tt h ei n t e g l o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f i e db yt h eg e r b e r s h i u e x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o nd i r e c t l yi nt h ef i r s ts e c t i o n i ns e c t i o nt w o ，s e c t i o n t h r e ea n df o u r ，w ed e r i v et h ef u n c t i o n sb yt h em e a n so fc o n d i t i o n i n gt h ef i r s tc l a i mt i m e a n dt h ec l a i ma m o u n t ，i ns e c t i o nf i v e ，w eg i v es o m es p e c i a le x a m p l e st oc o n d u c ts o m e s p e c i a li n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f i e db yt h eg e r b e r s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yr u n e t i o nw h i c ha r ei d e n t i c a lw i t hr e f e r e n c e s 【1 6 a n d 1 7 ，w h i c hp r o v e st h i sp a p e rg e n e r a l i z e s s o m ec o r r e l a t i o nr i s km o d e l s i nc h a p t e r3 ，i nt h ef i r s ts e c t i o nw ee x e m p l i f ys o l n eb a s i ca c k n o w l e d g ew h i c hi sh e l p f u l w h e nw ec o n d u c tt h ee q u a t i o n sl a t e r w eg e tt h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f i e d b yt h ed i s c o u n t e dd i v i d e n df u n c t i o n sd i r e c t l yi ns e c t i o nt w o i ns e c t i o nt h r e ew ec o n d u c t t h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f i e d1 ) yt h ed i s c o u n t e dd i v i d e n df u n c t i o n sw h i c ha r e i d e n t i c a lw i t hr e f e r e n c e 1 1 k e y w o r d s ：c o r r e l a t i o nr i s km o d e l ；c o r r e l a t i o nr i s km o d e lw i t hd e b i t ；g e r b e r s h i u e x p e c t e dd i s c o u n t e dp ( ：n a l t yf u n c t i o n ；i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；t h r e s h o l dd i v i d e n d ； d i s c o u n t e dd i v i d e n d sf l m c t i o n 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文一类相依风险模型的阈值分红，是本人在 导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果论文 中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：移和蓟 日期：口，仁b 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ：一类相依风险模型的阈值分红系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导 师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内 容不得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅 本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全 部或部分内容 2 d i i k 幻 口r ，争，j ， 曲阜师范大学硕士学位论文 第一章引论 破产论是风险理论的核心内容破产论最早应追溯到瑞典精算师l u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文最为著名的两个风险模型：一是复合p o i s s o n 模氆( 又 称l u n d b c r g c r a m e r 模型) ；一是连续时间的更新风险模型( 又称s p a r r ea n d e r s e n 模型) g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数最早由g e r b e r s h i u 在文献 1 0 】中提出，因 为它的许多优点，所以一经提出就成为大家研究的热点保险风险模型中的分 红策略最早由d ef i n c t t i 在文献 9 中提出，常见的有两种分红策略：一种是常 值边界分红策略；另一种分红策略是阈值分红策略g e r b e r s h i u 期望折现罚 金函数与折现分红函数一直是破产论久研不衰的课题，前者具有重要的理论意 义，比如很重要的破产概率就能由其得到；而后者涉及的分红问题就显得具有 更大的实际意义 复合p o i s s o n 模型中，盈余过程 阢，t o ) 可表示如下： ( ) u t = u + c 亡一& = u 十c t 一z k ，t 0 凫= 1 其中他0 是初始资金，c 0 是保险公司单位时间内收取保费的保费率， z k ，k 1 】是个体索赔额过程，是一列严格正的相独立的随机变量，。 ( ) ，t o 是p o i s s o n 索赔数过程且与索赔额过程( 磊，k 1 ) 相独立 但现实中，我们遇到的更多是两个过程不独立的情况现在我们假设索赔 数过程 ( ) ，t o 是p o i s s o n 过程，其索赔时间间隔是独立同分布的参数为a 的指数随机变量，用( i ，1 0 ，j n + ) 表示，即概率密度 k ( t ) = a e 以。，( t 0 ) 而个体索赔额 乞，j + ) 是一列正的独立同分布的随机变量 我们再假设双变量随机变量 ，弓 0 n + ) 相互独立，但 弓) 和 ) 不 独立，具体说，索赔额是以索赔时间间隔为条件的 b o u d r e a u l tc t a 1 在文献 3 】中提出了一个与乙相依的条件密度函数 表达式定义，z 删，( z i u ，) 作为一个特殊的任意两个密度函数f l ( x ) 与止( z ) 的混 合，即 饧i ( z f 伽) = e 一声” ( z ) + ( 1 一e 一肋) 丘p ) z2 0 j = 1 ，2 我们在其基础上稍加改造，定义，z ，m ( 1 叫) 作为上述两个普通密度函数f l ( z ) 与k ( x ) 的较一般的混合，即 第一章 引论 ，互，i ( zj t u ) = n e 一肋 ( z ) + ( 1 一o r e 一卢”) 止( 。) z 0j = 1 ，2 ( 1 1 ) 近年来，借贷问题成为风险领域的一个研究热点即当保险公司的盈余为 负时并不立即宣布破产，当它的盈余在某个范围时，它可以从银行贷款继续经 营 在我们的借贷风险模型中，保费率表示为q ，索赔额 z k ，k 1 ) 与索赔间 隔 ( ) ，t 0 ) 的相依关系如式( 1 1 ) 所述，用b ( b 0 ) 表示分红边界，e ( 0 ) 是常利率，6 ( 6 ) 是贷款利率 当保险公司盈余忍小于0 时，它能以6 的利息率从银行贷款，但当r c 一譬 时，保险公司便无力偿还贷款，这时保险公司将宣布破产即带借贷的相依风 险模型可表示如下： d r t = 一d s , ，r b ， 一d ，0 r b ，( 1 2 ) 一慨一詈 忍 o 通常情况下，c ，c 2 ，c 3 是非负常数 模型( 1 2 ) 中，珏用表示破产时间，即t r ：一- - - i n f t 0 ：r c o ) ，用乃表示 绝对破产时间，即乃：= i n f t 0 ：r t 一警 fc z 班+ c ( 巩一詈) 班一d & ， 阢6 + 詈， d 矾= c - d + ( 巩一詈) 出一d & ， 害阢 6 + 鲁， ( 1 3 ) 【6 u t d t d s ， o 阢 c a 6 模型( 1 3 ) 中，用丁表示破产时间，即t ：一- - - i n f t 0 ：u t 0 ，i = 1 ，2 ， y u e ne ta 1 在文献( 1 9 】中，主要考虑了带边界分红策略的复合p o i s s o n 模 型，并得到了其g e r b c r s h i u 函数其满足的积分一微分方程 h uy a n ge t a 1 在文献 1 6 中，对带借贷问题的多段复合p o i s s o n 模型作了 研究，得到了g e r b e r s h i u 函数满足的积分一微分方程 h a i l iy u a n ，y i j u nh u 在文献( 1 7 l 中，研究了带借贷及边界分红策略的复合 p o i s s o n 模型，并得到了g e r b e r s h i u 函数满足的积分一微分方程 l i n ，x s 与p a v l o v ak p 在文献 2 3 中研究了阈值分红策略下的复合p o i s s o n 模型g e r b e r ，h u ，s h i u ，e s w 在文献 1 1 】中给出了阈值分红策略下的复合 p o i s s o n 模型的分红函数满足的积分一微分方程 张燕等在文献【2 9 1 中，详细研究了阈值分红下的相依风险模型，并得到了 g e r b e r s h i u 函数满足的积分一微分方程 本文立足于上述文献研究的问题并做进一步推广，就带借贷及阈值分红问 题的相依风险模型( 1 3 ) 进行了研究，并得到了g e r b e r s h i u 函数和分红函数满 足的积分一微分方程 3 第二章g e r b e r s h i u 函数 第二章g e r b e r s h i u 函数 本章主要研究了模型( 1 3 ) 的g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数，根据初始盈余 u 的不同，g e r b e r s h i u 期望折现罚金函数有三种不同的形式本章分别在第二 节，第三节，第四节研究了不同条件下的函数形式在研究过程中主要利用了 条件期望的相关性质 2 1g e r b e r s h i u 函数及主要结果 定义2 1 1 g e r b e r - s h i u 期望折现罚金函数m 。( 简称g e r b e r s h i u 函数) ，定义如 下： 竹l u = m 。；警，6 = e e _ 7 t u ( u ( 丁一) ，j u ( t ) 1 ) ，( 丁 。o ) j u ( o ) = 乱】 其中叩表示折现因子，u ( t 一) ，i u ( r ) 1 分别表示破产前瞬间盈余及破产时赤 字，u ( 。，秒) ，( z ，y r + ) 为非负的二元函数，a ( a ) 表示事件a 的示性函数 f1 ，口a 厶( n ) = 【0 ，o a 需要特别注意的是，当d = o ，u ( z ，y ) = 1 ，( z ，y r + ) 时，恰好是破产概率 模型( 1 3 ) 中，根据u 大小不同，弛。可以分为以下三种情况 定理2 1 1g e r b e r s h i u 函数m 。满足如下积分微分方程 【( 让一警) + c 2 】m ；( “) = ( a + 7 7 ) m 3 ( 让) + a r 卫c 7 。( 钆) 一a 。( u ) ，钆6 + 警 ( 2 1 1 ) 【( 让一警) + c 2 】m ；( “) = ( ，+ 即) m 2 ( 钆) + a 口3 0 2 ( “) 一a d 魄( “) ，了c 3 让 6 + 詈( 2 1 2 ) j 姗：( 札) = ( a + 咖出) + a n 卢d 盯1 ( u ) 一入嗍( u ) ， o 札 鲁 ( 2 1 3 ) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 并满足 其中 l i mm 】( u ) = t 一( 警) 一 “7 l i m ，m 2 ( u ) u - - - * ( b + 孕) 一 l i m 7 n 2 ( u ) u 一( 警) + 一 l i m 。m 3 ( u ) t 一( 6 + 警) + r ur o o 1 ( 乱) = m ( u y ) f l ( y ) d y + u ( 钍，可一u ) f ，( y ) d y 0j ” 州u ) 一刍z 等三e 一半州引州沪俐d s 十笛警e 哪帆似l n 华托b 1 ( s h ( s ) 】 + 三厂。e 一半啪+ 孚一孚) 舌( 缈 + i j iz + 等e 6“1 。5 。 6 。1 。5 1 以u ) = 广e 掣l n 0 3 ( u ) + e 半k = z 。e 半h r l + ( 一鲁) 。 e i 。+ 。( 。u 1 - 。等。一) e ( $ 釜) f + r 2 面琦i 瓦 8 + 詈一警 c 1 + ( s 一警) c 1 + ( s 一警) e c 2 + ( s 一譬) d s c l + ( s 一警) ( 1 ( s ) 一v 2 ( s ) ) d s ( 1 ( s ) 一v 2 ( s ) ) d s ( 1 ( s ) 一v 2 ( s ) ) d s 对于定理2 1 ，我们将在以下几节利用全期望公式予以证明 5 d s 第二章g e r b e r s h i u 函数 2 2m ，( 乱) 满足的积分一微分方程 当“譬时，我们首先应知道盈余恰好达到警的时刻然后我们对初始索 赔时间及索赔额取条件这样，我们又可分以下三种情况： 第一种情况是首次索赔发生在盈余到达警之前； 第二种情况是首次索赔发生在盈余在警与b + 警之间； 第三种情况是首次索赔发生在盈余超过b + 警时 并且每种情况都含有两种可能，即产生破产或不产生破产 首先作为预备工作，我们来看下边几个方程组： ( i ) 解方程组 严刊六 ( 2 2 1 ) 【u ( o ) = 仳 得巩= 乱e 乳垒矽1 ( 札) 并令砂( u ) = 警，求得盈余恰好达到警的时刻专，( 钆) = 否11 n ( 嚣) ( i i ) 解方程组 udu。矗t=。uc，l，d：t+警e(巩一詈)出。 c 2 2 2 ， 得以= 警+ 组墨三警全2 ( 钆) 并令矽。( ) = 6 十警求得盈余恰好达到6 + 警的时刻f 。( 乱) = ；11 1 1 ( 地c 1 1 + ( 让) ( i i i ) 解方程组 6 ( 2 2 3 ) d 铅一j 一 巩鱼j ， 1 - 卜 6 出 = c 一：吖 f | 小 巩 憎 吠 u ，ii，l_【 曲阜师范大学硕士学位论文 解得巩= 从而有： 譬地l 赡+ el ( 等) ；矿。+ 警一詈全3 ( 链) 。 m l ( u ) = e c 1 “w ( u ( t 一) ，i u ( 丁) i ) ，( t o o ) ，f i r s tc l a i mo c c u r 8i n ( o ，1 ( u ) ) 】 + e e 一叩7 1 u ( ( r 一) ，i u ( t ) ) i i ( t o o ) ，f i r s tc l a i mo c c u r 8i n ( l ( 珏) ，( u ) ) + e e 一 w ( u ( t - ) ，i u ( t ) ) i i ( t o 。) ，f i r s tc l a i mo c c u t 8i n ( 已( 钆) ，) 1 = a l l + a 1 2 + a 1 3 又因为 a 1 1 = e f e 一可t w ( u ( t ) ，f u ( t ) i ) i ( t ) ，f i r s tc l a i mo c c u r si n ( 0 专1 ( “) ) ，n or u i n 】 + e 【e 叫7w ( u ( t 一) ，j u ( t ) i ) i ( t o 。) ，f i r s tc l a i mo c c _ 【t r si n ( 0 ，l ( 札) ) ，r u i n 】 ，in 1 )r 咖1 ( u ) = 入( j 一( a + 叩) 。 m ( 砂1 ( u ) 一剪) ( “r ，一夙 ( 箩) + ( 1 一“p 一肛f 2 ( y ) ) ) d y d t j 00 ，f l ) t o o + a e 一( a + 班 u ( 1 ( 似) ，y 一矽l ( u ) ) ( q e 一所 ( y ) + ( 1 一o r e 一优f 2 ( y ) ) ) d y d t j 0 l ( w ) ，l ( “) r e l ( u ) = a e 一( a + 7 7 7 m ( 1 ( u ) 一耖) ( q e 一优 ( 可) + ( 1 一q e 一防止( 可) ) ) d 可 ，。 + u ( l ( u ) ，耖一l ( 仳) ) ( n e 一优 ( 可) + ( 1 一q e p f 2 ( y ) ) ) d y d t 咖l ( t ，) 同理还有， a 1 2 = e e 一7 丁u ( 己，( 丁一) ， u ( 丁) i ) ( t o 。) ，f i r s tc l a i mo c c u r si n ( 1 ( 让) ，已( “) ) ，n or u i n + e e 一棚w ( u ( t 一) ，j u ( 丁) i) i ( t 。) ，f i r s tc l a i mo c c u r si n ( l ( u ) ，2 ( 札) ) ，r u i n f f 2 ( u ) ， 咖2 ( t ) = a e 一( a + v ) m ( 矽2 ( 乱) 一芗) ( e 一厨 ( ) + ( 1 一e 一俄f 2 ( y ) ) ) d y d t f l ( t ) ，0 ，2 ( 训 f o o + a c 一( a + ，7 ) 。 l ( t f )毋2 ( 竹)u ( 2 ( u ) ，y 一砂2 ( “) ) ( 口e 一所f 2 ( y ) + ( 1 一口e 一优f 2 ( y ) ) ) d y d t ，i f 2 ( 扎)厂曲2 ( ) = 入e 一( a + 枷x 【 m ( 2 ( “) 一y ) ( q e 一 ( 可) + ( 1 一n e p 。f 2 ( y ) ) ) d y j f l m ) ，0 + 还有， u ( 西2 ( 札) ，y 一砂2 ( u ) ) ( “c 一。f 1 ( y ) + ( 1 一o e 一俄f 2 ( y ) ) ) d y d t 7 第二章g e r b e l 一s h i u 函数 a 1 3 圭e e 1 7 7 u ( u ( r 一一) ，i u ( t ) i ) i ( t ) ，f i r s tc l a i mo c c ? t r 8i n ( 2 ( t ) ，。) ，n or u i n 】 + e e _ 7 r u ( ( 丁一) ，u ( 丁) ) ，( 丁 ) ，f i r s tc l a i mo c c u r si n ( 已( 礼) ，) ，r u i n + 入f 一( a + 矸) o a f ，一( a + ，t ) t a ( ：一( a + 町) ( “) m ( 咖3 ( 札) 一可) ( 仃( ，一肛f l ( y ) + ( 1 一( 2 e 一优f 2 ( y ) ) ) d y d t u ( 移3 ( t ) ，y 一矽3 ( 乱) ) ( ( y e 一一尼( 秒) + ( 1 一q e 一，f 2 ( y ) ) ) d y d t f c a ( u ) x 【m ( 砂3 ( u ) 一可) ( 叫c 一芦f l ( y ) + ( 1 一c z p 一。尼( 可) ) ) ( f 耖 。，0 u ( 3 ( 札) ，剪一3 ( “) ) ( 0 1 e m f l ( y ) + ( 1 一o l e 一凤f 2 ( y ) ) ) d y d t 为便于书写，我们引进一个新的函数 则 耽( 让) = z “m ( 乱一) ( y ) d 可+ z 。0 u ( u , u - u ) f , ( ) d ，( i = 1 ，2 ) 斥l ( u ) a 1 1 = a f ，一( 1 + 口) 。f 。e 一肌王l ( l ( 孔) ) + ( 1 一“e 一尉) 地( 1 ( 珏) ) 】d ，0 f e 2 ( u ) a 1 2 = a r ，一( a + 田) 。 o l e 一肛魄( 2 ( 乱) ) + ( 1 一e 一疣) 忱( 2 ( 珏) ) 出 ， 1 0 ) ，o o a 1 3 = a f ，一( a + 野) 。【位p 一多。l ( 西3 ( 钆) ) + ( 1 一o p 一) 沈( 3 ( 钆) ) 】疵 j f 2 ( t ，) 在( 2 2 5 ) 中，令- ( 札) = s ，则t = l n ( ：) ，且u s 警，d t = 击d s ， 于是 盟 = 。6 知掣l n 娉忙知n ( 昙) 1 ( s ) + ( 1 - - o ! e - 知n ( 釉h ( s ) 】去幽 8 ( 2 2 4 ) ( 2 。2 ，5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) x 广厶e e 怎 i i + = 小 厂，协 曲阜师范大学硕士学位论文 关于u 求导得 码。= + ? a e - 字州邓p 一害i n , 暑v l ( s ) + ( 1 - - 。e - 和) 嘶) 】去矗s z 譬加掣叱h 母吧，岳( 吣) 叫s ) ) 。如 1 一a q m ( s ) 赤 = 害+ 筹庶- e 一半眦趴州s ) 刊s ) ) 扣跏s ) 在( 2 2 6 ) 中，令2 ( 乱) = s ，则t = i n 壁鲁赴 于是 + f l ( u ) ，且警s 警+ b ， 锄：厂争+ b a e - c a + r 1 ) ( i n 唑牟帅) ) j 擘 陋球，( 啪l n 坐靼) 魄( s ) + ( 1 一e 叫“u n 业害) 娩( s ) j c 1 十( s 一警) e 关于他求导并整理得 q 2 = + d s 等锄 警柚e m 伪+ l n 华巾小，一 6 l + ( s 一警) 在 d 8 耽( s ) ) ( 2 2 7 ) 中，令妒3 ( ) = s ，贝0t = ；1l n ( s + 譬一警) 者出圮+ e 2 且s 6 + c q d a ，d t2 瘸邓瓠 于是 a 1 3 a e - 半i n f ( s + 孚一警) x 眚等赣( 最) 善】 。e 一舢s + 孚一警峙糍( 缈s ) + ( 1 一化e 一；i n i ( 一+ 孚一警) x 寿x 筹赣( 器) 5 1 ) 沈( s ) 】 e ( s + 詈一警) 9 ( 擘6 u 谰s j ， ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 关钍求导并整理得 第二章g e r b e r s h i u 函数 = 守钆 一l 等层e 哗l n | w 峙峨( 剐卸 ( 1 1 ( s ) 一圪( s ) ) 8 + 詈一警 因为m l ( u ) = a 1 l + a 1 2 + a 1 3 ，且由( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 0 ) 得 m ，( 小m l ( 札) 塑6 u + 警州小箦州毗让o 扎 做简单整理便得到： 其中 6 u m ：( “) = ( a + 7 7 ) m 1 ( u ) + , a 3 d a l ( 札) 一, c t u l ( 钆) nt u l ( u ) = m ( u y ) f 1 ( y ) d y + u ( u ，y u ) ( 可) d y 0j “ 州牡嘉孚 半l 吣1 ( s ) 刊s 耻s + 万 譬e 一( a + ，+ 叼) ( 1 n 二l 三学+ f t ( u ) ，( s ) 一沈( s ) 】 + 三厂。e 一半嘶+ 孚一警) 寿( 缈】 + 上+ 阜e 5 “p 一引q ”“r 即证明了( 2 1 3 ) 1 0 8 + 譬一警 d s c l + ( 8 一警) ( 2 2 1 0 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 2 3m ：( 毯) 满足的积分一微分方程 当警su b + c _ 。a 时，欲推导仇：( u ) 所满足的积分一微分方程，我们可以在 推导m 。( 乱) 的基础上，先求得盈余恰好达到b + 警的时刻 我们同样是对初始索赔时间及索赔额取条件这样，我们又可将其分以下 两种情况： 第一种情况是首次索赔发生在盈余在警与6 + 警之间；第二种情况是首次索赔 发生在盈余超过b + 絮时 并且每种情况都含有两种可能，即产生破产或不产生破产 首先作为预备工作，我们还是来看f 边几个方程组： ( i v ) 解方程组 f d 阢2c l d t + ( 巩一警) d 六 ( 2 3 1 ) 【u ( o ) = 让 解彳导阢= 型竺墨些+ 詈全。( u ) 并令矽。( u ) = 6 + 警，解得盈余恰好达到6 + 警 的时刻： 铷1 n 燕 ( v ) 解方程组 dug。=。“c，：，d：t+6e + ( g 詈, - 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( u 导) e + c i 鬻b e + e ：l l ， n h s + + r c z l i 1 ( s ) + ( 1 一。e 一；n垤+ r 2 。工1 ( s ) + ( 一o e 。“ = 瀑锄 糍。出b e + c 2 1 j ) 地( s ) 】d s 1 ( 8 一警) 十c 1 + 层刎e 毕【鬻铷 ( t 一警) e + c 1 ( u s ( s ) 一忱( u ) ) d s ( s 一詈) e + c 1 ( 2 3 6 ) 有了上边的准备工作，现在对( 2 3 4 ) ，( 2 3 4 ) 式两边同时关于u 求导，并考 虑到( 2 3 5 ) ，( 2 3 6 ) ，于是有 酬= 蒜观 + 赤广e 警l n ( 钆一警) + c 1 。 。 一一：一某五一( l ( s ) 一忱( s ) ) d s 石= 一丽s 叫2 厂一半l n + l a o e , g t e c + 孚 ( 一导) c + c l 石轿 鬻糍l ( u l ( s ) 一忱( 钆) ) d s 一 若令 a “ ( 让一警) - t - c 1 ( s u l ( s ) 1 4 詈) - t - c 1 ( u 一警) e + c 1 ( 2 3 7 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 叫垆抖警e 一半l n 赫 + 层e 哗h 则( 2 3 7 ) 式可写成： 。l + ( 一争j 。 i i 书 c 1 + ( s 一警) e c l - t - ( s 一警) e ( v 1 ( 8 ) 一忱( s ) ) 如 ( y 1 ( s ) 一地( s ) ) d s 【( 让一警) e + c 2 】m ：( 札) = ( 入+ 7 7 ) m 2 ( u ) + a 。盯2 ( 让) 一入a z ( 札) ，c a j 缸 b + 警时，欲推导m 。( 让) 所满足的积分微分方程，我们可以在推导 仇。( 让) 的的基础上进行 我们同样是对初始索赔时间及索赔额取条件但这时只有一种情况：即首 次索赔会发生在任意时刻并且这种情况仍然含有两种可能，即产生破产或不 产生破产 我们重复前面得思路便可得到m 。u ) 满足的积分微分方程 首先作为准备工作，我们先来看下边的方程组： p 阢= c 2 d t + ( 阢一c 。3 ) d t i 纱( o ) ：t 正 解得玩= ! 也掣_ 旦+ 警全6 ( 缸) 于是 m 3 ( u ) = e e o t w ( u ( t 一) ，l u ( t ) i ) i ( t o 。) ，f i r s tc l a i mo c c u r 8i n ( 0 ，0 0 ) 】 厂o 。，i q 6 t t j = a e 一( a + 7 7 ) 。m ( 6 ( 让) 一可) ( n e - a f l ( u ) - t - ( 1 一c c e - b t f 2 ( y ) ) ) d y d t j oj o + a e 一( a + ，7 ) 。 u ( 妒6 ( 他) ，y 一妒6 ( 钍) ) ( a e 一日2 ( 可) + ( 1 一q p