（一般力学与力学基础专业论文）原子力显微镜动力学行为分析.pdf

摘要 摘要 1 9 8 6 年b i n n i g 与斯坦福大学的c f q u a t e 和i b m 苏黎士实验室的c h r i s t o p h g e r b e r 合作推出了原子力显微镜( a t o m i cf o r c em i c r o s c o p e ，简称a r m ) ，这是一种 不需要导电试样的扫描探针型显微镜。这种显微镜通过其粗细只有一个原子大小 的探针在非常近的距离上探索物体表面的情况，便可以分辨出其他显微镜无法分 辨的极小尺度上的表面细节与特征。这种显微镜能以空前的高分辨率探测原子和 分子的形状，确定物体的电、磁与机械特征，甚至能确定温度变化的情况。使用 这种显微镜时无需使试样发生变化，也无需使试样受破坏性的高能辐射作用。由 于原子力显微镜有极广泛的应用，对其动力学行为的分析也有着重要的理论和实 际意义。 原子力显微镜动力学分析模型有以下三类形式：单自由度弹簧质量系统、线 弹性悬臂梁在外载荷作用下的振动、线性梁非线性边界条件的非线性振动。所考 虑的非线性是由分子问作用力引起的。在本文中，我们分析梁上微单元的受力情 况，利用牛顿第二定律得到梁非线性振动的偏微分方程，在这种非线性模型下， 利用g a l e r k i n 截断方法，得到描述悬臂梁运动的单自由度和两自由度的模型。在 以往对梁问题的研究中，只有一阶截断的单自由度模型的研究。在第三类模型中， 我们将激励力分别作为杆端约束和边界条件进行了分析研究。 在单自由度模型中，应用多尺度法对方程进行了求解，得到了响应的近似解 及幅频响应曲线并将与原有的数值解进行了比较。同时用r u n g e - k u t t a 数值方法分 析其动力学特征。用相平面图，p o i n c a r e 映射等方法分析梁的振动随激励振幅等参 数的分叉情况，用l y a p u n o v 指数判断振动的混沌特征。 对于得到的两自由度模型，同样用r t m g e - k u t t a 数值方法分析其动力学特征， 在激励频率为基频时所得到的梁的振动随激励振幅等参数的分叉图与单自由度模 型的结果进行了比较，可以看到当激励频率在基频附近时两种模型具有相似的分 叉情况。 对于非线性边界条件的线弹性梁的振动，摄动法是解决问题的有效途径。由 于连续介质为无穷维的系统，对其离散必造成误差。传统的对离散化的方程做摄 动法有一定的局限性。所以通常将摄动法直接应用于梁的控制偏微分方程，然后 根据可解性条件求解。在本文中，采用多尺度法对具有d e r j a g u i n - m u l l e r - t o p o r o v 及h e r t z i a n 边界条件的情况进行分析，得到了不同模态下的幅率响应，表明幅频 响应取决模态的阶数和线接触刚度。研究了基频共振时的分叉行为和稳定性。结 论与实验结果相符。 上海大学博士学位论文 首次应用渐进分析法对具有h e r t z i a n 等边界条件的梁的偏微分控制方程进行 分析。得到由于非线性项和激励振幅产生的在基频和1 2 谐波共振时的幅频响应。 分析了各参数对幅频响应的影响。利用对稳定性的分析，分析了产生跳跃现象的 原因及各参数对稳定性的影响。 关键词：原子力显微镜，偏微分方程，非线性振动，多尺度方法，g a l e r k i n 方法， 数值方法，渐进分析法，分岔，混沌 摘要 a b s t r a c t i n1 9 8 6b i n n i g , c e q u a t ew h oc o m e sf r o ms t a n f o r du n i v e r s i t ya n dc h r i s t o p h g e r b e rf o r mi b ms ul i s h il a b o r a t o r yc o o p e r a t e dt od e v e l o pa t o m i cf o r c em i c r o s c o p e ( a f m ) s u c c e s s f u l l y i ti sak i n do fs c a n n e rp r o b em i c r o s c o p et h a td o e sn o tn e e dt h e e l e c t r i ct e s ts p e c i m e n t h i sm i c r o s c o p e 啪b eu s e dt oi n s p e c tt h es m r f a c eo f o b j e c to n t h ee x t r e m e l yn e a rd i s t a n c et h r o u g hi t sp r o b ea sl a r g e 勰a l la t o m i c a n di tc a n d i s t i n g u i s ht h es u r f a c ef e a t u r e sa n dd e t a i l si nt h em i n i m u n lc r i t e r i o n ，w h i l eo t h e r m i c r o s c o p e sc a n t s ot h i sm i c r o s c o p ec a nb eu s e dt od e t e c tt h es h a p eo ft h ea t o ma n d t h em o l e c u l a r , i d e n t i f ye l e c t r i c a l ，m a g n e t i ca n dm e c h a n i c a lf e a t u r e s b yt h eh i 曲 r e s o l v i n gp o w e r , e v e nd e t e r m i n et h et e m p e r a t u r ec h a n g e s t h et e s ts p e c i m e nd o e s n t n e e dt ob ec h a n g e da n dc o n d u c t e dt h e h i g h - e n e r g yd e s t r u c t i v er a d i a t i o nb yt h i s m i c r o s c o p e d u et ot h ee x t r e m e l yw i d e s p r e a da p p l i c a t i o no f a t o m i cf o r c em i c r o s c o p e ， i ti ss i g n i f i c a t i v et or e s e a r c ha n da n a l y z ei t sd y n a m i c sb e h a v i o r f o rt h ed y n a m i c sa n a l y s i sm o d e lo f a t o m i cf o r c em i c r o s c o p e ，t h e r eh a db e e nt h r e e t y p e s ：s i n g l ed e g r e eo ff r e e d o ms p r i n g q u a l i t ys y s t e m , t h ev i b r a t i o no ft h el i n ee l a s t i c c a n t i l e v e rb e a mu n d e ro u t s i d e1 0 a df u n c t i o n , t h en o n i i n e a rv i b r a t i o no ft h el i n e a rb e a m w i t ht h en o n l i n e a r b o u n d a r yc o n d i t i o n t h en o n - l i n e a r i t y i sc a u s e d b y t h e i n t e r m o l e c u l a rf o r c e i nt h i sp a p e r , w ea n a l y z et h es t r e s so fb e a ma n do b t a i nn o n l i n e a r o s c i l l a t i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nu s i n gt h en e w t o ns e c o n dl a w b a s e do nt h e n o n - l i n e a rm o d e lo fc a n t i l e v e rb e a m ，w ec a l lo b t a i nt h es i n g l ed e g r e eo ff r e e d o ma n d t w o d e g r e eo ff r e e d o mm o d e lb yg a l e r k i ni n t e r r u p t i o nm e t h o d i nt h ef o r m e rs t u d i e so f b o o m , t h er e s e a r c h e r sj u s tf o c u s e do nt h es i n g l ed e g r e eo ff r e e d o mm o d e l b u ti nt h i r d k i n do fm o d e l ，w em a n a g et os o l v et h ep r o b l e ms e p a r a t e l yr e g a r d i n gt h ee x c i t i n gf o r c e 器t h er e s t r a i n ta tt h ee n d o f p o l eo rt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n w i t ht h es i n g l ed e g r e eo ff r e e d o mm o d e l ，w es o l v et h ee q u a t i o nb yt h em e t h o do f m u l t i p l es c a l e s ，o b t a i nt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o na n dt h ef r e q u e n c yr e s p o n s eo l i v e ，t h e n c o m p a r ew i t ht h eo r i 舀n a ln u m e r i c a ls o l u t i o n , a n da n a l y z ei t sd y n a m i c sc h a r a c t e r i s t i c w i t l lt h er u n g e - k u t t an u m e r i c a lm e t h o d b yt h ep o i n c a r 6m a p t h ed y n a m i c sb e h a v i o r s a r ei d e n t i f i e db a s e do nt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ep a r a m e t e rb i f u r c a t i o ni sp r e s e n t e d t h el y a p u n o v e x p o n e n ti sc a l c u l a t e dt oi d e n t i f y c h a o s i l l 上海大学博士学位论文 w i t ht w od e g r e eo ff r e e d o mm o d e l ，t h ed y n a m i c sb e h a v i o r sa l s o8 r ea n a l y z e db y t h er u n g e - k u t t an u m e r i c a lm e t h o d b yt a k i n ge x c i t a t i o n 五r e q u e n c y 豁b a s e 五嘲u e n c 弘 w ec a l lo b t a i nt h eb i f u r c a t i o nd i a g r a m so fv i b r a t i o np a r a m e t e ra n dc o m p a r ew i t l lr e s u l t s o ft h es i n g l ed e g r e eo ff r e e d o mm o d e l t h ec o m p a r i s o ns h o w st h a tt h e r ei ss i m i l a r f u r c a t i o ns i t u a t i o nb a s e do nt h e s et w om o d e l s f o rt h ev i b r a t i o no fl i n ee l a s t i cb e a mw i t hn o n - l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n , t h e p e r t u r b a t i o nm e t h o d sa g et h ee f f e c t i v ew a y s b e c a u s et h ec o n 咖u sm e d i u mi sa l l i n f i n i t ed i m e n s i o ns y s t e m ，t h es e p a r a t i o nm u s tc r e a t ee r t o lt h et r a d i t i o n a lp e r t u r b a t i o n m e t h o d st ot h ed i s c r e t i z a t i o n e q u a t i o n h a v ec e r t a i nl i m i t a t i o n t h e r e f o r et h e p e r t u r b a t i o nm e t h o du s e dt ob ea p p l i e di nb e a m sc o n t r o lp a r t i a ld i f f e r a n t i a le q u a t i o n , a n dt h e ng i v e nt h es o l u t i o nf o l l o w i n gt h es o l u b l ec o n d i t i o n i nt h i sp a p e r , w ea n a l y z e t h eb e a m sw h i c hh a v ed e 巧a g u i n - m u l l e r - t o p o r o va n dt h eh e r t z i a nb o u n d a r yc o n d i t i o n b yt h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e s ，a n do b t a i nt h er e s p o n s eu n d e rd i f f e r e n tm o d e t h e r e s u l t ss h o wt h a tt h ef f e q u a n c yr e s p o n s ei sd e c i d e dt h en u m b e ro fm o d ea n dt h el i n e c o n t a e tr i g i d i t y a n dw eh a v es t u d i e df u r c a t i o nb e h a v i o ra n ds t a b l eb a s e do nf i r s t f f e q u a n c yr e s o n a t i n g t h ec o n c l u s i o ni st a l l yw i m t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t i ti st h ef i r s tt i m et oa n a l y z et h eb e a mw i t hh e r t z i a nb o u n d a r yc o n d i t i o nb yt h e a s y m p t o t i cp e r t u r b a t i o nm e t h o d ；w ec a no b t a i n e df r e q u e n c yr e s p o n d si n t h ef i r s t f f e q u e t l c ya n dt h eh a l ff r e q u e n c y a n dw ea n a l y z et h ef r e q u a n c yr e s p o n s ec h a n g e sw i t h v a r i o u sp a r a m e t e r s w i t ht h es t a b l ea n a l y s i s ，w ea l s oa n a l y z et h er e a s o no ft h ej u m p p h e n o m e n o na n dt h ev a r i o u sp a r a m e t e r si m p a c tt os t a b i l i t y k e y w o r d s ：a t o m i cf o r c em i c r o s c o p e ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，n o n l i n e a rv i b r a t i o n , m e t h o do fm u l t i p l es c a l e s ，g a l e r k i nm e t h o d , n u m e r i c a lm e t h o d , t h ea s y m p t o t i c p e r t u r b a t i o nm e t h o d ，b i f u r c a t i o n , c h a o s i v 上海大学博士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：隼日期：掣7 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第一章引言 1 1 研究背景及意义 第一章引言 原子力显微镜( a t o m i cf o r c em i c r o s c o p y ) ，简称a f m ，是由诺贝尔奖金获得 者宾尼等人于1 9 8 6 年发明的【l 】。它是利用原子、分子间的相互作用力( 主要范德 华力，价键力，表面张力，万有引力，以及静电力和磁力等1 来观察物体表面微观 形貌的新型实验技术。它广泛应用于纳米级平板印刷、碳纳米管的操作、d n a 、 有机分子，及在纳米电子设备、半导体设备和数据采集技术中的成像作用。a f m 突破了s t m 只能够用于扫描不容易氧化的良导体样品的限制，可以扫描导体和 绝缘体。a f m 不仅具有很高的分辨率( 横向分辨率达到l n m ，纵向分辨率达到 o 0 i r m a ) ，而且对工作环境、样品性质等方面的要求也非常低，因此，a f i v l 的出 现为人们更多的观察微观世界提供了一个有效的手段和方法。 目前a f m 有三种工作模式，接触模式( c o n t a c t m o d e ) 、轻敲模式( t a p p i n g m o d e ) 和非接触模式( n o n c o n t a c tm o d 曲。 接触模式包括恒力模式( c o n s t a n t f o r c em o d e ) 和恒高模式( c o n s t a n t - h e i g h t m o d e ) 。在恒力模式中，通过反馈线圈调节微悬臂的偏转程度不变，从而保证样 品与针尖之间的作用力恒定，当沿x 、y 方向扫描时，记录z 方向上扫描器的移 动情况来得到样品的表面轮廓形貌图像。这种模式由于可以通过改变样品的上下 高度来调节针尖与样品表面之间的距离，这样样品的高度值较准确，适用于物质 的表面分析。在恒高模式中，保持样品与针尖的相对高度不变，直接测量出微悬 臂的偏转情况，即扫描器在z 方向上的移动情况来获得图像。这种模式对样品高 度的变化较为敏感，可实现样品的快速扫描，适用于分子、原子的图像的观察。接 触模式的特点是探针与样品表面紧密接触并在表面上滑动。针尖与样品之间的相 互作用力是两者相接触原子间的排斥力，约为1 0 8 1o - 1 1 n 。接触模式的优点是扫 描速度快，分辨率高，是a f m 技术中唯一可得到原子级分辨率的图像的模式， 并且对于一些表面上垂直变化较大的样品，比较容易扫描。但由于针尖在样品表 面上滑动及样品表面与针尖的粘附力，可能使得针尖受到损害，样品产生变形， 故对不易变形的低弹性样品存在缺点，并且其应切力会使图像产生扭曲。 在轻敲模式中，通过调制压电陶瓷驱动器使带针尖的微悬臂以某一高频的共 振频率和0 0 1 l n m 的振幅在z 方向上共振，而微悬臂的共振频率可通过氟化橡 胶减振器来改变。当针尖没有接触到表面时，微悬臂以一定的大振幅振动，当针 尖接近表面直至轻轻接触表面时，其振幅将减小；而当针尖反向远离表面时，振 幅又恢复到原先的大小。同时反馈系统通过调整样品与针尖间距来控制微悬臂振 上海大学博士学位论文 幅与相位，使得作用在样品上的力保持恒定，记录样品的上下移动情况即在z 方 向上扫描器的移动情况来获得图像。轻敲模式的优点是对大多数样品有比较高的 侧向分标率( 1 s n m ) ，并且由于微悬臂的高频振动，使得针尖与样品之间频繁接触 的时间相当短，针尖与样品可以接触，也可以不接触，且有足够的振幅来克服样 品与针尖之间的粘附力。因此对样品的损害很小，适用于柔软、易脆和粘附性较 强的样品，且不对它们产生破坏。这种模式在高分子聚合物的结构研究和生物大 分子的结构研究中应用广泛。其缺点是扫描速度比接触模式要慢。 非接触模式是探针针尖始终不与样品表面接触，在样品表面上方5 2 0n m 距 离内扫描。针尖与样品之间的距离是通过保持微悬臂共振频率或振幅恒定来控制 的。在这种模式中，样品与针尖之间的相互作用力是吸引力范德华力。非接 触模式a f m 的工作原理就是，以略大于微悬臂自由共振频率的频率驱动微悬臂， 当针尖接近样品表面时，微悬臂的振幅显著减小。振幅的变化量对应于作用在微 悬臂上的力梯度，因此对应于针尖样品间距，反馈系统通过调整针尖样品间距 使得微悬臂的振动幅度在扫描过程中保持不变，就可以得到样品的表面形貌像。 非接触模式的优点是针尖不与样品接触，所以对样品完全没有损伤，且由于吸引 力小于排斥力，针尖样品作用力比接触式的小几个数量级，故灵敏度比接触模式 高。但是非接触模式中针尖样品距离较大，分辨率比接触模式低。非接触模式不 适用于在液体中成像。并且扫描速度比接触模式和轻敲模式都要慢。 探针是a f m 的核心部件。它直接决定a f m 的分辨率。目前a f m 的探针多为硅 的氧化物或氮化物，而轻敲模式中的针尖一般为晶体硅。氮硅化合物的探针由悬臂 和在悬臂末端的尖锐的针尖组成，悬臂的性质和尺度对决定a f m 的灵敏度和分辨 率其重要的作用。在接触模式中，这种悬臂要很柔软，以便能检测到非常小的力， 并且要有足够高的共振频率来避免震动的不稳定性所带来的影响。因此，这类的 探针的悬臂都比较短( 共振频率高) ，而且薄( 力常数小) 。氮硅化合物探针中一般有 四个不同几何学的悬臂，具有不同的弹性系数。晶体硅的探针同样由悬臂和针尖 组成，并且是通过蚀刻技术来完成的。晶体硅的探针只有一个悬臂和一个针尖， 这种探针要比氮硅化合物的探针僵硬很多，因此有更大的力常数和共振频率。 在原子力显微镜的系统中，可分成三个部分：力检测部分、位置检测部分、 反馈系统( 图1 - 1 ) 。 2 第一章引言 图1 - 1 原子力显微镜( a f m ) 系统结构 力检测部分：在原子力显微镜( a f m ) 的系统中，所要检测的力是原子与原子之 的作用力。所以在系统中是使用微小悬臂来检测原子之问力的变化量。微悬臂通 常由一个一般1 0 0 - - 5 0 0 i l m 长和大约5 0 0 n m 5 1 1 m 厚的硅片或氮化硅片制成。微悬 臂顶端有一个尖锐针尖，用来检测样品一针尖间的相互作用力。这微小悬臂有一 定的规格，例如：长度、宽度、弹性系数以及针尖的形状，而这些规格的选择是 依照样品的特性，以及操作模式的不同，而选择不同类型的探针。位置检测部分： 在原子力显微镜( a f m ) 的系统中，当针尖与样品之间有了相互作用之后，会使得悬 臂摆动，所以当激光照射在悬臂的末端时，其反射光的位置也会因为悬臂摆动而 有所改变，这就造成偏移量的产生。在整个系统中是依靠激光光斑位置检测器将 偏移量记录下并转换成电的信号，以供s p m 控制器作信号处理。反馈系统：在原 子力显微镜( a f m ) 的系统中，将信号经由激光检测器取入之后，在反馈系统中会将 此信号当作反馈信号，作为内部的调整信号，并驱使通常由压电陶瓷管制作的扫 描器做适当的移动，以保持样品与针尖保持合适的作用力。 原子力显微镜( a f m ) 便是结合以上三个部分来将样品的表面特性呈现出来的： 在原子力显微镜( a f m ) 的系统中，使用微小悬臂来感测针尖与样品之间的交互作 用，这作用力会使悬臂摆动，再利用激光将光照射在悬臂的末端，当摆动形成时， 会使反射光的位置改变而造成偏移量，此时激光检测器会记录此偏移量，也会把 此时的信号给反馈系统，以利于系统做适当的调整，最后再将样品的表面特性以 影像的方式给呈现出来。 3 上海大学博士学位论文 自从原子力显微镜发明至今，国内外一系列文献体现了原子力显微镜在不同 领域内的应用【2 4 5 1 。而在原子力显微镜动力学行为分析中，一些研究者将微悬臂梁 样品间相互作用力线性化得到振动响应【临1 引。1 9 9 1 年g l e y z e se ta l 首先发表了轻 敲式a f m 的非线性动力行为的实验报告【1 9 1 ，此后一些相关的文献体现了在原子力 显微镜建模和动力学行为研究方面取得的进展。 1 2 原子力显微镜动力学问题的建模 在轻敲式a f m 的建模中，单自由度的碰振系统是最普通的模型【2 3 1 ，如图 1 2 所示，悬臂梁模型化为单自由度弹簧质量系统，七为弹簧刚度系数，历为等效 质量。悬臂梁与样品之间的作用力通过固定在悬臂梁上的尖角实现，这样悬臂梁 尖角样品系统模型化为在刚度为七的弹簧上悬挂质量为i l l 半径为月的圆球，通常 将i l l 视为悬臂梁尖角的质量。 样晶 图1 2 尖角样品模型 a f m 中尖角运动方程近似地用微分方程描述 ( 平衡_ 点 酌位置， m 丝d 2 t = 靠詈妄+ 尼+ r c o s 耐 ( 1 - 1 ) 这里，z 是尖角只在重力作用下平衡时到样品的距离，即在平衡点的位置。z 是尖 角相对于平衡点的位移并设向上为正，而和0 9 是激励力的振幅和角频率，q 和 4 第一章引言 c o d 是相应的品质因数和共振角频率。艮为尖角和样品间的相互作用力。 原子力显微镜常见的另一模型是将其视为截面为矩形的线弹性 b e r n o u l l i e u l e r 直梁，正如在商界所形容的“跳水台”似的悬臂梁。这种模型的合理 性在于尖角变形量( 小于1 0 0a m ) 和a f m 微悬臂梁的厚度( 约1 0 0p m ) 都远小于梁 的长度f 约1 0 0 “m ) 。从而不考虑梁的剪切及截面的扭转，设微悬臂梁的长度厶 质量密度p ，杨氏模量e 截面面积a ，截面惯性矩 如图1 3 所示，梁在工 = 0 处固定，在石= l 处自由。 图1 - 3 悬臂粱模掣的示意图 模型示意图可分为以下几部分：( 1 ) 梁的初始状态是在尖角与样品间无相互 作用时( 图1 3 a ) 。( 2 ) 在中间的示意图中，考虑线性梁尖角与样品间作用着由变 形量决定的非线性力时，求解非线性弹性静力学问题得到的梁的稳定变形w ( 图1 - 3 b ) 。取决与尖角到样品的距离，有存在多个平衡位置。( 3 ) 最后的图示 为悬臂梁关于其非线性平衡位置的变形。将从中导出其非线性偏微分控制方程( 图 卜3 c ) 。( 4 ) 高频压电器作为由时间决定的激励力作用在梁的基础上。 在图l - 3 6 中，可以根据线性b e r n o u l l i e u l e r 梁理论，得到求解w 的控制 方程： 3 9 - 4 4 e 1 w * = 兄( z w 扛) 扮b l ) ( 1 - 2 ) 这里的撇表示对x 的导数。凡为尖角与样品间总的作用力，方程在不同的z 下有 不同的解，如图1 3 6 可得到尖角与样品在平衡时的间隙矿= z w ) ，设w ( x , o 是微悬臂梁相对与样品的总变形，则有： w f ) = 甜( xf ) + w ( 曲+ 灭d ， 上海大学博士学位论文 这里如0 是悬臂梁对于附在运动基础上的非惯性坐标系的变形( 图l - 3 c ) 。高频压 电器的激励力模型化为基础，以频率口做简谐运动y ( o = y s i n o t 则悬臂梁在非 惯性坐标系中的运动方程为 p 4 西g ，f ) + z v k ”g ，f ) + w 搴，”g ) 】= 瓦【z m ，f ) p g t ) + p a n 2 y s i n f m ( 1 3 ) 原子力显微镜常见的第三类模型为线性梁非线性边界条件的非线性振动问 题，如图1 4 ，探针沿z 方向在做简谐运动的样品激励下作弯曲振动，探针模型 化为线性梁，尖角和样品问的作用力模型化为在梁自由端处非线性弹簧和线性阻 尼的组合【4 5 删。 图l - 4 探针尖角样品的示意图 则探针运动的控制方程和边界条件为 在叠= 0 时， 在i = ，时， 日雾+ 窘= 。 谛：o 和霎：o 似 ( 1 4 ) ( 1 - 5 ) 窘= 。和口窘= 喀+ 丘+ 茁 ( 在以上三类模型中出现的尖角样品之间的作用力，k 可由尖角与样品间的 势能决定。势能的形式有：t h em o r s e p o t e n t i a l 6 洲1 ；t h e1 , e m t a r d - j o n e sp o t e n t i a l 6 5 , 6 7 , t h es t i l l i n g e r - w e b e rp o t e n t i a l 6 8 4 0 】等。由此得到的尖角与样品相互作用力有：v a n d e r w a a l s 力【7 1 删；h e r t z i a n 力7 5 4 q ；及静电力7 7 。7 9 等。其中本文涉及到的v s l ld e r w a a l s 力和h e r t z i a n 力为 6 第一章引言 = 一警：笔一万a 2 r ( i - 7 ) 1 8 0 “ a z z 86 2 2 这里，r 为探针的半径， ：为探针与样品表面的瞬时距离，4 和4 是h a m a k e r 常数，分别表示相互作用斥力和引力的势能系数。它们的表达式为：a t = 万2 n p 2 c 。， a ：= 万2 n 岛c 2 ，其中, o l ，见为相互作用介质的分子数量密度，c l 和c ：为分子间相 互作用势能的相互系数 j 名k 。= 3 e ；r y ( 三) + k 0 y ( l ) + g ( x ，f ) r 7 2 ( 1 - s ) 这里，e 为梁的弹性模量，为截面惯性矩，y 为梁初始静态变形，q k f ) 为悬臂 梁相对于y 的变化，岛为h e r t z 系数 x o = e q r ( 1 - 9 ) 这里，f 为折减弹性模量，尺为尖角半径。折减弹性模量e 由尖角和样品的材料 性能( 弹性模量，b 泊松比，v ) 确定 去= 孚+ 鲁 m ， e e ，e 。 、。 这里，下标t ，j 分别表示尖角和样品材料。 1 3 原子力显微镜动力学问题的研究现状 对于把轻敲式原子力显微镜模型化的单自由度碰振系统，1 9 9 7 年b e r g 和 b d g g s 考虑到尖角和模型间液体弯月面影响并将其相互作用力简化为 j o h n s o n - k e n d a l l - r o b e r t s 模型，用数值方法计算了动力学响应【舯1 。1 9 9 9 年，a i m 6 等基于单自由度非线性振子模型用摄动法计算了v a i ld e rw a a l s 力场中微悬臂梁的 动态响应，结果表明线性分析不能说明频率漂移现象，进而不能解释当尖角与样 品间的距离有微小的变化时有较大的频率漂移，而振子的非线性行为能够解释观 察到的共振频率漂移与尖角和模型间距离的函数关系现象 8 1 】：a s h b a h 等在单自由 度振子中考虑了v a l ld e rw a a l s 力场【蜊和l e n n a r d - j o n e s 力场【8 3 1 ，分析了系统在正 弦激励下动力学行为，应用m e l n i k o v 方法预测中的混沌，表明当阻尼、激励及系 统的平衡位置在一定范围内系统可能有混沌运动出现，并显示了当混沌运动发生 时系统物理参数的变化范围；同时表示了系统状态的反馈控制可以消除混沌的可 能性。b a s s o 等用数值仿真研究l e n m r d j o n e s 力场中单自由度振子的混沌理论上 得到经过一系列的倍周期分叉而发生混沌运动，并求出分叉与系统参数间的函数 关系脚】。数值分析还得到一些当混沌发生时m e l n i k o v 理论没有涉及到的一些参数 上海大学博士学位论文 变化范围，这些结果可以被用于设计控制，得到原子力显微镜应用时系统的参数 变化范围，以确保系统稳定无混沌运动。2 0 0 0 年，g a r c i a 和p a u l o 用数值方法研 究v r l ld e r w a a l s 力场中单自由度振子的的吸引盆和稳定性并进行实验验证，结果 表明尖角的相空间分为两个吸引盆，由于有两个吸引子的存在，系统有潜在的不 稳定性i s 4 。2 0 0 3 年，c o u t u r i e r 等应用摄动法导出v a nd e rw a a l s 力场中带自增益 控制的单自由度振子稳定性判据【8 5 1 。 在非线性问题的研究中，g a l e r k i n 截断法是一种比较常见的方法。利用它可 以把偏微分方程离散而得到常微分方程，只要取合适的模态函数，这种方法行之 简单而有效。在文献 3 9 - 4 1 1 中g a l e r k i n 截断法被用于离散悬臂梁的运动方程 ( 1 4 ) 。2 0 0 3 年，r u e t z e l 等基于l 阶g a l e r k i n 截断研究在l e n n a r d - j o n e s 力场中微 悬臂梁的自由和参数激振动，考虑到两种材料的尖角和模型组合形式，一种为非 常软的硅材料悬臂梁与( m ) 硅模型；另一种为硬硅材料悬臂梁与聚苯乙烯模型p 9 】。 其主要结论为：“) 来自高频压电器的基层激励导致较复杂的作用力，其中包括简 谐力项、参数激励项、高阶简谐力项、非线性参数激励项和常漂移项：( i i ) f l q 于尖 角模型的材料性能及两者间距离的不同，轻敲式模式动力学行为可分为两个区 域，区域一为不对称双势阱；区域二为不对称单势阱。( i i i ) 在区域，范德华力引 起非线性响应的初始软化，但在共振附近，随着悬臂梁变形的增大，短尺度排斥 力有较大的陡动。从而导致非线性响应突变为硬化，频率在共振附近的增大和减 小，导致跳跃现象的发生。( i v ) 硬硅悬臂梁聚苯乙烯模型的动力学行为只发生在 区域二内，硬度较大的硅悬臂梁遮盖了v a n d e r w a a l s 力的非线性软化效果，陡动 的大振动产生瞬态硬化响应。l e e 等基于1 阶g a l e r k i n 截断研究v a nd e rw a a l s 力和d e l j a g u i n - m u l l e r - t o p o r o v 力作用下微悬臂梁的自由和受迫振动【钟】并与实验 结果进行了比较【4 ”。文献 4 0 】的结论表明系统的非线性响应在单稳态区域内有跳 跃或鞍点分叉，发生分叉时的频率取决于尖角模型间的距离，系统的分叉可在激 励频率参数空间绘制分叉点的轨迹得到。但在文献 3 9 - 4 1 中，只是将系统的偏微 分方程作1 阶截断。 对于将a f m 模型简化为线性梁非线性边界条件的非线性振动问题，2 0 0 1 年， f u n g 和h u a n g 用有限差分法计算了l e n n a r d j o n e s 力场中微悬臂粱在平衡位置附 近的小振动【8 6 1 ，文献中动力学方程式是基于动能和变形能通过h a m i l t o n s 原理推 倒而得，结论表明( i ) 杆端为刚性三角截面的复合梁，自由端可视为非齐次边界条 件，分别用力和力矩的平衡表示，( i i ) l t 于排斥力的范围很小，这样若没有初始变 形和阻尼，将很难得到接触式a f m 的数值结果：n o n y 等2 0 0 2 年，w b l f 和g o t t l i e b 用多尺度法分析仅自由端受原子力作用的微悬臂梁非线性振动”，结论显示系 第一章引言 统具有明显的软化行为，从而使振动幅值有多个解存在，同时说明对于非线性边 界条件的连续微梁，采用直接分析计算在本质上比将梁视为集中质量参数系统更 精确；2 0 0 4 年，t u r n e r 用多尺度法研究了接触式原子力显微镜中受h e r t z 力作用 悬臂梁的非线性振动【镐】，推导出非线性幅频关系并得出幅频特征取决于模态的阶 数和线性接触刚度，实例显示激励振幅和阻尼的软化行为，在非线性的实验中观 察到一阶模态在频率由微小改变前可使尖角模型脱离接触，而推导结果也证明了 这一点；l e e 等进行了原子力显微镜中多壁碳纳米管探针非线性振动幅频和相频 特性的实验研究【8 9 】；z u 等研究了v a nd e rw a a l s 力场中等截面微悬臂梁的平衡位 形和稳定性凹】，得到了以下结论( i ) 当尖角与模型间的距离相对大时，v a nd e r w a a l s 力中排斥力成分可忽略。而当距离变得足够小，排斥力的成分必须考虑。( i i ) 存在有稳定和不稳定平衡状态，且当悬臂梁的长度在某范围内时存在有两个平衡 状态，为使a f m 正常工作，在设计应避免出现不稳定或双稳定状态。( i i i ) 微悬臂 粱到模型表面的工作距离对于系统的平衡状态有着重大的影响，这种影响的趋势 对于a f m 的设计有指导性作用；a b d e l r a h m a n 和n a y f e h 基于多尺度法导出微悬 臂梁的谐波共振特性识别接触力【叭1 ，文献采用了接触式a f m 的一阶或高阶模态 的次谐波共振识别高阶的接触刚度，在一阶模态下被发现需要一个比高阶模态低 一级的力才能获得有意义的数据。另一方面，高阶模态具有较低的热噪音、较高 的品质因子、及对硬材料模型具有较高敏感性，在激励与各固有频率无内共振情 况下，文献给出了识别个参数的表达式。 另外在实验观测和分析方面，一系列优秀的综述证明了在尖角与样品间相互 作用力 9 2 - 9 5 1 及模型动力学分析方面理论计算和实验结果的吻合i 孵g o ；同时对应用 a f m 技术进行分析【l o o d o l 】。 1 4 主要工作 g a l e r k i n 截断方法常常用于求解偏微分方程，本文中对偏微分方程( 1 - 4 ) 用 g a l e r k i n 法进行二阶截断，得到了描述悬臂梁运动的单自由度和两自由度的模型， 以前的研究工作只限于一阶截断，没有两自由度的研究模型。在单自由度模型中， 应用多尺度法 1 0 2 - 1 0 4 对方程进行了求解，得到了响应的近似解及幅频响应曲线并 将与原有的数值解进行了比较。同时用r u n g e - k u t t a 数值方法分析其动力学特征。 用相平面图，p o i n c a r e 映射等方法分析梁的振动随激励振幅等参数的分叉情况， 用l y a p u n o v 指数判断振动的混沌特征。 对于得到的两自由度模型，同样用r u n g e - k u t t a 数值方法分析其动力学特征， 9 上海大学博士学位论文 在激励频率为基频时所得到的梁的振动随激励振幅等参数的分叉图与单自由度模 型的结果进行了比较，可以看到当激励频率在基频附近时两种模型具有相似的分 叉情况。 对于非线性边界条件的线弹性梁的振动，摄