（应用数学专业论文）一类不定常热耦合stokes问题.pdf

摘要 本文针对较为典型的工程问题及流体力学中常见的一类不可压拟牛顿流不 定常热耦合s t o k e s 问题进行研究，在假设初始温度 0 。r ( q ) ，耦合函数k l 。( f 2 x ( 0 ，r ) ) ，考虑齐次边界条件并假设耦合函数 p ，k c ( i r ( o ，丁) ) 是有界的条件下，主要研究了这类问题方程组弱解的存在 性，惟一性和解的爆破的一些结果，模型如下： 一2 v ( 卢( 日) d ( u ) ) + 即= f ， v 。u = 0 ， 0 ，一v ( ，c ( 9 ) v 口) = p ( 9 ) l d ( u ) i 2 ， u = 0 ， 0 = 0 ， o ( x ，0 ) = 0 0 ， ( x ，r ) q ( 0 ，r ) ； ，f ) q ( 0 ，丁) ； ( x ，f ) q ( o ，丁) ； ( x ，f ) f x ( 0 ，r ) ； ( x ，f ) f x ( 0 ，丁) ； ( x ，f ) q 全文主要包括三部分的内容： 第一部分，在引入变分问题的基础上，利用f a e d o g a l e r k i n 方法证明了此 类不可压拟牛顿流不定常热耦合s t o k e s 问题弱解的存在性。 第二部分，针对此类问题，利用嵌入定理的相关知识以及m e y e r s 估计和 s c h a u d e r 不动点定理证明了弱解的存在性。 第三部分，通过建立弱解对初边值的估计式，利用相关技巧得到弱解的惟一 性。同时在一定的假设条件下得到了解的爆破。 各部分中均将微分方程组转化为变分问题，通过研究相应变分问题的不动 点来研究原微分方程组解的存在性。在文章的证明过程中，嵌入定理，m e y e r s 估 计，s c h a u d e r 不动点定理和f a e d o g a l e r k i n 方法发挥了重要作用。 关键词：不定常，热耦合s t o k e s 问题，存在性，惟一性，爆破 a b s t ra c t s e v e r a lt y p i c a lk i n d so fp d em o d e l sc a l l e dc o u p l e dn o n l i n e a re q u a t i o n sh a v e b e e nc o n s i d e r e di nt h i st h e s i sa n dt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n db l o w u pr e s u l t so f t h er e s p e c t i v ee l l i p t i ce q u a t i o n sa r eo b t a i n e d t h em o d e li nt h i st h e s i si s ： - 2 v ( p ( 日) d ( u ) ) + v p = f ， v u = 0 ， 0 ，一v ( ，c ( p ) v 9 ) = p ( 9 ) l d ( u ) i 2 ， u = 0 0 = 0 ， o ( x ，0 ) = 0 0 ， ( 工，f ) q x ( 0 ，丁) ； ，f ) q ( 0 ，r ) ； ( x ，f ) q ( 0 ，丁) ； ( x ，f ) f x ( o ，r ) ； ，f ) f x ( 0 ，r ) ； ( x ，r ) q t h i st h e s i si sm a i n l yc o m p o s e do ft h r e ep a r t so fc o n t e n t s ： i nt h ef i r s tp a r t ，u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ev a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n ，e x i s t e n c eo f t h eu n s t e a d yt h e r m a l l yc o u p l e ds t o k e sp r o b l e mw h i c hd e s c r i b i n gt h eu n s t e a d yf l o w o faq u a s i - n e w t o n i a nf l u i dw i t ht e m p e r a t u r e d e p e n d e n tv i s c o s i t ya n dw i t hav i s c o u s h e a t i n gi sp r o v e du n d e rf a e d o - g a l e r k i nm e t h o d i nt h es e c o n dp a r t ，b ym e y e r se s t i m a t e ，s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e mt o g e t h e r w es t u d yt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h e t h e r m a l l yc o u p l e ds t o k e sp r o b l e m a n dt h ec o e x i s t e n c eo fe x i s t e n c ei so b t a i n e d t h et h i r dp a r ts t u d i e st h ee s t i m a t eo ft h ew e a ks o l u t i o nw h i c hd e p e n d so nt h e i n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t i o n si se s t a b l i s h e dt op r o v et h eu n i q u e n e s s r e s u l t so n b l o w u po ft h ew e a ks o l u t i o ni sa l s os t u d i e d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r et r a n s f o r m e dt ov a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o na l lt h ea b o v e p a r t s b yt h ee x i s t e n c eo ft h ef i x e dp o i n tf o rt h eo p e r a o re q u a t i o n ，w eo b t a i nt h e e x i s t e n c e f o rt h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，i n w h i c ht h e m e y e r se s t i m a t e ， f a e d o g a l e r k i nm e t h o da n ds c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e mp l a ya ni m p o r t a n tr o l e k e yw o r d s ：u n s t e a d y ，t h e r m a l l yc o u p l e ds t o k e sp r o b l e m ，e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ， b l o w u p i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以簟求实、创新一的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：燃 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 七甚喜，屯 一类热耦合s t o k e s 问题硕士学位论文 第一章绪论 十九世纪，一些科学家看到了理论流体与工程实际相差太远，试图给欧拉的理想流体 运动方程3 d _ k 摩擦力项。纳维( n a v i e r1 8 2 7 ) ，柯西( c a u c h y1 8 2 8 ) ，泊松( p o i s s o n1 8 2 9 ) ， 圣维南( s t v e n a n t1 8 4 3 ) 和斯托克斯( s t o k e s1 8 4 5 ) 分别以自己不同的方式对欧拉方 程作了修正。s t o k e s 首次采用动力粘性系数。现在，这些粘性流体的基本方程称为 n a v i e r s t o k e s 方程。s t o k e s 问题反映在小雷诺数情况下，不可压缩粘性流体的流动。 作为粘性，不可压缩流体的数学模型，包括了许多物理现象，在科学理论和工程技术 上都有广泛的应用如：高速空气动力学，边界层理论，湍流理论，水压泵的设计，塑料或金 属熔化，实验流体力学以及数值流体力学等方面均提出了这类方程此后的二百多年时间 里，包括许多著名数学家在内的众多科学工作者对这类方程进行了广泛深入的研究，在解 的存在惟一性，正则性，渐近性，稳定性，数值计算，最优控制等方面取得了一系列令人 瞩目的进展。 1 1 预备知识 1 1 s o b o l e v 空间及嵌入定理，m e y e r s 估计 设r ”为”维欧氏空间，q 为r ”中的区域用p ( q ) 表示一切定义在q 上的p 次可 积函数组成的集合r ( q ) 表示一切在q 上本性有界的可测函数组成的集合则按范数 甜q ) = ( i “( x ) l p 出) j ，1 p 材q ) 2 伽s 触u p i “( x ) i ，p2 0 。 一类热耦合s t o k e s 问题 硕士学位论文 l p ( f 2 ) 为b a n a c h 空间，而r ( q ) 为h i l b e r t 空间，其内积定义为 ( “，) = u v d x 用c ”( q ) 表示区域q _ km 次连续可微的函数组成的集合，c 。( f 2 ) 表示区域q 上无穷次 连续可微函数组成的集合，筒记c o ( t a ) 为c ( o ) 记区域q 上的偏微分算子d a = 研1 d 善“，其中d i = ，a 1 仅。为非负整数 c 糖： a = ( a l ，a 。) 称为玎重指标，记la 卜a l + a 2 + + a 。 设m 非负，1 p o o ，考虑函数空间 这个空间依范数 形p ( t a ) = u ：d “u p ( q ) ，l 口匿m ) ， 甜l i r a , p - - ( i 三渺计j ，1 p 。 i l u = m a x | | d 8 ul l 。p2 构成一e l b a n a c h 空间，我们称之为勋6 0 昆v 空间。又令附p ( q ) 为c 孑( q ) 按范数l | 甜卅，p 在空间w 帆，( t a ) 内的完备空间，则町，( t a ) 也是一个b 口胛口c 办空间 简记 h ”( q ) = 形哪( q ) ，h o m ( q ) = 帕( q ) ， l ，= k 2 一类热耦合s t o k e s 问题硕士学位论文 s o b o l e v 嵌人定理设qcr ”为有界区域，其边界m 是局部l i p s c h i t z 连续的，m ，k 为 非负整数，1 p o o ，则 形m + k , p ( q ) 专形k , q ( q ) ，m o ，使口( v ，v ) a ：v v h 其中 h = v ：b ( v ，咖) = o ，v 4 , m ) ( 2 ) 6 ( ，) 在日m 满足b b 条件，即存在常数卢 0 ，使 s 删u p b ( v , h 妒) 刚i m v 妒m 则混合变分问题存在惟一解 ，v ) h x m 1 3s t o k e s 问题预备知识 首先，我们简单介绍粘性不可压缩流体的数学模型：非线性n a v i e r s t o k e s 方程在运 动流体中任取一被封闭曲线r 包围的固定区域，记为q 。我们假设流体是粘性不可压缩的， 即流体具有抵抗两层流体相对滑动速度的性质以及质点的体积密度变化不大的性质对于 通常条件下的液体或低速运动的气体可以采用粘性不可压缩流体的模型设粘性系数为y ， 由于流体的粘性主要随温度变化，我们假设温度差足够小，就可以近似地认为) ，对整个流 体取同一数值 设“为流体的速度场，p 为流体的密度，p 为流体的张力，为单位质量力质量力指 流体的重力，惯性力以及磁场作用于带电荷的流体上的电磁力等力的合力 由质量守恒定律，有罢+ v ( 朋) = 0 优 由于假设流体是不可压缩的，所以流体的密度p 为常数从而v u = 0 再利用动量守恒定律，我们得到方程 詈一纶卅v 灿v p 币 其中 4 一类热耦合s t o k e s 问题硕士学位论文 v 肛挚毒肛c 夸 我们设流体在边界上速度为零，即u ( x ，f ) = 0 - 于f x ( o ，r ) 设流体在初始时刻速度“ ，0 ) = 于是可得到非线性n a v i e r - s t o k e s 方程 昙一心州棚 即吒嗡q ， v “= 0 ， i n q r ， u = 0 ， i n t x ( 0 ，丁) ， u ( o ) = u o i n q 这里，我们把单位质量力f 作为控制变量要求厂属于某个集合例如，在某一实际问 题中，我们可以通过在金属液体上施加磁场实现这种控制状态变量为速度场u 及张力p s t o k e s 问题反映在小雷诺数情况下，不可压粘性流体的定常流动。其中流速“及张力 p 为未知量。密度p 及粘性系数y 为给定常数。不可压流体中的张力张量取如下表达式 旷叫一串o x j + 其鹊= 任嚣上茄边第一项为流体眈第二蒯 反映由粘性引起的摩擦力。在定常运动的情况下，流速与时间无关，即孚：o 这时若仅考 讲 虑雷诺数较小的运动，则由于( u v ) u 与其他项相比可以略去，这一运动方程又可以显著 化简，得到如下线性方程一心“+ 即= 厂，此方程与连续性方程一起，再加上适当的边界 条件就可以将运动确定下来，这一偏微分方程的边值问题称为定常s t o k e s 问题 5 一类热耦合s t o k e s 问题 硕士学位论文 第二章研究现状评述及本文主要结果 本文主要研究的模型为以下不定常热耦合s t o k e s 问题，它是用来描述具有粘性热的不 定常不可压拟牛顿流问题： 一2 v ( ( p ) d ( u ) ) + v p = f ， v u = 0 0 ，一v ( ，c ( 9 ) v p ) = p ( 日) l d ( u ) i2 ， u = 0 0 = 0 ， o ( x ，0 ) = 0 0 ， ( x ，r ) f 2 x ( 0 ，r ) ； ( x ，f ) f x ( o ，r ) ； ( x ，f ) q ( 0 ，r ) ； ( x ，) f x ( o ，r ) ； ( x ，f ) r ( 0 ，丁) ； ( x ，f ) q 本文分别利用f a e d o g a l e r k i n 方法和s c h a u d e r 不动点定理研究了以上方程组解并 得到了以下关于弱解的存在性，惟一性和解的爆破的一些结论。 定理2 1 ( 存在性) 假设氏r ( q ) ，k r ( q ( o ，丁) ) ，考虑齐次边界条件并假设耦 合函数p ，k c ( 侬( 0 ，丁) ) 是有界的，即存在常数2 2 p l o ，k 2 k 1 0 使得对任意 毒r ， t l ( 考) p 2 ，k l k ( 考) k 2 成立，则以上方程组存在一个弱解。 定理2 2 ( 惟一性) 若对任意考r ，p l p ( 考) a 2 ，k 1 k ( 专) k 2 成立。则以上方程组有惟一解。 定理2 3 ( 解的爆破) 假设，静 o ，k 2 k l 0 使得对任意考侬， a l p ( 毒) p 2 ，k l k ( 考) k 2( 3 2 ) 假设f ( l 2 ( 0 ，丁；r ( q ) ) ) d ，贝j j ( 3 1 ) 的变分问题可以写为： 对f ( o ，r ) ，找出( u ，p ，p ) ( “1 ( q ) ) d 瑶( q ) 磁( q ) 使得 其中 a ( o ；u ，v ) + 6 ( v ，p ) 一( f ，v ) = 0 ，v v ( ：( q ) ) j ； b ( u ，g ) = 0 ，v q 茂( q ) ； ( 3 3 ) ( 臼，r 7 ) + ( k ( 9 ) v 8 ，v r l ) 一( p ( 臼) i d ( u ) l2 ，7 7 ) = o ，v 叩日：( q ) nr ( q ) a ( o ；u ，v ) = 2 ( p ( p ) d ( u ) ，d ( v ) ) ， b ( v ，q ) = 一( g ，v v ) 8 一类热耦合s t o k e s 问题 硕士学位论文 ( ，) 表示f ( q ) d 和l r ( q ) d 之间的对偶积，d = 1 , 2 ，3 ，是，的对偶数。 l o c n ) = g r ( q ) l g = o 。 引入空间： v = v ( 日j ( q ) ) j i v v = o ， 由( 3 3 ) - 7 得：对f ( o ，t ) ，找出( u ，臼) v 磁( q ) 使得 州m ( 口篇籍编酬：v v 叩v v ；7 1 )n g ( n m ( q ) ( 3 4 ) i( 日，7 7 ) + ( k ( 口) v 8 ，v 叼) = ( | “( p ) f d ( u ) i ， ，v 叩) 厂、。( q ) 、7 经典k o r n s 不等式蕴涵着在空间( 日j ( q ) ) d 中范数l l d ( ) 忆与范数”峙是等价的。条件( 3 2 ) 蕴涵着 口( 9 ；v ，v ) 2 p ，p ( v ) 峨 v ve ( h 1 ( q ) ) d 且 a ( o ；u ，v ) 2 p ：忪( u ) d ( v ) 忆， v u ，v 饵1 ( q ) ) d 定义3 i 1 s r ( r ( 1 ，) ) 表示i r d 的一类正则子集g ，其s t o k e s 算子将 ( 瑶7 ( g ) ) 。= ( 1 ，7 ( g ) ) 4 i v v = o a ic w - 1 7 ( g ) ) 4 。 注3 1 2 对，( 1 ，o o ) ，有界c 1 区域或是具有足够小的依赖于d 和，的l i p s c h i t z 常数 的有界l i p s c h i t z 区域均属于s ，类。 假设q 是墨类的，其中， 2 。对1 s ，定义虬1 i n f s u p i ( d ( u ) ，d ( v ) l1 v ( 啼4 ) 4 0 ) u ( w 4 ) 4 o ) 驻丽丽赢2 而 注3 1 3 同文献 1 中鸩 0 ，定义 击= 等2 m ”帆糕k ) 0 ，c ，、 3 2 + k 7 使得u ( w o 5 ( q ) ) d 且存在如下估计 l i o ( u ) l l r c 。i t f l l 妒一。，c i i t l l p ， 若引理3 1 4 中的j 满足 s 1 2 5 ，若d = 3 ， 得到 恤8 ) i d ( u ) j 2 ，r 7 i - o ，g 拥( f ) 可以延拓至( o ，r ) 上。利用紧性结果， f i t ( 3 1 1 ) 知： 1 9 kj 在p ( ( o ，丁) ；r ( q ) ) 中一致有界， 1 9 靠j 在r ( ( o ，丁) ；日j ( q ) ) 中一致有界， 在( 3 9 ) 两端分别乘以 ( f ) 及g 厶( f ) ，并关于f 求和得 ( 吃，一a o 厶) + k 1 l 吃8 2 = ( 卅d ( 玑) 2 , - a 0 ) ， 雌卜k ( a 0 。d ；。) = ( “l d ( u ) 2 m ) ， 将上述两式关于f 积分得 扣螂) 睁冲吼2 加扣( o ) h 2 川脚；) 1 2 ，- 色。地 三0 v 日厶( r 川f 2 + i k 0 p 已0 f 2 d - r = 三0 v 唾。( o ) 0 f 2 + i ( p i 。( 甜；) 1 2 ，日；。矽r ， 同前面一样对这两个式子进行处理得 j 在r ( ( o ，r ) ；h j ( q ) ) 中一致有界， 1 9 厶j 在r ( ( o ，丁) ；2 ( q ) 厂、酬( q ) ) 中一致有界， j 在r ( ( o ，丁) ；r ( q ) ) 中一致有界 由此可知，存在子列( 仍记成 1 9 。j ) ，使 0 - 吼在p ( ( o ，r ) ；日j ( q ) ) 中， 。v 0 k 旦专色在f ( ( o ，r ) ；r ( q ) ) 中， 0 。里时吼在r ( ( o ，丁) ；日2 ( q ) n h ：( q ) ) 中， v 。 。曼一在r ( ( o ，丁) ；r ( q ) ) 中， 7 1 2 一类热耦合s t o k e s 问题硕士学位论文 利用a u b i n 紧性引理知9 厶里一吼在r ( ( o ，丁) ；日j ( q ) ) 中。x 0 。( o ) 一8 ( o ) 在r ( q ) 中，但臼厶( 0 ) 一。知，故a 厶( o ) = 9 岛。在( 3 9 ) 中令朋一0 0 取极限得 ( p ；( f ) ，国) + k ( v 吼，v ) = ( 1 2 d ( u ) r ，) 所以( 3 6 ) 存在弱解： 以r ( ( o ，丁) ；叫( q ) ) n f ( ( o ，丁) ；日2 ( q ) r 、硝( q ) ) ， 匪r ( ( o ，丁) ；r ( q ) ) 3 3 用s e h a u d e r 不动点定理证明解的存在性 引理3 3 1 令乃= “( 考) l d ( u ) 1 2 ，若乃r ( 0 ，t ；h - 1 ) ，则以下方程组存在惟一解p ， p 丢( 日，卅上吣) v p v 枇= ( 锄) , v r l h j 。 ( 3 1 1 ) b 矽( o ) = 8 。， 且有p l 2 ( o ，丁；日j ) n c ( ( o ，丁) ；三2 ( q ) ) ，0 ，l 2 ( 0 ，t ；h - 1 ) 。 令7 = 0 ，可以得到 三护d ( f 屺+ k v o1 2 凼= ( ( 0 ) ld ( u ) t 2 ，日) k ：i | d ( u 剐2 m a x ( d ，2 ) ，i = 1 ，2 ， ) 睡+ 上1 l v o 巩如+ 上l l o u ( 圳f 2 出c ( 圳i + 啡+ 怫+ 舻( 叫f 2 如) ，v r 丁 其中 0 = 0 l 一0 2u = u l u 2 , 0 0 = 0 ：- 0 2 0 ，u o = u ：一u 2 0 ，k = k 1 一k 2 ，i t = p 1 一p 2 ， j c i p = s u p 。k ) i ，i p l p = s u p 。l u ( r ) l ，c = c ( t ，v o is , 2 s l ( 2 - d ) 0 v ( u ，) k ：。：一j ) ) r e 代 f 证明用9 2 满足的方程减去岛满足的方程，可以得到 0 ，= v ( k 1 ( 臼，) v o 。一k 2 ( p ：) v 0 2 ) + p 1 ( 臼。) i d ( u 。) 1 2 一t 2 ( p 2 ) l d ( u ：) 1 2 = v ( k 1 ( b ) v o + v ( ( k 1 ( a 1 ) 一k 1 ( 臼2 ) ) v p 2 ) + v ( k 1 ( 日：) 一，c 2 ( p 2 ) ) v 臼2 ) + ( 1 ( p ，) 一p 1 ( p 2 ) ) i d ( u 。) l 2 + b t l ( p ：) d ( u ) ( d ( u 。) + d ( u 2 ) ) + ( p 1 ( d 2 ) 一p 2 ( 9 ：) ) l d ( u 2 ) 1 2 1 6 一类热耦合s t o k e s 问题 硕士学位论文 若同时乘以p 并在q 上积分可以得到 三丢+ k 1 i v o l 2 出j l 磊d 2 l 2 + k 1 ( b ) l v o l 2 出= ( k 1 ( 9 ：) 唯1 ( 9 。) ) v 。2 v 眺 + ( k 2 ( 日：) 唯1 ( 日：) ) v 臼：v 0 d x + ( p 1 ( 臼。) 叫1 ( 臼：) ) l d ( u 。) 1 2 0 d x + p 1 ( 8 ：) d ( u ) 。( d ( u 。) + d ( u ：) ) 臼i 出+ ( p 1 ( p ：) 叫2 ( 臼：) ) l d ( u ：) 1 2 0 d x 利用h o l d e r s 和y o u n g s 不等式可以得到 ( k 1 ( p ：) - x 1 ( 9 ，) ) v 8 ：v ( k 2 ( 日：) 唯1 ( 臼：) ) v p ：v _ k i v o ：i t v 0 1 1 0 1 d x g l l v 0 ：忆f o i l fi 1 0 1 1 ；嘶埘 - t i v o l i ；+ c , l l v o ：i i ；1 1 0 1 1 ；。，：， ( 1 ( 臼，) 叫1 ( 9 ：) ) i d ( u 。) 1 2 l f a - t 1 ( 9 ：) d ( u ) ( d ( u 。) + d ( u ：) ( p 1 ( 臼：) 一p 2 ( 臼：) ) i d ( u ：) 1 2 - i k i 。i i v 0 2 1 1j i i v o i ie s l i v 9 嘭+ e 雌20 v 9 ： - k l i o ( u 。) 1 2 i o l 2 d x k 慨酬冲。， t 2i i d ( u ) l l fi i d ( u 。+ u ：) 口峙恤：，= ， 慨u ：) 删e 。，川矿 _ cd ( u 2 ) | 巴( | l p i l r 2 ，。m ，+ i p l ) 为了估计，要估计u 。所以，用u 1 和u 2 满足的方程得到 ( p 1 ( a 1 ) d ( u ) ，d ( v ) ) = ( ( p 1 ( 9 2 ) 一p 1 ( p 1 ) ) d ( u 2 ) ，d ( v ) ) + ( ( p 2 ( 臼2 ) 一p 1 ( 9 2 ) ) d ( u 2 ) ，d ( v ) ) 1 7 眺 叫 胁 令v = u u o ，可以得到 0 d ( u ) 睡c i i d ( u 北( 0 d ( u ：) 忆归0 p 恤：，+ l p b0 d ( u ：) 忆+ | i d ( u 。) k ) + l l d ( u ：) j ld ( u 。) 0 fo l r 川m ，+ l i d ( u ：) | | rd ( u 。) 0 f l p i r 】， 利用y o u n g 不等式， d ( u ) 嘭s ed ( u ) 眨+ c ：( 0 d ( u ：) 眩2 咿o p 2 恤：，+ i p i p 20 d ( u ：) 眨+ i l d ( u 。) 眨) ， 因此，可以得到 且 d ( u ) 忆c ( i l d ( u ：) 忆o l f 巾嘲+ i p l pd ( u ：) k + l l d ( u 。) 忆) _ c ( 1 l d ( u ：) 1 1 ri o l l 。，+ l p i pd ( u ：) l i r + i d ( u 。) i i f ) ， ，c ( i i d ( u1 ) 0 + l i d ( 甜：) i i r 2 ) l | d l l r 2 ，。，：， + 0 d ( u 。+ u ：) | i r0 9 0 r ，。，一：，( i i p i i d ( u ：) 0 r + i i d ( u 。) l i r ) 】 c ( t i d ( u , ) 嘭+ l i d ( u ：) 酬呲巾叫+ 川r 2 慨u ：) 睡+ l i d 0 ， 圭j d ；1 1 0 1 1 粤i i v 0 1 1 ：2 鲰( 1 1 0 1 1 ：, + i i v 怕 + c ( 1 l v o ：矿训+ l i d ( - 堆如硼+ l i d ( 酬苫如卅) 1 1 0 1 1 ：, + c d d ( u 。) 略+ 雌2 ：i i ；+ 川r 2 慨u ：) ， 其中q 是依赖于得常数。因此，令3 s = ，c l 6 ， tl l o l l ；+ k i i v a 嘭c ( 1 + i i v 日：o 戌，一) + o 。( u 。) l i “f 可) + o 。( u ：) 瞎戌f 卅) l l o l l ：, + 慨u 。) 睡+ 雌2 舯：睡+ p 2 慨u ：) 肌 利用g r o n w a l l s 引理可得， 所以， 同时， ；+ 毋l v p i l 2 r d f 茎i i o o l l ；，c ( 丁) 0 k i ；( j ) l v o ：矿训d r ) 卜州5 + 肛叫+ 眦( 肛训如严1 ， 1 0 + 由i v o i l d r _ c ( 0 0 + i k l + l l + 毋i d ( u 洮2 如) ， 0 d ( u 。) 嘭c ( 0 d ( u ：) 嘭0 臼嘭l - ( d l s ) ) ( 1 h 巴+ i v o l ) 引。+ i l d ( u 。) 睡+ l 卢b l i d ( u ：) 睡) ， 在0 到t 上积分并应用h o l d e r s 不等式可得： 田i d ( u ) | l d r c ( 田i d ( u z ) 0 舾一由d r ) j 一4 ) ，5 ( j ： l l o l l ；+ 0 v 2 产) d r ) d ，5s t u t p l p 9 ；1 一“4 + 田l d ( u 。) i + i 卢i ( 田l d ( u ：) 1 l 心一引d r ) ( s - d ) l s d v 结论得证。 - o ，x 咀o 咻如) 坞v 舢，p 2 0 , v s 0 , r 斋针若 d r ( x ) 是r 上的表面测度，令九寸工lu - z1 2 讹) 在九= 瓦= 币1 f u d r ( x ) 时得到最，j 、 值，所以若令“q2 去丘出，对一些常数c ，可以得到： 工lu - 瓦1 2 d r ( x ) 工l 甜一甜n1 2 d r ( x ) 0 均成立，从而得出问题解是存在的。通过建立 弱解对已知初边值的估计式可得弱解是惟一的。给出了在一定条件下解的爆破的结论。 2 1 一类热耦合s t o k e s 问题硕士学位论文 对这类问题的有限元分析已经得到了广泛的关注。进一步的研究也可以对其进行全局 吸引子存在性的研究。本文考虑的只是较为简单的工程问题模型，在实际生活中，我们遇 到的问题往往更为复杂，我们可以进一步深入研究更为复杂的模型及发掘它们解更多的性 质。例如，人们在实践中都非常关心流体的稳定性问题，即当外界对流体有小的干扰时， 考察流体的速度场是否变化不大的问题。反馈控制长期以来也一直为人们所关注，其中一 个重要的问题是选取适当的反馈，即控制变量与状态变量的关系，使得相应于这个反馈系 统的状态变量在长时间后与某个给定的函数充分接近n a v i e r s t o k e s 方程速度追踪问 题，稳定性问题及反馈的稳定性问题在工程中也有很多广泛的应用如化学反应流，燃烧问 题，最优区域规划，湍流的减少，可控性，阻力的减少等。 一类热耦合s t o k e s 问题 硕士学位论文 参考文献 【1 】z h uj ，l o u l aafd ，k a r a mfj , g u e r r e i r ojnc ，f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i so fac o u p l e dt h e r m a l l y d e p e n d e n tv i s c o s i t yf l o w p r o b l e m j c o m p u ta p p lm a t h ，2 0 0 7 ，2 6 ( 1 ) ：4 5 6 6 【2 】b a r a n g e rj ，m i k e l i ca ，s t a t i n a r ys o l u t i o n st oaq u a s i - n e w t o n i a nf l o ww i t hv i s o u s h e a t i n g j m 3 a s ：m a t hm o d e lm e t ha p p ls c i ，1 9 9 5 ，5 ( 6 ) ：7 2 5 - 7 3 8 【3 】a n t o n t s e vsn ，c h i p o tm ，t h et h e r m i s t o rp r o b l e m ：e x i s t e n c e ，s m o o t h n e s s ，u n i q u e n e s s ，b l o w u p j s i a mjm a t ha n a l ，1 9 9 4 ，2 5 ( 4 ) ：11 2 8 11 5 6 【4 】管平，李刚，一类热流问题解的存在性【j 】南京气象学院学报，1 9 9 7 ，2 0 ( 2 ) ，1 9 9 2 0 4 【5 】w a r d is ，ac o n v e r g e n c er e s u l tf o ra ni n t e r a t i