（应用数学专业论文）抽象空间中方程解的若干问题.pdf

摘要 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，它能够清楚地解释自然界中很多 自然现象，因而受到了越来越多的数学家与数学工作者的关注其中，非线性边值问题 来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一非线 性脉冲积分微分方程来源于生物学和医学的一些数学模型，是微分方程的一个重要分支 由于它比经典的微分方程理论丰富，所呈现的结构有其深刻的物理背景，因此研究非线 性脉冲积分微分方程更具有重要意义本论文主要讨论了b a i l a c h 空间中非线性积微分 方程和脉冲积微分方程解的存在性，全文共分五章 第一章，前言部分，主要介绍了选题来源、研究意义、国内外研究现状，以及论文 的主要研究内容和目标 第二章，利用新的比较原理和上下解方法，讨论了b a l l a c h 空间中的混合型一阶积 微分方程的非线性边值问题，并改进了已有的结果 第三章，利用不动点理论，证明了实b a i l a c h 空间中一阶混合型脉冲积微分方程周 期边值问题解的存在性定理，对已有结果作了推广和改进 第四章，利用锥理论和上下解方法，研究了b a i l a c h 空间中含有微分项一和偏差变 量x ( ( f ) ) 的二阶混合型脉冲积微分方程非线性边值问题的极值解的存在性 第五章，利用锥理论和单调迭代方法，研究了b a n a c h 空间中无穷区域上一类二阶 脉冲积微分方程的初值问题极值解和唯一解的存在性 关键词：脉冲积微分方程，非线性边值问题，单调迭代方法，上下解方法，不动点理论 s o m ep r o b i e m sf o rs o l u t i o n so fe q u a t i o n si na b s t r a c ts p a c e l iw b n ju a n ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o s o n gg u a n g x i n g a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a l 锄融y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e m a n a l y s i sm a t h e m a t i c s i t c a i le x p l a i nal o to fn a t u r a lp h e n o m e n ac l e a r l y ，s om o r ea n dm o r em a m e m a t i c a lr e s e 2 u r c h e r s a i ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t a m o n gt h e m ，t h en o n l i n e a rb o u n d 甜yv 铂u ep r o b l e mc o m e s 丘o m al o to f b m c h e so fa p p l i e dma _ c h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，i ti sa tp r e s e n to n eo fm em o s ta c t i v e f i e l d st h a ti ss t u d i e di na i l a l y s i c a lm a t h e m a t i c s t h et h e o 巧 o fn o n l i n e a ri m p u l s i v e i n t e g r o d i f j 睹r e n t i a l 删i o n si san e wa n di m p o m mb r a n c ho fd i f 陀r e m i a le q u a t i o n s ，幢c h o r i g i n a t e s 抒o ms o m em a m e m a _ t i c a lm o d e lo fb i o l o g y ，m e d i c i n e b e c a u s ea l lt h e 鼬n j c t u r eo f i t s e m e r g e n i c e h ，峪 d e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n d ， m er e s e a r c ho nn o n l i n e a r i m p u l s i v e i 1 1 t e 黟。一d i 任e r e n t i a le q 眦t i o n s i sm o r em e 越n g 如1 ，n l e p r e s e n t m e s i s m a i l l l y d i s c l l s s e st h e p r o b l e m s f o rs o l u t i o i l so fn o l l l i n e a r i n t e g r o d i f j f e r e n t i a le q u a t i o l l sa n dn 0 1 1 l i n e a ri n l p u l s i v ei n t e g r o - d i 能r e n t i a le q u 撕o i l si nb a i l a c h s p a c e i tc o n s i s t sf i v ec h a p t e r s i n c h a p t e ro n e ，、em a i n i yi i l t r o d u c eb a c k 伊。吼d ，r e s e a r c hm e a i l i n ga n dc u 玎e n t s i t u a t i o n so fm i ss t u d 弘a n dn l em a 协c o r l c l u s i o r l s 龇l dm o t i v eo ft l l i st h e s i s i nc h a p t e rt w d ，、聪d i s c u s st l l ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ff i r s to r d e r 缸e g r 0 一d i 位r e n t i a l e q u a t i o n so fm i x e d 咖ew i t hn o n l i n e a rb o u l l d a 巧c o n d i t i o n si 1 1b a n a c hs p a c e ，b yu s i n ga c o m p 撕s 0 nr e s u l t 趾dp 砒i a lm e t h o d i tg e n e r a l i z e sa r l di m p r o v e st h ef o n l l e rc o r r e s p o n d i n g r e s u l t s i nc h 印t e rt | l r e e ，、eu s et h ef i x e dp o i n ti n d e xm e o 巧t op r o v es o m ee x i s t e n c et h e o r e m so f m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o i l so fp e “o d i cb o u i l d a 叫v a l u ep r o b l e mf o rt h ef i r s to r d e ri m p u l s i v e i n t e g r o d i 髓r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c et l l a ti m p r o v e da n dg e n e r a l i z e dm er e s u l t s o b t a i n e db yo t h e r s i nc h a p t e rf o u r b yu s i n gt h ec o n et k r ya j l dl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ，w ei n v e s t i g a t e t h ee x i s t e n c eo fe x t r e m a ls o l u t i o n so fn o n l i n e a rb o u n d a 巧v a l u ep r o b l e mf o rs e c o n do r d e r i m p u l s i v ei n t e g r o d i 虢r e m i a le q u a t i o n s ，w h i c hi i l v o l v em ed e r i v a t i v e a i l dd e v i a t i n g a r g u m e n tx ( ( f ) )协ba i ：l a c hs p a c e i n c h 印t e r6 v e ，b yu s m gt h e c o n et h e o r ya n dm o n o t o n ei t e r a t i v e t e c h n i q u e ，w e i i e s t i g a t et l l ee x i s t e n c eo fe x t r e m a ls o l u t i o n s 觚du n i q u es o l u t i o n so ft h ei i l i t i a lv a l u e p r o b l e m ( i v p ) f o rac l a s so fs e c o l l do r d e ri m p u l s i v e i n t e 伊。一d i f r e r e m i a le q u a t i o n so n u n b o u n d e dd o m a i l l 洫ab a i l a c hs p a c e o u rr e s u l t si m p r o v e 锄de x t e n dm a l l yr e c e n tr e s u l t s k e yw o r d s ：i r l l p u l s i v ei n t e 伊。一d i f i f e r e n t i a le q u a t i o 轧n o n l i n e a rb o u n d a d rv a l u ep r o b l e m ， m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，u p p e ra n dl o w e fs o l u t i o n ，f i x e dp o i n tt h e o 巧 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：日期：矽彤年，月2 ) 日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名：幽 指导教师签名：譬多己址 日期炒彩年岁月刁日 日期别年广月夕日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章前言弟一早月u石 1 1 课题研究背景及其研究意义 在微分几何和数学物理以及其它领域里，很多问题都可以概括为抽象空间中的问 题，进而归结为与抽象方程解有关的问题抽象空间中的各类方程是数学及其它自然科 学中具体问题提取的数学模型的高度概括和统一 将具体问题概括为抽象空间方程问题，其本质在于：用函数空间的语言把所给问 题加以改写；然后，借助泛函分析方法对此抽象问题尽可能完善的加以分析；最后再把 所得结果进行“翻译”，以回到原来的问题这种方法更易于揭示和分析问题的本质，而 且表面上看来不同的问题可以用同一空间理论来处理因此有关抽象空间的一些问题 就已显得非常重要，而其方程解的问题又是研究抽象空间问题的核心问题不但它对数 学的基础理论有着推动作用，而且应用于解决大量的实际问题，推动自然学科的发展 另外，自然科学和工程技术中大量非线性现象组成的各类非线性积分微分算子又为抽象 空间方程的发展提供了基础 利用抽象空间各类方程，对问题进行研究是一个十分巧妙而又应用广泛的方法研 究抽象空间的各类方程的方法和手段也十分丰富，如研究解的存在性方法有：变分方法、 单调算子理论、拓扑度理论、不动点理论及上下解方法等等特别地，许多微分方程、 积分方程、积一微分方程的各类问题都可以适当地转化为抽象空间的算子方程进行讨论， 从而利用泛函分析的工具、方法和手段去处理、解决 本课题正是在上述情况下提出的，通过研究抽象空间各类方程解的理论，希望找 到使相应方程的解存在且较容易验证或检验的条件：同时努力构造逼近解的迭代序列， 以及给出相应的误差估计 1 2 国内外研究现状分析 非线性泛函分析是一门既悠久又现代的学科说其悠久是因为它已有过百年的发 展历史；说其现代，是因为它的丰富理论和先进方法为解决当今科技领域层出不穷的非 线性问题提供了卓有成效的工具作为从非线性泛函分析中衍生发展起来的新的分支， b a m c h 空间抽象方程理论虽经历不足五十年的发展过程，然而它已被广泛应用于诸如 临界点理论，偏微分方程理论，特征值问题等许多领域，其重要性日益凸现出来郭大 第二章b a n a c h 空间中一阶混合型积一微分方程非线性边值问题 钧先生在专著【l 】中对非线性泛函分析的几个重要课题及其应用，诸如某些典型的非线性 算子、h a m m e r s t e i l l 积微分方程、常、偏微分方程、迁移方程、凸锥理论及非线性算子 方程的正解、非线性算子拓扑度和不动点定理以及固有值、解的个数与分支，都作了系 统的概括和总结 非线性积分方程的研究，起源于上世纪二三十年代它所使用的研究方法主要包括 拓扑方法、半序方法、变分方法和单调理论，我国著名数学家张恭庆教授、郭大钧教授， 以及孙经先教授等都做出了重要的成果增算子和混合单调算子的不动点定理，以及建 立在它们基础上的上下解方法是研究非线性问题的重要工具之一在利用这一工具时， 算子常常被要求满足某种连续性或紧性条件由于许多常见的问题，如含间断项的非线 性积分方程，无界区域上的积分算子或抽象空间中的积分算子，不满足连续性或紧性要 求，因此研究缺乏连续性或紧性的非线性算子的不动点的存在性问题是十分必要的文 献【2 】在抽象空间中研究了各种非线性积分方程解的存在性和唯一性问题，其中主要是作 者近年来获得的研究成果文献【3j 则重点讨论了使用拓扑方法和变分方法来研究各种非 线性积分方程解的存在性问题 b a n a c b 空间中非线性积微分方程是近几十年发展起来的一个新的数学分支这个 问题将常微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方法研究b a j l a c h 空间 中常微分方程该理论在无穷常微分方程组、临界点理论、偏微分方程等多方面都有广 泛的应用1 9 8 5 年我国开始涉足此领域的研究由于这种理论的重要性和创新性，在上 世纪八十年代末期就被列人我国自然科学基金重点资助项目郭大钧教授在【4 】中概述了 b a i l a c h 空间常微分方程理论，其中包括国外一些著名数学家在这一领域中所获得的结 果和作者自己的工作l a l ( s h 锄i 锄在【5 】中全面概述了抽象空间非线性微分方程各 个分支的内容，包括证明解的存在性时所使用的方法以及解的一些性质郭大钧和孙经 先教授【6 】又在1 9 9 4 年作了一篇综合报告，概述了微分方程发展的一些最新成果 b a i l a c h 空间中非线性脉冲积微分方程以及脉冲微分方程理论兴起于上世纪六、七十 年代，该理论用来描述具有突变现象的变化过程，其中产生突变现象所用的时间和整个 变化过程相比可以忽略不计，即所谓的具有脉冲作用的变化过程众所周知，这种变化 过程在现实世界广泛存在，比如医学、生物学、经济学中的最优控制、药力学及调频系 统等众多领域中的闭现象及节律性的裂变现象等另一方面，脉冲微分方程理论与相应 的非脉冲微分方程理论相比更为丰富，比如，脉冲微分方程的解不必有光滑性的要求， 也可能不再对初值具有连续依赖性等等因此近二十年来，脉冲微分方程的研究引起了 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 大量学者的兴趣n 1 2 1 如，脉冲微分方程解的存在性和唯一性【8 】，解的有界性结果1 3 - 1 0 1 ， 解的整体存在性结果被呈现等我们也注意到脉冲微分方程边值问题的研究也是当前热 门的课题之一，引起了较多学者的关注，取得了许多较好的结果1 卜1 3 1 ，但是无穷区域 上的脉冲微分方程解的问题研究成果还很少 现阶段，单调迭代方法、上下解方法以及拓扑度方法是研究热点利用上下解方法、 单调迭代方法不仅可以得出解的存在性，而且可以获得方程的最大解、最小解以及近似 解的迭代逼近序列而且在某些时候还可以得到近似解的误差估计但上下解方法和单 调迭代方法对方程要求条件较高，而拓扑度方法只能给出解的存在性，一般不能给出逼 近解的迭代序列因此，如何在较弱的条件下利用上下解方法与单调迭代方法得到我们 想要的最完美的结果，是世界上许多数学工作者非常感兴趣的研究问题之一宋光兴教 授( 本课题指导教师) 以及国内外一些数学专家在这方面做了许多开创性的工作，这些 工作中的基本思想对本课题的研究有着重要的启发用单调迭代方法讨论b a l l a c h 空间 中非线性混合型积微分方程的初值问题( p ) 、周期边值问题( p b v p ) ，近年来已取得了 许多成绩 1 3 主要研究内容和目标 本课题主要是充分利用上下解方法和单调迭代方法以及不动点定理，研究抽象空 间方程解的存在性、构造逼近解的迭代序列以及相应误差估计研究的方程更具一般 性，构造新的比较定理，在利用上下解方法与单调迭代方法时尽可能减弱有关条件是本 文主要的研究目标 利用上下解方法和单调迭代法研究积微分方程的解一般需要以下几个步骤： ( 1 ) 建立微分方程的比较定理； ( 2 ) 利用积分方程与微分方程的关系将微分方程的相关线性问题转化为积分方程： ( 3 ) 通过研究该积分方程解的存在唯一性构造非线性自映射算子a ； ( 4 ) 通过算子a 的性质寻求所研究积微分方程的解的存在性 本文主要研究的抽象方程有以下几种： 1 一阶混合型积微分方程的非线性边值问题： i “( f ) = 厂o ，甜( f ) ，“( 口( f ) ) ，( 7 k ) ( f ) ，( s “) ( f ) ) 兰( f k ) ( ，) ，j = 【o ，l 】， 【g ( o ) ，“( 1 ) ) = 口 3 第二章b a n a c h 空间中一阶混合型积一微分方程非线性边值问题 其中( 砌) ( f ) = r “七( f ，s ) “( 7 ( s ) ) 西，( 勋) ( f ) = f 办( r ，s ) 甜( 万( s ) ) 西， 2 一阶混合型脉冲积微分方程周期边值问题： l 甜( f ) = 厂( f ，“( f ) ，( z k ) ( f ) ，( s “) ( f ) ) ，r j ，f ， 酬= ( “( f 瑚， f _ l ，2 ，加 i “( o ) = “( 1 ) 其中死( ) = j ：后( ，s ) 甜g 协，砌o ) = j ：向o ，s ) “o ) 出 3 二阶混合型脉冲积微分方程非线性边值问题： z ”o ) = o ，石( f ) ，x ( o ) ) ，工o ) ，戤0 ) ，融( f ) ) ，f 气，j i = l ，2 ，优， 缸化) = 最f ( 气) ， 七= l ，2 ，珑， 血l j f t ) = q ( x ( f ) ，x ( 气) ) ， 尼= l ，2 ，z ， x ( 0 ) = x o ，口= g ( x ( o ) x ( 1 ) ) ， 其中戤( ，) = j ：七( f ，s ) 工( j ) 凼，& ( r ) = j ：知( f ，s ) x ( s ) 凼 4 无穷区域上带有无限个脉冲次的非线性二阶脉冲积微分方程的p ： x ”p ) = 厂o ，工o ) ，x o ) ，戤o ) ) ，v 0 f o ，使得秒x yj p m i ， 则称尸为正规锥，称，为正规常数其中秒表示e 中的零元素若e 中每个单调递增且 按序有上界的序列必有极限，则称尸为正则锥显然，由p 的正则性可以推出p 的正规 性若p 的内部p 是非空的，则称p 为体锥若x y 且x y ，则记工 ，c 【，明在范数= s u p 硼“( f ) | | ：f j ) 下是一个b a l l a c h 空间 考虑b a n a c h 空间e 中一阶混合型积微分方程的非线性边值问题： “：! 三厂! ：f 了 o ) ) ( 死) ( 勋) u ) ) 兰( 砌) ( 吐旭j = 【0 ，1 】， ( 2 - 1 ) 【g ( “( o ) ，“( 1 ) ) = 矽 、。 其中厂c 【，e 4 ，e 】，g c 【e 2 ，e 】， ( 砌) ( ，) = r 后( ，s ) “( 厂( s ) ) 凼，( 觑) ( f ) = f 办( f ，s ) 甜( 万( s ) ) 必， 口，万c 【，j 】，口( f ) f ，( f ) f ，( f ) f ，万( r ) ，七( r ，s ) c 【d ，尺+ 】，局o ，j ) c 【，j ，r + 】， r + = 【0 ，o 。) ，d = ( f ，s ) 尺2 ，0 s 9 ) ，f ，) 在厂不含l ( f ) ) ，口，7 ，万= f ，g ( ( o ) ，“( 1 ) ) = 列( o ) 一厂( “( 1 ) ) = 0 ( ，1 ) 的情形，一阶积 微分方程问题的研究已有许多结果【1 4 16 1 本文利用文1 7 1 8 1 9 1 的思想方法，在新的条件 下，得到非线性边值问题( 2 1 ) 解的存在性 第二章b a n a c h 空间中一阶混合型积一微分方程非线性边值问题 2 2 几个引理 引理2 1 设g ( ，) c 1 ，司，且存在( ，) ， r ( ，) ，k ( ，) c 【，尺+ 】，m ( ，) c ，( o 佃) 满足 勰三鬻关鹫 倍2 ， 【g ( o ) 叼( 1 ) ，o o ，f l ，知，p 瓴) 0 ，矛盾 再考虑0 ， 1 的情形，由p ( 1 ) p ( o ) 矽( 1 ) 知，p ( 1 ) ( 1 一，- ) o ，所以，1 ，矛盾因 此，p ( ，o ) o 下面分两种情形讨论： 情形l ：厶 0 矛盾 情形2 ：f l f o ，则有 o p ( ) = p ( o ) + r p ( ，) 廊p ( o 一伊( ，0 ) ， 即 伊( “) p ( 0 ) 而p ( f 。) = p ( 1 ) 一夕v ) 西p ( 1 ) + 腰( f o ) ，即 p ( 1 ) ( 1 一) p o 。) ( 2 _ 5 ) ( 2 - 6 ) 若f o 1 则由( 2 5 ) 和( 2 6 ) 以及( 2 4 ) ，我们有胆( 岛) ，( 1 一) p ( f i ) ，即1 ( 1 + ! ) ， 若f 0 = 1 由( 2 4 ) ，( 2 5 ) 我们有印( 1 ) p ( 0 ) 印( 1 ) ，即， + 掣= ( 1 + 厂) 仍有 l ( 1 + ! ) ，与假设( 4 ) 矛盾 ， 综上可知p ( f ) 0 ，则由g p 的任意性知，q ( f ) 矽，f ，引理2 1 得证 引理2 2 考虑线性边值问题： ( f ) = 仃( f ) 一( g “) ( f ) ， l “( o ) = 门v ( 1 ) + m 其中仃( ，) ，e 】，历e 0 厂 1 ，算子g 由( 2 3 ) 定义若满足条件 7 ( 2 7 ) 第二章b a n a c h 空间中一阶混合型积一微分方程非线性边值问题 ( 劬击心，= r 陋) + ( 卅印) 骱肌砸) 加固凼p 则问题( 2 7 ) 存在唯一解“p ) c 1 ，司 证明：显然甜( ，) 是( 2 - 7 ) 的解当且仅当“( f ) 时下面积分方程的解 砸) = 肛( 沪( 删 办+ 击n 邢) 一( 协+ 鲁= ( 圳 ( 2 8 ) 因此，纵o ) 是( 2 7 ) 的解，当且仅当“+ ( f ) 是彳的个不动点，即彳“+ ：“+ v “，1 ，c ，司，由( 2 8 ) 知 “) ( f ) 一( 川( f ) ”一v 阻( 卅( f ) + k ( r ) 七( 邵炒 埘f ) j ：砸，s 弦卜+ 击川j ：阻( 卅坼) + 徘) 坼，s 炒埘f ) 鼽邵胁k 卜讲击r 阻m ) 堋f ) r 骱洒 + ) 砸，j 灿i 衍 = 告| | z 卜v 1 1 ( 2 9 ) 由此及( 4 ) 知，4 是c 【，e 】上的压缩映射由压缩映射原理知，彳有唯一的不动点 材c r ，e 1 显然，越是r 2 7 ) 的唯一解引理2 2 得证 2 3 主要结果 为了叙述方便，现给出下列条件： 设，c 【，e 】，且“o ( f ) v 0 ( f ) ，v ， ，】三 “c 【j ，e 】：o ) 甜( f ) v o ( f ) ，f 以 ( 日1 ) ( ，) ( 凡o ) ( f ) ，v f ，g ( 甜o ( 0 ) ，“o ( 1 ) ) 臼； 1 ，o 0 ) ( n o ) ( f ) ，v f ，g ( y o ( 0 ) ，v o ( 1 ) ) 秒 ( 日2 ) 当“。( f ) “玄v o ( f ) ，( f ) 默云v 。( f ) ，( 死。) ( f ) v ；( 7 v o ) ( f ) ， ( 舰o ) ( f ) w w ( s ) ( f ) 时， r 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 ( ，材， ，w ) 一( f ，“，“l ，v ，w ) m p ) ( 甜一甜) + ( ，) ( 材i 一“1 ) + k ( ，) ( v l ，) + 上( ，) ( w w ) ，( 2 - 1 0 ) 其中m ( f ) ，( f ) ，k ( r ) ，o ) 如引理2 1 中定义，且满足条件( 4 ) ，( 4 ) ( 也) 存在常数o 6 矾使得当( 0 ) 甜二v o ( o ) ，( 1 ) v ；v o ( 1 ) 时， g 竺_ 甙：! 芝票一：) ， ( 2 1 1 ) g ( “，v ) 一g ( “，v ) 6 ( v v ) ， 、 ( 也) 存在非负常数q ，c 2 ，c 3 ，c 4 使得 口( 厂( ，k ，圪，圪) ) c ，口( u ) + c 2 口( 圪) + c 3 口( 巧) + c 4 口( 以) ， ( 2 1 2 ) 其中k ，圪是e 中有界集，口表示非紧性测度，其具体性质见【1 4 】 定理2 1 设p 是e 中的正规锥，若( 日，) ，( 凰) ，( 也) ，( 凰) 成立，且满足 ( 彳，) 击虹( q + c ：+ 2 m ( ，) + 2 ( 呦+ p ，+ 2 k p ) ) r “尼o ，s ) 西 + ( c 。+ 2 ) ) 砸，s ) 豳陋 由p 的正规性知，矿是c ，e 中的个有界集 由条件( 4 ) 知，v o ，集厂( ，& ，& ，& ，& ) 有界，其中b = 材e ：删 ，故必存在常数 o ，使得 6 厂0 ，“。一。o ) ，“。一。( 口u ) ) ，砌。一。( f ) ，鼽。一。o ) ) + ，o ) ( 材。一。一z f 。) o ) + o ) ( “。一l 一甜。) ( 口( ，) ) 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 + k ( f ) ( r ( 甜。一l 一“。) ) o ) + p ) ( s ( 甜。一l 一“。) ) ( f ) 9 c o ，v f ，( 以= 1 ，2 ，) ( 2 1 8 ) 由扰。的定义得 材。( f ) = j ：【( 而) ( s ) + ( g ( “一“。) ) ( s ) 协 + 击j ：【( 瞰1 ) ( 班( g 纸_ 1 ) 协+ 鲁 ( 2 - 1 9 ) 由( 2 1 9 ) 得 m n 飞o ) i l = | i f f 【( 凡川) ( 卅m ( 。飞) + 忡) ( ，飞) ( 吣) ) + k ( s ) ( r ( “，l 一“。) ) ( s ) + ( s ) ( s ( “。一，一”。) ) ( s ) 扭0 肛一r l l ， v ， f 由此可以看出，y 中诸函数，是等度连续的从而，函数，z ( f ) = 口( y ( f ) ) 在j 上连续， 其中 y ( ，) = 甜。u ) ：榨= 1 ，2 ，3 ， ( 2 2 0 ) 由( 2 1 9 ) 及【1 4 ，系1 2 1 】得 聊o ) 2r k ( 厂( f ，y o ) ，y ( 口o ) ) ，( 丁y ) ( f ) ，( s y ) 9 ) ) ) + 2 ，o ) 口( y o ) ) + 2 ( f ) 口( y ( 口( f ) ) ) + 2 k o ) 口( ( 7 y ) o ) ) + 2 l ( f ) 口( ( s 矿) ( f ) ) 】盔 + 鲁【口扩( f ，y ( 吐y ( 以f ) ) ，( 丁矿) ( 吐( s 矿) ( 嘞) + 2 m ( f ) 似y ( 嘞 + 2 o ) 口( 矿( 口p ) ) ) + 2 k ( f ) 口( ( z y ) o ) ) + 2 ( f ) 口( ( s y ) o ) ) 枷 击j ： ( c 。+ c ：+ 2 m ( ，) + 2 ，o ) 咖( ，) + ( c 。+ 2 k ( 呦r 。七( ，s 咖( j ) 出 + ( c 。+ 2 砸) ) 小心s ) 朋( s ) 出1 疵，f ， ( 2 2 1 ) 令肘= m a x 掰( ，) ：f ) ，则 眺誊衅托删+ 2 心，俄) 卜化蛐 嘶。+ 2 ) ) j ：砸，s ) 凼 如“ 由此及( 以) ，得m = 0 于是口( 矿) ：0 第二章b a n a c h 空间中一阶混合型积一微分方程非线性边值问题 因此，根据文【1 4 ，定理1 2 5 知，y 是c ，e 】中的相对紧集，再注意到序列 甜。 是 增序列，从而存在玑c 1 ，e 】，使得熙甜。= 而由( 2 一1 5 ) 可以得到 一r， “。o ) = “。( o ) + j 。l ( 凡。一。) ( s ) + ( g ( “。一l 一甜。) ) ( s ) i 括， 甜。( o ) = “。一，( o ) + ，l 。( 1 ) 一“。一。( 1 ) 卜三g ( “。一。( o ) ，“。一l ( 1 ) ) 口 在上式两端令刀专o d 取得极限 = “o ) + j ：( 凡) ( 5 ) 么， ( f ) = 玑( o ) + i ：( 凡。) ( 5 ) 么， 【g ( “。( o ) ，“。( 1 ) ) = 臼 从而得到 i “。p ) = 凡。( f ) ， i g ( 玑( o ) ，地( 1 ) ) = 伊 因此，玑是问题( 2 1 ) 的一个解类似可以证明，在，上一致收敛于“c 1 【，明， 且“是( 2 1 ) 的解 最后，设订c 1 【，e 】是( 2 1 ) 在 扰。，】中的任一解 假设“女一l o ) 万v 七一l o ) ，v f 厂并令p = 比t 一万，则 lp ( f ) = 一( 6 汐) o ) ，v f ， l p ( o ) 伊( 1 ) 由弓i 理2 1 ，我1 门有p o ) 臼，v f j 即“女( f ) 历u ) ，v f ， 同理可证，历( f ) 吒( f ) ，v f ，于是，由归纳法得 “。( f ) 订( f ) v 。o ) ， v f ( 刀= o ，l ，2 ，) 因而玑瓦甜定理2 1 得证 注：容易看出，定理2 1 的条件( 4 ) 包含( 爿：) ，但( 4 ) 与( 4 ) 互不包含 定理2 2 若尸是正则锥，且条件( q ) ，( h ：) ，( 马) 满足，则定理2 1 的结论成立 证明：与定理2 1 的证明方法几乎完全相同，不同的是 甜。) 和 屹 的收敛性是直接由p 得 正则性得到 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 定理2 3 若尸是正规锥，且条件( 日。) ，( h ：) ，( 也) ，( 风) ，( 鸽) 成立，假设厂关于第3 、4 、 5 个变量是非增的，且下面条件( h ，) ，( 风) 成立，则问题( 2 一1 ) 在序区间 ，1 ，。】上存在唯 一解 ( 日5 ) 存在日( f ) c ，只+ 】，使得日( f ) m ( f ) ，f ，且当( ，) “历( f ) 时 厂( f ，“，v ，w ) 一厂( f ，订，w ) 仃o ) ( 瓦一甜) ( 2 - 2 2 ) ( 风) 存在c ，d 0 ，且口c ，使得当( 0 ) 影历( o ) ，“o ( 1 ) sv 歹s ( 1 ) ，且 p 一挑 和 的收敛性是直接由p 得 正则性得到 2 4 例子 例2 1 考虑混合型一阶无穷积微分方程： 吒舻砉0 21 ) 2 + 砉( 肛) ) 3 + 务( ，础姒蛐) 5 + 赤( r 一肌啪知，出) ， ( 2 - 2 6 ， 1 3 第二章b a n 竺! 皇旦生二堕堡垒翌塑二垡坌查堡矍垡堡望篁塑塾一 _ 一一。 扰。( o ) ；丢“。( 1 ) ( ，z = 1 ，2 ，3 ，) 其中口，c 【，】，口；o ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，忌c 【d ，r + 】，d = o ，s ) j j 卜s ) ，矗 c 【jx j ，r + 】，尺+ 2l u ，+ ) 结诊，1 电u 集满早口+ 口，+ m + 口。l ，r 后( f ，s ) 出l ，c 忍( f ，s ) 幽1 ，则非线性边值问题 结论2 1 如果满足q + 口2 + 口3 + 口4 l ，j ： 七( f ，s ) 出l ，j o ，z l f ，s ) 劣s1 ，则非甄比尥咀h 飚 ( 2 ，2 6 ) 在范围 。钒字， v 驯胪l ，2 ，3 ) 内具有最小的和最大的连续可微解，它们可从某迭代序列取极限获得 证明：令纠o ，1 】，e 纠= 卜“托，双，) l 弘i 一胪1 ，2 ，3 ，0 r 的范数为 恤9 ：妻k l ，p ：甚：。，“：，“) z 1i “。o ，刀= l ，2 ，3 ， 则尸是e 中的一个正则锥 【2 0 1 ，并且问题( 2 2 6 ) 可视作e 中形如( 2 一1 ) 的一个非线性边值问题这里， 就： l ，甜2 ，“。，) ，= ( q ，吃，) ，x = ( _ ，x 2 ，x 。，) ，y 2 ( y ”y 2 ，y 一，) ， 厂：( 石，厶，六，) ，g = ( g 。，9 2 ，岛，) ，其中 肿m w ) = 参p 2 ) 2 + 务。一+ 奇( 卜+ 未( 卜) ，j ( 2 - 2 7 ，、1 。 ( 2 - 2 8 ) 岛( ，v ) = 甜。i 、 显然，c x e e x e x e ，e 】，g q e e ，明令2 ( o ，o ，o ，) ，。 ( 1 + f 半，字，棚c 1 嘲删洲d ( f “) ，粕可以得到 o ( f ) = ( o ，o ，o ，- ) ， v i o 卸，) ， 讹删鳓( 呻) ) ，硝吐洲f ) ) = 务“寺“寺“著知加， 肿麒吐以) ) ，w ，) ，砜( f ) ) 砉“务“奇“嘉 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 壶( 口l + 口2 坞帆) 专，v ，吐 2 ，z p 17 47 以 o ( o ) ，“o ( 1 ) ) = o ， “帆删= 专一并一o 故“o ，满足条件( q ) 另一方面，对于f ，“o o ) “历v o ( f ) ， “o ( 口o ) ) y 矿v o ( 口o ) ) ，( 砌o ) o ) x i ( n o ) ( f ) ，( 跏o ) o ) y 歹( s ) ( f ) ，有 六o ，“，v ，x ，y ) 一z o ，历，歹，i ，歹) = 鲁2 一0 2 吲2 】+ 砉k ) 3 川吲3 】 + 砉k 巾圳+ 羔( 或训 嘉f 2 佤飞) + 熹r 2 蛾_ ) + 熹，4 佤_ ) + 未( 或一m 由此可见，条件( 凰) 满足，其中 批) = 邯) = 熹只郧) = 暑 踯) = 东 而且，对于( 0 ) 掰订( 0 ) ，( 1 ) v 矿( 1 ) ，有 色 ，v ) 一岛( 万，力= 一玩= 一( 瓦一) ， 晶( 川) 一邑( 妒) =