数学与应用数学专业本科毕业论文-米勒问题所想到的.doc

曲阜师范大学本科毕业论文（设计） 目 录摘要1关键词2Abstract3Key words4引言51米勒问题及证明62. 米勒问题在二维平面内的一般形式73. 用高等数学的方法来求解米勒问题84. 米勒问题在二维平面内的推广以及猜想95. 米勒问题在水文基线设计中的应用105.1 线垂直于断面设计115.2 线不垂直于断面设计125.3 线计算表136. 线性规划的极值问题14参考文献15致谢16 米勒问题所想到的数学与应用数学专业 指导教师 摘 要: 根据米勒问题的一般形式，通过运用高等数学的方法证明其问题情况，并由米勒问题的几何解法抽象出线性规划的极值问题并给出此方法在现实生活中的具体应用，结合相应题目给出处理这些问题的一般步骤. 在水利工程测量和水文测验的实际工作中，针对采用经纬仪或全站仪等仪器进行普通测量，应用米勒问题可巧妙解决测量实际工作中的一些问题，本文提出的基线设计问题就是其中一例计算 和分析表明：对水文传统的基线和高程基点的设计理念要有新的认识，这一理论不仅对水文测量，而且对其它工程测量都具有很强的指导作用关键词: 问题 马定理 性规划 文基线 点距Millers Insue of the questionStudent majoring mathematics and applied mathematics haohongmeiTutor baiyuzhenAbstract: This articalbased on the general form of Millers Issue, throught the utilization higher mathematicss method proved that its question situation, and abstracts the linear programming by the Mill questions geometry solution the minimum problem and gives this method in the real life concrete application, It shows the general processes of these issues in combine with relevant questiones. In the hydraulic engineering survey and in the hydrologic survey practical work, in view of uses instruments and so on altazimuth or entire station meter carries on the ordinary survey, solve in survey practical work some problems using the Mill question, the baseline design question which this article proposed is ingeniously example. The computation and the analysis indicated that it have the new understanding to the hydrology tradition baseline and the elevation basic point design idea, not only this theory to hydrographic survey, moreover all has the very strong instruction function to other project survey.Key words:Millers Isuue;Formats Theorem ;Linear Planning; Hydrology baseline; Beginning distance.引言 :本文由米勒问题出发，研究米勒问题的一般形式，通过运用高等数学的方法证明该问题并用米勒问题解决线性规划中的一些极值问题.此外，利用线性规划解决现实中的问题，结合相应题目给出处理这些问题的一般步骤.最后，利用米勒问题解决水利工程测量和水文测验方面的一些问题，通过利用测出的基准线的角度，距离等做出了分析.1曲阜师范大学本科毕业论文（设计）1 米勒问题及证明米勒问题是由德国数学家米勒提出的.问题本身并不难，但是作为载入世界数学史上的第一个极值问题是非常引人注目的.米勒问题的最初形式是这样的：在地球表面的什么部位，一根悬杆呈现最长（即在什么部位，可视角为最大？）.下面的这个简明解法是由罗斯（Ad.Larsch）给出的：题设：设为杆的上端点；为杆的下端点，垂直于地平面，垂足为，以为中心在地球表面上画的圆上的所有对的视角都相等，因此，我们只需过任一条垂直于的直线并在这条水地沿着地球表面的线上找出这样的点，使得在这点的可视角最大，以下是解答.的外接圆必与轴相切于点事实上，若不与圆相切，则除点，圆与轴还有另一个公共点，而对于线段的中点而言，是圆的圆心角，这时这就与最大相矛盾.因此，设过的圆与直线相切于，则取最大，这是因为对上异于的任一点，为圆心的圆外角，所以.其实米勒问题还有更一般的形式. 此外，还有一些推广形式和重要应用.2米勒问题在二维平面内的一般形式已知1直线的同侧有、两点，试在直线上上求一点，使得对、两点的张角最大，即最大.首先，从宏面方面分析.可先让点 从的右边较远一处逐渐向左渐动，发现张角在逐渐增长；当逐渐接近点时又变小了；到了时，张角，在这种从小到大，又从大到小的过程中，一不定有一个点，它对、两点的张角最大，或者说，如果某点对、张角不是最大，那么在点的另一侧一定还有一个点它与点的张角同样大小，让这一对有同样大小张角的点逐渐告拢，最后就会“逼”出一个点，它的张角最大，如图3，并且 刚才我们把注意力集中在直线上，看它的哪些点具有相同的张角，如果把眼光放大些，让动点“跳出”直线，考察平面上所有点中，哪些点具有相同的张角？放眼整个平面，将是解决问题的关键.平面几何知识，在弦的一侧，圆弧上的点对弦所张的角相等，仔细观察图3立即发现，即要“放眼平面”又要“立足直线”，那么点应该是图中的切点，或者说通过、两点作一个圆，使它与直线相切，切点就是所求的点.此时，细心的人还要想下去：动点，自右向左得到最大张角点后，再继续向左移动，张角必然又要逐渐变大，当增大到很大时，再向左移，张角又要变小，当动点跑向左边极远处时，这中间应该有一个点，如图4中点，它的张角比邻近的点的张角要大.这种想法是成立的，从几何作图的知识来看，通过、两点的圆何止千万，其中与直线相切的也不止一个，而是两个（当时）它们是和.立足点，环顾左右，它对的张角等于0，立足点，环顾左右，它对的张角最大，立足点环顾左右，它对的张角也最大，也就说，、两点，在它们各自的邻域内为最大，因此、为两个极大的点，要比较点与的张角以后，才能真正确定最大张角.易知，过的圆比过的圆小，而弦相等，所以点M的张角最大.3用高等数学的方法来求解米勒问题定理（费马定理）设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有.费马定理的几何意义非常明确，若函数在极值点可导，那么在该点的切线平行于轴.我们称满足方程的点为稳定点或称驻点.首先，建立坐标系，以直线作为轴.解现设，设,所以.有以上两式可得的表达式求导得:.因为,所以有两个实解，即几何解法中的点与所对应的坐标.其实，与是的两个极值点，再由几何知识易知，最大.以下介绍示的解析式第二种方法.的解析式与可由向量方法来求.而后对求导，需求稳定点可得相同的结果，即和两极值点坐标.整理和求解过程不再赘述.4.米勒问题在二维平面内的推广以及猜想上述对米勒问题的研究仅进展到：一直线L的同侧两点与上所有点所成角中存在最大.下面推广到曲线的情况（该曲线应为凸曲线，无滑）一均匀变化光滑凸曲线，这的同侧有两点，这两点与上所有点所成角存在最大且仅有一个极大点，该极大点为最大点.下面还是说这个均匀变化光滑凸曲线，如果把P、特殊化，让在上，那么会有什么结论呢？如果是这一情况，那么同样的也有类似于上述的结论即存在点，使最大，且曲线越靠近直线，（最大角）也越大，这是最大之中的最大但是取不到180，因此，只能作为上确界.其分析方法和二维平面内米勒问题一般形式的处理方法相类似.有的时候，把一个事物，一个条件，一般化，特殊化，往往能得出一些结论，上述所采用的就是这样的一种思想.5 米勒问题在水文基线设计中的应用在水文基础测验中，基线是用来进行测验断面起点距、定位测量、浮标测流及断面流向测量等水文重要设施之一如何进行基线的设计和布设，怎样确定基线的长度并使之成为最佳长度，为此米勒问题给了我们以新的启迪在没介绍米勒问题之前先交待一下水文基线设计的具体情况：在河流某一测验河段垂直流 向布设一个横断面用来进行流量和沙量等测验，断面河宽或部分宽度是通过起点距进行算得的通常情况下，基线布设应垂直于断面设置，基线的起点恰在断面线上当受条件限制时，亦可以不垂直于断面根据水位的变化不同水面宽度相 差悬殊的站，可以在岸上或河漫滩上分别设置高、低水位情况下的基线这些起点距是由事先在岸上设计好的基线，使用经纬仪等仪器进行三角测量并通过计算所得到的结果5.1线垂直于断面设计此前介绍了基线设计和布设具体情况对于某一条河流，其河宽是有一定范围的，如何以最大可视角测定河宽及其测深测速线的位置？发现这个问题与米勒问题十分相似，只不过米勒问题研究的是垂直观测的可视角最大，而我们测量的起点距河宽是水平可视角最大的问题，因为这样使得测量精度最高下面具体来说明（ 见图 2） ，设某河流左、右岸边线为，宽度为，断面线是通过的一条垂直流向的直线 ，位于断面线上且是基线的起点，距岸边距离为，过点作垂直于断面线的一条直线使得点为观测河宽，两点视线夹角最大的点，即基线的终点，从而基线就确定了一般情况，基线布设在岸上的适当位置是根据河岸地势地形等条件决定的，就某断面来说也可以确定对于某河流断面所在位置的河宽也是已知的.这样由米勒问题可知，则基线长度就可以根据公式进行计算举一个简单的例子:如果某站河宽；从而有那么5.2基线不垂直于断面设计当河岸地形复杂或受其他工程等影响时，基线也可以不与断面线垂直具体可分两种情况分析，为锐角时为一种情况，而为钝角时为另一种情况，同基 线垂直于断面相类似，切点 仍然为基线的另一端点公式同样适用这两种情况但发现两种情况计算得到的基线是一长一短，这种设计基线 的理念充分显示了实际测量工作中更具有的灵活性、适用性和可操作性5.3基线计算表根据各不同河流宽度及岸边地形条件的差异，这里简单制作一个基线计算表见表 1，可供这方面设计时参考表 1 是根据基线垂直于断面线而进行计算的成果，基线起点至近岸边的距离分别为， 这几种情况，河宽只列 几个指标，最后计算得出基线长度和对 岸点的视线与断面线间的夹角这里强调一点是表中的数据计算结果与现行规范有很大不同，河流流量测验规范规定“基线长度应使断面上最远一点的仪器视线与断面的夹角大于 特殊情 ，况下应大于 与之比较此表只是一部分落在 特殊的范围内但是，笔者认为这也丝毫不会降低测验精度，因为原理对此类问题实用性强，具有最大可视角以保证最高测量精度，反而对处理该类问题更显现了它的优势表1基线计算表序号ABDB=10mDB=20mDB=30m(m)AD(m)CAB()DC(m)AD(m)CAB()DC(m)AD(m)CAB()DC(m)1506022247028378031492100110173312022491302662315016014401701958180227342002101246220176623020835250260115127015732801892630031010563201480330179973503609.56037013863801610784004108.96442012924301511494504608.468470129748014120105005108715201110253013126115505607.6755701110758013132126006107.3786201011163012137136506607816701011668012143147007106.8847209120730111486线性规划的极值问题前面在用平面几何知识解决米勒问题的过程中用动圆与定直线相切的方法来得到最大值，那么反过来想，如果用动直线来切定圆应该也可以得到最值.以上所读，就是一种线性规划的方法.下面具体说明如何利用这一方法来求一些最值，借以说明线性规划在中学数学中的应用.设为平面上以三点为顶的三角形区域（包括三角形内部及周边），试求当在上变动时，函数的极大值和极小值.令，当变动时，就得到平面上斜率为的一簇平行线，其中同一直线上的所有点都使的值相同.当直线过点C时，此时直线的纵截距；类似的，此时，由于平行线束的纵截距，满足，故的极大、极小值分别为，.本题也就是在三角形三边的约束条件下，求目标函数的极大、极小值，这是个典型的线性规划问题.一般地，满足约束条件为二元一次不等式的点构成平面多边形区域（含边界），当目标函数中参数变动时就得一束平行直线（不妨设），其中，与在公共点的最边缘的直线和的纵截距，就决定了在上的最大和最小值，可见一次函数的条件最值总是在约束区域的某顶点（或边界）上达到，由此，我们便可得到利用平面区域求一次函数的最值的方法和步骤：（1）在坐标平面内作出约束区域.（2）令，作出含参数的的平行值线束.（3）找出平行线束中和有公共点的最边缘的直线与的交点这就是的最值点.（4）将点坐标代入目标函数，即得到所求之最值.例 如图13-甲射线、分别与轴轴构成角，当长为的线段保持一端在上，另一端在上移动时，试求点位于何处时，把线段内分为的点到轴的距离最大，并求出这个最大值.解 设，由 ,即约束区域是椭圆在另一象限内的一段（含端点）设分点的纵坐标为，由定比分点坐标公式，这是斜率为的平行线束：在椭圆弧上斜率为的切线的切点上取得最大值，现求点坐标，式对求导，得相切条件代入得当点为（2,1）时， . 有时，我们对最值问题作出形式上的转化，使之成为平面（或空间区域上的条件最值问题，然后用上述方法求解.类似的我们可以通过求目标函数簇与约束区域或边介相切.有时，我们对最值问题作出形式上的转化，使之成为平面（或空间区域上的条件最值问题，然后用上述方法求解.类似的我们可以通过求目标函数簇与约束区域或边界相切的切点坐标，得到二元二次函数的条件最值.例若当条件为何值时，取最小值？解约束区域是直线及其下方，设这是一簇离心率相等的椭圆,在的约束下，当椭圆与直线相切时,长半轴,取最小值现求切点,令的导数，得相切条件与联立，得切点即的最小值点，所以，当, ,时， 在线性规划中所应用的方法可以解决许多在国民经济中有重大意义的问题（工业、农业，运输业等）.令,线性规划最简单的问题有如下述：要求找变量的值，使经不但满足所给定的不等式组，而且还要使得线性式L达到最大或最小.下举一例，以及其应用.问题 在工艺生产社会里为商业机关生产桌子和柜子，现有二种木料制造它们：第一种有72立方米，第二种有56立方米，而每一种产品所需的木料立方数见表：制造品木料第一种第二种桌子0.180.08柜子0.090.28每生产一只桌子合作社可获得纯收入1.1卢布，生产一只柜子可获纯收入70戈比.试确定在合作社现有的材料下应生产多少桌子和柜子才能保证其获得最大纯收入？解 以和分别表示适合问题而生产的桌子数和柜子数（即最优解）于是函数表示使用社的纯收入数，第一种材料的耗费量为：第二种材料的耗费量为：,而这种耗费决不超过第一种和第二种木料的现存数，72立方米和56立方米，于是要找的那些xy值应满足不等式.并使线性式有最大值（这样一来问题被看作为寻求满足不等式组；及使线性式L达到最大值的那些变量，的全体.为了图解这个问题我们选取直角坐标系并在此坐标系内绘制直线的图像：（1）（直线）（2）（直线）三角形的内点和边界点，满足组内的第1，3，4个不等式，三角形的内点和边界点满足的第2个不等式，于是，位于这两个三角形公共部分即四边形内的那些点（也即二个三角形的“交”）满足不等式组这个四边形是组的多角形解（问题的多角形条件）注：若一个多角形内点坐标满足不等式，则称此多角形为这组不等式的多角形解.在四边形点集中应该找到唯一的一个或几个那样的点，使线性式在这些点上达到最大值.那些点的坐标就称为最优解（最优方案），所寻求的点应该满足形为的直线方程，作矢量.按图上的比例尺，此向量的方向可取点到点的方向.方程= 在所有固定值下的图象是垂直于矢量的直线.使直线相对于原点平行移动，在保持这些直线和四角形解有公交点情形下，我们可使得公共点距离原点最远.在现在这个情形，这个公共点之一的顶点.点在直线上它的坐标为是所给线性规划问题的最优解.因既满足不等式组使线函数L达最大.若将直线继续离开原点移动，我们看到它与多角形解将没有公共点.所以在更远的位置直线上，任何一点的坐标都不会满足不等式组，故由问题的条件，所有这些点的坐标值都不是问题的最优解.因为它不是在不等式组的约束条件下，使线性式到最大.在图上可找到点的坐标为，为了检验可解代数方程组我们也得到, ,（顶点的坐标），对于这些值，线性式将达到最大值，如果合用现在的木料生产350只桌子，100只柜子的话，它们将得到总计为（卢布）的纯收入，在合作社里如果利用这一方案则第一种和第二种木料将按下面的方式分配.第一种木料：用作桌子：立方米用作柜子：立方米总计：72立方米第二种木料用作桌子：立方米用作柜子：立方米总计：56立方米所有其他方案都不能增加纯收入.为此我们看，对应的多解形解所有顶点的坐标数和的值，线性式取什么值.顶点：（卢布）是显然的，因为如果合作社什么也不生产，它就无收入.顶点：（卢布），顶点：（卢布），顶点：（卢布）由此看出，在四角形解的顶点处线性式达最大值总之可依照以下顺序解决问题：（1）由问题的条件出发作出变量应满足的不等关系并找出应该求其极大值或极小值的线性式（2）根据不等式组找出它的多角形解，组成这多角形的边数就等于不等式的个数.（3）作矢量其方向和通过原点及点的射线方向重合，其中是线性式的系数.（4）在多角形解上找使线性式达到最大值的那一点.实际找时可用三角板得到：将三角板的一个直角边沿着矢量滑行而另外一个直角边，使线性式最小的情况下，在向量的指向上可找出多角形解内离坐标原点最近的点（在最大的情形下找最远的点）（5）解出找到的顶点坐标.如果那样的顶点在多个，则问题将是不确定.此时问题的最优解是无穷多个，因为在多角形这条边上的任一内点都满足问题中使L达到最大或最小