毕业论文-第二类曲线积分的计算

安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 1页 共 15 页 第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟指导老师：张玮玮 摘要摘要：本文结合第二类曲线积分的背景和平面和空间图形第二类曲线积分的定义介绍第二类曲线积分 的，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积 分进行计算。 关键词关键词：第二类曲线积分第一类曲线积分二重积分参数方程对称性原理斯托克斯公式 1 1引言引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系， 重点介绍若干种主要 的计算方法。 1.11.1第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景， 平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的 第二类曲线积分的定义。 1.21.2 第二类曲线积分的计算方法第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法， 利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以 及利用对称性简化或计算的方法。 2 2 第二类曲线积分的定义第二类曲线积分的定义 2.12.1 第二类曲线积分的物理学背景第二类曲线积分的物理学背景 力场),( , ),(),(yxQyxPyxF沿平面曲线L从点 A 到点 B 所作的功 一质点受变力yxF, 的作用沿平面曲线L运动,当质点从L之一端点A移动到另一端B时, 求力yxF, 所做功W。 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A沿直线运动到B,那末这个常力F 所做功为 W=ABF . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L作分割,., 110nn AAAAT ， 即在AB内插入1n个分点,., 121n MMM 与A= n MBM, 0 一起把曲线分 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 2页 共 15 页 成n个有向小曲线段 ii MM 1 ), 2, 1(ni,记小曲线段 ii MM 1 的弧长为 i S.则分割 ,., 110nn AAAAT 的细度为max 1 i ni ST .设力yxF, 在x轴和y轴方向上的 投影分别为),(yxP与),(yxQ,那么yxF, = =),(),(yxQyxPjyxQiyxP ),(),(由 于),(),( 111iiiiii yxMyxM 则有向小曲线段 ii MM 1 ), 2, 1(ni在x轴和y轴方 向上的投影分别为 11 iiiiii yyyxxx与.记 ii MM L 1 =),( ii yx 从而力yxF, 在小曲线段 ii MM 1 上所作的功 i W),( i F ii MM L 1 = ii P, i x+ ii Q, i y 其中( ji ,)为小曲线段 ii MM 1 上任一点,于是力yxF, 沿L所作的功可近似等于 i W= n i i W 1 i n i iii n i ii ysQxSP 11 ),(),(当0T时,右端积分和式的极限就是所 求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。 2 2.2.2第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的定义 设),(yxP,),(yxQ为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线 AB L上的函数,对 AB L任一 分割T,它把 AB L分成n个小弧段 ii MM 1 ), 2, 1(ni； 其中A= n MBM, 0 .记各个小 弧段 ii MM 1 弧长为 i s,分割T的细度为max 1 i ni ST ,又设T的分点的坐标为 ),( iii yxM, 并 记 11, iiiiii yyyxxx,), 2, 1(ni. 在 每 个 小 弧 段 ii MM 1 上任取一点 ii ,若极限。 n i iii T xP 1 0 ),(lim n i iii T yQ 1 0 ),(lim 存在且与分割T与点 ii ,的取法无关,则称此极限为函数),(yxP,),(yxQ在有向线段 AB L上的第二类曲线积分,记为 L dyyxQdxyxP),(),(或 AB dyyxQdxyxP),(),( 也可记作 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 3页 共 15 页 LL dyyxQdxyxP),(),(或 ABAB dyyxQdxyxP),(),( 注注：(1) 若记yxF, = =),(),(yxQyxP,dydxsd, 则上述记号可写成向量形式 L sdF 。 (2) 倘若L为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),(zyxP,),(zyxQ,),(zyxR为定义在L上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲 线L的第二类曲线积分,并记为 dzzyxRdyzyxQdxzyxP L ),(),(),( 按照这一定义 , 有力场),( , ),(),(yxQyxPyxF沿平面曲线L从点A到点B所作的 功为 AB QdyPdxW.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分 有 BAAB ,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x轴上的线段时的特例.可类似地考 虑空间力场),( , ),( , ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF沿空间曲线 AB L所作的功. 为 空间曲线 AB L上的第二型曲线积分 AB dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(。 3 3第二类曲线积分的几种计算方法第二类曲线积分的几种计算方法 3.13.1对坐标的第二类曲线积分的概念对坐标的第二类曲线积分的概念 设函数在平面),(yxP上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点 )2 , 1 , 0)(,(niYXM iii 将曲线L从起点A到B分为 n 个有向小弧的长度 iii l),(， 作和式 1 ),( iii n i ii XXXP。 记 i ni l 1 max， 若极限IXP i n i ii 1 )(lim 存 在，且对曲线 L 的分点及点 ii ,的选取方式无关，则称此极限为函数),(yxP按从A到 B的 方 向 沿 曲 线L对 坐 标x的 曲 线 积 分 ， 记 作 的 曲 线 积 分 L dxyxP,记 作 i n i ii i L XPdxyxP 1 1 )(lim),(，其中),(yxP称为被积函数，L称为被积路径，对 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 4页 共 15 页 坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。 类似的，设函数),(yxQ在xy平面上的一条光滑（或分段光滑）曲线)(ABL上有定义 且有界。若对于 L 的任意分法和),( ii 的任意取法，极限都存在且唯一，则称此极限值 i n i ii YQ 1 ),(lim 为函数),(yxQ按从A到B的方向沿曲线L对坐标Y的曲线积分，记作 L dyyxQ),( 3.23.2第二类曲线积分的参数计算法第二类曲线积分的参数计算法 首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 2 0 1 ( , )lim( ,) n iii l i f x y dss 第二类曲线积分就是 0 1 ( , )( , )lim( ,)( ,) n iiiiii l i P x y dxQ x y dyPxQy （1） 这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分和中是乘的 ii ss ,，是一小段 弧的弧长， i s总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的yx,坐标的增量 11, iiiiii yyyxxx， i x与 i y是可正可负的。当积分的路径反向时， i s不变， 而 i x， i y反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二 类曲线积分与定积分是一样的。 计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积 分，但两类曲线积分有些不同。 设曲线l的参数方程为 ( ), ( ), xx t t yy t 则第一类曲线积分的计算公式为 22 22 22 ( )( ) ( )( ) dsdxdyx t dty t dt xt dtt dt dt 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 5页 共 15 页 这里要注意，即对t的定积分中，下限比上限小时才有0dt，也就有 dtdt ，这 样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿l上的点由A变到B，即 t 的下 限对应曲线积分的起点A，他的上限对应曲线积分的起点A，t的上限对应终点 B。 在计算中总要用到曲线的参数方程， 这里列出一些常用曲线的参数方程。 椭圆的参数方 程为 (sin ), 02 (cos ), xa tt t ya tt 有些较简单的曲线可取 x 或 y 为参数， 即可由直角坐标方程。例如， 直线 baxy， 取可由直角坐标方程得出参数方程。例如，直角baxy，取x为参数，参数方程即为 , , xx x yaxb 又如，抛物线xy ，取y为参数，参数方程为 2, 0 , xy y yy 例例 1 1设l为以)0 , 0(),0 , 1 (),0 , 0(BAO为顶点的三角形边界，计算 （1） l dsyx)( 22 （2） l dyyxdxyx)()( 2222 ，沿逆时针方向。 解： （1）这是第一类曲线积分。 22 222222 () ()()() l OAABOB xyds xydsxydsxyds 线段OA的参数方程为 , 01 0, xx x y 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 6页 共 15 页 1 222 0 1 () 3 OA xydsx dx 线段AB的参数方程为 , 01 1, xx x yx 1 2222 0 2 2 ()(1) ) 2 3 AB xydsxxdx . 线段OB的参数方程为 0, 01 , x y yy 1 222 0 1 3 i OB xy dsy dy 所以 3 )21 (2 3 1 3 22 3 1 )( 22 L dsyx （2）这是第二类曲线积分。 22 ()(2) l xy dxxdy 2222 ()(2)()(2) OABO xydxxdyxydxxdy 111 222 000 (1)(2) (1)2x dxxxdxxdxdy 1 2 0 11 (1 32)2 36 xx dx 在这个例子中， 必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法， 尤其是方向性 问题。 3.33.3利用格林公式计算第二类曲线积分利用格林公式计算第二类曲线积分 分段光滑的曲线l围成的连通有界闭区域，函数),(yxP，),(yxQ在其上有一阶连续 偏导数，则有格林公式 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 7页 共 15 页 ( , )( , )() l D QP P x y dxQ x y dydxdy xy 其中l取正向。 格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系。 凡是建立了两个重要概念的联 系的公式都是极为重要的，格林公式正是这样的公式。在讨论曲线积分与路径无关问题中， 在许多公式的推导中，在曲线积分的计算中，格林公式都是很重要的工具。这里再列举两个 计算曲线积分的例子。 例例 2 2.用格林公式计算例 1 中（2）的第二类曲线积分。 解： 显然，这个积分满足格林公式的条件。用格林公式， 22 ()(2) l xy dxxdy 11 00 (12 )(12 ) y D y dxdydyy dx 1 0 1 (1 2 )(1 2 ) 6 yy dy 这比例 1 中的解法简单一些。 例例 3 3.计算第二类曲线积分 22 ()(), l yx dxxydy 其中l为从)0 , 2(A到)0 , 2(B沿椭圆 2 2 1 4 x y 的上半部分的曲线。 解：l不是一条封闭曲线，不能直接用格林公式。增加沿x轴的线段BA而成为封闭曲 线。 2222 ()()()() lBA yx dxxydyyxdxxydy ( 1 1)224 D dxdy 22 ()() l yx dxxydy 22 4()() AB yx dxxydy 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 8页 共 15 页 22 4()() BA yxdxxydy 2 2 2 16 44 3 x dx 此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线 积分的计算转化为二重积分的计算。 3.43.4利用对称性计算第二类曲线积分利用对称性计算第二类曲线积分 定理定理 1 1设L为xoy平面上关于x轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函 数， 设为)(),(bxaxyy。 记 21,L L分别为L位于x轴的上半部分与下半部分， 21,L L 分别在上的投影方向相反，函数),(yxP在L上连续，那么 1）当),(yxP关于y为偶函数时，则 ( , )0 L P x y dx 2）当),(yxP关于y为奇函数时，则 1 ( , )2( , ) LL P x y dxP x y dx 证明：依定理条件不妨设 )(: 1 xyyL从点a变到点b )(: 2 xyyL从点b变到点a 于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有 12 ( , )( , )( , ) LLL P x y dxP x y dxP x y dx , ( ),( ) bb aa P x y xdxP xy xdx , ( ),( ) b a P x y xP xy xdx , ( ),( ) b a P x y xP xy xdx 故 1）当),(yxP关于y为偶函数时，有 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 9页 共 15 页 ( , ) , ( ), ( ) b La P x y dxP x y xP x y xdx 00 b a dx 2）当),(yxP关于y为奇函数时，有 ( , ) , ( ), ( ) b La P x y dxP x y xP x y xdx 2, ( )2( , ) b aL P x y xdxP x y dx 注注 1 1对于 L dyyxQ),(有定理 1 的结论 注注 2 2定理 1 可用两句口诀来简言之，即“反对偶零” “与反对奇倍” 。其中“反” 指在轴上的投影方向相反； “对”指关于轴对称； “偶”指被积函数在上关于为偶函数； “零” 指曲线积分的结果等于零。口诀“反对奇倍”涵义类似解释。 关于曲线积 L dxyxP),( 分还有另一个对称性的结论是 定 理定 理 2 2设 为 平 面 上 关 于 轴 对 称 的 一 条 有 向 光 滑 曲 线 弧 ， 其 方 程 为 )(),(axaxyy ，记 21,L L 分别L为位于y轴的右半部分， 21,L L 分别在x轴上的投 影方向相同，函数),(yxP在L上连续，那么 1）当),(yxP关于x为奇函数时，则 ( , )0 L P x y dx 2）当),(yxP关于x为偶函数时，则 1 ( , )2( , ) LL P x y dxP x y dx 证明：依定理条件不妨设 )(: 1 xyyL从点0变到a )(: 2 xyyL 2: ( )Lyy x 从点a变到0)0( a. 于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有 12 ( , )( , )( , ) LLL P x y dxP x y dxP x y dx 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 10页 共 15 页 0 0 , ( ), () a a P x y xdxP x yxdx 对右端第 2 个积分，令tx，有 0 ( , )() a Px yxdx 00 (, ( ), ( ) aa Pt y t dtPx y x dx 因此有 ( , ) L P x y dx 00 , ( ), ( ) aa P x y xdxPx y xdx 0 , ( ), ( ) a P x y xPx y xdx 故 1）当),(yxP在L上关于x为奇函数时，有 ( , ) L P x y dx 0 , ( ),( ) a P x y xP xy xdx 0 00 a dx 2）当),(yxP在L上关于x为偶函数时，有 0 ( , ) , ( ), ( ) a L P x y dxP x y xP x y xdx 1 0 2, ( )2, ( ) a L P x y xdxP x y xdx 注注 1 1对于 L dyyxQ),(有类似 2 的结论. 注注 2 2定理 1 与定理 2 虽然都是对坐标x的曲线积分， 但定理 1 中积分曲线弧的对称性及其 投影都是针对x轴而言的， 而定理 2 积分曲线弧的对称性及其投影是分别针对y轴和x轴而 言的。另外，被积函数),(yxP的奇偶性也是分别针对不同的变量而言的，故定理 2 的结论 恰好与定理 1 相反，定理 2 用口诀简言之是： “同对奇零倍” 。其中“同”指 21,L L分 别在x轴的投影方向相同， “对”指L关于y轴对称“奇”指被积函数),(yxP关于x为奇 函数， “零”指曲线积分结果等于零“同对偶倍”的涵义类似解释。 例例 4 4计算 L xydxI.其中L为抛物线xy 2 从点) 1, 1 ( A到) 1 , 1 (B上的一段弧 解：以题设条件知，该曲线积分满足定理 1 中“反对奇倍”的结论，故有 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 11页 共 15 页 1 0 4 22 5 L Ixydxx xdx ， 其中，xyL: 1 ，x从点 0 变到 1. 例例 5 5计算 L dyyyxdxyxI)sin()( 222 其L为 222 ayx)0( a按逆时针方向 从点)0 ,(aA到点)0 ,( aB 的上半圆周. 解可将原式改写为3个曲线积分的代数和，即 2222 ()2(sin ) LLL Ixydxxydxxyy dy ， 依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理 2 中“同对偶 倍” 、 “同对奇零”及及定理 1 的注 1 中“反对偶乘零“的结论，故有 22 () L Ixydx 1 22 2() L xydx 0 2223 2()2 a xaxdxa 其中， 22 1: xayL，x从点a变到0。 3.53.5利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分 斯托克斯（Stokes）公式建立了沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线 L 的积分之 间的联系。在介绍下述定理之前，先对双侧面S的侧与边界L的方向作如下规定：设有人 站在S上指定的一侧，若沿 L 行走，指定的侧总在人的左方，则人的前进方向为边界 L 正 向；若沿L行走，指定的侧总在人的右方，则人的前进方向为边界线L的负向，这个规定 方法也称为右手法则，如下图所示。 定理定理 3 3设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，若函数RQP,在S（连同 L） 上连续，且有一阶连续偏导数，则 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 12页 共 15 页 ()()() S RRPRQP dydzdzdxdxdy yzzyxy L PdxQdyRdz （2） 其中S的侧面与L的方向按右手法则确定。 公式（2）称之此公式为斯托克斯公式。 证明： 先证 L S Pdxdxdy y P dzdx z P （3） 其中曲面S由方程),(yxzz 确定，它的正侧法线方向数为1 , yx zz，方向余弦为 cos,cos,cos，所以 cos cos , cos cos y z x z , 若S在xy平面上投影区为 xy D，L在xy平面上的投影曲线记为，现由第二类曲线积 分定义及格林公式有 ( , , )( , , ( )( , , ( , ) xy L D P x y z dxP x y z x dxP x y z x y dxdy 因为 y z z P y P yxzyxP y ),(,(, 所以dxdy y z z P y P dxdyyxzyxP y xyxy DD )(),(,( 由于 cos cos y z ,从而 cos =()() cos SS PPzPP dxdydxdy yzyyz 原式 (coscos) cos S PPdxdy yz 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 13页 共 15 页 coscos) S PP dS yz S PP dzdxdxdy zy 综合上述结果，便得所要证明的（3）式。 同样对于曲面S表示),(xyxx 和),(xzyy 时，可得 L S QQ dxdydydzQdy xz （4） 和 L S QR dydzdydzRds xz （5） 将（3） 、 （4） 、 （5）三式相加即得斯托克斯公式（2） 。 如果曲线S不能以),(yxzz 的形式给出，则用一些光滑曲线把S分割为若干小块， 使每一小块能和这种形式表示，因而这时斯托克斯公式也能成立。 为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式： SL dydzdzdxdxdy PdxQdyRdz xyz PQR 例例 6 6 C dzyxdyxzdxzy)()()(,其中C为椭圆若从轴ox正向看去，此椭圆是 依次反时针方向进行的。 解：椭圆如图所示，把平面1 h z a x 上C所包围的 区域记为S,则S的法线方向为aoh,，注意到S的 法线和曲线C的方向是正向联系的，可知S的法线与 轴正向夹角为锐角，因此， 2222 0 , 0 , ah a ah h n 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 14页 共 15 页 于是由斯托克斯公式知 ()()()2 C S yz dxzx dyxy dzdydzdxdzdxdy 2(coscoscos ) S dS 222222 2()2 SS haha dsdS ahahah 222 222 2 2 2222 2122() xya hahhaah daa ha aa ahah 例例 7 7 C dzyxdyyxdxzy)()()( 222222 ，式中C是曲线 22222 2,2(0,0)xyzRx xyrxrR z 此曲线是如下进行的：由它所包围在球Rxzyx2 222 处表面上的最小区域保持在左方 如图所示。 解： 注意到球面的法线的方向余弦为 cos,cos,cos, xRyz RRR 由斯托克斯公式有 =2)cos()cos()cos S yzzxxydS 原式（ 2()(1)()() S xyz yzzxxydS RRR 2() S zy dS 由于曲面S关于oxz平面对称，y关于y是奇函数，有0 S ydS 22 2 2 =cos SSS xyrx zdSRrdSRdxdyRdR r 原式 安庆师范学院数学与计算科学院 2012 届毕业论文 第 15页 共 15 页 结束语结束语 第二类曲线积分计算是平面和空间曲线积分计算的重要方法，是多元函数积分重要分 支。 本文不仅将第二类曲线积分通过参数方程转化为定积分计算， 而且对平面曲线还可以通 过格林公式转化为对二重积分的计算， 同时还可以通过斯托克斯公式建立起空间双侧曲面积 分与沿边界的曲线积分之间的联系， 对第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简 化或计算出结果。通过对本文的论述可以全面的了解第二类曲线积分的计算方法。 参考文献参考文献 【1】 同济大学数学系主编， 高等数学M,第六版，高等教育出版社。 【2】 华东师范大学数学系主编， 数学分析M，高等教育出版社，2001 年版。 【3】 杨成福；李拓,一类特殊曲线积分的计算,高等数学研究,2010,13,02。