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上海交通大学硕士学位论文 柔性机械臂系统控制仿真研究 摘要 本文对柔性机械臂系统的控制仿真进行了研究。研究对象是一个 中心刚体，固结根柔性梁，中心刚体的运动为绕中心轴的转动，控 制目标是保证中心刚体的运动平稳性和抑制柔性梁的变形，控制力矩 是加在中心刚体上的转动力矩。 ， f 柔性机械臂系统是非线性系统，得到的动力学方程是非线性的， 但是在传统的控制中，一般把非线性方程进行线性化，然后通过线性 化模型用不同的控制方法来设计控制律，再把得到的控制律代入线性 化的方程或者代入原非线性方程中，通过数值仿真计算来检验设计的 控制律是否有效，检验结果用来指导实际工程中的控制问题。 一般认为通过非线性模型得到的仿真结果应该比用线性化模型 得到的仿真结果精确，然而传统的柔性机械臂系统的非线性动力学模 型是零次近似模型，通过前人对动力学方程的研究成果已经知道，由 于零次近似模型忽略了某些变形高次项，在某种情况下会失稳，导致 错误的结论。在控制仿真中，在某种条件下也会出现零次近似模型认 为通过线性化模型得到的控制律失效的情况，而该控制律代入线性化 模型中进行检验是有效的。为了判断哪种模型的仿真结果更具有可信 度，有必要引入一些研究者得到的更为精确的一次近似模型进行控制 仿真，通过三种结果的比较，得到在控制仿真中的有效模型。 上海交通大学硕士学位论文 ，、 一 因止睐文着重研究各种模型在控制仿真中的差异，首先对已有的 ， 柔性机械臂系统的零次近似模型、一次近似模型和线性化模型进行模 态离散和无量纲化，得到了适合于计算机编程实现的动力学方程，并 通过与现有文献的对照，验证本文方程及计算的正确性与有效性。 然后再对柔性机械臂系统的控制仿真问题进行了深入研究，分别 研究系统指定转角的点点控制和连续旋转控制两种工况，对影响控制 仿真结果的结构参数和控制参数进行分析，得到了线性化模型，零次 近似模型和一次近似模型在仿真中的差别，线性化模型的仿真控制结 果总是比零次近似模型的结果更接近一次近似模型的结果。而且零次 近似模型在某种情况下认为控制失效时，通过一次近似仿真控制指出 该控制律并未失效，得到与实际相反的结论，限制了零次近似模型在 控制仿真的适用范围；线性化模型的控制仿真结果与一次近似模型更 为相符，在这些情况下依然适用，具有比零次近似模型更大的适用范 围和可信度。j 一一一 ， 关键词：零次近似，一次近似，耦合变形，点点控制，连续旋转控制 i i s t u d yo nc o n t r o l s i m u l a t i o n s o faf l e x i b l em a n i p u l a t o r s y s t e m a b s t r a c t t h ed i s s e r t a t i o ns t u d i e s t h ec o n t r o ls i m u l a t i o n so faf l e x i b l e m a n i p u l a t o rs y s t e m t h eo b j e c tt os t u d y i saf l e x i b l eb e a mf i x e dt o a c e n t e rr i g i db o d y t h ea i mo f t h ec o n t r o li s s t a b i l i z i n gt h er o t a t i o no f t h e c e n t e rr i g i db o d ya n dr e s t r a i n i n gt h ed e f l e c t i o no ft h ef l e x i b l eb e a m c o n t r o lt o r q u ei su s e di nt h ec e n t e rr i g i db o d y t h ef l e x i b l e m a n i p u l a t o rs y s t e m i san o n l i n e a r s y s t e m ，s o t h e d y n a m i ce q u a t i o n so b t a i n e da r en o n l i n e a r i nt h et r a d i t i o n a lc o n t r o l ，t h e c o n t r o ll a wi sf i r s t d e s i g n e dt h r o u g h t h el i n e a r i z e dm o d e l ，w h i c hi s l i n e a r i z e db yt h en o n l i n e a rm o d e l a n dt h e nt h ec o n t r o ll a wi ss i m u l a t e d i 1 1t h el i n e a r i z e dm o d e lo rt h en o n l i n e a rm o d e l i ft h es i m u l a t i o nr e s u l t s a r eg o o d ，t h ec o n t r o ll a wc a nb eu s e di np r a c t i c e t r a d i t i o n a l l y , i ti st h o u g h tt h a tt h es i m u l a t i o n r e s u l t so b t a i n e d b y t h e n o n l i n e a rm o d e la r eb e t t e rt h a nt h el i n e a r i z e dm o d e l b u tt h et r a d i t i o n a l n o n l i n e a rm o d e li sz e r o - o r d e ra p p r o x i m a t em o d e l i ti g n o r e ss o m e h i g h e r o r d e rd e f o r m a t i o ni t e m s ，w h i c hw i l lb r i n gs i g n i f i c a n te f f e c to nd y n a m i c s o fe l a s t i cs t r u c t u r e si nc a s eo f c o u p l i n gw i t hl a r g eo v e r a l lm o t i o n s ，a n d l e a dt oe r r o rr e s u l t a n ds oi t m a yl e a dt oe r r o rr e s u l ti n t h ec o n t r o l s i m u l a t i o n s i l l 圭塑窒望查堂塑圭堂垡笙奎一一 _ 一 f o rt h e p u r p o s e o fs t u d y i n gt h ec o n t r o l s i m u l a t i o nr e s u l t s ，h e r e i n t r o d u c e sam o r ea c c u r a t em o d e l ，o n e o r d e ra p p r o x i m a t em o d e l i t i s u s e dt oe v a l u a t et h es i m u l a t i o nr e s u l t so ft h el i n e a r i z e dm o d e la n dt h e z e r o o r d e rm o d e l t h r o u g ht h ec o m p a r e ，t h em o r ea v a i l a b l em o d e l i s o b t a i n e d s t u d y ，t h eo n e - o r d e rm o d e l ，t h ez e r o - o r d e rm o d e la n dt h e l i n e a r i z e dm o d e l a r ef i r s to b t a i n e d f o rc o n v e n i e n t c o m p a r e ，t h e n o n m e n t i o n a lm o d e l sa r et h e no b t a i n e d t h r o u g hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s o fac o m m o nu s ee x a m p l e ，c o m p a r i n gt oo t h e rl i t e r a t u r e ，t h ec o r r e c t n e s s a n dv a l i d i t yo ft h e s ed y n a m i c a lm o d e l sa n dc o m p u t es i m u l a t i o n s a r e p r o v e d i nt h ec o n t r o ls i m u l a t i o n s ，t h r o u g hl i n e a r i z e dm o d e lt h ec o n t r o ll a w i s d e s i g n e d c o n s i d e r i n gp o i n t t op o i n tc o n t r o la n dc o n t i n u o u s l yr o t a t i n g c o n t r o l s e p a r a t e l y ，t h es i m u l a i n gr e s u l to f l i n e a r i z e dm o d e l ，z e r oo r d e r a p p r o x i m a t em o d e la n do n eo r d e ra p p r o x i m a t em o d e li sc o m p a r e d ，a n d a l lt h ep a r a m e t e r st h a tw i l le f f e c tt h e s i m u l a t i n g r e s u l ta r e a n a l y z e d f i n a l l yt h ed e f i c i e n c ya n da p p l i c a b l er a n g e o ft h ez e r o o r d e ra p p r o x i m a t e m o d e li nt h ec o n t r o ls i m u l a t i o n sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：z e r o - o r d e r a p p r o x i m a t e ，o n e o r d e ra p p r o x i m a t e ， c o u p l i n gd e f o r m a t i o n ，p o i n tt op o i n tc o n t r o l ，c o n t i n u o u s l yr o t a t i n g c o n t r 0 1 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密嘭 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名： 涨利峙 日期：2 。旺年- 2 月d 臼 指导教师签名：砌 日期寥舡年7 月，日 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 璩舞t j 直孛 日期：) 。2 年 月，。日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 本文研究的工程背景及其意义 本文研究的是柔性机械臂系统的控制仿真问题，对象是一根柔性梁固结在 中心刚体上，中心刚体作旋转运动。这种模型可用作机器人手臂、直升机叶片、 涡轮机叶片和旋转稳定卫星的简化模型。近几十年由于工程中复杂机械系统的部 分构件已采用轻质柔性材料，系统的运行速度加快，运行精度的要求越来越高， 系统的动力学性态越来越复杂，对航天器姿态控制、飞行稳定性，以及高速机构 与机器人等复杂机械系统的高性能、高精度设计要求越来越高，如航天器中长达 数十英尺的细长机械臂、高速激光切割机器人在运作过程中末端操作器最大加速 度可达3 5 9 ，轨迹跟踪精度却要求在0 2 m m 范围内等等。 历史上曾多次出现因设计考虑不周而导致机械臀不能按规划路径准时精确 到位的意外事故，因此为使空间机械臂能满足人们预先规划的运动和操作要求， 设计仿真过程中必需考虑机械臂各构件相对大范围运动、自身变形运动及载体运 动之间的耦合。 柔性机械臂的动力学及控制问题是以多体动力学、连续介质力学，结构动力 学、现代控制理论、数值方法、计算机技术构成的多学科交叉、边缘性学科 多体系统动力学及其控制的一个重要研究对象的基本组成部分。 柔性机械臂控制问题一般有两种工况，一种是指定转动角度的机动问题，这 种控制问题主要是在保证转角精度的同时，抑制柔性梁的振动变形问题；另一种 是中心刚体连续旋转的控制问题，在系统受到外界干扰时，如柔性梁受到碰撞产 生变形情况下，保证中心刚体的大范围运动的平稳性并抑制变形振动。因为在实 际工程中大范围运动的失稳和柔性梁的变形会带来很大的危害，如影响系统的寿 命，带来不必要的事故等等。因此柔性机械臂控制的研究具有很大的意义。 在控制过程中，几乎都是先把传统的非线性动力学方程进行线性化，然后根 据各种不同的控制要求，不同的控制方法得到控制律 1 - 5 , 1 2 】，再直接在线性化方 程，或者在原非线性方程中进行数值仿真，根据仿真效果来指导实验及实践，而 第一章绪论 且一般认为用非线性方穰得到的仿真结果应该比线性化方程得到的结果更接近 实际，然而这种传统的观点是否合理还待考究。 传统的非线性模型是零次近似模型，根据文献 6 - 1 0 ) 对旋转粱进行动力学分析 发现，随着角速度增大，当角速度尚未达到无大范围运动的罄频时，按零次近似 建模疆论计算蠢的豢往粱的挠度趋予发敲f “l ，在控帝9 仿真中也会出现类似的情 况，即是翅线搜化模型褥到鹣控嚣鬟律，奄线缓纯模登上该控翻律蓬有效静，雨在 零次近似模型镑奏中认为该控囊l 律失效，隽了对戴判鹭哪毒孛模型受接盂萋实际，毽 此要g l 入更接近实赋的近似模型来避行控制仿真。 针对零次近似建模理论的局眼性，豳内夕 的学者已从一些篱单的刚黍埚合 模型出发，采用一些假设对零次近似模型加以修正其结果，如非线性有限元方法 3 4 - 3 6 ) ，附加刚度法 3 3 , 3 7 - 4 4 】，几何变形约束方法 4 5 , 4 6 ，变形耦合方法6 ，7 1 等等，本 文采用蒋丽忠嘲、刘锦阳1 9 1 ，朱国强【i 川等人推导的考虑大范围运动和变形运动的 桶互藕合体甬一次近似模澄进行控制仿真，得到对正程实际具有指导性意义的控 翻仿粪模型。 练上掰述，柔敉梳械鹫蓉铺控稍仿真随瑟韵研究对高技术、工监现代化和 国防技术豹发鼹其毒霪要豹应怒价镶，对其研究具有重要意义，有教和较精确的 计算戡建摸及控测理_ 沦帮诗冀方法豹磅究残暴黠捷藏王程顼秘熬颧磷、设诗岛饶 化的效率，减少蘩大工程项尽熬投资风险等将产生墅大麴经济效蚕，毒必要对不 同模型下的控制仿真进行深入研究。 1 2 柔性机械臀系统控制的研究现状 随着机器人技术和舷空航天技术的发展，考虑结构柔瞧戆鸯氇棱系统鳇动力 学分丰斤及控制已曰益弓l 起人们鲍重视，其中柔燃枫械譬系统佟必典型鲍鬃蛙结梭 已i 吸引了国内外大量学者在这一领域的的深入研究，这然研究主要分两方匿：一 是关于柔性机械臂动力学模型的研究；二是关于柔性机械臂控制方法的研究。 关于控制方顾的研究可以分为对控制方法的研究和对控制模型对仿真控制 影响的研究。已经有很多学者对柔性机械臂的控制方法进行了研究，他们大多采 璃线性亿模登来设计控制律，采用的控制方法包括p i d 类型的控制，状态空间 方法静极点筏置控销，线谯二次住最优控涮，滑模变结构控髑，自适应控箭，分 力合成与反馕控巷等等，铡魏，c a n n o n 、s c h m i t z ( 1 9 8 4 ) 茅霸s a k a w a ( 1 9 8 5 ) p i d 调 2 第一章绪论 节器理论1 2 1 3 1 ，k a n o h 、l e e ( 1 9 8 5 ) 和ng c h a l h o u b 、a g u l s o y d ( 1 9 8 7 ) 等人的极 点配罱方法1 1 4 , 1 5 ，s t a d i k o n d a 、h b a r u h ( 1 9 8 8 ) l ly a k h u l i e f ( 2 0 0 1 ) 等人的线性二次 性最优控制1 6 , 1 7 ，j e a n g l i nc h a n g 、y o n - p i n gc h e n ( 1 9 9 8 ) 和s e t m g b o k 、h o c h e o l s h i n f l 9 9 6 1 等人的滑模变结构控制u 19 1 ，j e r z yz s a s i a d e k 、r a m e s hs r i n i v a s a n ( 1 9 8 9 ) 和m e l d r u m d r 、b a t a s ，m j ( 1 9 8 6 ) 等人的自适应控制【5 , 2 0 ，陕晋军，刘暾等人的 分力合成与反馈控制结合方法f 2 1 , 2 2 1 等等，他们解决的主要是对柔性机械臂不同控 制方法的研究。 然而涉及关于动力学模型对控制及其仿真的影响的文章却很少，有也只是 一提而过，如s c h o u r a 、s j a y a s u r i y a 、m a m e d i c k ( 1 9 9 i ) 2 3 1 只是说明在角速度比 较大时传统的非线性模型和考虑动力刚化的模型的动力学仿真有差异，因此只是 研究角速度较小而忽略两者的区别的情况，祝发荣、黄清华、陈德成等人( 2 0 0 2 ) 【2 4 l 在采用压电陶瓷实验时提到零次模型在转速接近梁一阶频率时，控制律稍微增大 就会导致系统失稳，但也并未对此现象进行深入探讨，另外刘才上、王建明等人 【2 5 1 则是采用动力刚化的模型直接进行滑模变结构的非线性控制，设计的控制律 比较复杂。然而如果能够用线性模型设计可行的控制规律则会在工程中更易于实 现，因此可以用线性模型设计出控制律，根据许多学者对动力学模型的研究成果， 用较为精确的一次近似模型进行控制仿真的检验，对各种模型的仿真结果进行比 较，考察各种模型用于控制仿真是否合理，方便有效，有效的仿真模型控制模型 可以用于指导实践。 1 3 本文的研究内容 本文对大范围运动为绕中心轴旋转的柔性机械臂的刚柔耦合系统的控制仿 真问题进行了研究，采用蒋丽忠嗍刘锦阳【9 1 朱国强【1 0 l 等人建立的较零次近似模型 更精确的一次近似耦合动力学模型，对传统的零次近似模型和线性化模型在系统 的点点运动和连续旋转运动工况下的控制仿真进行比较。 点点控制主要是控制柔性梁在一定时间内到达指定位置，并抑制其末端变 形，这种模型可以是机器人柔性手臂的运动，航天器柔性附件到达指定角度等的 运动；而旋转运动的控制主要是控制以定转速运动的系统受到的外部扰动，以 保证原运动的平稳性，即抑制扰动并使系统能够恢复到原运动状态，这种模型可 以是涡轮机叶片、直升机旋翼，带柔性附件的自旋稳定卫星等的运动。为了研究 第一章绪论 的方便，这里仅考虑单输入控制，即是只在中心刚体上加入控制力矩进行控制。 本文的具体研究内容如下： 第一章为绪论，本章介绍了柔性机械臂控制仿真的工程背景、研究意义和柔 性机械臂控制方面的研究现状，指出该方面研究不足的地方，提出要对柔性机械 臂的不同模型进行控制仿真，各种模型在控制仿真中的适应范围和可信度，并阐 述了本文的研究内容。 第二章是对各种不同的动力学模型求解的检验，用模态假设对已有的柔性机 械臂系统的一次近似方程、传统的零次近似方程和线性化方程进行离散，并把方 程无量纲化，以得到了适合于计算机编程实现的动力学方程，并通过与现有文献 的对照，验证本文方程及计算的正确性与有效性。 第三章研究柔性机械臂系统的点点控制问题的控制仿真，首先采用相同的控 制方法、控制参数和结构参数，考虑到达指定角度的时间的影响：然后在相同的 控制方法、控制参数下，分析影响控制仿真的结构参数，如安装尺寸，中心刚体 和柔性梁的转动惯量比的影响；最后在相同的结构参数下，分析控制方法和控 制参数的影响。通过在三种不同模型即线性化模型、零次近似和一次近似模型上 分别进行仿真，得到不同的仿真结果，然后进行比较分析。 第四章依照第三章的研究方法，研究柔性机械臂系统的连续旋转问题的控制 仿真，首先采用相同的控制方法、控制参数和结构参数，分析中心刚体转速的影 响；然后采用相同的控制方法、控制参数考虑系统的结构参数的影响，如安装尺 寸，中心刚体和柔性梁的转动惯量比，最后不改变结构参数，分析控制方法和控 制参数的影响。通过在三种不同模型即线性化模型、零次近似和一次近似模型上 分别进行仿真，得到不同的仿真结果，然后进行比较分析。 第五章全文总结，根据第三章及第四章的仿真结果，确定各种动力学模型在 控制仿真中的适用范围，以供各种不同的工程实际参考。 4 第二章柔生垫堡堕墨垫塾垄堂查堡垒墅 _一一 2 1 引言 第二章柔性机械臂系统动力学方程检验 8 0 年代以来，零次近似方法已有较大的发展并得到了广泛的应用，但这种方法直 接套用了结构动力学的小变形假设，从而忽略了一些大范围运动和弹性变形的耦合 项。1 9 8 7 年，k a n e 1 1 1 对作旋转运动的悬臂梁建立了比较精确的动力学模型，对弹性 梁的变形作了比较精确的描述，数值仿真结果表明，在作高速旋转时悬臂梁的横向振 动是稳定的，与零次近似模型的发散结论相反，而且刚度项随着角速度增大，并首次 提出了“动力刚化”的概念。此后，国内外许多学者对非惯性系下作旋转运动的柔性 梁和板的“动力刚化”问题进行了研究 6 , 7 , 2 7 - 3 2 1 ，数值计算结果都表明在高速转动下横 向振动是稳定的，但是，上述工作存在以下不足： ( 1 ) 人为地加入非惯性项或惯性力来捕捉动力刚度项，从而导致较大的仿真结果 误差。 ( 2 ) 局限于研究大范围运动为已知的非惯性系下柔性体的动力学性质，只考虑到 大范围运动对变形运动的影响，没有充分考虑到大范围运动和变形运动之间的相互耦 合作用。 而蒋丽忠 8 】、刘锦阳【9 】、朱国强等人从连续介质力学理论出发，对柔性梁建立 较零次近似更精确的高次耦合动力学模型，在伸长率中保留变形位移偏导数的二次 项，导出变形位移的二次耦合变形量。根据h a m i l t o n 原理建立系统动力学方程导出 大范围运动为自由的柔性梁的一次近似的刚- 柔耦合动力学方程，解决了以上的不足， 因此本文的更为精确的动力学方程就采用这种模型。 为了控制仿真的方便和说明仿真计算结果的正确有效性，本章先把上述的一次近 似的刚柔耦合动力学方程进行简化，由于柔性梁的纵向振动频率远远大于横向振动， 而且纵向变形也远远小于横向变形，因此在控制中一般忽略纵向变形而只考虑横向变 形，另外为了计算的方便，采用的是模态离散的动力学方程，而为了更为直观的比较 影响控制仿真的参数，把动力学方程进行了无量纲化，通过编程计算，计算结果和现 有文献 3 3 进行比较，证明本文计算的正确可信度，最后提到蒋丽忠通过稳定性证明 得到的零次近似动力学发散的转折点，作为以后的控制仿真的参考。 第二章柔性机械臂系统动力学方程检验 2 2 动力学方程的无量纲化 性梁上任意点p 关于惯性基的矢径，为原点到梁和中心体固结点的距离，i 为其变 性，本构关系满足h o o k e 定律。( 2 ) 梁在变形前垂直于轴线的截面变形后仍为平面， 且垂直于该轴线。剪切和扭转效应不计。( 3 ) 均匀材料，各横截面的面积相等，各横 截面的偏心矩为0 。( 4 ) 小变形和小应变假设。 由于柔性梁纵向振动频率远远高于幅值远远小于横向振动，因此在控制问题上一 般不考虑纵向振动【卜4 1 ，根据文献 8 - 1 0 1 笋j 详细推导，模态离散后的一次近似的刚柔耦 合动力学方程可以写成方程( 2 1 ) ，( 2 2 ) 。其中x 为柔性梁上任意点未变形时在浮动基 上的横坐标，p 为柔性梁的体密度，a 为等截面梁的面积，为梁的长度，e 为柔性梁 的弹性模量，为柔性梁的截面抗弯惯量矩，中心刚体关于转轴的转动惯量为厶，柔性 梁的横向变形用广义坐标q 和悬臂梁的模态函数庐的乘积表示，截取n 阶模态，则有 q = 【q ，g 。r ，妒= 眵，妒。1 ，毋、百、口和奇分别是口和q 对时间t 的一阶和两 阶导数， 妒和分别是对z 的一阶和两阶导数，f 为加在中心刚体上的外力矩。 c 至7 吵鱼+ c ( + x 堙7 蒯+ _ ( 日扩生”分2 生7 堡出里 但1 ) + f 2 fx)r生+凼堡+口2_|tt吉l(，2一xax2q)，-f生papao r o ( 1 d x q = o f p a ( r o + x ) 批望+ p a ( r o + x ) 2 d x o + l h o = f ( 2 2 ) 由假设( 3 ) ，截面特性保持常数，可以把方程用无量纲形式表示，方便后面的分 第二章柔性机械臂系统动力学方程检验 们口下无量纲嬗一a 了t 一兰手，带兰手硝7 aq 刀兰刍兰暑 毋”兰丁毋，其中7 1 兰( 等) 。由文献m 】，得到用作模态函数的悬臂梁横向振动模态， 悬臂梁的各阶固有频率为：只= ( 屈f ) 2 茄，其中屈，( f = 1 ，2 ，3 ) 依次为 1 8 7 5 ，4 6 9 4 ，7 8 5 5 ，( f 3 ) ，p , l 。三尝石，因此丁的物理意义可以解释为，其倒数是 悬臂梁的7 阶固有频率的( 万1 ) 2 倍。把无量纲变量代入方程( 2 1 ) ，( 2 2 ) 得： l 竺7 翌d x ”垡”+ l g ”+ 喈) 竺d x ”百”+ 垃一竺”d x ”r 一百”2 膨翌出”一q ” + 毋一f 。( 1 一x w ) 竺一旦出w 堡w + 导多一f ( 1 一。一) 里一竺出w 望”：。 2 3 f ( o + x w ) 吵”望”+ l ( o + x ”) 2 d x ”疹。+ 片= r ” ( 2 4 ) 方程( 2 3 ) ，( 2 4 ) 中，毋”、每”、壁”和望”分别是护”和垡”对无量纲时间t w 的一d , n 两d 导数，竺是x ”的函数，与悬臂梁横向振动模态生有相同的函数值。即： 伊，= c o s ( a ，x ”) 一c o s h ( a ，x ”) 一f l , ( s i n ( a 。x ”) 一s i n h ( a ，z ”)( 2 5 ) 其中嘶( f - 1 ，2 ，3 ) 依次为1 8 7 5 ，4 6 9 4 ，7 8 5 5 ，f 3 时，a 。_ 2 i - 1 万。另外采用归一 化模态，且由模态函数的正交性，可以得到以下各式： 胁吼d x ”= 1 ( 2 6 ) 扣9 ，d x ”= 0 ，l 尹j 西出= 0 ( f ，) ( 2 7 ) 为了表达的方便，定义以下各式： ? = 胁p ：出” ( 2 8 ) 以= j ( 带+ x w ) 织出” ( 2 9 ) 吖= f ( + x ) 2 出”= 寻 ( 节+ 1 ) 3 一彤3 】 ( 2 1 0 ) 勺= f ( 1 一x ”) 一谚出”+ 喜( 1 一x ”2 ) p ：妒j 出” ( 2 1 1 ) j ，= 吖+ 片f 2 1 2 1 第二章柔性机械臂系统动力学方程检验 把( 2 6 1 2 ) 代入( 2 3 4 ) 取前”阶模态，得到一次近似的无量纲化方程 4 7 + ( 珊? 一毋”2 ) g ? + 6 。伊+ 窆c 。q t o ”2 = 0 j = l ，占”+ b ，百? = f ” ( 2 1 4 ) 其中的nc u q j 台一是变形的二次项和大范围运动的耦合结果，传统的零次近似模型忽 j = l 略了该项得到： 茸? + ( ? 一分”2 ) g ? + 6 ，痧”= 0( f = 1 ，h )( 2 1 5 ) ，痧”+ b ，奇? = f ” f _ l 而线性化模型则是认为大范围运动的角速度比较小，忽略其二次项得到： 茸? + 埘2 9 ，w + 6 ，舀”= 0( f = 1 ，”) 痧”+ b ，奇? = f ” ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 由于方程的无量纲化，2 的各阶值跟系统的参数无关，只跟选取的模态函数有 关，采用归一化的旋转悬臂梁的横向振动模态，可以计算得到其各阶的值正好是上述 嘶的四次方，前- - g t n1 2 3 4 0 ，4 8 5 4 8 1 ，3 8 0 7 0 1 6 ，f 3 时，? “( 三! 万) 2 ，q 是 无量纲化的柔性梁的i 阶频率。 2 3 动力学方程的数值仿真检验 为了验证以上得到的方程的简化及无量纲化的正确性，采用文献 3 3 】相同的物理 参数以下数据进行仿真计算。铝梁的长度l = 8 m ，截面积a = 7 3 1 0 4 m 2 ，惯量矩 ，= 8 2 1 8 x 1 0 _ 9 m 4 ，密度p = 2 7 6 6 6 7 1 0 3 k g m 3 ，弹性模量e = 6 8 9 5 1 0 ”n m 2 ，中 心刚体的半径r = 0 ，加速时1 9 为1 5 s ，q 为4 r a d s 。角速度矽的时变规律为： 毋：偿( f 一苏7 1s - n 百2 7 r t ) 洲s o t 为了代入无量纲方程计算，把( 2 1 8 ) 化为无量纲表示： 箜三童垂竺垫垫壁丕笙垫垄堂塑堡焦墅 _ - _ _ _ _ _ 一一一 矿：胁卜王2 z s i n 竽) ( 2 2 0 ) i f 2 tr a d s f ” 疋t 其中由定义丁兰( 警 ) “2 ，这里通过计算t = 1 2 0 8 3 ，分别用本文线性模型、零次近似 止 和一次近似模型计算出梁端点横向无量纲变形。为了和参考文献结果进行比较把图 2 2 改为有量纲表示，即横坐标乘上7 ，纵坐标乘上柔性梁的长度，。图中坐标旷表示 梁端点无量纲横向变形，v 表示梁端点的横向变形，代表无量纲时间。图注l i n e a r i z e d m o d e l 代表线性化模型，z e r o o r d e r m o d e l 代表零次近似模型，o n e - o r d e r m o d e l 代表一 次近似模型，r e f e r e n c e 3 3 为参考文献 3 3 1 结果，以后各章图标注同上。 图2 - 2 粱端点横向无量纲变形 f i 9 2 2 n o n m e n t i o n a ld e f o r m a t i o no nt h eb e a me n di nt r a l l s v e r s ed i r e c t i o n 图2 - 3 梁端点横向变形 f i g 2 - 3d e f o r i l l a t i o no nt h eb e a me n di nt r a n s v e r s ed i r e c t i o n 第二章柔性机械臂系统动力学方程检验 通过以上检验，证明了本文无量纲化的正确有效计算。另外从图中可以看出，当 力：4 r a d s 时，零次近似模型的仿真结果将发散失稳。文献 3 3 1 采用了几何非线性模 型，在势能中考虑了与应变二次项有关的非线性项，仿真结果是收敛的，但是由于文 n 3 3 1 是将变形能中的几何非线性项进行近似，化为与大范围运动有关的动力刚度 项，与本文耦合模型的仿真结果存在着一定的误差，这是合理的。此外，文献【3 3 】的 几何非线性模型在计算过程中每一步都需要对刚度阵进行迭代，计算复杂，而本文计 算简单，因此采用本文模型既能保证一定精度又能提高计算效率在以后的控制中占有 很大优势。 另外根据蒋丽忠的博士论文1 8 1 中对该模型的稳定性分析可以知道，当转动角速度 等于系统固有基频时，是零次近似模型稳定性变化的转折点，角速度穿越此点时，系 统性质发生本质上的改变，由稳定变为不稳定；而一次近似动力学稳定性分析表明， 不管角速度如何变化，系统都形式稳定的。在这里方程无量纲化后，即是当无量纲角 速度达到系统无量纲固有基频矾= 3 5 1 6 时，为零次近似模型稳定性变化的转折点， 在控制仿真中，在适合的工况下可以围绕该点展开。 1 0 第三章柔性机械臂系统的点点控制仿真问题 第三章柔性机械臂系统的点点控制仿真问题 3 1 引言 点点控制问题的一般提法是设计控制力矩来实现在定时间内使柔性梁的 准确定位到达指定位置及有效的控制柔性梁的的弹性振动，其运动过程可以是任 意的，也可以通过一定的轨迹来设计，在这里为了更好的围绕影响零次近似模型 的跟一次近似模型差异的转速来展开，采用设定轨迹实现中心刚体的大范围运动 和柔性梁的弹性振动抑制。 本章主要是在点点控制工况下，分析结构参数和控制参数对三种模型的控制 结果差异的影响。在无量纲方程的分析中，结构参数包括柔性梁的安装尺寸和梁 的总长度的比值臂，中心刚体的转动惯量巧和柔性梁的转动惯量吖的比值，这里 用y 来表示；控制参数包括特定控制方法中的一些影响控制律的参数和不同的控 制方法。 另外设定的不同轨迹也会影响各种仿真结果的差异，为了更好的突出角速度 的影响，这里给定一种最容易达到最大角速度的设定轨迹，即是在到达指定位置 的时间的一半时加速到最大角速度，然后再减速到角速度为零，完成指定的角位 移的运动情况。设需要达到的指定角位移用口。表示，所需无量纲时间用f ? 表示， 则设定轨迹可以表示为： 0 = ：芗 生2 + 等一刍2 一孕t 7 一乌2 2 ，? 、 7 ” 7 眈 ( f w 霎) ( 霎 f ，) 下文首先给定0 。= r e 2 ，不改变系统结构及控制的任何参数，改变f ? ，就可 以改变设定运动轨迹的最大无量纲角速度；如果取稳定性分析中零次近似模型发 散的转折点舀”= 3 5 1 6 作为设定轨迹中的最大无量纲角速度，可以通过计算得到这 时的t 7 = 0 8 9 3 5 。 第三章柔性机械臂系统的点点控制仿真问题 给定如下参数作为分析各种控制仿真的比较，参考运动轨迹如方程( 3 1 ) 所示， 0 ，= ；, r 1 2 ，疗= o 1 ，y = o 1 ，采用线性二次型最优控制l q r 方法根据线性化方 程设计控制律分析其他参数的影响，且在该控制方法中取定组有效的控制加权 q = d i a g ( 1 0 ，1 ，1 ，1 ，1 1 ) ，星= 【1 】。 对于r w ，由于它的取值直接影响了加速度的大小，而加速度的大小将影响梁 的变形，因此只有对r ，进行分析后才可以确定分析其他影响参数的不变的e 。分 析r 的影响也就同时可以分析到无量纲角速度的影响，因此下一节首先对此进行 分析。而后确定r ? ，再逐一改变上述其中一项参数而不改变其他参数对仿真控制 结果进行比较分析。 为了下文的分析方便，有必要简要提及该控制方法设计控制律的一些定义。 首先截取前二阶模态胛= 2 ，方程( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 可以写成以下形式： 芝( f ) = ! 红( r ) + 旦”( f )( 3 2 ) 不同的0 ，可以计算出不同的，垦，其中 ： x = 目，g ? ，g ；，o w , 口? ，尊； 7( 3 3 ) 定义状态误差向量： ! ( f ) = x c ( f ) 一点( ，)( 3 4 ) 该控制的目标就是寻找最优控制f ”( f ) ，使下n - - 次型性能指标为最小： ，= 告f 匣7 0 ) 望( f ) ( f ) + r ”( f ) 墨( ，) r ”( 1 0 l a t ( 3 5 ) 其中q ( t ) 和堡p ) 称为权矩阵，它们均为对称矩阵，这里互 ( ，) 为6 x 6 维半正定阵， r ( r ) 为l x l 维正定阵。可以通过求解r e c a t t i 方程( 3 6 ) ，得到最优控制 f ”( f ) = 一墅! ( f ) ，其中k = 一r 。1 查7 一p ，称为控制增益。 一p a 一4 7 上+ 趔一1 星7 一q = o( 3 6 ) 不改变结构参数可由上述给定参数求得以下无量纲动力学方程的系数和足： i f = 0 4 8 7 7 ，b l = 一0 6 4 7 1 ，6 2 = - 0 1 3 4 2 ，。1 l = 1 , 3 5 0 4 ，。1 2 = c 2 】= - 0 7 2 8 1 ， 1 2 第三章柔性机械臂系统的点点控制仿真问题 c 2 1 = 7 3 4 2 9 ，丝= 【3 1 6 2 3 0 0 4 0 43 1 5 1 6 8 2 0 2 5 8 1 0 1 4 2 0 1 8 1 6 ， a = o0 oo oo 0 1 5 7 1 7 1 1 o 1 1 4 0 7 1 4 o2 1 0 8 6 0 0 o o 一1 2 7 9 7 2 0 6 8 2 8 1 3 6 9 6 5 7 2 0 6 9 10 0 o10 0 0l o 0 0 00 0 0 o 0 ，垦= 0 0 o 1 9 6 4 6 6 1 2 7 1 3 7 2 6 3 5 8 3 2 无量纲转速的影响 采用上节的不变参数和控制律，不改变到达角位移岛，只有改变，才能改变 设定轨迹中的最大无量纲转速，下面分别取f ? = 5 ，r ? = 3 ，f ? = 0 8 9 3 5 ，对三种 模型的仿真进行比较分析。 图3 1 控制仿真结果( r ? = 5 ) f i 9 3 1 c o n 仃o ls i m u l a t i o nr e s u l t s ( t , * = 5 ) 本文中所有图中坐标t w 、0 、”、v w 和t ”分别表示代表无量纲时间、角位移、 】3 第三章柔性机械臂系统的点点控制仿真问题 无量纲角速度、梁端点横向无量纲变形和无量纲控制力矩。当f ? = 5 时，从图3 - 1 ( b ) 中可以看到由于在整个过程中，角速度跟柔性梁的一阶固有频率相比是比较小的 从许多研究者对该模型的动力学分析中知道，在这种情况下，它们的动力学仿真 结果也是非常接近的；而从图3 1 也可以看到，在该情况下，上节所设计的控制 律在线性化模型、零次近似模型和一次近似模型上的仿真结果也是非常接近的。 从图3 2 仿真结果可以看到随着f ? 的减小，即是设定轨迹的无量纲角加速度 f i 9 3 - 2 c o n t r o ls i m u l a t i o nr e s u l t s ( t ? = 3 ) 增大，仿真过程中能够达到的最大无量纲角速度也增大，柔性梁的无量纲端点横 向变形也增大，所需的最大无量纲控制力矩也增大。而三种模型的仿真结果也随 着，? 的减小差别增大，从图3 - 2 ( c ) n _ 显的看到线性化模型仿真的结果接近于一次 近似模型的仿真结果，零次近似模型则远离一次近似模型。 1 4 塑三童至竺塑塑壁墨堕塑盛皇鳖型笪壅囹璧 图3 - 3 控制仿真结果( f ? = o 8 9 3 5 ) f i g3 - 3c o n t r o ls i m u l a t i o nr e s u l t s ( = 0 8 9 3 5 ) 从图3 - 3 中发现，当取t w = 0 8 9 3 5 ，即是设定轨迹的最大角速度达到柔性梁 的一阶基频时，这时候零次近似模型控制仿真结果发散了，和动力学仿真结果有 相似性，而线性化模型和一次近似模型依然可以达到一定的控制效果。也就是说 如果采用线性化模型设计这样一种控制律，若根据零次近似模型仿真结果来判断 该控制律是不可取的，这是与实际情况相反的结论，因为在更为精确的一次近似 模型上该控制律是可行的。 但是考虑到这时候梁的变形已经超过了小变形的假设，因此在点点工况的单 输入控制中，不必考虑到