（运筹学与控制论专业论文）区间离散广义系统的鲁棒h∞控制.pdf

查苎查兰堡兰苎竺圭 塑墨 区间离散广义系统的鲁棒比控制 摘要 广义系统是类更一般化，并有着广泛应用背景的动力系统。自七十年代 以来，广义系统理论的研究已经取得了长足的进展，许多正常系统的结论被相继 地推广到广义系统中：近年来，关于离散广义系统的研究受到了人们的极大关注， 并且取得了较多的研究成果。但对于区问离散广义系统的鲁棒圮，控制问题还鲜见 文献，目前仍处在初步的探索阶段。本文以线性时不变区间离散广义系统为研 究对象，利用l m i ( 线性矩阵不等式) 方法较为系统地讨论了区间离散广义系统 的鲁棒玩控制的几个主要问题，并提出了些新的方法。主要内容概括如下： ( 一) 介绍了本文研究工作的背景。首先概述了见，优化控制理论的研究背景； 然后介绍了广义系统的结构特征及其应用背景；接着介绍了区间离散广义系统鲁 棒皿，控制研究的现状；最后简要介绍了本文的主要工作。 ( _ ) 研究了区间离散广义系统的鲁棒稳定性问题。在给出区间离散广义系 统的等价描述之后，基于线性矩阵不等式，得到了该系统稳定的充要条件。 ( 三) 研究了区间离散广义系统的输出反馈鲁棒风控制问题。在给出区间离 散j 义系统的等价描述之后，基于系统参数矩阵不等式，得到了该问题可解的充 分条件，并给出了输出反馈控制器显式表达式，所得控制器保证闭环系统是容许 的，且满足给定的乒l 性能指标。 ( 四) 研究了离散时滞广义系统的状态反馈见，控制问题。基于系统参数矩阵 不等式，得到了该问题可解的充分条件，并给出了状态反馈控制器显式表达式。 所得控制器保证闭环系统正则，具有凶果关系，稳定并且满足给定的鼠、性能指标。 ( 五) 研究了区间离散时滞广义系统的鲁棒稳定性问题。在给h j i 运间离散时 滞广义系统的等价描述之后，基于系统参数矩阵不等式，分别得出了时滞独立和 时滞依赖情况下区间离散广义系统稳定的充分条件。 ( 六) 研究r 区间离散时滞广义系统的状态反馈鲁棒f ，砷控制问题。在给出区 间离散时滞厂义系统的等价描述之后，基于系统参数矩阵不等式，得到了该问题 可解的充分条件，并给出了状态反馈控制器显式表示。所得的控制器保证闭环系 统正! j l 【i ，具有斟果关系，稳定并且满足给定的巩性能指标。 ( 七) 研究了区删离散时滞广义系统的输出反馈鲁棒亿控制问题。在给出区 东北大学硕士学位论文摘要 间离散时滞广义系统的等价描述之后，基于系统参数矩阵不等式，得到了问题可 解的充分条件，并给出了输出反馈控制器显式表达式。所得的控制器保证闭环系 统正则，冈果，稳定并且满足给定的乒乙性能指标。 关键词 离散广义系统；区间矩阵；时滞系统；稳定性；鲁棒珏。控制；状态反 馈；输出反馈；线性矩阵不等式( l m l ) - i i l 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t r o b u s t 总c o n t r o lf o ri n t e r v a ld i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m s a b s t r a c t s i n g u l a rs y s t e mi s ak i n do fd y n a m i cs y s t e mo fm o r eg e n e r a la n d a b r o a d a p p l i e db a c k g r o u n d i th a sb e e nd e v e l o p e ds u f f i c i e n t l yf r o m1 9 7 0 s ，a n dm a n yr e s u l t s i nt h en o r m a ls y s t e mh a v eb e e n e x t e n d e dt os i n g u l a rs y s t e m s i nr e c e n ty e a r s ，t h e i n v e s t i g a t i o no fd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m sh a sa t t r a c t e d al o to fa t t e n t i o n , a n ds o m e s i g n i f i c a n tr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d b u tt h ep r o b l e m so f 巩o p t i m a lc o n t r o lof i n t e r v a ld i s c r e t es i n g u l a rs y s t e ma r el e s sd i s c u s s e di ns o m el i t e r a t u r e sa n di ti si n p r i m a r yd e v e l o p i n gs t a g e c o n s i d e r i n gt h e l i n e a rt i m e i n v a r i a n ti n t e r v a ld i s c r e t e s i n g u l a rs y s t e m s ，s o m es i g n i f i c a n ti s s u e so fj 叱o p t i m a lc o n t r o la r ed i s c u s s e du s i n g t h em e t h o do fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) i nt h ep a p e r a n ds o m en e wm e t h o d sa r e p r e s e n t e d t h em a i nc o n t e n tm a y b es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) t h em a i nb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e md i s c u s s e d i nt h i st h e s i si si n t r o d u c e d f i r s t l ) ；t h eb a c k g r o u n do f 坟o p t i m a l c o n t r o li si n t r o d u c e d ，a n dab r i e fi n t r o d u c t i o nt o d e s c r i p t o rs y s t e m si sg i v e n ，a n ds o m ee x a m p l e so fd e s c r i p t o rs y s t e m sa r ep r e s e n t e dt o i l l u s t r a t et h ew i d ea p p l i c a t i o ni nv a r i o u sf i e l d s ；s e c o n d l y , s o m ea c t u a l i t yo f r o b u s thc o n t r o lf o ri n t e r v a ld i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m s i si n t r o d u c e d f i n a l l y , t h em a i n w o r ki ss u m m a r i z e d ( 2 ) t h ep r o b l e mo f r o b u s ts t a b i l i t yf o rac l a s so fi n t e r v a l d i s c r e t e t i m es i n g u l a r s y s t e m si sd i s c u s s e d f i r s t l y , ak i n do f e q u i v a l e n td e s c r i p t i o no f t h ei n t e r v a ld i s c r e t e t i m e s i n g u l a rs y s t e m si sg i v e n t h e n ，an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o ni so b s t a i n e d i nt e r m s o fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( 3 ) t h ep r o b l e mo fs t a t i co u t p u tf e e d b a c kr o b u s t 风c o n t r o lf o rac l a s so fi n t e r v a l d i s c r e t e - t i m es i n g u l a rs y s t e m si sc o n s i d e r e d f i r s t l y , ak i n do f e q u i v a l e n td e s c r i p t i o no f t h ei n t e r v a ld i s c r e t e t i m es i n g u l a rs y s t e m si sg i v e n t h e nas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r s o l v a b i l i t yo ft h ep r o b l e ma n dt h ee x p l i c i te x p r e s s i o n o fs t a t i c o u t p u tf e e d b a c k r o b u s th c o n t r o l l e ra r ep r e s e n t e d i nt e r m so f m a t r i xi n e q u a l i t i e s t h ed e s i g n e d c o n t r o l l e r g u a r a n t e e d t h a tt h ec l o s e d - l o o ps y s t e m si sr e g u l a r ，c a u s a l ，s t a b l ea n d s a t i s f y i n gap r e s c r i b e dh 。n o r mb o u n d e dc o n s t r a i n t t 东北走学硕士学位论文a b s t r a c t ( 4 ) t h ep r o b l e mo fs t a t ef e e d b a c k 圾c o n t r o lf o rac l a s so fd i s c r e t et i m e d e l a y s i n g u l a rs y s t e m si si n v e s t i g a t e d as u f f i c i e n tc o n d i t i o nl b rt h es o l v a b i l i t yo f t h ep r o b l e m a n dt h ee x p l i c i te x p r e s s i o no fs t a t ef e e d b a c k h 。c o n t r o l l e ra r eo b t a i n e di nt e r m so f m a t r i xi n e q u a l i t i e s ，t h ec o n t r o l l e ri st h e nd e s i g n e dt og u a r a n t e et h a tt h ec l o s e d l o o p s y s t e m si sr e g u l a r , c a u s a l ，s t a b l ea n ds a t i s f y i n g ap r e s c r i b e d 以n o r mb o u n d e d c o n s t r a i n t ( 5 ) t h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i t yf o r ac l a s so fi n t e r v a ld i s c r e t e t i m e - d e l a y s i n g u l a rs y s t e m si sp r e s e n t e d f i r s t l y , ak i n do fe q u i v a l e n td e s c r i p t i o no ft h ei n t e r v a l d i s c r e t et i m e - d e l a ys i n g u l a rs y s t e m si s g i v e n t h e ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rr o b u s t s t a b i l i t yo fi n t e r v a ld i s c r e t e - t i m es i n g u l a rs y s t e m s f o rd e l a yi n d e p e n d e n ta n dd e l a y d e p e n d e n ta r eo b t a i n e di nt e r m so f m a t r i xi n e q u a l i t i e s ( 6 ) t h ep r o b l e mo fs t a t ef e e d b a c kr o b u s th 。c o n t r o lf o rac l a s so fi n t e r v a ld i s c r e t e t i m e d e l a ys i n g u l a rs y s t e m si sd i s c u s s e d f i r s t l y , ak i n do fe q u i v a l e n td e c r i p t i o no ft h e i n t e r v a ld e s c r e t et i m e - d e l a ys i n g u l a rs y s t e m si sg i v e n t h e nas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e s o l v a b i l i t yo ft h ep r o b l e ma n dt h ee x p l i c i te x p r e s s i o n o fs t a t ef e e d b a c kr o b u s t h 。c o n t r o l l e r a r eo b t a i n e di nt e r m so fm a t r i xi n e q u a l i t i e s t h ec o n t r o l l e ri st h e n d e s i g n e dt og u a r a n t e et h a tt h ec l o s e d l o o ps y s t e m si sr e g u l a r , c a u s a l ，s t a b l ea n ds a t i s f y i n g ap r e s c r i b e d 虬n o r mb o u n d e dc o n s t r a i n t ( 7 ) t h ep r o b l e mo fs t a t i co u t p u tf e e d b a c kr o b u s t 厅。c o n t r o lf o rac l a s so fi n t e r v a l d i s c r e t et i m e - d e l a ys i n g u l a rs y s t e m si sd i s c u s s e d f i r s t l y , ak i n do fe q u i v a l e n td e c r i p t i o n o f t h ei n t e r v a ld i s c r e t et i m e d e l a ys i n g u l a rs y s t e m si sg i v e n t h e nas u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o rt h es o l v a b i l i t yo f t h ep r o b l e ma n dt h ee x p l i c i te x p r e s s i o no fs t a t i co u t p u tf e e d b a c k r o b u s t h 。c o n t r o l l e ra r e o b t a i n e di nt e r m so fm a t r i xi n e q u a l i t i e s t h e d e s i g n e d c o n t r o l l e rg u a r a n t e e dt h a tt h ec l o s e d - l o o ps y s t e m si sr e g u l a r ，c a u s a l , s t a b l ea n ds a t i s f y i n g ap r e s c r i b e dh 1 0 1 1 1 1b o u n d e dc o n s t r a i n t k e yw o r d s ：d i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m s ；i n t e r v a lm a t r i x ；t i m e - d e l a ys y s t e m s ；s t a b i l i t y ； r o b u s t h ec o n t r o l ；s t a t ef e e d b a c k ；o u t p u t f e e d b a c k ；l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ( l m l ) 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：磊精毕 日期：五群闰7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师同意网上交流，请在下方签名；否则视为不同意。) 学位论文作者签名： 导师签名： 签字日期： 签字目期 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 觯绪论 1 1 玩优化控制的研究背景 现代控制理论中的最优控制问题是一种典型的优化控制问题。在现代控制理 论中，控制系统设计的主要任务是控制器的设计不仅保证闭环系统的稳定性，还 要使闭环系统达到某一性能指标要求。根据所关心的某一信号的大小( 即信号的 范数) 来描述控制系统的性能指标是一种常用的方法，而众所周知的两个重要的 性能指标就是也范数和e 范数。其中，以鼠范数作为性能指标的玩最优控制问 题就是设计一个状态或可测输出反馈控制器，不仅使闭环系统稳定，同时使闭环 系统的传递函数矩阵的h 、范数达到极小。 玩鲁棒控制理论是在鼠空间( 即h a r d y 空间) 通过某些性能指标的无穷范数 优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。玩空问是在开右半平面解析 且有界的矩阵函数空间，其范数定义为 i l f 忆_ _ s u p 厅【f ( s ) 】= s u p 厅【f ( ，曲】( 1 1 i ) r e ( s ) 0 m e r 即矩阵函数f ( s ) 在开右半平面的最大奇异值的上界。鼠，范数的物理意义是它代表 系统获得的最大能量增益。 巩鲁棒控制理论的实质是为多输入多输出( m i m o ) 且具有模型摄动的系统 提供了种频域的鲁棒控制器设计方法。绣。鲁棒控制理论很好地解决了常规频域 理论不适于m i m o 系统设计及l q g ( 线性二次高斯) 理论不适于模型摄动情况两 个难题，其计算复杂的缺点已因计算机技术的飞速发展及标准软件开发工具箱的 出现而得到克服。 控制界将风鲁棒控制理论的发展过程分为两个阶段，分别以加拿大学者 z a m e s 1 和美国学者d o y l e 等人 2 j 发表的两篇著名论文为标志。称前一阶段的理论 为经典圮、鲁棒控制理论，称后一阶段的理论为状态空间风鲁棒控制理 。从发展 的进程来看，见，鲁棒控制理论的发展过程可分为四个阶段： 从6 0 年代中期至1 9 8 0 年为准备阶段，在这一阶段，以l q g 反馈系统设计力 法为代表的现代控制理论占统治地位，但它无法处理被控过程数学模型有误差或 摄动情况下的控制器求解问题，而这恰恰是工程实际经常遇到并迫切需要解决的 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 课题。3 0 年代发展起来的经典频域设计理论，通过定的增益和相角裕度使系统 满足要求的性能并具有一定的鲁棒稳定性，但不适用于m i m o 系统。止是这种实 际需要加上此阶段泛函分析和算了理论等的完善，为见，鲁棒控制理论的提m 做好 了准备。 从1 9 8 1 年至1 9 8 7 年为诞生阶段，1 9 8 1 年加拿大著名学者z a m e s 在其论文】 中引入上l 范数作为目标函数对系统进行优化设计，标志着王乙控制理论的诞生。在 此阶段，人们把在摔制器集合中寻求使传递函数矩阵的垃、范数最小化解的问题， 通过稳定化控制器的y o u l a 参数变换成模型匹配和一般距离问题，然后再将其变换 为n e h a r i 问题来求解。寻求满足见，范数指标的解的早期方法，大都基于输入输出 系统框架并包含解析函数的( n e v a n l i n n a p i c k 插值) 或算子理论的方法，导致了 算子理论学者和控制t 程学者富有成果的合作l j j 。但遗憾的是，最初的鼠、鲁棒控 制理论的标准频域方法在处理m 1 m o 系统时，在数学上和计算上都显得无能为力。 直到1 9 8 4 年，d o y l e 用状态空间方法解决了m i m o 的玩晟优控制问题，过程包 括传递函数阵的状态空间内外及互质分解，然后降低成一个用状态空间方法可解 的n n e h a r i h a n k e l 范数问题。这一阶段提出的f 乙设计问题的解法，所用的数学_ 具非常繁琐，计算工作量浩人，并不象控制问题本身那样有明确的工程意义。 从1 9 8 8 年至1 9 9 5 年为发展、完善及推广阶段，1 9 8 8 年d o y l e 等人在= = 美控 制年会卜发表的d g k f 论文1 2 ，首先提出了简化的状态空间绣。控制器求解公式， 仅需解曲个r i c c a t i 方程便可求得风优化控制器，其阶次等于广义对象( 被控对象 和加权函数) 的阶次。d o y l e 和g l o v e r | 4 】，k h a r g o n e k a r 等人捧】进一步给出更简单的 f 己控制器求解的方法，提出状态反馈风控制问题可解一个代数r i c c a t i 方稗来获 得。此类方法不仅设计过程简单，计算量小，而且所求得的控制器阶次较低，结 构特征明显。这一阶段也是计算机技术发展的重要时期，许多软件包相继面世， 如美国m a t hw o r k s 。公司开发的m a t l a b 软件中的鲁棒j 卒制工具箱；m u s y n 公司开 发的“一t o o l s 软件包；i n t e g r a t e ds y s t e m s 公司开发的m a t r i x 。软件包及x m a t h 软 件包等”i 。这些软件包的研制成功，使h 。鲁棒控制理论成为真正实用的工程设计 理论。为了得到更好的控制器，发展了两种新方法，即回路成形方法和岸( 结构 奇异，值) 分析方法。分析方法是d o y l e 给出的解决当模型有结构不确定性时 估价鲁棒性能的一种有效的分析工具i ”，基本思路是将一个具有回路多点独立的有 界范数摄动化为一块对角摄动结构，然后给出判断系统鲁棒稳定的充要条件，因 而在理论 二是不保守的。b a l a s 等人于1 9 9 1 年开发出卢分析软件包p j 。回路成形方 法是通过选择函数改善开环奇异值频率特性，以实现系统的闭环性能，并在鲁棒 性能指标和鲁棒稳定性之间进行折衷。m c f a r l a n e 等人于1 9 9 2 年给出其设计步骤 东北大学硕士学位论丈 第一章绪论 ”1 。在这一阶段，也控制问题已和其他控制问题建立起联系，如w h i t t l e 的临界敏 感控制，b a s a r 等人的微分策略 h i ，g r e e n 的，无损分解”1 ，d y m 等人的最大熵 方法，g e o r g i o u 的g a p 度量f l “。从控制方式来看，已经从常规反馈控制向双自 由度控制、自适应控制及分散控制等多种方式发展。状态空问以鲁棒控制理论也 已推广到其他系统，从连续系统到离散系统，从时不变系统到时变系统，从有限 维到无限维( 分布参数系统) ，甚至推广到一些非线性系统。在这一阶段，国际著 名学者的重要成果有：1 9 8 8 年b e c k e r ，g r i m m 研究了非线性圮、优化问题f i “，h a r a ， s u g i e 研究了双自由度控制器风优化问题【i “，g e o r g i o u 研究了将g a p 度量的计算 转化成标准，t 优化问题t “】：1 9 8 9 年d o y l e ，g l o v e r 给出了状态空问见、优化的简 化算法忆g l o v e r ，m c f a r l a n e 给出了互质因子摄动鲁棒镇定问题的显式解7 l jg u ， t s a i 研究了离散系统见，优化问题【i 划；1 9 9 0 年v e i l l e t t e ，m e d a n i c 研究了分散控制鼠， 优化问题【1 9 】，g e o r g i o u 给出了g a p 度量在鲁棒稳定方面的结果 1 9 9 1 年 p o s t l e t h w a i t e 等提出了芦分析的p k 迭代算法【2 “，b a l a s ，d o y l e ，g l o v e r 给出了p 分析和综合工具箱1 9 9 2 年s a e k i 研究了e 。控制与极点配置结合问题f 2 2 】， m c f a r l a n e ，g l o v e r 给出回路成形设计步骤【9j ；1 9 9 3 年p a c k a r d ，d o y l e 研究了复杂 结构奇异值1 23 】：1 9 9 4 年d o y l e 给出和圮，混合性能指标设计方法【2 4 ：1 9 9 5 年t i t s ， f a n 给出了修正后的小_ “定理口”。国内较早开展坑鲁棒控制理论研究的主要有： 清华大学的解学书、钟宜生等”i ； 二海交通大学的胡庭姝、施颂椒等”1 ；国防科 技大学的刘频、土正志等2 8 1 ；哈尔滨工业大学的胡建昆、王f “雄等【2 9 】；华中理j ： 大学的杨富文、涂建等”。他们在鼠鲁棒控制理论研究方面取得了不少成果，推 动了巩鲁棒控制理论在我国的发展。有关玩鲁棒控制理论应用研究的报导很多， 如d o y l e 等人对航天飞机重返大气层的侧轴弋行控制系统设计1 3 1 j ：s a f o n o v 对飞机 俯仰轴控制系统和对大型空间结构的控制系统设计口2 j ：l i m e b e e r 等人对刷步涡轮 发电机的控制；d a l e 对火箭穿越大气层时的稳定控制设计；g u e s a l a g a 等人对 环境试验箱温湿度的控制等i ”1 。在船舶运动控制研究领域，将乙鲁棒控制理论应 用于船舶自动舵，国外已进行过些工作p6 ，” ，但都属于仿真研究，实际的海卜 试验研究尚未见报导。大连海事大学的贾欣乐、张显库等在将鼠。控制理论应用于 船舶运动控制系统方面做了有益的尝试，并给m 批实际应用结果口“” 。 从1 9 9 6 年至今为成熟及应用阶段，z h o u 等人的专著鲁棒及最优控制 4 0 1 , s k o g e s t a d 和p o s t l e t h w a i t e 的专著多变量反馈控制【4 “，标志着乒乙控制理论已基 本成熟。与此同时，应用研究也由计算机仿真开始走向实际的司行性试验和实时 控制实现【“1 。最近几年，时变系统、非线性系统、分布参数系统及离散系统的也 控制理论的研究也杵：进一步发展。 东北赶学硕士学位论丈 第一章绪论 亿鲁棒控制理论的特点1 4 3 1 ： 1 、将经典频域设计理论具有一定的鲁棒性和现代控制理论状态空间方法适于 m i m o 系统的两个优点融合在一起，系统地给出了在频域中进行回路成形的技术 和手段。 2 、给出了鲁棒控制系统的设计方法，并充分考虑了系统不确定性的影响，不 仅能保证控制系统的鲁棒稳定性，而且能优化某些性能指标。 3 、采用状态空间方法，具有时域方法精确计算和最优化的优点。 4 、多种控制问题均可变换为圯鲁棒控制理论的标准问题，具有一般性，并 适于实际工程应用。 1 2 广义系统的结构特征及应用背景 广义系统是一类更一般化，并有着广泛应用背景的动力系统。自1 9 7 4 年 r o s e n b r o c k 首次提出广义系统的概念以来，广义系统理论的研究已经取得了 长足的进展，许多正常系统( 即经典的线性系统) 的结论被相继地推广到广义 系统上来【4 5 。作为止常系统的自然推r “，广义系统( s l 称为奇异系统、描述系 统、，”义状态空间系统、微分代数系统、半状态系统或隐式系统) 已经大量地出现 在许多实际系统模型中，例如：非因果系统5 ”、人工神经网络【5 2 】、电子网络、 航空航天技术1 5 4 】、经济系统等。 广义系统模型般描述如下 e ( f ) i o ) = i 厂( x ( f ) ，“( f x f )( 1 2 1 a ) y ( t ) = g ( x q ) ，( f ) ，f ) ( 1 2 1b ) 其中，( z ( ，) ，“( ，) ，) ，g ( x ( ，) ，“( ，) ，) 表示x ( t ) ，“( ，) 和，的胛维向量函数；z ( ，) ，u ( t ) 和r 依次表示状态向量，输入向量和时间变量；y ( f ) 为输出向量；e ( t ) r 。 股地，r a n k l e ( t ) 】 1 , 1 。 特别地，线性时不变连续广义系统表示为 戤( f ) = a x ( t ) + b u ( t )( 1 2 2 a ) ，( ，) = c x ( t )( 1 2 2 b ) 其中，x ( t 1 r ”，u ( t ) r 和y ( t ) r7 ：e ，a r ，b r ，c r “”为实数 矩阵。为保证广义系统( 1 2 2 ) 对给定的允许初始状态有惟一解，总假定广义系 统( 1 2 2 ) 是正则的，即矩阵( s e 一爿) 的行列式不恒等于零。 这里特别指出的是，当e 非奇异即r a n k e ( t ) 】_ n 时，式( i 2 1 ) 是线性系统 ( 即正常系统) 5 6 1 。一般说来，广义系统的结论完全适用于e 非奇异的情形，凶 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 此说广义系统是比正常系统更具有广泛意义的系统。由7 二正常系统已有详尽的介 绍，为了与之相区别，我们所说的广义系统通常是指e 为奇异矩阵的情况。 相应地，线性时不变离散广义系统表示为： e x ( t + 1 ) = a x ( t ) + b u ( t )f 1 2 3 a ) y ( o = ( f )( 1 2 3 b ) 离散系统尽管区别于连续系统，却与之有着相似的概念和平行的性质。因此， 许多关于离散系统的研究都是建立存连续系统的平行研究的基础卜。无论是连续 广义系统还是离散广义系统模型，都是来源于许多实际的系统模型，对它们的研 究有着普遍的理论意义和实际意义。下面的实例从几个侧面反映了广义系统在当 代科学技术中的应用背景。 倒1 2 1 经济系统中熟知的l e o n t i e f 动态投入产出模犁表示为5 7 1 x ( 女) = a x ( k ) + b ( x ( k + 1 ) 一x ( 女) ) + 删( 女) + d ( ) 其中，a r m 一为消耗系数矩阵，b r ”为投资系数矩阵，x ( k ) r ”为k 时刻的 产量，d ( 女) + o j ( k ) 为k 时刻的最终产品量，其中d ( k ) 为确定性的，被称为计划中 的最终消费，o j ( k ) 为市场波动对消费的影响。 在多部门的经济系统中，当荇部门之间不存在投资时，矩阵b 中对应的行为 零，从而b 是奇异的，这是一个离散广义系统。但是如果产品的消耗周期与生产 周别并不一致，则模型应为 x ( ) = a x ( k 一，) + b ( x ( k + 1 ) 一( 七) ) + 口( ) + d ( 女) 这是一个离散时滞广义系统，林德金等曾用此模型讨论经济增长的快车道定理。 例1 2 2 神经嘲络系统口2 】 毫吲洲咿圭k = l 筹形】 嘞小从驰，) _ 喜w l k 筹秽1 其中，一，z 。为第i 个神经元的状态，i = 1 ，2 ，”；，为对应的神经细胞相关生存期 标度；n ( ) 为对应接受力和时延，也可包括细胞的自我反馈；s ( _ ) 为神经元的输入； 。为网络的连接权； j ，j ，) 为 1 2 ，埘+ n ) 的个无序子集。此例是典型的 广义人系统。 例1 2 3 两机械手协助抓一物体的动力学方程为5 0 j 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 0 m 2 ( 0 0 0 0 ：0 ) ) 0 m l 0 o 正( r ) + g l ( g l ( f ) ，p ，( f ) ) + 7 ( 9 1 ( f ) ) 一( f ) t ( r ) 十g ：( g ：o ) ，p 2 0 ) ) + t ，：7 ( q ：o ) ) 一( f ) 一一o ) 一正( f ) 一m g ( 吼( 伪一p 日2 ( q 2 ( f ) ) p 其中，p ，( f ) = 口，o ) ；m 。( 吼( f ) ) 表示惯性矩阵；g ，( q ( f ) ，p ，( f ) ) 表示c o r i o l i s 离心和引 力效应；m 为所抓物体的质量；f ( f ) 为第i 个机械手的输x j - j 矩，一般视为控制量； p 表示所抓物体的中心位置坐标；h 。( q l ( f ) ) 和片：( g ：( f ) ) 分别表示两机械手的直接 运动学关系；d ( q ，( f ) ) 表示j a c o b i a n 矩阵。这是一个非线性广义系统模型。 例1 2 4 在环境污染问题中，设污染物为有毒化学物质或放射性同位素。物种 在区域d 中的总数为x 。( f ) ，物种个体内的毒素浓度为x ：( f ) ，环境中介质的毒素浓 度为x 3 ( ，) ，若x 1 ( r ) 的妊娠期为f ，毒素在个体内停留f ：时间以后排出体外( 对排 出部分而言) ，环境内毒素进入个体的平均时间为r ，若v ( f ) 表示毒素排入环境的 速率，则污染问题的数学模型为 5 踟 t i o ) = r x i ( f ) 一喁0 ) o f 1 ) i 2 0 ) = k x 3 ( t f 3 ) 一c l x 2 ( f ) 岛o ) = 一k i x 3 0 一l ) x i ( f ) + g l z 2 ( t q 2 2 ) 一h x 3 0 ) + v ( t ) 其中，r ，c ，k ，k 。，口，g 。，h 都是正常数。但是r “) 明显地依赖于物种个体内毒素的浓 度以及环境中介质毒素的浓度，而不应该是常数，故 v ( f ) = f ( x 2 ( f ) ，x 3 ( f ) ) 这样，完整的数学模型应为 i l ( t ) = r x i ( t ) 一“i ( t ) x l 【r f 1 ) 岛( f ) = k x 3 ( t t ) 一2 ( f ) 量3 ( f ) = 一k l 屯( t 一弓) x l ( t ) + g l x 2 0 f 2 ) 一h x 3 ( ) 十v o ) v ( t ) = ( 恐0 ) ，x ，( ，) ) 这是个含有多个时滞的连续广义系统。 例1 2 5 采用晶闸管整流装置的电动机速度控制系统，如果考虑晶闸管控制电 路的滞后，则系统的数学模型可以表示为 “l ( ，) = k ( “。( r ) 一u j ( ，) ) 姒归k 堕字+ g l ( f ) ) “3 ( t ) = k 3 “2 ( ，一，) ”：鼍鼬掷肿m o 0 o 0 o 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 乙塑掣+ ( f ) - k ( f ) 一k 。m a t 。 u ) ：( ，) “，( f ) = k ， 其中，世，k ：分别是放大器的比例系数：t = r c 是微分时间常数；巧是功率放大 器的比例系数：瓦，置。，及 t 是考虑齿轮系和负载后，折算到电动机轴上的等 效值；j 是齿轮系的速比；k 。是测速发电机比例系数；“。足给定电压；u f 是速度 电压。这是个含单个滞后的广义系统。工程中通常忽略晶闸管控制电路的时间 延迟，而根据需要将其表示成一个以为输入、翻为输出的状态方程5 ”。 1 3 区间离散广义系统鲁棒风控制的研究现状 自加拿人学者g z 于1 9 8 1 年提出以控制系统内某些信号间的传递函数的见、范 数为优化指标的设计思想以来，风控制理论的研究已取得了长足的进展，各种段 控制器的设计方法相继提出( 参见文献 5 9 6 2 1 ) 。 近年来，广义系统的e 。控制问题引起了人们的关注，文 4 8 】将正常系统昆，控 制中的卜谱分解方法推广到了广义系统；文1 6 3 得到了广义系统e 、控制问题可解 的充要条件是一组给定的矩阵不等式有解。对于离散广义系统的见，控制问题，其 基本思想是要设计控制器使得闭环系统正则、因果、稳定且满足一定的鼠、性能指 标。文 6 4 6 6 对离散，“义不确定系统的鲁棒镇定及离散广义系统的鼠，控制进行了 研究，得到了广义二：次可镇定的充要条什及其也状态反馈控制律。文f 6 7 对不确 定离散广义系统的鲁棒耽、控制进行了研究，文 6 8 1 对离散广义系统的静态输出反 馈f 控制进行了研究，得到了输出反馈控制器的显式表达式。刘晓东博士研究了 t - s 模糊广义系统的以控制以及相关问题陋舛；杨冬梅博士研究了广义系统的只优 化控制问题 7 0 j ，得到了离散广义系统的只最优控制器和次优控制器，以及只范数 界的一个矩阵不等式的充分条件。 在时滞广义系统的研究领域，近年来已取得了一系列的研究成果。谢湘生和 刘洪伟给出了时滞广义系统反馈镇定控制器设计的线性矩阵不等式方法】；杨帆 博上研究了时滞广义系统的鲁棒控制问题【72 j ；国内学者s h e n g y u a nx u ，比利时学 者p a u lv a nd o o r e n ，r a d us t e f a n 及香港学者j a m e sl a m 研究了具有参数不确定性 的时滞广义系统的鲁棒稳定性和鲁棒镇定问题1 7 ”；朱淑倩和程兆林则研究了系统 参数为不确定参数向量的多仿射矩阵值函数的不确定性时滞广义系统的鲁棒稳定 性和鲁棒镇定问题1 7 4 ；另外，文 7 5 1 对时滞广义系统的，曲状态反馈控制器进行了， 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 研究，文【7 6 博用l m i 方法对带有外干扰的滞后离散广义系统鲁棒巩控制进行了 研究文1 7 7 研究了广义离散时滞系统基于输出反馈的风控制，并给出了输出反 馈控制器的显式表达式。 系统参数的不确定性有多种，其中类不确定性口j 描述为系统参数矩阵的各 个元素在一些确定的区间内变化，这就是所谓的区间系统口“。文【7 8 对动态区间系 统的鲁棒稳定性进行了研究，苏晓明博士在其论文【79 1 中研究了将广义区间系统的 稳定性问题转化为一类广义不确定系统的二次允许和二次镇定问题，得到了广义 区间系统二次允许和二次镇定的充分必要条件，同时给出了控制器的实现算法， 解决了长期以来未能解决的镇定问题，并利用分散控制技术研究了系统的因果性 和稳定性，给出了广义离散周期系统具有状态因果性的充分条件和两类系统的稳 定控制器及其之间的关系；文1 8 0 研究了区间离散广义系统状态反馈鲁棒见，控制。 尽管如此，区问离散广义系统的研究目前仍处在起步阶段，在很多研究方向 还没有成熟的结果，例如：区间离散广义系统的输出反馈鲁棒f 控制，区间离散 时滞广义系统的鲁棒稳定性，区间离散时滞广义系统的状态反馈鲁棒圮，控制，区 间离散时滞广义系统的输出反馈鲁棒髓。控制等。 综上所述，区间离散广义系统的鲁棒皿、控制还处在理论研究阶段，目前几乎 未见到工程实际应用。但以它的广泛的工程背景，相信无