（一般力学与力学基础专业论文）双足机器人的动力学建模与控制.pdf

摘要 本文为一个名叫b e s i d i n g 的双足机器人建立了完整的力学模型和控制模 型，使机器人能在平面上实现稳定的动态行走。并且对模型的可靠性和实用性 进行了仿真计算，结果证实了文中模型的合理性和可行性。这个名为b e s i d i n g 的机器人有1 0 个自由度，从机械学的角度看，其结构能实现基本的步行动作。 为了使建立的模型利于计算机控制和编程计算，文章采用了一种递推的n e w t o n e u l e r 方法来建立机器人的力学模型，这种方法的特点是利用递推计算的办法来 形成力学方程中动力矩阵和关联矩阵的元素，这就使得非常复杂的动力学方程 在编程计算的时候显得非常简洁、有效，在这个基础上，文章对步行策略进行 了设计，并得到了实现稳定的动态行走所必须满足的力学条件。 在b e t i d i n g 机器人的控制问题上，文章采用的是跟踪式的p i d 控制法，具 体措施是首先把机器人的行走过程按一个很小的时间区间分成许多时间域，其 次把机器人的力学方程在每个时间领域里线性化，然后在这个时间域内对机器 人进行p i d 控制。其实这种控制方法允许对机器人控制系统的特性参数进行设 计，这就更容易使控制系统达到我们的要求；另外，b e s i d i n g 还添加一个控制 环节，使其具有一定的鲁棒性，来抵消由于实际机器人的某些力学参数很难精 确测量所带来的对稳定性的负面影响。 文章的最后对力学模型和控制用m a t l a b 进行了仿真计算，列出一些重要的 计算结果，对稳定性、跟踪误差、响应性能等重要的控制指标进行了分析。其 结果显示，文章所采用的建模方法、行走策略和控制措施是合理的、有效的、 实用的。 关键词：双足机器人、力学模型、动态步行、行走策略、控制模型、仿真 计算 a b s t r a c t i n t e g r a t e dm e c h a n i c sa n dc o n t r o l l i n gm o d e lf o rab i p e dr o b o tn a m e db e s i d i n gi s c o n s t r u c t e di nt h i sp a p e r , w h i c hm a k et h er o b o tc a l lw a l ko np l a n ed y n a m i c a l l ya n d s t e a d i l ys i m u l a t i o nc o m p u t i n gr e s u l tf o rb e s i d i n gi sa l s op r e s e n t e di nt h ep a p e r ，t h e r e s u l tv e r i f i e st h a tt h em e t h o do f m o d e l i n gi sa v a i l a b l eb e t i d i n gh a v e1 0d e g r e e so f f r e e d o m i t ss t r u c t u r ec a r lh e l pi t s e l fr e a l i z i n gb a s i cw a l k i n gm o t i o n si nm e c h a n i c a l o p i n i o nd u r i n gt h ec o u r s eo fm o d e l i n g ，as p e c i a ll a g r a n g i a nm e t h o di sa d o p t e d ， t h i sm e t h o dm a k ei tc o n v e n i e n tf o rc o n t r o l l i n ga n d p r o g r a m m i n g ，t h ep r i n c i p i u mo f t h em e t h o di st h a tt h ed y n a m i c a lm a t r i xa n dc o r r e l a t i v em a t r i xa r ef o r m e db y u s i n ga i t e r a t i v e a l g o r i t h m , t h ea l g o r i t h mh a sv e r yh i g he f f i c i e n c yd u r i n gp r o g r a m m i n g , e s p e c i a l l yf o rs o l v i n gc o m p l i c a t e dd y n a m i c a le q u a t i o n b a s e do nt h er e s u l t ，w a l k s t r a t e g ya n dt h em e c h a n i c sc o n d i t i o nf o rs t e a d yd y n a m i c w a l kf o rb e s i d i n g i s o b t a i n e d o nt h ec o n t r o l l i n go fb e s i d i n g , at r a i l i n gp 1 i ) m e t h o di si n t r o d u c e d c o n c r e t e s t e p i st h a t d i v i d i n gas t e pp 耐o di n t om a n yc o n s e c t i v es p a c eb yt i m e , s e c o n d l y , l i n e a r i z i n gt h ed y n a m i ce q u a t i o no fb e s i d i n gi ne a c hs p a c e ：t h e n , p i dm e t h o dw a s u s ei ne v e r yl i n e a r i z e ds p a c et h i sm e t h o da r t a i a st h ea i mo f c o n t r o l l i n gm o r ee a s i l y a n d p r e c i s e l y d u et os o m em e c h a n i c sp a r a m e t e rc a nn o ta c h i e v e da c c u r a t e l g a n o t h e rc o n t r o l l i n gt a c h ei sa d d e d w h i c hc a nc o u n t e r a c tt h en e g a t i v ee f f e c to n d y n a m i c w a l k ，a n de n h a n c et h er o b u s t n e s so fs y s t e m h lt h ei a s t p a r t o ft h e p a p e r , s i m u l a t i o nr e s u l t s a b o u tt h em e c h a n i c sa n d c o n t r o l l i n gm o d e li sp r e s e n t e d t h er e s u l t si n c l u d em a n yc o n t r o l l i n gt a r g e t ss u c ha s s t a b i l i z a t i o n t r a i l e r r o r , r e s p o n s ep e r f o r m a n c ea n dr o b u s t n e s s a 1 lt h a ts h o wt h a t m o d e l i n gm e t h o d ，w a l kt a c t i c a n dc o n t r o l l i n g s y s t e mo fb e s i d i n g a r ea v a i l a b l e ， e f f e c t i v ea n db a n a u s i c k e y w o r d s ：b i p e dr o b o t ；m e c h a n i c sm o d e l ；d y n a m i c - w a l k ；w a l kt a c t i c ； c o n t r o l l i n gm o d e l ；s i m u l a t i o nc o m p u t i n g 双足机器人的动力学建模与控制 第一章绪论 机器人是作为现代高新技术的重要象征和发展结果，已经广泛应用于国民生 产的各个领域，并正在给人类传统的生产模式带来革命性的变化，影响着人们 生活的方方面面。虽然机器人的技术现在已日趋成熟，但是有关机器人的定义 却众说纷纭，美国机器人工业协会给出的定义是：“机器人是一种可再编程的多 功能操作机，通过可变的程序流程，以完成多样化的任务”。我国著名的机器人 专家蒋新松给出的定义则相对简洁：“机器人是一种具有拟人功能的机械电子装 置”。不管这些定义如何，但他们都包含了机器人的共性：( 1 ) 能模仿人的一些 动作；( 2 ) 具有一定的智力、感觉和识别能力；( 3 ) 是人造的机器或机械电子 装置。 正常人所能完成的基本动作步行，其实是一种非常复杂的运动，它需 要的人全身的骨骼和肌肉进行复杂而巧妙的协调，而人的骨骼系统由2 0 6 块骨 头组成，肌肉系统包括3 2 7 对肌肉，这是一个很复杂的系统，但是在大脑的指 挥下，人不但完成步行，而且还能轻而易举完成其他高难度的动作。对于步行 机器人来说，它只需要模仿人在特殊情况下( 平地或己知障碍物) 完成步行动 作，这个条件虽然可以使机器人的骨骼机构大大降低和简化，但也不是说这个 系统就不复杂了，其步行动作一样是高度自动化的运动，需要控制机构进行复 杂而巧妙地协调各个关节上的动作。 本章简要阐明了机器人的发展历史，双足机器人的研究背景和研究进展， 最后简要说明了本文所做的工作。 1 1 机器人的发展历史 “机器人”是存在于多种语言和文字的新造词，它体现了人类长期以来的 一种愿望，即创造出一种像人一样的机器人或人造人，以便能够代替人进行各 种工作。 双足机器人的动力学建模与控制 尽管直到三十多年前，“机器人”才作为专有名词加以引用，然而机器人的 概念在人类的想象中却已经存在三千年了。早在我国西周时代( 公元前1 0 6 6 年 一前7 7 1 年) ，就流传有关巧匠堰师献给周穆王一个歌舞机器人( 艺伎) 的故事。 作为第一批自动化动物之的能够飞翔的木鸟是在公元前4 0 0 年至3 5 0 年间制 成的。公元前3 世纪，古希腊发明家戴达罗斯用青铜为克里特岛国王迈诺斯塑 造了一个守卫宝岛的青铜卫士塔罗斯。在公元前2 世纪出现的书籍中，描写过 一个具有类似机器人角色的机械化剧院，这些角色能够在宫廷仪式上进行舞蹈 和列队表演。 我国东汉时期( 公元2 5 2 2 0 年) ，张衡发明的指南车是世界上最早的机器 人雏形。 人类历史进入近代之后，出现了第一次工业和科学革命。随着各种自动机 器、动力机和动力系统的问世，机器人开始由幻想时期转入自动机械时期，许 多机械式控制的机器人，主要是各种精巧的机器人玩具和工艺品，应运而生。 公元1 7 6 8 1 7 4 4 年间，瑞士钟表匠德罗斯父子三人，实际制造出三个像真 人样大小的机器人写字偶人、绘图偶人和弹风琴偶人。它们是由凸轮控 制和弹簧驱动的自动机器，至今还作为国宝保存在瑞士纳切特尔市艺术和历史 博物馆内。同时，还有德国梅林制造的巨型泥塑偶人“巨龙戈雷姆”，目本物理 学家细川半藏设计的各种自动机械图形，法国杰夸特设计的机械式可编程序织 造机等。1 8 9 3 年，加拿大摩尔设计的能行走的机器人“安德罗丁”，是以蒸汽机 为动力的。 这些机器人工艺品，标志着人类在机器人从梦想到现实这一漫长道路上， 前进了一大步。 进入二十世纪之后，机器人已躁动于人类社会和经济的母胎之中，人们含 有几分不安的期待着它的诞生。他们不知道即将问世的机器人将是个宠儿，还 是个怪物。1 9 2 0 年，捷克剧作家卡雷卡凯培克( k a r e lc a p e k ) 在他的梦想情 节剧罗萨姆的万能机器人( r u r ) 中，第一次提出了“机器人”这个名词。 各国对机器人的译法，几乎都从斯洛伐克语“r o b o t ”音译为“罗伯特”( 如英语 r o b o t ，日语，俄语，德语r o b o t 等) ，只有中国译为“机器人”。1 9 5 0 年，美国 著名科学幻想小说家阿西莫夫在他的小说我是机器人中，提出了有名的“机 器人三守则”； ( 1 ) 机器人必须不危害人类，也不允许它眼看人将受害而袖手旁观 ( 2 ) 机器人必须绝对服从人类，除非这种服从有害于人类。 ( 3 ) 机器人必须保护自己不受伤害，除非为了保护人类或者人类命令它 这样做。 2 双足机器人的动力学建模与控制 1 2 双足机器人研究背景 机器人技术是电子、机械、人工智能等各个领域新技术的结晶，人形机器 人的研究作为机器人学的一个分支，无疑对机器人研究的技术和思想提出了更 高的要求。它所应该具有的活动能力对力学和机械学提出了挑战；它对控制的 高度灵活的要求使现代控制理论找到了真正的用武之地；它所要具有的智能对 人工智能提出了一个高难度的课题，同时也是对神经学和仿生学的研究成果一 次大检验。所以人形机器人的研究是高科技各种成果的综合。 人形机器人的研究起源于人的好奇性和一种自我挑战的心理，人们总想制 造出一种跟自己差不多的机器，它可以忠实地供人驱使，为人干活，成为人的 终身保姆。目前的机器人技术和人的这些梦想相比，可能还要一段很长的路要 走。但是我们可以看到现在已经有各种样式的双足机器人问世，它们可以行走 和顺利拐弯，也可以做一做“小动作”。但是如果这种机器人具有很好的控制性 能，还有小巧玲珑的体形，再加上必要的人工智能和学习能力，则它的应用不 仅仅在科研上，它可以进入家庭和服务业，进而代替现在的机器宠物，使这种 “机器人保姆”进入市场。还可以在工业上代替从事一些复杂且没有规律的手 工劳动，在科学探测活动中从事高危险系数或者人无法完成的作业。总之，双 足机器人有着巨大的应用前景和发展潜力。 1 3 国内外的研究概况及发展趋势 国外的取足机器人研究早在8 0 年代就已经形成了热潮，并且提出了很多非 常系统的建模及控制的理论和方法。我国在这方面的研究则比较零星，很多研 究集中在机器人的步态控制上，完整的动力学建模还较少涉及，这有待我们的 进一步努力。 在双足机器人的建模研究中，国外许多论文针对不同的自由度提出许多值 得借鉴的思想和方法。从7 0 年代发展起来的多体动力学的发展简化了多体系统 的建模方法，使所建立起的模型更适合于计算机编程计算和实时控制【lj 【”j ，有 很多工业机器人都是用这种方法建模，这种方法的缺点是力学模型的建立和控 制模型的建立是分开的，所以在把力学模型转化为控制模型时存在相当的难度， 由于双足机器人对控制系统的高要求，所以用这种方法对其进行建模的论文很 双足机器人的动力学建模与控制 少。到了8 0 年代，很多学者都注意了这个问题，于是发展一批适用于双足机器 人的建模方法，m c o t s a f l i s 等人在1 9 8 9 年提出一种直接非线性解耦法( d i r e c t n o n l i n e a r d e c o u p l i n gm e t h o dd n d m ) ，这种方法的思想是用经过修正的 l a g r a n g e 方程建立动力学方程并在其上做适当的变换从而得到解耦的控制方 程。p s a r d a i n 等人在1 9 9 8 年的一篇论文中建立一个1 2 个自由度( 7 个连杆) 的机器人的动力学模型时，提出了用优化的有关理论来建立模型的方法，这种 方法主要是针对步态的优化，然后把所建立的优化方程直接用计算机进行仿真 计算，从而得到机器人的特性参数。随着这些方法的发展，双足机器人的模型 也越来越复杂，从简单单自由度被动式机器人到拥有多达1 7 个自由度的主动式 机器人都已经问世，其中后者基本上可以完成走、转向、小跑等动作。在控制 系统的设计上也发展了很多有特色的方法，计算法一由力学方程得到控制方 程，这种方法要求详细知道系统的结构参数，否则不能有很好的效果，它经常 和p d 控制法、p i d 控制法结合在一起使用；鲁棒性控制法其控制系统参数 有高度的低敏感性、抗干扰性。当无法确切知道系统的结构参数时，这种方法 可以有相当的准确性和稳定性。自适应控制法一这种方法在机器人的关节和 脚上加上一些传感器，根据传感器的数据调整关节和脚上的力和力矩以达到实 时控制。 国内的研究中比较系统的建模理论很少，但在步态研究和控制研究却也不 冷，并且很有创新，如张克等人提出的用小波神经网络来控制双足机器人的步 态 1 。7 ，还有柳洪义等人在机器人脚触地所带来的冲击进行较为详细的研究【l 。 总之，现在的双足机器人正在和人工智能、计算机、新材料等高技术领域 相结合。随着机构和控制复杂度的提高，其建模方法除了理论上的不断完善之 外，也越来越依靠许多很有名的多体系统计算与仿真软件，如a d a m s 、m a t l a b 和a n s y s ； 其控制系统正朝着自治的方向发展，为制造更加人性化和智能化的 机器人打下坚实的基础。 下面的几个图是不同自由度数的双足步行机器人的原理图p j 。图1 1 只有 一个自由度( d o f d e g r e eo f f r e e d o m ) ，其行走就靠髋关节上的哪个转动自 由度的相对运动来实现，其结构相当简单，但也能实现动态步行【3 】，图1 2 有 两个自由度，其向前运动是靠髋关节来实现的，而机器人的抬腿运动是通过附 加在脚上的液压缸的伸缩运动来达到目的。图1 3 所示的模型有四个自由度， 由于其自由度比较多，并且布置比较合理，所以与前两者相比，显得更加人性 化和灵活，能实现各种速度的步行动作，还有一定程度上的抗干扰能力和越障 水平，因为在两条腿的踝部各增加了一个侧向自由度，所以机器人能够实现通 过这个自由度的活动来达到动态步行的目的。图1 4 有九个自由度，在给出的 四个模型中，这种步行机的结构与人最接近，腰部上面的摇杆是做动平衡用的， 这种机器人行走的时候必须使步行动作和摇杆的动作巧妙地配合，才能实现动 态步行。与前面的模型相比，这种模型能够实现更加复杂和稳定的步行动作。 4 双足机器人的动力学建模与控制 但是作为比较接近人本身结构的图1 4 所示的模型，其实也有一个弱点， 就是在其行走的时候，上体必须按照某种规律的摆动，否则就不能实现动态步 行，但是由于上体在摆动，所以机器人的上体就不利于进一步地进行结构上的 扩展( 如给机器人加上手臂等) ，而限制了机器人的用途。另外这种机器人的上 且 图1 11 d o f 步行机 图1 22 d o f 图1 38 d o f 步行机 体摆动部分由于质量比较大h ，所以摆动起来显得很笨重，这就限制了机器人 高速步行的可行性。 本文所设计的b e s i d i n g 机器人就弥补了这两个缺点，能够实现各种速度的 取足机器人的动力学建模与控制 步行，又能保持上体的稳定性，而其自由度仅为1 0 个，这就给计算和控制带来 方便。 图1 49 d o f 步行机 1 4 本文的主要工作 本文提出了一种利于编程计算的双足机器人力学建摸方法一一基于 n e w t o n e u l e r 方法的递推计算建模法，在这个基础上，提出了一种变结构的跟 踪控制方案，由于双足机器人的单脚支撑期和双脚支撑期是两个显著不同的状 态，所以对他们采取的控制方案和计算方法是不同的，但是为了减轻控制器的 负担，又尽量使这两种方案尽可能啮合在一起，这将在文中有重要的论述。这 种方案能保持较好的跟踪响应性能和控制精度，由于在控制系统中采用了变结 构环节，使得机器人有一定的结构参数的自适应性和鲁棒性。 文章的最后，基于上面的理论，用m a t l a b 编制了仿真计算程序，对机器 人的稳定性、跟踪性能、响应性能等进行了分析，得到的结果表明本文所采用 的建摸方法是有效的，所设计的控制系统能够满足正常平面步行的需要，并且 具有一定的鲁棒性和自适应性。 上面所有的研究工作都是围绕一个具体的机器人模型而展开的，这个机器 人有1 0 个自由度，它的结构简图在文中，为了叙述方便，我将这个机器人称为 b e s i d i n g 机器人，他的结构设计综合了许多双足机器人的资料，但又有所不同， 所以得此称谓。 双足机器人的动力学建模与控制 第二章双足机器人力学建模方法 2 1 概述 多自由度机械机构的建模方法很多，如：n e w t o n - e u l e r 方法，还有腾森伯 格方法，此外还有许多提供力学模型的力学软件，并且还能分析动力学系统的 动态性能，其中比较著名的是a d a m s 。但是不同的应用目的，选择的建模方法 是不一样的。 在建立双足机器人的力学模型时，要考虑到所建立的力学模型不但要用于 轨迹规划的评价，还要用于控制模型的计算，而这不是所有的建模方法都能够 办得到的。控制方程应该比较适合编程，拥有较优越的控制性能，高效的计算 效率。考虑到这些因素，谨慎地选取建模方法是非常必要的。 为这些非“力学的因素”着想，本文在建立机器人的力学模型时采用一种 递推的力学模型，这种方法得不到显式的力学方程，但它适合于编程计算、控 制方案的设计与控制性能的分析。在你采取比较独特的控制方案时，它无疑不 会阻碍这种方案的实施。 2 2 递推的牛顿欧拉建模原理 2 2 1 坐标转换距阵 在如图所示的两个坐标系中，向量焉在坐标系( x 。，y 。，气) 与( x 1 儿，毛) 中有不同的表示，分别记为不与i ，显然这两者之间存在一种变换关系 亏= r 。r 4 0( 2 2 - 1 ) 我们把上式称为( x 0 儿，= 。) 到( x ，儿，毛) 的变换距阵。 7 双足机器人的动力学建模与控制 关于r 。的计算可以用下式得到 ( 2 2 - 2 ) 其中( y o ，元，毛) 与( i ，z ，丘) 分别是坐标系0 和坐标系1 的单位向量。 变换距阵有如下性质： y l 图2 1 变换示意图 1 ) d e t r = 1 ： 2 ) 眠o ) = ( r l o ) 7 = r 。】； 3 ) 递推关系 r f 0 = r ，1 r “m r 2 l r 4 ) 乘积关系 如果( _ ，儿，= ，) 相对于( x 。，y 。，气) 做了h 次旋转，第j 次的变换的距阵记为 磷) ，则最终的变换的距阵与各次旋转的距阵有如下关系： r 。= 兀月 ( 2 2 - 3 ) 变换距阵的计算一般采用欧拉角，这样可以带来量测的好处。因为机 器人的驱动设备一般在关节上，马达所输出的是两个坐标系的相对角度。 1，l， 一一tk_一 一 一一凡一九 一h_一t o - 一，一4 b 、l = 0r 双足机器人的动力学建模与控制 2 2 2 递推n e v r t o n - e u i e r 法推导 对于双足机器人来说，只有转动关节，没有移动关节，所以为了直接 的针对问题实质，在推导下面的递推方程式时，我们将只考虑有转动关节 的情况，这样导出的方程就直接可以用于机器人的模型建立。 图2 2 串联刚体的力分析 在上图中，假设所研究系统在s 。( 关节标号) 处断开，仅考虑由巴( 物体标号) 到c 。所组成的上半部分，且c 。对c 。作用有约束力k 和约束力矩m 。，由于 约束力矩m 。和转轴气相互垂直，故： e m = 0( 2 2 4 ) s 。是连接刚体k 一1 与j 】 之间的转动铰链，o k 是刚体k 的质心，肚r k 是铰链 以到质心q 的距离向量，e 。为墨的单位向量。 则根据刚体对质心的动量矩定理，刚体g 的动力学方程可以写成： 甍( l = m 。= m 。+ 硒k ( 2 2 - 5 ) 其中f k 为刚体受到的外力主向量，m 。和m 。为分别为外力对于质心与a 点的主矩，而a 点是刚体k 上的任意一点，另外根据牛顿第二运动定律，外力r 和质心之间的加速度有如下之间的关系为肼。a 。= e ，将该式带入转动方程( 2 5 ) 即有： a o i n a 靠+ j 畦+ 了曲 1 7 组成的刚体系，并将a 点取在s 。上 m 。( 2 2 - 6 ) 可以得到 双足机器人的动力学建模与控制 n 月n ”r l m ，a ；+ m 。= r + m 肼+ r 】m ，g ( 2 2 7 ) i = k仁女 j = k 其中a ；为刚体j 质心加速度，p k 为关节驱动力矩，并且m 为： m ，= j ，i + ，j ，- 上式的角速度，角加速度都是相对本地基而言的。 由( 2 2 - 7 ) 两边点乘e 。并且利用e 。m 。= o 得到 + m ，e 。= p k # 】i = k 其中： f 2 2 - 8 ) f 2 2 9 ) b = ( 。r j m a ，) e 一( r i 历，g ) oe t( 2 2 - 1 0 ) 显然，对于每个转动关节都有立i j ( 2 2 - 9 ) 式所示的标量方程，并组成方程组。 不过仅有( 2 2 9 ) 式的结果还不能得到递推关系，要形成可编程计算的递推关 系，还必须与其运动学上的递推关系结合起来。对于刚体尼，根据运动学关系， 可以得到它的角速度( 2 2 - i 1 ) 和角加速度( 2 2 - 1 2 ) 的递推关系： 2 女l + q k e t = t 一1 + q t e + q t 1 e 以及质心速度( 2 2 1 3 ) 和加速度( 2 2 1 4 ) 的递推算式： f 2 2 一1 1 ) f 2 2 - 1 2 ) v 女= v 女一】+ e 。n 十川r k _ 】( 2 2 - 1 3 ) a = a + 。咋十女一1x k 吐+ ix 佃。k ) + 一1 ( 如t 一1 r k - 1 t ) ( 2 2 1 4 ) 将。和a 。在固定系中的分量列阵和口，写成矩阵形式的话： 以= k ? ，口! ，咄；，口j ，0 ，o k “ = 陋。琦+ 舻】 ( 2 2 一1 5 ) = 群，肼，所，群，o ，o 】口+ e 5 。 - 汐】学+ 【占( 2 2 - 1 6 ) 其中 口? = 口j ，口；：，口；，= ，：， z = c 4 ，码，吗 7 j 1 = 四，e ，茁r 取足机器人的动力学建模与控制 都是三维列阵，互= 瞄，百：，孕。】7 是即维列阵，因此【口2 和 1 1 是3 ”阶距阵， 则( 8 ) 式角加速度可以表示成关节坐标加速度茸，( ，= 1 2 - ”) 的线性函数形式： 气= a 牙，+ 五 露= 1 ，2 ，3 f 2 2 一1 7 ) 由上看出口；是与牙，对应的“系数”，爿是所有与孕无关的余项，也应该是冒和口 的函数，同样( 2 2 一1 6 ) 可以写成： 2 口* = 岛卓，+ 后= 1 , 2 ，3 ( 2 2 一1 8 ) i = 1 系数距阵f 、汐】以及余项列阵f 】和f 】，可以采用递推算法来生成。假定 陋。】 、 卢1 】、【爿1 】、【占”1 】已经算出，只要将刚体女引入到运动链来，就可以 得到有关的递推关系： 盘j = 口f 1 0 = l ，2 ，一，j 一1 ) ；a ：= e 太= 九卜1 十口。 卜1 e ，) 厂b j = p _ 1 一n 7 1 x r i + a j 佧k t p ：= 证，k 厂6 1 l h + ，和，。k )( 2 2 一1 9 ) 将( 2 ，2 一1 6 ) 式带入到( 2 。2 - 9 ) 式得： b * = 、f 。t ”，r a ：【卢1 】均+ p ；。，m ；占一e y ，g = b 2 4 + = 】=】：=f f 2 2 2 0 ) 式中2 y 为距阵： ( ) ，b 0 。 ( 2 2 - 2 1 ) 在( 2 2 - 9 ) 式当中，还有一项m 。e 。可以通过下面的方法计算得到 h+ 九) + k i h 九 十，一 卜 o 6 _l 伽啊oo 啊 一 一一 翌星垫矍竺垫垄堂至堡兰垄型 图2 3 力学模型计算流程图 双足机器人的动力学建模与控制 m ，e k = e m 。) = e z ，一，) ，) 】 譬慧；善笔舞凯m v q ( 2 2 - 2 2 ) t t = g ；正以z q a 。】百+ 8 。i z f + e l 峨3 ，删， = 蜈学+ u 。 通过上面的一系列方程就可以得到递推的力学方程。 把上面的式子统一到下面的动力学方程来： a ( q ) 日十b ( q ，i ) + p = f( 2 2 - 2 3 ) 上式中p 是主动力所形成的列阵，t 是加在各个关节上的力矩所形成的列 阵，将( 2 2 2 3 ) 式和上面的递推关系联系起来就可以得到a ，b 的递推计算方法 2 2 3 特殊关节的处理： 如果个关节上有两个或者两个以上的转动自由度，则称之为特殊关节( 如 b e s i d i n g 的踝关节和髋关节分别有两自由度) ，对于这种关节，不能直接用上面 的方法进行计算，必须进行特殊的处理。 从递推算法的建模过程可以知道，其默认的情况是，每个关节只有一个自 由度，而对于特殊关节，可以把这两个自由度肢解开，然后假想在两者之间插 一个“虚物体”，这个物体没有质量属性、弹性变形和空间尺寸，其所起的作用 仅仅连接被肢解的两个自由度( 图2 。4 ) 。 图2 ，4 特殊关节的处理 双足机器人的动力学建模与控制 2 。3b e sldin g 机器人动力学建模 2 3 1 结构简图： 下图中，e 表示在i 方向上的关节的相对转角，曰，表示i 方向上的关节的 相对转角。而，。为对应连杆的长度，图中已经表明了机器人的两条腿是完全一 样的，z ( i = 1 , 2 ，6 ) 表示各个连杆的中心位置，由于机器人的腿是一样的，根 据上图，显然有下面的关系： 4 + d 6 = l o ；d 2 + d 5 = 厶；d 3 + d 4 = ，。 ( 2 3 1 ) 背面视图图2 5b e s i d i n g 机器人结构示意图 侧面视图 图机器人结构示意图 1 4 职足机器人的动力学建模与控制 2 3 2 单脚支撑动力学特性分析 为了保持机器人在行走时上体的水平，支撑腿的关节有如下一个关系； 岛+ 岛= 0 有关的坐标转换矩阵： 如惚 耻愕 耻恳 ( 2 3 2 ) s 且c j l li c ，：0 s ，：l s ，。lr 2 = f 010 j c ，l c nf一s j 2 0 c ，：l s j 3 i c ，。s j 4 s i 。s j 4 g 。j 一晶r ，；= f 0 c ，。 一只。l c ，c 1 3j l s ，。一c ，。c ，。c 1 4 c ，。j lc ，。一s j 。氏s j 6 c sf r 7 6 = 1 0 c ，4一s ，4i f _ s ，。一c ，6 c sc ，。c ，sj f 2 3 3 ) 有了上面的东西，就可以利用前面介绍的递推方法来分析b e s i d i n g 机器人 的动力学性能。机器人的动力学方程可以用来评论轨迹优化是否达到了稳定性 条件，以及对机器人进行实时控制 2 3 3 机器人双脚支撑动力学分析 在双脚支撑时期，机器人必须完成的动作是使重心从后腿移动到前腿，只 有这样才能实现连续步行，但是与单脚支撑不同的是，它的独立自由度要少。 如图2 6 所示，在身体o ，向前移动的过程中，o ，与q 的位置是固定的。这样 机器人就够成了一个封闭的运动链，此时机器人只剩下7 个自由度是独立的( 因 为0 ，、倪是固定的，限制了三个自由度) ，也就是说在双脚支撑时段，只有7 个自由度是可以控制的。但是让那些自由度是自由的呢? 这是我们可以选择的， 根据文献u ”，我们可以选择0 i 。，0 。为自由的，即在双脚支撑时期，让控制氏，0 。 的控制力矩咒，。为零，另外在后面的轨迹规划时，我们还让控制目，。的控制力 矩r 。为零，选择这个自由度的原因是它的控制不会引起歧义( 既不会同时有两 个解与给定的7 个自由度的值相对应) ，从而不引起运动过程的畸变。 啉g浦岛碥割 n ( 一 一 一 一 0 1 0 取足机器j 人的动力学建模与控制 背面视图 图2 6 双脚支撑期示意图 侧面视图 约束关系的推导 利用i 图一2 5 和变换距阵_ 足_ 可阱推导出6 杆的萤【_ 用i _ l _ 杆的坐标系来表看茜 可以把结果简化成下面的形式： f ( o m 巳。，谚s ，0 ，6 ) m + i = 1 7 对其求一阶导得： ( 2 3 4 ) 蠢扫n + 焉盯+ 蠢“景钆- o 仁3 _ 5 ) 对上式再求导数就可以得到约束方程关于加速度的约束关系： 丢焉娥+ 焉丢毋蜘嚣”+ 亿。埘 磊d 氍o f 娥茜丢舞修s + 薏秘。、 其中f ( 谚。，b ，只。，护芦) = r t e r 。；r ：。，一+ 3 x 3 的、且与氏，目p 0 1 6 , 岛s 等各个都有关系的距阵，m 是在变换过程生成的一个三维列矢量，i 、是连杆1 双足机器人的动力学建模与控制 的矢量，i ，是连杆7 相对于连杆1 的矢量表示。注意到图2 6 是两脚着地，所 以l ，是一个不随时间变化的矢量( 常矢量) 。 如果上面的式子展开就可以得到关于这1 0 个自由度参数的三个方程组， 由此可知，在这个1 0 个自由度中只有7 个是相互独立的。同样可以通过f 2 3 4 ) 式来得到速度和加速度的约束方程。 此时如何来用递推的办法计算呢? 先按( 2 3 - 4 ) 、f 2 3 - 5 ) 、( 2 3 - 6 ) 式计算 出只。，够。和臼以及气，毋妒曰4 、谚。，百j 6 ，痧然后在按照流程图计算出距阵 a ，b ，p ，注意到这些参数是不可控的，所以在力矩矢量f 中与这些自由度相对 应的力矩为零，这样的话，计算出来的距阵a ，b 只有前7 7 个元素组成的子距 阵才是有用的。这个结论对双脚支撑期的控制很有用。 双脚支撑期的力学方程 在双脚支撑时期，系统受到了几何约束，可以用带拉格朗日乘子的动力学 方程来描述： a ( 0 灿州”白7 九 f ( 0 ) = 0( 2 3 - 7 ) 式中九是l a g r a n g e 乘子。罢可以用下式计算 铲 a p a a 扫。 a f 2 a 吼 a e a 岛 a f a 目，1 幔 a 只。 a e a q ， 若令 t 。= a ( o ) 0 + b ( e ，6 ) + p f 5 = 一a 7 九 则( 2 3 - 7 ) 式可以改写成 f = t d + 下s 上式表示系统在满足几何约束条件下， 1 7 f 2 3 - 8 ) f 2 3 - 9 ) ( 2 3 - 1 0 ) f 2 3 - 1 1 ) 且不受地面反力时的力矩为t 。，称 甄一略峨一咏甄一崃 翌星塑墨尘塑垫塑堂堡竖兰笙塑 为动力距，在f 5 中，4 g l 与q ，它表示系统在承受地面反力时，为维持各个 关节相应角度所需的力矩，称为静力距。而机器人在给定的路径规划下要求各 个关节输出的力矩就是t 。与2 8 的和。 在b e s i d i n g 人的1 0 个自由度中，被约束了三个自由度表示为： 0 = ( 只6 ，0 归0 j 4 ) ，( 2 3 - 1 2 ) 而其他独立关节变量定义为： 0 日2 ( 只1 ，0 j 1 ，0 m o i 3 ，0 j 3 ，只。，0 i ，)( 2 3 - 1 3 ) 由于0 s 是独立关节，是事先规划好的，既0 。，6 。，6 。是已知的，通过约束关 系方程( 2 3 6 ) 和( 2 3 - 7 ) ，可以求出0 。，6 。，6 。 n n n n n ，按照上面的约束方程，b e s i d i n g 机器人的1 0 个自由度对应的 控制力矩为： i = ( t ；l ，t ，t j 2 ，f j 6 ) 也只有3 个是可以任意给定的 将( 2 3 一l o ) 展开得到： 匿 r 2 3 一1 4 ) 而其中的7 个必须依靠约束关系计算得到。 l a 1 la 2 】 a 3 1 r ，1 ：f ： ： 冬：82f 。：。一，。， k 爿! ，。一训 椐( 2 - 3 1 2 ) ，i n n 0 , 。，q 。，巳。被约束了，可知t 。t 膨f ，。必须为零，而由( 2 3 1 1 ) 可得 瑶= r 暑，r 二= 一r 品，r 三= 一o d( 2 3 - 1 6 ) 上式表明r 。sr 如s f 墨是可以计算的，因为r 。df 品，可以通过( 2 3 9 ) 式计算得到。 另外从( 2 3 - t s ) 中分解出f ：，r 嘉，f 二，得到： 眺 将( 2 3 一1 7 ) 反解得到 a 。a 。丌 一。爿。j j j ( 2 3 1 7 ) 4 。4 。j h j 双足机器人的动力学建模与控制 r 爿。爿7 2爿7 3 ? 五：? = i 4 ，4 。：一9 3 f l ，码jl a l 。4 。爿，。j f 2 3 一1 8 ) 这样就可以得到丑，a ：，如。 利用 ，五：，如，又可以反过来得到r j ，r ；，r 二，i d i 5 3 ，r 品，r 盖，r 二的值： f 2 3 一1 9 ) 到目前为止，任何一个关节的f 。，r 5 都己经有了数值，利用( 2 3 一1 1 ) 式就可以计 算得到双脚支撑期任何一个时刻每个关节i 所必须输出的力矩大小t 。 必须注意的是，双脚支撑期的动力学计算方法还是以递推法为基础，只有 通过递推法才能计算出一些基本的距阵a ，b ，利用这些距阵才可以进行上面的 计算，得到所需要的控制力矩的大小。 2 4 动态步行的力学描述 双足机器人动态步行的稳定性是有一定条件的，并且这些条件还比较苛 刻，这也是它的难点所在，也只有提出了步行的稳定性条件才能使对轨迹规划 的合理性和可行性进行评判。 动态步行的稳定性主要取决于以下几点：1 、把握好机器人的重心在前进 方向和横向的极限位置；2 、单脚支撑时，运动腿的落地速度控制；3 、找到双 脚支撑期与单脚支撑期相互转换的最佳时机。 厶厶 、。pjiiiiiiiiiijiik1。，l 如如如如如如如如如如如如如如 a西压山以以瓜 “、p“飞“qpn 双足机器人的动力学建模与控制 2 4 1z m p 点描述 单脚支撑期： 很多文献介绍了用z m p ( z e r om o m e n to f p o i n t ) 点来分析机器人步行的稳 定性( 文献 2 0 ) 。 在单腿支撑的时候，机器人的办口点必须位于脚掌范围内才能实现机器 人的稳定步行。如果z m p 点出了支撑面必然导致支撑腿绕脚失做不可控的旋转 运动，无法实现稳定步行。 图2 7 支撑脚受力分析图 双足机器人的单脚支撑时期支撑脚的受力如图所示，图中各矢量均相对 ( x 。，y 。，z 。) 7 坐标架表示，图中只为小腿对脚的作用的力，】为小腿对脚作用的 力矩：f - 为地面反力的合力；n r 为地面反力对p 点的合力距： 哆为摩擦力；，为摩擦力对p 点的力矩，设支撑脚所受的惯性力及重力为。， e 与气。对p 点的力矩分别为m ，幔) 、m ，( t 。) ，p 为z m p 点，根据达郎贝尔 原理： l + ，+ ，+ m ，( 鼻) + m ，( 。) = 0 ( 2 4 - 1 ) 记1 = 。啊，：) 7 ：e = 暇，凡，鼻。) 7 ；0 = ( x 。，y 。，o ) 7 ；，= ( o ，0 ，) m p ( t 。) = 印p m 即，口，聆，。) 7 ；若仅考虑s a g i t t a lp l a n e 内运动，由( 2 - 4 1 ) 得： 雅k + 胛一y ：巧：一a ( ，= o ( 2 4 - 2 ) 2 0 双足机器人的动力学建模与控制 如果z m p 点在支撑面内，可由上式得到 码r + 疗d 甜 曩： 化4 - 3 ) 因鼻： 0 ：互：+ 矗e ，一n ，。 ( 2 4 - 4 ) ( 2 4 - 4 ) 中e ，e 。与各杆件的运动有关，记聊，为第舛f 件的质量，a ，为该杆件对 应的质心加速度，z + ，为f 杆件对f + 1 的作用力。 若机器人由n 个连杆组成，由达郎贝尔原理可得： e = 一( m ，( 呸+ g ) ) r 2 4 5 ) 式中g 为重力加速度，设两足系统的质心坐标( 不包含支撑脚) 为。，乞) 7 ，可以证明【1 5 ： 脚，a ，= ( 见，乞) 7 1 = i w = m ， ( 2 4 - 6 ) i = l 式( 2 ，4 - 6 ) 、( 2 4 - 4 ) 代入( 2 4 - 3 ) 且考虑到踝关节的驱动力距，=