（应用数学专业论文）复杂网络的渐近局部性质及疾病的传播.pdf

苎塑 l 声明 本人郑重声明。本论文的所有研究工作都是在导师一马志明院士的悉 心指导下，由本人独立创作完成。论文中所引用的已知结论均可参见相应文 献，参考文献已在文章最后列出特别，未经作者本人许可，任何擅自更改、 抄袭或剽窃本论文之内容的行为，都将承担相应的学术和法律责任。 摘要 摘要 复杂网络结构存在于各种各样的系统，例如，细胞可被描述为通过化学 反应连接化学物的复杂阿络；国际互联网可以被描述为通过各种的物理的或 无线的连接由路由器和计算机连接在一起的复杂网络，万维网是一个通过网 页超链接来连接的巨大的网络在数学中复杂网络可以用图论来研究，例如 思想和理念在社会羼上传播，其节点表示人类，边就表示各种社会关系， 在本文第二章，我们严格证明了在一定条件下，在度序列给定的随机图 中，有一个渐近局部性质：在图中节点的总个数趋于o o 时，随机选择一个点 y ，距离它不大于m 的所有点形成的导出子图了m ( y ) 渐近无圈，即有限分支 包含圈的概率趋于o ，从而网络从局部来看呈现出一个树形结构，所以可用 g w 分支过程的理论来讨论疾病在任意度分布网络中传播的性质我们主 要是用随机配置( r a n d o mc o n n g u r a t i o n ) 模型来研究给定度序列的随机图的 这一性质的随杌配置模鹜是由占矗0 6 如弓f 迸静，并且它部分熊受封召e 疵r 与e o n 出“d 3 1 ，o r m 凸2 d f l o 】等人工作的影响 在本文第三章，我们研究了一类连续时间的随机图过程，因为现实世界 中点的到达常常与时闼有关，故我们研究在b o f z d 施s 模型基础上点是连续 时间到达的随机图过程产生的网络的度分布情况，即考虑网络中点到达的过 程是p 嘶s s o n 过程，且新加点按照偏好依附规则( 口o f 2 0 6 缸模型的连边规则) 与网络中已有点连边，并得到网络中节点的度分布仍然服从幂律分布 在本文第四章第一部分，我们介绍了用复杂网络的理论来研究两个传染 病模型：s i r 模型和s i s 模型，以及在这两个模型中如何计算疾病的传播阈 值，由复杂网络的局部渐近性质可知s i r 模型可以用分支过程理论来研究， 从而根据鹰函数的方法可得豺一些很好的往魇雨s i s 模型可以这过平均 场的理论得以理解，且知不论在度相关s f e f r e e 网络中还是度不相关 2 s c n z e n e e 网络中都不存在非零传播阈值， 在第二部分，我们介绍了用随机点过程来研究疾病的传播，因现实中人 类个体具有不同的个性和参数，比如人的身高，年龄，体重等，而这些量都与 疾病的传播有很大关系，因此简单点过程不能如实地描述疾病传播过程作 为弥补，在 2 6 中已有人讨论了用多态分支过程来研究疾病的传播，在【2 7 中提出用多变点过程研究疾病传播的模型，并得到一些初步的研究结果，他 们的研究表明了多变点过程可以较好地描述疾病传播传播动态系统本节 简单节介绍 2 7 ) 中部分工作，主要结果就是给出了一些特殊情况下疾病的灭 绝概率的具体表达式 关键词：复杂网络，度序列，度分布，无标度网络，g n t o n 一o s t m 分支过程， 传播阈值，渗流，随机点过程 a b s t r a c t c o m p l e xw e b l i k es t r u c t u r e sd e s c r i b ea 、郴i e t yo fs y s t e m s f 0 re x a m p l e ，t h ec e ui 8d e s c r i b e da sac o m p l e xn e t w o r ko fc h e m i c a l sc o n n e c t e db y c h e m i c a lr e a c t i o n s ；t h ei n t e r n e ti sac o m p l e xn e t w o r ko fr o u t e r so rw i r e l e 8 s u n k s ；t h ew o r l dw i d ew e bi sa ne n o r m 0 1 l sv i r t u 以n e t 、v o r ko fw e bp a g e s c o n n c c t c db yh y p e r l i n k s i nm a t h e m a t i c a lt e r m san c t w o r kc a nb cs t u d i e db y g r a p ht h e o r m f 0 re x a m p l e ，f a d sa n di d e a s8 p r e a do nt h e8 0 c i a ln e t w o r k ，w h o s e v a r i o u ss o c i a lr e l a t i o n 8 h i p s i nc h a p t e rt 啪，w cr i g o r o u s l yp r o v et h a tu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n si nt h e r a n d o mg r a p h sw i t hg i v e na r b i 七r a r yd e g r e e8 e q u e n c e s ，t h e r ei saa s y m p t o t i c l o c a lp r o p e r t y ：w h e nt h et o t a ln u m b e ro fv e r t i c e si nt h eg r a p hg o e 8t oi n - n n i t y ) w er a n d o m l yc h o o s ean o t ev i 七h es u b g r a p hw h i c l li si n d u c e db y 乞h e v e r t i c e sn om o r et h a nm a w a yw i t hn o t eva 8 y m p t o t i c a l l yh a sn ol o o p ，t h a ti s t o8 a y t h ep r o b a b i l i t yt h a tt h ef i n i t eb r a n c hi n d u d e1 0 0 pg o e st oo ，t h u st h e c o m p l e xn e t w o r k sa r el o c 以l yt r e e - l i k e w em a i n l yu s et h er a n d o mc o n n g u r a t i 。nm o d c lt os t u d yt h i 8p r o p e r t yo ft h er a n d o mg r a p h 8w i t hg i v c nd e g r e e s e q u e n c e s ，t h er a n d o mc o n 她l l r a t i o nm o d e l i 8i n t r o d u c e db yb d f f 0 6 d s ，a n d w a sp a r t l ye 如c t e db yt h ew o r ko fb e n d e ra n dc a n d i e l d 3 ，w b r m a l d 【1 0 _ i nc h a p t e rt h r e e ，w e8 t u d yak i n do fc o n t i n u o u 8t i m er a n d o mg r a p h p r o c e s s ) b e c a u s et h ea r r i v a lo ft h ep o i n t 8u 8 u a u yh a v er e l a t i o nw i t ht i m e ，8 0 w ew e8 t u d yt h ed e g r e ed i 8 t r i b u t i o no ft h ec o n l p l e xn e t w o r k 8 ，b a s e do nt h e m o d e lo fb o “0 6 画s ，w h i c hi 8f o r m e db yt h er a n d o mg r a p hp r o c e s s ，i nw h i c h t h ep o i n ta r r i v ea tc o n t i u o u 8t i m e t h ep r o c e s so ft h ep o i n ta r r i v a lw h a t w ec o i l 8 i d e r e di 8p o i s s o np r o c e s s ，a n de a c hn e wa d d e dp o i h tl i n kt ot h ep o i n t k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ，d e g r e es e q u e n c e d e g r e ed i 8 t r i b u t i o n ，g a t o n w a 8 t o nb r a n c h i n gp r o c e s s ，t r a n s m i 8 8 i o nt h r e 8 h o l d ，p c r c o l a t i o n ，s t o c h a 8 t i cp o i n t p r o c e 日s - 第一章绪论 1 1 背景知识 复杂网络结构存在于各种各样的系统例如，细胞可被描述为通过化学 反应连接化学物的复杂网络：国际互联网可j ：i 被描述为通过各种的物理的或 无线的连接由路由器和计算机连接在一起的复杂网络；万维网是一个通过网 页超链接来连接的巨大的网络在2 l 】中有荧于复杂网络发展的详细豹介 绍，这里我其简单的来介绍一下 在数学中复杂网络可以用图论来研究图是由一对集合g = f 只e ) 组 成的，其中p 是个节点的集合，而e 是连接p 中两个元素的边的集合 例如思想和理念在社会网上传播，若用图来刻画这个网络，其节点就表示人 类，边就表示各种社会关系 围沦可以至少追溯于1 8 世纪占e d r de “z e r 的相关工作，早期工作集 中于小规模的确定图中随机图理论是2 0 世纪在e r d 始发现概率方法在处 理图论中相关问题时非常有用后，由p n 讲e r d 曲和，r 削r d n 鲫共同发展 起来的( 1 9 5 9 ，1 9 6 0 ，1 9 6 1 ) ，这一领域的详细综述可参见b 。f f o 托s 的经典著作 ( 1 9 8 5 ) ，g o e n 随后讨论了相变和随机图理论的相应关系( 1 9 8 8 ) ，n r o 8 耽 和丑碱n 5 耽则给出了e r d 曲r d 哪2 的方法的历史发展( 1 9 9 7 ) 在这里我们 仅对随机围理论的基本定义给予简单介绍f r 出s 和月缸鲥将随机图定义 为：个带标号的的节点中连接着n 条边，而这些边从总共a r ( 一1 ) 2 条 可能的边中随机选取的，这样的个节点n 条边的图共c 葑。) 。个，它们 构成一个援率空间，其中每一种图都是等概率的，如此定义的随机图被称为 构成一个援率空间，其中每一种图都是等概率的，如此定义的随机图被称为 一致随机图 7 绪论 另外，在大多数网络中，尽管其规模很大，但网络中两个节点之间的平 均距离与网络的规模相比却相对小，这就是小世界现象小世界的一个表现 形式就是社会心理学家s t n z e m i 2 9 r o m ( 1 9 6 7 ) 提出的六度分离概念，他 提出在美国大多数人之闯相互认识的途径的平均长度为六f d 吐e ，1 9 8 9 ) 小世界特性看起来似乎表现了大多数复杂网络的特性：在好莱坞平均三个演 员彼此合演，或在一个细胞中，化学物独特地用三种反应来分离小世界概 念不是以作为一种特殊的组织规则的象征来引起人们的兴趣的的确，正如 e r d 6 s 和月d n 9 已经证明的那样，在随机图中两节点间的平均距离按节点 数的对数阶增长，因此e r 模型的随机图也有小世界特性 在近些年的研究中，很多实证结果表明许多大型网络是无标度的，即他 们的度分布对度自服从幂律分布在网络观察到的幂律分布是b 一曲n 新和 a f 6 e n 在1 9 9 9 年首先提出的，现实网络的无标度特性源于众多实际网络所 共有的两种生成机制即一大多数网络描述的是通过不断增添节点而增长的 开放系统例如，万维网通过增添新的网页，随时间呈指数增长；再者，大多 数网络呈现出择优连接迹象这样，就使得新增添的节点连接到某个节点的 可能性与该点的度相关例如，一网页就较有可能超链接到已经拥有大量连 接的流行网页上b n r 曲o s z a f 6 e n 首次发现增长和择优连接这两种要素 将导出具有幂律度分布的网络，b n r 曲o s i 一州k n 研究了以下的数学模型： ( 1 ) 增长：网络开始于较少的节点数量( m o ) ，在每个时间间隔增添一个具有 m ( m m o ) 条边的新节点，连接这个新节点到m 个不同的已经存在于系统 中的节点( 2 ) 择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点连接到节点 i 的概率7 r 取决于节点的i 度缸，即 啪) = 盎 o ，n 经过时间间隔t 后，该算法程序产生一个具有一+ m o 个节点，m 条边的网络数量模拟表明当该网络进入不变状态时，具有条边的节点 8 绪论 的概率为服从指数r b a = 3 的幂指数分布，指数与这个模型中的唯一参 数m 无关这一结果由b o r 0 6 0 甑一a f 6 e n ( 1 9 9 9 ) 提出的平均场方法和 d o r g o u 钯s u ，m e n d e s 与s o m “自h n z ( 2 0 0 0 ) 提出的主方程方法分别得以验 证 以上内容简单回顾了近年来复杂网络领域的一些进展，介绍了经典随机 图及无标度网络本文将主要研究复杂网络中的一些更具体的性质，并讨论 用复杂网络理论研究疾病的传播得到的一些结果 1 2 本文的主要研究工作 全文共分四章，内容是如下安排的： 第二章：我们研究得到了在度序列给定的随机图中，有一个渐近局部性 质：在图中节点的总个数趋于时，随机选择图上一点y ，距离它不大于m 的所有点形成的导出子图7 1 m ( y ) 渐近无圈，即有限分支包含圈的概率是趋 于0 的，网络从局部来看呈现出树形结构 第三章：我们研究了一类连续时间的随机图过程，主要考虑点到达的过 程是p 0 s s o n 过程，且点按照偏好依附规则与已有点连边时网络的度分布情 况 第四章：我们介绍任意度分布网络之上的疾病的传染过程，以及用随机 点过程来刻画疾病的传播 9 第二章复杂网络的渐近局部性质 这一章的主要结果就是给出在一定条件下，度序列给定的随机图的一 个渐近局部性质，即在图中节点的总个数趋于时，随机选择一个点v ，距离 它不大于m 的所有点形成的导出子图7 1 m ( y ) 无圈本章内容已发表于 2 2 2 1 主要定义 我们的结果是建立在m o z z o y 和r e e d 【6 ，7 提出的严格的数学模型上 的，当结点充分大时这个模型渐近地等价于e m 口e ta l f 9 所提出的模型， 下面我们将给予详细解释 首先，假设g 是n 个顶点的图用v e r ( g ) 表示它的顶点集，d c g ( 口) 表 示点”的度数定义一列非负整值函数d l ( n ) d ；( 忆) = 孝 ”v e r ( g ) ：d e g ( 甜) = i ) ，t = 1 ，2 ，( 2 1 ) 当然具有同一度序列d i ( n ) 的图有很多个，但这里我们只关心当n o 。时 的图的渐近性质，因此我们来介绍渐进度序列的概念 定义2 1 1 一列非负整值函数口= d o ( n ) ，d ，( n ) ，如果满足以下条件： ( a ) d ( n ) = o ，对v i n ； ( b ) 掣吐( n ) = n 则称d 为渐近度序列 给定一渐近度序列d ，用n 。p ) 表示满足( 2 1 ) 式的具有n 个点的图 全体组成的空间，在空间n 。( d ) 赋予一均匀概率分布，我们称( d ) 中的 元素为具有渐近度序列口的随机图 定义2 1 1 2 ( i ) 一渐近度序列口是可行的，如果q 口。0 对v n 1 1 0 壅垒旦垒塑堑堑量苎丝厦 儿 ( i i ) 一渐近度序列口是光滑的，如果存在常数九使得l i m 一。d ( n ) n = a ， ( i i i ) 一渐近度序列口是稀疏的，如果t ! - 碱( n ) 加= + o ( 1 ) ，其中常数 k = ( 口) ( i v ) 对于光滑的渐近度序列口，令q ) = 0 2 ) 九 假设g 是n 个顶点的随机图，d e g ( u ) 是独立同分布的随机整值变量，其 分布为p r d e g i * i i 一蓼i i i 。l ；? 刚事i ，：g ；堪g ， 扑驷孤；在蠡嚣 蓟瓤糕耧；一，一一舀滤潆篇摇熠曼 i 剽一辇。掣凇星彰驯驯彩型剽 窆蟊影黝雌，翳划镕j 鐾耄j 裂吲引剐出驯善萝籍譬嚣i 篝箱耋囊i 要n 髑 囊i 墓l 一萋堰攀! 蠢 ! 墓群；l * s ! j * ! o 芎； 斡臀薹1 1 4 ；掣蓥；l l 目i i 婵莅骄晦烈删蓊缁蚕# i ；2 i i 鞘瞩个数为n 的网络中度为d 的节点个数令 4 锄 2 面万丽瓣 则对于v o ，有 (1 一e ) 。茎半s ( 1 + e ) 当 n 一。时以概率j 成立，在这里0 茎d n 1 ” 定理3 2 2 对于上述连续时间随机困过程x = ( 咒，亡e r + ) ，用4 “( d ) 表示 时刻n 网络中度为d 的节点个数，令 4 蚴2 万可而i 而 4 壅壅壁垒塑堑堑星塑壁蕉 1 2 是一具有渐近度序列口的随机配置，g 是有同样渐近度序列d 任一随机 图，设e 是一固定图，则f 和g 包含图e 的概率是渐近相等的 注在下面的讨论中a 日表示l i m 一。a b = 1 根据引理2 2 1 ，我们得到一个将在本节反复运用的很重要的结论 引理2 2 2 对于给定渐近度序列的随机图g 且“，口g ，有 h m q x 等蒙产 ( 2 s ) 证明在具有给定渐近度序列的随机配置f 中，点u 与其他点相连的概率 与该点的度成正比从而根据引理2 2 1 ，这对于具有相同度序列的随机图g 是渐近成立的令d e g ( g ) = 。gd e g ( 。) ，它表示图g 中点的总度数在图 g 中，一点 与其他点相连的概率与该点的度成正比，所以从点v 出发的每 条边与点u 有边相连的概率为d e g ( “) d e g ( g ) 从而v 与u 有边相连的 概率为= d c g ( u ) d e g ( “) d e g ( g ) 引理得证口 下面我们讨论g 包含一固定图e 的条件下的一种连接概率，令d e g ( w l e ) 为点 在图e 中的度数，若 隹e ，d e g ( 口i 届) = o 令d e g ( e ) = d e g ( u ) 一 d e g ( uj e ) 其中ecg 表示图e 是图g 的子图，通过类似引理2 2 2 的证 明我们得到下面的引理 引理2 2 3 假设g 是具有给定渐近度序列的随机图，e 是一固定的图且对 所有u g 满足d e g ( u i e ) d e g ( u ) ，则对讹 f ，有 p r i u ”g i e c g x 璺著耄会务攀( 。t ) 下面我们计算包含概率p r 旧cg 】当佗一o 。，固定图e 的总度数相对于 g 而言是可忽略的 引理2 2 4 假设e ，g 如引理2 2 3 所述，d e g ( e ) 为一有限值，则有 p r 阢g h d e g ( g ) 】_ 扎剖别胆腿意- ( 2 5 ) 塞壅旦垫堕堑堑量墨丝廛 1 3 证明因为d e g ( e ) 为一有限值! = ) 二妻j j 。l i 窘薹墓霎 ? 壤：鬻妻搴 j 2 j i 亍；i 荦；g i ，匿矗i 一囊_ 一i _ _ | _ _ jo - i ：一i | | | | l | | 重萋雾 ，i 囊婆薏| 螽譬一 二：j 一一誊 鬻蠹；一? i i ；叠i “；蠢! 二”f l 纠i m i 号霉一 ；j ? j ； i 鍪蠹童j ；i 霾j 二：掣髯j 一嚣薹i i ；秀；j i i 耋鸯薹搿( d + 3 ) 右端第一项，令m ，_ 譬 从而 。c 譬，掣叫。蔓。掣一。 恕e ( 瞥) = 万萜丽 根据a z u m a _ h o e 珏m n g 不等式得 剐半叫半抡躯m 叫1 5 ) 由上式以及全概率公式易知，溉嗨竽以概率l 收敛于规e ( 嗨导) 从而对于垤 o ，定理得证 口 珈 k ，定理得证口珈kx 塞壅璺垒堂塑堑星塑丝重 1 4 此和为下面多项式的部分展开： 蜀( g ) = d e g ( g ) 一i d e g ( 仇) ( d e g ( 饥) 一1 ) f b g 从而 e 托( g ) 去b ( g ) 根据2 1 节的定义，我们有d e g ( g ) = 文( n ) ， d e g ( ) ( d e g ( ) 一1 ) = i ( 一1 ) d ；( n ) ”g 边1 从而等式( 2 1 1 ) 可写为 即，= 阻仃2 阻 最( g ) = e 以( ) 加fj “ l 迕ljl 1 又我们假定d 是稀疏的且q ( p ) o 是圈g 中节点的最大度，则 鲁i 2 d l ( n ) 加= q + d ( 1 ) ， a = 2 k ) + q ) ，从而：n 1 2 q + d ( 1 ) 因为 塞垒塑丝盥逝重量塑丝厦 1 6 所以 e m ( s ) n 1 2 g ( z ，口) q + d ( 1 ) 如果( 2 1 4 ) 定义的m ( 口) 是有限的，则 e 竹1 ( s ) 】sj f g ( 一1 ，口) 埘。( d ) + o ( 1 ) 故 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) p r 【u 翻= e p r 【u ss 】 = e m ( s ) d e g ( g ) 5 磊杀e m ( s ) + o ( i ) ， 又d e g ( g ) = i 吨( n ) = n 陋+ 。( 1 ) ，根据等式( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 可得引 理2 ，2 j 口 引理2 2 7 假设( y ) 如上所述，则e i v e r ( ( y ) ) l 晶，其中胃为常 数 证明如果7 1 m ( y ) 不包含圈，则t 1 m ( y ) 生成过程可类似看成g d 拈d n 一 。s 幻n 分支过程，否则7 k ( y ) 中的点数就会因圈的产生而减少故我们 考虑g a l t o n - w a t s o n 分支过程k ：女= o ，l ，2 ，在这里不妨假设第一代 粒子为顶点v ，它产生后代的分布为吨( n ) 加： = 0 ，1 ，2 ，且以后各代粒 子产生后代的分布为0 + 1 ) 也+ - ( n ) j lj 嘶( n ) ：i = o ，1 ，此分布即为 丁k ( 矿) 中除v 外的点的出度分布，从而 m ej v c r ( ) f e k ( 2 1 7 ) k = 0 根据分支过程的理论，k = 1 ，e k = 2 a ( 一l ，口) + o ( 1 ) ，故根据等 式( 2 1 7 ) 引理2 2 7 成立 口 定理2 2 _ 8 假设d ，g ，y 和t 1 m ( y ) 如上所述则 复塑圆些塑堑重量塑一睦远 1 7 ( a ) 2 1 m ) 是树的概率为l o ( n _ 1 2 ) ； ( b ) 如果 m ( 口) = 舰邱一1 ) d t ( n ) 加 t 1 存在且有限，则7 1 m ( y ) 是树的概率为1 一o ( 1 加) 证明如果7 1 m ( y ) 不是树，则丁k ( y ) 至少包含一个顶点在f - 圈中( f 冬 2 m + 1 ) 这个事件发生的概率不超过 a = p r y 岛( g ) + e i v e r ( 2 1 m ) i p r u 岛( g ) 因随机选择点u 的概率为7 r ，2 1 m ( 矿) 中的点除了点v 外都是u 的独立拷 贝，从而根据引理2 2 6 和22 7 ，p f = 0 _ 1 2 ) ，这表明7 1 m ( y ) 是树的概率 为l o m - 1 2 ) ，定理4 3 2 ( a ) 成立( b ) 的证明类似可证口 第四章疾病的传播 4 1 两个传统的传染病模型 我们先介绍两个传统的传染病模型 1 4 ，此模型被称为充分混合模型， 在此模型中假定在网络中任意两个节点之间都可能存在传播疾病的边，相当 于在完全图上讨论问题 4 1 1s i r 模型 十九世纪二十年代上e “r e e d 和口d eh o m p t o nf r 。酣最初构建了 s ，r 模型( 充分混合模型) 该模型把人划分为三类：易感类( 8 “s c 印t 洲e ，此 类人并未染病但会被传染类个体传染) ，传 x 送遗盟篮整 2 3 这种病的人治愈后不是从传染类转到康复类，而是转回到易感类此模型可 用微分方程描述如下； 塞一胁州，塞一阳叫 在上述两个模型中，虽然给出了疾病传播的基本的动力系统，但在实际 生活中是不现实的，因为疾病只能在有实际身体接触的人之间传播，而在 上述模型中任意人都有可能被所有病人传染，亦即疾病传播网络中所有结 点具有相同的度( 结点的度是指它连接边的个数) 在现实世界的疾病传播 中，有必要考虑度分布不均匀的情况( 度分布是指具有某个度的结点出现的 概率分布) 近年来文献中有不少关于疾病在任意度分布网络中传播的研究 ( 8 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，2 0 】) 4 2用复杂网络理论研究疾病的传播 研究网络结构的一个重要目的是为了理解和解释构建于这些网络之上 的系统的运作方式例如，我们要理解万维网的拓扑结构是如何影响网上冲 浪和搜索引擎的；要了解社会网的结构是如何影响信息传播的，如此，等等 因而，在研究了网络的结构模型后，下个步骤就是对发生在那些网络之上的 物理( 或生物或社会) 过程的模型行为进行研究在本小节我们简单介绍f 8 1 中对于网络上疾病传播过程的研究在介绍 8 】的结果之前，我们先提醒读 者： 在上一章中，我们严格证明在度序列给定的随机图中，有一个渐近局部 性质：在图中节点的总个数趋于时，随机选择一个点y ，距离它小于等于 m 的所有点形成的导出子图渐近无圈，即有限分支包含圈的概率趋于0 ，从 而网络从局部来看呈现出一个树形结构，所以可用g w 分支过程的理论 来讨论疾病在任意度分布网络中传播的性质，从而 8 的结论才得以严格成 致谢 在论文完成之际，首先对我的导师马志明老师表示衷心的感谢两年多 来，无论在学习还是在生活中，马老师都给了我极大的帮助和鼓励马老师 渊博的知识、严谨的治学态度和对问题的深刻见解使我深受教益；马老师坦 诚的为人处世态度、严于律己、宽于待人的作风都是我今后学习的榜样 两年半的研究生学习，不仅使我接触了博大精深的现代数学基础知识， 而且使我学到了内容丰富而应用广泛的专业知识两年多的学习和研究生 活，不仅使我学会了发现问题和解决问题的基本思路和方法，更使我具备了 独立从事科研的能力和与时俱进的创新意识两年多的北交大生活，经历了 种种风雨，使我更加深刻地认识了社会和人生，树立了“学以致用，习以实 用”的科学学习观，也制定更加务实的奋斗目标和人生追求同时感谢给我 授课的所有老师和身旁的同学，他们对数学的热爱和执著给了我潜移默化的 影响，所有这一切将使我受益终生， 数载寒窗，承沐恩泽，感激之情无以言表，只能将之化为向上的动力，早 日成才，不负恩师、家人和同学好友的关心和期望 最后真诚地感谢专家在百忙中审阅我的论文我愿意认真听取专家的宝 贵意见，在本论文和今后的学习及研究工作中不断改进 x 疾病的传播 为 节 t = = 1 一d r d 7 p ( r ) p ( 7 - ) e 一( o 茎t 1 ) 6 从而在此网络中，每条边传播疾病的概率为t ，对应到渗流理论中，每条边被 占据的概率为t 从而若随机选择一个点的度为k ，与它相连的m 条边被占 据的概率为c 铲t “( 1 一t ) “”，故随机出现的一个病人，传染疾病给其邻居 的个数分布的母函数为 o 。o 。 g o ( 。，t ) = p k ? 铲t ( 1 一t ) 一”z 。 m = 0k 2 m 。 p k ( 1 一t + 。t ) = g o ( 1 + 一1 ) t ) k = 0 因为在任意度分布的网络中，随机选择点的邻点的出度分布的母函数为g l ( z ) = 吼扩，所以随机出现的一个病人，其每个邻居传播疾病人数分布的母函数 k 为 mo 。 g l ( 墨丁) = g k ( 万丁“( 1 一t ) ”。 m = 0 k = m 同理 。o 啦( 1 一t + 茁t ) = g 1 ( 1 + ( z 一1 ) t ) k = 0 h 1 ( z ，t ) = z g l ( 日l ( z ，t ) ，t ) 日o ( z ，t ) = z g o ( 丑j ( z ，t ) ，t ) 凰( z ，t ) 表示由随机出现的一个病人所在有限分支中被传染上疾病人 数的分布的母函数，则疾病爆发规模的平均大小为 ：= 珥( ，t ) = ，+ 器= - + 高 ( 用 表示随机变量s 的均值) 当1 一r q ( 1 ) = 0 时，即 耻赤= 黜：嘉 疾病的传播 时发生相变r 即该疾病在此网络的传播阈值为正2 i 蠢= 丽- 当t e 时，巨分支产生，在这里我们称之为有瘟疫发生，即疾病爆发瘟疫影响人所 占比例大小s ( r ) = 1 一f 毛( 1 ，t ) = 1 一g o ( u ，丁) ，这里“；凰( u ，t ) 是方程 “；g ，( u ，t ) 的最小非负实数解u 表示随机边到达一有限分支的概率 因为与一个一度点相连的边没有被占据的概率为1 一t ，与一个一度点 相连的边被占据但又指向一有限分支的概率为了，故一个一度点不受瘟疫 影响的概率为1 一丁+ t ，令u = 1 一t + n ，我们可知随机选择一度为k 的点且没受瘟疫影响的概率为s 毕翥，它 所对应的母函数为笔警等，故不受瘟疫影响的点( 巨分支以外的点) 的平均度 为： 铀= 裂= 础z = 警幻( 剑 随机选择一度为k 的点且受瘟疫影响的概率为： ! ：；厅瓮，它所对应 的母函数为鱼粤云g 铲，所以受瘟疫影响的点( 巨分支以内的点) 的平均度 为砺：葛掰z = 盥掣z ： 口 注上式表明受瘟疫影响的点的平均度比不受瘟疫影响的点的平均度要大或 至少相等这跟实际情况吻合t 在瘟疫发生时受瘟疫影响的人平均接触的人 数要比不受瘟疫影响的人平均接触的人数要多 4 2 1 3度相关网络中的讨论 在度相关网络中两邻点之间有某种相关性，即p ( 忙) 与k 和女7 都有 关，以联合概率分布e 址，= p ( l k 7 ) 强表示随机选择的边的两端顶点的出度 分别为k 和7 的概率( p ( 自佻) = 1 ，e w = e m ) 疾病的传播 从k 度点出发到达有限分支大小的母函数为 e ( 风，( z ) r 凤( 。) = 。生i i ：- k 随机点所在整个分支大小的母函数为 日( 。) = p 0 ( z ) + 。m 陬一- ( z ) k = 1 当有巨分支出现时，巨分支所占比例大小s = 1 一p o g o ( “k 一1 ) ，= e w u ： 峨( 1 ) 2 话这里u t 表示从k 度点出发的随机边到达有限分支的概 k 7 蜜 类似上节其他讨论，在此不再详细表述 4 2 2 任意度分布网络上的s i s 模型 因为康复的病人不具有免疫力，有可能再次被传染上，疾病的传播过程 对应到网络中就相当于存在圈，因此不能用分支过程的思想来刻画疾病的传 播过程文献中用另外一种统计物理的平均场方法来研究在任意度分布的网 络中s i s 模型疾病的传播p a s t o r s a t o r r a s 和v e s p i g n a n i 针对s i s 传染病 给出了一个详细的平均场解法用稚，8 k 分别表示度为k 的点中传染类个体 和易感类个体各占的比例对于一个k 度的点，用m ( a ) 来代替传统模型 中的肛( 见第二节) 它表示的是单位时间内间易感类个体被传染所占的比 例，这里a 表示经接触一个传染类个体而被传染上疾病的概率目f a ) 表示随 机边到达的点属于传染类个体的概率一般而言，口( a ) 与顶点度数有关，但在 后面的讨论日( a ) 中对所有结点都相同( 这也是统计物理中平均场近似的思 想) 作为初步近似，在下面的讨论中还假设传染类个体的康复概率1 = 1 疾病的传播 4 2 2 1 度不相关情形 在度不相关网络中，因为随机边到达一k 度点的概率为 ，而此点 f p k k j 为传染类个体的概率为戡砷= ! j 瓦，扶而随机边弱达的点是传染类个体 嘶。 的平均概率为口( a ) = ：百从而在1 21 时有以下微分方程成立： 掣= 脚( 坝l 飞) 咄 考虑系统在一段时间以后的稳定状态，此时 掣- o ，如= 揣 “p k “ 代入目( a ) 2 蓊，得 彤) = 专车讯嵩 ( 表示随机变量的均值) 求如的非零稳定解对上式两端求导，有 嘉c 击车慨尚砣邶- 掣：等 记k = 詈麓当a a 。时，“( t ) 在有限时间内减小到o ，表明系统处于稳 定状态时，疾病不会传播开来，而当a a 。哦靠f ) 有； 零解，衷聩系统处于 稳定状态时，网络中疾病以大于零的概率持续传播，因此有疾病爆发我们 称a 。为传播阈值 注在c n 争f i e e 网络中不存在非零传播阈值因为在s f 网络中 一o 。 所以，表明无论传播概率有多小，只要大于零，总会用瘟疫发生，j n t 芒7 n e t 网 上疾毒的传播就是这种情况 疾病的传播 果在此转述和介绍假设e 表示人类某些方面特征的参数空间，比如说人的 身高，年龄，体重等，这些量都与疾病的传播有很大关系 假设e 是局部紧h a u 8 d o r f f 空间，称测度是定义于目上的点测度，如 果对于任意的b o r e l 集ace ，u ( a ) 是非负整数值设坞是e 上所有的点 测度形成的集合，朋。为其口代数 ，丁，p ) 是一概率空间点过程可定义为( q ，) 到( 矗，m ，) 上的 可测映射，则它可以用下式来表述： = 墨1 取 其中岛是集中在。的d i r a c 测度，五是取值于e 上的随机变量，k 足取值 于= o ，1 ，2 ，。 的随机变量， 则的分布是( 知，m p ) 中的一概率测度c = p ，过程的 l a p l a c e 变换l _ 可定义为 l ( ，) = e e 一，) 】= e e 一t ，( 托) 其中，是非负可测函数 我们考虑用随机点过程来刻画疾病的传播过程，该过程满足以下三个假 设条件： ( a ) 带参数为z 的传染类个体在随机时间兀，n = 1 ，2 ，与带参数为 j 0 的易感类个体发生第n 次接触，从而接触过程可以表述为一标值点过程： y 2 = 。5 ，矗) 其标值空间为e 所有的点过程p 对不同的传染类个体而言是独立的 ( b ) 带参数为z 的传染类个体与带参数为y 的易感类个体经接触传染 疾病的概率为p ( 。，) ，其中p ( z ，) 是e e 上的可测函数给定点过程p 3 2 疾病的传播 3 3 的情况下，用表示服从两点分布的随机变量，即当参数为k 的个体被 传染上疾病时，它取值为1 ，否则为0 假设，n = l ，2 ，关于点过程p 是条件独立的 ( c ) 带参数为。的传染类个体的传染周期为随机变量w 。，所有的w 。 独立，并且独立于过程p 则由这些假设条件可知，由带参数为z 的传染类个体引起的一系列的 传染过程可用以下点过程来具体描述 。= 。1 f a ! 阢；e x ，( 41 ) 其中关于p 是条件独立的随机变量，且p = 1p = 1 一p = o f y 。= p ( z ，五a 令k ( z ，) 表示。的分布，我们可得到从空间旧，) t o ( ，m ，) 的 核k “) ： k ，4 ) = p ( 。一4 ) ，a m p 当易感类群体的数目充分大( 即n 一。时) ，疾病传播过程的初期可近 似看成是一般的分支过程。假设该过程是从一带参数为x 的传染类个体开 始传染疾病，则由它按分布( z ，r ) 传染疾病给参数分为五，x 2 ，j ，的 易感类个体，然后在由这些被传染上疾病的个体开始各自的传播过程，其分 布分为( 五，) ，i = 1 ，2 ，传播过程如此进行下去，则可得到点过程 磊h = o ，1 ，2 ，) ：z 0 = 岛，磊= 罂le 。磊+ l = 銎1 。，其中q 定义如( 41 ) 根据上面的假设条件，m 是独立的，且服从分布k ( ，) ，i = o ，1 ，m ，从而 p 玩+ 1 a lz j = 坠1e 。 = 陋扛l ，) + + ( 乳，) 】( 4 ) ，( 4 2 ) 这里“+ ”表示概率测度的卷积，故点过程 况：n = o ，1 ，) 形成e 上的一 疾病的传播 般分支过程令 厶( 。，a ) = e f k ( a ) i 玩= e 。】 令m ( z ，a ) = 尬( 文a ) 眠+ l ( z ，a ) = 靠( ，a ) 彳( z ，d ) 命题4 3 1 假设对任意的e ，在e 上存在一个随机测度y 。，y 。( e ) 几 乎必然为有限值，且在y 。的条件下，序列死，n = 1 ，2 ，形成一强度为 俨( e ) 的时齐p 。i s 5 0 礼过程i 五。，n = 1 ，2 ，是取值于f 上的独立同分布 的随机变量，其分布为p v 。( e ) 则点过程j 。是e 上的一e 过程，其 强度为泸( 却) = w 。- p ( 。，) p ( 咖) 证明根据假设条件，我们知道在y 2 ，w 。的条件下，y 2 是是e 风的 p o i s 8 。n 过程，其强度测度为胪( d ) 出，从而 w = 1 m ! w z - 矗 是e 上的p o i s s o n 点过程，其强度测度为。胪( 咖) ，故 学是e 的c o x 过程，其强度测度为2 - p ( 由) ，根据( 4 1 ) 知。是c o x 过程 蒈的p ( z ，一) 稀疏，从而根据k 叩r 2 5 以及命题1 3 9 知，。是e 上的c 过程，其强度 测度为泸( 却) = 。- p ( z ，g ) - p ( d g ) 口 令p ( ) = p ( l 磊= 岛) 则第n 代粒子的灭绝概率为( z ) = p 磊( e ) = o ) ，又( z ) 是关于n 的增函数，可知灭绝概率 q ( z ) 20 骢( 。) = p j n 使得磊( e ) = o ) 定理4 3 2 假设m ( z ，e ) 是关于z 的有界函数， 靠的密度函数为帆。且 存在自使得m ( 。，f ) 为一致有界正值函数，即o o ，有 p | 无穷多个n 使得o 1 则有 ( a ) q ( z ) 是恒大于o ，且一致小于1 ( b ) g 是唯一的正值函数，一致小于1 ， 且满足函数方程 q ( 嚣) = 中。( 一z 竹q )( 4 3 ) 例4 3 4 令e = r + 旧可看成是人的年龄空间) 假设接触过程p 满足命 题4 3l 的假设条件，其强度测度为k ( 劫) = ( z ) v ( 西) ，其中n ( z ) 为非负 实值函数