（应用数学专业论文）一类二阶哈密顿系统的周期解.pdf

东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 研究生签名： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 研究生签名：i 氢坠丝鲅导师签名：粒 摘要 本文主要目的是要获得下面二阶共振哈密顿系统周期解的存在性和多重性结果： ii i + m 2 w 2 u = v f ( t ，u ) 口e t 【0 ，t 】 l 也( o ) 一也( t ) = u ( o ) 一u ( t ) = 0 文中应用变分理论的一些方法和技巧，主要讨论了以下两个方面的问题：论文的第一部 分考虑了此哈密顿系统的次线性情况在这种情况下，应用鞍点定理获得了周期解的存 在性结果，又由多重临界点定理得到了此系统的多重周期解第二部分，则是讨论了位 势函数f 为二次增长的情况，由临界点定理，主要是鞍点定理和多重临界点定理，同样 可以获得此系统周期解的存在性及多重性结论 关键词：临界点，哈密顿系统，鞍点定理，s o b o l e v 不等式，极小极大方法，变分方法 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os t u d yt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n s f o rt h ef o l l o w i n gn o n - a n t o n o m o u ss e c o n do r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e ma tr e s o n a n c e ： 乱+ m 2 w 2 u = v f ( t ，u ) a e t 0 ，t 】 也( o ) 一也( t ) = u ( o ) 一u ( t ) = 0 a p p l y i n gs o m et e c h n i q u e sa n dm e t h o d si nv a r i a t i o nt h e o r y , w em a i n l yd i s c u s st h ef o l l o w i n g s e v e r a lp r o b l e m si nt h i sp a p e r ：i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h es u b l i n e a rc a s e f o ra b o v er e s o n a n c eh a m i l t o n i a ns y s t e m f o rt h es u b l i n e a rc a s e ，b ym e a l l so ft h es a d d l ep o i n t t h e o r e m ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n db ym u l t i p l ec r i t i c a lp o i n t st h e o r e m ，w e o b t a i nt h em u l t i - p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o ra b o v es y s t e m i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d ym o r eg e n e r a lc a 8 e ， t h a ti s ，u n d e rs o m eq u a d r a t i cc o n d i t i o n so nt h ep o t e n t i a lf ，s o m en e we x i s t e n c et h e o r e m sa r e o b t a i n e db yu s i n gt h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r e m k e y w o r d s ：c r i t i c a lp o i n t ，h a m i l t o n i a ns y s t e m s ，s a d d l ep o i n tt h e o r e m ，s o b o l e v si n e q u a l - i t y , m i n m a xm e t h o d s ，v a r i a t i o n a lm e t h o d s u 目录 第一章绪论 1 1 引言 1 2 临界点理论的主要结论 1 2 1 极小作用原理 1 2 2 极小极大原理 1 3 一些基本概念与基本结论 1 3 1 非线性泛函的微分学 1 3 2 变分问题的相关介绍 第二章临界点理论在h a m i l t o n 系统中的应用综述 2 1 引言 2 2 极小作用原理在二阶哈密顿系统中的应用综述 2 3 鞍点定理在二阶哈密顿系统中的应用综述 2 3 1 非共振系统中的应用， 2 3 2 共振系统中的应用 第三章次线性条件下二阶共振哈密顿系统的周期解问题 3 1 引言 3 2 主要结论 3 3 主要结论的证明 第四章二次增长性条件下二阶共振哈密顿系统的周期解问题 4 1 主要结论 4 2 定理的证明 参考文献 附录一致谢 2 4 2 4 2 4 3 1 3 3 1 1 l l 1 l，l 1 1 l l 2 4 4 5 8 8 9 1 l 2 5 5 5 6 第一章绪论 变分问题有着极为丰富的源泉从经典力学到场论，其中所研究的一切物质的运动 规律都遵从“变分原理”：即存在某个泛函使得对应的运动方程是它的欧拉方程因此， 求这些欧拉方程的解便化归为求对应泛函的临界点 许多微分方程都具有变分结构，且可以写成 c u = v u f ( x ，乱) ( 1 ) 的形式其中c ：v ( c ) ch _ 日为l 2 ( q ，r m ) ( qcr ，q 为r 中的有界区域) 的闭子空 间上的无界自伴算子f ：q r m r 为c a r a t h e o d o r y 算子且关于u r m 是c 1 的 在这个问题中，若对f 的增长性作适当要求，则对一个恰当的h i l b e r t 空间e ( e 嵌入日 中) ，问题( 1 ) 的弱解对应泛函妒：e r ，妒( 乱) = q ( u ) 一如f ( t ，u ) d t 的临界点其中q 是在 e 上关于算子l 的二次型 天体力学中质点的运动规律通常可以归结为一个非线性微分方程组，称为h a m i l - t o n ( 哈密顿) 系统，它是用来描述天体运动的轨道的哈密顿系统是既经典又现代的研 究领域，可以从不同的角度进行研究，是非线性分析的一个重要分支哈密顿系统的解 可分为：周期解，次调和解，同宿轨道，异宿轨道等由于哈密顿系统具有变分结构，因 此变分原理成为研究哈密顿系统的重要手段其主要内容有：极小极大原理，l j u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n n 理论，m o r s e 理论及指标理论 本文主要是通过变分方法来讨论一类二阶共振哈密顿系统的周期解的存在性与多重 性问题 1 2临界点理论的主要结论 1 2 1 极小作用原理 利用极小作用原理来判断一个泛函是否存在极值问题，在不同的背景下有不同的条 件和要求比如实直线上一个有下界的实变量连续实函数妒不一定有最小值，可以从指 数函数的例子中看出对于连续函数妒来说，对于妒的任意一个极小化序列 钍七 ，存在 实数u 使得9 ( u ) = i n f的充分条件是 乱七) 有子列收敛到“如果没有对妒适当的连续 1 2 东南大学硕士学位论文 假设，这个条件不是充分的，例如定义函数妒，妒= i x l ( x 0 ) 及妒( o ) = 1 ，虽然它的每一个 极小化序列都收敛到0 ，但取不到下确界0 为了使得妒( u ) = i n f 妒我们必须加强条件使得 类似于 ! i 望酞o c 妒( u 七) 妒( u ) 的不等式成立实际上只需下半连续就可以了，即当u 七一u 时，有 ! 迪七。妒( u 知) 妒( u ) 在数学分析中有定理：紧集上的连续函数必下方有界且达到下确界即在r 中，函数 的收敛的极小化序列的存在性等价于有界序列的存在性。由于变分学，最优化和数学物 理的需要有必要把这些结果推广到无穷维空间又因为自反的b a n a c h 空间的有界集是弱 列紧的，而以上领域中出现的空间大多是自反空间，通过引进弱连续的定义，就可以在 有界集上考虑许多重要的泛函的极值h i l b e r t 空间是一个自反的b a n a c h 空间，本文讨 论二阶微分方程周期解的存在性所用得极小作用原理就是在h i l b e r t 空间中应用的 定理1 2 1 【l l ( 极小作用原理) 设x 是自反的b a n a c h 空间，妒：x r 是弱下半连续 泛函若妒有一个极小化序列，则妒达到极小值 1 2 2 极小极大原理 众所周知，临界点未必是极值点，在具体问题中判定极值点的存在性条件，如泛函 的弱下半连续性，强制性都是很强的要求此外，对于不是极值点的临界点无法用极小 作用原理来判别近年来，有别于上述的求临界点的变分方法蓬勃发展特别是a m - b r o s e t t i ，r a b i n o w i t z 在1 9 7 3 年提出求临界点的山路引理同时对山路引理的研究，又引 发一系列更一般的极小极大定理极小极大定理是确定泛函临界点的基本手段之一，它 的依据是形变引理，即泛函在两个水平集之间没有临界点时，一个水平集可以形变收缩 到另一个水平集因此当两个水平集的拓扑性质不一样时，那么两个水平集之间必有临 界点由它可推出一些重要结果，如鞍点定理，山路引理等 定理1 2 2 【l 】( 鞍点定理) 设x 是一个b a n a c h 空间且x = x 一0 x + ，妒c 1 ( x r ) ， d i m x 一 m a x 妒( 咖) ，妒( u 1 ) ) 定理1 2 4 【2 】( 多临界点定理) 设x 是一b a n a c h 空间，c 1 ，r ) 是一偶函数，且 满足( p s ) 条件假设a 0 使得 s u p f ( x ) 口 这里f 上是f 的直交补空间， ( i i i ) m j ， 那么，至少有m j 对不同的临界点 3 4 东南大学硕士学位论文 1 3一些基本概念与基本结论 1 3 1 非线性泛函的微分学 本节主要是介绍无穷维b a n a c h 空间上非线性泛函的连续和微分概念由于b a n a c h 空间具有很多不同的拓扑，或者更通俗的说，其具有不同的收敛性，如按照范数收敛或 弱收敛等，由此可导出许多不同的连续性，而根据具体问题采用适当的连续性常常会带 来很大的方便我们可以把有限维欧氏空间中的微分和方向导数的概念推广到无穷维空 间上的非线性映射，然而不同的是，非线性映射在某点处的“导数”变为了有界线性映 射设x ，y 是实线性赋范空间，u 是x 中的开集 定义1 3 1 称映射，：u _ y 在x 0 u 处沿着h x 方向是g a t e a u x 可微的或弱可 微的，如果极限 d f ( 删= 枷l i m 丛掣 存在称d i ( x o ；h ) 为，在x 0 处沿h 方向的g a t e a u x 微分 定义1 3 2 称映射，：u _ y 在x 0 u 处是f r e c h e t 可微的，如果存在有界线性算子 a l ( x ，y ) 使得当h x ，x o + h u 时有 ，( z o + h ) 一s ( z o ) = a h + w ( x o ，h ) 其中伽( z o ，h ) = o ( 1 l h l l ) ，即 勰秽= 。 i i o l i n l i 若，在矿上处处都f r e c h e t 可微，则称，在矿上是f r e c h e t 可微的，此时，称 a ( x ) 为，在矿上的导算子再若a ( x ) 在u 上是连续的，则记为，c 1 ( u jy ) 如 ，( u ) = 片( ；i 也( z ) 1 2 一y ( z ，乱( z ) ) ) 如c 1 ( 形r ) ( 其中u w 1 , 2 ( 口j6 】已) v ( z ，u ( z ) ) c ( 【口，b 】r ，r ) ) 定义1 3 3 设x 是一个b a n a c h 空间，称x n 弱收敛到x ，记x n z 是指对任意，x 都有l i m n ，o 。，( z n ) = ，( z ) ，这时x 称作点列x n 的弱极限 定义1 3 4 令x 是一个赋范空间，对于妒：x r 的一个序列( u 惫) ，如果 u 七_ u 号l i m 妒( u k ) 妒( u ) ( u 七一u 令l i m 妒( u k ) 妒( u ) ) 则称妒是下半连续的( 弱下半连续的) 第一章绪论 其基本性质有： 1 ) 两个( 弱) 下半连续泛函的和仍是( 弱) 下半连续的 2 ) ( 弱) 下半连续泛函与一个正常数的积仍是( 弱) 下半连续的 5 我们可以很容易证明在利用现代变分理论讨论二阶哈密顿系统各种轨道存在性的过 程中经常用到的泛函1 1 ( u ) = j ：v ( x ，u ( z ) ) 如是弱连续的，而，( u ) = e ( l 也( z ) 1 2 一v ( x ，u ( z ) ) ) 如 是弱下半连续的 ( 其中u w 1 , 2 ( 【n 6 】，r ) ，v ( x ，乱( z ) ) c ( 【o ，b 】r ，r ) ) 定义1 3 5 设x 是赋范空间， qcx ，妒是q 上的实泛函，若存在z n q ，使得 妒( z n ) _ i n f x n 妒( z ) ( n _ o o ) ，则称【z n ) 是妒的极小化序列 定理1 3 1 【3 】设d 是实b a n a c h 空间x 中的某凸集，f ( x ) 是d 上的泛函，且 g r a d f ( x ) = f ( z ) ，z d 如果f ：d x + 是紧算子，则f ( x ) 在d 上必是弱连续的 借助于弱下半连续的概念，可以给出变分问题的解的存在的一个充分条件 定理1 3 2 【3 l 如果妒是自反b 空间上的下半弱连续泛函，且有一个有界极小化序列， 那么妒在x 上存在一个极小值 进一步，当妒强制即 妒( u ) 一+ o 。( 1 l u l i 一。) 时，可保证有界极小化序列的存在性 定义1 3 6 ( ( p s ) 。条件) 令妒：x r 是可微的，称妒满足( p s ) 。条件：对所有的 u x ，满足妒( u 七) _ c ，妒7 ( u k ) 一0 成立，可推出c 是妒的一个临界值 定义1 3 7 ( ( p s ) 条件) 令妒：x r 是可微的，称妒满足( p s ) 条件：对所有的 c ，( p s ) 。条件成立 1 3 2 变分问题的相关介绍 假设x 为一个赋范空间，为了求得算子方程 妒7 ( u ) = 0 的解，可以归结为求妒的一个局部极小值或极大值，其中妒：x r 定理1 3 3 1 1 假设x 是一个赋范空间，如果西：x r 可微，则任意极大或极小点 u 满足算子方程 西7 ( u ) = 0 6 东南大学硕士学位论文 除了极值点外，泛函的临界点还有其它类型，如鞍点等现代变分法主要研究对象 就是泛函的临界点，它之所以如此重要，关键在于在一定条件下，临界点就是泛函所对 应方程的经典解在一定的条件下，研究方程边值问题的弱解可以转化为研究相应泛函 的临界点，从而临界点。弱解和经典解三者达到统一 引理1 3 1 【1 1 令卵为r _ r n 上的无穷次可微t 周期函数构成的集合令仳，口 l ( o ，t ；r n ) ，如果对任意的f 叩， 小) d t - - - - 2 似巩邢眦 ( 1 3 - 1 ) 成立，则有 | v ( s ) d s = 0 ， 且存在常数c 舯，使得对n e t 【0 ，t i 有 u ( t ) = v ( s ) d s + c 满足式( 1 3 1 ) 的函数称为u 的一个弱导数而且若弱导数存在则是唯一的牡的弱导数 还记作也 令1 p 。，记 略p = u ：【o ，卅一r l u 绝对连续，且u ( o ) = u ( t ) ，也汐( o ，t ；r n ) ) 为s o b o l e v 空间，其上的范数定义为 l i u l l w ；一( z 2 ( i u l p + i p ) 蛳1 ， 则易证噼p 是一个自反的b a n a c h 空间且呀q 噼” 记空间略2 为磷且定义空间上的内积为 r t ( ( u ，u ) ) = 【( u ( t ) ， ( t ) ) + ( 也( t ) ，6 ( t ) ) l d t 相应的范数为f i u | i 阱= ( 譬( i 札( t ) 1 2 + 1 6 ( 0 1 2 ) 出) i 1 另外定义下面的范数 1 1 u 1 1 l ，：( 厂l u ( t ) l p 出) i 1 删一t 【o m a x 卅l u ( 。) i 定理1 3 4 【1 1 若t l 珥且口乱( t ) 出= 0 ，则 舢圳z d t c 票，n 圳2 砒 第一章绪论 7 ( w i r t i n g e r 不等式) ( s o b o l e v 不等式) 训蚓嘉) 小阳 定理1 3 5 【1 】令l ：【o ，t ixr r _ r ，( t ，z ，可) _ l ( t ，z ，) 对任意的( z ，3 ，) 酞xr n 关于t 是可测的，对n e t 【0 ，t 】关于( z ，) 是连续可微的如果存在口c ( r + ，r + ) ，b 1 ( o ，t ；r + ) ，c l q ( o ，t ；r + ) 其中1 p 0 ，u = 筝及m z + f ：【o ，t 】r _ r 满足下面的假设： ( a ) f ( t ，z ) 对于任意的z r 关于t 可测，对于a e t 【0 ，t 】关于z 连续可微 而且存在o ( z ) c ( r + ，r + ) 及6 ( z ) l 1 ( r + ，r + ) 使得 l f ( t ，z ) i a ( 1 2 1 ) b ( 0 ，i v f ( t ，z ) i n ( 1 z i ) 6 ( t ) ， 对比腿和a e t 【0 ，列成立，其中r + ：= 0 ，+ 。o ) 显然，问题( h s ) 是具有变分结构的系统，且方程对应的变分泛函如下： 咖) = 打酢炉出一掣o ti 酢) j 2 d t + o 丁阮) ) - 刚眦 ( 2 1 1 ) 那么，方程( h s ) 的求解问题就转化为求变分泛函( 2 1 1 ) 在h i l b e r t 空间砩上的临界点 问题，其中珥= u ：【0 ，t 】一r ju 绝对连续，且u ( o ) = u ( 丁) ，也l 2 ( o ，t ) ) ，并且具有范 数 l l u l i = ( i 疵( ) 1 2 d t + i 牡( t ) 1 2 班) i 1 特别地，如果妒在空间阱上达到极小值，则对应的方程( h s ) 有周期解 换而言之，求解方程( h s ) 的周期解问题就可以转化为研究变分泛函在h i l b e r t 空间 珥上的极小值问题根据参考文献1 可知，在条件( a ) 的假设下，( 2 1 1 ) 中的泛函在 空间砩上是弱下半连续的因此，由极小作用原理可知，只要妒有一个有界的极小化 序列就能保证它达到极小值再根据泛函分析的基础知识可知，只要妒是强制的( 即：当 i _ o 。时，妒( u ) _ + 。o ) ，就能推出妒的每一个极小化序列都是有界的因此，给出不 同的条件来保证泛函妒的强制性是得到有界的极小化序列的关键 注2 1 【4 】一般地，对于二阶哈密顿系统( 日s ) ，当m = 0 时，我们称之为非共振系统； 当m 0 时，称系统( h s ) 为共振系统 8 第二章临界点理论在h a m i l t o n 系统中的应用综述 9 2 2极小作用原理在二阶哈密顿系统中的应用综述 在1 8 9 2 年，文献【5 】开始用变分方法研究二阶非共振哈密顿系统，作者考虑了n = 1 且( h s ) 是自治系统的情形，得到了系统( h s ) 的周期解到1 9 1 5 年，文献 6 】推广了【5 】 的结果，将文献【5 】的工作推广到了非自治的二阶非共振哈密顿系统后来由于极小作用 原理的发现，人们开始对f 提出某种强制性条件，从而利用极小作用原理，得到二阶非 共振哈密顿系统的周期解具体情况如下： 1 9 7 7 年文献 7 】应用极小作用原理得到了如下定理： 定理2 2 1 【7 】设f 满足条件( a ) ，且当一o 。时，f ( t ，z ) _ + o o ( 对a e t 0 ，列) ) ， 则二阶非共振哈密顿系统( h s ) 至少有一个周期解使得妒达到极小值 之后，在1 9 8 9 年，j m a w h i n 和m w i l l e m 在文献【1 】中将以上定理推广为 定理2 2 2 【上】设f 满足条件( a ) ，且当一0 0 时，f ( t ，z ) 一+ ( 对a e t 【0 ，丁】) ， 如存在e l 1 ( o ，t ；r ) 满足ge ( t ) d t = 0 ，则系统 = 臻 - 啦蔷。蚓0 ，卅， ( u ) = 互1z ti 也( 圳2 疵+ o t f ( t ，u ( t ) ) + ( e ( 班u ( t ) ) 】班 达到极小值 1 9 9 6 年，文献【8 】进一步将1 中的结果推广为 定理2 2 3 8 】假设f = f 1 + 恳满足条件( a ) ，且当_ 。o 时，f 1 ( t z ) 一+ 。o ( 对 a e t 0 卅) 若存在g l 1 ( o t ；r + ) 及实数g o 使得 l v 尼( t ，z ) j g ( t ) v x r 和a e t 【0 ，丁】， 及 倍局( t ，x ) d t g o 比r n 和a e t 【0 ，砷 则二阶非共振哈密顿系统( h s ) 至少有一个周期解使得妒达到极小值 定理2 2 4 8 l 假设f 满足条件( a ) ，且当一。o 时，启f ( t x ) d t _ + 。c 如果f ( t ) 对a e 【0 ，t 】还是凸的，那么二阶非共振哈密顿系统( h s ) 至少有一个周期解使得妒 达到极小值 注2 2 存在函数f 满足定理2 2 3 ，但不满足定理2 2 2 和定理2 2 1 例如，假设 和 f l ( t ，u ) = l n ( 1 + l u l 2 ) 晰，= - ( 1 + l u l 2 ) s 1 裂邮1 1 0东南大学硕士学位论文 显然，当t ( o ，；) 时，若i u i _ 。，则f ( t ，u ) = f l ( t ，u ) + f 2 ( t ，乱) _ 一。 与此同时，利用极小作用的方法，对f 的增长次数进行推广也是很重要的一个研究 课题具体来说，1 9 8 9 年，在文献 1 】中，作者对f 提出了以下的增长条件； 存在函数9 ( t ) l 1 ( o ，t ；r + ) 使得 v f ( t ，z ) is 夕( t ) 此条件被称为有界非线性条件，后来，条件( 2 2 2 ) 被推广为以下的次线性条件： 即存在函数，( t ) ，g ( t ) l 1 ( o ，t ；r + ) ，q 【0 ，1 ) 满足 v f ( t ，z ) j f ( t ) l z l a + g ( t ) ， 对所有的z r 和a e t o ，t 】成立 最近，次线性条件有了一个重要的推广，即对于q = 1 的情形： 存在，( t ) ，g ( t ) l 1 ( o ，t ；r + ) 使得 v f ( t ，z ) i f ( t ) l x i + 夕( t ) ， 对所有的z r 和a e t 【0 ，t 】成立具体的有以下结果： 考虑二阶非共振哈密顿系统( h s ) ，文献【1 】得到了 定理2 2 5 1 】假设f 满足条件( a ) 和( 2 2 2 ) ，且当川一0 0 时， f ( t ，z ) 出_ + 。o ， ，0 n - - 阶非共振哈密顿系统( h s ) 至少有一个解使得妒达到极小值 1 9 9 8 年文献【9 】将以上定理推广为 定理2 2 6 9 】假设f 满足条件( a ) 和( 3 2 1 ) ，且当_ o c 时， ，t i z l - 2 a f ( t ，x ) d t _ + o o ， ，0 n - - 阶非共振哈密顿系统( h s ) 至少有一个解使得妒达到极小值 2 0 0 4 年，文献 1 0 】将其推广为a = 1 的情形 定理2 2 7 1 1 0 1 假设f 满足条件( a ) 和( 2 2 4 ) ，且当_ 。c 时， z i 一2f o tf ( t ，z ) d r + 。o ， 则二阶非共振哈密顿系统( h s ) 至少有一个解使得妒达到极小值 注2 3 存在函数满足定理2 2 6 但不满足定理2 2 5 ，例如，假设 f ( t ，u ) = ( 吾t t ) l u i + ( 危( t ) ，u ) ， ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 7 ) 其中h 利 点定理 2 3 1 首 1 9 定 或 n - - 阶非共振哈密顿系统( h s ) 至少有一个周期解 注2 3 在此定理中，很显然，f 只要满足条件( 2 3 8 ) ，不一定要满足强制性条件( 2 2 5 ) ， 也能得到二阶非共振哈密顿系统( h s ) 有周期解从这点讲，鞍点定理比极小作用原理更 具有广泛性 后来，t a n g 在文献【1 1 】中考虑了一个更一般的情况，即将有界非线性条件( 2 2 2 ) 推 广到了次线性条件( 2 2 3 ) 他得到了以下更一般的定理 定理2 2 g 1 1 假设f 满足条件( a ) 和( 2 2 3 ) ，且当_ o 。时 ，t i x i q a f ( t ，z ) 沈_ + 。 ，0 或 ，r 蚓_ 2 口f ( t ，x ) d t 一一。o ， - ，0 n - 阶非共振哈密顿系统( h s ) 至少有一个周期解不仅如此，如果f 满足以下条件， 即存在6 0 ，s 0 和一个整数k 0 使得 一寺( 七+ 1 ) 2 叫2 i u l 2 f ( t ，u ) 一f ( t ，o ) ，vo r ，口e t 【o ，t 】， 和 一去后2 ( 1 + s ) u 2 i u i 2 f ( t ，u ) 一f ( t ，o ) ，vi t 正l 6 ，a e t 【0 ，t 】， 利用环绕定理，作者证明了二阶非共振哈密顿系统( h s ) 在磷中至少有两个不同的解 最近，z h a o - w u 在文献f 1 2 】中考虑了线性的情况，即当a = 1 时，二阶非共振系统 的周期解的存在性，即 。 1 2东南大学硕士学位论文 定理2 2 1 0 1 1 2 1 假设f 满足条件( a ) 和( 2 2 4 ) ，且当_ o o 时， z i 一2 o tf ( t ，z ) d t - - * + 。o 或 一t i z l 一2 o f ( 亡，z ) d t _ + 一0 0 则二阶非共振哈密顿系统( h s ) 在珥中至少有一个周期解而且，如果存在r 0 ，e 0 使得 一pj u l 2 f ( t ，) 一( 王，+ e ) j uj 2 ，vj t l , i ，口e t 【0 ，卅， 其中i 2 w 2 k 2 ，肛i 2 ( k + 1 ) 2 u 2 ( 对于某些整数k o ) ，利用环绕定理，作者还证明了 二阶非共振哈密顿系统在磷中至少有两个不同的周期解对于那些有不同的非线性假 设的非共振二阶系统，可以参考【3 ，8 - 1 2 】 2 3 2 共振系统中的应用 下面介绍一些二阶共振系统的结果，到目前为止，这方面的结果还不多 m a w h i n - w i l l e m 首先在文献【1 】中证明了以下定理 定理2 2 1 1 1 假设f 满足条件( a ) 和( 2 2 2 ) ，且当la 6 ) i - - - - + o 。时，有 f ( t ，a c o s r n m t + b s i n m m t ) d t 一+ o o 或 f ( t ：( 2 c o s r a w t + b s i n m w t ) d t 叫一。 成立，n - - 阶共振哈密顿系统( h s ) 在珥中至少有一个周期解 后来，1 9 9 8 年，t a n g 在文献【1 3 】中，考虑了非线性项f 是某一类特殊函数的情型， 并且在此情况下推广了定理2 2 i i ，即考虑系统 ( 日s ) 祝+ m 2 叫2 乱+ 9 ( u ( t ) ) = ( t ) ， 口e t 【。_ r 】 i 血( o ) 一6 ( t ) = u ( o ) 一u ( 丁) = 0 ， 令 b ( z ) ： i 2 j 。x9 ( 可) d y - g ( z ) z o ； l 夕( o ) ， z = 0 ， 且b ( 一o o ) = l i ms u p z 一o ob ( z ) ，b ( + o o ) = l i ms u p = + 。ob ( z ) t a n g 在文献【1 3 】中证明了以 下的两个定理 。 第二章临界点理论在h a m i l t o n 系统中的应用综述 定理2 2 1 2 1 1 3 1 假设g c ( r ，r ) 和危( t ) l i ( o ，t ) ，且满足条件 l i m 盟：o ： i z i o o x ( tf o rh ( t ) s i n 删t 砒) 2 + ( 亍1 上t ( t ) c 。s 删t 出) 2 p ；1 ( b ( + 。o ) 一b ( 一o 。) ) 则系统( h s 4 ) 在珥中至少有一个周期解 定理2 2 1 3 1 1 3 1 假设g c ( r ，r ) 和危( t ) l i ( o ，t ) ，且满足条件 1 i m 盟：o ： l z l - o o x 和 ( tf o th ( t ) s i n 删t 出) 2 + ( ；z t ( t ) c 。s t 出) 2 p 0 使得 盹z ) 一她。) s t a w 2 l z l 2 , - vi z i p ，口e t 【。，t 】， ( 3 2 2 ) 1 5 r b町 七2 一m 2 那么问题( h s ) 在珥中至少存在k m 对周期解 注3 1 1 在文献【4 】中，h a r t 在条件( 3 2 1 ) 中假设f ，g l 2 而得到了系统( h s ) 在 日；中有一个周期解而本文仅须f ，g l 1 ，并且文 4 】没有得到系统( h s ) 的多重解的结 论同时还可以看到定理3 1 1 的周期解的存在性一般化了m a w h i n w i l l e m 在文【1 】中的 结论事实上，可设q = ；， fct，z，=(2；tt一3-功kt)降x警，lxizli11 那么函数f ( t ，z ) 满足定理3 1 1 的条件，但不满足【1 】中条件 在( 3 2 1 ) 中令f ( t ) = 0 ，我们有 推论3 1 1 设f ( t ，z ) 满足假设( a ) ，且条件( 2 3 1 1 ) 或( 2 3 1 0 ) 成立若存在g ( t ) l 1 ( o ，t ；r + ) ，使得对于vz r 及口e t 【0 ，引，有l v f ( t ，z ) l 夕( t ) ，则问题( h s ) 在珥 中至少有一周期解另外，如果对于a e t 【o ，t 】f ( t ，z ) 关于z 还是偶函数，且对每一个 正整数k m ，存在p 0 使得 f ( t ，z ) 一f ( t jo ) 一半l z l 2 ，vl z isbn e t 【o ，t 】， 其中入 k 2 一m 2 那么问题( h s ) 在珥中至少存在后一m 对周期解 注3 1 2 有很多函数满足定理3 1 2 ，如 例1 ：设q = f ( t ，z ) ： 筝一i z 悸， i z i 1 l u 2 i z l 2 + ( 2 2 + 孚一警) i z f 4 一( u 2 + 百5 t 一等) f z f 6 ，i x l 1 例2 ：设q = ； f ( t ，z ) ： 一咖2 川叫毛 k i 1 1 i - - o a i - 2 w 邮+ ( 4 u 2 一警) 入坩一( 2 u 2 一剐z 1 6 ，i x l 1 3 3主要结论的证明 根据假设( a ) ，在砩上定义的泛函妒： 妒( u ) = 互1z tl 也( t ) 1 2 出一m 2 u ) 2 o ti u ( ) 1 2 巩+ 0 t 【f ( t ，仳( t ) ) 一f ( t ，。) 】砒 第三章次线性条件- f = 阶共振哈密顿系统的周期解闻塑 1 7 是连续可微的且弱下半连续其证明可以在【9 】中找到，这里就省略了显然有 ( 驴( u ) ，u ) = o t ( 也( t ) ，心( t ) ) d t + o t ( v f ( t ，u ( t ) 一仇2 u 2 札( t ) ，口o ) ) 疵 对所有的u 磷众所周知，妒的临界点对应于问题( 日s ) 的解 为了证明方程( 日s ) 至少有一解，必须用到鞍点定理所以我们先证明下面两个引 理 引理3 2 1 议妒是由( 2 1 1 ) 绀出明征疋埋3 l 1 明杀1 午卜，伺当u 爿。且i l u l i _ o o 时，妒一+ 。o ，而当u h 一且l _ 。时，妒一一o o 证明：对于u 日+ ，由条件( 3 2 1 ) 及s o b o l e v 不等式得； z t 【f ( t ，u ( t ) ) 一f ( t ，。) 】出= o ? z 1 ( v f ( t ，s u ( t ) ) u ( t ) ) d s 出 一去z t ，( 圳u ( 圳a + 1 出一t g ( 圳u ( 驯疵 一扣学f 弛) 出刈u f o t g 砒 一c ( 厂t1 4 0 1 2 出) 学一c ( ( t ) 一c ( 2 出) 字一c ( - | 也( t ) 1 2 出) 设u 1 = 等则 出) l 2 舢圳2 n 2 彬j o ti 绯) 1 2 d r - c ( f 。t 瞰圳2 矿- c ( 知圳2 彬 = 等( 歹2 一m 2 ) ( 1 a j l 2 + i 幻1 2 ) 一c 【( j 2 ) ( i 1 2 + i b l 2 ) 】孚 j = m + l j - - - - m + l c 【0 2 ) ( i 叼1 2 + i 幻1 2 ) 】1 2 j = m + l 显然，存在0 一 幻 + 町 m 一 一 v b + 町 (1 一 【， 一 1 8 因此，当 类似地， ，t 旷 ，0 那么， u 对 妒( u ) 百w 1 - 4 - c ( t a i l 2 + i 如1 2 ) 】 + c l 口0 1 1 + a + c l o o i = - 三m 2 w x ( 1 a o l 2 + i b o l 2 ) 】+ c | n o l l 佃+ c l a o l + 等( 歹2 一m 2 ) ( i 叼1 2 + 晰) ， 。j = l m - 1m - 1 + c 【j 2 ( 1 a j l 2 + 吲2 ) 】半+ c 【j 2 ( 1 a j l 2 + 吲2 ) 阵 同样，存在t 0 使得 出) 【一l m 2 w l ( 1 a o l 2 - 4 - i b o l 2 ) 舭a + c 一p 警m 驴- 1 ) ( 1 计埘) 因此当u 日一且0 u | i o o 时，妒一一o o 引理3 2 2 在定理3 1 1 的条件下，在砩中的每个序列 u 七) ，若能使得v 妒( u k ) 一0 且妒( u ) 有界，则此序列一定包含收敛子序列 半 川b + 吩 “ d + 勺b + 叼 勺 m u j = 匹芦 幻 + 町 触 d + 宁 幻 + 吁 j 芦 d + 第三章 证明：由条件( 3 2 1 r t j o ( v p ( t ，仳七( t ) ) ，u j ( t ) 一 r tf t， c ( 帆( t ) 1 2 班) 号( ! 雠( t ) 一