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曲阜师范大学硕士学位论文 无穷区间上积一微分方程解的存在唯一性 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，因其能很好的解释自然 界中的各种各样的自然现象受到了越来越多的数学工作者的关注其中，非线 性脉冲方程解的存在唯一问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析 数学中研究最为活跃的领域之一本文利用锥理论，不动点理论等方法在无穷 区间上研究了几类脉冲方程解的存在唯一问题，得到了一些新成果 根据内容本文分为三章本文第一章中，给出了无穷区间上一类抽象连续 函数族相对紧陛判定的一个充要条件，并应用它获得了二阶微分方程终值问题 解的存在性其主要内容是： 引理1 _ 2 4 设刀为b a i l a c h 空间，“。( ) ：，_ 刀坼= l ，2 ) 连续，若存在 函数p l 0 ，。) 使| | u 。( t ) | 茎p ( t ) ，t 正n = l ，2 一，贝0o ( u 。 ) ：n = l ，2 ) ) 在j 上可积，且 a ( z 。“。( 亡) a t ：n = ，z - ) ) sz 上。a ( u 。o ) ：n = ，z - ) ) 出 ( - z ) 注1 2 1 引理1 2 4 将引理1 2 3 推广到了无穷区间，它对研究无穷区间上 的微分方程起到重要作用( 见5 l ，4 节) ， 注1 2 2 引理l ，2 4 的证明在相关文献中没有见到 定理1 3 1 集日c 础m 明相对紧的充分必要条件是：( 2 ) 任意的6 o ， 日= z ：。打) 中的函数在 n ，6 上等度连续，且任给t j ，且讹) = 。咏) ： 。日) 在e 中相对紧；( “) 存在亡0 j ，使得日( o ) 是e 中的相对紧集；( 伽) 当t _ 。o 时，。( t j 一p ，。讹) 一 目对所有z 日一致 曲阜师范大学硕士学位论文 定理1 3 2 集日c c 矿明相对紧的充分必要条件是：( n ) 任意的6 。， 日( m ) 中的函数在 0 ) 纠上等度连续，且任给t l ，日( ”( t ) = 俅) ：。h ) 在 e 中相对紧；( b ) 任意的= o ，1 ，m 一1 ) 存在“j ，使得日( 。) ( 如) 是目 中的相对紧集；( c ) 当t _ 时，z ( t ) _ 口，z 协) 。日，一，。( ”( t ) - 口对所有 z 日一致 注1 3 1 定理1 3 1 ，1 3 2 将定理l1 2 推广到无穷区间上，扩大了它的使 用范围 应用到抽象空间上微分方程的终值问题 z ”= ，o ，。，z ，) ，。r + ；( 14 1 ) 【。( 。) = z ( 。o ) = o ； 其中，g f r + e xe ，司，r + = 0 ，。o ) ，e 为b a n a c h 空间， z ( o o ) 。熙。( t ) ， z ( 删2 墨恐z 他) 使用以下假设： ( 日1 ) 存在非负函数a ( t ) ，p ( 亡) ，y ( t ) ，t o ( t ) ，印( t ) ，竹( t ) 上( r + ) ，使得任意的 t r + ，z ( t ) ，”( t ) a r + ，e 有 l f ，( t ，茁，掣) | | 血( t ) + 卢( t ) i 。( ) | | + 7 ( t ) i l 掣( t ) f l ， ，。，。 ( 卢( t ) + 7 ( t ) ) d t 1 ， f ( 卢( f ) + 7 ( t ) ) d t l ； j 0j 0 ( 玩) 对于任意有界集b 1 ，b 2ce ，( t ，b 1 ，b 2 ) 相对紧 得到下面一个结论 定理1 4 1 假设条件( 日1 ) 与( 凰) 成立，则方程( 1 4 1 ) 在g 2 ( r + ，司中有 解 注1 4 1 此问题应用文 2 2 的结论不能解决，可见推广了文 2 2 的结果并 验证了定理1 3 ! 在微分方程中的作用 曲阜师范大学硕士学位论文 本文第二章中，通过应用使用单调迭代技巧与比较原理 到了一阶脉冲积微分方程的初值问题 j 。= ，( f ，z ，t z ) ，z t ， 防等仕。d 。k l2 ，。 的最大最小解的存在性使用下列条件与引理 在无穷区间上得 f 2 1 1 1 麟裟：i ) ：b ， 兵甲加( t ) ，、7 ( j 非负有界司积函数，厶 1 ( i = l ，2 ，) 且墨。厶，兀墨l ( 1 l ；) 都是收敛的如果下列两个条件之一满足则m ( t ) 墨目： ( n ) m + + 4 4 + 墨1 l 。l ； w 兰连黔， 其中 m + = z ”西( t ) 出，+ = z o 。( t ) 出，必8 = ；罗 z 0 。m ( t ，s ) 幽) ( z 2 z ) 引理2 2 2 设d ，q b 尸g m 捌，m + + + + 1 那么，线性脉冲积一微分 方程 f 茁( t ) = 且彳( t ) 茁( ) 一( t ) ( r 茹) ( t ) + 盯( t ) ，t j it “， 。k ：如= 如( 叼( “) ) 一工 陋( “) q ( “) ，= 1 ，2 ， ( 229 ) i 茁( o ) = 茁o ， 有一个解z b p a 司n g l j 7 ，司 儿1 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 日1 ) 存在“o ，u o b p g m 明n e l l ，7 ，明满足u o ( t ) ”o ( f ) ( t l ，) 且 t zt “ 南= 1 2 j ，( t ， o ，t u o ) ，t zt “ 口o i b “疋( ”o ( “) ) ，= 1 ，2 ， 口o ( 0 ) 。o ， 即，o 和分别是i v p ( 1 1 ) 的上下解； 使得 ( 凰) 存在非负可积有界m ( ) 与( t ) 满足引理2 1 的条件( o ) ，( 6 ) 之一 ，( t ，z ，丁0 ) 一，( t ，掣，t ，) 一 矿( ) 0 一可) 一( t ) ( t z t 可) 其中t j ，“o5 可茎z u o ，t u o52 t 茁t ”o ( 凰) 存在常数。茎仉 1 ，= l ，2 ，使得 厶( 。) 一h 扫) 一工 ( 。一) ， 此时u o g 。 o = l ，2 ，) 且厶，兀( 1 一l ；) 是收敛的； z = 0i = 0 ( 凰) 对于任意的t j 和任意的在每个以有界等度连续的单调序列b u n ) c u o ，”o 】，存在非负常数c ，c + 及= 1 ，2 ，) 使得 与 o ( ，( t ，b ( t ) ，( t b ) ( t ) ) c a ( _ 口( t ) ) + c + o ( ( t b ) ( t ) ) o ( 厶( 口( ) ) ) a ( b ( t ) ) ，南= 1 ，2 得到下面主要结果如下 i 伽 j k 眦 一 c ； t z 九 n ( 不妨设t t o ) ，当t t 时，任给z 日有 州t 川 ；，愀) 1 1 o 灯”中的函数在h6 上等度连续，且任给t j ，日( m ) ( 玎在e 中相对紧； ( 6 ) 任意的( = o ，l ，m 1 ) 存在“j ，使得日( ) 是e 中的相对紧 集；( c ) 当t _ 。时，。( t ) _ 目，。他) 斗日，z ( ”( t ) _ 目对所有。h 一致 略证日cc 铲 z e 】相对紧等价于日，日7 ，日( ”cg 工吲相对紧 根据定理1 3 1 的证明方法我们可以依次证明日( ，h ，日是c o z 捌的 相对紧集，从而充分性得证必要性显然- 注1 3 - 1 定理1 3 1 ，132 将定理1 1 2 推广到无穷区间上，扩大了它的使 用范围 1 4应用 考虑抽象空间上微分方程的终值问题 ! 策篙 a m 荨产! ? r + r ? e ，司，r + 2 【0 l o o ) ，e 为b a n a c h 空间，z ( 。) = 燥。( t ) ， 茁7 ( 。) = j i mz 俅) 。 + 。 7 第一章 无穷区间上一类抽象函数族相对紧的判定及应用 本节需要以f 1 阪设： ( 日) 存在非负函数o ( t ) ，卢( t ) ，7 ( t ) ，抛( t ) ，印( t ) ， ( t ) l ( 矗+ ) 使得任意 的t 冗+ ，z o ) ，0 ) e f r + ，明有 l ，( t ，。，g ) | | sq ( t ) + 卢0 ) i l z ( t ) | | + ，y ( t ) | l 可( t ) | | ， ，o 。，。 ( 卢0 ) + ，y ( t ) ) d t o ，取d = 。击，任给t 1 ，t 2 o ，扎当| t l t 2 i d 时，设t 1 赴，a 茁 a ( s ) ，有 ，t 2 ( a z ) 7 ( t t ) 一( a 。) 7 ( t 2 ) | | i i ，( s ，z ( s ) ，一( s ) ) i i d s a 彳l f ，一f 2 l e j t l 所以a ( s ，) = a z ：z s 中函数在 o ，6 上等度连续下面要证对每个 t r + ，a ( s ) ( t ) = ( a z ) ( t ) ：a 石a ( s ) ，a ( s 似t ) = ( a z ) ( t ) ：a 。a ( s ) ) 是相对紧集只需证任给 ) cs ， ( a z 。) ( t ) ， ( a 。) ( t ) ) 有收敛子列，即 ( a 茁。) ( s ) ) ， ( a ：) ( s ) ) 相对紧事实上，任给 茁。) cs ，知 z 。) ， z ：) 是s 中的有界集，由( 三b ) 知( ，( t ，z 。( t ) ，z ：( t ) ) ：礼= 1 ，2 ， ) = o 根据引理 9 o ，使得 l l a z 。一a z o 或l a z ：，a z ，o ( 141 5 ) 又因为a 在d 上相对紧知 a z 。有收敛子列，布妨设为 a z 。) ，并取e 使得 l i ( 4 z 。，) ( t ) 一训- o 且l l ( a z 。) 协) 一g 川_ o ( i _ 斗。) ， 故由( 141 3 ) 或( 1 4 1 4 ) 知a z = g 与( 1 4 1 5 ) 矛盾故l i m 。o 。 i _ f t 。一_ 0 ，从而a 在d 上连续根据全连续算子的s c h a u d e r 不动点定理知4 在d 中有解，即方程( 1 4 1 ) 有解证毕 i 注1 4 1 此问题应用文 2 2 的结论不能解决，可见推广了文f 2 2 1 的结果 并验证了定理1 3 1 在微分方程中的作用 例1 4 1 我们考虑二阶微分方程的终值问题 iz ”( t ) = 8 q + e _ 3 。z + e - 4 。z ； i 茁( 0 0 ) = 。7 ( 。) = o 这里，( t ，z ，z ) = e 一。+ e 一3 。+ e 一4 。，o ( t ) = e 一。，卢( t ) = e 一3 容易验证 a l = 铲e 一。出= 1 o 。； 卢l = 铲( e q + e _ 4 ) 出= ；+ 1 ； 曲2 = 铲一出= 1 o 。； ( 14 1 6 1 岛= 铲t ( e 一3 + e 4 。) 出= ；+ 去 1 ； 当j l z l f 3 r 时，有l i ，( t ，z ，z 川isn ( t ) + 声( t ) i i z ( t ) l | + 1 ( t ) i l 。7 ( ) i is1 + r 又 因为，连续，由致密性定理及定理1 4 1 知方程( 1 4 1 6 ) 在四 o ，) 有解 第二章b a n a c h 中无穷区间上一阶非线性脉冲积一微分 方程的初值问题的解 2 1引言 本文中我们考虑实b a n 8 c h 空间( f ，”i i ) 中的一阶非线性v d l t e r r a 型脉 冲积一微分方程的初值问题的解： 靛篙拦：， ， 其中，g ，层e ，e ，= o ，c c ) ， g e ，e ，七= 1 ，2 ，一o = t o t 1 “ i 。，舰靠= i 且 ( t o ) ( t ) = 七( z ，s ) 。( s ) d s ( 2l2 ) j0 七( t ，s ) g p ，r 十】n 驴( 川，d = ( t ，3 ) j ，：兰s ，r + = o ，o 。) t h ：“ 表示z ( t ) 在t = “点的跳跃，即，。l * “= z ( t ) 一z ( ) ，其中z ( ) 与 z ( t i ) 代表o ( f ) 在t = 缸点的右极限和左极限 近年来，脉冲微分方程理论具有深刻的( 见【1 7 】) 物理背景和实际的数学 模型，在应用数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的重视路慧芹1 和郭 大钧”j 得到了i v p ( 2 1 1 ) 的极值解的存在定理但他们得到的结果都局 限于有限区间上郭大钧9 “”给出了无穷区间上n 阶积一微分方程解的一 些结果，但文f l o l 中的锥p 要求是正规锥或正则锥本文中应用比较定理与 严格压缩原理，得到了f 中i v p 211 解的饿存在定理，其结果改进和推广 了文 7 】：【9 ，【1 0 】，【2 8 中的结论 令如= p o ，如 ，以= ( t 1 ，t 2 ，一，以= ( “，“+ 1 】，一一，l 厂= 。， t o ，- ，2 、 p c z 司= z ：z 是j 到e 的一个映射，使得。( ) 在t “处连续，在忙 处左连续，且z ( 砖) 存在，= 1 ，2 ，) ，p e ，e = 一z 是以到f 的映 靠处左连续，且z ( 堪) 存在，= 1 ，2 ，) ，pc i ，e = 扛：z 是以到f 的映 睦阜师范大学硕士学位论文 b 删删= z 删删：琵y 懈) 。) b 删巩，耻卜删巩，研篆忪| | 。) 显然，目p e z 矧与b p g 陬，明对应于范数忪怕= s u p 忪( t ) 与忪= j s u p 盼( t ) l l ( = o ，l ，2 ，) 是b a n a c h 空间如果z b pc r m 倒n a l ，7 ，e t 瓦 满足i v p ( 2 1 1 ) ，则称其是( 2 11 ) 的解 2 2引理及预备知识 设尸是半序集e 中的一个锥，规定茁可当且仅当一。p 锥p 称为正规锥如果存在正数使得当9sz 墨g 时有| | 茎i i ，其中日表 示e 中的零点；锥p 称为正则的如果当z 1sz 2 茎z 。g 时有 旧。一z i l _ o ( n _ 。o ，z e ) 众所周知，正则锥一定是正规锥 我们需要下面一些引理： 引理2 2 1 设m ( ) b p g z e n g l l ，e 】满足 im 7 ( f ) s 一 彳( o ) m ( t ) 一( t ) ( r m ) ( f ) ，t zt “， m k “茎一如m ( “) ，= 1 ，2 ，- ， ( 2 2 1 ) im ( o ) 墨8 ， 其中m ( t ) ，( t ) 非负有界可积函数，厶 1 0 = 1 ，2 ，) 且函厶，h 墨l ( 1 一 工。) 都是收敛的如果下列两个条件之一满足则m ( t ) 口： ( n ) m + + 胪+ 茎l 厶1 1 3 l n ss战 砖 “ 黾 续连 左 + k = 在续连匕 +靠在 m 设 得0 睫一，2 射l 第二章b a n a c h 中无穷区间上一阶非线性脉冲积微分方程的初值问题的解 + 茎寮黔， 其中 m + = z 。m ( t ) d t ，4 = z 0 。( 旬d t ，+ = ： z o 。m ( t ，s ) d s ) ( z 。) 证明 假设条件( o ) 满足对于任意的9 p + ( p + 表示p 的对偶锥， 令u ( t ) = g ( m ( t ) ) 那么札( t ) b 尸c zr ng 1 j ，r 且“( t ) = 口( m 7 ( t ) ) ( t 钍) ( ) = 9 ( ( t m ) ( t ) ) 由( 2 2 1 ) 得 钍( t ) 一j ) l 彳( ) “( t ) 一( t ) ( t u ) ( t ) ，f ，t “， “i 拄“s l “( 如) ，七= 1 ，2 ，一，( 22 3 ) “( 0 ) 0 ， 下面我们证明 札( t ) 0 ，vt jf 2 24 1 反证法假设( 2 4 ) 不成立那么存在o t + o 令 i n k 眦】钍( t ) = _ 6 ，我们有6 o 当6 = o 时，( t ) o ( ost o 时，设t + 五= ( 屯，屯+ l 】显然存在一个以五u 冬i ) 使得 乱( 乱) = 一6 ( 若札( ) = 一6 ，证明类似) 根据积分的定义可以得到 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 与 “( 矿) 一u ( ) “( t ) 一“( t 三。) 邮坤h ( 州= c 州s ) d s 蜘h 池) = u ( s ) d s 另一方面，当0 t 曼t + ，t “时，根据( 2 2 3 ) 我们得到 f 2 25 1 u 协) s6 ( m ( t ) + ( t ) z 。七( t ，s ) d s ) = 6 尬( n ( 2 2 6 ) 札( t j _ ) 茎( 1 一l k ) 钍( “) ，= 1 ，2 ，( 2 2 7 ) 其中尬( t ) = m ( t ) + ( t ) 露女( t ，s ) d s 由( 2 5 ) 一( 2 7 ) 得 卜( 1 吐) 池) 列z r 尬( s ) 电 喇邓_ 啦! ) 1 这与条件( o ) 矛盾，所以( 2 2 4 ) 成立由9 p 4 的任意性，我们推出札( t ) 口 ( j ) 另一情况假设条件( 6 ) 成立，我们只证最后一步前面证明同上当6 o 时，由( 2 2 8 ) 得 兰l 竺。r 。 呱矿) 丧懿， 这与条件( 6 ) 矛盾证毕 i 引理2 2 2 设盯，町b p g 【z e 】，m + + + + 1 那么，线性脉冲积一微 分方程 一( t ) = 一m ( t ) 。0 ) 一( t ) ( t z ) ( f ) + 矿0 ) ，t zt “， z i b “= 厶( 叩( “) ) 一l 陋( “) 一叩( “) ，= 1 ，2 ， f 2 2 9 ) lz ( o ) = z o ， 有一个解z b p g 【z e n g l ，e 证明令 ( t ，。，t 。) = 口o ) 一m 0 ) 一( t ) ( 2 k ) 0 ) ，t ， 1 6 u “ 。卅 出sm 广九 6 )l州j 以 l o 一 一d 圳 ，_ 出 0 = “ 0 m + u 6 一 曲阜师范大学硕士学位论文 首先，我们考虑下列线性积一微分方程 篓删，虮无 z 容易验证。c | 1 如，e 是i v p ( 2 1 0 ) 的解当且仅当z c 如，e 是下列积分 方程的解 。( t ) = z o + 【盯( s ) 一m ( s ) 一( s ) ( t z ) ( s ) d s ，如 令 ( a o z ) ( t ) = z o + p ( s ) 一n 彳( s ) 一( s ) ( t z ) ( s ) d s ，t 山( 22 1 1 ) 对于任意的z ，e 【如，e 】，由( 2 2 1 1 ) 得 | l ( a 。z ) ( 。) 一( 山g ) ( 。) | | 墨上【m ( s ) 岫( s ) 一( s ) i i + ( s ) k + 忪一幽 ( 矿+ + 耳+ ) 忙一训o ，t 山 f 2 2 1 2 1 因此 f i 山z a o l | os ( n 彳+ + + k ) | | 。一f ，t 山 注意到条件 m + + + k + 1 f 2 2 1 3 1 f 22 1 4 1 根据( 2 2 1 3 ) ，( 2 2 1 4 ) 与b a n a c h 压缩原理得山唯一不动点肋g f 如，吲也 就是说( 2 1 0 ) 有唯二解伽g 矗，e ，那么p o 满足 i 蹦= ( t ，舶，即o ) ，t 矗， 1 ：9 ：( o ) 硇 ( 2 2 1 5 其次，我们考虑下列积微分方程 ，z 孙) = ( 锄，_ 0 + r 坤，咖如) ，t 眠( 2 。1 6 ) 【。( t ) = ( 叩0 1 ) ) + l 1 叩( t - ) + ( 1 一l - ) p o o 。) ， 1 7 第二章b a n a c h 中无穷区间上一阶非线性脉冲积一微分方程的初值问题的解 其中_ 0 = 片1 ( t ，s ) 伽( s ) d s 容易验证z b pc f ，e nc r l ( 。，亡2 ) ，e j 是 i v p ( 2 2 1 6 ) 的解当且仅当z b p g z 明是下列积分方程的解 当t t ，l 时，令 ( a i 茁) 0 ) = j l ( 叩0 1 ) ) + l 1 叩0 1 ) + ( 1 一三1 ) p o ( t 1 ) + 邯) ( 孙) + r 婚，咖d ”) 卜 ( 221 8 ) 那么a l 是一个b 尸g _ l ，e 到b p c 了l ，矧的算子对于任意的z ，b p g _ 1 ，明 根据( 2 2 1 8 ) 我们有 l l ( a l 。) ( t ) 一( a ) ( t ) l i n 彳( s ) i f z ( s ) 一( s ) j | + ) v ( s ) + l i z j i 。】d s j t l ( 朋+ + + ) | | 。一 l l ，t 了1 ， f 221 9 1 根据数学归纳法容易验证 | a 1 。一二4 l i ；l ( m 4 + + 耳+ ) f | z 一i 1 ( 2 2 2 0 ) 因此由( 2 21 4 ) ，( 2 2 2 0 ) b a n a c h 压缩原理得a l 唯一不动点p l b 尸c - 1 ，明 即( 22 1 6 ) 有唯一解p l b pc r 了l ，e 且p l 满足 ( 2 2 2 i ) 然后，重复上面的步骤，进一步可以证呢对每一个i = 1 ，2 ，下列线性 1 8 七 0 归 如 皿叫“ ， + 卜曲 矾 忡 1 一 + 扣啪耶 一 ” p州z = l2 ，下列线性 1 8 七 。归 如 皿 叫 “ ， + 卜曲 矾 忡 1 一 + 扣 一 ” 曲阜师范大学硕士学位论文 秘一微分万程： 。，= ( t ，。，- o + 芦+ + 反一z + z mc 以s ，z c s ，d s ) t 五，。， 【z ( t 产) = 五( 叩( 。) ) + 上。叩( t 。) + ( 1 一三；) 胁一l ( 赴) ， 有唯一解纯口pc | 陬，e n a l ( 屯，t 。+ 1 ) ，日1 且满足 属。) = 丘( t ，胁，_ 0 + 芦+ 4 + 反一z + z 。e ( t ，s ) 以( s ) d s ) ，t ，( 。) 【胁( t 产) = 五( 叩( 缸) ) + l 。叼( 岛) + ( 1 一l 。) n 一1 ( 屯) ， 其中瓦( t ) = 露“( t ，s ) 见( s ) d s ，= 1 ，2 ，i 一1 最后，我们考虑下列积一微分方程 ( t ) = ( t ，z ，_ 0 + 万，+ + z m ( t ，s ) z ( s ) d s ) ，z 匠。) ， 【z ( i ) = ( i ) ， 其中= 1 i m t 。o 。m 对于t 乒，) ，应用上面的方法可以得到线性积一微 分方程有唯一解“e 1 瞒o 。) ，e 】且 f 一：( t ) = ( t ，p + ，_ 0 十芦，+ - + z ( t ，s ) p t ( s ) d s ) ，t f ，。) ，( 。4 ) 【z ( i ) = ，1 ( 叩( _ ) ) + l 1 叩( 吾) + ( 1 一l 1 ) p o o ( 吾) 今 f 肌( t ) 础) ：t ) 卜 【m ( t ) t 如； t ； t 眄，。) ( 222 5 ) 根据( 2 2 1 5 ) ，( 2 2 2 1 ) ，( 22 2 3 ) 一( 2 2 2 5 ) ，容易验证p 劈pc r ze ng 1 ，明是i v p ( 2 2 9 ) 的唯一解证毕 箜三重量a n a c h 中无穷区间上一阶非线性脉冲积微分方程的初值问题的解 引理2 2 3 设盯，q b p e z e 那么z b 尸c ze 】n e l t ，7 ，矧是方程 ( 2 29 ) 的解当且仅当z b p g z 司是下列积分方程的解 一 z ( t ) = p ( s ) 一 ，( s ) z ( s ) 一( s ) ( t z ) ( s ) d s 加 一 ( 2 22 6 ) + ( 叮( 缸) “女) 一叩( 如) ) 卜叫 0 “ t 容易证明引理2 23 ，因此省略 引理2 2 4 ( 7 ) 对于t j ，令矗= o ，t ，如果日cb p e 出，司是可 数有界集，那么q ( h ( t ) ) l f 出，兄+ 且 ( z z 。，a t ：z 日) ) 。z 。c 日c t ，d z c 。z t ， 引理2 2 5 ( 7 ) 如果m b j p g 耳 ，七c l f d ，兄+ ，屈( j = 1 ，2 ，) 是 非负常数且 m ( ) 茎，2 ( f ，s ) m ( s ) 如+ 屈m ( t 。) ，耽， 那么 m ( t ) s0 ，v j 引理2 2 6 ( 7 】) 设日cp g 【，司是有界集且在以( = l ，2 ，) 上等度连 续，那么q ( 日) = s u n j ( 日( t ) ) ，其中，= 【o ，翻，日( t ) = 。( t ) ：z 日) ，t 2 3 主要结果 睽裟圳，：，譬 第二章b a n a c h 中无穷区间上一阶非线性脉冲积一微分方程的初值问题的解 证明对于任意的叩 u o ，u o j ，考虑i v p ( 2 2 9 ) 且 口( t ) = ，( t ，叩，( t q ) ( t ) ) + n ，( t ) 叩( t ) + ( t ) ( 丁目) ( t ) 根据引理32 2 ，i v p ( 2 29 ) 有唯一解z b p c ze 】nc _ 1 j 7 ，明设 那么以是 u o ，”0 到b p g m 司n g l 【，e 的算子我们将验证( i 札i + 彳 ) 1 + ( t ) ( t 1 ) = ，( t ，“o ，丁u o ) + 且f ( f ) 札o + “l 仁“= 厶( u o ( “) ) 一l 女 u 1 ( “) 一o ( “) 】，= 1 ，2 ， u 1 ( o ) = 。o 因此根据( 皿) 可得 m = u ：一u ： m i e “= u ok 一“l l “s m ( o ) = u o ( o ) 一u 1 ( o ) p t zt 靠 七= 1 2 一 f 2 3 2 1 z = = a )u os 4 u o 与 t 靠， 利用引理2 2 1 能够推出m ( t ) 目( j ) ，即osa u o 类似的可以得到 a u o 为了证明( 毗设m ，町2 ， o 使得叩l 叩2 ，又令m = z 1 一z 。， 其中z 1 = a q l ，z 2 = a 啦根据( 2 2 9 ) ，( 23 2 ) 与条件( 凰) ，( 玛) 可得 ， im 7 = z ：一z i 一 彳( t ) m 一( t ) ( t m ) ( t ) ，t zt “， m | b “= z o k 一z l k 一饥m ( 如) ，自= 1 ，2 ， i 仃。( o ) = z o ( o ) z l ( o ) 口 ， 因此，由引理2 2 1 推出m ( f ) ! 口0 ，) ，即a 吼4 叩2 令“。= a 乱。一t 和 = a 一l ( 他= 1 ，2 ，) 根据已证的( i ) 与( i i ) ，我们有 令 明正为增非 匕 蚓得 c ； 阻孓 在心 4 和 岭9 ，l 2 与但 帕由 一 u 一 a = 舢 m ，l_l，、ilii【 3，粥 ( fv 0 0 一 一 一 0 n 廿 一 s n u 一 一 0 u 一 0 0 u 曲阜师范大学硕士学位论文 致收敛与某个z + ( t ) b p g me ( i _ 十。) 由p 的正规性且由( 3 3 ) 知 “。 是非减的，我们可以推出整个序列 札，0 一致收敛于。+ ( t ) ( n 一( ) 。) 于是我 们有 ，( t ，u 。一l ( t ) ，( t u 。一t ( ) ) 一n 彳【t ) ( ；( 0 一“。一1 ) ) 一0 ) ( t ( 让。一u 。一t ) ) ( t ) _ ，( t ，茁；( t ) ，( 丁z + ) ( t ) ) ，礼_ 。，v t ， f 2 3 9 1 根据( 2 3 4 ) ，( 2 3 9 ) 且在( 2 3 6 ) 上当n _ o 。时取极限得 州t ) 轴+ 小舭如t 叫胁+ 。聂。驯埘川 再由引理2 2 ，3 可以推出。+ b p e f z 捌n g l 吵，e j 且z + ( t ) 是i v p ( 2 11 ) 的一个解 用同样的方法我们可以验证如。 在j 上一致收敛于某个矿且。4 也是 i v p ( 2 1 1 ) 的一个解 最后，令露b pc z 司ng r l j ，曰】是i v p ( 1 1 ) 在 u o ，o 】中的任意解 假设u 。一l ( t ) z ( t ) 一l ( t ) f o rt ，且设p = u 。一岳那么根据( 2 2 9 ) ， ( 23 2 ) ，( 胁) ，( 风) 与引理2 2 1 容易验证乱。( ) ( t ) 0 t ，) 类似的，可 以得到z ( t ) ( t ) 0 z 扎= 0 ，1 ，) ，然后取极限得z + c 亡) z ( t ) 。+ ( t ) ( t ，) 因此，( 2 31 ) 成立，于是定理23 1 证毕 _ 注2 3 ，1 本文中的l ，是一个无界区域因此，本文的结论改进和推厂了 文m 9 7 1 0 】， 2 8 中的结论 定理2 3 2 设p 是正则的丑满足条件( 日1 ) 一( 矾) 那么定理2 3 1 的结 论成立 证明证明大致相同于定理2 3 1 所不同的是不使用条件( 凰) ，而直接由 ( 2 3 3 ) 与p 的正则性推出m ( ) = 。( b ( t ) ) = 0 0 j ) _ 注2 3 2 显然，定理2 3 2 改进了文 1 0 j ，【2 8 】中的相应的定理 第二章b a n a c h 中无穷区间上一阶非线性脉冲积一微分方程的初值问题的解 2 4举例 例2 4 1 考虑一阶非线性积一微分方程的初值问题 荆玎l e “邢) 可乩序一件吣) d s z t = “= i 元南z ( t m ) ，= 1 ，2 茹( o ) = 。o ， 其中靠2 矗去显然，岱( t ) 三。不是i v p ( 2 41 ) 的解 结论i v p ( 2 41 ) 有在，上连续可微的最小最大解且满足 0sz ( t ) 墨 t + 1 t + i 1 h 矿万 t ( 南毒 t 1 ，) 证明 设e = r 1 ，p = 冗+ ，则_ p 是e 中的正规锥且i v p ( 2 4 1 ) 是 ( 2 1 1 ) 的形式此时， ，( t ，z ，) = e 一e _ 7 。z e 坷g f 2 4 2 1 ，引副，纠副 q 1 2 r，l，一 t 0 曲阜师范大学硕士学位论文 其中= 丁z = 女( t ，s ) z ( s ) 如，( t ，s ) = e 一( m ) l e t 札o ( t ) 三o ，u o ( t ) t + 1 1 蚪j 十亡 1 址啊i t 1 ，o 。) 1 1 + 南j f 24 3 1 显然“；，( t ，乱o ，t 呦) ( t z 如) 与u o l e “ ( u o ( 如) ) 由( 2 4 3 ) ，我 们有 j 兰1 且u o l e “厶( u o ( 如) ) 根据( 2 4 2 ) ，我们得到，( t ，口o ，丁咖) e 。1 ，所以”j ，( t ，”o ，t ”o ) 因此条件( h 1 ) 满足根据( 2 4 2 ) ，还可得到 与 ，0 ，z ，r 茁) 一，( t ，9 ，丁) = 一e 一7 ( z 一) 一e 一乳( t 茁一t 可) 之一a 彳0 ) ( z 一) 一( t ) ( 丁z t ) 厶( z ) 一厶( 们= 一 两杀丽( z( + 2 ) ( + 3 ) 一l t ( z 一可) 其中m ( t ) = e “，( t ) = e 叫有界可积， 饥2 两柄( 皓1 ，2 ，) 于是我们有m + = 铲m ( t ) 疵= ，4 = 铲( t ) 出= ；，+ = s u p 。；， 铲地s ) d s = l 所以 m 4 + + k + + 薹己t ；+ ；+ 薹 自= c = o 111 = 石+ 五+ i 一 纠副，引副 吼 l 一2 rl，i、 t 南 + o 使得 l ，( f ，“n 一- ( t ) ，( t 札n 一- ( ) ) 一 彳( ) ( u 。( t ) 一珏。一t ( t ) ) 一0 ) ( t ( “。一u 。一1 ) ) 0 ) | lsn f 234 1 与 厶( “n 一，( t ) ) | | r ，t z n = 1 ，2 ，-( 2 3 5 ) 根据札。的定义与( 22 9 )，( 2 2 2 6 ) ，( 2 3 2 ) ，我们有 “。( t ) = o + ，( s，“。一l ( s ) ，( t 乱。一1 ) ( s ) ) 一 彳( s ) ( “。( s ) 一“。一1 ( s ) ) 一( s ) o o ( t ( “。一乱。一1 ) )( s ) d s + 芝二 厶( u 。一( “) ) 一三【t h ( “) 一。一t ( 靠) 】) o “ f 2 - 3 6 1 曲阜塑堇盔堂堡主芏童鲨鼎一 一。l 、- 、，+ 。= 一 渺 蘩赣i ! 誉蠹羹莲黼；烈鞴舞 鸶纛嚣j “鎏；i 藕r 鬻x l 藕錾 薹鬻鬻豢! 鏊鏊萋；黼甏；妄糕蚕瓣2 瓣懑 ； 嶷 糍i ；，( 蓊豢囊! m 碗i 荔羹j 蒸趣 零i j i ；! l i j ；碜i 莩jj i ；f 雄i ! 嚣；j ；i i 薹慧j 黧荔 蠢i 毯；螽警j i l ，lx ! s2 陋( ，( s ，b ( s ) ，(