（应用数学专业论文）序贯指示条件模拟方法研究及应用.pdf

摘要 序贯指示条件模拟方法研究及应用 作者简介：刘静，女，1 9 83 年7 月生，师从成都理工大学王玉兰副教授， 2 0 0 8 年0 6 月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学位。 摘要 条件模拟技术是地质统计学中继克立格估计技术之后，迅速发展的一个新工 具。地质统计学是近二十多年来才创立并发展起来的一门新兴边缘学科，它是以 变异函数作为基本工具，在研究区域化变量的空间分布结构特征规律性的基础 上，选择各种合适的克立格方法，以达到更精确的估计或对区域化变量进行条件 模拟为主要目的的一门数学地质独立分支。一般包括三大基本的组成成分：即空 间函数的相关性分析、克立格估计和条件模拟。空间函数相关性分析是对变异函 数和协方差函数的分析，包括它们的定义和估计方差，它是克立格估计和条件模 拟的基础。克立格估计和条件模拟之所以具有生命力，正是由于变异函数和协方 差函数所反映的空间相关性。克立格估计方法是一种最优无偏估计，是一种对平 均值的估计，而且它只能给出一种单一的数值模型，相对而言条件模拟则可以得 到多个实现，而这些实现之间的差异就反映了地质变量空间分布的不确定性。 近年来，条件模拟在储层随机建模中得到了深入的应用。由于勘探资料不完 全，储层描述往往具有不确定性，储层预测结果便具有多解性。条件模拟克服了 克立格方法的平滑效应，不仅可以再现储层属性空间分布的相关结构，还可以条 件化到已知井位数据，同时可以得到多个实现结果，以满足对储层不确定性的描 述和分析。因此，目前人们广泛应用条件模拟方法对储层进行建模和预测。 本文主要讨论了序贯指示条件模拟方法中指示变异函数及指示模型的相关 内容，并通过模拟结果反映出了克立格插值的平滑作用，最后将序贯指示条件模 拟方法应用于储层建模中，为描述真实的地质情况提供了多种选择。 关键词：序贯指示条件模拟地质统计学克立格估计 a b s 仃a c t t h er e s e a r c ha n da p p l i c a t i o no fs e q u e n t i a li n d i c a t o r c o n d i t i o n a lm e t h o d i n 仃o d u c t i o no fm ea u m o r ：l i u j i n g ，f e m a l e ，w a sb o mi nj u l y ，19 8 3w h o s et u t o r w a sp r o f e s s o rw a n g y u l a n s h e 舒a d u a t e d 丘o mc h e n g d uu 1 1 i v e r s 时o ft e c l l l l 0 1 0 9 yi i l m a m e m a t i c sm 旬o ra n dw a s 蓼a m e dt h em a s t e rd e 黟e ei i lj u n e ，2 0 0 8 a b s t r a c t a 俞e r碰g m ge s t i m a t i o n ， c o n d i t i o n a ls i m u l a t i o ni s d e v e l o p i n g f a s ti n g e o s t a 庀i s t i c s g e o g t a t i s t i c si s a 1 1e m e r g i n ge d g ed i s c i p l i n ew h i c h0 1 1 1 ye g 坛l b l i s h e sa 1 1 d d e v e l o p si nt h en e a r l yt w e i i 哆y e a r s i tc a nb es a i dt h a t ：”v r a r i a t i o n 向n c t i o ni st h eb a s i c t 0 0 1o fg e o s t a t i s t i c s ，a n dmt 1 1 eb a s i cr e s e a r c ho nr e g i o n a l i z i n gs p a t i a ld i s t r i b u t i o no f t ：h ev a r i a b l e s ，t oc h o o s ek r i g i n gm e t l l o d ，a i l da c h i e v eam o r ep r e c i s ee s t i m a t eo rc a q o nc o n d i t i o n a ls i m u l a t i o nt ot h er e g i o n a l i z i n gv a r i a b l e ，i st h em a i np u r p o s eo f g e o s t a t i s t i c s w m c hi sm a t h e m a t i c sg e o l o g y si n d 印e n d e n tb r a n c h ng e n e r a l l y i n c l u d e st l l r e eb i gb a s i cc o m p o n e n t s ：n a m e l yt l l es p a t i a l 血n c t i o nr e l e v a n ta n a l y s i s ， k r i g i i l ge s t 曲a t i o na 1 1 dt h ec o r l d i t i o n a ls i m u l a t i o n t h es p a t i a l 如n c t i o nr e l e v a i l c e a n a l y s i si s 让i ea 砌y s i so ft h ev a r i a t i o na 1 1 dc o v a r i a i l c en m c t i o n s ，i n c l u d i n g 廿l e i r d e f i m t i o n sa i l de s t i m a t i o nv 撕a i l c e s ，i ti st h ef o u n d a t i o no fk r i g i n ge s t i m a t i o na i l d c o n d i t i o n a ls i m u l a t i o n ni sb a s e do nt h es p a t i a lr e l e v a n c ea 1 1 a l y s i sw i l i c hr e n e c t e di n t ：h ev a r i a t i o n 如n c t i o na i l dt h ec o v 撕a i l c e 如n c t i o nt h a t 碰g i n ge s t i m a t i o na i l dt l l e c o n d i t i o n a ls i i i m l a t i o nc a nd e v e l o p k r i g i n ge s t i m a t i o ni sam e 1 0 do fo p t i m i z e d u n b i a s e de s t i m a t i o n ，a na v e r a g ee s t i i i l a t i o n ，i tc a no m yg i v eas i n g l em o d e l ，r e l a t i v e l y c o n i i t i o n a ls i m u l a t i o nc a ng e tm o r et h a no n em o d e l ，a n dt h ed i 丘e r e n c e sb e 觚e e nm e r e s u l t sj u s tr e f l e c tu n c e r t a i n t ) ro ft h eg e 0 1 0 9 i c a lv a r i a b l e s r e c e n t l y ，c o i l d i t i o r l a ls i m u l a t i o ni sd e v e l o p i l l gf 瓠ti nm o d e l i i l go ft h er e s e r v o i r f o rt h er e s e r v o i rd e s c r i p t i o ni sa l w a y su n c e r t a i na 1 1 dt h er e s u l to fr e s e o i rf o r e c a s t h 嬲s e v e r a lr e s u l t sb e c a u s et h er e c o r m o i t e ri n f o r m a t i o ni si n c o m p l e t e c o n d i t i o n a l s i i i m l a t i o n ，w h j c ho v e r c o m e st h es m o o t he 丘宅c to fk r i g i n ge s t i m a t i o n ，i l o t0 1 1 1 y r e 印p e a r st 1 1 er e l a t i v es t n l c t u r eo ft l l er e s e r v o i r ，b u ta l s om 酞e st h el ( 1 1 0 、 j r i ld a _ t at ob e c o n d i t i o n a l s op e o p l ea l 啪y su s et 1 1 ec o n d i t i o 砌s h l l l a t i o nm 劬o dt om o d e la i l d a b s n l l c t f o r e c a s tt 1 1 er e s e o i rb e c a u s ec o n d i t i o n a ls i m u l a t i o nc 趾s a t i s 匆n l ed e s c r i p t i o n 锄d n l ea n a l y s i so ft h eu n c e r t a i nc h a r a c t e ro ft h er e s e r v o i r t h i sp a p e rd i s c u s s e si 1 1 d i c a t o rv a r i a t i o n 血n c t i o na i l di n d i c a t o rm o d e l ，a l l d 廿1 e s m o o t h i n ge f f e c to f 碰g i n ge s 痂n a t i o nc a nb es e e n 丘o ms i i l l u l a t i o nr e s u l t s ，f i n a l l y ， t l l es e q u e n t i a lc o n d i t i o n a lm e t h o dh a sb e e n 印p l i e dt or e s e r v o i rs i m u l a t i o nm o d e l i l l g ， a i l dp r o v i d ea 埘d e r a l l g eo fc h o i c e st od e s c r i b e 廿l er e a lg e o l o g i c a lc o n d i t i o i l s k 吩m r o r d s ：s e q u e n t i a li i l d i c a t o rs i m u l a t i o ng e o s t a t i s t i c s k g i n ge s t 妇a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛都堡王太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 测墙白 潲年s 月炒日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑理工太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛壑堡王太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：础橱 学位论文作者导师签名： 弘参 幽谚年工月摊日 第1 章引言 第1 章引言 条件模拟是地质统计学的重要组成部分之一，它是继克立格技术之后迅速发 展的一个新工具。条件模拟是对区域化变量的模拟，它除了保持与实际数据具 有相同的数学期望和方差外，还要求在各观测点处的模拟值等于该点处的实际 值，并且它还可提供多个可选的模拟结果。随着条件模拟各种方法的出现和不断 完善，其技术在许多方面都得到了广泛的应用。但就目前而言，条件模拟大都偏 重于应用方面，而较少对方法本身进行研究。本文主要对序贯指示条件模拟方法 进行深入研究。 1 1 研究目的及意义 ”地质统计学是以变异函数作为基本工具，在研究区域化变量的空间分布结 构特征规律性的基础上，选择各种合适的克立格法，以达到更精确的估计或对区 域化变量进行条件模拟为主要目的的一门数学地质独立分支。”它一般包括三大 基本组成部分：即空间函数的相关性分析、克立格估计和条件模拟。空间函数相 关性分析是对变异函数和协方差函数的分析，包括它们的定义和估计方差，它是 克立格估计和条件模拟的基础。克立格估计和条件模拟之所以具有生命力，正是 由于变异函数和协方差函数所反映的空间相关性。克立格估计是一种对待估点进 行最优和无偏的估计，不专门考虑估计值的空间相关性，而且它还有一定的平滑 效应，由于用克立格方法进行插值只能得到一个确定的结果，于是条件模拟方法 得到发展。条件模拟在点估计的时候使用的是克立格算法，但它估计的是待估点 的分布，它能够再现真实情况的波动，最重要的是它能提供多个可选的等概率图 像供选择，能够更好的反映区域化变量的非均质性。 自从1 9 7 3 年g m a t h e r o n 教授提出了转向带法以来，研究人员又提出了许多 新的方法，如三角矩阵分解法、序贯高斯模拟、序贯指示模拟、截断高斯模 拟、示性点过程模拟、退火模拟以及分形模拟等各种各样的方法。这些方法被广 泛的应用于采矿、储层建模等许多方面，近几年来条件模拟还被用在了一些非地 质领域，如水土资源、森林资源评估等方面。目前对空间信息分布特征或对其离 散性和波动性的模拟，均可用地质统计学及相应的理论进行研究，地质统计学也 己成为评估各种区域性自然现象、自然资源及再现其波动过程的新的工程科学。 然而对于不同的地质问题，需要建立不同的概率模型，因而寻找一种快速实用的 模拟算法对于特定的问题是至关重要的，由此可见对条件模拟的研究仍具有非常 深远的意义。 成都理工大学硕士论文 1 2 国内外研究进展 本世纪5 0 年代初期，南非矿业工程师克立格提出了金属的分布并非纯随机， 而是在空间上具有相关联系，并且与样品的尺寸及其在矿体中的位置有着密切关 系。6 0 年代，法国g m a t h e r o n 教授将克立格的经验与方法上升为理论，提出了 区域化变量理论并创立了地质统计学，随后地质统计学得到了广泛的应用。而条 件模拟即随机建模是在此技术之后迅速发展起来的，它的优点是可以再现变量的 波动性。最初是a j o u m e l 教授在1 9 7 8 年他的的著作“矿业地质统计学”第七章 “矿床的模拟”中详细地阐述了条件模拟的基本概念和算法，这本著作全面地介 绍了转向带法( t u m i n gb a n d ，简称皿) ，总结了地质统计学在当时的发展，至 今这本著作仍在被广泛地引用。随后p e t e ri b ( 1 9 8 5 ) 改进了转向带法，经推导 得出一维球状模型协方差函数的表达式。d a v i s ( 1 9 8 7 ) 提出了l u 分解法，即将数 据点和网格点之间的协方差矩阵c 进行三角分解得到l 、u 矩阵。s h i n o z u l 【a 和 j a l l ( 1 9 7 2 ) 最早利用傅立叶变换来进行条件模拟，此法称为s j 法，这种方法的主 要缺陷在于模拟出的协方差函数具有周期性。j o 啪e 1 ( 1 9 8 9 ) 和a l b e r t ( 1 9 9 0 ) 提出了序贯高斯模拟以及序贯指示模拟，它们的思路大体一致，都是逐次推断出 玎一1 个条件概率。 自m a t h e r o n 倡导的地质统计学问世以来，对地球科学中有关资源信息的空 间变异性用区域化变量理论进行表征，不仅对地质预测和评估理论有很大发展， 也对许多非地质科学如水土资源、水文气象、生物环境和工程技术产生了广泛影 响，目前已经形成对空间信息分布特征或模拟其离散性和波动性的研究，均可用 地质统计学理论进行，而地质统计学也已成为评估各种区域性自然现象、自然资 源及再现其波动性过程的新的工程科学。这种一开始最先被应用于采矿设计的技 术后来被广泛的应用于石油开发的许多方面。起初，该技术主要用来解决储层表 征中的一些问题，例如建立精细储层物性非均质模型，供3 次采油方案设计使用： 建立储层内部非渗透性隔层模型及储层空间连续性模型，供开发早期阶段制定开 发方案服务等。地质统计学中的条件模拟在油藏描述中的应用被称为油气储层的 随机建模。在第一届和第二届国际地质统计学大会中只有少数这方面的文章，而 在法国a v i g n o n 举行的第三届会议中，0 d u b r u l e 和s r i j s w i c k 在他们的论文 中提出了油藏的随机模型。2 0 世纪8 0 年代及9 0 年代早期出现了布尔模拟方法， 从2 0 世纪9 0 年代起，随机建模有了很大的发展，出现了比克立格更为复杂的模 拟算法。在1 9 9 2 年的第四届国际地质统计学大会上出现的标准算法有：离散数 据，指示值的编码处理，概率场模拟，还出现了模拟退火和迭代随机模拟算法， 包括马尔科夫链和序贯算法。在1 9 9 3 年的以“下一个世纪的地质统计学 为题 的学术会议上，c d e u t s c h 运用了“算法定义的随机函数 的术语，意为通过所 2 第l 章引言 有的实现所产生的一个随机函数，这里的实现由一个给定的算法产生，而每个 实现则由一个随机种子完全确定。1 9 9 3 年g u a r d i n o 和s r i v a s t a v a 提出了多点 统计算法，由于该算法为非迭代算法，不存在收敛的问题，因而算法简单，但计 算速度很慢，2 0 0 1 年s t r e b e l l e 和j o u r n e l 将算法加以改进，提出了多点统计 随机模拟的s n e s i m 算法。目前，地质统计学所用的模拟算法大多属于算法定义 的随机函数，包括大多数面向对象的算法。现在条件模拟在油气储层建模中的应 用正处于蓬勃发展的时期，并逐渐形成了三大学派：美国斯坦福大学学派，以序 贯指示模拟方法为主；法国地质统计中心学派，以截断高斯模拟方法为主；挪威 学派，主要以示点性过程模拟方法为主。 在国内，随着条件模拟的应用越来越广泛，出现了一大批的研究人员及其论 著。裴韬在条件模拟方法近期研究进展中对传统的转向带法、l u 分解、快速 傅立叶变换等方法进行了综述。而条件模拟在石油储层建模方面的应用尤为广 泛，例如王家华和张团峰教授所著的油气储层随机建模，他们以指示模型、 截断高斯模型、示性点过程模型等国际上流行的储层随机建模方法为核心，以此 来解决关于沉积相带的空间分布的确定问题，并且还首次提出了利用随机游走模 型来确定水下辫状河道的流向和位置；此外还有陈恭洋所著的碎屑岩油气储层 随机建模等。目前，储层随机建模技术已逐步被广大从事储层地质的专家们所 接受。穆龙新等( 2 0 0 0 ) 总结了国内外研究河流、三角洲等沉积储层的各种定性 和定量地质知识库，储层预测方法尤其是随机建模的基本理论和应用。吕晓光等 ( 2 0 0 0 ) 研究了储层随机建模的意义和目前出现的主要随机建模方法。陈霞等 ( 1 9 9 8 ) 讨论了油藏地质属性的随机建模用于储层研究的方向。李龙滟等应用地 质统计学提出了用于井间砂体预测的一个方法。采用序贯指示方法模拟岩相、沉 积微相的分布，建立了研究区三维空间分布模型，较好的揭示出河流相储层砂体 及砂体空间分布的变化规律，充分说明了三维建模在揭示砂体空间非均质性方面 的巨大优势。应用序贯指示模拟方法结合地震数据对渗透率的平面分布情况进行 了模拟预测，能够反映储层参数渗透率的细节变化，并能表征由于缺乏资料等原 因而引起的建模中的不确定性。应用标点过程法所建立的随机模型，能准确地反 映井资料和地震资料，并能很好的恢复相的几何形态，降低了沉积微相研究中的 不确定性，对储层非均质性的研究具有十分重要的意义。在大庆石油学院2 0 0 4 年硕士毕业论文储层随机建模方法研究中，作者对序贯指示随机建模方法和 模拟退火随机建模方法进行了讨论。在成都理工大学2 0 0 5 年硕士毕业论文随机 建模方法及其在储层建模中的应用中也应用了模拟退火方法对碳酸盐岩成功进 行了储层建模，结果较好。 条件模拟的发展还体现在了一些非地质领域，比如陈亚新、史海滨和魏占民 等在土壤水盐信息空间变异的预测理论与条件模拟中，将地质统计学引入了 3 成都理工大学硕士论文 水土科学中，为水土资源的时空分布、储量估计、规划设计、预测监测和现代管 理提供了解决问题的新理论和新方法。冯益民等还将序贯指示模拟方法用于森林 类型的空间分布，对汪清林业局森林类型分布进行了模拟，模拟结果与实际调查 得到的森林分布图相比较，模拟精度达到了7 3 8 0 。 由前面的现状分析我们可以看到，条件模拟的应用非常广泛，但现有的文献 大都仅限于其方法的运用，而对其理论本身并未做探讨，因而方法的理论基础仍 较为薄弱。 1 3 研究内容 本论文的主要研究对象是序贯指示条件模拟方法，重点讨论序贯指示条件模 拟中关于指示变异函数以及指示模型的内容，最后通过对序贯指示模拟方法的应 用对方法的适用性进行了讨论。 1 4 论文的主要成果 本次研究主要是对序贯指示条件模拟方法做了研究，重点讨论了指数变异函 数及指示模型的内容，最后将这种方法用在了储层建模中。从这次研究中主要可 以得出以下结论： ( 1 ) 通过对序贯指示条件模拟方法和克立格方法用于具体的储层建模中所得到 的结果的对比，更加体现了克立格估计方法的平滑作用，而条件模拟方法则能 体现储层的不确定性。 ( 2 ) 变异函数是后面进行克立格估计及模拟的基础，通过选取不同的截断值， 指示化后得到的变异函数是不同的，我们得出要综合各种数据，合理选择截断 值。 ( 3 ) 通过对不同网格划分得到的不同模拟结果可知，网格的划分对于建模是非 常重要的，所以建模过程中要充分考虑已知信息，对于连续性较好的变量可以 适当划分较大的网格，而对于离散的变量，网格应该划分的应尽可能小。 ( 4 ) 通过将序贯指示模拟应用于储层建模中，得到多个实现结果，体现了这种 方法在储层建模中的适用性。 4 第2 章地质统计学的基本原理 第2 章地质统计学的基本原理 2 1 区域化变量理论 以空间点x 的三个直角坐标x 。，x ，x 。为自变量的随机场z ( x 。，x ，x 。) = z ( x ) 称为一个区域化变量。对区域化变量进行了一次随机观测后，就得到了它的一个 实现z ( x ) ，它是一个普通的三元实值函数，或者说是空间点函数。 区域化变量具有两重性：观测前，把z ( x ) 看作随机场；观测后，把z ( x ) 看 作一个空间点函数，很多地质变量都可以看作是区域化变量。区域化变量能同时 反映地质变量的结构性与随机性，区域化变量还具有如下地质学特性： ( 1 )空间局限性：区域化变量往往只存在于一定的空间范围内，这一空间称为 区域化变量的几何域，并且区域化变量是按几何承载来确定的； ( 2 ) 不同程度的连续性：不同的区域化变量具有不同程度的连续性； ( 3 ) 不同类型的各向异性：区域化变量如果在各个方向上性质相同，则称为各 向同性，否则就称其为各向异性。地质变量往往是各向异性的，因此，由 区域化变量不同类型的各向异性，可以很好地反映出地质变量不同类型的 各向异性。 由于区域化变量具有以上这些不同于纯随机变量的特殊性质，因此只用经典 概率统计方法来计算显然是不够用的，于是产生了地质统计学所特有的协方差及 变异函数。 2 2 协方差函数和变异函数 2 2 1 协方差函数 对于给定的随机函数 z ( x ) ：x 研，将埘( x ) = 研z ( x ) 称为该随机函数的数 学期望或均值。它反映了该随机函数在空间的平均变化情况，有时又称之为趋势 面。为了刻画该随机函数空间相关性，引入协方差函数： c o v 【z ( x ) ，z ( x + 乃) 】= e 【z ( x ) - e z ( x ) 】【z ( x + 办) 一互z ( x + 知) 】 ，、，、 = e z ( x ) 一埘( x ) 】 z ( x + 办) 一，竹( x + 办) 、。1 该协方差函数反映了随机函数z ( x ) 在滤掉趋势面之后在空间两个位置x 和 5 成都理工大学硕士学位论文 x + 办值之间的相关程度或相似程度。具体来讲，若令s ( x ) = z ( x ) 一所( x ) 表示随机 函数z ( x ) 滤掉趋势面聊( x ) 之后的误差，则协方差表达式( 2 - 1 ) 可改写成 c o v z ( x ) ，z ( x + 办) 】= e 【s ( x ) 占( x + 乃) ( 2 - 2 ) 由此可见，当占( x ) 0 且增大时，若占o + 办) 0 且增大，即有 c o v 【z ( x ) ，z + 办) 】 o 且取较大的值，这说明z ( x ) 在空间位置x 和x + i i 2 取值有正 相关性。反之，若占( x ) 与占( x + ) 二者符号相反，从而说明z ( x ) 在空间位置x 和 x + 乃取值有负相关性。这说明了( 2 1 ) 定义的协方差函数确实反映了随机函数 在空间的相关程度。 如果假定随机函数z ( x ) 在空间的变化是平稳的，即研z ( x ) 】_ 聊( x ) = 聊。此 时均值为一常数m ，即z ( 功在空间的变化没有明显的趋势，而是围绕着m 值上 下波动，( 2 1 ) 可写成 c o v 【z ( x ) ，z ( x + 乃) 】= e z ( x ) 一聊】 z + 五) 一聊】 ( 2 3 ) 即c o v z ( x ) ，z ( x + 办) 】= e z ( x ) z ( x + 厅) 卜聊2 亦可写成 c ( x ，办) = e z ( x ) z ( x + 办) 卜朋2 ( 2 - 4 ) 若进一步假设协方差表达式( 2 - 4 ) 是平稳的，那么c ( x ，办) = c ( 而) ，即协方 差表达式不依赖于空间绝对位置x 和x + 办，而依赖于相对位置乃，或者可以说协 方差函数具有空间的平稳不变性。这时就有 c ( 办) = e z ( x ) z ( x + 办) 】一聊2 ( 2 5 ) 除了用协方差函数来刻画z ( x ) 的空间相关性之外，地质统计学中另一个更 常用的工具是变异函数。 2 2 2 变异函数理论 变异函数是区域化变量空间变异性的一种度量，它反映了空间变异程度随距 离而变化的特征。变异函数强调三维空间上的数据构形，从而可以定量地描述区 域化变量的空间相关性，它是地质统计学所特有的基本工具，也是进行地质统计 学计算的基础。变异函数既能描述区域化变量的结构性变化，又能描述其随机性 6 第2 章地质统计学的基本原理 变化，在条件模拟中变异函数也同样有着非常重要的作用。 一维条件下对变异函数定义如下：当空间点x 在一维x 轴上变化时，把区域 化变量x 与x + 办处的值砸) 与z ( x + 办) 的差的方差之半定义为区域化变量z 在x 轴方向上的变异函数，并记为： 1 7 ( x ，办) = 胁 z ( x ) 一z ( x + 办) z ( 2 6 ) 11 = 去e z ( x ) 一z ( 工+ 办) 】2 一去 e z ( x ) 一z ( x + 厅) 】) 2 二二 从公式( 2 - 6 ) 中可以看出，y ( x ，乃) 一般是依赖于x 和办两个自变量的。如 果y ( x ，办) 与x 的取值无关，只依赖于办，则可把变异函数7 ( x ，办) 写为厂( 乃) 。 公式( 2 6 ) 只是一个理论数学表达式。根据数理统计知识，要想估计数学 期望研z ( x ) 一z + 办) 】2 以及研z ( x ) 一z + 办) 】的值，就要通过z ) 和承x + 办) 这 一对区域化变量的多次实现来得到，但是在实际工作中不可能对同点采取多次采 样，只能得到一对这样的数值z ) 和z ( x + 办) 。为了解决这个问题，就需要对z 做一些假设，最常用的是二阶平稳假设和本征假设( 或称内蕴假设) 。 ( 1 ) 二阶平稳假设： 当z ) 满足下列条件时，则称z ) 满足二阶平稳：在整个研究区域内，区 域化变量z ) 的数学期望存在并等于常数，即e l z ) 】= 所；z ) 的协方差函数 存在且相同，由此可得： c o v 【z ( x ) ，z ( x + 办) 】= e z ( x ) z ( x + 厅) 】一e z ( x ) 】e 【z ( x + 办) 】 = 研z ( 功z + 彬卜朋2 箩( 办) ，坛，v 办 ( 2 7 ) 当乃= 0 时，式( 2 7 ) 就变为： 玩， z ( x ) 】= c ( 0 ) ，忱 即方差存在且为常数。 在二阶平稳的假设被满足的情况下 2 7 ( 办) = e 【z ( x ) 一z ( x + 办) 】2 = e z ( x ) 】2 + e z ( x + 厅) 】2 2 e z ( x ) z ( x + 厅) 】 由于c ( o ) = 肠n z ) 】= e 【z ( x ) 】2 一 e z ( x ) 】 2 = e z ( x ) 】2 一所2 ，坛 故有 e 【z ( z ) 】2 = c ( 0 ) + 聊2 7 ( 2 8 ) 成都理工大学硕士学位论文 由于x 点是任意的，将x 换成x + 办代入上式得研z + 乃) 】2 = c ( o ) + 朋2 又由( 2 7 ) 式有 e 【z ( x ) z ( x + 办) 】= c ( 厅) + 聊2 将以上这些式子整理从而有关系式： c ( 乃) = c ( 0 ) 一7 ( 乃) ( 2 9 ) 这就是在二阶平稳条件下，变异函数) ，( 办) ，方差c ( 0 ) 以及协方差c ( 办) 三者 之间的关系式。由此可见，只要方差和协方差存在，则变异函数一定存在。 c ( o ) 必h ) 必呦= c ( o ) k 心芝 c ( ) = 0j 0口 图2 1 协方差与变异函数关系图 ( 2 ) 本征假设： 二阶平稳假设要求比较强，一般来说不容易满足，而本征假设相对来说要求 弱一些。当z ( x ) 的增量 z ( x ) 一z + j 1 2 ) 】满足下列条件时，则称z ( x ) 满足本征假 设：研z ( x ) 一z + 办) - 0 ，帆，v 办；增量 z ) 一z ( x + 办) 】的方差函数存在且平 稳( 即方差函数不依赖于x ) 。 由此可见，在地质统计学的实际研究中，区域化变量z ( x ) 通常做平稳假设或 本征假设，此时有研z ( x ) 一z + 厅) 】= 0 ，v 办，且与x 无关，则变异函数公式( 2 6 ) 变 为： y ( 办) = 去e 【z ( x ) 一z ( x + 办) 】2 ( 2 - 1 0 ) 两种假设相比较而言，二阶平稳假设较强，而本征假设较弱。满足二阶平稳 假设的区域化变量z 辑) ，必定满足本征假设；满足本征假设的z ) ，不一定满足 二阶平稳假设。 由公式( 2 1 0 ) 中可看出z 的增量只依赖于分隔它们的向量办( 滞后距) ， 而不依赖于具体x 的位置。变异函数y ( 乃) 随滞后距办变化的特征，表达了区域化 8 第2 章地质统计学的基本原理 变量的各种空间变异特性。这些特性包括影响区域的大小、空间各向异性的程度， 以及变量在空间的连续性。 在满足了二阶平稳假设或本征假设的条件下，就可以计算实验变异函数。实 验变异函数就是根据观测数据构造变异函数y ( 厅) 的估计值7 + ( 办) 。有了二阶平稳 假设或本征假设，孤) 的增量只依赖于分隔它们的向量厅，这时就可把在x 轴上 相隔为办的( 办) 对点薯和t + 乃( 扛1 ，2 ，( 乃) ) 处的( 办) 对值z ( z ，) 和 z ( x ，+ 办) ( 扛l ，2 ，( 办) ) 看成是z ) 和z ( x + 办) 的( 办) 对实现，则可用求算术平 均的方法来计算变异函数y ( j l z ) 的估计量7 ( 办) ，即实验变异函数的计算公式为： 厂( 彬2 赢挈z ( 乇o m ) 】2 ( 2 _ 1 1 ) 在实际情况中，选取实验变异函数的基本距离三作为步长，分别计算相距为 ，牡，3 三，础距离的实验变异函数值。一般来说，数据点对之间的距离 都不能很精确的满足条件，因此在步长距离和方向都分别给出一个容许的范围， 分别称之为步长容限和角度容限，如图2 2 所示，只要数据点对在这个范围内， 都可以用来计算实验变异函数。 图2 - 2 实验变异函数的计算 变异函数反映了区域化变量的许多重要性质，而它的各个参数也反映了各自 不同的作用，不同方向上的变异函数图则可以反映区域化变量的各向异性。图 2 3 为一个变异函数图，下面以图2 3 为例，介绍一下变异函数的几个参数： 图2 3 变异函数图 9 h 成都理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 变程口 在图2 3 中，口即为变程。通过变程可以反映变量的影响范围，在变程范围 内，变异函数7 ( 乃) 随着的增大而增加，当的值增加到口时，变异函数值就 稳定在了一个极限值y ) 附近。变程的这种特性表达了区域化变量在变程范围 以内，数据具有相关性，在变程范围以外，数据之间不相关。 ( 2 ) 块金常数c 0 ) ，例在原点处间断，即虽有y ( o ) = 0 ，但是其极限值不为o ，也就是 锄) ，例= c d d ，这里c 。就称为“块金常数”。变异函数在原点处间断，就称为 “块金效应，它反映了变量的连续性很差，甚至平均的连续性也没有了，即使 在很短的距离内，变量的变异性也很大。块金常数c 0 的大小可以反映区域化变 量的随机性大小，c 0 越大，区域化变量的随机性就越大。 ( 3 ) 基台值c o + c c 0 + c 为基台值，它代表变量在空间上的总变异性大小，是变异函数在厅大 于变程时的值，即最大滞后距可迁性变异函数的极限值。在满足二阶平稳假设且 c ( ) = o 的条件下，有y ) = c ( 0 ) = 肋【z ( x ) 】，这表示基台值为z ) 的先验方 差，但如果不满足二阶平稳假设，这个关系式就不成立。也就是说，基台值的大 小和先验方差不一定相等。 不同方向的变异函数可反映变量的各向异性，特殊的，如果各个方向的变差 图y ( 厅) 基本相同，则认为z ) 为各向同性，否则为各向异性。各向异性又可分为 几何各向异性和带状各向异性。如果变异函数在空间各个方向上的变程不同，但 基台值相同( 即变化程度相等) ，则称其为几何各向异性，这种情况能用一个简 单的几何坐标变换将各向异性结构变换为各向同性结构。如果不同方向的变异函 数具有不同的基台值，则称为带状各向异性。实际地质变量往往具有这种各向异 性结构，这种情况不能通过坐标的线性变换转化为各向同性，因而结构套合是比 较复杂的。 2 2 3 变异函数的理论模型 通过变异函数可以有助于解决区域化变量的变化及结构性状问题。对区域化 变量进行结构分析，其主要内容就是计算实验变异函数，然后拟合一个理论变异 l o 第2 章地质统计学的基本原理 函数的模型，这些模型将直接参与克立格法的估计运算中。各种变异函数的理论 模型是从区域化变量的空间变异性的特点中抽象归纳出来的，对这些理论模型的 研究，有助于求得最能体现区域化变量的空间变异特性的变异函数。常用的变异 函数的理论模型有以下几类： ( 1 ) 球状模型： 球状模型是非常常用的一种模型，它的公式为： y ( 厅) = 其中c o 为块金常数，c 0 + c 为基台值，口为变程。靠近坐标原点，该模型接 近于直线形状。该模型称为可迁的，因为在有限的变程内，它可以达到基台值， 该模型图示如图2 4 。球状模型是一种较常用的理论变异函数模型。该模型可做 这样的解释，在三维空间中，相距为h 的两个位置，他们的相互影响大小是以该 两个位置为中心，做半径为a 2 的两个球体，其相交部分的大小来度量的。很显 然，当两个球体中心位置相距大于a 时，说明两个位置之间不产生影响。 ( 2 ) 指数模型： 它的一般公式为： f0办= 0 7 ( 功2 t c 。+ c 一口( 弓 办 。 ( 2 - 1 3 ) 当办= 3 口时，y ( 办) c 0 + c ，故其变程为3 口，见图2 5 。 ( 3 ) 高斯模型： 7 ( 功= 当办= 3 口时，7 ( j i z ) c o + c ，故其变程为3 口。当c 0 = o 时，该模型接近 原点的形状类似于抛物线，这也是该模型与球状模型和指数模型的主要区别。这 一特点保证了该模型刻画的随机函数具有较好的连续性，然而，在实际问题中， 该模型的这一特点也常常导致了其不稳定的特点，其示意图见图2 6 。 ( 4 ) 幂函数模型： 与幂函数模型相应的区域化变量以为既无协方差函数，也无先验方差，只 有变异函数存在，它的公式为： y ( 厅) = 乃4 ， o 口 木木p r d 6 z 0 z i ( 即+ 一1 ) 因此联合分布完全由一系列如下的n 个单变量累积条件分布函数唯一确定： 2 0 第2 章地质统计学的基本原理 z l p r d 6 z l z 1i ( 刀) ； z 2 p r d 6 z 2 z 2i ( 以+ 1 ) ) ； z p r d 6 z z 。l ( + 一1 ) 通过给定的力个原始数据，从z l 的累积条件分布函数中抽取一个样本z 。， 将z 。作为新的条件数据加入到原始数据中，