（计算数学专业论文）若干投入产出模型的研究.pdf

摘要 本文从最基本的确定性模型开始，首先讨论不带消费的投入产出模型的各种性质， 进而讨论了带消费的投入产出经济模型。在这些模型讨论中主要运用矩阵论等经典的 数学方法，并得到了许多好的结果。 然后，进步的考虑到在社会主义市场经济下，各种随机因素影响下经济运行的 规律。在不考虑固定资产投资的情况下主要讨论随机消费矩阵和随机消耗矩阵对经济 运行的影响；在考虑固定资产投资的情况下，主要考虑随机消耗矩阵对经济的影响。 在随机的情况下，主要运用概率论和随机过程的知识进行讨论。 f 最后，本文介绍了以后要做的工作。 。本文讨论了投入产出模型的各种性质，在实际生活中有很大的用处；给国家的宏观 调控提供了很好的理论指导。￥一“ 关键词： 趟费矩阵崩溃时间最大特征值投入产出模型 。一 a b s t r a c t f i r s t l y , w e d i s c u s st h eb a s i cm o d e lw i t h o u ts t o c h a s t i cf a c t o r s w ed i s c u s s t h e i n p u t o u t p u tm o d e l w i t h o u tc o n s u m p t i o na n dt h em o d e lw i t hc o n s u m p t i o n a n dw e m a i n l y s t u d y t h ea f f e c to f c o n s u m p t i o no ne c o n o m y w em a i n l ya p p l ym a t r i xt ot h em o d e l ，a n dg e t s o m e g o o d a n s w e r s e c o n d l y , w es t u d yt h ea f f e c to f s o m es t o c h a s t i cf a c t o r si nt h ef u n c t i o no fe c o n o m y w e s t u d yt h er o l eo f s t o c h a s t i cc o n s u m p t i o n i ns o c i a l i s tm a r k e te c o n o m y i nt h em o d e l ，w e m a i n l ya p p l yp r o b a b i l i t ya n d s t o c h a s t i cp r o c e s s f i n a l l y , t h ep a p e rg i v e so u t t h ew o r kt h a tw em u s ts o l v ei nf u t u r e k e yw o r d s ：c o n s u m p t i o n c o e f f i c i e n tm a t r i xt i m e o f c o l l a p s e m a x i m u m e i g e n v a i u e m o d e lo f i n p u t a n d o u t p u t i n v e s t m e n tc o e f f i c i e n tm a t r i x 若干投入产出模型的研究 1 1 背景介绍 第一章绪论 一九三六年里昂锡夫( 1 e o n f i e f ) 在经济与统计评论上发表美国经济体系中 的定量投入产出关系i l 】，在不断发展的经济分析领域内引起一场革命牡耶i ，他的这 篇论文可算是经济发展中的转折点，他本人也因此获得了诺贝尔经济学奖。实践也证 明投入产出模型是行之有效的解决经济均衡发展的方法之一【4 】。投入产出模型主要研 究经济体系的结构，以及经济系统内部各部门间互相影响，分析国民经济各部门之间 投入和产出的数量关系，是对国民经济进行综合平衡的经济数学方法。在我国首先由 华罗庚先生研究这个闯题。1 9 8 4 1 9 8 5 年期间，华罗庚生前所完成的最后一组论文计 划经济最优化的数学理论( i - ) 陆续在科学通报 上发表，使得投入产出模型 得到了各方面的重视，这方面的研究也活跃了起来。 华罗庚先生研究的模型主要针对确定性模型，这种模型在一定情况下有着比较好 的应用价值，特别是研究经济不受随机影响的情况有极好的的效果。但是，随着社会 发展，经济发展受着越来越多目前无法预测的髓机因素的影响。所以，研究经济在随 机因素影响下的运行规律有着重要的现实意义。陈木法教授和李勇教授首先研究该模 型；目前有许多学者加入了研究这种随机模型的行列中，并且取得了许多有价值的结 果。 本文第一章主要介绍背景知识及基本模型；第二章对基本的确定性模型进行介 绍；第三章主要研究随机因素对经济运行的影响：第四章主要研究带投资时滞的随机 投入产出模型，并指出今后要做的工作。 1 2 预备知识 下面介绍投入产出的部分模型。设国民经济体系划分为n 个主要产品部门，第 一年每个产品部门的产出的实物向量用一个n 维的行向量表示： x 。= ( 一l ，x ”2 ，一。) 称之为第一年的产综。 宣室堕窒堕蒌盔堂堡主堂垡丝塞 以x ( o 表示规划初期的投入产综。工( ”，( f - 1 , 2 ，行) 表示第i 个部门第一年的产 量，x ( 1 f 表示第i 个部门消耗第j 个部门的产品量a 称n 阶方阵彳= ( 口。) 。为结构方阵或消耗系数矩阵。其中： 嘞= 鲁， 1 f ，_ ，鲰 ( 1 - 1 ) 可知：= 鲁表示每生产一单位i 部门的产品直接消耗的第j 部门的产品数量。 本文中一般假设a 为非负不可约的结构方阵。 研究投入产出模型就是为了研究经济系统的发展变化，其实也就是为了研究产综 的变化规律： x ( o ) _ x ( 1 ) 辛z ( 2 ) 一_ x ( ) 寸。 在外界无投入，也没有消费的情况下，有： x 佃= x 妒0 ( 1 - 2 ) f l l 一年( 或者其它单位时间) 之后的产综是： x 1 = o 1 ) l ，2 ，一。) 、 这样把( 1 - 1 ) 代入( 1 - 2 ) 中即可得到： z 0 j = 口0 f x 0 0 ( 1 - 3 ) i t l 写成矩阵形式就为： 工( o ) = a x ( 1 ) ( 1 4 ) 或者 x ( + 1 ) ：x ( 彳= z ( o ) 一一( + 1 ( 1 5 ) 称( 1 5 ) 为不带消费的确定性投入产出经济模型。 如果考虑把每年各个生产部门增产的部分进行消费，就有以下模型： x + 1 = z o 【4 卅( ，一a ) + 】“1 l 0 ( 1 - 6 ) 其中， 表示每年的消费系数矩阵，且每年的消费系数矩阵不发生变化，即消费基本 上维持一定的水平不变。称( 1 - 6 ) 为带消费的投入产出经济模型。 若干投入产出模型的研究 如果考虑固定资产的投资( 因为在生产过程中固定资产必然要产生消耗，为了维 持必要的生产能力，必须要对固定资产进行投资) ，就会有以下的投入产出经济模型： l x 7 = x 川a h 1 + x h “一x p h 。l l ( 1 - 7 ) i = 1 其中，爿( 表示第t 年的投入产出消耗系数矩阵，b o 表示第r 年的固定资产消耗系数 矩阵( 也称投资矩阵) ，l 称为投资“时滞”。称此种经济模型为投资“时滞”为l 的 确定性投入产出经济模型。上面，我们介绍的只是部分模型；至于其它模型，在这里 就不一一介绍了| i l l 3 j 【l o m l l 2 0 1 。 本文将重点研究随机因素对经济的影响，即在随机因素下经济的运行规律。这也 是非常有必要的，尤其随着社会的发展，各种无法预测的因素对经济的影响越来越大， 单纯的用经典的数学方法无法精确的描述经济的运行情况，此时，研究随机的经济模 型就尤为重要。 南京航空航天大学硕士学位论文 第二章确定性的投入产出模型。 2 1 不带消费的投入产出经济模型 或者 主要介绍基本的投入产出经济模型的主要结论。考虑如下模型 彳( o ) = a x 1 ) x ( + ) ：x c 。) 爿= z ( o ) 彳一( + 1 由这个模型知：只要知道初始年的产综，就可以推测出以后任一年的产综，具有 比较好的预测性。华罗庚先生研究了这个模型，并得到了许多结果。 定义2 - 1 称n 阶非负方矩阵爿= ( a 。) 不可约，当且仅当对于任意的 i ，存在有限个i l ，f 2 ，使得 n n 。n ：n j 日。 定义2 - 2 令r = m i n t l ：存在，使得z ? o ) ，称r 为经济崩溃时。 性质2 - i 如果一为非负不可约的方阵，则由：p e r r o n f r o b e n u i s 定理知：爿的 n 个特征根五，i = 1 , 2 ，”满足： f z ：l i f 2 f 五。 且 是单根， 对应的左正特征向量是唯一的( 相差一个常数因子) ，且都是正向量。 定理2 - 1 假设消耗系数矩阵a 为非负不可约的可逆矩阵，g = p ( a ) 为a 的谱半 径，u 为一的左正特征矢量，则当j ( o = u 时，有： “= 古工u 其经济解释为：如果按照消耗系数方阵a 的谱半径对应的左正特征矢量的比例 束安排生产部门的初始投入的比例，则各个部门将以( 古一1 ) 的速度均衡增长。 若干投入产出模型的自! 壅 定理2 - 2 如果a 为非负不可约的可逆矩阵，有 燃嬲等= 古三0溉船2 并。古三 定理2 2 说明：无论经济的增长是均衡还是不均衡，即无论如何安排经济的生产 比例，经济的增长速度都不会超过( ：一1 ) 。称( 一1 ) 为经济发展的极限速度。这说明 经济的最快发展速度是由经济的内在因素决定的，并不是由合理安排生产所能决定 的。 ， 定理2 3 假设彳为非负不可约的可逆矩阵，若有a b ，则：g ( a ) g ( b ) 这个定理说明：如果降低消耗系数矩阵，则生产速度将随之增快。这样，如果发 现一个生产部门的消耗系数与国内外的先进技术有差距，并且经过计算得知：改进消 耗系数将对经济速度有较大的影响，那么我们将提出课题来降低这个部门的消耗系 数。而要降低消耗系数主要靠技术革新和提高管理水平。 定理2 - 4 ( 基本定理) 设a 为非负不可约的可逆矩阵( 特别a 为正方阵) ，如果初 始投入x o u ，u 的定义如前，则存在正整数厶，使得当：上l o 时向量： x ( 。) = z ( o ) 一一。 必有负分量。 定理2 - 4 的经济意义在于：我们如果不按照左特征矢量各分量的比例来安排初始 投入，则经过有限年，经济系统必然会发生“危机”。华罗庚先生把这条定理称为“基 本”定理，是因为由这条定理可知：经济系统恶性运行的根源在于不适当的投入。国 民经济的发展有着其内在的规律，人为地揠苗助长将受到客观规律的惩罚。我国，建 国后的“大跃进”所产生的后果，就从事实上说明了这个闯题。这也同样从另一个方 面说明进行宏观调控的必要。 由于经济系统是一个比较精细、敏感的系统，我们在处理经济问题时必须特别谨 慎。以下举例说明经济运行的敏感性。 例2 1 0 1 以1 9 8 1 年我国的投入产出表中1 9 1 基础数据的进行讨论，我们将各个部 分为工业、农业和其它部门，则消耗系数矩阵为： 堕塞堕窒塾丕盔堂堡主堂垡堡塞一一 r o 1 5 9 3 4 4 1 2 5 0 1 】9 7 1 7 6 8 80 0 111 7 4 3 3 2l 一“10 1 2 3 5 5 7 3 4 4 0 4 5 3 3 8 2 4 1 60 0 4 0 5 2 3 8 8 l 1 0 0 1 8 1 1 5 8 5 60 2 8 8 9 5 5 4 4 0 l0 ；0 4 3 7 5 2 2 9 5l 经过计算得到： ( 1 ) a 的最大特征根和左特征向量u ： g z0 5 2 1 6 1 0 6 7 9 u “( 0 2 4 0 3 11 7 4 1 ，0 6 9 5 1 2 0 3 6 6 ，0 0 6 4 5 6 7 8 9 3 ) ( 2 ) a 的逆矩阵4 。1 为： r7 7 9 2 9 6 4 8 2 61 9 2 6 4 8 6 4 2 5 一o 2 0 5 9 8 7 4 5 7 a 一”l 一4 4 7 9 8 1 4 2 4 3 6 4 9 1 0 7 2 0 9 54 8 6 7 9 6 4 1 0 3i l2 6 3 5 9 5 4 2 2 4 8 4 2 0 7 1 6 3 6 1 5 0 5 5 0 9 0 9 7 0 0 1 5i 这样，如果我们以左正特征矢量的比例分配1 9 8 1 年的实际中间投入总量 4 6 9 6 5 5 3 5 万元，如果是按照u 的九位小数进行模拟，且不考虑各年的消费，则各年 的产出量列表如下： 年份农业工业其它 初始投入 l1 2 8 6 3 6 93 2 6 4 6 7 0 03 0 3 2 4 6 6 第一年 2 1 6 3 7 5 4 16 2 5 8 8 2 3 75 8 1 3 6 7 6 第二年4 1 4 8 2 7 5 8 l1 9 9 8 9 4 6 21 1 1 4 6 6 9 2 第三年7 9 5 6 4 8 7 22 2 9 9 8 4 6 9 62 1 4 3 2 7 4 2 第四年 1 5 4 7 1 4 8 0 04 3 7 8 5 6 0 5 04 4 8 0 3 9 1 6 第五年 4 2 5 1 8 3 9 4 26 5 9 1 2 5 1 2 73 0 4 9 5 4 3 1 l 第六年 8 3 9 9 1 4 1 4 1 59 3 7 0 6 0 9 3 1 5l3 5 0 4 0 4 8 7 3 0 ( 表一) 可知：经济在第六年，即：t = 6 就会发生崩溃。但是如果我们以u 的四位小数 进行模拟，则各年的产量列表如下： 年份农业工业其它 初始投入 1 1 2 1 5 8 i 83 2 6 4 5 7 4 33 0 3 3 9 7 4 第一年2 1 6 7 7 2 8 46 2 5 1 9 6 4 35 9 0 1 5 2 6 第二年 4 4 4 1 5 4 4 811 5 7 7 1 6 5 61 6 3 1 2 1 6 0 第三年 2 5 7 4 7 3 5 8 12 0 3 6 2 8 6 63 2 5 9 3 1 4 1 6 ( 表二) 6 若干投入产出模型的研究 则可以发现经济在第三年( t = 3 ) 就会崩溃。从表( 一) 和表( 二) 中可以明 显看出：经济系统对初始投入产综具有很高的敏感性，稍微有一些误差，结果就会有 很大的变化，很容易引起经济的崩溃，不经过实际计算这是无法想到的。由此提醒我 们对待经济问题时需要特别谨慎，而且可以看出进行宏观调控的重要性和必要性。以 上结论请参见5 h ”。 2 2 带消费的投入产出模型 由于实际生活中存在消费，因此，我们必须研究带消费的投入产出模型，这在实 际中非常有意义。 下面讨论带有消费的经济模型。令a = d i a g ( ，如，厶) 为各年的消费矩阵，其 中丑( 0 i 月) 表示消耗第f 种产品增长部分的 倍； 且 ，a ：，a 。未必相同， 则有： y 1 1 = x ”一( x ”一x 0 1 ) a ( 2 1 ) 其中】，( 1 表示第一年可用来再投资的产品， 又因为x ( o ) = z ( 爿，所以： y 1 = x o ( 4 1 ( 一 ) + a ) = y o ( 彳一1 ( ，一a ) + a ) ( 2 - 2 ) 在此，y ( o ) = x ( “。归纳她可以得到第三年可用来再投资的产品 y = y o ( 4 1 ( ，一a ) + ) ( 2 3 ) 式( 2 2 ) ( 2 - 3 ) 称为带消费的齐次投入产出模型。陈木法给出了以下的结论 定理2 - 1 消费系数0 丑 1 ( 1 i n ) ，若消耗系数矩阵a 为非负不可约方矩阵 且p ( 彳) 1 ，则带消费经济模型中的矩阵d = a - i ( i n ) + ，、有唯的正特征根a = ( d ) ，对 应于唯一的正特征向量u 。 定理说明：如果按照d = a - 1 ( 1 一n ) + n 的左正特征根向量的比例进行投资则经济永 远不会崩溃。 7 南京航空航天大学硕士学位论文 第三章随机投入产出模型 3 1 齐次随机投入产出模型 设a = 、) ，a = a ( ) 分别为定义在( q ，f ，p ) 上的随机消费矩阵和随机直接消耗 系数矩阵，】，洄) 为定义在( q ，f ，p ) 上的随机向量，对应于( 2 - 3 ) 则有以下模型： 】，。( 国) = y o ( ) 【爿一1 ( 珊) ( ，一 ( ) ) + ( ) 】( 3 1 ) 其中，为”胆单位矩阵。下面对这两个模型进行讨论： 当p ( r 0 ；a ( r o ) = 0 ) = l 时，即不考虑消费的情形 则对于： y + 1 ( c o ) = y ( 国) 爿( ) 一1 若a ( o ) 和i y o ( ) 分别为离散的随机变量时，即 p ( c o ：彳( 国) = 爿。) = p f ，p ( r o ：y = 只) = q 则： 只= 1 ；q ，= 1 jj 对于此种无消费的齐次随机投入产出经济模型，有以下结论： 定理3 - 1 2 2 1 假设a 佃) 与y 町( ) 相互独立：令 u ， ) ，j l 为 爿，j 1 ) 的左正特 征矢量组成的集合， n ( ) ，_ ，1 ) 为对应于左正特征矢量的特征根组成的集合。其中 a ，21 ) 为一( 国) 的所有取值组成的集合。 ( 1 ) 若存在 只，i 1 ) 的子集 ) ，m ，k 1 c “j ，j 1 ) ，这里 儿，i 1 ) 表示初始投入的 所有取值组成的集合，则 p ( t 0 ，上厶) = 吼，则 p ( t = ) = p 。q 。 ，e ，t 其中：i t = i 。= 伐t ( 舰) ，。( 等) = 口，c ， 。 o ) ) 进一步考虑： y e ) ( 甜) = y o - 1 ) ( 脚) 一 1 ( ，一a ( o ( 彩膏+ ( 国) 】 这里，4 固定，a u ) ( c o ) 为( q ，f ，p ) 上的随机矩阵，表示第t 年的消费系数矩阵。 为了更好的理解模型，下面将建立 o ( c o ) 详细的概率空间( q ，f ，尸) 。 令 q ，= c o ，：影响第浑消费的所有可能事件) 如其中 c o 。q ，可理解为第i 年某消费水平 c o 。q 。可理解为第i 年某工资水平 q ，可理解为第i 年某突发事件 国。q ，可理解为第i 年某政策； 堕壅塾至堕鲞奎堂堡主堂焦鲨苎一 因而有： q = 劬= ( c o l ，0 3 2 ，c 0 - ) ：c o ，q l 设，为q = c o = ( c o i ，吐，脚，) ：，q ，) 的柱集形成的盯一代数；其中a 旧) 关于f 可测。p 为可测空间( q ，f ) 上定义的概率，则有a m ) 所需要的概率空问 为了研究问题方便，记：b ( 沏) = a - i ( ，一a ( o ) ) + 。 ) ，令u ) 为 b ( ) = a - i ( ，一 ( ) ) + ) 对应的左正特征矢量。则在以上讨论的基础上有以 下结论： 引理3 - 1 设各年的消费系数矩阵 ，、。( ) ，t 1 ) 独立同分布；若每年消费系数服从 离散的均匀分布，且相互独立，贝l j p ( u o ) = u 尹) = 古，其中：肼为随机消费系数 硝1 ( ) ( f = 1 , 2 ，n ；f = 1 , 2 ，) 所取值的个数，u ( 0 ) ) u l ”，u ：，u 磐) ，u ：”r ：v j 。 证明：由引理的条件可知： p ( u ( ) = c ，p ) = p ( b o ( ) = 口尹) 命题得证。 = p ( 7 ( ) = ? ) = 尸们( 雹o ( ) = ”一，) nn = 兀j d ( 硝o ( 甜) = ”，) 5 兀吉= 古。 ，l l，。j 定理3 - 3 在引理3 - 1 的条件下有以下结论： p ( u 1 ( ) = u ，u 2 ( 山) = 【，- - ，u ( ) = 【，) = 古 证明：由引理3 1 及f m 沏) ，1 的独立同分布性可知： p ( u ( ) = u ，u 2 ( ) = u ，一，u ( ) = u ) = p ( u 1 ( 吐) ) = u ) p ( u 2 ( 甜) = u ) p ( u ( 国) = u ) 若干投入产出模型的研塑 = 古 定理说明：令d = c o ：u ( 1 ) = u 2 ( ) 一u 。 ) ) 则对于：f - o d 模型可化为 】，( ”( 珊) ：y 。( ) - 一1 ( ，一 ( 珊) ) + ( 国) 】 因而：对于固定的d ，由定理2 - 1 可知经济稳定发展的条件是 y ( o ( ) = 【， ) ( u ) 为a - i ( 一 ) ) + ( 国) 左正特征矢量) ，即经济平稳增长的概率 为： p = ( y 0 1 = u 1 ) = u 2 ) 一u ( ) 一) 这里一般假设p ( 】，( o ) = y o ) = 1 ， 所以由定理3 - 3 知： 当 d = c o ：u ( 1 ) = u ( 2 ( ) 一u 。) ) 时，经济平稳增长的概率将以指数方趋向 零。趋向零的速度是很快的。 所以，一成不变的经济将很快的趋向崩溃，可见宏观调控的重要性。 3 2 非齐次随机投入产出模型 3 2 1 引言 前面做的工作主要针对投入产出系数和消费系数每年均不变，但是由于技术革新 和技术进步以及由于受人们生活消费观念、政府的财政政策、市场变化、价格等随机 因素的影响，投入产出系数以及消费系数未必相同，因此研究此种情形下的随机投入 产出模型就很有必要。 3 2 2 主要工作 为了研究问题方便我们首先引入以下记号 e = a ：爿为n n 非负对角矩阵，且对角元小于1 g = a ：爿为n 非负不可约可逆矩阵，其行和小于等于1 ，且爿。o 不成立 r ”= x ：x 为1 h 向量 r ：= x ：x n l n 非负向量 没 a v l ( ) ，f l 和 ( ) ，f 1 1 为定义在概率空间( q ，f ，p ) 上分别取值于g 和 e 的随机矩阵族。其中，a ( c o ) ，f 1 表示第，年的随机消耗系数矩阵，a ( ) ，1 表示第f 年的消费系数矩阵；再令初始投入产综】，o 为定义在( q ，f ，p ) 上的取值为上 r ：= x ：x # 1 1 n 非负n m 的随机向量。 为了研究问题方便记： a ( o ) = a ，n ) = a ，这样得到非其次的随机投入产出模型： y ( ) = y ( 0 1 【一1 - 1 ( ，一a 1 ) + l 】【一2 _ ( ，一a2 ) + 2 】【彳l - i ( ，一a l ) + a l 】 ( 3 2 ) j ，( ) = ，( o ) 4 i - i a 2 a ( 3 3 ) 这里，( 表示三年可以再用于投资的随机产出产综，其取值于 r ? = x ：x n l x n 非负向量) 。 ( 1 ) 首先讨论无消费的情况，这时模型为 y ( ) = y ( “a i - i a 2 a l 一1 命题3 - 1 n ( 3 2 ) ( 3 - 3 ) 确定 y ) 定义在( q ，f ，p ) 上的马式过程 引理3 2 ( 1 ) 若定义在( q ，f ，p ) 取值于g 的随机矩阵a ，谱半径为o ( a ) ，令 五= 麦斋，使得集合b = “n ；i x , - a i 。 ( 2 ) 存在集合q = 伽：口。 ) o ，对某一f ) ，使得p ( q ) 0 ，则对于每个0 ) b n q 有 l i m m = l r f 其中，三撇分别为正的列、行向量川魄m a ；x 。善m 届= a t a t 一互。 定理3 4 t2 2 1 假设在满足引理3 2 的条件下，有： p ( e o ：b n q n 丁( 甜) = ) ) p ( c o ：b n g n u y o ) ) 若干投入产出模型的研究 其中r 沏) ：m i n f ：y ( r 1 有非负分量) ，称丁( ) 为经济崩溃时，u 是j v 耐= l r ，的左正特 征矢量，u r o 定义为：( c o ：存在c ( c o ) ( 0 ，+ 。) 使得：u ( c o ) = c ( c o ) y o 记： 接着考虑p ：a ( o ) 0 ) 0 的情况( 这是带消费的情况) 则( 3 2 ) 化为 b k = a 女1 ( ，一a t ) + a t y ( ) = y ( “b i b 2 b l 令p ( b k ) 表示b 。的最大特征根，骂= 志，e = 马岛b t ，豆= b l b 一2 毒 定理3 - 5 【2 2 1 若存在定义在概率空间( q ，f ，p ) ，取值为e 上的随机矩阵 = ( ) 和 g 上的矩阵a 使得： h n 忏一爿0 o 成立的充要条件是： 脚p 叮郇f ) ) = 口u 其中，u = u ( ) 为h 的左正特征矢量，0 t = 0 【( 0 ) ) 为正实数。 定理3 - 5 1 2 2 1 在定理3 - 4 的条件下，假设y o 为取值域彤离散型随机向量，且 y 0 与e 相互独立，其概率分布为： p ( c o ：y o = 只) = p ，y ，r ：i = 1 , 2 ， 又设p ( & ) ：y 。h ， o 存在t o ，t t o ) = g 则存在正常数c c 。，k = 1 , 2 ，使得 其中 肋：l i m 川! = l p ( 最) ) - 1 锄m 驴g 南京航空航天大学硕士学位论文 u f f o h 。的左正特征矢量，t2 f ：口。2 吒) ( 受m h ，= 口，u ) 。 3 3 一类特殊的带消费随机投入产出模型 前面，主要利用简单的概率论知识对带随机消费的投入产出模型进行讨论。以下 将利用随机过程的工具进行研究。 3 3 1 预备知识 考虑以下模型 其中， 且 y ( t ，c o ) = y ( t l ，o ) ) b e = a 一1 ( r ，o j ) ( z 一 ( ) + ( 国) ) e = a 。( f ，c o ) ( i 一 7 ( c o ) + 沏) ) 相互独立，且取值可列。其中 y ( f ，) 表示第f 年可用于再投资的产综。 命题3 - 2 r ( t ，国) ，。为取值于彤上的马氏过程。 因此，可以定义马氏过程的转移概率为： p ( t l ，z ；t ，f ) = p , ( z b 。f ) 其中 z 群及r 口( 群) 针对这个模型，讨论t 油) 的分布情况，令 则 h = z ：z = ( 毛，z 2 ，z 。) 群 若干投入产出模型的研究 t ( o ) = m i n t 1 ；y ( t ，t 7 d ) 盛h ，v ( 0 ，) = y o ) 为了研究问题方便，固定初始投入，即：p ( r ( o ，c o ) = v 0 ) = 1 3 3 2 主体部分 引理3 - 3 如果b i = a - l ( ，c o ) ( i 一 ( 国) + a ( 0 ) ) 0 ，则b t 非负不可分拆。 引理3 - 4 尸( 强= f ) s p ( 0 ，r o ；t 一1 ，) t = 1 , 2 ，其中 & 5 s u p t 1 ：】，p ，坦) h ，y ( 0 ，c o ) = r o ) 引理3 - 5 e ( v , o = 佃) t ，使得： p ( t ，y ( t ，c o ) ；t o ，h ) 0 ，使得t k ，一t k 。 n + 1 时有： b ( ) ( 】，( f ，c o ) h ，巧h ，r ( t 一1 ) = r o b b ( k ) ( 丁， ) 一f 女。一1 ) ，且 0 ( k ，) ( 丁+ 一( 国) - t b t i 。一1 ) 1 这里，p x 。) ( ) 表示p 在g x ( t 。) ) 上的限制。 定理3 - 6 设 b ， ) k 为独立随机序列，b ，( c o ) ( i 1 ) 如前所述，且满足引理3 - 3 的条件，则对于任意的y o h ，有： p ( t v , ( ( o ) = o o ) = 0 证明：取0 = t o t i t 。 ，所以，由引理3 - 8n - - l 知： e ( t z o ( c o ) = f 。+ 1 ) p ( o ，j r ( o ) ；f 1 ，d y ( t 。+ ) ) p ( f 。，x ( t 1 ) ；f 2 d y ( t 2 。) ) l p ( r h ，y ( t n - 2 + ) 抽+ ，硝) ) p ( r ，y ) ；，日) 丌p y ( t i ) ( t i + ( ) t 。t i _ l - 1 ) 所以， p ( t y o2 ) s 牌p ( t y o 2 t n + 1 ) 科学通报1 9 8 4 年1 3 期 9 】华罗庚计划经济大范围最优化的数学理论科学通报1 9 8 4 年1 6 期 【1 0 1 国家计划委员会经济预测中心，国家统计局国民经济平衡统计局司。全国投入 产出表1 9 8 1 ( 试制) ，北京统计出版社，1 9 8 6 ：4 2 - 4 9 【1 1 】耿显民市场经济下的随机模型数理统计与应用概率第1 2 卷2 期 【1 2 】耿显民一类非齐次独立随机投入产出模型待发表 1 3 】陈锡康，投入产出技术的发展趋势与国际动态，系统工程理论与实践2 ( 1 9 9 1 ) 1 4 华罗庚，计划经济大范围最优化的数学理论，科学通报，第2 9 卷，第1 3 期 1 5 】陈木法，经济最优化的随机模型，应用概率统计，1 9 9 2 年，第3 期第4 期 【1 6 】韩东非齐次投入产出模型消费与生产的关系，应用数学，1 9 9 7 年第l 期 【1 7 】r a h o m & c j o h n s o nm a t r i xa n a l y s i s c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s1 9 8 5 1 8 严士健，刘秀芳，概率论基础，科学出版社，1 9 8 2 年。 1 9 】王梓坤，随机过程论，科学出版社，1 9 7 8 年 【2 0 钟契夫，陈锡康，投入产出经济及其应用，中国社会科学出版社，1 9 8 2 年 2 1 华罗庚高等数学引论( 余篇) 北京：科学出版社，1 9 8 4 2 2 1 韩东非齐次投入产出模型的极限定理，工程数学学报，1 3 ( 4 ) ：1 - 7 2 3 】徐成贤，徐宪本矩阵分析西安：西北工业大学出版社，1 9 9 1 【2 4 韩东，张光远，胡锡康。关于非齐次有消费的投入产出模型的若干极限性质。 纯粹数学与应用数学，1 9 9 5 。 2 5 k e s t e n ，h a n ds p i t z e r ，f ( 1 9 8 4 ) ，c o n v e r g e n c ei nd i s t r i b u t i o no fp r o d u c t so f r a n d o mm a t r i c e s ，z w a h r s ，6 7 ，3 6 3 3 6 8 2 6 3i k e d a ，n a n dw a t a n a b e ，s ( 1 9 8 1 ) ，8 t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n d d i f f u s i o np r o c e s s e s ，n o r t h h o l l a n d p u b l i s h i n gc o m p a n y 2 7 l e o n t i e f w l a g sa n g