安徽省“江南十校”2025-2026学年高二12月阶段联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省“江南十校”2025-2026学年高二12月阶段联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知过两点的直线的倾斜角为，则实数的值为（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】因为过两点的直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，所以，解得．故选：B．2.已知空间向量，若，则（）A.-2 B.-3 C.2 D.3【答案】D【解析】由，有，则，解得．故选：D．3.已知双曲线经过点，则的虚轴长为（）A.4 B.2 C. D.2【答案】A【解析】由点在双曲线上，得，解得，即双曲线方程为，则的虚轴长为．故选：A．4.圆与圆的公切线有（）A.4条 B.3条 C.2条 D.1条【答案】C【解析】圆，圆心，半径.圆16，圆心，半径.所以，则，则两个圆相交，所以两圆的公切线有2条．故选：C．5.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（）A.6 B.8 C.4 D.4【答案】B【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，依题意可知抛物线过点，所以，解得，所以抛物线方程为，所以当时，，解得，所以当水面下降后，水面的宽度为．故选：B．6.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，设，所以，解得，则，则以为基底时的坐标是．故选：D．7.已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，圆的圆心为，半径，圆心到直线，即的距离，由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，得，即，解得或．故选：C．8.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若的重心在直线上，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，，则，两式相减得：，所以因为，所以.又的重心为，且重心在直线上，所以.所以，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线，动直线，则（）A.当时，不经过第一象限B.经过定点C.对任意的，直线与都不重合D.对任意的，直线与都不垂直【答案】AB【解析】对于A，当时，的方程为，经过第二、三、四象限，A正确；对于B，，由得，B正确；对于C，当时，，与重合，C错误；对于D，当时，两直线垂直，D错误．故选：AB10.下列关于曲线的描述正确的是（）A.曲线关于原点对称B.曲线关于直线对称C.曲线上只有两个整点（横、纵坐标均为整数的点）D.曲线所围成的图形的面积小于16【答案】AD【解析】把曲线中的换成，方程仍为，所以曲线关于原点对称，故A正确；把曲线中的换成，方程变为，所以曲线不关于直线对称，故B错误；曲线上的整点有，故C错误；由可得，所以所以曲线所围成的图形的面积小于，故D正确．故选：AD．11.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为与的交点，是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.B.在上的投影向量的模长为定值C.存在点，使得平面D.点到直线的距离的范围是【答案】ABD【解析】对于A，，故A正确；对于B，因为，所以在上的投影向量为，其模长为定值，故B正确；以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，.设．对于C,，设平面的法向量为，则，令，则，从而，若平面，则，显然与不平行，故不存在，故C错误；对于D，点到直线的距离为，由知．故点到直线的距离的范围是，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为___________．【答案】5【解析】因为抛物线方程为，所以.由，故．故答案为：513.已知四棱柱的底面是矩形，，为棱的中点，则___________．【答案】【解析】由题意可得，，，.故答案为：14.已知过点的直线交圆于两点，且，则满足条件的所有直线的斜率之和为___________．【答案】12【解析】如图，设中点为，因为，所以则，又，所以，从而，两式相减得，从而，从而，设直线的方程是，即，从而，即，，所以直线的斜率有两解，由根与系数关系可知斜率之和为12．故答案为：12.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知直线经过点．（1）若直线不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若直线与平行，求直线的方程，并求与之间的距离．解：（1）由直线不过原点，设直线的方程为，则有，解得，即直线的方程为.（2）因为直线与平行，所以设直线方程为，又直线经过点，所以，所以，所以直线的方程为与之间的距离为.16.已知圆经过点和，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）过点作圆的切线，求切线方程．解：（1）因为圆心在直线上，所以设圆心.因为圆经过点和，所以，所以，解得，所以圆心为，半径，所以圆的标准方程为.（2）因为，所以点在圆外.设过点的直线为，当斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，所以不是圆的切线；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，所以，整理得.解得或，所以切线方程为或.17.在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）若轨迹上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围．解：（1）因，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，设轨迹的方程为，则，可得，所以轨迹的方程为.（2）设轨迹上存在不同的两点，且两点关于直线对称，可得的中点为，，则，两式相减得，因为，所以，可得，即，因为，所以，因为，所以，由于点必在内，故有，解得，所以实数的取值范围为.18.如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面．．（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）若点在上，且．（i）当时，求到平面的距离：（ii）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由平面平面，平面平面，平面，得平面.因为，平面，所以．又四边形为直角梯形且，则，故两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，显然是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，取，从而，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.（2）因为，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，从而.（i）当时，，从而到平面的距离为.（ii）假设存在满足题意，与平面所成角为，则.化简得，解得或．故存在或，使得与平面所成角的正弦值为.19.已知双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，直线与双曲线交于不同的两点．（1）求的方程；（2）若直线斜率为1，双曲线的左焦点为，点，为线段的中点，若．求直线的方程：（3）已知，，若，在双曲线的右支上，直线过点，直线与直线交于点．证明：直线恒过定点．（1）解：由双曲线的一条渐近线方程为，所以，由到渐近线的距离为，得，故双曲线的方程为.（2）解：由（1）得．设直线的方程为.联立，得