（一般力学与力学基础专业论文）再生型切削颤振的非线性动力学分析.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 在金属切削过程中，机床、刀具和工件形成了一个复杂的动力学结 构。在某种条件下，该系统会发生剧烈的振动一一颤振。颤振不仅会导致被 加工工件表面达不到工业标准要求，还会造成刀具的严重磨损，降低刀具的 使用寿命。近年来对金属切削系统的复杂运动研究越来越被广泛关注。 本文以金属切削模型为研究对象，对其复杂动力学行为进行了分析。主 要完成了如下几方面的工作： 1 分析正交金属切削系统，再生效应是产生颤振的重要原因，基于振纹 相位差建立切削颤振模型，采用数值仿真方法找到了颤振发生的临界频率。 2 应用时滞微分方程的特征值理论，理论分析系统零平衡点的稳定 性，得到平衡点稳定性发生改变时的临晃时滞计算公式。采用数值仿真方法 得到了系统的稳定性边界图，在穿越边界的过程中，系统平衡点的稳定性发 生了改变，发生了h o p f 分叉。 3 应用多重尺度法分析了系统的周期运动，得到周期解振幅与频率的关 系，研究了系统参数对周期运动幅频曲线的影响，发现时滞反馈可以使该系 统出现多个稳定或不稳定周期解共存的现象。 4 采用数值积分的方法，基于p o i n c a r 6 截面和分岔理论，得到了系统的 全局分岔图，发现了系统由周期运动一准周期运动一混沌运动的整个过程。 关键词：切削；颤振；非线性动力学；时滞微分方程；周期解；多重尺度法 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 a bs t r a c t i nm e t a l c u t t i n gp r o c e s s ，m a c h i n et o o l s ，c u t t i n gt o o l sa n dw o r k p i e c ec o n s t i t u t e ac o m p l i c a t e dd y n a m i cs y s t e m u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h ec h a t t e rw i l lo c c u r t h e c h a t t e rw i l lc a u s eh u g ed a m a g e r e c e n t l yt h es t u d yo nm e t a l c u t t i n gs y s t e m si si n - c r e a s i n g l yc o n c e r n e d i nt h i sp a p e rt h em e t a l - c u t t i n gm o d e li ss t u d i e d t h em a i nj o b sa r ea sf o l l o w ： 1 t h eo r t h o g o n a lm e t a lc u t t i n gm o d e li sa n a l y z e d t h er e g e n e r a t i v ee f f e c to f m e t a lc u t t i n gi st h em a i nr e a s o no fc h a t t e r b a s e do np h a s ed i f f e r e n c eo fv i b r a t i o n w a v et h em e t a lc u t t i n gm o d e li ss i m l i f i e d t h ec r i t i c a lc h a t t e rf f e q u e n c y sa r ef o u n db y n u m e r i c a lm e t h o d 2 a p p l y i n gt h ee i g e n v a l u et h e o r yo fd d e ，t h es y s t e ms t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m i sa n a l y z e da n dt h ee q u a t i o nf o rc a l c u l a t i n gc r i t i c a ld e l a yi so b t a i n e dw h e nt h es t a b i l i t y o ft h ee q u i l i b r i u mc h a n g e s t h es t a b i l i t yb o u n d a r yi sd r a w nb yn u m e r i c a lm e t h o d i n t h ep r o c e s so fc r o s s i n gt h eb o r d e r ，h o p fb i f u r c a t i o no c c u r s 3 u s e dm u l t i s c a l em e t h o d ，t h er a l a t i o nb e t w e e nf r e q u e n c ya n da m p l i t u d ea r eo b t a i n e d s y s t e m sp a r a m e t e r si n f l u e n c ea m p l i t u d e - f r e q u e n c yc u r v e s t h e r e c o e x i s tm u l - t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n s 4 b a s e do nb i f u r c a t i o nt h e o r y ，t h eg l o b a lb i f u r c a t i o nd i a g r a mi so b t a i n e du s e d n u m e r i c a li n t e g r a t i o nm e t h o d i na d d i t i o n ，t h es p e c i a lr o u t et oc h a o si si l l u s t r a t e d k e y w o r d s ：t o o lc u t t i n g ；c h a t t e r ；n o n l i n e a rd y n a m i c s ；d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p e - r i o ds o l u t i o n ；m u l t i s c a l em e t h o d 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将 本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密影使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：多戬、 日期：2 0 0 9 年5 月3 1 日 指导老师签名：多) 婊 日期：2 0 0 9 年5 月3 1 臼 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进 行研究工作所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本。 文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 应用时滞微分方程的特征值理论，理论分析系统零平衡点的 稳定性，得到平衡点稳定性发生改变时的临界时滞计算公式。采 用数值仿真方法得到了系统的稳定性边界图，在穿越边界的过程 中，系统平衡点的稳定性发生了改变，发生了h o p f 分叉。应用多 重尺度法分析了系统的周期运动，得到周期解振幅与频率的关系。 采用数值积分的方法，基于p o i n c a r 7 e 截面和分岔理论，得到系 统的全局分岔图，发现了系统由周期运动一准周期运动一混沌运 动的整个过程。 学位论文作者签字：0 琴贫 签字日期：2 0 0 9 年5 月3 1 曰 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 高速金属切削加工在2 0 世纪2 0 年代出现在制造业中，但是直到最近2 0 年才发展成为实际可用的技术。这些技术使航空工业制造彻底变革，但是由 于刀具与材料的特性，以及机器的动力特征，在其它工业领域的应用仍然受 到限制【l 】。其中，影响机器加工性能的最关键因素就是颤振一一发生在加工 工件与切削刀具之间的强烈的自激振动。颤振不但降低了切削过程的生产 率，而且导致了工件糟糕的切削表面，降低了尺寸的准确性，增大了刀具的 磨损率。结果导致了嘈杂的工作场所，同时降低了刀具的使用寿命。为了满 足当今的市场需求，工厂努力采用可靠的实际的策略去评估、抑制并最终阻 止颤振的发生。伴随着机械工业对高精确度、可配置和高速加工系统的要求 越来越高，这些策略是也变得越来越重要。 有数据表明，美国花费了3 的年国内生产总值在机械加工领域【2 】。研 究的焦点主要放在，如何使用科学的工具，选择优化的切削参数，以最大限 度地提高生产率。早期的研究主要花费在理解加工过程中的物理学原理，基 本模型就是正交金属切削，其中，切削速度方向垂直于主要的切削边。这样 的模型与加工实验用于预测切削区域的微小量，如应力、应变、应变率和温 度。这样的方法后来就被延伸到倾斜的刀具，用于工业加工中，其中的切削 速度方向与主要切削边倾斜。尽管大量的倾斜切削理论存在，但是仍然没有 一个被广泛接受【3 】。 尽管大量的研究用于观察加工稳定性，发展颤振抑制技术，而不降低金 属切除率，但是由于如下原因，很少有在实际生产中采纳的研究成果【3 】。首 先，在设计阶段，机械设计师们通常仅仅考虑强迫振动的预防技术，而在设 计阶段考虑颤振评估与抑制技术是相当困难的。第二，许多成熟的颤振控制 技术不能抑制所有切削条件下的颤振，在某些案例中还会导致系统失稳。最 后，伺服系统的修正常常要求应用这些控制策略。由于上面的原因，任何投 入实际生产中的颤振抑制技术，就不得不考虑颤振的物理性质以及在设计阶 段就应用这些技术。 在实际生产中，有两种主要的有前景的抑制颤振的方法，它们使用了 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 颤振理论、颤振的物理特性以及结合计算机技术与控制理论。第一个方法 是稳定转速选择s s s s ( s t a b l es p i n d l es p e e ds e l e c t i o n ) ，仅成功应用于高转速 加工的颤振抑制。第二种方法是正弦转速改变s 3 v ( s i n u s o i d a ls p i n d l es p e e d v a r i a t i o n ) ，在工业中并还未得到广泛的应用，因为s 3 y 抑制颤振的能力依赖 于选择的正弦函数的参数( 频率和振幅) ，以至于不同的参数得出不同的结 果。另外，也没有系统的方式选择合适的正弦力信号的振幅与频率【4 】。 成功应用上面的颤振抑制技术要求良好的在线颤振监测算法，算法应该 满足以下的要求：计算效率、可靠性和独立性以及转速信号改变的类型。文 献中大部分的算法不满足其中一个或更多的条件。 在金属切削的过程中，再生效应是发生颤振的重要原因。颤振导致被加 工工件表面达不到工业标准，还会造成刀具的严重磨损。众多学者建立了迟 滞微分方程数学模型用以描述这样的振动。s t e p a n 建立了几种与刀具加工有 关的迟滞微分方程，并且进行了稳定性分析【5 】。 对常系数的迟滞微分方程进行线性稳定性分析，可以画出稳定性区域 图，图中包括许多稳定性瓣，稳定性图描述了稳定与失稳区域的边界。h o p f 分叉发生在参数穿越这些稳定性边界的时候。图中不同稳定性瓣曲线的交点 表明这是双h o p f 分叉 6 】。这些点有着实际意义，它们代表了在加工环境下的 局部最适条件。在有限的邻近切削速度下，它们代表了最大可能的稳定切削 厚度，或者材料切除率。 1 2 相关学科发展现状 由于金属切削模型中非线性的存在、切削力的复杂性、时滞反馈的存在 使得该类系统具有丰富的动力学行为。随着非线性动力学的发展完善，好多 复杂现象得以明确其机理。对于切削系统的研究是以非线性动力学为基础 的。 1 2 1 非线性动力学 振动是在自然界、技术科学和社会生活中普遍存在的物理现象，例如建 筑物和机器的振动，无线电技术和光学中的电磁振动，声波振动，高速行驶 车辆的振动，心脏的跳动等等。这些看似各不相关的现象，在理论上可以通 过运动微分方程统一到振动理论中来，这样就形成了以微分方程理论为基础 的非线性力学。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 1 2 1 1 非线，陛动力学研究对象和方法 按照系统运动微分方程的类型，振动理论可以分为线性振动和非线性 振动。线性振动的微分方程是线性的，一般当系统的振幅较小时能够比较准 确地反映客观规律。然而，自然界一切振动系统严格意义上讲都是非线性 的，用线性振动理论来解释这些非线性问题显然是不够的，有时候甚至是不 准确的，例如高速机车的蛇行，机床颤振，心脏跳动信号和经济时间序列中 的混沌现象等等。和线性系统相比，非线性振动有着本质的不同，其特点主 要表现为【7 】 ( 1 ) 在非线性动力学中，叠加原理不再适用。这是非线性振动与线性振 动最根本的区别。 ( 2 ) 非线性动力系统的响应非常复杂，除了和激励频率相同的响应 外，还可能存在等于激励频率倍数或分倍数关系的频率成分存在，如超谐响 应、亚谐响应以及组合共振响应，还有和激励频率无关的响应如混沌运动。 ( 3 ) 在非线性系统的响应中，运动三要素均和初始条件有关，尤其是响 应的频率不仅和激励频率有关，和响应的振幅也存在关系，这构成了非线性 动力学中广泛存在的多解、振幅跳跃、响应的滞后等特有的现象。 ( 4 ) 在线性系统中，由于阻尼的存在，当无外界激励时系统运动逐渐衰 减为零，而非线性系统则不同，即使没有外部激励，也有可能存在定常的周 期解，如v a nd e r p o l 方程的自激振动。 ( 5 ) 线性系统在确定激励的作用下，只会产生确定性的响应，而非线性 系统则会产生类似随机的响应，如混沌运动，这是非线性系统特有的现象。 与线性振动理论相比，非线性振动目前尚无统一的研究方法，绝大部分 微分方程不能求出其精确解，因此，各国学者在研究的过程中发展了很多方 法来解决实际应用中遇到的非线性动力学问题。这些方法包括：理论分析方 法，数值仿真方法和实验研究等。理论分析方法是非线性动力学中最基本的 方法，它的根本任务是从理论上揭示非线性振动的基本规律和特性，主要包 括定量方法和定性方法。定量方法也称近似解析法，通过求出系统的近似解 来研究系统的运动规律和性质；定性分析方法也称几何法，是根据微分方程 本身的特点对其在相空间中的积分曲线做出的定性分析，进而判断系统的运 动规律和振动特性。定性方法和定量方法可以相互补充，定性方法可以得到 系统解的拓扑结构和系统参数之间的关系，定量方法可以得到确定参数时的 解析解。在研究各种复杂的非线性动力学问题时，两种方法缺一不可。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 数值仿真是随着计算机技术的发展和各种数值分析方法的不断完善而兴 起的研究方法，它是利用数值积分对系统的运动微分方程进行求解，并据此 分析系统的运动规律和振动特性，是理论分析的一个重要辅助研究手段。实 验研究则是理论分析的补充和验证的重要手段。另外，实验研究有时会对理 论分析起到启发性的作用，一些重要的实验现象对推动非线性动力学的进一 步发展起着不可替代的作用。 1 2 1 2 非线性动力学的发展 自从1 6 7 3 年h u y g e n s 观察到单摆大幅摆动对等时性的偏离以及两只频率 接近时钟的同步化两类非线性现象以来，非线性动力学理论的研究和发展已 经经历了很长时间。近几十年随着分叉和混沌研究的兴起，使得非线性动力 学成为一门国际性的前沿学科。 1 9 世纪末，法国科学家h p o i n c a r d e s 】发表的系列论文微分方程定义的 积分曲线，奠定了非线性动力学的研究基础。p o i n c a r d 的主要成果是平面系 统奇点的分类、极限环的概念和存在判据，以及奇点和极限环的指数的定义 等等。他的研究成果还包括对分叉理论进行的初步研究，指出了不可积系统 的存在，以及对混沌现象的初步研究，指出了伴随横截同宿点的产生而导致 的复杂运动现象以及对初值敏感性而导致的不可预测性。除了这些定性方法 以外，在p o i s s o n 提出的摄动法的基础上，p o i n c a r d 还建立了摄动法的数学基 础，论证了摄动法的合理性。 就在同一时期，俄国科学家l y a p u n o v t 9 】完成的博士论文运动稳定性通 论( 1 8 8 2 1 8 9 2 ) ，推动了非线性动力学的发展。l y a p u n o v 最早给出了稳定性 的严格定义，以及判断系统运动稳定性的直接和间接方法。在l y a p u n o v 运动 稳定性的基础上，科学家们进一步完善了这个理论，运动稳定性不仅是非线 性动力学的定性方法，也发展成为一门独立学科，在控制工程、系统工程等 很多方面发挥了极大的作用。 在定性方法发展的同时，非线性动力学的定量方法也得到了很大发展 【1 0 1 1 】。在p o i n c a r d 建立的摄动法的数学基础上，在此以后为了避免解中出 现永年项，发展出了对摄动法的改进形式，这些改进形式统称为奇异摄动 法。应用比较广泛的是l i n d s t e d t p o i n c a r d 摄动法【1 2 1 3 】。 s t u r r o c k 在研究电等离子的非线性效应时首次用两个不同的时间尺度描 述系统的解，提出了多重尺度法。平均法最初来自于v a nd e rp o l 对电子管的 非线性振荡的研究 1 4 ，”】。k r y l o v 和b o g l i u b o v 在此基础上将其发展成为求解 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 一般弱非线性问题的近似计算方法，后来，m i t r o p o l s k y 对其进行了证明，将 其迸一步推广从而适用非定常系统和非理想系统，最终形成了k b m 渐进法 【1 6 】。 其他的近似解析方法如谐波平衡法、等效线性方法、g a r l e r k i n 法等，也 在非线性动力学的发展过程中占有重要的地位。在非线性动力学的定量解析 方法的发展过程中，出现了d u f f i n g 方程、v a nd e r p o l 方程以及m a t h i e u 方程 等著名的非线性微分方程。 分叉理论在二十世际七十年代开始汇入非线性动力学研究中，混沌现象 的发现更为非线性动力学的研究注入了活力，分叉、混沌的研究成为非线性 动力学理论新的热点并在工程中得到了广泛的应用 1 7 - 2 1 。 分叉现象源于1 7 2 9 年m u s s c h e n b r o c k 对压杆失稳实验的观察，这种分叉 现象在固体力学中称为屈曲。随后在电路、自动控制、流体力学、固体力学 等学科中发现了大量的分叉现象。随着p o i n c a r 6 对分叉理论的奠基工作的完 成，分叉理论得到系统发展。d u m o r t i e r 2 2 和g o l u b i t s k y 【2 3 】等人在突变理论的 基础上，发展了研究局部分叉问题时十分有效的奇异性理论。a n d r o r l o v 和 p o n t r y a g i n 建立了分叉和动态系统结构稳定性的关系。l o r e n z 发现了混沌现 象，通向混沌的几种路径也得到了迅速发展，r u l l e 和t a k e n s 发现环面分叉 通向混沌，f e i g e n b a u m 发现倍周期分叉通向混沌以及p o m e o u 等发现伴随鞍 结分叉的阵发性通向混沌的途径，迅速建立了分叉和混沌的联系【7 1 。由于混 沌具有无穷自相似性，还引发了关于分形的研究和分形维数的集散等重要成 果。 1 3 切削颤振的研究现状 1 3 1 切削颤振研究历史 许多研究机构在过去5 0 年对切削加工的动力学稳定性做了大量的研 究。最基本的颤振理论由t l u s t y 和p o l a c e k 以及t o b i a s 和f i s h w i c k l 2 4 】建立，他 们研究了刀具切削过程与系统机械结构的内在耦合动力学关系。他们将再 生效应与模态耦合效应作为主要的颤振因素。t o b i a s 和f i s h w i c k 结合了切削 过程与机械刀具结构动力学，在他们的模型中还包括了阻尼和刚度，第一次 以稳定性边界图的形式表示出来。t l u s t y 和p o l a c e k 2 4 】发现颤振轴向切削深 度是一个与刀具工件的结构、切削方向和刚度有关的函数，计算出了各种速 度下系统保持稳定的渐进稳定性边界。m e r i t t 2 5 使用控制理论来研究颤振问 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 题，将加工过程用反馈环来表示，作为一个直接、广泛的方法，可以用来计 算渐进分裂的稳定性边界。 上述的研究关注的是临界稳定性问题。其他研究人员研究机械加工 行为，是在颤振理论已经成熟，可以用于解释非线性现象之后。h a n n a 和 t o b i a s 2 6 提出了非线性再生颤振理论，他们建立包含非线性刚度的单自由度 系统，同时，将切削力由薄片厚度的三阶多项式来近似。t l u s t y 和i s m a i l 在 1 9 8 1 年发表的论文中把非线性归因于随着振动的加剧刀具与工件之间接触脱 离。 车削与镗孔中加工过程中，切削力的方向、薄片厚度和结构动力特性 随时间改变。因为旋转刀具、多层刀齿、周期性改变的切削力、薄片充满的 方向和多自由度结构动力学，铣削加工的稳定性分析更为复杂。在早期对 铣削稳定性的研究过程中，s r i d h a re ta 1 发展了一个综合的稳定性理论，它 基于对包含周期系数的微分差分系统应用f l o q u e t 理论。他们的方法涉及到 对系统的状态过度矩阵进行数值积分。o p t i z 和b e m a r d i 将周期系数用他们 的平均值来近似表示，将车削稳定性理论应用于铣削加工。随后，t l u s t y 和 i s m a i l 证明了，铣削稳定状态是可以预测的。考虑时域模拟，可以解释薄片厚 度变化、切削力方向的改变和工件刀具的脱离。m i n i s 和y a n u s h e v s k y 改进了 s r i d h a re ta 1 的早期工作，对周期系数作f o u r i e r 级数变化，数值解决稳定性问 题。b u d a k 和a l t i n t a s 发展了最广泛的分析方法以解决一般铣削加工的稳定性 问题。代替使用f l o q u e t 理论，他们通过扩展t l u s t y 的基本理论求得稳定性表 达式，它是基于正交切削和再生机理的物理原理【3 】。 其它研究者应用时间序列理论，考虑切削过程的随机特性，研究了在工 作状态下的机械加工动力特性。 1 3 2 切削力 作用于刀具上的切削力已经作为金属切削项目研究了数十年。它受到诸 多因素的影响，比如：给进率，切削深度，切削速度，进刀角度，刀面角以 及工件材料的硬度【2 7 】。基本术语由图1 1 给出【2 8 】。 研究者们试图建立起这些因素与切削力之间的关系。由m e r c h a n t 进行 的早期工作【2 9 1 ，成为切削力模型研究中的基础，被其他科学家使用【3 0 】。 m e r c h a n t 的模型基于平稳过程的概念，金属薄片是在连续均匀剪切工件的过 程中产生的。薄片的变形发生在剪切平面。如图1 2 所示( 3 l 】，刀具面垂直于切 削平面，未切的金属正对着刀具，在剪切过程中留下的薄片平行于刀面。薄 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 正前角 切黄刃 刀具侧面 间隙夹缝 新成形工 件表面 间陵角 图1 - 1 切削加工使用的术语 片厚度假定为常数，在整个过程中，这种切削称为正交切削如图1 2 所示。 图1 - 2 正交切削加工 切削力的研究可以从如图1 3 所示三个方向进行研究。作用在前刀面的切削力 分量是主要的切削力分量，它与切削刃正交。沿着径向的径向力分量，有着 将刀具推离工件的趋势。第三个分量沿着水平方向作用在刀具上，与给进方 向平行，和给进力有关 3 l 】。在颤振分析的过程中，稳态切削假设切削力与 薄片横切面积成比例。最简单的表达式就是，切削力与即时切削深度和切削 宽度成比例关系。很多切削力模型可以在综述文献里面找到，对特殊的切削 刀具和工件材料仍然有效。最近几年，一些研究人员研究出了先进的切削颤