（计算数学专业论文）构造矩阵值有理插值函数方法的研究.pdf

构造矩阵值有理插值函数方法的研究 摘要 作为非线性逼近类型之一的有理函数逼近，因为其独特性，愈来愈受到人 们的关注。它比多项式灵活，能更准确的反映函数本身的一些特性。近几年来， 科技的不断发展，电脑应用的普及，都为有理函数的研究提供了强有力的工具， 人们对有理函数的研究越来越深入，有理逼近在应用方面也彰显出它独特的优 势。 由于用t h i e l e 型所构造的二元矩阵值有理插值函数是 ( m n + 朋+ 刀，2 ( m 聆+ m + 甩) 2 】) 型的有理函数，其次数比较大，因此我们构造一种 可以降低其次数的函数一一l a g r a n g e 型插值函数，并且其分母的次数可以根据 需要确定，并讨论极点和不可达点的相关问题，在一定的条件下还可以降低其 分子的次数，该方法计算简单，便于实际应用。 4 4 节中所构造的矩阵值有理函数更进一步，它是根据基于块的有理插值而 得到的，经过分析后不难发现，它的分母在实数域内恒为正，所以本身就不存 在极点的问题，并且通过实例可以发现其分子分母的次数都比较小，因此运算 更加方便。 关键词：有理插值；极点；不可达点；降阶 s t u d yo nm e t h o do fm a t r i xv a l u e sr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n a b s t r a c t r a t i o n a la p p r o x i m a t i o n ，o n et y p eo fn o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o n ，i sd r a w i n gm o r e a n dm o r ea t t e n t i o n sr e c e n t l y c o m p a r e dt op o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o n s ，i t sm o r e f l e x i b l ea n dc a nd e s c r i b ep h y s i c a lc h a r a c t e ro ff u n c t i o n sm o r ea c c u r a t e l ya l t h o u g h i ti sc o m p l e x i nt h ep a s tf e wy e a r s ，t h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g ya n d t h ep r e v a l e n c eo fc o m p u t e rb e c o m et h ep o w e r f u lt o o l so ft h er e s e a r c ho fr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n t h er e s e a r c ho fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o ni sg o i n gf u r t h e ra n di ts h o w s s o m es p e c i a la d v a n t a g e si na p p l i c a t i o n s b i n a r ym a t r i xr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o nc o n s t r u c t e db yt h i e l e - t y p e s t r u c t u r ei s ( m n + m + n , 2 ( m n + m + ，z ) 2 】) t y p er a t i o n a lf u n c t i o na n di t sd e g r e ei s r e l a t i v e l yh i g h t h e r e f o r e ，w ec o n s t r u c taf u n c t i o nt or e d u c ei t sd e g r e ew h i c hi s c a l l e dl a g r a n g e - t y p ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n a n dt h ed e n o m i n a t o rd e g r e ec a nb e d e t e r m i n e da c c o r d i n gt ot h en e e d s w ea l s od i s c u s st h ep o l e sa n du n a t t a i n a b l e p o i n t si s s u e s u n d e r c e r t a i nc o n d i t i o n sw ec a na l s or e d u c et h en u m e r a t o rd e g r e e ，i t i ss i m p l et oc a l c u l a t ea n dc o n v e n i e n ti na p p l i c a t i o n t h em a t r i xv a l u e so fr a t i o n a lf u n c t i o n ss t r u c t u r e db ys e c t i o n4 4g oas t e p f u r t h e r ，i ti so b t a i n e db a s e do nb l o c kr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n i ti sn o td i f f i c u l tt of i n d a f t e ra n a l y s i s ，i t sd e n o m i n a t o ri sp o s i t i v en u m b e ri nt h er e a ld o m a i n ，s oi td o e sn o t e x i s tt h eq u e s t i o no fp o l e si t s e l f , w ec a nf i n dt h a tt h et i m e so fn u m e r a t o ra n d d e n o m i n a t o ra r er e l a t i v e l ys m a l lb ye x a m p l e s ，o b t a i nm o r ec o n v e n i e n to p e r a t i o n k e yw o r d s ：r a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ；p o l e s ；u n a t t a i n a b l ep o i n t s ；r e d u c t i o n 图1 1 图2 1 图3 1 图4 1 插图清单 有理逼近与部分和逼近的效率比较3 一元向量有理插值的数据1 2 二元矩阵有理插值的数据2 4 新构造的二元矩阵插值的数据2 6 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 金月巴王些苤堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：圾鏊膨签字日期：脚。年白厩 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金魍王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金起兰些太堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者躲垅试趔 签字日期：c 口年f 月f 妇 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期： 电话： 邮编： io 钙只睁 第一章绪论 1 1多项式插值研究背景 函数逼近论有着悠久的历史，而插值问题又是其古老而经典的一项内容， 同时也是计算数学中的一个基本问题。插值概念最早是在5 4 4 6 1 0 年间由我国 隋朝数学家刘悼首先提出的【3 0 】，这比西欧学者在1 6 5 5 年发表的结果早一千多 年。所谓插值问题是指从给定的离散点的值去构造一个连续定义的( 简单) 函数， 使得它与被逼近的函数在给定点的值完全一致。在信息的存储、处理、分析、 传输日益数字化的今天，插值问题无处不在，通过离散点作一条光滑曲线，由给 定数据求数值微分和数值积分、计算函数值、用简单函数代替复杂函数等。更 复杂的插值问题可能会附加导数插值条件 2 5 2 6 ，2 9 , 3 0 、增加额外约束，如单调性、 凸性、周期性等，以及多元函数插值问题。插值方法的目的就是寻求简单函数 来近似代替复杂函数，选择简单函数的过程中，通常应注意以下几个问题： 根据实际问题的需要，选择恰当的插值函数类型。 插值结点之间具有什么内在性质( 单调性、凸性、周期性等) ? 是需要插值函数的表达式还是它在指定点处的函数值? 如何构造插值函数及考虑相应的插值余项估计问题? 常用的插值函数有多项式、分段多项式、有理函数、分段有理函数、样条 函数、三角函数、指数函数。多项式作为一种最简单的函数类，是整个数值逼 近的基础，能令人满意的解决一系列有实际应用价值的重要问题，特别是在数 值微分和数值积分方面。关于代数插值的研究已有很多，例如有l a g r a n g e 插值 公式，a i t k e n 逐步插值法，n e v i l l e 算法，n e w t o n 插值公式，h e r m i t e 插值公式 等。代数多项式的特点是运算简单，不论是函数值的计算、微分、积分都能方 便地运算，它的另一特点是在整个数轴上有任意阶导数。因此，在某种意义下， 代数多项式是逼近光滑函数的重要工具。此外，计算插值的算法包括系数算法 和求值算法，其中系数算法用于得到插值函数的表达式，而求值算法用于求插 值函数在不同于插值点的任意点处的值 2 5 , 3 0 。多项式插值与逼近是整个数值逼 近的基础，它被广泛应用于方程求根、曲线曲面拟合、近似计算函数值、函数 逼近、数值微分、数值积分、积分和微分方程数值解等。多项式插值与逼近的 广泛应用是基于它们结构最简单，易于构造，便于利用。常用的一元多项式插 l 值方法是n e w t o n 插值【2 5 2 6 1 、l a g r a n g e 插值2 5 1 和带导数插值条件的h e r m i t e 插 值、b i r k h o f f 插值。 1 2 有理逼近的研究背景 在自然科学与技术科学领域中存在着大量需要解决的非线性问题，它们已 经成为科学技术研究的热点和主攻方向之一。 正如英国著名哲学家罗素( b e r t r a n dr u s s e l l ) 所说：“所有精确的科学都受 到逼近的思想所支配。确实，所有的非线性科学也已经受到并将继续受到非线 性思想的渗透和影响。作为非线性的典型之一的有理函数逼近，越来越引起人 们的关注，被广泛应用于机械振动的数据分析、数字滤波、电路分析、系统控 制理论的模型简化、图像重建、解微积分方程及计算机辅助几何设计等领域。 因为有理函数仍属于简单函数类，它虽然比多项式要复杂，但用它来近似表示 函数时，却比多项式更灵活、有效，且能放映函数的一些固有性质。对于具有 极点的函数，即f ( x ) 在某点附近无界，或者当x 专o o 时，f ( x ) 趋于某一个定 值时，采用多项式，甚至多项式样条作为逼近工具显然都是不大合适的，而采 用多项式的推广一一有理分式函数作为逼近工具是恰当的。有理分式函数由于 其自身的特点，使得它不但可以在极点附近取得很好的逼近效果，而且又能保 证当x 专0 0 时，有理逼近函数趋于某一定值的性能。对于不是上述情况的函数， 有理函数逼近的研究也是有意义的。例如【1 1 ，函数f ( x ) = l n ( 1 + x ) ，它的t a y l o r 级数展开式为： h ( + x ) = x 一手+ 手一百x 4 + + ( 一广1 鲁+ = 瓦( x ) + 6 r ( x ) 其中瓦( x ) 是上述级数的1 1 次部分和，白( x ) 表示乙( x ) 和l n ( 1 + x ) 之间的误差。当 x = 1 时，上述级数的收敛速度时非常慢的。可是将函数i n ( 1 + x ) 用连分式展开， 得到： 1 1 1 ( 1 + x ) - 兰堡垒垒垒 ， l + 2 + 3 + 4 + 5 + 取它的第n 阶渐近分式b ( x ) ，则得到l a ( 1 + x ) 的逐次有理逼近式 2 一 墨( x ) = 甭2 x 驰，= 罴妥 驰，= 嚣慕磐骞 驰，= 意慕篙芸熹 容易验证，b ( x ) 与泰勒展开的前2 刀项互。( x ) 完全相同，然而两者的逼近效率则 大不相同。下表列出两者在x = 1 及x = 2 时的数值比较 2 = 0 6 9 3 1 4 7 1 8 ，l n 3 = 1 0 9 8 6 1 2 2 8 9 ) 。( 靠( x ) 表示r ( x ) 和l n ( 1 + x ) 之间的误差) 表1 1 有理逼近与部分和逼近的效率比较 船 兄( 1 )靠( 1 )互。( 1 )白( 1 )r ( 2 )( 2 ) l0 6 6 70 0 2 60 5 0o 1 91 0 0 00 0 9 9 20 6 9 3 20 0 0 0 8 40 5 8o 111 0 9 20 0 0 6 6 30 6 9 31 2 20 0 0 0 0 2 5o 6 1 70 0 7 61 0 9 8 00 0 0 0 6 l 40 6 9 3 1 4 6 40 0 0 0 0 0 0 7 60 6 3 4o 0 5 81 0 9 8 5 70 0 0 0 0 4 2 由上表可以看出，r ( 1 ) 与t s ( 1 ) 的精度相差竟达l o 万倍，更令人吃惊的是 当x = 2 时函数l n ( 1 + x ) 的泰勒级数展开式发散，由上表知，兄( 2 ) 趋向于 l n 3 = 1 0 9 8 6 1 2 2 8 9 。 事实说明，开展有理函数逼近的研究是十分有意义的。作为有理逼近研究 的重要组成部分，有理函数插值的理论及应用一直是计算数学领域中引人注目 的课题。 目前，连分式方法不仅在数值积分、微分方程数值求解、积分计算、积分 方程、数学物理中特殊函数的渐进展开、数论、信息安全、马尔可夫过程理论、 矩量问题和生死过程、混沌、理论物理等领域得到了广泛的应用，而且还在控 制理论、统计力学、机械振动、模分析、信号处理等工程技术领域有显著的应 用。 从1 9 9 0 年开始，朱功勤，檀结庆，顾传青，朱晓临，赵前进等人系统的研 究了向量值和矩阵值有理插值与逼近，得到许多美妙的结果。朱功勤、顾传青 把数量值连分式的思想引入到向量值连分式中，给出了向量的s a l z e 定理及 3 t h i e l e 型向量值连分式的收敛性定理，并将著名的p r i n g s h e i m 定理拓广至向量 值的形式1 2 7 , 2 8 1 ，檀结庆等提出了二元t h i e l e 型向量连分式有理插值方法，建立了 多元分叉连分式的特征定理、唯一性定理、边界插值定理和对偶定理等，研究 了具有洞形结构的矩形网格上的多元连分式插值问题，通过划分等价类的方法 得到了特征拓扑不变性等优美结果 2 7 , 2 9 , 3 2 , 3 3 , 3 4 1 ，檀结庆对n e w t o n 插值多项式和 t h i e l e 型插值连分式巧妙地进行蹂性加工得到了几种混合有理插值格式，通过 引进混合差商的概念，解决了混合有理插值的有效计算问题1 3 3 , 3 4 ，檀结庆和唐烁 针对病态数据构造了复合型的多元连分式插值框架，并研究了这种插值的误差 估计 3 5 , 3 6 ，檀结庆等提出了多元向量值函数连分式插值的矩阵算法1 2 7 1 ，利用行向 量列展开技巧揭示了向量值连分式插值与矩阵值连分式插值之间的必然联系， 指出矩值阵连分式插值可由向量值连分式插值转换而得。近年来，赵前进提出 了两种新形式的对称型混合有理插值，王家正构造了一种s t i e l o e s n e w t o n 型有 理插值，k h i k u e h m i n s k a 和s m v o z n a 建立了一利n e w t o n t l l i e l e 1 i k e 插值格 式。此外，赵前进利用分块的思想得到一系列新的插值形式，大大丰富了有理 插值的成果。檀结庆、朱晓临、胡敏等在连分式插值理论应用方面也进行了卓 有成效的尝试，提出了利用连分式进行有理曲面的重建【2 7 1 ，快速构造圆弧和圆 弧样条以及生成空间任意形状旋转曲面【2 引，数字图象压缩与重建的新方法等。 1 3 主要内容 本文共分为四章：第一章是绪论部分，主要介绍了插值和逼近的一些主要 背景以及本文的主要内容；第二章介绍的是一元矩阵值有理插值函数，在这一 章里面主要是关于连分式的一些基本概念和矩阵值有理插值函数的一些方法； 第三章介绍的是二元矩阵值有理插值函数，主要是基于连分式的二元矩阵值插 值；第四章主要介绍了一种基于l a g r a n g e 的二元矩阵有理插值函数。 本人所做的主要工作在第四章，引入了一种基于l a g r a n g e 的二元矩阵值有 理插值函数，它是在一元矩阵有理插值函数的基础上推广的，引入这种二元矩 阵值有理插值函数是为了解决用t h i e l e 型计算复杂的难题，因为分子分母的次 数比较低，而且还可以根据需要任意降低其分母的次数，并且在一定的条件下 还可以降低其分子的次数，并且得出了其极点和不可达点的一些结论。这节4 4 中所构造的矩阵值有理函数更进一步，它是根据基于块的有理插值而得到的， 4 一 经过分析后不难发现，它的分母在实数域内恒为正，所以本身就不存在极点的 问题，并且通过实例可以发现其分子分母的次数都比较小，因此运算更加方便。 第二章一元矩阵值有理插值函数 矩阵函数的有理插值与逼近理论在自动化控制理论、在计算机科学及原子 与初等粒子物理等很多领域都已有深入的实际运用背景，据文【2 】介绍，目前已 经研究的矩阵有理插值问题包括矩阵幂级数和n e w t o n p a d e 逼近、 h e r m i t e p a d e 逼近、联立p a d e 逼近、m p a d e 逼近、多点p a d e 逼近等。 文【3 1 、【4 、【5 】中研究了复矩阵有理插值和多元矩阵有理插值，得到相应的、 实用的矩阵有理插值公式。 在这一章我们首先来介绍一下关于连分式的一些基本性质；接着讨论一元 矩阵有理插值的问题；最后由一元矩阵的形式推广到二元的性质。 2 1 1连分式的定义与基本性质 6 0 + i 工a l ( 2 1 1 ) 1 反+ 鱼 2 坟+ 6 b + i 工a l 6 2 + + 盟 和+ 鼬 m ， = + 鲁毒专 定义 2 1 2 若极限l i m 争2lim(bo+答(qbk)=lfi-。00 n - - - ，o ok1 存在，则称连分式 茂 5 6 舰( b o + 瘩( 吼玩) 收敛，且。l i m ( b o + 。k ( a k 玩) = 三，否则称连分式舰( 6 0 + 瘩( 鲰玩) 发 散。 定理2 1 1 若定义4 l = 1 ，罡l = o ，4 = b o ，b o = 1 ，则4 ，b 有如下递推关系： 定理2 2 设砉= 6 0 + 鲁+ 尝+ + 卺，则有 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 定理 2 1 3 令。= 4 最一1 - a 一1 e ， 且对一切ne n ，a 。0 ， 其中 以l = 1 ，罡l = 0 ，4 = b o ，b o = 1 ，则有 q 一惫，吃= 掣 下面用一个例子来看看连分式的求解 例2 计算连分式垂( 6 1 ) = 6 14-1 1 手+ 手+ 的值 例2 计算连分式k ( 6 1 ) = ；的值 n 2 lll 上l 工 解 令x = 2 ，y = 一3 ，则h l y l ，可以得到 k ( 6 1 ) = k ( 一砂一( x + y ) ) = x = 2 丌- n = l ( 2 1 5 ) 实际上，如果已知星( 6 1 ) = 詈+ 孚+ t 6 + 收敛，设其值为口，则有口= 再6 i ，因此， a 24 - a 一6 = 0 ，从而a = 2 2 1 2 一元连分式插值与逼近 定义2 1 3称下述形式的连分式： + 寻+ 寻+ + 警+ 为t h i e l e 型连分式( t h i e l et y p ec o n t i n u e df r a c t i o n s ) ( 2 1 6 ) 定义2 1 4 设x = x ，i e n 是复平面上一点集，厂( z ) 是定义在g ( g x ) 上 7 屯 之4 或 + + 一 一4 坟如巩 = l l 4 b ，f1【 ：卜。m柚丌蹦 n ，以 一 h d d 卜 卜 厉 易 一 钆 钆 一 一 q 2 锅 能 的函数，令 伊 一】= ( 一) ，i = 0 ，1 ，2 ， 慨】2 而x q - x , ， 缈【jcr，。，ji，jci，cj】=i；i：l：。：i；：l：!i!。l赢， ( 2 1 7 ) 称由上述公式确定的q , e x o ，五，而】为函数厂( x ) 在点x o ，五，x z 处的，阶逆差商或 反差商( i n v e r s ed i f f e r e n c e s ，i n v e r t e dd i f f e r e n c e s ) 定理2 1 4设 驰m + 寻+ 寻+ + 等= 器 则d e gp n ( x ) = f 轴，d e g q = 争，此处 】表示不超过的最大整数 定理2 i 5设 也( x ) = 研】+ 石x 丽- x o + 而x - - x 1 + + 丙x 厕一x n _ 1 其中c p x o ，而，】o ，o o ，k = 0 ，1 ，r l 为厂 ) 在x o ，墨，处的k 阶逆差商，则 有 兄( 薯) = 厂( 薯) ， i = 0 ，l ，1 一，n( 2 1 8 ) 定义2 1 5如果连分式 驰m + 午+ 寻等 满足r ( 薯) = 厂( 葺) ，i = 0 , 1 ，刀，则称连分式为函数厂( x ) 的阶t h i e l e 型插值 连分式。 下面我们用一个具体的实例来说明如何构造函数的t h i e l e 型插值连分式。 例2 1 2 设厂( x ) = s i n x ，x o = 手，五= 手，而= 了；r - ，恐：5 万- ，则可按下表计算厂( x ) o qj厶 在各相关节点处的逆差商： 妣】= 酬= 7 扼- ，州= 鱼2 ，北】_ 1 抵小下( 4 r 2 + 1 ) z r ，矧= 衄6 ，慨班等， 伊 x o , x i , x 2 】：型2 ，妒 x o , x x 3 】= 警， 矿【，五，镌，玛】= 孑f i ， 因此根据定理2 1 5 ，我们求得s i n x 在x = 詈，x = 三，x = 詈，x = 三处的( 2 1 ) 阶 t h i p l p 珏! j 插信谇分式如下： 特争孟+ 矗+ 圭3 7 冗冗 62 2 7 1 2 4 2 2 1 , , 3 2 1 3s a m e l s o n 逆与向量值连分式插值 设 k = t ，i - - 0 ，l ，n ；x i r v ”= m ，i = 0 ，l ，1 “，刀；一c 0 其中，c d 是d 维复向量空间，我们的目的是要寻求一个向量值有理函数 r ( x ) = v ( x ) d ( x ) 其中( x ) 是一个d 维的多项式向量，d ( 功是一个标量多项式，使得 r ( x f ) = h ， i = o ，1 ，拧 为此，引入如下定义： 定义2 1 6设1 ，：“，吃，屹) 是一个d 维复向量，v 。= v i * ，v 2 + ，v d ) 是v 的 共轭复向量斗i ：瞎w 广是向量v 的模， 共轭复向量，l v i = i 匕巧l 是向量v 的模， = l 逆) 如下： 一前 定义2 1 7 向量值有理函数 9 则定义y 的s a m e l s o n 逆( 亦称广义 ( 2 1 9 ) r ( x ) = n ( x ) d ( x ) = ( m ( x ) ， 乞( x ) ， 0 ( x ) ) d ( x ) 称作是( 1 m ) 型的，如果 ( 1 ) a ，= 1 ，2 ，d ； ( 2 ) 影，1 _ ，d ，使得a ，= ， ( 3 ) = m 定义2 1 8令 伊 葺】= v ， i = o ，1 ，2 ， 妒】2 丽x q - x p 伊 墨，_ ，硌，而】2 ；i i _ _ i 了毒 三荔赢 称由上式确定的妒k ，而，而】为关于向量集在点而，而，而处的，阶向量值逆 差商。 定理2 1 6设 兄( x ) 2 伊m + 瓦x - - 丽x 0 + 而x - x l + + 赢x 而- - x n _ 1 ( 2 1 1 0 ) 其中伊，五，稚】o ，o o ，七= o ，1 ，n 为关于向量集在x o ，五，x z 处的七阶逆差 商，则有： 兄( 一) = 哆， i = 0 ，1 ， 下面我们来看一下广义的逆向量连分式插值的计算 设向量值连分式函数 脚m + 寻+ 寻等 满足 r ( 葺) = u ， i = o ，1 ，n 下面给出一种确定向量b o ，5 1 ，瓦的计算方法 令 r o ( x ) = r ( x ) 硝。却寻+ 寻等 l o 一般地，对k = o ，i ，r t - i 则有 即 硝”= 玩+ 寻+ 等一孚 r ”( x ) = 戤x ) = 玩+ 而x - 丽x k 硝“。2 赢矗 所以将上述递推公式经过递推可以得到 从而 ( x ) 2 两丽x - x k b k + 1 = r ( k + 1 ) ( 稚“) 2 丽瓦x k + | m 两x k 丽 因此我们得到如下的算法： 第一步：定义b o = v o 第二步：对i = 0 ，1 ，刀，令 一( t ) = x j - - x ，0 = 兰直 吩一o o吩一 第三步：对k = 1 ，2 ，刀一l ， 令 玩= r 。( 毪) 第四步：对i = k + 1 ，k + 2 ，甩，令 ( _ ) 2 丽x f - x k 第五步：令既= r ”( ) 对上述算法，举例说明如下： 给定如表 2 1所示的插值数据， 试确定b o ，6 l ，6 2 ，6 3 使 满足 黔+ 寻+ 寻+ 等 魏+ 队十现 尺( t ) = v j ， i = 0 ，1 ，2 ，3 表2 1 一元向量有理插值的数据 o l23 z 而 - 1 01 2 m ( o ，0 ，o ) ( 1 3 ，- v 3 ，- 1 3 )( 7 5 ，- 1 5 ，0 )( 2 7 1 7 ，0 ，6 1 7 ) 得到 得到 解第一步：b o = v o = ( o ，0 ，0 ) 第二步：利用 一( 薯) ：生阜：生玉 哆一岛哆一屹 烈栌嚣= 万丽1 丽= ( 1 , - 1 , - 1 ) 矾班嚣2 丽2 二( 7 5 ，_ 1 5 ，1 。) 岳1 ) ( 护嚣2 丽去而2 ( 9 5 ，0 ，2 o 5 ) 屹一u l ，u ，l j 第三步：6 l = r 1 ( _ ) = ( 1 ，- 1 ，- 1 ) 第四步：对i = 2 ，3 ，利用 耿鼍) 2 丽万x i - 丽x 1 丽 戤恐) = 两西x e - 珂x 1 丽= 上( 2 5 , 4 5 , 1 ) = ( 2 9 ，4 9 ，5 9 ) r ( 2 ( 玛) = i 孓i i x j 3 i - 而两= i 刁丐 弓7 j 万= ( 4 9 ，5 9 ，7 9 ) 第五步：6 2 = r 2 ( 恐) = ( 2 9 ，4 9 ，5 9 ) 第六步：对i = 3 ，利用 娥而) 2 而雨x - - 硒x 2 丽 得到 以黾) = 丽万x 3 - 孕x 2 丽2 ( 2 9 三, 1 9 , 一2 9 ) = ( 2 ，1 ，2 ) 第七步：岛= r 3 ( 恐) = ( 2 ，1 ，2 ) 因此，所求的向量值连分式插值函数为 肌) - ( 0 ，o ，啪i 再x + 而l + 雨南丽+ 丽x - 1 g r a v e s m o r r i s 利用c l a e s s e n s 广义五项恒等式【1 3 1 给出了向量值连分式插值 的占一算法1 ，l e v r i e 和b u l t h e e l 在文献 15 中将t h i e l e 型连分式推广到 t h i e l e ”一分式，从而得到了一种不是基于s a m e l s o n 逆的向量值有理插值，此外， 文献 1 6 f f l l 1 7 还讨论了其他形式的向量值有理插值问题。 定理2 1 7 特征定理【1 4 1 设 脚等却寻+ 寻孚( 2 1 1 1 ， 则r ( x ) 是( n 1 2 n 2 ) 的向量值有理函数。 2 2 一元矩阵值函数有理插值 1 9 1 本节我们介绍一种基于连分式的矩阵有理差值，利用矩阵的行向量列展开 技巧，可将矩阵有理差值问题转化为向量值有理差值问题。我们前面已经介绍 过s a m e l s o n 逆的相关问题，这一节我们来介绍一下关于矩阵的s a m e l s o n 逆的 问题。 2 2 1 矩阵s a m e l s o n 逆 下面我们先来看一个定义、 定义2 2 1 设彳= ( 嘞) 而。如为d l 行d 2 列的矩阵，并记口f ，a 。r 。为矩阵a 的d 1 个行向量，其中a r 表示向量a 的转置，令 v e c a = ( 口_ a t ) r ( 2 2 1 ) 则称向量v e c a 为矩阵a 的行向量展开 例如，若 么= 1 2 二2 习 则 v e c a = ( - 2 ，1 ，2 ，0 ，- 2 ，3 ) r 显然，对于d 。xd ：维矩阵a ，其行向量展开y = v e c a 为d ，xd ：维向量且唯一， 向量v = ( 1 ，1 ，v 2 ，1 ，d ) 的s a m e l s o n 逆定义为 v l 静 2 其中v = c v ，屹，屹。，是v 的共轭向量，i v | = i j 量= lv j v * ) 牝是向量v 的模。 2 2 2 一元矩阵有理插值 设以= & ，l f _ o ，1 ，疗，x i r 为一节点互异的实点集，鸠：臼，i ：0 ，l ，1 一，疗， a ，= 彳( t ) c 码x d 2 ) 为相应的d l d 2 维复矩阵集，所谓一元矩阵有理差值问题就 是求解矩阵函数 洲= 等 使得 酏) = 哿叫 ，挖 ( 2 2 3 ) 其中m ( x ) = ( b ) ) 为实( 复) 矩阵多项式，d ( x ) 为实多项式。 例2 2 1设 x z = - 1 , 0 , 1 l 彳：= 吕吕三 ， ： ， 三：； 求r 2 ( x ) ，使得r 2 ( t ) = a f ，i = 0 , 1 ，2 解 = v e c a o = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ) r ，k = v e c a l = ( 1 ，0 111 ，1 ) r ，v 2 = v e c a 2 = ( 0 ，1 ，0 ，0 ，1 ，1 ) r 由一元向量值有理插值算法可得 1 4 r 2 ( x ) = ( o ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ) r + x + 1x 1 5 ( 1 ，0 ，1 ，1 ，1 ，1 ) 7 + 1 15 ( 一3 ，10 ，一3 ，一3 ，7 ，7 ) r 若利用矩阵行向量展开的逆过程，再将上述向量值有理插值表示成矩阵有理插 值，则有 蹦加一0 + l x + 1x 容易证明r 2 ( 一) = a ，i = 0 , 1 ，2 坩啪 二；了7 2 3构造一种新的一元矩阵有理插值1 2 0 l 上面给出的一元矩阵有理插值是基于矩阵的古典逆或s a m e l s o n 逆，利用连 分式给出的，它的主要缺点就是算法的可行性不容易预知，所以我们这一节就 借助构造向量值有理插值的方法，引入多个参数，定义一对多项式，代数多项 式和矩阵多项式，并利用两多项式相等的充分必要条件，通过求解方程组确定 参数，并由此给出类似于多项式插值的矩阵值有理插值公式。 给定n + 1 个互异节点x o x 。，五r 及相应矩阵值a f - _ 么( t ) r d , 。如 ( f = 0 ，1 ，2 ，z ) 所谓矩阵值有理插值问题，就是在矩阵值有理函数 w = 器 ( 2 3 1 ) 中寻求矩阵值有理函数尺( x ) 使之满足如下条件 蹦= 裂利( ( 汪0 ，1 ，_ ( 2 3 2 ) g l x ，j 其中，p ( z ) 是矩阵多项式，q ( x ) 是实系数多项式。 2 3 1 关于矩阵有理插值函数的一些基本知识： 定义2 3 1 若矩阵值有理函数( 2 3 1 ) 中p ( x ) = ( q 。，( x ) r 而。如满足 ( 1 ) o c t ，( x ) ， 1 i 面，1 j 畋 ( 2 ) 必有某个( f o ， ) ，使a a f 0 ， ( x ) = ， ( 3 ) a g ( x ) = m( ”表示多项式次数) 则称r n ( 功具有【? m 】型，或r 。( x ) r ( 1 ，m ) 记 缈( x ) = ( x x o ) ( x x 1 ) ( x x 。) 令 彩。( z ) ：7 兰丛兰妥= ( x - - x 0 ) ( x - - x i _ ) ( x - - x i + 1 ) ( x x 。) q x f j 显然( 2 3 3 ) 式右端式n 次多项式，且可以表示成 q ( x ) = x ”+ 口n - 1 f x ”一1 + 一2 x ”一2 + + 口l ，l ( x ) + 口o j 其中，a j , i ( 歹= 0 ，1 ，n 一1 ) 表示( 2 3 3 ) 式乘开后的系数公式。 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 一1 ) a n 1 o = x l + x 2 + + x n a n 一2 o2 x l x 2 + + x l x h + x 2 x 3 + + x n 一1 x h ( 一1 ) 一j ，。：x 岛x 屯x 材 2 3 5 ( 一1 ) ”a o o 2 x i x 2 z ” 对于峨o ) 乘开后的系数公式完全类似，如。( x ) 只需要将( 2 3 5 ) 式右端x l 换成即可。换句话说，( 2 3 5 ) 式右边的刀个元素，不含而( 扛0 ，1 $ oo 刀) 即得q ( x ) 乘开后的公式。 定义2 3 2对给定的 x l x n 及相应的矩阵a f = a ( x f ) ( f - 0 ，1 ，r 1 ) 记 d ( x ) = c o ，( x ) ，( x ) = a ，0 2 ，( x ) ( 2 3 6 ) i = 0 i f f i o 显然d ( x ) 是托次代数多项式，( x ) 是刀次矩阵多项式。 令 r v ( x ) = b 。( x ) ，q ( x ) ，彩。( x ) 】r x ：k ”，x 州，1 】r b = 1 a n - 1 , o 1 a h l 。l 1 a 月一l a n - 2 一口l ，la o ，月 1 6 ( 2 3 7 ) 其中，口表示q ( 功展开后的系数( ，= 刀一1 ，z 一2 ，o ；扛0 ，l ，刀) 于是 形( x ) = b x ( 2 3 8 ) 定理2 3 1方程组( 2 3 8 ) 的系数矩阵b 的行列式d e tb = 万0 下面就刀= 3 时来证明，一般的情形完全可以类似的证明 d e t b = 1 一( x l + x 2 + x 3 ) 1 一( x o + x 2 + x 3 ) 1 一( x o + x l + x 3 ) 1 一( z o + 而+ x 2 ) 将上式整理得： x ! x 2 + x 1 x 3 + x 2 而 x o x 2 + x o x 3 + x 2 x 3 x o x l + x o x 3 + x i 屯 x o x i + x o x 2 + x 1 x 2 x i x 2 x 3 。x o x 2 x 3 。x o x i x 3 一x o 而x 2 d e t b = ( x l x o ) ( x 2 一x o ) ( 屯一x o ) l o 石2 一x lx 3 ( x 2 - - x 1 x 3 1 ) i l 一( x 2 +)x 2 x 3 i 1 0 屯一x 1 一x 2 ( x 3 一x 1 ) l = ( x l x o ) ( x 2 一x o ) ( x 3 一x o ) ( x 2 一x 1 ) ( 码一x 1 ) ( x 3 一x 2 ) = 兀( 一) 由于 x l 0 ，记 舱) = 鬻 直接验证可知 俐= 0 曷 ( 2 3 9 ) 2 3 2 一元矩阵有理插值 定理2 3 2 对于给定的互异节点一及相应的矩阵a ，= a ( x ，) ，i = 0 9 1 ，行 由式( 2 3 6 ) 和( 2 3 9 ) 定义的d ( x ) 和n ( x ) 构成的矩阵值有理函数 脚) = 器= 喜们) ( 2 3 1 1 ) 满足插值条件g ( x ，) = a ( x f ) ，_ = 0 , 1 ，聆，且r ( x ) r ( n ，n ) 例2 3 1 设x o = - 1 ，x l = 0 ，x 2 = 1 ，x 3 = 2 彳。= i 三 三 习，彳。= i 三 彳。2 i o o o i 彳- 。l o 一 1 0 1 0 2 = 、 “j1 1 o o o = 4 一 n 叫1 i 一 0 由( 2 3 5 ) 式知 c o o ( x ) = x ( x 一1 ) ( x 一2 ) = x 3 3 x 2 + 2 x c o l ( x ) = ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x 一2 ) = z 3 2 x 2 一x + 2 c 0 2 ( 功= ( x + 1 ) x ( x 一2 ) = x 3 一x 2 2 x c 0 3 ( x ) = ( x + 1 ) x ( x 一1 ) = x 3 一x 由( 2 3 6 ) 式得 d ( x ) = 4 x 3 6 x 2 2 x + 2 c x ，= 喜qc x ，么c x ，= 1 2 x 3 - 2 x 5 ，x 一2 + 2 x x + 2x ：c j 二：2 x ，一- - 2 x x 2 ：- - 一x x + 2 l 经过验证可失：酬= 器叫， i = 0 , 1 , 2 , 3 显然由( 2 3 1 1 ) 式构造的矩阵值有理插值函数次数较高。为了降低次数， 7 1 入参数口。( f = 0 , 1 ，玎) ，重新定义并仍记为d ( z ) 、n ( x ) 和c k ，( x ) 一 d ( x ) = c o 心) l l ( x ) = 口，c o 舡) 彳( 而) ( 2 3 1 2 ) 1 = 0 舱) = 等( 2 3 1 3 ) 雕) = 哿= 喜酶) ( 2 3 1 4 ) 下面给出降低多项式d ( x ) 的方法 由( 2 3 1 2 ) 式知 d ( x ) = 口。缈o ( x ) + 口l 国1 ( x ) + + 口。( x ) ( 2 3 1 5 ) 利用国f ( x ) 展开式可知矿的系数为口o + 口l + + 口疗，x 州的系数为 口。口n l 。o + 口l 口n 1 。l + + 口n 口疗一l 一，x 的系数为口。口1 ，o + 口l 口1 ，1 + + 口月口1 ，l ，常数项为 口0 口0 。o + 口l 口o ，1 + + 口月口0 棚 如果要降低2 次，由多项式相等的充分必要条件，可令x n ) x ”1 的系数为0 ， 使得齐次方程组( 视口；为未知量)