（应用数学专业论文）一类二阶时滞微分方程解的有界性与平方可积性.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 一类二阶时滞微分方程解的有界性 与平方可积性 摘要 微分方程是1 7 世纪与微积分同时诞生的学科，是联系物质科学乃至社会科 学与数学科学的主要桥梁在上个世纪的九十年代由于科学技术的飞快发展， 特别是计算机和互连网广泛普及，微分方程更是得到长足的进步它在图象处 理。浓雾密度分析，分子进化和基因序列中都有广泛的应用本文所研究的二 阶非线性时滞微分方程的有界性和平方可积性；矩阵微分方程的振动性等理论 都是微分方程理论中的重要分支，它们具有深刻的物理背景和数学模型，这些 理论在应用数学中得到了迅速的发展和广泛的重视 根据内容本文分为以下四章， 第一章概述了本文研究的主要问题 第二章在本章中我们将研究一类二阶非线性时滞微分方程 n c p c t ) z ( ) ) + o ( t ) ，( z 7 ( t ) ) + 6 ( t ) g ( 。( ) ) + 6 ( t ) z ( t 一 ) = 0 ( 1 1 ) l = l 解的有界性和平方可积性 第三章在本章中我们将研究一类带强迫项的二阶非线性时滞微分方程 ( r ( t ) z ( t ) ) + p ( t ) p l ( 一( t ) ) + q l c t ) x c t ) + q 2 ( t ) q a ( z ( t 一7 ，) ) = f ( t ，z ) ( 2 1 ) 解的有界性和平方可积性 第四章在本章中，我们讨论矩阵微分方程 m y ”- 4 - l ( t ) y + q ( t ) y = 0 ( 3 1 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 解的振动性其中0 ( 0 ，y ( t ) 为n 阶实连续矩阵。并且q ( t ) 是对称的，( t ) 是 纯量实连续函数 关键词；振动性，有界，平方可积性非线性微分方程， 矩阵微分方程 曲阜师范大学硬士学位论文 q u a d r a t i ci n t e g r a b i l i t ya n d b o u n d e d n e s so f t h es o l u t i o n sf o rs e c o n do r d e rd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , a l ls o r t so fn o n - l i n e a rp r o b l e m sh a v ed e r i v e df r o mm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y a n ds oo n o nt h eo n eh a n d ，m a n yn o n l i n e a rp r o b l e m sc o m ef o r t ha l lk i n d s o fa p p l i e ds u b j e c tw h i c ha t t r a c t sm a n ys c h o l a r st os t u d yt h e m o nt h eo t h e r h a n d ，g r e a tc h a n g e so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v et a k e np l a c ei ns e v - e r a ld e c a d ey e a r s i t sp o w e r f u la n df r u i t f u lt h e o r e t i c a lt o o l sa n da d v a n c e d m e t h o d sh a v eb e c o m er i p es t e pb ys t e p t h et h e o r yo fn o r m a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ni so n eo fi m p o r t a n tb r a n c h e s o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h ef i e l do fm o d e r na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，i th a s m a d ec o n s i d e r a b l eh e a d w a yi nr e c e n ty e a r s ，b e c a u s ea l lt h es t r u c t u r eo fi t s e m e r g e n c eh a sd e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dr e a l i s t i cm a t h e m a t i c a lm o d e l t h et h e s i si sd w i d e di n t of o u rs e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，p r e f a c e w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ew i l la c q m r e ds o m en e wc r i t e r i aa b o u tt h eb o u n d e d n e s s a n dq u a d r a t i ci n t e g r a b i l i t yf o rs e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n n ( p o ) z ( t ) ) + n ( t ) ，( 一( t ) ) + 6 ( t ) 9 ( z ( t ) ) + c z ( t 一 ) = 0 ( 1 1 ) s = l t h er e s u l t so b t a i n e de s s e n t i a l l yi m p r o v ea n de x t e n dt h o s eo fs o m eo t h e rp a - p e r s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa b o u ti t st h e b o u n d e d n e s sa n dq u a d r a t i ci n t e g r a b i l i t y ( r ( t ) x ( t ) ) + p ( t ) p l ( 一( t ) ) + q l ( t ) x ( t ) + q 2 ( t ) q 3 ( x ( t r ) ) = f i t ，茹) ( 1 1 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eb o u n d e d n e s sa n dq u a d r a t i ci n t e g r a b i l i t yo f ( 1 ) a r eo b t a i n e d a tt h el a s tc h a p t e r ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ea r eg i v e na b o u tt h e o s c i l l a t i o no fs e c o n do r d e rl i n e rm a t r i xd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s t e mm y h + f ( t ) y + q ( t ) y = 0 t h er e s u l t sc a l l b er e g a r d e da se x t e n s i o no fr e s u l t so f k a m e n e vi nt h es e a l a rc a s e k e y w o r d s ： o s c i l l a t i o n ；s e c o n do r d e r m a t r i xd i f f i e r e n t a le q u a t i o n b o u n d e d n e s s ；q u a d r a t i ci n t e g r a b i l i t y 第一章绪论 近代物理学和应用数学的发展。非线性微分方程理论的重要性日益显现， 不仅在工程技术、航天技术以及自动控制等领域中有重要应用，而且在计算机 科学，人口动态学和金融等领域中也成为不可缺少的工具因此，微分方程理论 引起国内外学者的研究兴趣，其基础理论及应用性意义越来越被人们所注意 近年来，微分方程理论得到了长足的发展 常微分方程定性理论是微分方程理论的重要组成部分，特别是有界性，平 方可积性，振动性理论又是定性理论的重要分支近十几年来，大批学者对微 分方程解的这些性质进行了深入的探讨，这在很大程度上归因于微分方程在应 用方面的重要价值，伴随着在物理学，生物学、生态学和社会学中新现象的不 断涌现，微分方程的应用范围也日益扩大 本文的目的在于对微分方程的解的有界性振动性平方可积性作进一步的 研究这些结果充实了微分方程的定性理论 本文是在微分方程解的有界性，平方可积性，振动性方面所做的研究工作， 根据内容的需要，共分为四章： 第一章，概括的论述了本文的整体结构和主要内容 第二章，我们研究了二阶非线性时滞微分方程 n ( p ( ) 一( t ) ) + n ( t ) ，( 一( t ) ) + 6 ( t ) 9 0 0 ) ) + 芝二c i ( ) z o 一 ) = 0 ( 1 1 ) i = l 解的有界性和平方可积性其中n ( ) ，岛( t ) ，g ( t ) 均为连续函数，6 ( t ) ，p ( t ) 均可导，p ( t ) 0 ，r 0 为常数 第三章我们研究了带强迫项的二阶非线性时滞微分方程 ( r ( ) ( ) ) + p ( ) p l ( 一( t ) ) + q l ( t ) z ( t ) + 口( t ) 驰( z 0 一r ) ) = ( t ，z ) ( 1 1 ) l 第一章绪论 解的有界性和平方可积性 第四章我们主要考虑如下微分方程解的振动性 m y ”+ f ( t ) y + q ( t ) y = 0 ( 1 1 ) 其中q c t ) ，y ( t ) 为n 阶实连续矩阵，并且q ( t ) 是对称的“t ) 是纯量实连续 函数系统( 1 ) 的解y ( t ) 称为非平凡解，如果至少存在一个t t o ，o o ) ，使得 d e t y ( t ) o ；系统( 1 ) 的解y c t ) 称为预备解，若y ( t ) y 他) = ( y ) ( t ) y ( t ) 其 中y ( t ) 表示矩阵的转置系统( 1 ) 称为振动的，若对于任意大的t t o ，若 系统( 1 ) 的每一个非平凡预备解的行列式d e t y ( t ) 在口，0 0 ) 存在零点否则称 为非振动的 2 第二章二阶非线性时滞微分方程解的有界性 和平方可积性 2 1 引言 以前许多学者对于二阶微分方程解的有界性和平方可积性进行过研究例 如文【1 】中研究了下面方程的有界性 矿4 - 0 2 ( t ) = 0 文【2 】推广文( 1 ) ，研究了的下面方程有界性 ( p ( t ) 一( t ) ) 一q ( t ) z ( t ) = 0 文【3 1 研究了下面两个方程的性质 旷( t ) 4 - n ( t ) ，( g ( t ) ) + b ( t ) y ( t 一_ r ) = 0 矿( ) 4 - a c t ) f ( y ( t ) ) + b c t ) g ( y ( t 一下) ) = 0 文【4 】研究了带有滞量二阶微分方程， z ”( t ) + o ( t ) 一( t ) 4 - 6 ( ) z ( t ) + c ( t ) l ( x ( t 一_ r ) ) = 0 本文主要目的是推广上述工作，考虑下列微分方程 ( p ( t ) 一( t ) ) + d ( t ) ，( z ( t ) ) + 6 ( t ) g ( t ) ) + c i ( t ) 。o 一五) = o t t o ( 1 1 ) t = l 3 第二章非线性二阶时滞微分方程的有界性和平方可积性 其中n ( t ) ，c i ( t ) ，g ( t ) 均为连续函数，6 ( t ) ，p ( t ) 均可导，p ( t ) 0 ，r 0 为常数所得结果推广了文【i - 4 中的相应结果 2 2 主要结果 定理1 1 若系统( 1 1 ) 满足下列条件： ( 1 ) 6 ( t ) p ( t ) 0 ，( 6 ( t ) p ( t ) ) 0 ，存在d ( t ) 黼，d ，( t ) 0 并a 躁d ( s ) d s o o ； ( 2 ) g ( o ) = 0 ，掣a ，其中8 0 ，a 是大于零的常数； ( 3 ) a ( t ) p c t ) 0 ； ( 4 ) f ( y ) s g n c y ) 0 则系统( 1 1 ) 的一切解在f t o ，+ 。o ) 有界 证明；为方便其见，我们记o = a ( t ) ，a ( t ) 为任意的函数 首先作变换； i 一( t ) = 暑，( t ) ， i 矿( d ：一；9 ( z ( 幻) 一；，( y ( ) 一吾! ，( 一至兰掣1 2 则方程( 1 1 ) 的解等价于( 1 2 ) 的解 设z ( t ) 为系统( 1 1 ) 的任一解取 忡) = 2 z o z ( t ) g ( s ) d s + 壶帅】2 + ) 壹；= 1 厂t - - 。拍) 幽( 1 3 ) 4 血阜师范大学硕士学位论文 则 ， y ，。) ：2 9 。( t ) ) 掣( t ) + 望! 羔垒l 掣一( v d 矿) v v 1 2 n e t n + d ，f x 2 ( s ) d s + d 挪) 一x 2 ( t n ) l t = lj i r - i = l 锄( 删叶哿胁m 睁似啪一扣啪 一知一鱼警幽 】 ( 1 t ) 一譬：( + n 出。( t ) 一妻出。( t 一兀) + d ，妻f z ：( s ) 如。 l - l l = lj t q 2 a p v ( t ) ，0 ( t ) )2 y ( t ) n = 1 【c l z 0 一几) 】 2 一i 一一f 一 o p d 一鲤铲+ 嘻f 。以s ) d s + d 砉阮”一以t 一训 再由条件( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 知； 一! ! ：旦：缨：地蚴 a o ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( a ) 当z 0 ，夕( z ) 2a z ， 。f f g ( t ，出。f o 。a t 出= a z 2 ( b ) 当z 0 ，g ( z ) a z ， 2 f 0 2 9 ( d 出= 2 z 。【一g ( t ) l 出2 z 。( 一射) 出= a z 2 由( a ) ( b ) 知，无论x 为何值，均有 2 g ( s ) d s a z 2 ( 1 8 ) 6 曲阜师范大学硬士学位论文 所以对方程中任意解z ( t ) 以t ) 玎小) d 8 却 ( 1 9 ) 所以 y ，( t ) 旱d ( t ) y ( t ) ，t t o ( 1 1 0 ) 对( 1 1 0 ) 两边从t o 到t 积分得t 忡斛俐f 掣d s l 州u 吲f t o 掣酬 佃j 如 ， 、 因此由( 19 ) ( 1 1 0 ) 得 识t ) 0 ，d ，( t ) s0 并且 h a ( t ) 二型堂灶翊巫罕匝婴圃婴 其中a 为常数 ( 2 ) 9 ( o ) = 0 ，华a ，s 0 ( 3 ) a ( t ) p ( t ) 芝0 f 4 1 f 赤e 印眨紫酬舨佃 7 第二章非线性二阶时滞微分方程的有界性和_ 平壹里! 塑! 丝 则系统( 1 1 ) 的切解在【t o ，0 0 ) 上平方可积 证明：取辅助函数 忡) = 2 功z 0 叫如) d s + 咖( t ) 1 2 + d 砉( 。矿( s ) d s i t 2 如 ( 1 1 1 ) j 。一ij l 一矗 则 f x t ) v ( t ) = 2 ( 劬) g ( s ) d s + 2 ( 幼) g c z c t ) ) y c t ) j 0 + 咖州t ) + 小器舯) ) 一器m ) 一芝可一显删】+d，壹挪)一z2(tr(i)1pp 。 “l 。- ，。 。=l 由条件( 2 ) 知 搠；f 叫g ( 。) d 。 j 0 如2 ( t ) t 2 d 尸9 ( s ) d s ，引。， 故v 也蚓c 圳 4 - - 盯c n g ( s ) d s + 学 ( t ) 【( 6 p ) + 鱼型i f 生 每甄2 + n d 2 + a a ( b p ) f o 。( o z 小) d s 】 再由( 1 ) 中的条件 删 0 ，t 【口，+ o 。) ，r ( t ) 是【口，+ o 。) 上的绝对连续函数 p ( t ) ，q l ( t ) ，q 2 ( t ) ，是定义在【口，+ o o ) 上实连续函数，p l ( z ) ，9 3 ( z ) 是定义在 ( 一0 0 ，+ o o ) 上的实函数，并且 p t ( x ) 满足l p l ( z ) f ，0 k + q 3 ( z ) 满足i 口3 0 ) i l f z f ，0 o , x , y e 【。，+ 。o ) 引理： 。 假设u ，p ，口c 【口，0 0 ) 是非负函数，并且满足如下不等式： ( 2 3 ) ( 2 4 ) ”( t ) + z p ( s ) ”( s ) d s + z 口( s ) 【”( 圳d s ， ( 2 5 ) t o ，v o 0 ，r ( 0 ，l 】 则对于t 2a 有 卜) e 印( f l i p ( 卅如) m 忙1 ， 卜) e 印( 厶s ) d s ) 盼 ( 2 6 ) 【+ ( 1 _ r ) 小棚( p _ 1 ) p ( s ) d s ) d r 】击 0 0 ( 2 ) q = q l r + q l r + 2 p q t k o ，6 ( t ) = 器 0 ，是一非增函数 ( 3 ) f 掣出 o o ，f 伸h _ l g ，_ d t 0 0 ，f y b ( t ) d t o o ( 4 ) b l ( 。) isg l x l ，0 k o o ，i 卯( z ) i 工i $ i ，0 0 ，r 0 ，q l 0 ，啦 0 ( 2 ) r 型型出等皿二业出 o o ，r q i ”r “d t o o ， fq p _ r n 9 2 p 一1 d t o o ，fq l 一2r t h ( t ) d t o o ( 3 ) l p l ( z ) i k l z l ，0 七 o 。，i q 3 ( z ) i l l x l o 2 1 则方程( 2 1 ) 的一切解平方可积 证明：对方程的任意解，取辅助函数 y ( t ) = g m r “z 2 + g p 一1 r 1 z 彪+ b ( s ) x 2 ( s ) d s( 2 1 3 ) ，c t f 则由( 2 1 ) ( 2 1 3 ) 得； 第三章一类带强迫项二阶非线形微分方程解的有界性和平方可积性 v ( t ) ；( 口r r “) 矿+ 2 q ? 一1 r “+ 1 。+ 2 口m r “2 + ( m 一1 ) q p 一2 西r “+ 1 护 + ( n + 1 ) 卵一1 r ”r z 璧+ b i t ) x 2 ( t ) 一b ( t r ) 。2 i t r ) = ( 卵r “) z 2 - 4 - 2 q r 一1 r “x f i t ，z ) 一q 2 q a ( x ( t r ) ) 一p p l ( x i t ) ) 一r 一】 + ( n + 1 ) 口p 一1 r “r 。心+ ( m 一1 ) 口r 一2 西r “+ 1 护 4 - b ( t ) x 2 ( t ) 一b i t r ) x 2 一r ) ，( 2 1 4 ) 由( 2 2 ) 1 2 1 4 ) 得。 v ( ) = ( 口? r “) z 2 + 2 q r r “i x i g ( t ) 一2 口p 一1 r “( 一) 2 p p l + ( ，l 一1 ) g r 一1 r “r 护+ 2 q p 一1 q 2 r “i x i i x ( t r ) i - 4 - 2 9 p 一1 r “i i l x l 。h ( t ) + b ( t ) x 2 ( t ) 一b ( t r ) x 2 0 一_ r ) ( 2 1 5 ) 利用不等式( 2 3 ) 1 2 4 ) 和( 2 1 5 ) 式， v i t ) ( q p r ”) z 2 一卵一1 r “耐，尹- 4 - ( n 一1 ) g r 一1 r “r 3 尸 + b ( t ) x 彪( t ) 一b ( t ) x 2 ( 一7 - ) + b i t ) x 2 ( t ) 一b ( t r ) z 2 0 一r ) - 4 - 2 q f _ 1 r n i l x l o ( t ) ( 2 1 6 ) 由( 2 1 3 ) ( 2 1 6 ) 和条件( 2 2 ) 知； v o ) ( q l r n r “) z 2 ( t ) + 【( n 1 ) q p 一1 r 4 r ，+ 口r 一1 r “q 2 x 2 + b ( t ) x 2 ( ) - 4 - q p 一1 r “9 2 p 一1 + 2 口p 一1 r “k l 。i z i 竺! 二堑! 堕生型y ( t ) q m r n 、 + ! ! l 二三b 号；至弓警y ( d + 口m - l r n g 砀- t + 2 q p l r “l z l 。l i 盟塑兰堕! 等纂磬坐生翌竖忡) ：而万矿一u u 1 - q m ! - 1 ，n 9 2 p 一1 + 2 q p - l r z i 。i z i ，( 2 1 7 ) 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 利用( 2 1 3 ) ，我们得到。 i x ls 口i 孚r 一 t ，柏，刚口f 孚r 一学t ，蛔( 2 1 8 ) 由( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 我们得； 州s 堕业塑竺爷筘坐堂啡) + q p l r n 9 2 p l + 2 9 r ； l + 。a ( t ) ，( 2 1 9 ) 对( 2 1 9 ) 式从t o 到t 积分得 yct，c，+-e!五二-=蔓三!生!=。；二业y(s，ds+1 2 9 r _ l t ，l 。a 。( s 。) 。d ，8 其中v o = y ( o ) + j 孑q r _ 1 r “夕2 p - 1 d t 由引理我们得到： 忡) 鲰印f 【业地篙竽均 r h i d s ，删， 忡) e 圳f 唑垫等掣d s ) ) 【泸+ 字2 9 r ； ( 引 j 如 p ( r 孚堕坐等掣州d s l 击，( 2 m ) 0 o t t o ，若 系统( 1 ) 的每一个非平凡预备解的行列式d e t y ( t ) 在【t ，o o ) 存在零点否则称 为非振动的 ( 2 ) 三个引理； 引理3 1 ：若a ( t ) 是n 阶非奇异矩阵，则q ) = - a 一( t ) ( a ( ) ) 7 a “( t ) 引理3 2 ：设a ( t ) 为n 阶实对称阵，则( t r a ) 2 n 打a 2 引理3 3 ：和的下极限大于等于下极限之和 4 2 主要结果 定理3 1 若存在实数o ( 1 ，o o ) 和一个正连续可微函数p ( t ) ，使得 i m s u 磅小 ( t 刊叫栅) 一等p ( 州( t 一- r ) ，( r ) + 。( 一r ) 孚一m 哿 一下闱2 打 第四章矩阵微分方程解的振动性 则系统( 3 1 ) 解是振动的 证明： ( 反证) 假设( 1 ) 有个预备解是非振动的，不妨设 d e t y ( t ) 0 ，t 如 令 v ( t ) = m p ( t ) y 讹) y _ 1 ( t ) 则对v ( t ) 求导，并利用引理( 3 2 ) 得t v ( t ) = m p ( t ) y 7 ( t ) y 一1 ( t ) + m p ( t ) y ”( ) y 一1 ( t ) + 肘( t ) y ( ) ( y 一1 ( t ) ) = m p ( t ) y ( ) y - 1 ( ) + m p ( t ) y ”( t ) y 一1 ( t ) 一 z ( ) ( y ( t ) l ，一1 ( t ) ) 2 在方程 m y ? | 七f ( t ) y l 七q ( t ) y = o 两端同乘以y ( t ) 的逆矩阵的 m y ”y 一1 ( t ) + ，( t ) y y 一10 ) + q ( t ) = o p ( t ) m v ”y - 1 ( ) + p ( t ) f ( t ) y y - 1 ( t ) + p ( t ) q ( t ) = o 作变换得 p ( t ) q ( t ) + m ( t ) y ( t ) y 一1 ( t ) + p ( t ) m y ”y 一1 ( t ) 一m p ( t ) ( y 7 ( ) l ，一1 ( t ) ) 2 + l 厂( t ) 一 z 簧筹】p ( t ) y ( ) y 一1 ( ) + m 赤矿( t ) ( 】，( t ) y 一1 ( t ) ) 2 = 0 由 v ( t ) = m p ( t ) y ( t ) y - 1 ( t ) 的定义知， 上式可化为。 砟川( t ) 坝卜m 鬻1 等+ 器= 。 曲阜师范大学硕士学位论文 对于上式在t 8 t o 上积分有t ，t一 ( t r ) o d r + ( t r ) o v ( t ) d r + ，。( h 坤) 一m 鬻】等打+ ，( ) 。器打- o ( 3 。) 利用分步积分法 ( t 一下) v ( t ) d r = ( t r ) 。d v ( r ) = 一( t - 9 川s ) + a ，( t 叫”1 忡) 氓( 3 4 ) 将( 3 4 ) 带入( 3 3 ) 得： ( # 一下) 。d r 一( t 下) 4 y ( s ) + 口o r ) 。一1 v ( t ) d r + ! ( m i f ( m 锋等，( ) o 器打_ o ( 3 s ) 由( 3 5 ) 式可得5 ：m 叫叫r 俐一掣配叫训 一m 哿( h 肌叫学一 d r = ( t - - 8 ) 。矿( s ) 一，而i 弓虿两 一7 - ) 2 矿( 7 - ) + 吖 复孕叭r m 一7 - ) 一m 瓮筹。一r ) 詈+ 口( t r ) 9 1 ， 2 d r ( 3 6 ) 因为v ( t ) 是对称的，从而上述( 3 6 ) 式后半部分积分的迹 “最赢( 缈埘华 川( ) 扎m 哿( h ) 善州h 闱胪打。 第四章矩阵微分方程解的振动性 由( 3 6 ) 和( 3 7 ) 得t ，州( 川t 。p ( r ) q c r ) - 掣吣州一肘哿卜r 户( 3 8 ) + n 0 一下) 照笋】2 i d r 0 一s ) 。t r y ( s ) 对( 3 8 ) 式两端同乘以石1 ，并令t - o o ，取上极限得t l i m s u p 刍序m 叫叫r ) q c r ) 一t m p ( r ) 心叫n ，( r ) 一m 哿( h ) + 。( t 下) 甲】2 ， 打1 1 罂s u p 去。二s ) 。打y ( s ) + o 。 与定理条件矛盾证毕 定理3 2 ；若存在实数o ( 1 ，o o ) 和一个正连续可微函数p c t ) ，一个连续 函数妒( t ) 使得下列三式成立： 如 黼u m s u p 刍胁赢”巾忡m ；华 ( 卜 哿( h ) 詈州h 闱舻打 显然 ，i 螂石1 f t 南卜下帅m 华 ( h 肛智( ) 詈州h 闱邛d r l i r ai n f 1 z t 州丽浠( ) 川r ) ) 2 + 刍小i f ( 下m 叫一m 智( h ) 詈州h 闱( 用州训3 1 3 ) 为简单起见，令 ) = 击一南”r m t ) | 叫 第四章矩阵微分方程解的振动性 即) = 刍序 ，( r m 叫扎m 哿( 舢叫譬打 则 l i m 碧f g ( t ) + h ( t ) 】 + 因为 f ”州赤俨) 打 有限或无限 下证 f 。州赤俨肌佃 反证，假设 f 。t r ( 赤俨舻佃 则 i i mc ( t 1 = + o o t - - + o o 考虑序列死，k = 1 ，2 ，3 瓦( t o ，+ o o ) 且l i m 。= + o o ( 3 1 4 ) 使得 h - + m 。【g ( “) + 日( “) 】= l i m 碧f g ( t k ) o o + 日( “) 】 斗 由( 3 1 3 ) 知，存在常数m ，使得 g ( t k ) + h ( t k ) m ( k = 1 ，2 ) ，( 1 5 ) 由( 3 1 4 ) 知， ，驻mg ( “) = + o o ，( 1 6 ) - 4 0 0 曲阜师范大学硕士学位论文 由( 3 1 5 ) 知， 耳l i + r a 。日( “) = 一0 0 ，0 7 ) 由( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 知，对充分大的k 有 ，+ 丽h ( t k ) 志 ； 矧 一2 ( 1 8 )g ( n ) 、 “7 由( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 知： 。勰= 慨( 1 9 ) 另一方面，由s c h w a r z 积分不等式和引理( 3 2 ) 。对任意的正整数k ， (h)jmjto哿( h ) + 2 ( 瓦) = 亍石 【，( r ) o r ) 一笔篙 ( t r ) + 1 七 ， p o ， a ( 一7 ，) 号童】( 瓦一r ) “2 t r v ( r ) d r 2 s 咧t - ，巧1 f t k j t o 俐倚) ( t 叫扎m 筹( t 叫g 州t 叫孚】2 d r 七p 、， 因此对充分大的k 有 勰毒f 时) 【，( 肛m 智( ) + 邮叫唧d r 由( 3 1 9 ) 式知道 i mt ：j 缸n 咖) 【，( h 肛m 智( h 肌邮叫唧打 = 士0 0 从而得出。厶= + 0 0 与f 3 9 ) 式矛詹 第四章矩阵微分方程解的振动性 成立 故 f ”高彬打 + o o 由( ，) 得 r 。箸幽f 。扣州打 佃 这与( 3 1 1 ) 式矛盾定理( 3 2 ) 证毕 参考文献 【l 】张炳根，一类二阶氍分方程的有界性。嘲，教学学报。1 9 6 4 ，1 ，第1 4 卷第一期 【2 】董建，非线性二阶方程的有界性。切，渝西学院报，2 0 0 3 年6 月第二卷第二期 【3 | 汤德全，非线性泛函徽分方程的有界性d 】，敷学杂志，2 0 0 1 ，2 1 ( 1 ) ：2 4 - 2 8 f 4 】巴英，一类带滞量的微分方程的有界性 j l ，江汉大学学报，2 0 0 4 年3 月，3 2 卷。 第一期 【5 】m e n gf a n w e l ，q u a d r a t i ci n t e g r a b i l i t ya n db o u n d e d n e s so fs e c o n do r d e rn o n h o m o g e - l l o n sh n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n j 】，s y s s c im a t h ，1 5 ：1 ( 1 9 9 5 ) 5 0 - 5 7 【6 1s u ny u a n g o n g ，m e n gf a n w e i ，q u a d r a t i cm t e g r a b i h t ya n db o u n d e d n e s sf o rt h es o l u t i o n o fs e c o n do r d e rn o n h o m o g e n o n sl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，( j l ta n n o fd i f fe q s ，1 8 1 ( 2 0 0 2 ) ，5 8 - 6 4 吲m e n gf a n w e i ，o nt h el i m i tc i r c l eo f s e c o n do r d e rn o n h o m o g e n o d i f f e r e n t i a le q u a t t o n a c t am a t ha p p l i c a t es i n i c a ，1 5 1 ( 1 9 9 3 ) ，5 4 - 6 5 1 8 】a 。gk a r t s a t o s ，o nt h em a i n t e n a n c eo fo s c i l l a t i o nu n d e rt h ee f f e c to fas m a l lf o r c i n g t e r n 州jd t f f e r e n t t a le q u a t l o n ，1 9 7 1 ，( 1 0 ) 3 5 5 - 3 6 3 【9 】z h a o 1 i n gm e n gf a n w e i ，q u a d r a t i ci n t e g r a b f l i t ya n db o u n d e d n e s sf o rt h es o - l u t i o no fs e c o n do r d e rn o n h o m o g e n o n sl i n e a r d z f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，【j 1 ，a n n o f d t f f e q s ，2 1 。2 ( 2 0 0 5 ) 2 2 9 - 2 3 5 【i 0 1 c h e ny o n g s h a o ，f e n gw e i - z h e n o s c d l a t i o no fs e c o n do r d e rn o n h n e ro d ew i t h i m p u l s e s 【j ljm a t ha n a l a p p l ，1 9 9 7 ，2 1 0 1 5 0 - 1 6 9 【1 1 】燕居让，应用敷学学报，1 9 8 7 ，1 0 ( 2 ) ：1 6 7 - 1 7 4 f 1 2 】c h e ny o n g s h a o ，f e n gw e t z h e n o s c i l l a t i o no fs e c o n do r d e rn o n h n e ro d ew i t h i m p u l s e s 【j ) jm a t ha n a la p p l ，1 9 9 7 ，2 1 0 1 5 0 - 1 6 9 【1 3 b a i n o vd de m i lm i n c h e vo s c f l