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摘要 k i n g w e r n e r 迭代及其变形形式的收敛性分析 摘要 求解b a n a c h 空间中非线性方程 f ( z ) = 0 的算法问题，一直是数值工作者所研究的问题迭代法是求解非线性 方程的重要工具，迭代法优劣的选择直接影响到各种非线性问题结果 的好坏解非线性方程组f ( z ) = 0 的k i n g w e m e r 迭代是一个计算效率 较高的算法本文主要研究k i n g - w c r n c r 迭代及其一个变形形式在弱 条件下的收敛性 文章共分三个部分第一章中，我们综述了k a n t o r o v i c h 条件提 出以来，人们对其 l i p s c h i t z 条件所给出的各种修正，以及由此得到 的k i n g w c m c r 迭代的收敛性定理 第二章，对于已有的k m g - w e m c r 迭代的收敛性定理，给出修正 条件，用递推法的技巧证明了算子的一阶f r d c h c t 导数满足h s l d e r 连 续条件时的半局部和局部收敛性定理本章讨论的条件使得原有 的k a n t o r o v i c h 条件得到了扩展，在某种程度上可以解决更一般问题 第三章，我们利用b a n a c h 空间中的的差商代替导数。给出了 个k m g - w e m e r 迭代的变形形式在第二节中我们得到变形迭代在满 足一阶h 6 1 d e r 条件下的半局部和局部收敛性定理在第三节中我们在 王兴华所做工作的基础上，借助于优函数的技巧得到了变形形式在更 般的弱l i p s c h i t z 条件下的半局部和局部收敛性定理 关键词：k l u g w e m e r 迭代，收敛性，h s l d e r 条件，弱l i p s c h i t z 条件，差商 a b s t r a c t o nt h ec o n v e r g e n c eo fk i n g w e r n e r i t e r a t i o na n dd e f o r m e dk i n g - w e r n e r i t e r a t l o n a b s t r a c t t h e a l g o r i t h mp r o b l e mo fs o l v i n gt h en o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n f p ) = 0 i nb a n a c hs p a c eh a sb e e no n eo ft h em o s ti n t e r e s t i n gp r o b l e m sf o rm a n y n u m e r i c a ls c i e n t i s t s o n eo ft h em o s te f f i c i e n ta l g o r i t h m st os o l v et h i s p r o b l e mi st h ei t e r a t i v em e t h o d w h e t h e ran o n l i n e a rp r o b l e mw i l lb e s o l v e d w e l l o r n o t i s d i r e c t l y a f f e c t e d b y t h e c h o i c e o f i t e r a t i v e m e t h o d n l e k i n g - w e r n e rm e t h o di sa l le f f i c i e n to n ef o rs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n s 强et h e s i sm a i m ym a k e sa n a l y s i so nt h ec o n v e r g e n c eo f k i n g - w e m e ri t e r - a t i v em e t h o da n dt i l ed e f o r m e dk i n g w e m e ri t e r a t i v em e t h o du n d e rs o m e w e a kc o n d i t i o n s n i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e w es u m m a r i z e v a r i o u sc o w e c t i o n so f l i p s c h i t zc o n d i t i o ns i n c ek a n t o r o v i c hc o n d i t i o nw a s p u tf o r w a r d ，a n dt h ec o n v e r g e n c et h e 饼e mo fk i n g - w e r n e rm e t h o d i nc h a p t e rt w o ，t h ec o n d i t i o n so fs o m ee 虹s t e dc o n v e r g e n c et h e o r e m s a r ei m p r o v e d b yu s i n gt h er e c u r r e n c et e c h n i q u e ，w eo b t a i nt h es e r n i l o c a l a n dl o c a lc o n v e r g e n c et h e o r e m su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ef i r s tf r 6 c h e t d e r i v a t i v es a t i s t i e sh o l d e rc o n d i t i o n t h ec o n d i t i o n su s e di nt h i sc h a p t e r i m p r o v et h ek a n t o r o v i c hc o n d i t i o n , a n dc a nb es a t i s f i e di nm o r eg e n e r a l p r o b l e m s i n c h a p t e r t h r e e ，w e r e p l a c e t h e f i r s t d e r i v a t i v e i n k i n g - w e r 耳e r m e t h o d 一一 b yt h ef i r s td i v i d e dd i f f e r e n c eo ffa n dg e tt h ed e f o r m e dk i n g - w e m e r m e t h o di nb a n a c hs p a c e s i ns e c t i o nt w ow ep r o p o s et h es e m i l o c a la n d l o c a lc o n v e r g e n c et h e o r e m sf o rt h ed e f o r m e dm e t h o di nh o l d e rc o n d i t i o n i ns e c t i o nt h r e e ，i ns p i r i to fw a n g x i n g h u a sw o r k , t h es e m i l o c a la n dl o c a l c o n v e r g e n c et h e o r e m sa l eg i v e nf o rt h ed e f o r m e dm e t h o dw i t ht h ea i do f m a j o r i z i n gf u n c t i o nu n d e rak i r i do fw e a k e rl i p s c h i t zc o n d i t i o n ，r e s p e c - t i v e l y k e yw o r d s ：n g - w e m e ri t e r a t i v e ，c o n v e r g e n c e ，h i s l d e rc o n d i t i o n ， w e a kl i p s c h i t zc o n d i t i o n ，d i f f e r e n c ed i v i d e d m 一 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中赊了特别加以标注_ 和致谢的地方外，不包含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名；卢 岩支隰 学位论文使用授权声明 多内7 肛7 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影 印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后 遵守此协议。 ， 研究生签名夕支一名：缎式隰2 多吵履 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数 据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年 份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文 中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：卢名走 指导教师：酝斌 一、综述 一、综述 随着科学技术的发展，科学计算日趋重要在系统模拟领域，工程设计和工程 物理研究中，很多问题都可以归结为对b a n a c h 空间中非线性方程的求解设x ，y 同为实的或复的b a n a c h 空间，f ：n x y 为非线性算子，求解非线性方程 f 仁) = 0 ( 1 1 ) 的算法问题，无论从实践还是理论上考虑都有其重要意义丽在众多解决问题 ( 1 1 ) 的计算方法中迭代法是一类广泛应用的数值方法，其中。以n e w t o n 法 x r v - i = 霉。一f 0 。) 一1 f ( o 。) ( 1 2 ) 最为著名在b a n a e h 空间概念提出以后，k a n t o r o v i c h 1 1 第一个给出了建立在b a n a c h 空 问上关于n e w t o n 迭代法收敛的定理以下把k a n t o r o v i c h 条件记为托 条件k ： ( 1 ) f 是x 的一个非空凸子集n 到同型空间y 的可微f r 6 c h e t 算子； ( 2 ) 存在点x 0 q ，使得f ( z o ) - 1 存在。且l l f o ) 一1 f ( 黝) i lsq ； ( 3 ) i i f ( x o ) 一1 ( f 7 p ) 一f 恒) ) 0sk l l x 一0 ，v z ，y f l ； ( 4 ) h = r k 1 2 ； ( 5 ) 虿i 丽q ，其中矿= 峄，舌i 丽= z ：i i x 一蜘i l 圹， 此后，有大量的文献研究了k a n t o r o v i c h 定理，主要是针对条件影中的( 3 ) 进行 修正，相应的条件( 4 ) ，( 5 ) 也会发生变化r o k n e 2 和a r g y r o s 3 以f 满足h s l d e r j 童 续条件 l i f 7 仁o ) 。( f 7 如) 一f 7 ) ) 0 耳忙一训9 ，协，q ，0 ( 0 ，1 j 来替代( 3 ) 中的l i p s c h i t z 条件对于上述条件( 3 ) 的改进和推广还可见于文献 4 - 1 1 1 后来，王兴华f 1 2 】对方程( 1 1 ) 解难一性提出了更一般化的条件，并给出了解存 在的唯一球半径： 定理1 1 ( 王兴华，( 1 2 】) 设f 在闭球b ( x o ，r ) 中有连续导数f 7 ，且f ( $ o ) - 1 存在 令= l i f 7 ( 知) - 1 f ( x o ) 0 b 设当p 6 时，扎 r r 2 ；当p = 6 时，r = n ，其 中6 = j u l ( u ) d u ，r 1 ，r 2 分别为忍0 ) = p t + 片l ) o u ) d u ，0 t r 的两个 零点，r 0 和冗分别满足舻l ( u ) d u = 1 ，壶fl ( ) 一u ) d u = 1 则当f 7 0 0 ) - 1 f 满 足关于正的可积函数l 平均的中，i = i , l i p s c h i t z 条件 i i ( x 。) - i f o ) 一川5 - “l ( 珏) 比，比百丽 ( 1 3 ) j 0 时，这里p 扛) = i i x 一：e o l l ，方程( 1 1 ) 在闭球百巧丽中有唯一解 矿取i 巧两刁砸忑习i 取而- _ 一、综述 同时文献【1 2 】中也给出t n e w t o n 法的弱l i p s c h i t z 条件下的收敛性 定理1 , 2 【1 2 1 设f 在闭球b ( 。o ，r ) 中有连续导数f ，f 7 扛o ) _ 1 存在令芦= l i f 7 ( z o ) 。f ( x o ) i i b 设当口 6 时，r 1 r o ； ( 4 ) 对任意的z q ，h w 有 i l f 0 ) 一f 7 白) | isl , i i x 一l l ， i i f ”( z ) 一f ”( v ) h l i l 2 ，口i l z 一0 。0 忍0 成立，其中1 ，l 2 。为大于。的常数，则迭代格式( 1 4 ) 产生的迭代序列 嚣。 ， 口。 收 敛，且收敛阶为i + 、，厦 随后，王兴华【2 0 】在算子满足二阶l i p s c h i t z 条件下用优函数的技巧证明 了k i n g w e m e r 迭代的收敛性，对k i n g w e r n e r 迭代格式的研究还可见于文献 2 3 2 9 最近，叶瓤涛，李冲 2 1 1 利用文献 1 2 1 的思想证明了迭代格式( 1 4 ) 在二盼导数 满足关于己平均的弱l i p s c h i t z 条件时的收敛性 本文第二章将给出k i n g - w e m e r 迭代在h 6 1 d e r 条件下的收敛性定理第三章 利用文献 2 2 】提出的用b a n a c h 空间中的差商替代导数的思想，给出一种避免k i n g ， w e m e r j 叁_ 代格式导数求逆的算法 蚍x n + l 三篡鬟牢鼎 乱：0 12 s ， l 竹1 = 噼1 一b 。，；f l - 1 f 扛时1 ) ， 乱= ， ”一 如文献【2 2 】中所介绍的，f 在z ，口n 的一阶差商算子h 霉；f 】：ncx y 是一 个线性算子，并满足 【，；f 】( 一z ) = f ( v ) 一f ( 卫) 上述迭代法的形式在文献 1 9 1 ，【2 0 中都有所提及，对于它的计算效率研究可见文 献 3 2 1 在第三章中，我们用正的非减函数l 在文献【1 2 】条件下利用优函数的技巧 证明了方程( 1 1 ) 解的唯一性及迭代格式( 1 5 ) 的收敛性定理， 一3 一 三：鉴! 婴! ! ! 竺! ! 堡! ! 垄里二：墼墨丛工塑塑墼丝一一 二、k i n g w e m e r 迭代在更一般条件下的收敛性 ( 一) 、h 6 l d e r 条件下的收敛性分析 1 、引言 设x 和y 是b a n a c h 空间，f 是x 的一个非空凸子集q 到同型空间y 的可微f r 一 h e t ：算- t r ek i n g 1 8 i 和w w e m e f 【1 9 】分别独立提出一个求解算子方程 尸= 0 ( 2r 1 ) 的两点迭代法 j 茹仲+ 1 = z nf 7 ( 1 2 笋) - 1 f ) ，( 2 。2 ) 1 肌冲1 = a k + 1 一f ( 1 2 音垃) 一1 f ( z n + 1 ) ， 札= 0 ，1 ，2 r 、。 并指出对于一类满足一定条件的算子这个迭代格式在其零点附近的确存在着一 个收敛域，且其收敛阶为1 + 、，偃 文献【2 0 俐用优序列的技巧，很好地解决了关于飚n g w e m e 越代收敛性的问 题在两个初始值。o 和o 都可以任意选取的一般情况下，证明了以下结果( 见文 献 2 0 1 的定理2 ) 定理2 1 设算予f ( z ) 在n 上具有“p s d t z 连续的二阶f r h e t 导数f ”0 ) ： | | f ，( z 川m ，v x q ， i i f ”p ) 一f ”0 引1 l 忙一。川， 比，一q 假定 8 加一z o l l 下，l l 茁1 一v o l t 叮，l l f 7 ( ；( z o + 蜘) ) 一1 ls 反 m + 毳l 一卜”，禹) 弛 ，= x 所 l ； ( i i ) 当z ，( 0 ，1 ) 时，a ( z ，) 为非负且递增 证明：显然，从条件直接可证得 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 引理2 2 令序列 ) 和( k 如( 2 5 ) 及( 2 6 ) 所定义，a o 1 ，0 口1 知 1 ，且o b i l b o 1 ，则 ( i ) 序列 豫和( k ) ：都是严格单调递减序列； ( i i ) k ，y ( 1 + 8 ：1 k l ，其中7 = b i l b o ( 0 ，1 ) ，v 几21 ； ( i i i ) 6 n ，y 韭掣生6 0 ，v n 1 证明：我们用归纳法来证明( i ) 和( i i ) 由引理条件- l 知a t a o ，b l 1 ，现 假设a 。 a n “k k “由引理2 1 及( 2 5 ) 和( 2 6 ) 式可得 n ，i + l a n ，巩讳1 k 对( i i ) 同样由引理条件可知当仃= l 时成立，现假设当 = 1 ，2 ，n 时，b i ，y ( 1 + 8 ) “1 玩一l 都成立，因此 b n + 1 ：，( 口，i + 1 ) ( 1 + ，( ) 8 ) 9 ，( n r i ) 。h 一。l + 口 ，) ( 1 + ，( 一1 ) 。) 9 f ( a n 一1 ) 。醮1 + 一。订( 1 删8 = 1 ( 1 十砷“k ( i i ) 得证至于( i i i ) 对任意竹1 。我们有 k7 ( 1 + 田”一1 b n l ，y ( 1 + 砷“一1 ，y t l c o ) 卜2 k 一2 s ，y ( 1 w ) “一，y ( 1 ) 俨2 ，y ( 1 卅) ，y b o ：，y 韭2 乒6 0 一6 一 引理2 2 得证 引理2 3 设f 是x 的一个非空凸子集q 到同型空间l ，的可微f 幽h e t 算子且满 足( 1 3 ) 条件及引理2 2 ，则对任意n 21 我们有： ( i j0 l 二1 l o l ls l 2 - 1 l o l i ，( c h 1 ) ； ( 如) 蚪l 一，( o 。l 川一z 。虬 ( 。) 未i i k l l 硎l 鲰一旷k l ； ( ji i 蚍1 一+ 1 0 k 一1 ( 1 + ，( 一1 ) 。) l l z 蚪1 一$ n l 卜 证明：我们用归纳法来证明以上结果i ：1 ：1 t a y l o r 4 _ 式及+ 1 = z 。一坛1 f ( 茹。) 可得 1 f 0 t 冲1 ) = l 二1 f ( x 。) + l 二1 f 7 扛。) 0 l 一茹n ) p i + 坛1 i f 7 ( z 。+ t ( x 。+ 1 一z 。) ) 一f ( $ 。) l ( z 。+ 1 一x 。) d t o = l ：1 i f 7 ( - 茹* - t + - - 、j f ，( 如) 】l n f ( $ n ) ，1 + l - 1f 【f 7 。+ t 0 一l 一。) ) 一f 7 。) 1 蚪1 一z n ) d r j 0 当扎= l 时 i l y l - x l l l ：o l i f ( z 。川咩 i x l - - 茹0 i | + 旦垩；l | 。，一x o u ( 等+ 篙l l x l - z o “， t l z - l 捌f s 忖( f ，( ( x o + 2y o ，) 川半) ) l | 耳l l 罕旷 k ( 8 字i 字n 釉 划。+ y l - - x l 酽+ i x l - - x o 旷+ u u o x o u 8 ) 可2 k r l 9 + 譬倦+ 篙卜等 由e 删仉帆乱引理得，l f l 存在，1 目i l l 1 l o l fsf ( a o ) 1 l x 2 一茹1 0 = l i l ? 1 f 1 ) l sh l r l l o l l l l l 0 1 f ( z 0 1 ls ，( n 0 ) | l l 一。1 0 7 一 二、k i n g - w e r n e r 迭代在更般条件下的收敛性 丽ko l - 1 l o l l l l y i - x ，1 1 9 箬，( 0 0 ) o y l 一卫，旷：6 0 ， 当口( 0 ，l 】时，有1 + 0 22 。因此我们有 l l 矽2 一z 2 l l ：l l l i - 1 f ( 。2 ) 1 1sk i l f ，l 。l i ! ! ! ；三；坐z 2 一$ 。l l + k i i l i l l o l l 等 i x 2 - - x l i l k 旧l 。u 虹型咚崆堡业u 茹2 - - x l i l b o ( 1 + ，( r 现一z 1 。1 1 因此当礼= l 时条件( 1 1 ) ( i v l ) 都成立现假设引理的各个条件对i = 1 ，2 ，n 时 都成立，我们证明当 = n + l 时也成立 ( i l + 1 ) ： i i z - n 二1 l n + i i i l x l l o 啦 f ，( 半) 叫( 半) ) | i s i l x l l o i il l 坐学 鲥啪| | ( | | 竿i 竿) 参i i l z l l 。1 l ( i i x n + l - - 酽 + f | 肼；+ 1 3 h 件1 i i 口+ l i 件1 一茁。0 9 + i i 。一。i r ) ( 1 + 2 f ( 1 ) 8 + ( 1 + ，( 一1 ) 8 ) 8 ，( o ，卜1 ) 口b 肛1 口) k l = g ( o n l ，6 n 一1 ) b n 一1 = a n 1 ， 由n e u m a n n b i 理得到 j | l 矗1 l 。0 f ( a 。) ，l i i 矗1 l o l i ，( c h ) 0 l 二1 l 0 0 ( i i ，l + 1 ) ： l l 撕2 一x n , + l i i = l i i 矗1 f ( 蛳1 ) 1 l 0 l ：1 l 。i i i i l 二1 f ( z 计1 ) 0 ，( o 。) | 口l + 1 一茁。+ 1 m ( i i i ，i + 1 ) ： 等i l l 0 1 鲰+ 1 一z 蚪1 旷k 一1 ( ) ( 1 + ，( 。1 ) 8 ) 9 ，( 一1 ) 9 引g 。+ 11 l o l il l y 一茹。旷 sk u v t l j ： f l y + 2 一x n + 2 1 i = 0 三矗1 f 0 州2 川 sg l l l 去。岛。业生l ；! 坐忙f l + ：一。+ ，j l + k i i l ；i l o | l 监杀字巡。一撕8 g l l l 啬，| | 蚣塾坚尝唑兰业。一钳，o sk ( 1 + ，( ) 9 ) o 茁2 一$ 1 i 引理2 3 得证 定义百葡= 妇x ：恬一z 0sr ，b ( z ，r ) = 妇x ：i l v - $ 1 1 r 令 如志，m = f ( a o ) l l v l 咱i i ， 砸) = 巡鼍掣乩 其中k ，0 ， 7 ，r 如条件( 1 3 ) 所定义由条件显然可知( 0 ，1 ) 接下来我们证 明k i n g w e r n e 邀代的半局部收敛结果 定理2 2 设x 和y 是b a n a c h 空间，f 是x 的一个非空凸子集q 到同型空n y 的- 3 微f r 缸h e t 算子设铷，y o q ，且算子f 满足条件( 1 3 ) 2 乏弓1n 2 2 设百函蕊icn ， 其中r 一= 1 mm + r l ，y = b f f b o 则以g o ，y o 为初值，由迭代格式( 2 ：2 ) 产垒的序 列磐n ) 毒? t 巽1 收敛于方程p ( 。) = o e e ( = o ，r 0 ) nq 中的难一解矿，其中r 0 是 函数愚( r ) 的最小零点，并有 肛z 。心1 峄- - 7 掣州a m 札2 1 i f 。一z 。8 ! 盈“一1 札21 证明：首先，我们来证明序歹临。b ( x o ，固，v n 1 由条件( d ( i ) 我们有 霉1 一勋| j 叩 r ， 即茹1 b ( x o ，r ) 由引理2 3 条件( 田我们有 f f 勋一跏l f f $ 2 一z l f | + f z 1 一蜘| f m + 叩 r ， 二、k i n g - w e m e r 迭代在更一般条件下的收敛性 于是得i 1 7 2 b ( 黝，r ) 当礼2 时，由引理2 3 及序列 ， k 单调递减可得： 0 玑，一。| ls ( 1 + ，( n 。一2 ) 8 ) k 一2 ，( 一2 ) l l y 一1 一x - l l l s ( 1 + ，( 凸0 ) 9 ) ，( ) 6 0 7 地萼；兰兰| | 一1 一茁。一1 0 s ( 1 + ，( 8 0 ) 。) ，( 咖) 6 0 ) ”一1 ，y 垒塑2 ；二童7 垒塑拳7 工兰；也掣1 一毋10 ( ( 1 + ，( n o ) 口) ，( a o ) 6 0 ) n 一1 ，y 韭世e 墨面1 2 1 1 蔓坦j | 1 一霉l j i = 小一1 7 学慨一茁。i i ， 囱而 l i x + 1 一茁n l | ，( 国，一i ) l l y 一罚。| l sa n - 1 7 学，( 0 0 ) 慨一z l | i 由条件m = f ( a o ) l l y l 一x l m 所以我们有 u z 住+ 1 z 0 0s | | 口蚪1 一z n “+ 0 口一z 拓一 l l - i - + l i x l 一z o s 1 + 董a t + 1 7 学1 州k 瑚 s 1 1 + 咩爿j m 十慨一黝卧 l i = o j 对任意0 i 凡一2 ，d t b e m o u l l i t l i 等式知 7 业萨i ：7 1 + p ) 0 2 1 ( 1 w ) 一l i 墨，y 即1 + 0 0 ) i ， 所以有 i i 。州1 一z o | fs 一 一 = 瞧矿1 叮学 m + i i z ，- x o i l l 扛出 j - + 7 ；萎7 “1 + 砷p ”lm=o + ” i l + ，y ；，y “h 唧p ) 1 + q lj + 掣掣卜叩 f m + ” 冗 因而对任意n 1 ，都有宅。b ( x o ，r ) q 同理可证得对任意n 1 。都 有批b ( x o ，r ) n 二、k i n g - w e m e r d ! 代在更一般条件下的收敛性 接下来我们证明序列 是c a u c h y 列对任意m 1 ，n 1 ，由引理2 3 及上 述结果我们有 0 岛；+ m 一$ n 9s0 z 。+ m a 确+ ，。一1 l + 0 z 。+ m 一1 一茹m 一2 i l + + i l 。+ 1 一z 。0 h m 一2 1 墨l ，y “1 + 。1 v 矿岔lm l i = n lj r , - 一1 l 7 ( ( 1 + ”i - - l _ 1 ) l s 2 a , t + i lm ， 一i 厶，l ， i 由b e m o u l l i 不等式我们有 1 ( ( 1 + 8 ) 时卜1 1 ) ，矿= 7 “1 + 8 ) n 1 1 ) 0 2 7 k 1 + 。) 卜1 萨l 【( 1 + 砷4 一l is7 ( ( 1 + ”一1 1 ) 归2 一y ( ( 1 + 8 ) “一1 a ) 所以 i z 。一。i is i ，y “1 枷”“4 胪n + 。1i m l = oj r m 一1 s l ，y “1 + 川一h i i r ( ( i + e ) “- , - i ) 0 2 ”1 m l i = 0j 掣桨筹业7舭w)：-l-1)e2a,-11l e ) a m ， 、 一1 ( ( 1 + 砷“一1 、7 由o ，y 1 及0 a 1 即证得由( 2 2 ) 式产生的序列 z 。 是c a u c h y 序列，同理我 们可以推出 鼽 也是c a u c h y 序列因而极限l i m $ 。= 矿= l i r a 存在在( 2 1 ) 式 t h _ o 。 中令n 0 0 ，得到f 0 + ) = 0 令式( 2 9 ) 中m o 。即得 喝峪i7学隔an-11 m i i 名一2 。| | s i i 石；= = = 广m 一 二广一 最后，我们证明唯一性，假定矿b ( z o ，t o ) n n 是f ( 茁) = o 的另一个解， 令尸= 嚣【坛1 f 7 0 + + ( 矿一矿) ) 1 出，由于 i i s - e l l = 0 1 础f v 州卜刑- f ，( t x o + y o ) j 出i i k z l 卜俨叫一半卜 k z l 卜，卜z o + y o i + 咿一t x o + y o f 二、k i n g - w e m a 迭代在更一般条件下的收敛性 巡鼍掣 百1 ( p ( 旷) 一f ( 矿) ) = 【l i l f 7 ( 矿+ t ( 旷一矿) ) d t c v 一矿) = p 白+ 一矿) = 0 z ( s ) = z ( s ) + g 0 ，) 陋1 + 9 十# x ( t ) l d t ，0 【0 ，l 】，5 【o ，6 l ， ( 2 1 0 ) ，归( b - s ) c t - a ) 芝 亿 f 扛) 】( s ) = z 0 ) 一j p ) 一g ( s ，t ) 陋1 + 9 + t t x ( t ) d t ，s o ，6 】， ( 2 1 2 ) 【f ， ) 叫0 ) = u ( s ) 一g ( s ，) 【( 1 + 口) z 。+ 州0 ) 出，8 陋，b l ， i i f ( 。o ) i lsl f x o 叫+ m i i z o l l l + 9 + , “lr x o l l ， 卜c 半，峥卜，l i 半叫， m = i 塑薯g ( 8 ，t ) d t s k 捌厶 三：兰垫g 塑竺翌! 鲎垡垄里二墼墨竺工堕坚墼丝 显然，当m 【( 1 + e ) l l x o l l 9 + 川 l 时，由j v e l 肌n 引理知 半五而赤骊丽， 因此我们有 愀半广酬峪譬糕劣器斋眢， 所以，的值可得到 另一方面，对任意的z ，n 口， 【( f ( $ ) 一f 7 白) ) “】( s ) = 一g 0 ，t ) ( 1 + 日) ( z 9 一y e ) u ( q d t ，s 陋，b l ， 从而我们有 旦) - 1 ( f ，鼢f ，川5 而者罱器丽忪训 倒一 即徽2 司湍捧啊。 令g 为【，卅x 【a ，b 】内非负连续的g r e e n 核，我们考虑方t ( 2 1 0 ) 的- - 个特殊情 形 z ( s ) = l + c ( s ，t ) 睁( t ) ；+ x c t ) l d t ，s 【o ，6 】， ( 2 1 4 ) 相应的f ：一g n ，6 】可变为 f c x ) l ( s ) = ( s ) 一1 7g ( s ，) p g ) + z ( t ) 1 疵，s 【n ，明， 显然我们有日= ，= c o ，l 】应用定理2 2 选取跏= y o = 1 ，由m = ；，0 = ，我 们有= 袅，由式2 1 3 得目= 击简单计算即可得： a o 0 ，2 7 2 2 4 ，a l o 1 0 4 4 9 ，b o 0 0 2 8 8 6 ，b 】0 0 0 9 4 6 r 0 4 2 3 5 8 r o 2 3 5 1 4 4 5 显然，由d 1 n 0 = 0 3 8 5 6 5 1 ，b 1 b o = 0 3 2 7 7 4 0 ，口( 0 ，1 1 , v z n ( 2 1 5 ) 则对任意的z o ，y o b ( x + ，r ) n ，其中 曰( 。，r ) = 。q ：l l 。一z + j | r ， 这里冗是方程 如) 等描= 亿1 6 ) 的最小正根，这里q ( r ) = 再：8 8 兰岛，则由迭代格式( 2 2 ) 所产生的序列 z n 有定 义，且包含在日( 矿，r ) c f 并且序列 $ 。 收敛到f ( z ) 在n 中的零点，且有 ii$t一$+”!；!；i；掣ll。一zn c z t ， i i y 蚪l - x * l l 芈幕学忙州矗“- 亿嘲 证明：对任意的$ ，b ( x ，r ) ，由式( 2 1 5 ) k ( 2 1 6 ) z - j 得 j f ，一1 f ，( 曼掣) ：愀矿) 一( f 7 ) 一f 7 ( 三# ) ) | i 二、k i n g - w i m e 越代在更一般条件下的收敛性 k 睁刁 k ( 虹掣 k 彤 1 ， 凼ve u m a n n 5 1 埋- 川冀u ，l ：宁j1 仟位，且伺 半而再1 平i i 习i i 。 1 一k ，“! ! u tv 一4 、 接着，我们用数学归纳法来证明上述定理由已知条件及上述结果可知，对z o ， y o b ( x + ，r ) ，f 7 ( 1 2 笋) - 1 存在，由迭代格式( 2 2 ) 可得$ “1 有意义而且由式( 2 2 ) ( 2 1 5 ) 及 2 1 9 ) 得 忙t 。”卜扎( 半) 叫l = 愀半) 。1 ( 硝x o + ：y 0 , x * h 酬嘶，) = 陬半) 荆0 il 1 f ，。1 ( f ，( ( x o + 。y o ) ，- f ，州z o - x * ) ) ) d t ( x 。爿) l 趣坚篙莲釜产怖村i |l k ( 也篁理堑兰岍 壁笔裂薯o x o - - x * m ( 2 2 0 一 1 一耳伴! = ! ：o 班坚山，” “ g ( r ) 1 因此，由式( 2 2 1 ) 及z o ，? 4 0 日( $ + ，r ) ，我们有 ( 2 2 t ) 舾。等鬻 5q ( r ) l i x o z * l i r ，( 2 2 2 ) 、 二、k i n g - w e r n e r 迭 f , 在更一般条件下的收敛性 所以霉1 b ( z + ，r ) 同样的，由式( 2 2 ) ，( 2 1 5 ) 及( 2 1 9 ) 我们有 l l x l - x * - f ( 半) - l f ( x 1 ) i l 愀半) 。( 州t x o + y o 胛”- 。h 驯嘶，) | l | l f ，( 半) 俐8 l l z lf 7 ( z ) 一1 ( f ( 、x o + 。y o ，一f 4 + t 扣t 一矿) ) ) 出( x l - - x * ) 麴竖篙1 差釜产忙，刁| lk ( 烛二苎= 蝉虹刿) 9 “ s 芈蒹磐忙，。 一 l 一( 妞生蝉虹剑，“ 因而当 = 0 时式( 2 1 8 ) 成立由式( 2 1 6 ) ，( 2 ，2 2 ) 及( 2 2 3 ) 我们有 f 2 2 3 ) i l v l - z l l g ( 功警糯 i x 0 - - x * o = 勋一 | r ( 2 2 4 ) 所以玑b ( x + ，r ) 因此假设对任意n ，。y n b ( 矿，r ) ，且式( 2 1 7 ) 及( 2 1 8 ) 成立则当凡= k + 1 时，由迭代公式( 2 2 ) 及上述方法可知z + 2 ，挑+ 2 b ( x + ，r ) 故由以上归纳过 程可知，对所有的n20 ，x n ，孙8 ( x + ，r ) ，且误差估计式( 2 1 7 ) 和( 2 18 ) 成立即 n z 。+ t 一$ n s 兰! ：! ；i ；等i i z 。一z n sg ( r ) 0 霉。一z + i i ，( 2 2 5 ) i i v + t - a ：* i i s 芈幕学忙。“ 洲目等蔷莘搿+ 1 - x * l l ， 亿z a ， 一1 6 二、k i n ? , w e m e r 迭代在更一般条件下的收敛性 由于 q ( r ) 1 ， 所以，当霓_ o 。时，式( 2 2 5 ) e e x 。_ 矿证毕 一1 7 三、变j r # k i n g w e m e d 塞代的收敛性分析 三、变形k i n g - w e r n e r 迭代的收敛性分析 ( 一) 、广义差商算子 j s c h r s d e r 在文献 2 2 1 中引入了b a n a c h 空间中的非线性算子的差商，这就把 一维函数的差商概念推广至u b a n a c h 空间详细情况还可见文献 3 0 3 1 1 ，这里只做 简单介绍 设x ，y 为实的或复的b a n a c h 空间，记l 0 ，) 为所有从x 到y 的有界线性算子 所组成的空间，l ( x ，l ( x ，l ，) ) 为所有从x 到y 的有界双线性算子所组成的空间 定义3 1 设f 是实的或复的b a n a c h 空间x 中的子集d j ! l j 另一同型空间y 的非线性 算子，z ，是d 中的两点，记k ，；f 1 是满足下列条件的从x 到y 的线性算子，即 p ，箩；f 】p 一黟) = f 扛) 一f 白) ， ( 3 ，1 ) 则称k 口；f i e f 在点。，处的一阶羞商 显然，除了x ，y 是一维空间的情形之外，上面所定义的一阶差商k 口；f l 是不 唯一的若f ( z ) 一阶可导，则令陋，$ ；f 卜f 7 如) ， ( 二) 、h s i d e r 条件下的收敛性分析 1 、引言 设x 和y 是两个欧几里德空间，或更一般地，两个b a t t a c h 空间，q 是x 的开凸 子集， f ：q c x _ y 是f r 6 c h e t 可微的函数 大量工程和应用数学问题都可归结为求解方程 f ( x ) = 0 ( 3 ，2 ) 而在诸多解决n n ( 3 2 ) 的迭代法中，k i n g w e m e r 迭代法是其中较有名的一个【1 8 ， 1 9 】 蒜三葛! 鬻三蹴+ 1 ) ，n ：0 2 s ，i n + 1 = z 叶l f ( 1 4 产) 一1 f 0 。+ 1 ) ， n = ，l ， ” 虽然其每一步迭代的计算量相比n e w t o n 法略有增加，但其收敛阶从2 升为l + 、j 许多学者在这一方面作了很多深入的研究【2 3 2 9 】，用不同的条件分析 t k i n g w e m e r 方法的收敛理论最近，在王兴华 t 2 1 n