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0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚裕华商品具有常数寿命死力的库存模型研究 摘要 库存问题是人们最熟悉最需要研究的问题之，而供应链环境下的整合库存 管理更是当今企业面临的重要问题之一，整合库存理论也是目前物流与供应链管 理的一个前沿研究领域。商品寿命死力是指在存贮过程当中寿命已经达到一定时 间的商品，在此一瞬间里寿命终止的商品所占的比率。本文对传统的库存管理问 题引入了商品寿命死力的概念，并研究了这种商品的生产商和零售商整合库存管 理模型。 本文在商品具有常数寿命死力的假设条件下，首先对传统库存模型进行了修 正，然后在此基础上重点讨论了生产商和零售商的整合库存模型，并且给出了一 系列模型的算法和算例。 商品寿命死力能够比较准确地反映商品在存贮过程中的死亡状况，在实际库 存决策中运用广泛，能够帮助库存决策者更加准确地对库存进行控制，大大地降 低供应链整合库存成本。 关键词：寿命死力、整合库存、最优化 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚裕华 痨品是有常数毒命琵力的库存模型辑究 a b s t r a c t l 藏v e 鞋| o f y 担雠eo f h o 越o s t 惫m 羹i 矗f 托s e a r c h 嚣e l d s 。 沁曩h e 勰。辩，f e s e a r c 基。瓣 i n t e g r a t e di n v e n t o f ym a n a g e m e n to fs u p p l yc h a i nj so n eo fl h er n o s ti m p o r l a n t p r o b l e m se n t e r p r i s e sf a c i n 鼢a n da l s oak e yp o i n to fl o g i s t i c sa n ds u p p l yc h a i n m a n a g e m e n r e s e a 忿h 。 髓ee o n c e p to fp d u c tl i f e 越。矗a l 矗y si n t 莲u c e 莲i n | o t f a d 洒o n a l i n l e g r a l e 琏 j n v e n t o r ym a n a g e m e n tj nf h i sa n i c l e f 0 d i l c l i j f em o r t a l i c y 讧r e f e “e di oa st h er a t i o 0 fn u m b e fo fd y i n gp r o d u c t st ot h a to fa l l1 i v i n gp r o d u c t 8a ia n yt i m ep o i n t an v j s e d m e 如l 珏v o l v 主藏g 即d h c 熏l i f em 艇a l 主l yi s 笋岛鄹鑫砖，w b 主c hi s 锚s o do n 壤e d i s c u s s i o n0 nac o n s t a n tm o r t a l i t yi n v e n t o r ym o d e l b e c a u s em o r t a l i t yi sa ni d e a lp a r 砌e t e rt 0d e s c r i b ei n v e n t o r yr u n i g ，t h i sm o d e lw i l l b 。o fg r e a t 秭p o n a n c et oe n 皓节d s e s 纽v e n o f ym a 五a g e m e n t ，h 。韬i n g 搬e ml og e ta m o r e p r e e i s ec 强扛o lo 硅i n v e n 幻r ya n dd e c 莲s ec o 鞋o f 壤e n t e 掣a t 积s u p p l yc h a 矗 x 毫yw o r d s ：m o n a l i t y ，i n t e 掣a t e di n v c n t o o p t i m i z a t i o n 2 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚幸荇华商品具有常数寿命死力的库存模型研究 1 1 研究背景 第一章绪论 库存问题是人们最熟悉有最需要研究的问题之。一般来说，库存是协调供 需关系的常用手段。库存由于需求而减少，通过补充而增加。库存论研究的基本 问题是，对于特定的需求类型，以怎样的方式进行补充，才能最好地实现库存管 理的目标。例如工厂存贮的原材料、在制品等，存贮太少，不足以满足生产的需 要，将使生产中断：存贮太多，超过生产的需要，将造成资金及资源的积压浪费。 传统的库存决策仅仅是围绕供应链中的某一方进行的，即单独从供应商，生产商 或者分销商来进行库存决策，这样对单个主体的库存决策既没有效率，而且从长 期来看又不具有可行性( d o u 譬l a sj n o m a sa n dp a u lm g r i f f i n ( 1 9 9 6 ) 【2 6 】) ，所 以要对传统的库存管理思想进行扩充，扩充为供应链环境下的库存管理。 供应链管理环境下的库存控制问题是供应链管理的重要内容之一，且由于企 业组织与管理模式的变化，它同传统的库存管理相比有许多新的特点和要求。供 应链管理环境下的库存控制主要是从系统理论、集成理论的角度出发，提出了适 应供应链管理的新的库存管理策略和方法。这些方法集中体现了这么一种思想： 通过加强供应链管理环境下的库存管理来提高供应链的系统性和集成性，增强企 业的敏捷性和响应性。这些方法和策略体现了供应链管理的新思维和新思想，并 且具有实用性和可操作性。 整合库存( i n t e g r a l e di n v e n t o r y ) 问题是当今企业面l | 岛的重要问题之一，也是物流 与供应链管理中一个比较热门的研究领域。整合库存管理是一种风险分担的库存 管理模式，整合库存管理的思想可以从生产商建立的地区分销中心的整合库存功 能谈起，地区分销中心体现了一种简单的整合库存管理思想。传统的分销模式是 零售商根据市场的需求直接向工厂订货，比如汽车零售商根据用户对车型、款式、 颜色、价格等的不同需求，向汽车生产商订货，需要经过一段较长时间才能达到， 因为顾客不想等这么长的时间，因此各个零售商不得不进行库存储备，这样大量 的库存事使零售商难以承受，以至于破产。据估计，在美国，通用汽车公司销售 5 0 0 万辆轿车和卡车，平均价格是1 8 5 0 0 美元，零售商维持6 0 天的库存，库存 费是车价值的2 2 ，一年总的库存成本费用达到3 4 亿美元。而采用地区分销中 心，就大大减缓了库存浪费的现象，地区分销中心就起到了整合库存管理的功能， 它既是一个产品的整合库存中心，同时也是需求信息的交流与传递枢纽i 3 “。 亵懿其真嚣数寿裔蓖力抟库存模型蜡究 从地区分销中心的功能我们得到启发，我们对现有的供应链库存管理模式进 行了新的拓展和重构，提出了整合库存模型的新模式。近年来，在供应链企业之 麓鳃台嫠关系孛，更趣强滗蔽方鹭互裁合搀关系，整合瘴存管理爆戆魏簿璃了骏 略联盟的新烈企业合作蓑系。整合库存管理是解决供应链系统中由于各节点企业 的相互独立库存运作模式导致的需求放大现象，提高供应链的同步化程度的一种 有效方法。熬合库存管理黼供应裔管理零售齑库存不阉，它强调双方同捧于参与， 共同制定库存计划，使供应链过程中每个霹存管理卷( 供应商，堡产商、分销商) 都从帽互之间的协调行考虑，保持供应饿相邻两个节点之间的库存管理者对需求 的与其保持一致，从而消除了需求变异放大现象。任何相邻节点需求的确定多是 撰霭双方漭瀵豹结暴，疼移警理不霉楚嚣垂为致夔猿立运器过程，霹是供霉连接 的纽带和协调中心。 根据供威链管理的思想，供应链上的备方应对库存进行协调管联，这就要求零 謦囊和生产蠢这藏长絮懿燮产镶售蛰议，潋减少惑瘁存成本，谴麴互程盏最大化， 这就意味着，生产商和零侮商之间的最优订货数量以及每次订货的缀优运输批次 数将由他们的整合总库存成本函数决怒，而不是由他们各自的库存成本函数决 定。 整合库存管理和传统的库存管理裰魄有下匿几个优点：( 1 ) 为实现供应链同 步化运作提供了条件和保障；( 2 ) 减少了供应链中的需求扭曲显现，降低了库存 的不确定性，提高了供应镳的稳定性；( 3 ) 库存作为供需双方的信息交流和协调 敬缝带，霹叛暴露供应穗篱灌孛翡缺陷，必佞建蘧管遴承乎提供依攥；( | ) 菇实 现零库存管联、准时采购以及精细供应链管理提供了条件；( 5 ) 谶一步体现了供 应链管理的资源共享和风险分担原则。 蓥舍瘴移整理系统怒供应链系统蛰疆避一步集袋必上游蠢下游嚣令蛰调麓 避中心，从而部分消除了由于供应链环节之间的不确定和需求的信惠扭曲现象导 致的库存波动。通过协调管理中心，供鬻双方共享需求信息，因而起到了提高供 斑链幻运作稳定性终用。 本文主瑟研究生产商分销渠道中的库存的整合管壤，现有大蚤文献研究了供 应链分销渠遒中的整合库存管理，如l ul u ( 1 9 9 5 ) 1 2 8 】、y 0 r kyw b o ，s h u l uh s ua n d s o u s h a nw u ( 2 0 0 1 ) 【1 1 】、拍u n g - p i a wt e oa n dj i as h u ( 2 0 0 4 ) 【3 1 对个生产商和 多个零售蠢匏蓐存进嚣了熬合管理，r o 鐾e fm 磁l ( 1 9 9 7 ) 团、s ，v 趣w a n 撼麟 ( 1 9 9 8 ) 1 2 孙、m a h o q u ea n ds k g o y a l ( 2 0 0 0 ) 【1 8 、j o n a sa n d e r s s o na n dp h i l i p m e l c h i o r s ( 2 0 0 1 ) 【16 1 、j a s o nc h a o h s m np a na n dj i n s h a n 洲g ( 2 0 0 2 ) 、至s f a e ld 鑫v i d 勰d o s h e 轴张镄a i 糖o ( 2 3 ) 【9 | 、s t a n i s l a wb v l 妇( 2 3 ) 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚裕华商品具有常数寿命死力的库存模型研究 m b e n d a y aa n dm h a r i g a ( 2 0 0 4 ) 【2 | 对单个的生产商和单个的零售商的库存进 行了整合管理，w e n d y w q u ，j a m e sh b o o k b i n d e ra n d p a u l i y o g u n ( 1 9 9 9 ) i “1 对 分销渠道中多种产品的库存和运输进行了整合分析。这些文献都是在本文第三章 整合模型的基础上进行研究的，有的文献将商品的需求率由常数变为各种形式的 随机变量，有的假设提前期内的需求服从特定随机分布，有的将提前期作为决策 变量，有的将安全库存因子作为研究对象，有的将提前期内的缺货分为如5 e 跚f e 和施c d 趔e r 两部分，有的加入服务水平限制，有的将生产商和零售商的设置成 本作为研究对象。 但是在以上这些文章都没有研究商品在库存过程当中的损坏问题，其实商品 在库存过程中永远存在损坏问题，如：灯泡、玻璃制品、保险丝、雨刮片、制动 片、火花塞等属于易坏品，牛奶、肉类、水果、海鲜、罐头、蔬菜等属于易腐品。 下面来看一下美国埃森哲商业顾问公司( a c c e n t u r e ) 近期发布的调查报告显示， 中国每年大约有3 7 亿吨蔬果在各种库存( 包括渠道中的库存) 过程中腐坏，总 值超过7 5 0 亿元人民币。造成如此巨大浪费的原因在于，中国商品流通环节的企 业及人员对冷藏保鲜物流及供应链管理理论认识不足，技术手段落后。据估计， 一些食品、蔬果的市场售价中，有7 0 被用于补贴在库存过程中的损失。调查报 告指出，缺乏冷藏设备、专业知识及冷藏设备不足，现有冷藏设备温度控制技术 不过关，以及非技术性管理，使冷藏货物的物流水平受到了极大限制。调查报告 还指出，发达国家有8 0 至9 0 的易腐坏货品专门用冷藏设备存贮，但中国只 有2 0 左右的货品使用【3 2 】。这份报告指出，中国现在对易腐品、易坏品的存贮 技术和设备非常落后，使库存成本大大增加，为了降低这些商品的库存成本，就 要不断提高存贮技术，增加先进的存贮设备。但是不管怎样提高存贮技术和增加 先进存贮设备，存贮过程中不可能完全消除易腐品和易坏品的腐坏问题，那么， 为了帮助供应链参与者能够准确控制库存，我们必须将库存商品的损坏问题考虑 进库存控制中。 现在也有许多文献研究了商品在库存过程中的损坏问题，如：p o c h u n g y a n g a n dh u i m i n gw e e ( 2 0 0 3 ) 【6 】假设某瞬间商品损坏量占该瞬间库存水平的比率为 一个固定的常数：c h e n s i n “n ，c h i h h u ac h e na 1 1 dd e n n i se o l l ( 2 0 0 3 ) 俐及 c h a o k n e ih u a i l g ( 2 0 0 1 ) 假设库存中商品的损坏率为一个固定的常数、即库 存商品损坏的数量等于定购数量乘以一个固定常数；w e n h o n gl u o ( 1 9 9 8 ) 吲 研究了存在商品损坏的整合库存管理问题，假设商品损坏率为个随时间变化的 函数；k u n s h a n w ua n d i j a n g - y u h u o u y a n g ( 2 0 0 1 ) 【1 】研究了商品损坏率为( 0 - 1 ) 分布随机变量的一般库存模型；e y l e mt e k i n ，u l k u g u r l e ra n d e m r e b e r k 【1 4 】研究了 存在商品损坏问题的一般库存模型，假设商品的生命周期为一个固定常数，只要 巍懿爨有常数寿命撼宠昀库存摸型研究 商品的库存时间超过商品生命周期就算进商品损失。 重。2 霹究的内容稆意义 本文在库存管理中引避商品寿命死力这个概念，用商品寿命死力来分析库存 商品的寿命情况，商品寿命死力是指在寿命已经达到t 的商品中，在此一瞬间里 海令终止静瑟瑟瑟占兹比警，巍晶寿念强力遴称瑟瑟瓣瘸寿会终止枣羲囊晶毒念 终止密度。商晶寿命死力可以用来确定商品的商品寿命概率分布以及商品的生存 函数。不同商品的死力不一样，像灯泡、玻璃制品、保险丝、雨刮片、制动片、 火花塞等易环晶的商品寿念死力变化不大，基本上为常数，称誊数商晶寿命死力， 国常数商菇垮命死力决定静藩品寿命服从指数分毒，本文静全部磷究 较逶震予 这些易坏品的库存模型；像牛奶、肉类、水果、海鲜、罐头、蔬菜等易腐品的商 品寿命死力随着商品生存的时间越长，商品寿命死力是递增的，有关递增商品淹 愈琵力兹臻究菲鬻复杂，怒以嚣迸一步善菇究疼毒翘懋瓣素材。 本文首先介绍了常数商晶寿命死力的定义、推倒、性质及解析形式；然后介 绍常数商品寿命死力对运筹学教科书中的四个经典的库存模型进行修正，并给出 数篷冀钢亵褥爨几点结论 接着分绥了一个生产离霹个零售蓠戆经典整合疼窍 模型，并给出箨法，许多荫关整合库存模型的研究以忿作为研究誉勰；然后研究 了常数商品淹命死力对这个经典整合库存模型进行了修正，并给出算法和进行数 值分析；最飚将该模型扩燧到一个生产巍和多个供应灏的整合库存管理模型，并 给密雾法，遮个模型要求簿个零售蠹斡运输属蘩一释，生产离先瓣逡输援垂爱大 的零售商供赞，然后对运输批量次大的零售商供货。 商品寿命既力是对库存商品寿命一种比较准确的撼述，能够比较准确地反映 黉磊存贮：l 童鼷中褰鑫豹疼耧窳平交纯淡及巍品寿愈终垂状嚣，毙戳经茨痒存骚突 更加反映实际库存成本，使库存模型更加符合实际情况，能够帮助库存决策者更 加准确地做好库存决策。 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚裕华商品具有常数寿命死力的库存模型研究 1 3 本文结构 文章共分为3 大部分： 第1 部分的内容为第1 章“绪论”部分，介绍了本文的研究背景和目前跟本文 相关的研究成果，并且介绍了本文研究的内容和文章的框架。 第2 部分的内容为第2 章“商品具有常熟寿命死力的经典库存模型”，介绍了 商品寿命死力的基本概念、性质和一些常见的死力解析式，以及常数商品寿命死 力对经典库存模型的修正，并且一一给出修正算例。 第3 部分的内容包括第3 、4 、5 章3 章，其中，第3 章“商品具有常数寿命死 力的一个生产商和一个零售商的整合库存模型”建立了一个生产商和一个零售商 的整合库存模型，并给出算法；第4 章“基于常数死力的整合库存模型”建立了一 个生产商和一个零售商的基于常数死力的整合库存模型，并为求解该模型给出了 算法和算例，然后对模型进行数值分析。第5 章“商品具有常数寿命死力的一个 生产商和多个零售商的整合库存模”对第4 章的模型进行扩展，建立了个生产 商和多个零售商的基于常数死力的整合库存模型，并为求解该模型给出了算法。 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚裕华 商品具有常数寿命死力的库存模型研究 第二章商品具有常数商品寿命死力的经典库存模型 2 1 商品寿命死力综述 2 1 1 丽品寿命死力的定义 我们定义商品寿命死力是指在寿命已经达到f 的商品中，在此一瞬间里寿命 终止的商品所占的比率，商品寿命死力也称商品瞬间寿命终止率或商品寿命终止 密度。用符号以表示在f 时刻的商品寿命死力，用f 0 表示开始时新商品的总数量， z ，表示f 。数量的新商品经过时间f 后仍然完好的数量，x 表示新商品的寿命，商 品的生存函数s ( f ) 一p f 皤f ) 表示新商品的寿命达到f 的概率，则f ，；f 0 j ( f ) ，那 么f 时刻商品寿命死力为： ，；l i ml 生世三。l i m 业上且业三。一掣 ( 2 1 ) 。 ar _ o + r f ， a f - o + f s ( f )j ( f ) 求解该等式得商品的生存函数5 ( f ) = e x p ( 一上肛，出) ，商品寿命的分布函 数f z ( f ) i1 一e x p ( 一丘，d s ) 。对于寿命已经达到f 的商品，在未来一段时间缸 内仍然活着的概率。n 为： a ，p 。zp r ( x 壬r + r x = r ) - ! 玉专；三上e x p ( 一，+ 6 口，出) ( 2 2 ) 那么，+ 。一f ，- 。，只表示数量f ，商品寿命为f 的商品，当其商品寿命到达 f + 址时仍然完好的商品数量。 2 1 2 而品寿命死力的性质 死力具有如下性质： ( 1 ) 当f 苫0 时， 肛，己 0 ； ( 2 ) 对于任意f o ，都有， ，办= + 。 ( 3 ) 雎是死力，则上。 rp ，卢出；1 。 商品具有常数寿命死力的库存模型研究 2 1 3 商品寿命死力的几种常见解析形式 ( 1 ) 常数死力：即商品的死力不随时间而变化以；，从而可以得到下面 坌占论：5 0 ) = 已一一，f ( r ) = 1 一s p ) = 1 一已一珂，5 g + r ) 墨s p p 一肚，+ a r = f ，已一肚，山p ，= p 一础。 常数死力是所有死力中比较简单的解析形式，本文以常数死力假设作为全部 研究的基础，原因是常数死力比较便于计算，而且常数死力决定的商品寿命没有 后效性，期末的剩余完好产品数量只取决于起初完好商品的数量和这段期间的长 度，也就是商品的寿命没有记忆性，其实就是商品的寿命服从指数分布。 ( 2 ) d e m o i v r e 形式：口。= 兰一( o s 工s 仃) ，其中，口是极限年龄。该死 力解析形式是1 7 2 9 年由d em o i v r e 创建的，在该解析形式下，商品寿命终止年 龄x 在区间【0 ，巧】山服从均匀分布，分布函数为f 0 ) = 1 一j 0 ) = 兰，0 s z n 。 ( 3 ) g o m p e n z 形式：以；b c l ( 工0 ，曰 0 ，c 1 ) 。该死力解析形式 是1 8 2 5 年由g o m p e n z 创建的，在该解析形式下，商品寿命终止年龄z 的分布 函数为f ) = 1 一s ) = 1 一e x p 【去( 1 一c ) 】，z z 。a ( 4 ) m a l 【e h 锄形式：芦，爿+ 占c 。( z 乏o ，口 0 ，c 1 ，彳一曰) 。该 死力解析形式是1 8 6 0 年由m a l ( e h 锄创建的，在该解析形式下，商品寿命终止年 龄x 的分布函数为f o ) ；1 5 。) = 1 一e x p 【一4 + 去( 1 一c ，x z o 。 ( 5 ) w e i b u l l 形式：儿一缸”( z 苫0 ，n 0 ) 。该死力解析形式是1 9 3 9 年由 w e i b u u 创建的，在该解析形式下，商品寿命终止年龄z 的分布函数为 ，0 ) = 1 5 0 ) = 1 一e x p ( 一缸“) ，x 2 0 。 2 2 商品具有常数寿命死力的经典库存模型 现在流行的运筹学教科书上一般都有4 种经典确定型库存模型，模型都假设 没有商品损坏。模型1 ：不允许缺货、补充时间极短( 如图2 1 a ) ；模型2 ：不 允许缺货、补充时间较长( 如图2 2 a ) ；模型3 ；允许缺货、补充时间极短( 如 图2 3 a ) ：模型4 ：允许缺货、补充时间较长( 如图2 4 a ) 。 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚裕华商品具有常数寿命死力的库存模型研究 l l ? j 。 ， f 3 f 图2 1 a图2 2 a l l， 、陛、 缝 。 f ， f r 图2 1 b图2 2 b jll 、 。 ，7 彤f 3 r 7 图2 3 a图2 4 a ll， 除、 刀、。：、二j 、。 f 卜7 i 乞 r 7 v 图2 3 b图2 4 b 1 0 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚裕华 商品具有常数寿命死力的库存模型研究 2 2 1 不允许缺货补充时间极短的经典库存模型 模型l 的假设条件：( 1 ) 需求是连续均匀的，即需求速度( 单位时间的需求 量) 尺是常数；( 2 ) 补充可以瞬间实现，即补充时间( 拖后时间和生产时间) 近 似为零；( 3 ) 单位存贮费( 单位时间内单位存贮无的存贮费用) 为c ，由于不 允许缺货，故单位缺货费( 单位时间内每缺少一单位商品的损失) c ，为无穷大， 订货费( 每一次订货的固定费用) 为c ，单位货物的损坏成本为k 。 ，1 那么，模型的平均库存费用为：c ( f ) = 导+ 音c 1 月f ，按照f 一循环策略，最 优订货周脚+ 一层，最优订货批量删； ，最小库存成本为 c 一、压瓣。当我们考虑商品的寿命时，模型1 的库存状态就会被修正成( 图 2 1 b ) 的彤式。 如( 图2 1 b ) 所示，考虑区间f ，f + 。】，则有旦盱+ 血) 一钟) 。p 。- r 。& 。或 q 0 + + r ) a 【q o ) 一r 。】。p ，这两个微分方程是等价的，等价证明见( 附录 7 1 ) 。从而q ( f ) 王l 蛔旦筻兰掣一q o 。) 一r ，f 。【o ，f 】，解此微分方程， 址_ o f q p ) 一一一旦，由于q p ) ：o ，那么c ：墨e 一，从而q o ) 。墨p 巾) 一旦， f 【o ，f 】，从而，零售商向生产商的每次订货量为q ( o ) ：墨。一一墨。一个订货周 期【0 ，f 】内的库存水平为上q ( f 弦。= 参e p 一参一等，商品损失成本为 工d 掰；k 旦( e ”一1 ) 一m 】。所以【o ，f 】时间内平均总库存费用由平均订货成本、 肛 平均库存成本和平均商品损失成本组成： c ；争+ r 参一参一鲁，争+ r 鲁l - 卜胁，等 c ( f ) ，生+ ! ( 玉+ k ) 【旦( e ”一1 ) 一r f 】 rr 肛 謦 0 2 嚣聪2 姚镪肇商魏其有嚣数寿念琵力的库存模型研宠 为了说明常数商品寿命死力对模型1 的修正，这照考虑包含以下数据的常数 死力有限齑熬寿余豹疼存谈鍪，要= i 元产阵，e l = 0 + 5 元( 箨，天) ，岛= 1 0 元， r = 1 0 0 件天。传统经济订购批量模型中，f ”= 6 3 2 4 5 5 5 天，q ”= 6 3 2 4 5 5 5 件， 。= 3 。1 6 2 2 8 元天；通过编程可以计算旗于常数死力有限商品寿命的库存模型中 豹数据如表l ： 激2 1 常数死力对模型1 的修正数据 从 常数死力肖限商品寿命的库存模型 l f ( 天)q ( 终) c ( 元天) o 0 0 0 16 2 6 0 0 4 86 2 6 2 0 0 83 1 9 4 0 7 7 o 0 0 0 56 0 2 0 0 4 36 0 2 9 1 1 23 3 1 8 2 9 2 o ，o o l5 ，7 6 0 ( 殄75 7 7 。6 6 5 83 4 6 7 4 3 4 o 。54 4 4 0 7唾4 8 9 6 5 84 4 8 8 7 7 2 o 0 1 3 6 0 9 9 9 7 3 6 7 5 9 4 95 5 1 0 4 5 9 0 0 22 7 7 9 9 9 82 8 5 8 7 3 47 1 3 7 4 3 1 o 0 32 3 3 9 9 9 82 4 2 ，4 0 8 88 。4 6 6 0 3 3 0 o 碡2 氍9 9 9 92 i 3 。酩孵9 。6 重9 2 5 l o 0 51 8 4 9 9 9 91 9 3 8 2 6 l1 0 6 5 3 4 7 o 0 61 6 9 9 9 9 91 7 8 9 7 2 31 1 6 0 0 0 9 o 0 71 5 6 9 9 9 91 6 5 。9 5 1 91 2 。4 7 8 6 6 0 。0 8l 。毒6 9 9 9 91 5 5 辨2 51 3 1 3 既s o 。0 91 3 8 9 9 9 91 4 8 0 6 8 51 4 0 8 0 9 0 11 3 1 9 9 9 91 4 1 1 0 8 21 4 8 2 1 0 1 0 。1 51 0 7 9 9 9 91 1 7 2 4 0 11 8 1 0 0 1 5 0 。2o 霉2 9 9 9 多圭0 2 2 王王量 。璺鹋彳4 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚辩肇 塑显塞壹塑塑毒念裁力的库存模型辨究 2 。2 。2 不允许缺货补充时阈鞍长的经典瘁存摸型 模鍪2 的假设条彳串：( 1 ) 需求是连续均匀静，静浠求速度r 怒常数；( 2 ) 补 充需要一定时间。不考虑撒后时间，只考虑生产时间。即一旦需袋，生产可立刻 开始，当生产需要一定周期；设生产是连续均匀的，即生产速度尸为鬻数，同时， 设产，r ；( 3 ) 荦霞存贮蘩兔g ，不鬼诲靛货，单位绞爨费e ，一* ，订赞费力g ， 货物的单价为眉。 瓢横型的平均库存费用为c ( 扣掣+ 孚，模裂2 的最优移 贮策略参数值：最优存贮周期为f = 石蒜，最优订购批量为 弘耥，结衷生产簿阗荛m 争最爝燹= 豁嘲+ ”臻蕊 赞用为c 一2 q 。当我们考虑商品的辫命时，模型2 的库存状态就会被修正 箴蓬2 一弱戆澎式。 如图2 2 b 所示，假设区间【o ，岛】和，以的库存水平分别为，。p ) 和，：o 。) ， 那么： ，p ) 一户一露一，p 1 ， f f o 如j ( 2 3 ) ，；( t ) 掣一尺一肛，( f )f p 3 ，f 】 ( 2 4 ) 分别求解斌( 2 3 ) 和式( 2 4 ) 两个微分方程； f ，p4 ) 幂# 一磊，击1 【c + 羹+ ( p 一露) e 菇一出斑】i ( e 一! 墨) 岔一一r 1 兰卫， 芦芦 其中c 为常数，c 的缎可由初始祭件厶( 0 ) ；0 决定，则g 。o ，那么 ，( f ) ；生堡f 1 一g 一】，f + f o 】。 ，：( ) ，# 一墨p 。【e + 囊( 一丑) g 毫p 。4 丞】。( c + 墨) 8 + “咱) 一旦， 鲜越 其中c 为常数，c 的值可由初始条件，：p ) 。o 决定，则c + 旦；黩p 帅- f 】 j “削 2 2 0 2 5 e 6 2 媲撩华 窝藏爨蠢常数寿鑫琵龙热痒存模型簪 究 ，：( f ) ：里e 巾“) 一里，f 吼，f 】。 荔船，【o ，f 】时闻内： 订货费为c ，； 由予j ，如) 。j ：魄) ，瑟羔坐f l e 一地】：墨# 一一”一里，都么褥副 ， 耻社讳 和f 的关系式： 。一。兰二墨+ 里。* t pp 区间【o ，f ，】和她，f 】的总库存水平分别为： f 3 j ，( t ，：( t 1 放 、出 ；旦挚。叫；一三尝+ 三丛t ， l 王4 “强 。 ；曼。巾咄) 一乓一墨! ! ：型 ； 肄秘 那么存贮赞为： c ，哺，( f ) 出+ _ ，：( r ) 出1 ) 拦c ，半； 商品损失艘本为： 三。防一髹 【( p 一只) 如一，：( f ，) 】+ f f 2 p 3 ) 一r ( 一岛) 】 = k ( 。& ，一。融) 故，【o ，f 】时间内平均总库存费用为； c c 3 十c ，半+ 茁( p f ，一殿) 】j f 3 + ( 鱼+ 式) ( 脚，一殿 f “ f “ 每次订货爨为：q = 取， 要求得最小平均总库存成本，就餐瑟求如下规划模鳖；： m i n c ( f 3 ，f ) ：三 c 。+ ( ! 二l + k ) ( 胁，一只f ) 】 r“ 旺8 砘。坐+ 墨e p r 1 4 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚裕华商品具有常数寿命死力的库存模型研究 为了说明常数死力对模型2 的修正，这里考虑包含以下数据的常数死力有限 商品寿命的库存模型，k = l 元件，c 1 ；0 0 0 5 元( 件。天) ，巴= 1 呒， r = 1 0 0 件天，p = 3 0 0 件天。传统经济订购批量模型中，f “= 7 7 4 5 9 6 7 天， f = 2 5 8 1 9 8 9 天，q ”= 7 7 4 5 9 6 7 件，c ”= 2 5 8 1 9 8 9 元天；通过编程可以计算基 于常数死力有限商品寿命的库存模型中的数据如表2 ： 表2 2 常数死力对模型2 的修正数据 肼 常数死力有限商品寿命的库存模型 - “( 天)f 。( 天)q + ( 件)c ( 元厌) 0 0 0 0 12 5 5 4 0 1 27 6 6 0 0 87 6 6 2 0 3 62 6 0 7 5 8 5 0 0 0 0 5 2 4 7 3 0 7 77 4 1 0 0 7 57 4 1 9 2 32 7 0 8 5 4 7 o 0 0 12 3 6 2 2 4 77 0 7 0 0 6 77 0 8 6 7 4 22 8 2 9 5 1 4 o 0 0 5 1 8 3 3 2 2 85 4 5 0 0 35 4 9 9 6 8 33 6 5 6 9 8 6 o 0 11 5 0 5 4 4 64 4 5 0 0 0 74 5 1 6 3 3 84 4 8 3 0 6 9 0 0 21 1 7 3 1 63 4 3 9 9 9 73 5 1 9 4 8 5 7 9 5 1 7 3 0 0 30 9 9 4 9 “2 8 9 9 9 9 82 9 8 4 8 9 26 8 6 3 5 8 4 o 0 40 8 7 9 2 1 82 5 4 9 9 9 8 2 6 3 7 6 5 57 7 8 8 7 7 8 o 0 5o 8 0 0 0 1 32 3 0 9 9 9 82 4 0 0 0 48 6 1 6 7 2 5 o 0 6o 7 3 7 0 3 82 1 1 9 9 9 82 2 1 1 1 1 59 3 7 3 0 7 9 0 0 70 6 8 7 2 9 71 9 6 9 9 9 82 0 6 1 8 91 0 0 7 3 8 9 o 0 80 6 4 7 5 6 91 8 4 9 9 9 9 1 9 4 2 7 0 81 0 7 2 9 9 2 o 0 90 6 1 4 4 7 21 7 4 9 9 9 91 8 4 _ 3 4 1 51 1 3 4 8 9 2 0 1o 5 8 4 4 9 11 6 5 9 9 9 9 1 7 5 3 4 7 21 1 9 3 6 5 7 o 1 50 4 8 4 8 21 3 5 9 9 9 91 4 5 4 4 6 11 4 5 3 0 2 1 0 20 4 2 5 0 3 51 1 7 9 9 9 91 2 7 5 1 0 51 6 7 3 5 9 2 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚裕华商品具有常数寿命死力的库存模型研究 2 2 3 允许缺货补充时间檄短的经典厍存模型 模型3 的假设条件：( 1 ) 需求是连续均匀的，即需求速度尺是常数；( 2 ) 补 充可以瞬间实现；( 3 ) 单位存贮费为c 。，单位缺货费c ：，订货费为c ，货物的 单价为k 。 模型的平均库存费用为：c o ，f 2 ) = 罢 c ，一2 c 。f ：+ ( c 。+ c ：) 孚】+ 孚，模型3 的戢存贮策略皴值强髓煳舭f _ j 器1 警浦舸舭勤 小厝j 孚，缺鲥足时间州= 矗r + ，最大存贮量 爿+ = r ( f 一f ：) ，最大缺货量口= r f ：，平均总费用为c 一2 c ，f 。当我们考虑商 品的寿命时，模型3 的库存状态就会被修正成图2 3 b 的形式。 如图2 3 b 所示，从【o ，f ：】看最大缺货量丑一r f ：。假设区间 f ：，f 】的库存水平 为j ：o ) ，勇b 么：，i ( f ) 。一尺一卢，( f ) f 【f ：，f 】 解此分方程：( f ) ；。坤【c + 丘( 一只) e 幽“出】= ( c + 詈) e _ _ f 2 ) 一鲁， 其中c 为常数，c 的值可由初始条件，：o ) o 决定，则c + 旦旦p 肌吨 p ，：( f ) 一詈e 州p f ) 一鲁，t 。【f 2 ，小从而每次订货量为q 一愚：+ 鲁( e “p 一1 ) 。“ 易知，【0 ，f 】时间内： 订货费为c ，； 缺货费为三c ：m ；： 由于t 州r = 等1 ，一等一等等，那么 存贮费为c ，丘，z ( f ) 出； 商品损失成本为l 0 婚一叫，：( f ：) 一r o f ：) 】 0 2 2 e 2 5 0 6 2 娥辍华簿其寿嚣鼗毒禽弼力魏痒存模型研究 故，【0 ，f 】时间内平均总费用为： m i n 愆一【e ： e 。愈；+ c ，z ，：) 斑+ 三貘姆】 一b + 吉叫o ( 鲁【虬鲁叫川。) 】) 为了说明常数死力对模型3 的修正，这晕考虑包含以下数据的常数死力有限 商品寿命的库存模型，k = 1 元件，c 1 一o 0 0 5 元( j 牛天) ，g = 1 呒， r - l o o 掌，天，乞= o o l 元孵天) 。传统经济订魏援慧模型中，f ”一7 。7 4 5 9 6 7 天， 一2 5 8 1 9 8 9 天，q ”= 7 74 5 9 6 7 件，c ”哟5 8 1 9 8 q 觅天；通过编程可以计算撼 孳：常数夏力露羰亵瑟寿会鹣痒存模型中斡数据翔表3 ： 表2 3 常数死力对模型3 的修藏数据 从 常数死力裔限商品寿命的库存模型 i f 2 ( 天) f ( 天)q ( 辞)c 4 ( 元厌) 0 0 0 1 2 5 9 9 9 9 8 7 6 9 0 0 8 1 7 6 9 1 3 7 72 5 9 9 1 7 9 0 0 0 52 6 5 9 9 9 87 5 0 0 0 7 77 5 0 。5 9 3 82 。6 6 4 6 7 2 。l 2 7 3 9 9 9 87 3 0 7 27 3 王。0 4 8 5 2 。7 3 9 9 1 4 0 0 53 1 6 9 9 9 76 3 l o 晒6 3 3 4 8 2 93 1 6 6 4 2 6 0 1 3 4 6 9 9 9 75 7 6 0 0 3 75 7 8 6 4 63 4 6 9 3 9 6 0 23 7 7 9 9 9 75 2 7 0 0 2 65 2 9 2 4 53 7 8 5 0 2 8 。0 33 9 4 9 9 9 75 。嘲0 2 l5 孵8 7 l3 。9 鹩9 2 5 。0 44 。0 4 9 9 9 84 。9 3 0 0 1 84 9 4 5 毋4 8 4 9 5 4 9 0 54 1 1 9 9 9 94 8 5 0 0 1 64 8 6 3 5 0 34 1 1 7 6 6 3 0 6 4 1 7 0 0 0 1 4 8 0 0 0 1 54 8 1 2 0 7 44 1 6 6 8 3 。0 74 。2 0 0 ( l4 7 5 1 44 7 6 ，0 7 3 94 卫8 4 0 1 6 。0 84 。2 3 0 0 0 24 7 2 1 34 7 2 9 7 4 44 2 3 3 1 2 3 0 94 2 6 0 0 0 34 7 0 0 0 1 34 7 0 8 8 4 14 2 5 6 5 2 3 14 2 8 0 0 0 3 4 6 8 0 0 1 24 6 8 8 1 2 4 2 7 5 7 5 1 ，1 54 3 4 0 44 6 1 l l4 6 l 。5 5 5 34 3 3 6 3 2 9 24 ，3 7 缓猕5，隼5 8 l4 5 & 4 4 8 24 3 6 8 3 重2 1 7 0 2 2 配5 涵2 姚捺孥 秘箍最毒霉数毒鑫髭力瓣瘁存搂型臻突 2 2 4 允许缺贷补充时j 司鞍长的经典库存模型 模型4 簸设条俘：( 1 ) 霉求是连续均匀的，霹露求速度露是鬻数；( 2 ) 於充 需要一定时阊。不考虑拖詹时间，只考虑生产时间。郎一旦需要，生产可立裹开 始，但生产需要一定周期；设生产是邋续均匀的，即生产速度尸为常数，同时， 没p ，置；( 3 ) 单位存贮费为c l ，单位缺货费c ：，订货费( 每一次订货豹固定 费用) 为g ，货物的单价为芷。 鄂么，模型的平均痒存费角为：露砧t 兰芸塑瞄2 嚷+ 眩+ g ) 芋】孚， 模蝴鼽袱鹣皴像觥桃肭加- j 器。j 警+ 压墙 一n 謦+ 警岛愀噼矗t + ， 开始生产时阅为一兰笋，结束生产肆寸间为一墨f + ( 1 一；域，最大存贮爨 爿。- 露( f + 一r ；) ，最大缺贷缀嚣一殿- 平均总费用为g = 2 c ，f 。潞我们考虑商 鼎的寿命时，模型4 的库存状态就会被修正成图3 4 b 的形式。 热图3 一翡爨示，麸敬毛】蠹最至g 大竣货量暑一戤，麸；，乏】番，裳大嫒爨爨 詹- ( p r ) 如一r 。) ，从中解的f 。；兰箬如。假设区间p ：，气】和如，f 的库存水平分 别为曩窭1 ) 和，# 1 ) ，那么： ，：o ) _ p r 一肛，( f7 )f 。p ：，屯】 j2 ( ，_ 一其一( f ) f l f 3 ，r j 解微分方程： “r l m “【c + 丘( p 叫】_ ( c 一竿矽舢。吨) + 等 ，其中e 为常数，e 鲍毽可由襁始祭侔擘：) * o 决定，剐e = o ，那么 ，( t ) ：殳旦【1 一e 州吨】，f 【f 2 ，岛】o 1 8 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚裕华 商品具有常数寿命死力的库存模型研究 吲r ) 玎枷【c + 丘( 删“ _ ( c + 鲁矿巾吨。詈，其中 c 为常数，c 的值可由初始条件，：。) = o 决定，则c + 鲁= 鲁e “h 叫小鲁) 一手“ 易知， o ，f 】时间内： 叫贝贾刀o5 缺货费为三c ：r f l f ：； 由“( f 3 ) 吐，e 口等”e 州p i 卜一詈棚编 到f 3 与f ，f ：的关系表达式：e 一；e 一+ 争( e ”一e ) 区间 f ：，f 3 和阮，f 】的总库存水平分别为： 加m r l ；等e 州铲一等+ 等也吐， “r w r 一吾 一参一等半 存贮费为c 。啦，( f ) 出+ j ：，：( f ) 出) 。鲁【p ( f ，一f z ) 一r ( f f z ) 】 商品损失成本为 工( 姆si k 【( 尸一r ) ( r ，一f ：) 一，。p ，) 】+ ：( 屯) 一只o f ，) ；k 【p o ，一f z ) 一月o f ：) 】 故，【o ，t 时间内平均总费用为： c ，+ 丢c ：m 。f ：+ c 。( r ，t ( f 。) 出+ z ( f ) 出) + l d 船 m i nc ( f ，。u 一 c 3 + 丢c ：矾”( 鲁+ 剐p ( f ，t ) - r ( 卜f 2 ) h 虹”竿r ：一+ 鲁”) 1 9 0 2 2 0 2 5 0 6 2 姚裕华商品具有常数寿命死力的库存模