（应用数学专业论文）时滞ts模糊模型的稳定性分析.pdf

武汉理j ：大学硕十学位论文 摘要 模糊控制系统的稳定性分析和设计方法是模糊理论的重要研究课题，其理 论研究主要是针对模糊系统提出相应的控制方法对其进行稳定性分析，从而保 证控制系统的性能。但是模糊系统本质上是非线性的，因而稳定性分析比较困 难。到目前为止，虽然己经存在许多种保证模糊系统稳定的理论，但仍未形成 完善的理论体系，尤其是对于时滞模糊动力系统，还有许多理论问题有待进一 步深入研究。 本文所做主要工作： l 、首先系统地综述了模糊控制系统、线性矩阵不等式的发展概况，归纳了 关于模糊控制稳定性的相关研究成果，并对这些成果所采用的思想方法、产生 的影响等方面作了详尽的评述。 2 、阐述了模糊控制系统的两类基本模型，对t - s 模糊模型综述了在l y a p u n o v 稳定性理论的基础上，连续模糊模型在开环和闭环时的稳定性充分条件。 3 、研究了一类时滞连续t - s 模糊控制系统的稳定性。在l y a p u n o v 稳定性理 论的基础上，针对一类时滞t - s 模糊模型，基于l m i 给出了一类连续时滞模糊 模型在开环和闭环时的稳定性充分条件，并证明了稳定性条件，并用数值例子 说明了定理的有效性。 4 、研究了一类时滞连续t - s 模糊模型的二次稳定性，并给出了二次稳定的 充分性条件，基于l y a p u n o v 稳定性定理证明了稳定性条件。 关键词：t - s 模糊系统；稳定性；时滞；李亚普诺夫函数；线性矩阵不等式( l m i ) 武汉理i ：人学硕十学位论文 a b s t r a c t t h ea n a l y s i sa n dd e s i g no ft h es t a b i l i t yo ff u z z yc o n t r o ls y s t e m si st h ei m p o r t a n t r e s e a r c hs u b j e c ti nf u z z yt h e o r y t h es t a b i l i t yi sb a s e do nt h ec o n t r o lm e t h o df o r f u z z ys y s t e m sa n de n s u r i n gt h ep e r f o r m a n c eo fc o n t r o ls y s t e m s h o w e v e r , af u z z y s y s t e mi sn o n l i n e a re s s e n t i a l l y , a n dt h ea n a l y s i so ft h es t a b i l i t yi sm o r ed i f f i c u l t n o w , a l t h o u g ht h e r ee x i s t ss o m et h e o r i e se n s u r i n gt h es t a b i l i t yo ff u z z ys y s t e m s ，t h e r ei s n o tc o m p l e t et h e o r e t i c a ls y s t e m i np a r t i c u l a r , w es t u d yf u r t h e rf o rf u z z yd y n a m i c a l s y s t e m sw i t ht i m e d e l a y t h i sp a p e rh a sd o n et h ef o l l o w i n gm a j o rw o r k ： 1 f i r s t l y , w es u m m a r i z e ds y s t e m a t i c a l l yt h ed e v e l o p m e n to ff u z z yc o n t r o l s y s t e ma n dl m i ，s u m m e du pt h er e l e v a n tr e s e a r c hr e s u l t so ft h es t a b i l i t yo nf u z z y c o n t r o l ，t h e nm a k ead e t a i l e dc o m m e n to nt h ew a yo ft h i n k i n gt h a tt h e s er e s u l t su s e d a n dt h ei m p a c tt h e yb r o u g h t 2 e x p o u n d e dt w ot y p e sb a s i cm o d e lo nf u z z yc o n t r o ls y s t e m ，t h e no nt h eb a s i s o ft h et h e o r yo fl y a p u n o vs t a b i l i t y ，f o rt - sf u z z ym o d e lw es u m m a r i z e dt h es t a b i l i t y s u f f i c i e n tc o n d i t i o nw h e nc o n t i n u o u s f u z z ym o d e l i sa tt h e o p e n 1 0 0 p a n d c l o s e d - l o o p 3 s t u d i e ds t a b i l i t yo fac l a s so ft i m e d e l a yt - sf u z z yc o n t r o ls y s t e m o nt h e b a s i so ft h et h e o r yo f l y a p u n o vs t a b i l i t y , f o rac l a s so ft i m e d e l a yt - sf u z z ym o d e l ， w es u m m a r i z e dt h e s t a b i l i t y s u f f i c i e n tc o n d i t i o nw h e nac l a s so ft i m e d e l a y c o n t i n u o u sf u z z ym o d e li sa tt h eo p e n l o o pa n dc l o s e d l o o pb a s e do nl m i ，a n d p r o v e dt h es t a b i l i t yc o n d i t i o n 4 s t u d i e dt h eq u a d r a t i cs t a b i l i t yo fac l a s so f t i m e d e l a yc o n t i n u o u st - sf u z z y m o d e l ，a n dg a v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fq u a d r a t i cs t a b i l i t y , t h e np r o v e dt h es t a b i l i t y c o n d i t i o n sb a s e do nl y a p u n o v t h e o r y k e yw o r d s ：t - sf u z z ys y s t e m s ；t i m e d e l a y ；s t a b i l i t y ；l y a p u n o vf u n c t i o n ；l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：重垒f 乙日期：邋! 垒! ! ! 关于论文使用授权的说明 本入完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权 保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 至垒纽导师签孝： 武汉理i ：人学硕士学位论文 1 1 模糊控制发展简介 第1 章绪论 1 9 8 5 年美国的扎德( l - a z a d e h ) 教授发表了里程碑性的文章( ( f u z z ys e t ) ) ， 提出用“隶属函数的概念描述现象差异的中间过渡，这突破了经典集合论中属 于或不属于的绝对关系，标志着一个新的数学分支模糊数学的诞生。模糊 理论是建立在模糊集合( f u z z ys e t ) 和模糊逻辑( f u z z yl o g i c ) 基础上，引入隶属 函数的概念来描述那些介于“属于”和“不属于”的中间过渡过程，使得每个 元素不仅以“0 或“1 从属某一集合，而且还以一定的介于“0 ”或“1 之 间的程度属于某一集合。每个元素都或多或少地属于某一集合。模糊集合是以 一定程度具备某种特性的元素的全体。 1 9 7 3 年z a d e h 教授提出了模糊控制的基本思想，1 9 7 2 年2 月，日本以东京 工业大学为中心发起建立“模糊系统研究会 ，1 9 7 3 年公开使用“模糊工程” 这一名词，1 9 7 4 年在加利福尼亚大学的美日研究班上，开始了有关“模糊集合 及其应用”的国际学术交流。1 9 7 8 年在国际上开始发行( ( f u z z ys e t sa n ds y s t e m ) ) 专业杂志。1 9 8 4 年在夏威夷首次召开国际会议，商讨成立国际学会事宜，同年 年底“国际模糊系统学会 ( i f s a i n t e r n a t i o n a lf u z z ys y s t e ma s s o c i a t i o n ) 成立， 首届i f s a 国际学术会议于1 9 8 5 年在西班牙召开，1 9 8 7 年7 月在r 本召开了第 二届i f s a 国际学术会议。1 9 9 2 年i e e ef u z z ys y s t e m 国际会议开始举办，每年 一次。1 9 9 3 年i e e et r a n s o nf u z z ys y s t e m ) ) 开始出版，标志着模糊控制理论 为世界上最大的工程师组织所接受。 模糊性是人类思维和客观事物普遍存在的属性之一，模糊系统是模糊集合 论和信息处理技术相结合的产物，其核心思想就是要有效的利用模糊的信息对 复杂事物进行模糊度量、模糊识别、模糊推理、模糊学习、模糊检索、模糊控 制以及模糊决策等，从而可以更好的模拟人脑的思维活动，特别是人脑思维的 模糊性。 模糊控制是在控制方法上应用模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理 的知识来模拟人的模糊思维方法，使其能对某些无法用精确数学模型描述的对 武汉理工人学硕十学位论文 象或过程进行成功的控制，由于人的经验一般是用自然语言描述，因此基于经 验的规则也只能是语言性的、模糊的。然而，运用模糊集合论、模糊语言变量 及模糊逻辑推理知识，可以把模糊语言性上升为数值计算，从而利用计算机完 成对这些规则的具体实现，达到自动化控制的目的。模糊控制作为模糊集合理 论应用的一个重要方面，在工业控制、飞行器控制、家电控制等领域得到了广 泛的应用。 1 2 模糊控制系统稳定性分析 模糊控制一般都是非线性控制，传统的非线性控制的方法主要有以下几种。 种很典型的方法是在系统的一个名义上的可操作点上设计一个线性状态反馈 控制器，从而达到对非线性系统控制的效果，然而由于每个局部模型只有在一 定的可操作范围内才有效，所以结果只能保证在局部范围内稳定。另一种方法 称为模糊逻辑控制，这种方法特别适合于那些信息不完全或是对于给定条件不 能做出精确控制的模型，因而它在消费品市场和工业过程等方面具有良好的应 用旺副。其它的方法h 1 ，如反馈线性化方法采用微分同胚和非线性反馈将原系统 转化为线性系统。反馈线性化控制是一种常用的非线性控制方法，但它要求系 统具有某种预测性质( 如系统具有最小相位性、充分光滑、参数精确已知等) ， 并且往往需要求解复杂的非线性偏微分方程。自适应控制是另一类常用的方法， 但其参数更新算法的收敛性和实时性难以得到保证。现在，我们可以运用一种 更为简单而且直接的方法来解决对非线性系统的控制设计问题。首先一个非线 性的模型可以被t a k a g i s u g e n o 模糊模型( 简称t - s 模型) 1 表示出来。在这类模 型中，在不同的状态空间区域中，局部动力系统可以由线性模型表示出来，而 全局的模型就是通过对各个局部线性子模型的模糊的组合表示出来。这种控制 是以并行分布补偿原理( 简称p d c ) 哺吲为基础建立起来的。从而控制器的设计也 就是在每一个局部线性模型基础上设计一个反馈控制器，全局控制器的建立就 是各个局部控制器的一种模糊组合。 而稳定性是控制系统最重要的指标之一，对于模糊控制系统，稳定性分析比 较困难，这是由于这些系统本质上非线性的阻1 。早在1 9 世纪，l y a p u n o v 就建立 了运动稳定性的一般理论，并给出了两种稳定性分析方法：一种是先求出 l y a p u n o v 系统状态方程的解，再分析其解的稳定性，称为间接方法：另一种不必 2 武汉理：r ：大学硕士学位论文 求解状态方程，而直接利用函数分析系统稳定性，称为直接方法n 引。此后， l y a p u n o v 方法尤其是直接方法一直是最常用的稳定性分析方法。但是，l y a p u n o v 函数的寻找往往十分困难，尤其是对于不依赖于数学模型的模糊控制。因此又 提出了各种分析方法。 k i c k e r t 和m a m d a n 3 根据模糊控制器的特点，提出了用多级继电器模拟模 糊控制器，用传统的描述函数结合非线性特性来研究稳定性。需要指出的是， 描述函数法通常用来预测非线性系统极限环的存在性，至多不过是一种近似方 法，而且要求被控对象具有低通特性。c h e n n 羽用胞映射来分析系统的稳定性， 但这种处理方法需要精确的数学模型，而且是局部精确的。l a n g a r i 和t o m i z u k a u 鄹 曾用l y a p u n o v 直接法对模糊控制系统稳定性进行分析，为了增强稳定性运行范 围，提出了鲁棒性指标，它可以用来评价和设计给定的模糊控制系统。b r a c e 和 r u t h e r f o l d 提出一种基于语言相平面的分析方法，在语言相平面罩处理闭环系统 的语言轨迹1 。t o n g n 5 1 基于关系矩阵分析了模糊系统闭环稳定性：g u p t a n 6 3 等研究 了模糊开环系统的能控性：k i s z a k a 等人推广了这一理论，定义了模糊状态的能量 函数，提出了稳定性的能量分析方法：顾树生、平力n l 旧1 借用传统非线性系统中 常用的相平面法、稳定区间法讨论了模糊控制系统的稳定性，基于该稳定性方 法设计的模湖控制系统具有良好的稳态性能和抗干扰能力。这些是7 0 、8 0 年代 模糊控制发展初期的部分研究成果。9 0 年代以来，模糊控制理论进入蓬勃发展 阶段，稳定性研究出现了较多的重要结果。 t a k a k i 和s u g e n o 于9 0 年代初提出了种基于模型的模糊控制系统n 引，控制 规则前件依然是模糊量，后件是输入的线性组合。后来的研究表明，很多控制 问题可以归结为t a k a k i s u g e n o 模糊系统。t a k a k i 和s u g e n o 基于l y a p u n o v 直 接法对t - s 模型给出系统的稳定性判定条件口1 ，利用模糊结构图的化简给出闭环 系统的设计方法。w a n gho 乜伽用并行分布补偿( p d c ) 的概念提出t - s 模糊闭环系 统的稳定性设计方法，w a n g 把稳定性分析等价于线性矩阵不等式问题，最终可 用凸规划技巧得以有效解决。c a o 堙等还提出用一组矩阵构造分段光滑的二次 l y a p u n o v 函数的方法进行稳定性设计。f e n g 瞳2 1 等研究了由一组局部状态空间模 型表示的模糊系统，通过设计每一局部状态反馈控制器和补偿器来设计模糊控 制器，使整个闭环系统全局渐近稳定。另外，文献心刘利用合同变换的方法讨论 了模糊系统的全局稳定性，给出了当初始状态为任意的正则模糊集时，模糊控 制系统的状态都收敛于其平衡念的充分条件。文献心4 1 用连续t - s 模型对非线性系 武汉理工大学硕士学位论文 统进行模糊建模，在此基础上利用隶属度函数最大法设计鲁棒观测器和控制器， 并得出了使闭环系统渐近稳定的充分条件。文献乜5 3 利用区间矩阵的等价表示化 方法，将非线性时变系统的稳定性问题转化为带有时变不确定性的线性系统鲁 棒稳定性问题，并且用最大隶属度法，得到了t - s 模糊系统二次稳定的充分必要 条件。文献3 引用一个特定的矩阵测度，基于m 矩阵的基本性质分析了t - s 模 糊系统稳定性问题。 而在一些化学过程、生物工程、机械和金融等领域中，具有时滞的模糊动力 系统是十分常见的，所以对具有时滞的非线性系统的研究更是具有重要意义的。 其中，时滞既可以是定长的，也可以是时变的，还可以是随机的啪1 。时滞 系统稳定性条件，根据是否依赖系统中时滞的大小，可以将稳定性条件分为时 滞独立和时滞依赖两类 ( 1 ) 时滞独立的稳定性条件：即在该条件下，对所有的时滞d o ，系统是渐进 稳定的由于这样的条件无需知道系统滞后时间的信息，因此，适合于具有不确 定滞后时间和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析问题 ( 2 ) 时滞依赖的稳定性条件：即在该条件下，对滞后时间d 的某些值，系统是 稳定的：而对滞后时间d 的另外一些值，系统则是不稳定的，因此，系统的稳定 性依赖于滞后时间 一般来说，时滞独立稳定性条件是比较保守的我们用l m i 方法和依赖 l y a p u n o v 函数方法建立时滞依赖稳定性条件2 0 0 0 年，c a oy y 和f r a n kpm 发 表的题为“通过模糊控制的方法来对非线性时滞系统进行的分析和综合”啪1 一 文中，首次提出了具有时滞的t - s 模糊模型，并且利用l y a p u n o v 稳定性定理推 导出了具有时滞的t - s 模糊模型的稳定性条件。另外，该文献基于并行分布补偿 原则( 简称p d c ) 口2 q 引建立了具有时滞的模糊模型的状态反馈控制器的l m i 方法， 至今用l m i 方法来研究时滞模糊动力系统的文献越来越多。对时滞相关稳定性 研究主要方法有：应用矩阵范数与测度h 圳，线性矩阵不等式( l m i ) 3 洲，以 及李亚普诺夫( l y a p u n o v ) 第二方法系统时滞无关的稳定性条件，较之时滞相 关的稳定性条件一般说来偏于保守，对控制系统的设计要求较为严格。 1 3 线性矩阵不等式的发展 线性矩阵不等式，即l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ，简称l m i 。在动念系统的分析 4 武汉理i ：大学硕士学位论文 中使用线性矩阵不等式的历史可以追溯到一百多年以前。1 8 9 0 年，在l y a p u n o v 介绍著名的“l y a p u n o v 定理n 朝时，他证明了满足如下线性微分方程的动态系统 戈( f ) = a x ( t ) 大范围渐近稳定的充分必要条件是存在正定对称矩阵满足 彳r p + p a 0 ( 注：矩阵p 0 表示p 为j 下定矩阵) 以及式彳r p + p a 式中，尺。代表第f 条模糊规则，为模糊集：y 为系统根据规则r 所得的输出。 采用单点模糊化、乘积推理和中心平均加权反模糊化构成的模糊系统的最 终输出为各y 7 的加权平均 w ，= 兀p f ；( x j ) ，j ，：等z w i y i ( 2 2 ) - ，2 1 。 y j - - _ ，= l 此后，模糊系统稳定性分析主要是针对t - s 模糊模型，稳定性的定义和条件 都是在l y a p u n o v 意义稳定性框架中的。 9 武汉理上大学硕士学位论文 式( 2 - 1 ) 描述的模糊模型是一种最初的t - s 模型，这种模型的特点是局部输 出是输入的线性组合，局部模型是静态的映射关系，模型辨识比较容易。t - s 模 糊模型辨识的基本方法是将辨识过程分为两个步骤：第一个步骤辨识模型条件 部分，这包括对输入空间的划分和一些参数的辨识，可以通过聚类分析等方法 实现：第二个步骤辨识模型结论部分，由于结论部分是线性的，所以可以通过线 性回归等方法实现。随着研究的推进，c a o 等又提出了模糊动态模型( 模糊状态 方程) 。模糊动态模型是对最初t - s 模型的推广，其结论部分采用状态方程形式， 是一种动态映射，所以可以描述更为广泛的被控对象，也可方便地用于多变量 控制系统，这也是其主要优点。由于t - s 模糊动态模型的自身优点，其已经逐渐 替代最初的t - s 模糊模型，成为了研究的主流。t - s 模糊动态模型的基本提法是： 一i 尺。：i fx l ( f ) i sm ，la n dx 2 ( f ) i sm f 2a n d a n dx p ( f ) i sm 西 t h e n 戈o ) = a f x ( f ) + b f “o ) 模糊系统的最后输出为各模糊子系统输出的加权平均 考虑模糊控制规则f ： 蝴= ，( f ) - ，x ( f ) + e 甜( f ) 】 扛l i fx l ( f ) i sm na n dx 2 ( f ) i sm f 2a n d a n dx p ( f ) i s m 驴 t h e n “( f ) = 一只x ( f ) ，i = 1 , 2 ， 其中，z 为第f 个局部反馈控制器增益矩阵。则整个状态反馈控制律为 “( f ) = 一从( t ) f i x ( t ) 渊 ( 2 3 ) 得连续闭环模糊系统啼躬 j ( f ) = 砸珈) ( 4 - o , f j ) x ( t ) ( 2 4 ) p 其中，w i ( f ) = 兀m 驴( x ) ) ，如) = j = l l o w f ( f ) 乏r _ i 石。这里矽“_ o ”表示 武汉理上：大学硕士学位论文 j j ( ，) 对模糊集m 扩的隶属度，易知哗0 , i = l ，2 ，比( f ) 0 ，所以 i = 1 ，：， 以( f ) 0 ，肛( f ) = 1 。 i = l 定义( 2 4 ) 的无外部输入即当u ( t ) = 0 时的自由t - s 开环时滞系统如下： 戈( f ) = z 形) 4 z ( f ) ( 2 5 ) i = 1 t - s 模糊模型与一般的模型控制相比较，其优点在于它可以看作是多个线性 模型之间的切换，并且切换方式是模糊的，所以可以达到平滑的控制效果。因 此，基于t - s 模糊动态模型的控制方法具有如下优点：( 1 ) 由于t - s 模糊动态模型 的条件部分是模糊的，而结论部分是清晰的，所以系统既可以利用专家的经验 知识，又可以充分利用人们对系统已有的较为精确的认识，包括对模型进行物 理分析得到的一些信息和系统本身固有的信息，从而可以大大提高系统的建模 精度，减少系统的规则数，适合实际工程应用：( 2 ) t - s 模糊动态模型适宜于描述 复杂系统的动静态特性，c a o 等证明了t - s 模糊系统可以以任意精度逼近尺“中 致密集u 上的连续实函数：( 3 ) t - s 模糊动态模型在模糊系统和线性系统理论之间 建立了联系，因此可以充分利用现有的线性系统和非线性系统的有关理论进行 系统分析和控制器设计研究，这种系统的提出使得模糊系统的理论性得到了加 强，文献啼卜6 3 1 进行了控制系统设计和稳定性分析，基于此系统的研究十分活跃， 并己在许多实际问题中得到了成功的应用。但是实际的模糊动态模型通常是有 时滞的，本文所考虑的t - s 模糊模型是一类带有系统状态滞后项的t - s 模糊动态 模型，即t - s 模糊动态模型的推广，其基本提法如下 r ：i fx l ( f ) i sm na n dx 2 ( f ) i sm f 2a n d a n dx p ( f ) i s m 咖 t h e ny c ( t ) = a f x ( t ) + b f x ( t f ) + c ：“( f ) 模糊系统的最后输出为各模糊子系统输出的加权平均 枷= f ( f ) 阻x ( f ) + b ，x ( t - r ) + c i u ( t ) 】 i = 1 武汉理| j ：大学硕士学位论文 2 2 基于t - s 模糊系统稳定性分析 对于t - s 模糊模型，连续系统可看作是模糊微分方程模型，离散系统则可看 作是模糊差分方程模型，因此可以建立模糊状态方程模型。通过对t - s 模糊模型 的推广，利用t - s 模糊模型为非线性控制对象建立模糊动态模型，即将整个状态 空间划分为多个模糊子空间，在每个模糊子空间中建立局部的线性模型，总的 模型由模糊隶属函数连接的一系列局部模型组成嵋引。 定理2 1 咖1 对于式( 2 5 ) 定义的模糊系统，若存在一个公共的正定矩阵p ， 对所有子系统均有下列条件成立 4 f p + p a ， o ，汪1 , 2 ， 那么其平衡状态是全局渐近稳定的。 定理2 1 提供了保证( 2 5 ) 式稳定的充分条件。如果所有的局部近似线性系统 都是稳定的，那么可以很自然地猜测近似的非线性系统是稳定的。但一般而言 并非如此。这里我们注意到如下的事实： 如果存在一个共同的正定矩阵p ，所有的a j 都是稳定的矩阵。但是，尽管所 有的彳j 都是稳定的矩阵，但共同的j 下定矩阵尸并不总是存在。当然，尽管不存 在共同的正定矩阵p ，一个模糊系统同样可能是全局渐近稳定的。然而，必须注 意到，一个模糊系统中，尽管所有的4 都是稳定的矩阵，但此系统并不总是全 局渐近稳定的。 因此定理2 1 只给出了判断模糊系统稳定的充分条件，关键是要找到共同的 正定矩阵p 。定理2 2 给出关于p 存在的必要条件。 定理2 2 钉于式( 2 5 ) 描述的连续模糊模型，若a 疋= 1 , 2 ，厂) 是稳定的 ( 彳，的特征根的实部都小于零) 。如果存在一个共同的正定矩阵p 使对所有的i 均 有a r p + p a ， 0 ，那么4 + 彳，一定是稳定矩阵( f ，j = 1 , 2 ，r ) 。这里稳定矩阵是 指其特征值均在s 左半平面。 定理2 2 表明如果么，+ 么，有一个是不稳定的，就一定不存在共同的正定矩阵。 定理- 2 3 如果存在正定矩阵p ，使得线性矩阵不等式 1 2 武汉理上大学硕士学位论文 ( 彳f 一垦e ) 7 p + ( 彳j - b f c ) p 0 ，i = 1 , 2 ，r ( 彳f b f 乃+ 彳，一b j f , ) r p + ( 彳f - b , f j + 彳- ，- b e ) p o ，i - ， 成立，则闭环系统( 2 4 ) 是渐近稳定的。 定理2 4 “5 假设在任何时刻，被激活的模糊规则数小于或等于s ，1 s ， 而且如果存在正定矩阵p 和o ，使得线性矩阵不等式 g ：p + p 瓯+ 0 一1 ) 0 ( 学归+ 以华) - q 卿 o ； ( 3 ) x ( t ) t l 岭，y ( 工( f ) ) 专o o ； ( 4 ) v x ( f ) o ，掣 0 ，所以 i = 1 0 f ( f ) 0 ，f ( f ) = 1 。 i = 1 定义( 3 2 ) 的无外部输入即当u ( t ) = 0 时的自由t - s 开环时滞系统如下： j ( f ) = t 心) - ，x ( f ) + b ，x ( t - r ) 】 f 皇l ( 3 - 3 ) 对于基于t - s 模型的模糊控制器的设计，则根据平行分布补偿算法( p d c ) 可以对每一个字系统首先设计一个局部的线性状态反馈。所谓平行分布补偿算 法( p d c ) 就是每一条模糊控制规则的前件与相应的系统模糊规则的前件是相同 的。t - s 模糊控制器由一组i f t h e n 规则组成，每条规则是一个局部状态反馈控 制器，通过各条规则的推理合成，可以得到全局模糊控制器。 本文考虑的t - s 模糊控制器的一般形式如下： 模糊控制规则f ： i f 工l ( f ) i sm f l a n dz 2 ( f ) i sm f 2 a n d a n d 工p ( f ) i sm 秘 t h e n 铭( f ) = 一e x ( f ) ，f = 1 , 2 ， 其中，e 为第j 个局部反馈控制器增益矩阵。则整个状态反馈控制律为 “( f ) = 一儿( t ) f i x ( t ) i = 1 ( 3 4 ) 则把( 3 4 ) 代入( 3 2 ) 可得闭环模糊时滞系统 1 5 武汉理1 ：大学硕士学位论文 j ( f ) ：窆主，( f 加) h c , f j ) x ( f ) + b ，x ( 卜f ) 】 扣1 ，刮 ( 3 - 5 ) 3 3 连续时滞t - s 模糊模型稳定性分析 引理3 2 m 3 ：设q 为任意甩胛阶矩阵，对任意常数尼 o 和正定矩阵s 0 有 2 工r 9 舡7 q s 一1 q r x + i 1j ，比，j ，月。 定理3 1 如果存在正定矩阵p ，使得矩阵不等式 a i r p + p a f + p b f b f t p + i 0 ( 3 6 ) 成立，则模糊控制系统( 3 3 ) 全局渐近稳定。 证明：选择l y a p u n o v 函数 矿( f ) = x t ( f ) a ( f ) + fx t ( s ) x ( s ) d s 求矿( f ) 对时间的导数，并由式( 3 3 ) 得到 矿o ) = 戈r ( f ) 氏o ) + x r ( t ) p j c ( t ) + x7 o ) x o ) 一x r o r ) x ( t f ) = ，( t ) 霞a i x o ) + b i x o r ) 】rp x ( f ) + x ro ) 研4 x ( f ) + 忍x ( ，一f ) 】 i = l + 石，o ) x o ) 一x r ( f r ) x ( t f ) = 愈) b r ( f ) 彳f r 取( f ) + x r ( t ) p a i 戈( f ) + x to - - t ) b r a ( f ) + x t ( t ) p b i x o f ) i = l + z ，o ) x o ) 一x7 o r ) x ( t f ) 由引理3 2 知道 x r ( t - r ) b i r p x ( t ) + x r ( t ) p b f x ( t f ) = 2 x7 ( t ) p b f x ( t f ) x t ( t ) p b f b f t p x ( t ) + x r o r ) x ( t f ) 所以 矿o ) i ( ，) k r ( o a f 既o ) + 石r ( t ) p a ：o ) + x r ( t ) p b i b i r 尸_ o ) + x t ( f r ) 工。一f ) i = l + x t ( f ) 工o ) 一x r ( f r ) x ( t r ) 1 6 武汉理- 【大学硕士学位论文 ：r ，o 弦r ( ，) 曲，7 p + p a ，+ p b i b i r 尸+ b ( f ) f = l 所以由定理3 1 假设的条件，当x ( t ) 0 时，有矿( f ) 0 ，所以连续模糊控制系统 ( 3 3 ) 全局渐近稳定。 定理3 2 如果存在正定矩阵p ，使得矩阵不等式 g + ， 0 ( 3 7 ) 盟+ ，o 2 ( 3 8 ) 成立，则模糊控制系统( 3 5 ) 全局渐近稳定。式中 g u = ( 彳f - c , r j ) f p + p ( a f - c , f j ) + p b , b i ，p 证明：选择l y a p u n o v 函数 y ( f ) = x 7 ( t ) p x ( t ) + lz 7 ( s ) x ( s ) a s -一甲 求y ( f ) 对时间的导数，并由式( 3 5 ) 得到 v ( t ) = j r ( t ) p x ( t ) + z7 o ) 尸戈o ) + x t o ) x o ) 一x t o r ) x ( t f ) = f ) ( f ) 【( 彳f c i f j ) x ( t ) + b i x ( t r ) 】rp x ( t ) i = lj = i + z r ( f ) 研( 么f - c , ) x o ) + b f x ( t - r ) 】j + x r ( f ) z o ) - - x 7 - r ) x ( t - r ) 由引理3 2 知 矿o ) f o ) ，o 弦r ( x ) 彳f - c , f j ) r p + p ( a f - c i f j ) + p b f 曰f r p + ，扛o ) + 扛lj 。l x7 o r ) x ( t f ) 一x t ( f r ) x ( t f ) ：圭主，o ) j ( f e ，( f ) 吞么，一c , f j ) f p + p ( a ，一c ：) + p e b ，r p + + ，b o ) i = l = l = ；( f ) z7 ( f ) ( 么f - - t i e ) 7 p + p ( a f c ：f ) + 尸曰，b i r p + i x ( t ) + f ( t ) t 如弦7 ( f ) 眦- c , f j ) r p + p ( a f - c i f j ) + p b f b i r p + i i = li ，( 3 8 ) ，当x ( f ) 0 时，有矿( f ) u ( 3 - 9 ) f ；i 1 f ，f1 一q 、 其中，；o ) 0 ，( f ) = 1 。 引理3 4 睇1 假设在任何时刻f ，被激活的模糊规则数小于或等于s ，1 s ， 则有 善翩一击苓2 聃w 脚 ( 3 - 1 0 ) 定理3 3 假设在任何时刻f ，被激活的模糊规则数小于或等于s ，1 s r ， 而且如果存在正定矩阵p 和q ，使得线性矩阵不等式 瓯+ ，+ ( s 一1 ) q o ( 3 11 ) 华小删f 歹 1 2 ) 成立，则模糊控制系统( 3 - 5 ) 全局渐近稳定。式中 岛= ( 4 - c ：j ) r p + p ( a i - c i f ) + p b i b i 7 p 证明：选择l y a p u n o v 函数 y ( f ) = x7 ( f ) a o ) + fx t ( j ) x o 灿 求y ( f ) 对时问的导数，并由式( 3 - 5 ) 得到 矿( f ) = 戈7 ( t ) p x ( t ) + z r ( t ) p j c ( t ) + 工r o ) x o ) 一x t ( f r ) x ( t f ) = 心址_ ，( f ) 证( 彳，一c 彤) 工( f ) + b i x ( t 一彳) 】r p x ( t ) 1 8 武汉理r 大学硕士学位论文 + 石7 ( f ) 尸 ( 彳f c f ) x ( f ) + b i x ( t - r ) + x7 ( f ) x ( f ) 一j7 ( f r ) x ( t - r ) 由引理3 2 知 矿( f ) r r 以址( f h7 ( z ) n c , f j ) 7 p + p ( a f c , f j ) + p b ，b i r p + ，扛( f ) + x 丁( f r ) x ( t f ) 一x r ( f r ) x ( t r ) ：r r ；( t ) k t jo h7 ( t ) k a ，一c i f j ) rp + p ( a ，一c ，) + p b ，b ，7 p + + ，k ( f ) i = 1j = l = ? o h7 o ) 【( 4 - c f , ) r p + p ( a ，一c i f i ) + p b i b i 2 尸+ ，p o ) + ，( t ) l t ，( f 讧r ( f ) ( 4 一g 乃) r p + p ( a ，一q ) + 册f b i r p + i f = li j + ( 彳j - c j e ) r p + p ( a 一q e ) + 尸易曰j t p + ，】x o ) ：圭? ( 啦r ( 硝瓯+ ，m f ) + 2 圭主以) h r ( f ) 鱼去鱼+ ， 川) - z 4o ) x 丁( f ) 瓯+ ，】z ( f ) + 2 k t ，o ) 弦ro ) ( f ) - zf l ：( t ) x r ( f ) g + m ( f ) + o 1 ) l ：( t ) x r ( f ) ( f ) = ? o ) 石r ( t ) g + ，+ o 一1 ) q x ( f ) 如果条件( 3 1 1 ) 成立，当石( f ) o 时，有矿( ) 全局渐近稳定。式中 1 9 武汉理1 ：大学硕十学位论文 g j - - ( a t c i f j 丫p + p ( a 一c i f j ) + p b i b f p 证明：选择l y a p u n o v 函数 y ( f ) = x r ( t ) p x ( t ) + ，x r ( s ) x ( s ) a s 求y ( f ) 对时间的导数，并由式( 3 5 ) 得到 矿( f ) = j7 o ) a ( f ) + 工r o ) 臌o ) + x7 ( t ) x ( t ) - x r o - r ) x ( t f ) = 心址必) 缸( 4 - - f i e j ) x ( t ) + b i x ( t f ) 】7 p x ( t ) i = 1j = l + x r ( f ) p 【( 么f c i f j ) x ( t ) + b f x ( t - r ) l + x 7 o ) x o ) - - x r ( f r ) x ( t f ) 由引理3 2 知 矿( f ) r r 。o 址，o 弦r ( x ) 4 一c ) r p + p ( a ，一c , f j ) + 鹧e r p + ，扛( f ) i = lj = t + x r o r ) x ( t f ) 一x r ( f - r ) x ( t - r ) ：r r 从( ，址，o 弦r ( f ) k 4 一c 乃) r p + p ( 4 一c ) + 邢，b ，p + + ，b ( f ) = t z i ( t ) x r ( f ) 眦一e e ) r p + p ( a ，一c i f i ) + p b r b i 7 p + i l x ( t ) + ，( f ) o 沁r ( f ) 【( 4 一c j )