（应用数学专业论文）两类带收益的多险种风险模型的研究.pdf

摘要 风险理论是金融学和精算学的基础，而其核心问题是破产理论 的研究本文中，我们以经典风险模型为基础构造了两类全新的带收 益的多险种风险模型并且对其进行研究，得到了与破产相关的一些变 量的表达式或性质 本文主要由四部分组成 在第一章中，我们简单的介绍了风险理论的历史、现状与主要成 果，其中重点阐述的是有关古典风险模型的问题而且给出了本文研 究的内容与主要结果 在第二章中，我们简单的介绍了期望、点过程、鞅、伊藤公式以 及布朗运动等一些基本的知识这些知识是本文的理论基础 在第三章中，我们首先指出了经典风险模型的局限性，然后在此 基础上，构造了一种全新的带利息力的随机双险种风险模型接着我 们对这个新模型进行分析和讨论并且最终分析得到了生存概率、破产 前瞬间盈余分布、破产时赤字分布的积分方程，而且顺便给出了后两 者的递推方程 在第四章中，我们首先指出上一章提出的模型的不足之处，然后 根据对实际的分析，重新构造了一种带随机投资收益的多险种风险模 型我们利用伊藤公式等数学工具对此模型进行分析和讨论，主要得 到了生存概率、破产前最大盈余、破产时盈余分布的两类积分方程以 及积分微分方程 关键词经典风险模型，利息力，破产概率，随机投资收益 a b s t r a c t t h er i s k t h e o r y i st h eb a s i c d i s c i p l i n e o fl e a r n i n gf i n a n c i a l m a t h e m a t i c sa n dt h ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c so fi n s l l r a n c ea n di t sc o r ei s t h es t u d yo ft h er u i nt h e o r y i nt h i st e x t ，b a s e do nt h ec l a s s i c a lr i s k m o d e l ，w ec o n s t r u c ta n dr e s e a r c ht w ok i n d so fn e wr i s km o d e l sw i t h r e t u r n f i n a l l yw eo b t a i ns o m ee x p r e s s i o n so rc h a r a c t e r so ft h ev a r i a b l e s a b o u tr u i n f o u rc h a p t e r sc o n s t i t u t et h i st e x t i nt h ef n s tc h a p t e r , w es i m p l yi n t r o d u c et h eh i s t o r y , t h ep r e s e n t c o n d i t i o n so ft h er i s kt h e o r ya n dt h em a i nr e s u l la n dw ee s p e c i a l l yp a y m o r ea t t e n t i o no nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l f i n a l l yw ep r e s e n tt h em a i n c o n t e n to f t h i st e x ta n dt h em a i nr e s u l to f m yr e s e a r c h i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w eo u t l i n et h ek n o w l e d g ea b o u t e x p e - c t a t i o n ，p o i n tp r o c e s s ，m a r t i n g a l e ，i t o sf o r m u l aa n db r o w n i a nm o t i o n t i l i sk n o w l e d g ei sa l s ot h ef o u n d a t i o no f t h et e x t i nt h et h i r dc h a p t e r , w ep o i n to u tt h el o c a t i o no ft h ec l a s s i c a lr i s k m o d e l a n dt h e nc o n s t r u c tan e wd o u b l e - m u l t i p l er i s km o d e lw i t hi n t e r e s t f o r c e w ea n a l y z ea n dd i s c u s st h en e wm o d e l f i n a l l yw ea t t a i nt h e i n t e g r a le q u a t i o n so ft h en o n - r u i np r o b a b i l i t y , t h ei m m e d i a t ed i s t r i b u t i o n b e f o r er u i na n dt h ed e f i c i td i s t r i b u t i o na tt h et i m eo fr u i n ；b yt h ew a yw e p r e s e n tt h er e c u r s i v ee q u a t i o n so ft h ei m m e d i a t ed i s t r i b u t i o nb e f o r er u i n a n dt h es u r p l u sd i s t i l b u t i o na tt h et i m eo f r u i n i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w ep o i n to u tt h ed e f i c i e n c yo f t h em o d e lw h i c h w ec o n s t r u c ti nt h et h i r ds e c t i o n , t h e nc o n s t r u c tan e wm u l t i p l er i s km o d e l w i t hs t o c h a s t i cr e t u r no ni n v e s t m e n t s 硼1 e nw ea n a l y z ea n dd i s c u s st h i s m o d e lb yt h ei t o sf o r m u l aa n do t h e rm a t h e m a t i c a lt o o l s ，a n df i n a l l y p r e s e n tt h ei n t e g r a le q u a t i o n sa n di n t e g r a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h e n o n - r u i np r o b a b i l i t y , t h es u p r e m u md i s t r i b u t i o nb e f o r er u i n , a n dt h e s u r p l u sd i s t r i b u t i o na tt h et i m eo f r u i n k e yw o r d st h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，i n t e r e s tf o r c e ，r u i np r o b a b i l i t y , s t o c h a s t i cr e t u r no ni n v e s t m e n t s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的成果。尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证明而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献已在论文的致谢语中作了明确的说明。 作者签名： 嗍 0 为常数，称为保费收取率 则u “) 称为复合p o i $ s o n 过程即经典风险模型 从盈余的角度看过程，过程一方面有连续不断的保费收入，另一方面又有理 赔需要支付形成的跳跃，因此风险过程成为一个跳跃过程，在两次理赔发生时刻 ，z 之间的时间( z p 霉) 内，过程随着时间在线性的增加，增加的速度为保费收 取率，在理赔发生时刻z 过程跳跃性的减少了与理赔相同的量，从图1 - l 中可以看 出，v ( t 1 可能出现小于0 的情况，我们把这个事件称为破产，虽然在实际中，这并不 说明保险公司真的发生破产也不能说明其财务状况很差，但是在简化的数学模型 中，对破产事件的研究无疑是重要的 u 卅们 五 毛五毫7 y 图1 - 1 定义1 2 破产时刻互= i n f f ：f o 且u ( f ) 0 则甲( o ) = ，其中p = 一l 称为相对安全负荷 1 + da u ( 5 ) g r a m * l u n d b e r g 近似 熙p “甲( ”) 2 丽p 砺u 4 h ，j lc 其中r 为h ( r ) = 车的解 从经典风险模型的假设中，我们可以看到它的局限性，正是由于它的局限性使 的它与实际不能很好的相符合，因此自从它被提出以来，人们从各个方面对其进行 了推广，从而让它更好地与实际相符合人们主要从以下几个方面对其进行推广： ( 1 ) 对保费收取率常数c 进行推广，例如可以让c 与保费收取时间或者是保险公 司的盈余相关联 ( 2 ) 将通货膨胀、利息等投资收益过程引入到风险模型中 ( 3 ) 对索赔到达过程进行推广例如可以推广到一般的更新模型、马氏过程等 许多人都对古典模型进行了推广并对推广后的模型进行了研究，例如国内的 吴荣、王过京等，国外的g e r b e r 、d u f r e n s e 等 对于离散模型的研究相对较少，大多数是关于复合二项分布或者与之相关的 推广模型下面我们简单的介绍一下相关模型 定义1 3 设“z - - ( o ，1 ，2 ，) ，c e z + - - ( 1 ，2 ，) ，( q f ，p ) 为一个完备 的概率空间 ( 1 ) 取值于z + = ( 1 2 ) 的独立同分布随机变量序列 五，i = l 2 ，其分布列 为p ( 置= j ) = p ，j - - 1 ，2 ， ( 2 ) 具有参数为p 的二项随机序列 0 ) ：pe ( o ，1 ) 即n 具有零初置、独 立平稳增量而且具有参数为p 项数为行的二项分布b ( ，p ) ( 3 ) ( 聆) 鬈与 五，i = i 2 相互独立 令： f 曲 r ( r ) = i + c n - 五 n = o ，1 2 则称r ( n 1 为完全离散二项分布模型 4 硕士学位论文第一章绪论 从模型的假设中我们可以看到模型的一些实际的背景，例如在实际的保费收 取过程中，保险公司都是按照某个固定的时间间隔收取的，反映在模型中就是在 拧时收取而在( 一一l ，疗) 这段时间内不收取保费等对于这个模型很多人都进行了 研究，例如成世学( 1 9 9 8 ，2 0 0 1 ) 、w i l i m o t ( 1 9 8 9 ) 、s h i u ( 1 9 8 9 ) 等，而对于一般的复合 二项模型的研究相对就更少了，下面我们给出这个模型 定义1 4 假设”o ，c o ，给定某个概率空间( g f ，p ) ，取值于( o ，) 的独 立同分布随机变量序列 五，待1 ，2 ， 以及具有参数为p 的二项随机变量序列 r ( 以) ；，而且 z ，i = 1 ，2 ， 与 ( 栉) 埒独立，令 州一) r ( n ) = u + c n - 五 n = 0 , 1 2 1 一l 则称r ( 胛) 为复合二项分布模型某些人还对离散的复合负二项模型进行了研究 这里就不再赘述了，有兴趣的同学可以参看王过京、王云杰 9 】等的文章 随着数学和金融业的发展，越来越多的研究工具被引进到对风险过程进行研 究例如随机微分方程、随机控制理论、金融衍生工具等，从而极大的促进了风险 理论的发展与完善利用这些工具对风险过程进行推广，从而使风险过程更好地 与实际情况相符合，而且通过对这些模型的研究，我们得出了很多重要的结果， 对现实起到了很大的指导作用 作为本节的结束，我们再回到经典模型我们简单介绍一个我们在研究经典模 f 订 型时用到的一个重要概念即调节系数我们从u ( t ) = u + c t 一罗置这个数学表达 百 式中可以看出破产概率v ( u 1 直接与u 有关系，但是除了之外很显然另一个影 响v ( u ) 的因素是保费收取率c ，而我们如何把甲( “) 表示成c 的函数? 要直接得 到这个函数很难，而l u n d b e r g 间接利用l u n d b e r g 系数也就是调节系数间接得到 了它们之间的联系 定义1 5 在复合p o i s s o n 过程中，令其强度参数为z ，理赔额x 的矩母函数 为峨( ，) ，则方程吮( ，) = + 五的非零解r 称为调节系数 定理1 1 在复合p o i s s o n 过程中，个别理赔额五的矩母函数j | l 以( ，) 定义在 ( o ，) 上，其中，+ 在c 2 u 的假设下方程2 + r e = 五m 。( ，) 有唯一的正根 r e ( o ，r ) 从下面的图1 - 2 中，我们不难看出调节系数是存在的关于具体证明可参考 6 】 性质l 性质l 硕士学位论文 第一章绪论 行了进一步的推广，得到了带随机投资收益的多险种风险模型，即 鬈= e x p 墨 卜+ f e x p 一置) 红) ， - 、l f ，l2 f ，l 其中马= ir 1 1 2 i f + a m , b = 甜+ 置一互 l-i i = l 在这一部分中，我们利用过程的马氏性，以及推移算子、随机微分方程等数学工 具，得出了在此模型下生存概率、破产前最大盈余分布和破产赤字分布的满足的 积分方程以及积分微分方程 7 硕士学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 为了让全文更加清晰、易懂，我们首先把本文中将要用到的基础知识做一下 介绍 2 1 数学期望、方差 定义2 1 令为一个定义在概率空间( g f ) 上的随机变量，p 是在f 上的 概率，若x 为离散随机变量，则其数学期望为 尉= 。z ( m ) p ( ) 若x 为连续随机变量，则其数学期望为 e r = l x ( 舻( 缈) 条件期望记概率空间为( qf ，p ) ，g 是f 的某一个子代数，g c f 善p ) 是满足e f t j 0 ，增量m ，= m 一j 有参数为2 ( t - s ) 的p o i s s o n 分 布，即对于后= 0 ，l ，2 ， ，(1，：七)：下eat(t-o。_弘”， 这里五0 是常数，称作过程强度 ( 3 ) 具有独立增量 在上面的三个条件中，条件( 1 ) 是对过程初始状态的规定，它不是实质性的 限制；条件( 2 ) 蕴涵过程具有平稳增量，也就是m 。的分布只和f s 有关而与s , t 的 具体取值没有关；条件( 3 ) 表示过程的无后效性 我们令瓯表示第珂点的发生时间，记瓦= 最一最- l ，则 瓦，疗；l ，2 ， 表示点 过程的点间间距序列对于齐次p o i s s o n 过程它具有下面5 个等价定义： ( 1 ) 计数过程 m ：f 0 是具有强度为五0 的齐次p o i s s s o n 过程的充要条件 是： 点间间距序列 瓦，珂= 1 ，2 ， 是相互独立的，强度为五o 指数分布的随机变量 序列 ( 2 ) p ( 0 = o ) = l 有平稳增量 对任意的h o ，当h - 9 0 时 p ( 2 ) = d ( ) 有独立增量 ( 3 ) p ( 0 = o ) = l 有平稳增量 9 硕士学位论文第二章预备知识 几乎处处有序 有独立增量 ( 4 ) p ( o = o ) = l 对任意的h 0 ，当h 斗0 时 ，( m ，+ 。= 1 ) = 五而+ d ( 厅) ，p ( k 2 ) = o ( ) 有独立增量 ( 5 ) p ( 0 = o ) = l 对于任意正整数k ，实数0 o ，f o p ( m ，。= 1 ) = 旯( f ) + d ( 厅) p ( ，。2 ) = d ( 而) ( 3 ) 有独立增量 这里的旯( f ) 是墨上的非负函数，它在任意有限区间是可积的，我们把由 a ( f ) = f 丑( s 定义的函数称作过程的累积强度函数 定义2 6 有限值计数过程 ，：f o ) 称作非齐次泊松过程，如果它满足以下 条件： ( 1 ) e ( n o = 0 ) = 1 ( 2 ) 对任意的h o ，t 0 p ( m ，。2 ) = d ( ) ( 3 ) 有独立增量 定义2 7 随机过程 墨；r o 称作复合p o i s s o n 过程，如果它可以表示为如 下的形式；对任意的t o ， m s = e 硕士学位论文 第二章预备知识 其中 n t ；t o 是带时齐强度a ( f ) 的p o i s s o n 过程， e ，刀= 1 2 一 是独立同分布的 随机变量序列，并且过程 ；f o 和序列 ，n = l 2 是相互独立的 特别地，若 m ；，o 的强度为常数a ，那么 ；r o 就是齐次p o i s s o n 过 程对于这样的复合p o i s s o n 过程，有如下重要定理： 引理2 1 设墨，是，瓯为相互独立的复合p o i s s o n 过程，则我们有 s = 巧， i = 1 ，2 ，k 其中 ，( f ) ；f o 相互独立而且f ( f ) 是参数为色的齐次p o i s s o n 过程，x c f 同- - 个f ， 为独立同分布的随机序列( 简记作i ) ，其分布函数为气( y ) ，则 s = y s 百 还是一个复合p o i s s o n 过程，设为 ( t 、 s = yz ， 女 智 其中( f ) 是参数为a = a j 的齐次p o i s s o n 过程且 巴= 去a ，( z ) ot l l 本定理的证明参见 3 】 2 2 2 更新过程 定义2 8 设 l ，玎= l ，2 ， 是一串相互独立同分布的非负随机变量，它们的 共同分布函数是f ( 工) ，如果我们把瓦看作是一个点过程的第疗一1 个和第行个点 事件之间的时间间距，则第一个点事件的发生时间是 最= l ， n l i = l 再定义s o = 0 ，我们把由 m = s u p n ：最r 定义的计数过程 ：f o 称作更新过程 更新过程大体分为普通更新过程，延迟更新过程和平衡更新过程三类普通 更新过程也就是我们上面的定义，而对于其它的两类更新过程这里有必要稍微交 代一下： 定义2 9 设 乙，甩= 1 2 ， 是一串相互独立的点间间距，其中第一个点间间 距互有分布g ，其余的 l ，n = 2 ， 有共同分布函数是f ( x ) ，我们令： s o = 0 ，最= 霉， ，l 1 d = s u p n ：s s f s - i 则我们称 【d = s u p n ：s f 为延迟更新过程 硕士学位论文第二章预备知识 定义2 1 0 在上面的定义中若g ( f ) = 丢f ( 1 一，( x ) 垮其中甜为分布函数 f ( x 1 的数学期望则这样的延迟更新过程就称为平衡更新过程 2 3l a p l a c e - s t i e i t j e s 变换、卷积 定义2 1 1 设，【x ) 是定义在l o , o o ) 上的任意函数，我们把由 7 ( s ) = f e 一“，( f ) 廊定义的函数称为它的拉普拉斯变换 性质2 3 ( 1 ) 以个相互独立的非负随机变量墨五，以之和j r = 五+ 五+ + 以的 三一s 变换等于这玎变量的三一s 变换西。( s ) ，西：( s ) ，o 。( s ) 的乘积即： o ；o ) = o 。o ) 西：( s ) m 。( s ) ( 2 ) 设置五是一串相互独立同分布的非负随机变量序列，它们共同的 l - s 变换是西0 ) ，又设是一个独立于 z ，i = l ，2 ， 的非负随机变量，它的 概率母函数是g ( s ) ，则随机变量z = 置的三一s 变换西：( s ) 是： o ；( s ) = e e * i s ) = g ( o ( s ) ) 我们令、王，。0 ) 表示破产概率，则矾 ) = l l 壬，。( “) 为生存概率令$ 一卜) 代 表氓( ) 的l a p l a c e - s t i e l t j e s 变换，则我们利用其定义以及分步积分公式，我们 可以得到： ( 1 ) p “矾( “) 如= 一昙f 墨( “) d ( e 一“) = 瓦( o ) + i 。s 一( s ) ( 2 ) f e d ( “可一o ) ) = 矾( o ) + 丕。( s ) 一矽a ( s ) ( 3 ) f “e 一孓一o ) 幽= 丢( 孓一( o ) + 毒a ( s ) ) 一 矽a ( s ) ( 4 ) p d ( 知删= $ 一( s ) + 詈( 矾( o ) + 靴s ) 卜乱( s ) ( 5 ) p “d ( “r 矾( v ) 西) = 弛玩( o ) + i 。s 一( s ) h 毒一( s ) ( 6 ) p “，( “) e u = ( s ) ( 7 ) p d ( r 矾( 州) m ) 砂) = 刮 瓦( o ) + $ 小) l 定义2 1 2 设x ，】，是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 ，( 工) ，g ( 工) 则z = x + j ，的分布函数是 日( z ) = ，( z z ) = jd r ( x ) 粥( y ) = e g ( z x ) d f ( x ) = ，g 硕士学位论文第二章预备知识 称为f ( x ) ，o ( x ) 的卷积 性质2 ，4 设五，五，k 是厅个相互独立的随机变量并且设它们的边际分布 分别为c “) ，i = l ，2 3 厄，则s = 五+ 五+ + 以的分布函数一“( z ) 可以表示 为： 砂( z ) = e ”o 其中一1 ( ：) = e ( z ) 2 4 鞅 定义2 1 3 设在概率空间( qf ，p ) 上有一个非降盯代数族 f ；r t l 以及 实随机过程 毒；f r ，若随机过程 毒；f r 对( qf ，p ) 适应，则称为 考；f r 鞅， 如果满足e 悻l 而且对于任意j - t ，有三( 引e ) = 成立 定义2 1 4 设在概率空间( qf ，哟上有一个非降盯代数族 只；f t ，一个 取值于r u ( 。o ) 的随机变量f ( 国) 称为一个相对于它的停时，如果对于v t t ，有 0 9 , f ( 国) t e 成立 引理2 2 如果m ( f ) 为一个鞅，r 是一个停时，那么过程 m ( r “f ) 是一 个鞅，尤其是对于任何的f ，我 f r f f e m ( t “f ) = e m ( o ) 引理2 3 若m ( ，) ，0 r 是一个平方可积鞅，那么存在一个可料过程 日( r ) 满足：e fh 2 ( s ) 凼 哆膨( ，) = m ( o ) + f 日( s ) 凼 引理2 4 若何( f ) 为一个可料过程，满足ee h 2 ( s ) 凼 o o ，则 r ( r ) = e fh 2 ( j ) d 曰( j ) o t t 是一个平方可积鞅 引理2 - 5 若m ( f ) 为一食鞅，则 ( 1 ) 若f s 量 o o 是一个有界停时，则e m ( r ) = z m ( o ) ( 2 ) 若m ( f ) 是一致可积的，则对于任意的停时f ，e m ( r ) = e m ( o ) 引理2 6 若肘( f ) 为一致可积鞅，并且f is f 2 s ，b ( r ) 一b ( s ) 具有期望为0 ， 方差为( f s ) 的正态分布，显然对于j = o ，b ( t ) 具：f f n ( o ，f ) 分布 ( 2 ) 独立增量性即：b ( f ) 一b ( j ) 独立于 b ( “) ，o u s 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 3 ) 轨道的连续性b ( t ) 是t 的连续函数 性质2 5 若b ( t 1 是布朗运动，则 ( 1 ) 雪( r ) 是一个鞅 ( 2 ) 8 ( r ) 2 一f 是一个鞅 ( 3 ) 对于任何“，p 叫峥是一个鞅 定义2 1 8 过程y ( f ) 被称作伊藤过程，如果对于任意的o f r ，有： r ( o - - r ( o ) + f “oa s + f 盯o 膨( s ) 其中b ( t ) 为布朗运动，而“( f ) ，盯( f ) 满足： ( 1 ) 材( f ) 是一个适应过程，而且fp ( s ) 陋 m 口j ( 2 ) 盯( f ) 是一个可料过程，而且fp p ) 陋 口s 它的微分表示为： a y ( t ) = u ( o a t + , ，( o a s ( t ) o s f 丁 引理2 7 ( 伊藤公式) 设工( f ) 为一个随机过程而且满足：对于o s f 丁有 硝( ，) = u ( t ) d t + o ( t ) d b ( t ) 若厂( z ) 为一个二次连续可微函数，那么随机过程y ( f ) = ( z ( f ) ) 的随机微分 存在而且有下面的关系： 缈( x o ) ) = f ( x ( ，) ) c ( r ) + 去( 工( ，) ) d 【x ，j 】( f ) = ，( x ( ，) ) 正】i ( ，) + 去，。( x o ) ) 盯2o ) 曲 = 厂( x ( r ) ) “( r ) + 了i 厂( z ( r ) ) 盯2 ( f ) 西+ 厂( x ( f ) ) 盯o ) d b ( f ) 也就是 厂( x ( f ) ) = ，( o ) + f ，( x ( s ) ) d r ( s ) + 专f ，。( x o ) p 2 ( s ) a s 1 4 硕士学位论文 第三章带利息的随机双险种风险模型 第三章带利息的随机双险种风险模型 经典风险模型虽然研究历史最长、结果最完善，但是它却很难应用于实际中， 因此人们对它从各个方面进行推广，目的就是为了使它更好的与实际情况相符合 本章我们首先把它进行简单的推广，推广到一种特殊的带利息的双险种风险模 型 3 1 模型的简单介绍 3 1 1 模型背景 我们都知道保险经营的特点要求保险公司必须进行积极的保险投资，一方 面由于保险风险自身的特点，保险基金产生部分闲置，因此具有保值和增值的内 在要求，而保险投资就是实现这个内在要求的资金流动运动形式，另一方面在保 险业务的经营中，激烈的价格竞争使得保险承保的利润减少，甚至有些年份出现 亏损在这样的情况下，为保持经营的稳定，保证保险组织的有足够的偿付能力， 就需要保险资金的投资收益来弥补经营上的亏损，因此保险投资是保险组织健康 发展和稳健经营所必需的保险投资的意义在于：一、降低保险产品的价格，增 强保险公司的竞争力二、促进金融市场的健康发展三、增强社会资金的供应量， 促进经济发展1 1 4 j 随着金融业的发展，投资的方式也趋于多元化，它的主要方式有银行存款、债 券、股票、不动产投资、贷款但保险公司毕竟不同于一般的投资公司，保险投 资的基金来源主要是保险人对被保险人的负债，当保险事故发生时，保险基金就 将用于赔款或给付因此对于保险公司最主要、最根本的投资原则就是安全性原 则，而我们知道银行存款是最安全的投资方式因此人们依据这个原则将经典模 型推广到了带利息的模型即： f f l u ( t ) = u e 却+ 面一置p 砷棚 ( 3 1 ) i = l 其中甜为初始准备金，f 为保费收取率，z ，f = 1 ，2 ，为索赔发生时刻，万为利息 其中j 可以为常数也可以为变量对于这个模型，很多人都已经对其进行了研究， 例如国内的吴荣、杜勇宏( 2 0 0 2 ) 等国外的s u n d tb ，j o z e flt e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 等 另一方面，随着社会的发展，人们面对的风险越来越多，人们防范风险的意 识也越来越强，因此迫切的要求保险公司提供更多的险种，而随着保险业的发展， 硕士学位论文 第三章带利息的随机双险种风险模型 保险公司之间的竞争也越来越激烈，为了赚取更多的保费，也为了扩大市场份额， 新的险种也不断的被开发出来，因此现在在一个保险事件发生时刻可能产生的索 赔不是只有简单的一种同质险种，而是面临着多个险种因此人们把经典模型推 广得到了多险种风险模型，很多人也对此类模型进行了研究，例如蒋志明、王汉 兴( 2 0 0 0 ) ，赵晓芹、刘再明( 2 0 0 4 ) 等 3 1 2 模型描述 式子( 3 1 ) 所提到的推广，只是简单的从一个方面进行推广而不能同时满足 所提出的两个方面的问题，而且在实际中保险公司往往设定一个免赔额d ，当被 保险人的损失小于d 时，保险人不给予理陪，为了克服上面所提到的这些缺陷， 本文则在他们工作的基础上，同时从两个方面进行推广，得到了带利息的双多险 种风险模型同时为了数学上处理的方便，我们对实际进行了简化，得到如下模 型： 我们假设每一事故发生时刻至多有2 种不同质的随机险种产生，而且满足： ( 1 ) 保险事故发生次数符合强度为x 的齐次p o i s s o n 过程 ( f 1 ，2 0 l ，而 且设 z ，i = l 2 为事故发生时间间距序列，其分布函数为k ( t ) ( 2 ) 保单费率为常数c ，“( “0 ) 为保险人的初始资产，6 为固定利息 ( 3 ) 每一事故发生时刻至多有2 种独立随机险种产生，第，种险种索赔的 概率为乃，而且满足：o o l 巧 在这个模型中，我们把在第一部分中所提到的三个缺陷分别用不同的方式进 行了弥补，对于多险种的要求，我们是通过独立的双险种给予解决：对于投瓷需 1 6 硕士学位论文 第三章带利息的随机双险种风险模型 求我们通过利息给予满足；而对于免赔我们则是通过随机因子吮进行弥补的， 所以通过以上我们的分析，我们可以看出我们的模型相对于经典模型而言对保险 公司来讲更具有指导意义 3 2 主要结果 下面我们就对保险人关心的几个重要指标进行分析得出他们的表达式 定义3 i ：l 壬，。( “) = p ( r ) o 知，她x ( s ) = 0 0 则在( 3 - l o ) 两边积分得： 面件k 。 。r f 胁, 似似咖 令j = 0 则可以得到： ：j m ( v ) e 叫吖 则代入( 3 5 ) 即可得证命题 ( 3 - 1 0 ) 3 。2 2 破产时赤字分布 自从关于描述破产赤字的分布函数被提出以来，关于其相关问题的研究立刻 成为风险理论研究的热点与重点，破产赤字不仅与保险公司的利益紧密相连，而 且与广大保户也息息相关这部分我们将对我们提出的模型的破产赤字分布进行 研究，我们采用的是离散化的方法来处理此问题 定义3 2f g ，x ) = p q p 】s 工，t o o ) ，则它为初始盈余为u 时破产时赤字 的分布函数，则显然我们可以得到： r ( u ，x ) = p ( 叶s ( r ) o ，r 0 0 ) 令f = e 五即f 是e 和e 的卷积 定理3 3 f 0 ，x ) = 厶o ，工) ，其中z 0 ，x ) ，以0 ，x ) 分别由式( 3 - 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) 给出 证明：由风险过程的特点，我们可以知道破产只能发生在保险事故发生时 刻，故 f ( u ，芹) = ，( ( 丁) 一x ，r 。) = p ( 五) o ，( 曼) o ， n 。i ( o ) ，吖( 鼠) o ，( 是) o ，( 最。) o ，一x 巩( 墨) o ) 表示第聆 次保险事故发生时刻导致破产的赤字的分布函数 硕士学位论文 第三章带利息的随机双险种风险模型 则 石( “，) = p ( - x u e 弼+ c 两一( 磊。五。+ 4 ：五：) 0 ) 由全概率公式，则化简上式得： p ( 一x 搬喝+ 品司一( 4 ，五，+ 磊：五：) 0 ) = 石l 乃p 吖w ? + 面一( 五。+ 五：) o + 蜀( 1 一乃) p 叫s w 啊+ 面一五。 0 + ( 1 一巧) 乃p ( 叫钟眄+ c 确一五： 0 ) = 九( 1 一死) f 搬( ，) p ( 叫埘4 + 面一五， o ) + t r i t e ：f d k ( t ) p 一x u e 8 + 面一( 五。+ 五：) 0 + 如( 1 一巧) r 缓( f ) p ( 叫扩+ 面一五： o ) = 万。( 1 一石：) f 掘o ) e 篙”犯( ) ，) + 万 f 疆( r ) e 箸”d f ( y ) 帆( 1 一而) f 扰( f ) t ，矾) = 五( 1 一吃) f 援( ，) 最( “扩+ 面+ x ) 一e ( 卯4 + 面) + 乃乃f 积( r ) ，( 卯m + 面+ 石) 一f ( u e 却+ 品a ) + 乃( 1 一巧) f 积( f ) e ( 孵癣+ 面+ x ) 一e ( 卯口+ 面) ( 3 - 1 1 ) 则同理： 五( “，工) = 尸( ( 五) o ，叫( 是) o ) = p l 雄两+ c 甬一( 8 1 。五。+ 4 ：五：) o ，一工( 五) 口蝇 + c s t - - a z 一( 岛，五。+ & 如) _ o , - x u a ( t ) e a t 2 + j 两一( 8 2 。x 2 。+ 磊：互岛) ol 。 + 研乃f 矗k ( f ) p 卯4 + 面一五。- x , ：o ，一x 醵( f ) e 喝 + f 网- ( 8 2 l 五i + 如k ) o l 2 1 第三章带利息的随机双险种风险模型 + ( 1 一一) ( 1 一死) f d k ( f ) p 一z ( f ) e 蝇+ 面一( 岛。瓦+ 如如) o + 9 2 ( 1 一而) f 援( f ) 尸 御4 + 面一五：o ，吖s ( f ) 产+ 面 一( 噬。五。+ 最：如) o = 乃( 1 一乃) f 放( f ) r 叫奶( y ) j p 叫s ( f ) 妒+ + 面一( 乏。五。+ 嘎：如) 0 + i g a 2 f d k ( f ) r ”啊d f ( y ) p 一x s ( f ) 沙 + 面一( 8 2 。如+ 如如) 0 + 乃( 1 一气) f 积( f ) r 叫幔( y ) p 一x s ( r ) 毋 + 面一( 嘎。置。+ 如) 0 + ( 1 一雹) ( 1 一) r 积( f ) p 叶s ( ，) e 码 + c 两一( 嘎。如+ 如五：) 0 = 而( 1 - - 7 2 ) r 般o ) r “4 奶o 舰4 + 面一弘工) + 万：r d k ( f ) r 啊d f ( ，h 4 + 矗i y ，工) + ，r ：( 1 一，r ，) r 扰o ) r 哪d 疋m 。+ 石i 一弘x ) + ( 1 一而) ( 1 一乃) f c z r ( r m ( w 4 + c 葡，x ) 对于玎2 ，我们同样可以得到： z ( “，x ) = p ( ( 五) o ， ) o ，( 鼠一。) o ，一x ( 最) o ) 弘( 11 ) r 砌) r ”媚毗。一k e 矗+ c s t 一乃0 + ，r ：( 1 一蜀) f 批o ) f 。勺d e o 珑一。g e 女+ c s 7 i y ，x ) 帆，r ：f 批o ) r 。勺卵( ，阮。( u e + c s 7 i 喘x ) + ( 1 - x 。x 1 飞) f 疆( f ) ，：| 。；m e 。+ 面，0 ( 3 1 2 ) 推论3 1 破产赤字的分布函数满足如( 3 1 3 ) 所示积分方程 证明：f o ，x ) = 芝 g ，x ) = o ，x ) + 窆q ，x ) 硕士学位论文第三章带利息的随机双险种风险模型 = 石( 蛳) + 耋k ( 1 一以) f 般( ，) r ”百媚( ) ，k 。( 扩+ 面吖x ) + 石：- - s * f i ) f 疆( ，) r ”勺矾( y 如( u e 口+ 面一弘x ) + 0 1 x l 一万：) f 积( f k 。( u e 。+ c s ；i ，x ) + 一石：f a k ( t ) f ”勺卵阮一。u e a t + 石4 一只x ) = z o ，x ) + 而( 1 一万：) f 疆o ) r ”i 犯( y 疰 。+ 面一y ，工) + 石：( 1 一石，) r 积( f ) r 面幔莲六一。n g = 2 e a f + n - 1 面( u e j ，x ) 奶乃f a k ( , ) f 啄卵c y 鹰f n - ! ( i 9 8 。+ 面叫x ) + ( i - n 。x i 一万：) f 疆( f 透丘。( u e + 面，x ) = z ( ) + 而( 1 一乃) f 积( f ) r 织( y 妒( 卯8 + 面一) ，x ) + 乃( 1 一乃) f 疆( f ) r ”幔( j ，扩( 卯8 + 面一弘x ) + 乃乃f 缓( f ) r 谚( y 矿( 埘4 + 面一y ，x ) + ( 1 一巧) ( 1 7 r 2 ) f d k ( t ) f ( u e 8 + l 两，j 1 ( 3 1 3 ) 3 2 3 破产前瞬间盈余分布 破产前瞬间盈余分布是由d u f r e s n e 和g e r b e r 最先提出，并进行研究的自 从提出以来马上受到风险理论界的重视，并且研究人员对各种不同的模型进行了 研究，本部分我们对我们所提出的模型的破产前瞬间盈余分布进行研究，所用的 方法和上面一样也是用离散化的方法来考虑问题 ， 定义3 3h ( u ，z ) = p p 一) x ，t _ o o 则它为初始盈余为破产前瞬间 盈余分布，显然我们有： 磐日( “，x ) = 甲一( “) 定理3 4h ( u ，x ) = ( “