（粒子物理与原子核物理专业论文）光锥哈密顿量方法及其在介子系统中的应用.pdf

摘要 建立在光锥量子场论基础上的光锥哈密顿量方法有几项独特的 优点，尤其是光锥真空的简单性，这些特点使得光锥哈密顿量方法 在解决相对论复合系统的束缚态问题上占有很大优势。采用这种方 法，p a u l i 等人从q c d 拉氏密度出发并忽略掉光锥q c d 中的零模效应 后，非微扰地推导出作用在孵子空间的介子等效光锥哈密顿量。该哈 密顿量所对应的光前形式下的介子本征方程是在螺旋度一动量表象下 表述的，不便于得到介子总角动量信息。所以我们把这一哈密顿量变 换到瞬时形式下总角动量表象中，并仔细分析所得到的介子径向本征 方程的物理内涵。由于这一等效光锥哈密顿量未包含禁闭势以及味混 合效应，故它只能对四十个由( 扎，d ，s ，c ，b ) 夸克构成的“味一非对角” 介子基态和六个由睫和6 5 构成的“味一对角”重介子基态作出很好 的描述，却不能用于介子激发态和“味一对角”轻介子问题。目前在 光锥q c d 理论中与禁闭势相关的零模问题并没有得到解决，所以我们 半唯象的在介子等效哈密顿量里加入相对论性禁闭势。经过这一改进 后，“味一非对角”赝标量介子的基态和激发态得到了较好的描述， 更多介子的结果将在近期内给出。 ab s t r a c t b e c a u s eo fs o m eu n i q u ef e a t u r e s jp a r t i c u l a r l yt h ea p p a r e n ts i m p l i c i t yo ft h el i g h t c o n ev a c n u l t l lt h el i g h t c o n eh a n l i l t o n i a na p p r o a c hb a s e d o nl i g h t c o n eq u a n t i z a t i o no fq u a n t u mf i e l dt h e o r yi sa p r o m i s i n gm e t h o d f o rt h eb o u n d s t a t ep r o b l e mo fr e l a t i v i s t i cc o m p o s i t es y s t e m s s t a r t i n g f r o mt h eq c dl a g r a n g i a nd e n s i t ya n dd i s r e g a r d i n gt h ez e r om o d e si n l i g h t c o n eq c d ，p a u l ie ta 1 h a v ed e r i v e dn o n p e r t u r b a t i v e l ya ne f f e c r i v el i g h t c o n eh a m i l t o n i a no fm e s o n sw h i c ha c to n l yo nt h eq qs e c t o r t h ef r o n tf o r mm e s o ne i g e ne q u a t i o n sa r ef o r m u l a t e di l lm o m e n t u m h e l i c i t yr e p r e s e n t a t i o nw h i c hh i n d e r si t ss o l u t i o ni nt o t a la n g u l a ri n o m e n t u mr e p r e s e n t a t i o n s ow et r a n s f o r mi tt ot o t a la n g u l a rm o m e n t m nr e p r e s e n t a t i o ni ni n s t a n tf o r ma n de x p l o r et h ep h y s i c a lc o n t e n t so f t h em e s o nr a d i a le i g e ne q u a t i o n s t h e nt h em a s ss p e c t r ao ff o r t yf l a - v o ro f f - d i a g o n a lm e s o n sc o n s i s t i n go f ( 札】d js ，c 】b ) q u a r k sa n ds i xm e s o n s c o n s i s t i n go fh e a v yq u a r k sc ia n db ba r ec a l c u l a t e dr e l a t i v i s t i c a l l ya n d n o n p e r t u r b a t i v e l y n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h i sl i g h t c o n eq c d e f f e c t i v eh a m i l t o n i a nw i t h o u tc o n f i n i n gp o t e n t i a l sa n df l a v o rm i x i n gi n t e r a c t i o n sc a nw e l ld e s c r i b et h eg r o u n ds t a t e sb u tc a nn o ta p p l yf o rt h e e x c i t e ds t a t e so fm e s o n sa n df l a v o rd i a g o n a ll i g h tm e s o n s s i n c et h ep r o b l e mo fc o n f i n e m e n tr e l a t e dt oz e r om o d e si su n s o l v ei nl i g h t c o n eq c d ) w ei n t r o d u c ear e l a t i v i s t i cc o n f i n i n gp o t e n t i a lf r o mp h e n o m e n o l o g i c a lr e s u l t si n t ot h em e s o nh a m i l t o n i a n w i t ht h i si m p r o v e dm e t h o d b o t ht h e g r o u n ds t a t ea n dt h ee x c i t e ds t a t e so ff l a v o ro f f - d i a g o n a lp s e u d o s c a l a r m e s o n sa r ew e l ld e s c r i b e d m o r es a r i s l y i n gr e s u l t sa r ee x p e c t e di nt h e n e a rf l l t u r e ， 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立 进行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的 成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内 容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对 本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：黏日期：面。石细刁咖 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属兰卅i 大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规 定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保 存和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直 接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：鏊塑 导师签名：21 名丢 日期：丛1 6 塑! f 望 第一章 光锥q c d 简介 1 1引言 如何描述强子( 比如7 r 介子、质子等) 的结构一直是粒子物理学中的 一项重要任务，三十年来在对这一问题的研究中产生了两种基本不同 的描述方法。一种是建立在实验观测基础上的唯象描述方法，称为组 份夸克模型( c q m ) ，或夸克部分子模型；另一种则是建立在协变非阿 贝尔量子场论基础上的微观描述方法，称为量子色动力学( q c d ) 。组 份夸克模型中的每个强子都由满足其对称性的最少的组份组成，每个 组份夸克都具有较大的质量，即使对最轻的上、下夸克，其质量也 大于2 0 0 m e v 。在对强子质谱的描述上，组份夸克模型的结果与实验 符合得较好，但是量子色动力学则因为存在一些困难而不能直接求 解q c d 拉氏量得到强子结构的相关信息。这主要来自于强子本身是一一 个相对论性的多粒子系统，其结构属于强耦合的低能束缚态问题，面 临着q c d 真空结构的复杂性、非微扰性，禁闭以及手征对称性自发破 缺等种种困难，所以强子结构不能用通常的微扰方法处理。此外，组 份夸克模型与量子色动力学之问的一致性，也是一个多年来悬而未决 的问题，原则上作为微观理论的量子色动力学应该为组份夸克模型提 供微观基础，但是这一点至今仍未能达到。 迄今为止，最有希望解决q c d 与c q m 之问一致性问题的理论就是 光前形式ff r o n tf o r m 或l i g h t f r o n tf o r m ) 下的q c d ，并且由于该理 论有着一些通常时空中的q c d 所不具备的优点，其中最显著的一点是 光前形式下的真空结构比较简单，这给如何求解q c d 中的束缚问题 提供了新的可行方案。因为历史原因，光前量子化也称为光锥( l i g h t c o n e ) 量子化，无穷大动量坐标系( i n f i n i t e m o m e n t u mf r a m e l 以及零平 面( n u l l - p l a n e ) 量_ 子化。 直观来讲，求解相对论束缚态问题即是求解该系统哈密顿量的本 征值问题，对通常时空中的q c d 由于存在前述困难，再加上哈密顿 量中有开方的问题使得计算难以进行。然而鉴于光前形式的几项优 点，b r o d s k y 和p a u l i 等人定义了光锥哈密顿量巩c ，避免了通常时空 中哈密顿量的开方问题：并目他们发展出离散光锥量子化方法，使 得从q c d 拉氏量出发求解强子的结构变为可能。p a u l i 等人在光锥规 范a + = 0 下，采用离散光锥量子化和迭代预解式方法，在适当的近似 后得到介子在q 口子空间中的等效光锥哈密顿量，利用s a w i c k i 变换等方 法可以将该等效哈密顿量变换到通常时空中。p a u l i 等人在对这一等效 哈密顿量进行简化后求解出四十个介子基态的质谱，结果与实验符合 得较好。 由于上述等效哈密顿量是在动量一自旋表象中，给求解带来许多不 便，不利于分析其物理意义，为解决这一困难王顺金教授等人推导出 该等效哈密顿量不依赖任何表象的抽象表达式，并将之投影到总角动 量表象中，以便分析其结构。结果表明该介子等效哈密顿量自动包 含相对论组份夸克模型所需的相对论性自旋一自旋，自旋一轨道耦合以 及张量势；在总角动量表象中对这一等效哈密顿量数值求解后得到 四十六个介子基态质谱，结果 = k p a u l i 等人简化求解的结果更接近实 验，所采用的有效夸克质量与组份夸克模型中的夸克质量一致，这 为q c d 与c q m 的一致性提供了有用的信息。 但是p a u l i 等人在这一等效哈密顿量推导中做了过多的近似，仅等 效单胶子交换过程保留了下来，使得该哈密顿量不能很好的描述介子 激发态。针对这一问题，考虑到组份夸克模型与该等效哈密顿量的相 似性，可仿照动量空间中的相对论组份夸克模型半唯象的加入线性禁 闭势，以改进这一等效理论。 本文第一部分对光锥哈密顿量方法和光锥量子色动力学作简要的 介绍；第二部分给出基于光锥q c d 的介子束缚态本征方程的推导； 第三部分对总角动量表象下介子本征方程求解并分析结果；第四部分 着手对介子束缚态本征方程进行改进；最后是对这一理论的小结与展 望。 1 2 光前动力学形式 1 2 1 相对论动力学形式 一个物理系统要称为相对论动力学系统必须满足两条原则，一是该系 统在无穷小非齐次洛伦兹变换下应保持不变，这是由相对论原理所决 定的；另一条是该系统是哈密顿系统，它的动力学性质决定于该系统 的哈密顿量，这是由量子力学原理所决定的。狄拉克1 1 指出对于相对 论动力学存在着三种不同的动力学形式，它们来自三种根本不同的时 空参数化，彼此间不能通过洛伦兹变换相互转化( 如图1 1 所示) 。第 一种称为瞬时形式( i n s t a n tf o r m ) ，即通常的洛伦兹时空，在瞬时形式 中系统沿着时间t 的方向演化。第二种称为光前形式，系统演化沿光前 时间x + = t + x 3 ( 光速c = 1 ) 。第三种称为点形式( p o i n tf o r m l ，该 形式的类时坐标与物理系统的固有时问等同。虽然对一个物理问题可 以选择不同的时空参数化形式，但是得到的物理结果是相同的。选择 适当的相对论动力学形式，可以给求解过程带来简化与方便。 1 2 2 光前形式参数化 我们所熟悉的瞬时形式的时空坐标为： x 肛= ( x o ，x 1 ，x 2 ，x 3 ) = ( t ，z 1 ，x 2 ，x 3 ) ，( 1 1 ) 图1 1 ：狄拉克的三种相对论动力学形式。 9，z=9h，=(ii1i。 c ，z ， x 士= x o 土x 3 ，垃= 矿( i = 1 ，2 ) ，( 1 3 ) 矿为光前时问坐标，x - 为类空纵向坐标，z 上为类空横向坐标，相应的 度规张量为： g f l p 0 1 o 0 ( 1 4 ) 光前形式中两个四维矢量的内积： a ”吼= ；( a + b 一+ a b + ) 一a 上研+ ( 1 5 ) 类时求导：a 一= 2 击，类空求导为：矿= 2 岳和伊= 鑫= 一矗， 光前哈密顿量：p 一= 2 p + ，纵向动量：p + = 2 p 1 ；四维体积 元：d 4 x = ；d x + d x d 2 z 上；三维体积元：幽+ = ；d x d 2 z 上。 4 4 维的1 矩阵为： 1 + = 1 0 + 吖3 ，7 一= 吖。一1 3 ，1 1 = 1 1 ，7 2 1 2 ( 1 6 ) 1 2 3光前彭加莱对称性 一个相对论动力学系统须满足洛伦兹不变性， 由彭加莱群的十个生成元决定： p ”，p ” = 0 ， 【m “”，p e = j ( 9 印p j , 一g i l , p p ”) ， 它的非齐次洛伦兹变换 ，炒，m 9 。 = i ( g “9 m 4 ”一9 m m ”。+ 9 ”8 m 9 “一g p a m 9 ”) ( 1 7 ) p p 是四维动量，m p , v 描述转动和推动。在瞬时形式中转动算子 、 2 0 o 0 0 0 o 0 1 0 一 o o o o o 2 ，。一 = 彬 、liii 1 2 0 0 0 o o o 0 为m 妇= e i j k j ，推动算子为m 叭= k 4 ，其对易关系满足： ，j j _ i q j k j 。， ，k j = i k k 2 ， k 。，k j 】= 一嘞k j 2 ( 1 8 ) 在p p 、j i 和k 2 这十个算子中，有六个算子( p z 和j i ) 所生成的彭加莱 群的子群保持f t 球数 这个超曲面不变，称为运动学算子，它们与相 互作用无关。对于一个由n 个粒子组成的系统，该系统总的p 2 和就是 各成员粒子的p $ g j 2 的简单相加： p i = p i ，j 2 = j 。 ( 1 9 ) 剩下的四个算子p o 和k 。会改变( 瑞数) 这个超曲面，称为动力学算 子，它们包含了系统的相互作用，通常比较复杂。 在点形式中，保持超曲面( t 2 - 铲辅数 0 ，t o ) t 变的是和k 2 这 六个算子，而p 将和相互作用有关。 光前形式中 1 ，2 ，3 ，4 ， p u = ( p + ，p 1 ，p 2 ，p 一)( 1 1 0 ) 这里 m j ” p ， 0 e 1 e 2 j 3 0 f 2 2 k 。、 i f 1 i l ( 1 1 1 ) 一f 2 l 1 0 e 1 = k 1 + j 2 ；e 2 = k 2 一。，1 ，( 1 1 2 ) f 1 = k 1 一j 2 f 2 = k 2 + 。，1 o o p 0 酽铲驴= 坷坷 掰 li， e i ( m 押) ，k 3 ( 一i 1 m 卜) 构成光前推动算子，f 2 ( m 1 ) ，t ，3 ( m 1 2 ) 构成光前 转动算子。 这十个算子中，有七个算子：k 3 ，口，l ，3 ，p + ；f i p 。所生成的 彭加莱群的子群保持( z 。辅数) 这一超曲面不变，是运动学的； 而p 一和p 决定系统随光前时间矿的演化，这三个算子包含系统相互作 用，是动力学的。 可见光前形式中运动学算子有七个，其中包括三个推动算子；而 瞬时形式和点形式只有六个，且瞬时形式的三个推动算子都是动力学 的，这是光前形式的优点之一。 1 2 4 光前形式下的角动量问题 易证明光前转动算子f 1 ，f 2 j 3 的对易关系为： p ，j 3 一一i c i j f 5 ( i ，j = 1 ，2 ) ，( 1 1 3 ) f 1 ，f 2 _ 0 这显然不满足s 职2 ) 代数关系，所以光前转动算子不能作为系统角动量 算子，必须另外构造角动量算子。 我们知道彭加莱群的两个c a s i m i r 算予是w 2 = w p i 和m 2 = p 兄， 它们是洛伦兹标量，与所有的生成元p 和m 炒对易，p a u l i - l u b a n s k i 矢量w p 定义为： w p ：；m 。p 一一( 1 1 4 ) 光前形式下： w 2 = w + w 一一w 兰 定义光前形式下自旋矢量： 。w + 0 32 面f 吼= ( 阢一警) 可证明它们满足s u ( 2 ) 对易关系： 并且有： & ，s j = i c g k s k ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) s 2 = 冀+ s i = m 。2 ( w ”) ( 1 1 9 ) 所以s 可以构成光前形式下系统角动量算子。具体写出& 的形式【4 ，5 6 ，7 ： 三岛= 也+ 譬， 乱严m - 1 ( 口p + 一班p 一一k 3 日+ s a c ，f 砭) ( i ，j = l ，2 ) f 1 2 0 显而易见，是一运动学量，在p 上= 0 1 的坐标系下，= 如。但 是s 上中含有毋* t i p 一，所以& 是动力学量，依赖于系统的相互作用， 这给在光前形式下要计算系统总角动量带来困难。t r i t t m a n n 8 ，9 1 等 人找到一种可行的方法计算总角动量，但在第二章将看到，这种方法 仍然不太方便。然而在质心静止系下n = 0 ，p + = p 一= m ： s 2 = 圻+ 露+ 蟾( 1 2 1 ) 此时问题得以简化，这一点对于第三章的计算非常重要。 1 3 光前束缚态 在场论中，相对论束缚态和共振态对应着格林函数的极点，极点处的 留数函数给出本征波函数f 1 0 1 虽然这给出了物理上粒子的定义，但 是在数值计算处理中波函数信息不明确、难以取出。原则上相对论束 缚态的波函数总可以写成粒子产生算符的函数作用在真空态上。瞬时 形式中如果要知道粒子的结构，直接的做法是求解如下哈密顿本征方 程： 日l 皿) = 、m 2 + p 2 i 皿) ( 1 2 2 ) i ) 可以由f o c k 态基矢展开，日和p 是二次量子化后的海森堡算子。 但是方程中的开方算子会带来数学上的困难，同时f o c k 态中各个 粒子的三动量惫= ( k 1 ，k 2 ，七3 ) 可以是正的也可以是负的，所以存在这 样的f o c k 态，它的总动量为零，但可能包含任意多的粒子数，这样 的f o c k 态会和真正的零粒子态混合在一起，构成复杂的物理真空。上 述困难的存在使得求解方程1 2 2 难以进行。 但是瞬时形式中真空复杂性的困难在光前形式中将得以减轻，光 前形式的哈密顿量也不存在开方的问题2 ，3 。 1 3 1 光前真空 在第1 2 3 节中我们知道，光前形式下系统的纵向动量p + 是与相互作用 无关的运动学量，对一个多粒子系统： p + = 磅， 一1 0 一 ( 1 2 3 ) 第一章光锥0 c d 简介 磅= k o - 6k 3 是单个粒子的纵向动量，显然，磅总是大于。的。于是对 任何一种相互作用场论，它们的真空态只能是由那些扩= 0 的粒子和 真正的零粒子态构成： v a c ) l f = f ( n ：+ ：o ) 1 0 ) ( 1 2 4 ) 可见，光前真空也是非平庸的，但它比瞬时形式的真空简单。而且如 果可以将那些零纵向动量粒子从真空中消除，就能获得一个真正的平 庸的真空，它不包含任何粒子，也就是说此时光前形式下f o c k 空间的 真空态即是物理的真空态： 1 v a c ) l f = 1 0 ) ( 1 2 5 ) 而那些非平庸的真空效应问题就转化为所谓的“零模”( 即惫+ = o 的 粒子) 问题，q c d q n 的禁闭问题以及手征对称性破缺都与零模有 关 2 ，3 ，1 1 。这样相对论束缚态波函数就可表达为所有可能的f o c k 态 的叠加： l 皿) = f ( a ) 1 0 ) ( 1 2 6 ) 。十是那些有着非零纵向动量的波色子或费米子的产生算符。遗憾的是 在“零模”问题上并没有取得太大进展，在第三章将看到忽略“零 模”效应给介子束缚态方程带来的困难。 1 3 2 光前束缚态方程 由不变质量平方算符： 巧2 = p ”兄= p + p 一一暖，( 1 2 7 ) 1 3 光前束缚态 得到 即) ：妥箬 ( 1 2 s ) 这里日三p 一称为光前哈密顿量，注意p + 是大于零的。显然该光前束缚 态方程不存在开方问题，这是光前形式的又一优点。 在光前形式下，可以方便的选择不变质量平方算子m 2 、三个类空 动量算子p 十，p 1 ，p 2 、总自旋平方算子s 2 以及。邑的纵向投影这六个相 互对易算子的本征值来标记方程1 2 7 中的本征态： 日l ) = l 皿；m ，p + ，p 上，s 2 ，；h ) ( 1 2 9 ) 代表该本征态还可能的其它量子数，比如电荷，宇称，重子数等。选 择一组完备的基矢i ) ，咒标记不同的f o c k 态，芦代表离散变量和连续 变量。用d 肛。 表示对离散变量求和以及对连续变量求积分，得到： d p 。) ( f = 1 ( 1 3 0 ) n 把i ；m ，p + ，p ，s 2 ，s z ； ) 简记为l 皿) 并按i v 。) 展开得到： i 皿) = 卜肛。) ( 皿) ( 1 3 1 ) n d = d p 。) ( p 。l 皿；m ，p + ，n ，s 2 ，s z ；h ) 礼 j 以介子为例，介子的本征态矢i 。) 是其所有可能的f o c k 态i ) 的叠 加，l 加) 具体化为： n = 0 咒= l n = 2 n = 3 0 ) ， 舛：材，面，九) =矿( q 1 ) ( 9 2 ) f 0 ) g 的：砖，儿，九) = b t ( q 1 ) d 1 。( q 2 ) a t ( q 3 ) 1 0 ) g g ：磅，盈：，九) =o + ( q 1 ) a t ( q 2 ) 1 0 ) ! i 1 0 ) 第一章光锥q c d 简介 算子b + ( q ) ，d 1 ( q ) $ n a t ( q ) 分别为夸克、反夸克和胶子的产生算符，九表 示螺旋度，i 代表f o c k 态。) 中的第i 个粒子，。 k 态i ) = 1 n ：酵，盈。，a 。) 都是p + 和n 的本征态，本征值为：( n 表示f o c k 态。) 中的粒子数) 于是有： 皿。) = 类似的对核子有： 皿孵( 劫，m 。，a i ) q q ) ( 1 3 2 ) 皿删( 乳，觅 ，九) l g g ) ( 1 3 3 ) 皿g 话( 飘，觅z ，九) q q g ) q 初i ( 甄，丑i ，a i ) q f 7 q ( t ) = 皿删( 死，a i ) l q q q ) + 棚口( 儿，九) l q q q g ) + 皿面( 儿，入z ) l q q q q q ) + 皿q q q g gx 。，豇。，九) l q q q g g ) + q q q q t t g ( x 。，儿，a i ) l q q qq ( t g ) + t t j 仰口f f q 4 ( x t ，死。，九) q q qq q q q ) i - 4 - + o ，阿 澍 = + p _ m ! l = h 。 其中。( 魏，皿。，九) = ( n ：筹，皿。，九f 皿) ，鼢是纵向动量分数。 p + 0 且它们是运动学量，故引入翰可带来方便： 轳筹，。 0 ， ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) 在这种定义下，处于f o c k 态；) = f n ：h ，盈。，a 。) 的粒子的四动量变为： 酵三c 惫产，盈。，肾，= ( 甄p 十，矗。+ 甄目，竺互笋) c ，3 7 ， i 一1 ，m 。， 并且这些粒子都是“在壳”的( 南”札) 。= m ；。 每一个f o c k 态也是“在壳”的： 妒= ( 姜坷) 雎砰= 粪( 挈)妒2 ( 善坷) 矿一砰2 善( 、堕# j ( 1 3 8 ) m 是f o c k 态的无相互作用质量，通常m 与束缚态的质量m 是不同的。 我们看到在目= o 的坐标系下，f o c k 态l ) = 旧nx i ，虹，a 。) ，所以 束缚态波函数只与不依赖坐标系选择的相对横向动量虬和纵向动量分 数翰有关。而且由1 2 3 节光前形式下的推动算子是与相互作用无关的 运动学量，在日：0 坐标系下求得的束缚态波函数可以轻易的变换到 其它任意的坐标系下，于是只要日= 0 坐标系下( 尤其简单的是质心 系下) 得到了束缚态方程的解，在任意坐标系下粒子的结构也就清楚 了。这一点是推动算子依赖于相互作用的瞬时形式所无法比拟的。 1 4 光锥哈密顿量方法 在光前束缚态问题中，为了求解问题的方便，b r o d s k y 年1 1 p a u l if 2 等 人定义系统的不变质量平方算子为“光锥哈密顿量”上屯c ： 凰c 三p ”昂= p p + 一砰( 1 3 9 ) 玩c 是洛伦兹标量，与坐标系选择无关，解决光前形式下系统束缚态 问题就等于求解光锥哈密顿本征方程： t l c l , i , ) = m 2 i 皿) ( 1 4 0 ) 因为j 皿) 是系统所有可能的f o c k 态的叠加，所以应将方程1 4 0 投影到不 同的f o c k 态上( 例如对介子系统( q 孔( g 叻l ，) ，这样会得到个无 穷维的耦合积分方程组， d 酬( i h , c l f ，。，) ( 肛：，l ) = m 2 ( 肛。i 皿) ( 1 4 1 ) n ，j 若求解了该方程组就等于求解了整个系统，这显然是难以办到 的。b r o d s k y 年l ：l p a u l i 等人采用离散光锥量子化和迭代预解式方法解决 这一困难。 1 5 光锥量子色动力学 场论中经典场是用广义场函数办( z ) 描述的，场的拉氏密度c 是办( z ) 的 泛函，c = 科九吼刚。场论中的拉格朗日原理表述为：场的运动规律 使作用量取极值，即 5 i - - - - 5 d 4 茁c r z 、= 。 d 谚，i s = 0 ，( 1 4 2 ) s 是场的边界面。由拉格朗日原理导出场的运动方程，即欧拉方程 为： 器x 三器一吼卷一o ， 删 6 咖，) 一a 办( z )。”a q 。，( 。) 。、。7 场的能动张量为： f = 研多三拿函a ”，一9 p ”c c ，4 4 ， 1 a 吼办( z ) “ 。一 r 一7 1 5 1 q c d 拉氏密度 对于包含旋量场和s u ( n ) 规范场相互作用的场论，拉氏密度可写为： c = 一；t r ( p f p ，) + j 产( 缈d 。m ) 皿+ h c ， = 一：砑”+ ；产( i 矿d 厂m ) + h c ( 1 4 5 ) 其中 f 三a ”a ”一矿a ”+ i gj a ”，a ”l ， 器”三a ：一a ”a a 。一g f ”8 a 。t z a ；， ( 1 4 6 ) 9 为耦合常数，费米场皿是带色指标的，矢量势a p 是n x n 维的 无迹、厄密矩阵，a p 。，三瑶，a i 。* ，色指标c ( c ，) = 1 ，2 ，胶子指 标o = 1 ，2 ，n 2 1 。协变微商矩阵：d 易= a ，。+ 匆a 笔，质量矩 阵：m = m 如，在色空问是对角的。色矩阵码满足： 卜t l = i f ”“码和n ( t t 8 ) = ；霹 ( 1 4 7 ) 肚；f 篙鬈荔冀篙1 m 删 a 2 + i a ga g + t 群一击a g t 。= j ”，a “是g e l l m a n n i 矩阵a 由作用量对规范场a p 的泛函微商得到“色一麦克斯韦”方程： q 。f ：夕j ”，j ”= 研”y ”皿t “+ f ”，a 一 ( 1 4 9 ) a 。j p = 0 + ( 1 5 0 ) 丁p ”：2 n ( f m f 。”) + ； j 面7 ”d ”皿+ h c l 一9 ”， ( 1 s 2 ) p ”= ；z d z d 2 z 一一丁+ 、( 1 5 3 ) = 鼻u + ( 对哗印1 州+ 扣徊咿叭叫) ， 1 5 2 光锥规范 “色一麦克斯韦”h - 1 1 4 9 中的一个可以通过选择某种规范消除，光 前形式下常用的一种规范是光锥规范 2 ： a + ：钟+ a 3 ：0 ( 1 5 4 ) 1 5 光锥量子色动力学 采用光锥规范消除了非物理的自由度，不斋要引入鬼场。此时a 一小冉 是一个独立的自由度： a 一= 一南岛+ 研2 9 广0 5 5 ) 在光锥规范下推导出光前形式下的哈密顿量为：( p + = p 一) p = ；d z + d 2 x 上i 面掣面+ 雹。) 2 雹) +gld 茁d 2 z l 哥- - 硒i t + l d x + d 2 x 上醋吾a j 。 + 譬zj f d x + d 2 组嚣赤嚣 + 虿9 2d x + d 2 x 上- 面伊“霉杀( 作书雹面) ( 1 5 6 ) 坟里r a “r = ，n k 群桦，i i 和a p 分别代表无相互作用时的费米场和规范 场。 该哈密顿量由五项构成，当9 0 时，只有第一项保存下来，此 时p 一一声一，声一是无相互作用时的哈密顿量。注意到这一相对论性的 哈密顿量可以分成“动能项”( 第一项) 和“势能项”，这两项是直 接相加的，非常类似于非相对论的哈密顿量： 日：t + ，( 1 5 7 ) 这也是光前形式的一大优点。 其它三个与相互作用无关的类空动量是：( 庇= 1 ，2 ，一) r = f d x + d 2 虬( f 栅民t + i 奶+ p 。2 皿) = d x + d 2 x 上( - 面矿i 仇面+ 雹矿瞰雹1 ( 1 _ 5 8 ) 司以解出无相互作用时的费米场和规范场为： = 车牖吣出e _ 础棚咖删) ， 母(茁)=燎(q)e一(p，a)e一咖。+甜(q)(p，a)e+掣”)(159) 其中 p o ) ，甜( g ，) 一取口) ， f ( 口7 ) ) = 承口) ，2 ( q 7 ) ) 一巧p + - p + 7 ) j 2 ( 盈一定) 砝援7 髟 ( 1 6 0 ) c 是色指标，是味指标。光前形式下无相互作用狄拉克方程的 解札。，u 。以及无相互作用麦克斯韦方程的解e “的具体形式在2 3 1 节 中给出。 将面，五。代入p 的表达式，得到无相互作用时的剪= ( p + ，r ，声一) 声“= 却+ 彻p f p ( q ) 石( q ) + 可( g ) i ( q ) + 矛( g ) 承g ) ) ，( 1 6 1 ) 动量表象下声p 是对角的。 1 6 离散光锥量子化 为求解光前束缚态，b r o d s k y 和p a u l i 等人引入“离散光锥量子化”方 法f 2 ，1 2 1 ，给拉氏量c 加上周期性边界条件，把场的动量离散化。这 种离散化使得f o c k 态的数目在一定条件下变得有限，从而束缚态方程 组的数目也是有限的，方程的求解问题变为：在有限数目的f o c k 态上 对光锥哈密顿量投影，得一个有限维的哈密顿矩阵后再对该哈密顿矩 阵作对角化。最后将离散条件下所推导的结果，比如哈密顿量的结构 等，回到连续极限，此时f o c k 态的数目又将趋于无穷。该方法有三点 特性： 该理论基于哈密顿量方法。 计算在动量表象完成。 量子化是等光前时问量子化。 给拉氏量c 加上周期性边界条件就是给规范场加上周期性边界条 件，给费米场加上反周期性边界条件( 对费米场c 是双线性的) 。具 体做法是，在动量表象下把规范场和费米场按平面波e i p 扩展开，其 离散的动量满足各自的边界条件。 费米子的纵向动量的p 一： p 一= n = 番。o ( 1 6 。) 一。z n ， n 2 互，矿。o ( 1 0 2 j 波色子的纵向动量的p 一： p 一= ；扎，n=1)2p j ，。 一2z 扎， n21 ，。 ( 1 6 3 ) 波色子和费米子的横向动量p _ _ 都是： p - = i l l ，n 。，n = 0 ，= k l ，土2 ，4 - 0 0 ( 1 6 4 ) l 和皿是长度参数，归一化的体积元为：q 三2 l ( 2 皿) 2 。 于是无相互作用时费米场和规范场表达成： 蜕( 垆去车嘉( b 肌( ) e - i p x - f d ：嘶w 雄) ： 互( 垆去车嘉( 吣如批一枷+ 蝴：) e 2 脚) 5 ) 表达式中符号“q ”至少代表六个量子数： q = q l k + ，后上。，七上口，a ，c ，) = g i n ，n 。，n g ，a ，c ，) ， ( 1 6 6 ) 算符满足对易( 反对易) 关系： n 。，血：， = b 。，b t ) = d q , d ：，) = 哳 ( 1 6 7 ) 注意在上面处理过程中没有考虑“零模”( p 一j 1 矿= 0 ) ，由此产生 的问题将在第三章中讲到。 1 6 1 光锥q c d 哈密顿量的结构 从方程1 5 6 知道光前形式的哈密顿量p 一可分为动能项和相互作用项 两部分，而类空动量p + ，n 又和相互作用无关，所以光锥哈密顿 量王乇c 也是动能项和相互作用项的简单相加： 玩c = p + p 一一砰= t + u ( 1 6 8 ) 采用离散光锥量子化后得到动能项t 的具体形式： 其系数： 1 1 = ( t ，( q ) 6 ：6 。帕( q ) d 耘帕( q ) 鸱。) ( 1 f 6 9 ) q t l ( q ) 屯= ( 华) 。，以萨( 才7 。， 相互作用项u 分为四部分： u = v + f + s + c ( 1 7 1 ) 图12 ：s u ( 1 介子的哈密顿矩阵。 12 3 4567b9101 11 3 一一 i l 一 1 1 s 托l orq q 驷 q qqq qq q g g g q q 们们q qg明q qq qg g 鲴q qg ggq qq q g gq qq qq q gq qq q q q q q 1q q 鍪 飞 2 蚰 工鬻鬻 蒸工 5 马9 9 卜 工i i i i l n i i i ! ! ! i i !鬻嚣鋈 ；蒸卜濯i蒸， v 为顶角相互作用，来自方程1 5 6 的第二项，它改变一个粒子数， 在u 中只有顶角相互作用是耦合常数g 的线性项；f 称为叉子形相 互作用( f o r ki n t e r a c t i o n l ，它改变两个粒子数：s 称为海鸥形相互作 用( s e a g u l li n t e r a c t i o n l ，它和称为缩并算子的g 都不改变粒子数。这些 相互作用项的复杂形式详见2 1 ，上述离散情况下得到的结果可以通过 求和与积分问的关系直接变到连续极限下。 以s 研1 介子为例，其哈密顿矩阵由图1 2 给出，矩阵元由能量图 表示，而非费曼图，零矩阵元用点“”表示。 第一章光锥q c d 简介 1 7 等效光锥哈密顿量 在1 6 节中通过离散光锥量子化得到投影在有限的n 个f o c k 态上的一组 关于光锥哈密顿量上，l c 的矩阵方程组： ( i l h l c l j ) j g ! ) = m 2 ( i ，i ，j = 1 川2 一， ( 1 7 2 ) j = 1 第i 个f o c k 态： i ) = 俩6 城6 l d 捌。哚o “，n k i o ， ( 1 7 3 ) 、丙、分别是第i 个f o c k 态中费米子、反费米子、波色子的数 目，儿：+ 丙+ 。 为了处理在连续极限下该方程组的求解问题，p a u l i 等人借助迭代 预解式方法得到一等效光锥哈密顿量磔，利用该等效哈密顿量可获 得关于相对论束缚态结构的许多有用信息。p a u l i 等人把光锥哈密顿量 方法结合离散光锥量子化和迭代预解式方法，得到相对论动力学系统 的等效相互作用，将该方法应用到介子系统、正电子偶素等物理系统 中获得了许多有意义的结果f 2 1 。 1 7 1t a m m d a n c o f f 方法 等效相互作用方法是一种处理多体问题的常用手段，该方法与无穷 维f o c k 空问的有限维子空间投影截断相联系，在场论中这种方法称 为t a m m d a n c o f f 方法 1 3 ，1 4 。以矩阵方程1 7 2 为例，矩阵中的行和列 可分为两部分：p 空间和q 空间： p = t 1 ) l l a n d q = 川九 ( 1 7 4 ) j = 2 于是方程1 7 2 h 以写作：( 为普遍性将王玩c 记为日) ( p f 日f p ) ( p l , i , ) + ( _ p 1 日q ) ( q 1 1 i r ) = e ( p i 皿) ，( 1 7 5 ) ( q t h i p ) ( p f ) + ( q h q ) ( q i 皿) = e ( q f ) ( 1 7 6 ) 或者记为一2 2 的块矩阵方程： ( 舌：z ：； 舌：z ：罢；) ( 三：兰；) = e ( ；舌：兰；) c ，7 7 ， 方程1 7 6 又可重写为： ( q l e h i q ) ( q l 皿) = ( q i h i p ) ( p it y # ) ， ( 1 7 8 ) n , 显g j q 空问的波函数( q i ) 可用p 空间的波函数( p i 皿) 表达为： q i ) = 可赢 q i h i p ) ( p i ) ，( 1 7 9 ) 但是本征值e 是未知的。为避免这一问题，需要引入一任意的冗余参 数u 替代e ，这样q 空间的波函数表达为： ( q i ( u ) ) = g q ( u ) ( q i h i p ) ( p l 皿) ( 1 8 0 ) 嘞( u ) 2 丽南 把这一表达式代入方程1 7 5 中，得到本征方程： h 。e r ( c o ) l p ) ( p 1 ( c o ) ) = e k ( u ) l 皿女( u ) ) ， ( 1 8 1 ) 第一章光锥o c d 简介 作用在p 空间的等效哈密顿量日硪定义为： ( pj 日裔( u ) i p ) = ( p 1 日 p ) + ( p i hj q ) g q ) ( q i f p ) ( 1 8 2 ) 该等效哈密顿量由两部分组成，一是作用在p 空问的原始的哈密顿 量；第二部分描述：由于实际的相互作用影响，系统从p 空间进入 n q 空间，在q 空间传播后( 由g q ) 实现) ，再回到p 空间。方程中 参数“j 的不同取值，对应着不同的哈密顿量和能谱，改变u 的取值将产 生系列的能量函数b ) ，当 甄) = u 时，就找到一个原始哈密顿量日的本征值和本征函数。 ( 1 8 3 ) 采用t a m m d a n