（应用数学专业论文）度量空间中曲线族的模与共形维数.pdf

摘要 本文主要研究度量空间中曲线族的模与共形维数的关系我们证明了关于 共形维数的质量分布原理：设( x ，l a ) 是紧的一致完全的加倍度量测度空间， p 1 若( x ，p ) 有非平凡p 模且存在c 0 ，使对任意球b 有p 旧) c ( r ( b ) ) p ， 则x 的共形维数至少为p ，这里，( b ) 表示b 的半径 全文共分为四个部分。在第一部分，我们给出了本文的研究背景及已有的 相关结论；在第二部分，我们给出了必要的预备知识及本文的主要结论；在第 三部分，我们证明了本文的主要结论；在第四部分，我们在本文的基础上提出 了一些尚待考虑的问题 关键词；曲线族的模；共形维数；拟对称映射 a b s t r a c t w es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nt h em o d u l u so fc u r v ef a m i l i e sa n dc o n f o r m a l d i m e n s i o ni nm e t r i cs p a c e w ep r o v et h em a s sd i s t r i b u t i o np r i n c i p l eo fc o n f o r m a l d i m e n s i o n ：s u p p o s et h a t ( x ，弘) i sac o m p a c ta n du n i f o r m l yp e r f e c td o u b l i n gm e t r i c m e a s u r e s p a c ea n d t h a tp 王。i fxh a sn o n t r i v i a lp - m o d u l u sa n di ft h e r ei sac o n s t a n t c 0s u c ht h a tp ( j e i ) 蕊c ( r ( s ) ff o ra n yb a l lbcx ，t h e nt h ec o n f o r m a ld i m e n s i o n dx 弧a tl e a s tp ，w h e r er ( s ) d e n o t e st h er a d i u so fb 。 i tc o n t a i n sf o u rp a r t s i np a r to n e ，w eg i v et h es e t t i n go ft h ep r o b l e m sa n dt h e k n o w nc o n c l u s i o n s ，i np a r tt w o ，w ei n t r o d u c et h ek n o w l e d g et h a tw en e e da n do u r m a i nc o n c l u s i o no ft h i sp a p e r 。i np a r tt h r e e 聪p r o v et h em a i nc o n c l u s i o no ft h i s p a p e r i np a r tf o u r ，w eg i v es o m eq u e s t i o n sw h i c hc a nb ed i s c u s s e db a s e do nt h i s p a p e r k e yw o r d s ：m o d u l u so fa c u r v ef a m i l y ；c o n f o r m a ld i m e n s i o n ；q u a s i s y m m e t r i c m a p p i n g 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：彰垮车 签名日期：硼g 年占月干日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名z 当垮茅 签名日期：渺8 年5 月年日 导师签名。入9 艺及 签名日期：q 降f , qv - 日 第一章引言 第一章引言 分形几何学的主要研究对象是不规则集和测度，主要工具是集和测度的各 种维数它的研究问题很多，例如，确定分形集的维数，描述分形集的局部性 质，对分形集进行分类，讨论分形集的乘积与投影等等( 见【1 ，2 】) 分形几何中 最基本最重要的概念是维数，粗略地讲，一个集的维数反映了这个集所处的 大小层次如何刻画与量度自然界中的分形的复杂性就是维数所应解决的问 题b m a n d e l b r o t 3 】在其著作镁分形对象形，机遇和维数中指出，自然界 中的分形是通过。形( f o r m ) ，机遇( c h a n c e ) 与维数( d i m e n s i o n ) 这三个要素来刻 画的 分形维数的概念有很多，例如：豪斯道夫维数【1 】，填充维数【4 ，5 】，盒维数【l 】， 拓扑维数 6 】6 等等在被使用的众多的分形维数中，以c a r a t h e o d o r y 7 构造为 基础的豪斯道夫维数是最古老也可能是最重要的一种豪斯道夫维数具有对 任何集都有定义的优点，由于它是建立在相对比较容易处理的测度概念的基 础之上，因此在数学上是比较方便的 拟对称映射源自著名数学家b e u r l i n g 和a h l f o r s 与1 9 5 6 年发表在a c t am a t h 上的一篇文章 8 】根据他们的结果，直线上的拟对称自同胚正好是上半平面 到自身的拟共形映射的边界映射( 见【8 】) 拟对称映射是高维欧氏空间上的拟 共形映射到一般度量空间的推广，而拟共形映射一直是共形几何研究的核心 内容 我们知道一个双李普希兹映射一定是一个拟对称映射，而反之不然豪斯 道夫维数是双李普希兹不变量，即集合的豪斯道夫维数在双李普希兹映射下 是保持不变的那我们想知道豪斯道夫维数与拟对称映射有什么关系，豪斯道 夫维数是不是在拟对称映射下也保持不变呢? 上述问题的答案是否定的，即集合的豪斯道夫维数不是拟对称映射下的不 变量，拟对称映射可以改变一个集合的豪斯道夫维数b i s h o p 在文献 9 】9 中指 出，对欧氏空间r n ( n 1 ) 中任意一个有正豪斯道夫维数的紧子集e ，对任意 e 0 ，存在一个拟对称映射，：r n - 郧使得d i m n f ( e ) n e ，即拟对称映 射可以增加维数另一方面，t u k i a 在文献【l o 】中指出，对任意 0 ，存在r 】 湖北大学硕士学位论文 的一个子集e 和拟对称映射，：r r ，使得d i m h ( r e ) 0 ，使对任意球b 有 p ( b ) c ( r ( b ) ) p ，则x 的共形维数至少为p ，这里r ( b ) 表示b 的半径 2 第二章预备知识及本文主要结果 第二章预备知识及本文主要结果 设( x ，固是度量空闻，我嬲用b ( x ，r ) 端匆x | g 善，y ) 0 有 弘君( 髫，2 r ) c u ( b ( x ，r ) ) 成立 若p ( b ( 卫，r ) ) = 0 或者弘( 君( 嚣，r ) ) = 对所有的茹x 和r 0 成立，显然 p 也是加倍测度，在这种情况下，称测度p 是平凡的 若存在。x 穰r 0 使得0 芦( 8 茹，r ) ) ，剜称测度弘是菲平凡的 在这种情况下，我们也称p 是c 一加倍的本文所讨论的加倍测度均指非平 凡的加倍测度。 。 我们需要强调的是x 上的加倍测度只在x 上满足加倍条件，即定义中球 的中心一定要瘸子x 根据上面的定义，我们很容易验证，若p 为度量空间x 上的加倍测度，则 对任意球丑及任意a 1 ，有p ( a 曰) c ( a ，p ) p ( b ) ，其中c ( a ，p ) 1 命题2 1 1 1 1 7 设b 燃 b l ，b 2 ， 是加倍度量测度空间( x ，p ) 上的一个可 数球族，1 0 ，则x 上存在非平 凡的加倍测度，使得在一个豪斯遭夫维数至多为盘的集上具有满测度 2 2 拟对称映射 拟对称映射源自著名数学家b e u r l i n g 和a h l f o r s 与1 9 5 6 年发表在a c t am a t h 上的一篇文章f 8 1 根据他们的结果，直线上的拟对称自同胚正好是上半平面 到自身的拟共形映射的边秀映射( 觅阐) 拟对称映射是高维欧氏空闻上的拟 共形映射到一般度量空间的推广，而拟共形映射一直是共形几何研究的核心 内容 定义2 2 1 设( x ，奴) 和( y , d y ) 是度量空间，7 ：【0 ，) _ 【0 ，o o ) 是一个同 胚。称弱胚f ：x - y 是争拟对称的，如果对任意 0 纛任意霪，款z x ，当 d x ( z ，3 ，) t d x ( ，彳) 时，有d y ( f ( x ) ，( 可) ) ，7 ( t ) d y ( ，( 嚣) ，( z ) ) 下面我们来讨论一下拟对称映射与双李普番兹映射的关系。 命题2 2 1 设( x ，奴) 和却) 是度量空间，：x _ y 是一个双李普希 兹映射，则，是一个拟对称映射。 4 第二章预备每识及本文主要结果 证明：设f ：x y 是一个己一双李普希兹映射，即厂满足 l 一1 盛x ( z ，彰) 蓬d y ( f ( x ) ，( f ) ) l d x ( z ，掣) ，v 霉，y x ， 雯4v 搿，y ，z x ，t 0 ，如果叠x ( g ，y ) t d x ( 鬈，名) ，贝l 有 d y ( f ( x ) ，( ! ) ) sl d x ( x ，) l t d x ( x ，彳) s 厶2 t d v ( f ( x ) ，如) ) ， 所以，是l 2 t 一拟对称映射。 上述命题说明了一个双李普希兹映射一定是一个拟对称映射，但是上述命 题的逆命题是不正确的，即一个掇对称映鼾不一定是双李普希兹映射。例如，设 ( x ，d 1 ) 是度量空间，对任意( 0 ，1 ) ，( x ，嘶) 也是一个度量空间。设，是( x ，d 1 ) 到x ，嚷) 上的恒等映射，记( x ，蠼) 上的度量剪势如，更| j 对任意t 0 纛任意 z ，y ，名x ，当d z ( x ，y ) t d l ( x ，名) 时，有d 2 ( f ( x ) ，( 耖) ) = 蝣( 搿，y ) 萨嘶( z ，z ) = 扩如( ，( 善) ，( 名) ) ，所以，是矿一拟对称的，但，通常不是李普希兹映射 命题2 2 2 设( x ，奴) 和( e 如) 是度量空间，f ：x _ y 是叩一拟对称映 射，则f 1 ：，( x ) x 是r 一拟对称的，其中石( t ) = 南，v t 0 证明：任取瓠8 b ，僻) ，存在岔，0 ，譬x ，使得嚣= f - 1 ，0 = f - 1 ( a ) ，6 ，= f - 1 ( 6 ) 本题要证。若d v ( y ，口) t d y ( v ，6 ) ，则d x ( x ，n ) 7 ( t ) d x ( x ，6 ，) 因势d x ( x ，) = 襄器奴霪，o ) 且歹是蹿一拟对称鳃，所以 蛐胚露( 黼胁砒 又因为d y ( y ，a ) 曼t d y ( s ， 6 ) ，所以 d y ( y 湖引零揣蚓蜊， 故t 一1 露( 麦d 路i ) 。从而由露一1 ( t ) 的单调性知，露一1 ( t 一1 ) 燃a x z , a ) ，即 嘶挑黼 命题2 。2 。3 设( x ，d x ) ，( k 靠) 和( z 妇) 是度量空间，若f ：x y 和 g ：y z 分别是w 一拟对称映射和锄一拟对称映射，则go ，：x _ z 是 殛o 7 i ) - 拟对称的。 证明： 任意z ，o ，b x ，如果d x ( z ，口) t d x ( 刃，6 ) ，因为，：x 一y 是 7 ，一 拟对称映射，所以 d y ( ，( z ) ，( a ) ) r l y ( t ) d y ( f ( x ) ，( 扫) ) 5 湖北大学硕士学位论文 又g ：y 斗z 是一拟对称映射，( z ) ，( d ) ，f ( b ) y ，则 d z ( go ，( z ) ，go ，( d ) ) sr i gor l l ( t ) d z ( go ，( z ) ，g0 ，( b ) ) ， 所以go ，是( 嘞o7 7 ，) 一拟对称的 命题2 2 4 设( x ，奴) 和( kd y ) 是度量空间。，：x 一】，是7 7 拟对称映 射，acx ，则，限制在a 上也是矿拟对称映射 证明：由于命题的证明比较简单，我们在此略去其详细的证明过程 定义2 2 2 设( x ，d ) 是度量空间，称x 的所有拟对称像所共有的性质为拟 对称不变性质 下面我们简单介绍一些度量空间的拟对称不变性质 命题2 2 5 f 17 拟对称映射将c a u c h y 列映为c a u c h y 列特别，拟对称映射 将完备度量空间映为完备度量空间 命题2 2 6 1 7 拟对称映射将加倍度量空间映为加倍度量空间 上述两个命题说明了度量空间的完备性和加倍性是拟对称不变性质显 然，度量空间的任意一个拓扑不变性质一定是一个拟对称不变性质，而反之不 然从而，度量空间的连通性，紧性等都是拟对称不变性质 在拟对称映射的拓扑学方面，我们想知道具有哪些性质的度量空间与一个 已知空间拟对称同胚，即两个空间之间存在一个拟对称映射；特别地。我们想 知道具有哪些性质的度量空间与某个欧氏空间拟对称同胚在这个方面，我们 有如下结论 命题2 2 7 1 7 设( x ，d ) 是一个加倍度量空间，v ( 0 ，1 ) ，则( x ，俨) 能双 李普希兹嵌入到某个欧氏空间 命题2 2 8 【17 】设( x ，回是一个度量空间，则x 与某个欧氏空间拟对称同 胚当且仅当x 是加倍的 设( x ，d ) 是一个加倍度量空间，垤( 0 ，1 ) ，称( x ，铲) 为( x ，d ) 的s n o w f l a k e d 型空间由上述两个命题，我们可以知道，一个加倍度量空间与某个欧氏空间 是拟对称等价的。且其s n o w f l a k e d 型空间与某个欧氏空间是双李普希兹等价 的，但我们并不能确定这个度量空间与某个欧氏空间是双李普希兹等价的， 这个问题还有待我们去解决 问题。具有哪些性质的度量空间与某个欧氏空间是双李普希兹等价的? 拟对称映射与加倍测度也有很紧密的联系，实际上，直线的拟对称自同胚 诱导的测度正好是加倍测度，虽然在高维情形或者更一般的度量空间中它们 之间没有这种简单的直接的关系，但仍然紧密相关 6 第二章预备知识及本文主要结果 事实上，实直线r 上的拟对称映射和加倍测度之间存在着一一对应一方 面，如果j f ：酞r 是一个拟对称映射，则测度u ( e ) = i ，( e ) l 是一个加倍测 度，这里i | 表示l e b e s g u e 测度另一方面，如果p 是r 上的一个加倍测度， 定义f ( m ) = 厅咖，则，是一个拟对称映射 通过拟对称映射，我们定义了一类特殊的集，即拟对称厚集下面我们首 先介绍实直线上的拟对称厚集【2 2 】 定义2 2 3 集ecr 称为是拟对称厚的，如果对任意拟对称映射，：r _ + r 都有i ，( e ) i 0 借助于实直线上的拟对称厚集，我们得到下面这个判断实直线r 的子集上 是否存在非平凡的加倍测度的一个充要条件 命题2 2 9 1 1 7 集acr 上存在非平凡的加倍测度当且仅当存在拟对称映 射，：r _ r ，使得i ，( r a ) i = 0 即实直线r 的子集上存在非平凡的加倍测度 当且仅当它的余集不是拟对称厚的。 对于一般度量空间中拟对称映射和加倍测度的关系，h e i n o n e n 在其最近的 著作【l7 】的第十四章中做了阐述在一般度量空间中，我们如下定义拟对称厚 集 定义2 2 4 设x 是度量空间，集ecx 称为是拟对称厚的，如果对v p 0 ， 对任意拟对称映射，：x _ y ，其中y 是任意a h l f o r sp - 正则空间，都有 h p ( f ( e ) ) 0 借助于一般度量空间上的拟对称厚集，我们得到下面一般度量空间中拟对 称映射和加倍测度的关系 命题2 2 a o 1 7 设x 是一个完备的一致完全的加倍度量空间，acx 则 a 上存在非平凡的加倍测度当且仅当x a 不是拟对称厚集 拟对称厚集是一类比较特殊的集s t a p l e s 和w a r d 在文献【2 2 】中研究了直 线上的拟对称厚集b u c k l e y , h a n s o n 和m a c m a n u s 在文献【2 3 】中刻画了拟对称 厚的中间区间c a n t o r 集h e i n o n e n 在文献【17 】中研究了一般度量空间中的拟 对称厚集一般的说，加倍测度的正集与拟对称厚集之间的关系很复杂，对于 它们之间的关系还有待我们做进一步的研究和探讨 2 3 一致完全空间 定义2 3 1 称度量空间( x ，d ) 是一致完全的，如果存在常数c ( 0 ，1 ) ，使得 对任意球b ，当x b d 时，有b c b 0 此时，我们也称度量空间( x ，d ) 是 7 潮北大学硕士学位论文 c 一致完全的，称c 是( x ，d ) 的一致完全性常数 建上面的定义知，妻羹果度量空闻x ，国是一致完全的，其一致完全性常数 为q 那么对x 中任意球b ，只要x b 谚，就有c r ( b ) sf b i 2 r ( 廖) 显然，由一致完全空间的定义，我们可以得到以下几个结论t ( 1 ) 一致完全空间中没有孤立点 ( 2 ) 连通空间是一致完全的 ( 3 ) 很多不连通的分形集也是一致完全空闻，例如三分康托集和a h l f o r sp - 正则空间在很多分析问题中，一致完全性和连通性一样好 下面我嬲介绍一致完全空闻的一个等价定义。 命题2 3 1 度量空间( x ，d ) 是一致完全的当且仅当存在常数入l 和入2 ，0 0 ，使得d ( a ，b ) 芝n 下 面我们证明环口( 8 ，r ) a l 且( 8 ，r ) 毋，使得x 是a l 一致完全的，这里可以通过 条件( 3 ) 反复迭代而得到；对a ，b 两点，出条件( 3 ) 式知，存在点x o x ，使得 a l r 冬$ t d ( a ，b ) d ( a ，z o ) s $ 2 d ( a ，6 ) 若d ( a ，跚) r ，则a 1 r d ( a ，x o ) r 所以x o 蠢b ( a ，r ) 天l b ( 口，广) 若d ( a ，x o ) r ，再对8 和x o 运用条件( 3 ) 式，则存在点x lex ，使得 天1 s l d ( a ，x o ) 竖d ( a ，z 1 ) 入2 d ( a ，g o ) 入；d ( a ，6 ) 一直这样做下去，一定可以找到点繇x ，使得 ) t i t a l d ( 8 ，x k 1 ) d ( a ，投) a ! + 1 d ( a ，6 ) 扎 即搿七b ( a ，r ) 入lj e 7 ( n ，r ) 8 第二章预备知识及本文主要结果 下面我们介绍拟对称映射与一致完全空间的关系由上述命题2 3 1 ，我们 可以得到一致完全性是拟对称不变的 命题2 3 2 度量空间的一致完全性是拟对称不变的，即若( x ，奴) 是一致 完全的，：x - ( kd y ) 是叩拟对称映射，则( k 如) 是一致完全的 证明：因为x 是一致完全空间，由命题2 3 1 知，存在常数a 1 和a 2 , 0 a i a 2 1 ，使得对任意两点n ，b x ，都存在z o x 满足 , h d x ( a ，b ) d x ( a ，x o ) a 2 d x ( n ，6 ) 由，的拟对称性可以知道， 赤d y ( m ) ，( 6 ) ) d y ( m ) ，m 0 ) ) 纠d y ( m ) ，m ) ) 若v ( a 2 ) 1 ，则由命题2 3 i 知，( y , d y ) 是一致完全的 若叩( a 2 ) 1 ，则对a ，z o 这两点运用( 3 ) 式，存在z l x ，使得 入；奴( n ，b ) a l d x ( a ，x o ) d x ( a ，z 1 ) sa 2 d ( a ，z o ) a ；d ( a ，6 ) 一直这样做下去，可以找到z 七x ，使得f 7 ( a ；+ 1 ) 1 且 a ：+ 1 d x ( a ，6 ) a l d x ( a ，z 七一1 ) d x ( a ，z 七) a 2 d ( a ，z 七一1 ) a l + 1 d ( n ，6 ) 此时有 i i x 可d y ( ，( 。) ，( 6 ) ) d y ( ，( n ) ，( 。七) ) 1 7 ( 入5 + 1 ) d y ( ，( 。) ，( 6 ) ) 由命题2 3 1 知，y 是一致完全的 命题2 3 3 度量空间( x ，奴) 是一致完全空间，( y , d y ) 是度量空间，： x 一y 是t 7 一拟对称映射，则存在常数c 1 和q ( 0 ，1 】使得 v ( t ) = cm a x t q ，t 言) ， 其中常数0 和。仅依赖于映射，和空间x 证明：任意。，6 ，z ，令t = 象，下面我们对t 1 和t 1 这两种情况分 别证明之 情况1 ：当t i 时由于x 是一致完空间，根据命题2 3 i ，存在常数入1 和 a 2 ，0 入l5a 2 入i 5 一 令口= ( 1 0 9 h ) ( 1 0 9a i - 1 ) 1 ，则俨t 。再联立( 4 ) 式可得， d y ( ，( 口) ，( z ) ) sh t o d y ( ，( 6 ) ，( z ) ) 情况2 ：当t 1 时，由命题2 3 2 可以知道，度量空间y 也是一致完全空 间，再由命题2 3 1 可得，存在常数入1 和入2 ，0 a l a 2 1 满足条件( 3 ) 不 妨假设印( 入2 ) s 圭( 如若不然，我们可以用( 埘，犍) 来代替( a t ，a 2 ) ，v n n ) 与 情况1 相同，我们可以找到点z o = 6 ，：g l ，z 2 ，0 o ) ，使得 a t d x ( z i ，z ) d x ( x i + l ，z ) s ) 、1 2 d x ( z i ，z ) ， 对所有i = 0 ，1 ，s 一1 成立，并且 入l d x ( z ，z 5 ) d x ( 口，z ) d x ( z ，z ，) 由，的拟对称性得， d r ( i ( z + 1 ) ，( z ) ) ，7 ( a 2 ) d y ( ，( z i ) ，( z ) ) 三d y ( ，( z i ) ，( z ) ) ， 1 0 第二章预备知识及本文主要结果 因此 d y ( f ( x 。) ，( z ) ) 2 - s d y ( ，( 6 ) ，( z ) ) ， 进一步我们可以得到 d y ( f ( a ) ，( z ) ) 7 7 ( 1 ) d y ( ，( z 。) ，( z ) ) = h 2 5 d y ( ，( 6 ) ，( z ) ) ， 其中日= 叩( 1 ) ，所以 另一方面， 生! 丛丝望：t ， 0 ，则t q 2 一州，所以t h 2 一。2 h t q ，即 d y ( f ( a ) ，( z ) ) 2 h t q d y ( f ( b ) ，( z ) ) 由上述命题2 3 3 可以得到，一致完全空间上的拟对称映射在其有界子集上 是霍尔得连续的，从而由豪斯道夫维数的性质，我们可以得到下面命题2 3 4 命题2 3 4 1 1 7 设x 是c 一致完全度量空间，y 是度量空间，：x _ y 是叩一拟对称映射，则对任意子集acx ，有 a d i m l - l a d i m h f ( a ) 口一1 d i m 日a ， 其中0 0 ，acx 定义集合a 的8 维豪斯 道夫容度为 戤( a ) = i n f 。，u 阢d 砷 i 集合a 的豪斯道夫维数定义为 d i m xa = i n f s ：h l ( a ) = o ) 因为比( a ) = 0 当且仅当日5 ( a ) = 0 ，故这个定义与豪斯道夫维数的通常 定义是一致的 我们知道拟对称映射保持空间的很多度量性质，但维数不是拟对称映射下 的不变量，拟对称映射可以改变一个集合的豪斯道夫维数b i s h o p 在文献【9 】 中证明了欧氏空间融上的豪斯道夫维数介于0 和n 之间的集可通过n 维拟 对称映射，：r n _ 舯增加维数到任意接近n 的程度，这说明了拟对称映射 可以增加维数另一方面，t u k i a 在文献 1 0 】中证明了直线上的拟对称自同胚 在豪斯道夫维数的意义下可以很奇异，它可以将正长度的集映成维数很小的 集，这说明了拟对称映射有时也可以减小维数 在2 2 拟对称映射这一节，我们提过这样一个例子设( x ，d 1 ) 是度量空 间，对任意( 0 ，1 ) ，( x ，d e ) 也是一个度量空间，设，是( x ，d 到( x ，俨) 上的 恒等映射，则，是矿一拟对称映射此时，若( x ，d ) 的豪斯道夫维数为s ，则 ( x ，俨) 的豪斯道夫维数为；s ，即一个集合的拟对称像的豪斯道夫维数没有上 界从而我们定义一个空间的共形维数为其所有拟对称像的豪斯道夫维数的 下确界 1 3 潮北大学硬士学位论文 定义2 5 2 度量空间x 的共形维数定义为 c d i m 霸x = i n f d i m hy ：j 拟对称同胚，：x _ y 。 定义2 5 。3 称度量空间x 是拟对称极小集，如果其共形维数等于其豪斯道 夫维数，即 c d i m h x = d i m 丑x 整数维的拟对称极小集显然是存在的例如，欧氏空间舻是拟对称极小 集。丽非整数维的拟对称极小集的例子就不那么明显了t y s o n 在文献【1 4 】中 指出，一个紧的有非平凡p 模 1 ) 的a h l f o r sp 正则空阕是拟对称极小集 例如，设f 表示康托量分集，则fx1 0 ，1 】是共形维数为1 十警的拟对称极小 集。另外，t y , o n 在这篇文章孛还提出了这样一个猜想t 如采辩中紧集要的 豪斯道夫维数严格小于1 ，则曰的共形维数为0 ，即不存在维数严格介于0 和1 之闽的拟对称极夺集随后，这个猜想投k o v a l e v 证实。k o v a l e v 在文献【王翻 中指出，任意一个度最空间的共形维数或为0 ，或至少为1 2 6 本文生要结论 关于豪斯道夫维数，我们有著名的质量分布原理f 1 】质量分布原理是估计 豪斯道夫维数下界的有力工具对于共形维数，我们也得到了一个岛豪斯道夫 维数的质量分布原理极其类似的一个结果，即本文的主要结论定理1 ，我们把 定理1 称为共形维数的质量分布原理。 定理1 设( x ，p ) 是紧的一致完全的加倍度量测度空间，p 1 若( x ，p ) 有 非乎凡p 模且存在 0 ，使对 鼍意球嚣有筘蟑) g | ( 8 ) ) ，则c d i m h x 爹 1 4 第三章主要定理鲍证明 第三章主要定理的证明 3 1 研究背景及相关结论 拟对称映射源自著名数学家b e u r l i n g 和a h l f o r s 与1 9 5 6 年发表在a c t am a t h 上的一篇文章陴根据他们的结果，直线上的拟对称自同胚正好是上半平面 到自身的拟共形映射的边界映射( 觅【8 】) 拟对称映射是高维欧氏空间上的拟 共形映射到一般度量空间的推广，而拟共形映射直是共形几何研究的核心 内容拟对称映射与加倍测度也具有很紧密的联系，实际上，直线的拟对称骞 同胚诱导的测度正好是加倍测度，虽然在高维情形或者更一般的度量空间中 它们之阉没有这种篱单的直接的关系，但仍然紧密耀关现在拟对称映射已经 成为度量空间之间最具研究价值的映射，拟对称映射理论主要研究由拟对称 映射孳| 起的形变问题。在接对称映射的拓扑学方面还有许多基本同题尚待解 决 虽然拟对称映射保持空闻的很多度量性质，例如连通性，紧性，完备性， 加倍性，一致完全性等等，但维数不是拟对称不变性质关子集合的共形维数 的研究可追溯到1 9 7 3 年g e h r i n g 和v f i s i l i 的工作【2 5 】和1 9 8 9 年t u k i a 的工 作【l 啦 因为n 维欧氏空间上的拟对称自同胚是局部双霍尔得连续的，所以它将零 维集映为零维集g e h r i n g 和- v i i s i l i 在文献【2 5 】中证葫了当终 1 时绉维欧 氏空间上的拟对称自同胚将豪斯道夫维数为n 的集映成豪斯道夫维数为n 的 集。t u k i a 在文献【王明紫证翳了点线上的拟对称皇同胚在豪斯道夫维数的意义 下可以很奇异，它可以将正长度的集映成维数很小的集，从而表明了g e h r i n g 和v i i s g l i 的结论对n 燃1 来说不成立。b i s h o p 在文献【9 1 中证明了欧氏空间 舻上的豪斯道夫维数介于0 和之间的集可通过竹维欧氏空间上的拟对称自 同胚增加维数到任意接近礼的程度t y s o n 在文献【1 4 】中证明了豪斯道夫维 数介于王和摊之间的拟对称极小集的存在性，在这篇文章中他猜测不存在维 数严格介于0 和1 之间的拟对称极小集最近，k o v a l e v 在文献【1 5 】中证实了 这个猜悫。 3 2 三个引理及其证明 1 5 湖北大学硕士学位论文 为了证明本文的主要结论定理1 ，我们首先给出下面三个引理并给出其证 明 引理1 若度量测度空间( x ，p ) 有非平凡p 模( p 1 ) ，则存在x 中的曲线 族r 和常数6 0 ，使得m o d p r 0 且v 7 f 有l ，y i 6 引理1 的证明：因为x 有非平凡p 模，存在x 中的一个曲线族r ，使得 m o d p r 0 令f n = 7 ：，y r 且丢) ，v n n 则f = ur n 因为p 模是 外测度，故 。 0 0 可见6 = 示1 及曲线族r m 满足引理的要 求 引理1 说明了有非平凡p 模( p 1 ) 的度量测度空间中可以找到一个曲线 族，使其有非平凡p 模且其中任意一条曲线的直径都大于0 引理2 设( x ，以) 和( y d y ) 是度量空间，：x _ y 是t 7 一拟对称映射， 则，映有界集为有界集进而，如果acb cx 且0 l a l l b i ，则 高黝纠篱， 引理2 的证明：为了证明i ，( b ) i 有限，在集合b 中选取两个序列k 和 砭，使得 妻i b i d x ( b n ，) _ i b i ( n _ + c o ) ， 贝0vb b ，有d 支( 6 ，b 1 ) i b i 2 d x ( b t ，6 ：) ，则 d y ( ，( 6 ) ，f ( b t ) ，7 ( 2 ) d y ( ，( 6 1 ) ，( 氏) ) o o ， 从而l ，( b ) l o o 下面证明不等式( 5 ) 我们先证明其右边不等式vz ，a a ，有 d x ( b ，吒) sd x ( b n ，口) + d x ( ，口) ， 由对称性，我们可以假定d x ( b ，口) ；d x ( b n ，以) ，因为 州叩) = 揣d x ( b ， 1 6 第三章主要定理的证明 所以由，的拟对称性司以知道 d y ( ，( z ) ，( 。) ) ，7 ( 主凳罕； j 骞) d y ( ，( 6 n ) ，( 。) ) t 7 ( 蒜翳) d y 6 n ) m ) ) ，7 ( 蒜w ( 驯 _ t 7 ( 哿渺( 圳( n 一毗 从而由z 与n 的任意性知，i f ( a ) j 叩( 料) i ( b ) i ，即 丽i f ( a ) l 7 7 ( 2 j i a i i ，、b i ，( b ) i 一八ji r 最后证明不等式( 1 ) 的左边由命题2 1 2 可以知道，厂1 是叩一拟对称 的，其中，7 ( t ) = 南，又，( a ) c ，( b ) ，所以由上面结论知， 俐i a - - - 1 i 0 ，使对任意球b 有p ( j e 7 ) c ( r ( b ) ) p ，则c d i m h x p 定理1 的证明：因为x 有非平凡p 模，由引理1 知，存在常数6 0 和x 中的曲线族r ，使得m o d p r 0 且对任意7 f 有i ，y i 6 于是对任意叩拟对 称同胚，：x y ，由引理2 知，v 7 f ，有i ，( 7 ) i ，这里 。i y i 。丽碉。 因为根据假设有0 i x l ，l y i ，故f 有意义且为一个正实数 由于x 是一致完全的，易知y 是一致完全的设y 的一致完全性常数为 c ，则对y 中的任意球b ，只要y b 0 ，就有c r ( b ) i b is2 r c b ) 此外，由 x 的一致完全性易知，对每个矿拟对称同胚f ：x - + y ，存在常数h 1 ，使 得对y 中的每个球b ，有x 中的球满足 u bcf - 1 ( b ) cf - i ( 5 b ) ch u b( 6 ) 假设存在个拟对称同胚，：x _ y 使d i m hy p ，下面将证明对如上所述 的曲线族r 有m o d p r = 0 这个矛盾的结论即说明了c d i m 日x p 首先，由d i m ny 0 ，存在y 中可数球族b ，使得 y = ub 且阱 ( 7 ) b 且 b 且 对每个b 8 ，取x 中一个球u _ 使( 6 ) 成立，于是由x 的一致完全性及，的 拟对称性可知，当充分小时，对每个b b 有4 h r ( u s ) 艿 其次，由5 r 覆盖引理，存在召的一个可数不交子族玩，使得y = u5 b 现在借助于这个子族玩来构造曲线族r 的一个允许函数为此。定义b o r e l 函数p ：x 一【0 ，】为 出) = 三帮 ( 8 ) b 玩 、。7 对每个7 r ，令日= 【b b o ：f ( 7 ) n5 b 吐当b 岛时，有 ，y nh u b 西，又因为i 2 h u b i 4 h r ( u b ) 等 取p l ( z ) = 坐h 盟i ，z x 则有f ，rp l d s 1 ，从而p 1 是曲线族r 的一个允许函 数 最后，根据p 模的定义及y 的一致完全性，由( 7 ) 式，( 8 ) 式和命题2 1 1 可得 岫r 上枷c 上脚= c 上c 磊怒切计舡 c 上c 轰器1 计峪c 聂c 端m c ， c ( r ( b ) ) p c ， b 6 b o 其中常数c 与e 无关，每次出现时不必相等所以m o d p f = 0 定理得证 1 9 湖北大学硕士学位论文 第四章若干尚待解决的问题 关于拟对称映射和共形维数，还有一些尚待解决的问题 问题1 ： 由于t y s o n 1 4 和k o v a l e v 1 5 】的出色工作，关于拟对称极小集的存在性问 题已经得到了比较完整的结论目前，对拟对称极小集还所知甚少，还需要对 它作出更深入的描述 问题2 ： 填充测度与维数以异于豪斯道夫测度与维数的方式反映分形的特征因为 填充测度和豪斯道夫测度定义方式上的对偶性，填充测度与维数已经成为研 究分形的重要工具关于豪斯道夫测度与维数的问题经常可对填充测度与维 数提出，并且能得到具有重要意义的成果( 见 2 6 】和 2 7 】) ：集合的填充维数在 拟对称映射下是如何改变的呢? 这个问题还有待解决同样，对盒维数也由同 样的问题。即盒维数在拟对称映射下如何改变 2 0 参考文献 参考文献 【l 】1 k j 。f