（一般力学与力学基础专业论文）闭环多体系统约束反力的求解.pdf

大连理工大学硕十学位论文 摘要 闭环多体系统约束反力的求解是多体系统动力学研究中最重要的任务之一。从切断 铰的选择到约束方程的建立到最后约束反力的求解，都存在着很多不同的意见。本课题 的主要任务是找到自动生成切断铰的方法，按照铰的类型推导约束方程，求解含有闭环 的多体系统中的约束反力。 在多体系统动力学的研究中，闭环多体系统的研究受到了众多学者的重视，除了关 注系统的运动学特征之外，求解铰的约束反力对系统整体的刚度、强度和寿命的分析有 着至关重要的意义。若闭环多体系统含有冗余约束，即使系统运动学唯一，但约束反力 仍然不能唯一确定，这就给分析系统整体的强度等带来了困难。找到一个能够唯一确定 系统中约束反力的方法可以为后续的研究打下基础。 本文分为四个部分：首先，综述了多体系统动力学的发展概况和闭环多体系统约束 反力现有的解法。然后，在对前人提出的关于切断铰处理方法的基础上，针对闭环多体 系统，给出一个通过动态搭建系统拓扑结构来自动生成切断铰，同时将系统中的物体和 铰按规则进行标号的方法，并用程序实现上述方法。在此基础上，引入正交补轴的概念， 按照约束的方式和铰的类型推导几种典型铰的约束方程。最后，给出判断系统是否含冗 余约束的判断准则，讨论冗余约束对系统运动学和约束反力的影响，求解闭环多体系统 的约束反力。 研究结论：本文提出的自动生成切断铰的方法仅需要输入铰及其所连接的物体的标 号，就能够自动判断出切断铰并对其规则标号，进而对系统中的物体和铰进行规则标号。 推导了几种典型铰的约束方程，从而复杂类型的铰的约束方程可由这几种组合得出。给 出通过系统约束雅可比矩阵的行相关性来判断系统是否含有冗余约束的判断准则。通过 理论证明了冗余约束不影响系统的运动学特征，但会使约束反力不能唯一确定。对于含 有冗余约束的多体系统，若要求解约束反力，即使系统中的物体为刚体或弹性变形非常 小，也必须将其看作柔体，这样才能得到唯一解。 关键词：闭环；多体系统；约束反力；切断铰；冗余约束； 闭环多体系统约束反力的求解 t h es o l u t i o no fc o n s t r a i n tf o r c eo fm u l t i b o d ys y s t e mw i t hc l o s e d l o o p s a b s t r a c t t h es o l u t i o no fc o n s t r a i n tf o r c eo f j o i n t si nm u l t i b o d ys y s t e mi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t t a s k so fd y n a m i c so f m u l t i b o d y s y s t e m t h e r ea r em a n yd i f f e r e n tv i e w p o i n t so ne i t h e rs e l e c t i o n o fc u t o f f j o i n t so rc o n s t r u c t i o no fc o n s t r a i n te q u a t i o no rs o l v i n gt h ec o n s t r a i n tf o r c e p r i m a r y p u r p o s e so ft i f f sp a p e ra r et os e e kf o ram e t h o do fs e l e c t i n gt h ec u t - o f f j o i n t sa u t o m a t i c a l l y ，t o d e r i v ec o n s t r a i n te q u a t i o na c c o r d i n gt ot h et y p eo f j o i n t s ，a n dt os o l v et h ec o n s t r a i n tf o r c eo f j o i n t si nm u l t i b o d ys y s t e m i nt h er e s e a r c hf o rd y n a m i c so fm u l t i b o d ys y s t e m ，t h es t u d ya b o u tm u l t i b o d ys y s t e m 谢t h c l o s e d l o o p sa t t r a c t sm a n ys c h o l a r s i na d d i t i o nt ot h ea t t e n t i o nt ok i n e m a t i c so fm u l t i b o d y s y s t e m ，c o n s t r a i n tf o r c eo f j o i n t si nm u l t i b o d ys y s t e mi sq u i t es i g n i f i c a n tt or i g i d i t y ，i m e n s i t y a n dl i f e t i m eo ft h ew h o l es y s t e m i ft h em u l t i b o d ys y s t e mc o n t a i n sr e d u n d a n tc o n s t r a i n t ，t h e c o n s t r a i n tf o r c ec a l ln o tb ed e t e r m i n e du n i q u e l y ，e v e nt h o u g ht h ek i n e m a t i c so fm u l t i b o d y s y s t e mi su n i q u e t h a t sq u i t ed i f f i c u l tt ot h ea n a l y s i st h ei n t e n s i t yo f t h ew h o l es y s t e m t of r e d am e t h o dt os o l v et h ec o n s t r a i n tf o r c eo f j o i n t si nm u l t i b o d ys y s t e mu n i q u e l yi st h eb a s i so f f a r t h e rs t u d y i nt h i sp a p e r , f i r s t l y , t h ed e v e l o p m e n to fd y n a m i c so fm u l t i b o d ys y s t e ma n da v a i l a b l e s o l u t i o no fc o n s t r a i n tf o r c eo fj o i n t sa r ei n t r o d u c e d s e c o n d l y ，b a s e do nt h ep r e v i o u ss t u d i e s a b o u ts e l e c t i o no fc u t - o f fj o i n t s ，o na c c o u n to ft h em u l t i b o d ys y s t e mw i 廿1c l o s e d l o o p s ，a m e t h o do fs e l e c t i n gt h ec u t o f fj o i n t sa u t o m a t i c a l l yb ym e a n so fs t r u c t u r i n gt h et o p o l o g i c a l s t r u c t u r ea n dl a b e l i n gt h eb o d i e sa n dj o i n t si ns y s t e mr e g u l a r l yi sp r o p o s e di nt h i sp a p e r a n d t h em e t h o di sp r o g r a m m e dr e c u rt om a t l a b t h i r d l y ，b a s e do nt h ec o n c l u s i o n ，c o n s t r a i n t e q u a t i o n so fs e v e r a lt y p i c a lj o i n t sa r ed e r i v e d f i n a l l y ，t h es t a n d a r do f j u d g i n gt h em u l t i b o d y s y s t e mt oc o n t a i nr e d u n d a n tc o n s t r a i n to rn o ti sp r o p o s e d t h et h e s i sd i s c u s s e st h ，ei n f l u e n c eo f r e d u n d a n tc o n s t r a i n tt ok i n e m a t i c sa n dc o n s t r a i n tf o r c ea n dt h es o l u t i o no fc o n s t r a i n tf o r c eo f m u l t i b o d ys y s t e mw i t hc l o s e d l o o p si sp r o p o s e d t h em e t h o do fs e l e c t i n gt h ec u t o f f j o i n t sa u t o m a t i c a l l yc a nc h o o s et h ec u t - o f f j o i n ti n m u l t i b o d ys y s t e ma n dl a b e l i tr e g u l a r l y , j u s ta c c o r d i n gt ot h en u m b e r so f j o i n ta n di t sr e l e v a n t b o d i e s t h ec o n s t r a i n te q u a t i o n so fs e v e r a lt y p i c a lj o i n t sa r ed e r i v e d ，t h u sc o n s t r a i n te q u a t i o n s o fc o m p l e xj o i n t sc a nb ed e r i v e d t oj u d g et h em u l t i b o d ys y s t e mt oc o n t a i nr e d u n d a n t c o n s t r a i n to rn o ti st oj u d g et h er e l a t i v i t ) ，o fj a c o b im a t r i x sr o w s t h i sp a p e rp r o v e s t h e o r e t i c a l l yt h er e d u n d a n tc o n s t r a i n th a sn oi n f l u e n c eo nt h ek i n e m a t i c so fs y s t e m ，b u tt h e c o n s t r a i n tf o r c ec a nn o tb ed e t e r m i n e du n i q u e l y f o rt h em u l t i b o d ys y s t e mw i mc l o s e d - l o o p s ， 一i i 大连理工大学硕士学位论文 i no r d e rt os o l v et h ec o n s t r a i n tf o r c e ，t h eb o d i e so fs y s t e mm u s tb ec o n s i d e r e dt ob ef l e x i b l e c v e nt h o u g ht h e ya r er i g i do rt h ee l a s t i cd e f o r m a t i o ni sv e r ys m a l la n d u n i q u es o l u t i o nc o u l db e g e ti nt h i sc o n d i t i o n k e yw o r d s ：c l o s e d - l o o p s ；m u l t i b o d ys y s t e m ；c o n s t r a i n tf o r c e ；c u t o 仟j o i n t ；r e d u n d a n t c o n s t r a i n t ； i i l 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 作者签名： 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1 选题背景 闭环多体系统约束反力的求解属于多体系统动力学的研究范畴。多体系统是由多个 彼此相连且存在明显相对运动的物体构成的系统【1 1 。工程机械、机器人、航天器等众多 复杂机械系统都可看作是多体系统。多体系统动力学主要研究系统中物体的运动规律及 其受力环境，具有十分广泛的应用领域【2 1 。 求解各物体的速度、加速度等系统的运动学特征，并不是多体系统动力学要解决的 唯一问题，在多体系统动力学的研究中，对系统各物体受力环境的分析也是必不可少的。 而物体之间的力是通过铰传递的，所以对物体受力环境的分析就转化成求解系统中铰上 的约束反力。只有唯一确定了物体所受的外力，才能准确的对物体进行刚度和强度的分 析、判断整个系统的寿命、校核系统强度等。对于开环的多体系统而言，在外力环境确 定的情况下，若系统运动学已知且运动学特征是唯一的，则铰上的约束反力也可以唯一 确定。也就是说系统运动学特征与约束反力是一一对应的。但是对于含有闭环的多体系 统而言，要将其中构成闭环的铰切断，研究其派生树系统，而每个切断铰都会提供相应 的约束方程，若系统中存在冗余约束，即使系统的运动学已知，也不一定能唯一确定系 统中所有铰的约束反力，也就是说不是所有物体的受力环境都能唯一确定。这就给分析 系统整体的强度等带来了困难。所以研究闭环多体系统中铰上约束反力的求解就显得相 当必要了。 图1 1多体系统中铰的约束反力 f i 9 1 1 c o n s t r a i n tf o r c eo f j o i n t si nm u l t i b o d ys y s t e m 闭环多体系统约束反力的求解 1 2国内外研究概况 1 2 1多体系统动力学的发展概况 多体系统是指由多个刚体或刚体与弹性体通过一定的方式相互连接构成的复杂机 械系统。随着计算机的高速发展，及其在航天、兵器、车辆、机器人及生物力学等领域 的广泛应用，多体系统动力学已发展成为力学中的热点学科之一。二十世纪六十年代中 期，f l e t c h e r , h o o k e r ，m a r g u l i e s ，k a n e ，r o b e r s o n ，w i t t e n b u r g 等人卓有成效的努力， 奠定了多体系统动力学发展的理论基础【3 】。f 1 2 0 世纪6 0 年代以来，国内外在多体系统动 力学方面举办了很多有影响的活动。1 9 7 7 年，w i t t e n b u r g 的“多刚体系统动力学是第 一本关于多体系统动力学的著作，以及同年由i u t a m ( 国际理论与应用力学联合会) 主 持举行的第一届“多体系统动力学研究会”标志着多体系统动力学基本理论体系已经形 成【4 】。1 9 8 3 年北大西洋公约组织与美国国家科学基金委等( n a t o - n s f a r d ) 联合主持 在美国爱阿华召开“机械系统动力学计算机分析与优化讲习会，【习；1 9 8 5 年i u t a m 与国 际机器及机构理论联合会( i f t o m m ) 联合在意大利u d i n e 又举行了一次国际多体系统 动力学讨论会，这次会议总结了该领域的进展【6 】；1 9 8 9 年由德国斯图加特大学生主持对 当时比较先进的大型软件进行测试，编辑出版了“多体系统手册”【_ 7 】；以后几乎每年都 有国际的多体系统动力学会议，并出现了多体系统动力学的专门的刊物。 在国内由中国力学学会一般力学专业委员会主持1 9 8 6 年在北京召开“多刚体系统 动力学 研讨会，1 9 8 8 年在长春召开“柔性多体系统动力学研讨会”，1 9 9 2 年在上海 召开“全国多体系统动力学理论、计算方法与应用学术会议，【引，1 9 9 6 年由中国力 学学会一般力学专业委员会与中国空间学会机械委员会联合在山东长岛召开“全国多体 系统动力学与控制学术会议 【9 】。国内出版了多种有关多体系统动力学方面的教材和著 作 1 0 】叶12 1 ，建模理论【1 3 h 15 1 、计算方法 1 6 h 1 8 1 等方面发表了高质量的论文。 随着工程技术发展的需要，近4 0 年来，国内外专家学者不懈努力，不断创造性的 提出和改进各种多体系统动力学方法，如w i t t e n b u r g 方法、s c h i e h l e n 方法、k a n e 方法 等方法【l9 1 ，这些方法推动了现代工程技术的发展，为解决机械系统动力学问题提供了多 种有效的计算方法。对于少量刚体组成的简单系统，用任何一种方法，甚至最经典的牛 顿一欧拉方程或拉格朗日方程都可以手推公式导出解析形式的动力学方程【2 0 h 2 1 1 。但多 刚体系统动力学的主要任务是处理那些由大量刚体组成的复杂系统，用手工符号推导动 力学方程面临相当繁重的代数和微分运算，并且非常容易出错，因此任何一种方法都必 须利用计算机辅助分析，必须附有相应的计算机算法并配备完善的计算机软件。有限元、 大连理工大学硕士学位论文 边界元等理论的发展，实现了结构分析程式化，为解决复杂结构力学问题提供了强有力 的工具，开发了诸如s a p 系统、n a s t r a n 、a n s y s 等大型计算机软件【2 2 1 。国内多体 系统动力学研究的代表性人物有：黄文虎、刘延柱、洪嘉振、谢传锋等。 1 2 2闭环多体系统约束反力的现有求解方法 如果多体系统中存在位形限制( 如闭环结构) 和运动限制，即为具有约束的多体系 统。研究多体系统动力学的方法很多，如h o u s t o n 方法，n e w t o n e u l e r 方法和 r o b e r s o n w i t t c n b u r g 方法等【2 3 1 。h o u s t o n 方法不仅具有n e w t o n e u l e r 方法和 r o b e r s o n - w i t t e n b u r g 方法的优点，而且克服了这两种方法的缺点。因此，该方法逐渐受 到研究者的重视。应用h o u s t o n 方法研究分析无闭环结构和五限定运动的开环系统动力 学问题已经比较成熟，而对于约束多体系统的动力学问题在理论分析、软件实现，特别 是实验研究方面还有许多工作要做。 对于含有闭环的多体系统，首先要将其中构成闭环的铰切断，构成该非树系统的派 生树系统。如果让派生树系统与原非树系统在动力学上等价，则必须将切断铰作用于邻 接物体的约束力视为附加的外力施加于该派生树系统上 2 4 1 。闭环多体系统可以分为两 类：第一类闭环系统，即两个物体之间均用一个铰连接的闭环系统。第二类闭环系统， 即两个物体之间出现多于一个铰连接的闭环系统。很多作者正是基于以上的出发点，对 第二类闭环系统的切断铰约束方程j a c o b i 矩阵展开了深入研究，找到了无法采用单向组 集递推理论【2 5 】中切断铰的方法来处理第二类闭环系统的问题所在，引入一种新的约束对 接界面约束，并讨论了对接界面上代表单元的最优取值与模态数之间的关系，从而为工 程计算提供了取值依据。最后在引入对接界面约束的基础上，用现在流行的子结构方法 对原来柔性多体闭环系统进行模型交换，把第二类闭环系统变换为第一类闭环系统，从 而可以用单向组集递推建模理论来实现这类闭环系统的动力学仿真计算。 但是，以上这些方法都是基于系统中的切断铰来研究的，然而切断铰的选择方式却 不是唯一的。对同一闭环多体系统，切断铰选取不同将导致不同的派生树系统，得到的 动力学方程在形式上有差异。尽管这些微分一代数方程组在理论上是等价的，但在仿真 计算的效率与精度上将有很大的区别，有的甚至无法计算下去。而有些多体应用软件， 例j z n s i m p a c k ，将选择切断铰的任务交给了用户，这就要求用户对多体系统有一定程度 的了解，这无疑局限了软件使用人群的范围，给很多用户带来使用上的不便。而且对于 含有成百上千个物体的多体系统而言，系统结构是相当复杂的，让用户人为地选择切断 铰既费时又费力，发生错误的几率也会增大，软件的智能化程度不高。 闭环多体系统中若含有冗余约束，则铰上的约束反力不能唯一确定啪1 ，有些多体应 闭环多体系统约束反力的求解 用软件，例女h a d a m s ，对于系统中的冗余约束则直接采取舍弃的方法，忽略它在整个多 体系统中所起到的约束作用，这将给后续的运动学和动力学分析带来误差。因此切断铰 的生成成为这些软件在多体系统分析过程中的瓶颈。 1 3 课题任务 本课题就是在以上所述的背景下，总结前人提出的关于闭环多体系统约束反力求解 的理论和方法的基础上，提出一种自动生成切断铰的方法，推导各种铰的约束方程，从 而求解系统中的约束反力。本课题要解决的问题： 综述已有的多体应用软件对系统中切断铰的处理方法及铰上约束反力的求解方 法。 提出一种自动生成闭环多体系统中的切断铰、将系统中的物体和铰按照规则进 行标号的方法，并且编制了相应的软件将其程序化。对于任意闭环多体系统， 只要用户提供铰及其所连接的物体的标号且物体和铰的标号均连续，程序会自 动生成切断铰并对系统中的物体和铰进行规则标号。 按照约束物体间相对运动的方式及铰的类型，推导了几种典型铰的位移、速度、 加速度约束方程。 给出闭环多体系统含有冗余约束的判断准则；讨论冗余约束对系统运动学特征 和铰上约束反力的影响，并在理论上证明讨论的结果，通过现有的a d a m s 软 件对一算例进行仿真，验证以上的结果；对于不含有冗余约束的多体系统，给 出求解铰上约束反力的方法，对于含有冗余约束的多体系统，找到约束反力可 以唯一确定的铰，针对一个含有冗余约束的多体系统的算例，对系统中的物体 分别采用刚、柔体建模，对比两者运动学和动力学仿真的结果，证明刚性物体 用柔体建模的必要性。 总结全文，展望唯一确定含有冗余约束的多体系统中约束反力的困难和发展方 向。 本课题的理论基础是多体系统动力学，使用到1 v l a t l a b 、a d a m s 、a n s y s 等分 析软件，是一项综合性较强的具有创新意义和使用价值的研究课题。 大连理工大学硕士学位论文 2闭环多体系统中切断铰的自动生成 2 1 多体系统的规则标号 2 1 1 多体系统的拓扑构型 所谓多体系统的拓扑构型，是指系统内各物体的联系方式。r o b e r s o n 和w i t t e n b u r g 首先提出利用图论方法，即用一个有向图来表示多体系统的结构。我们把这种图称为多 体系统的拓扑结构图，也叫做系统的拓扑构型。这个拓扑构型通常用代表物体和铰的几 何体所组成的图形来表示。如图2 1 所示：j 5 l ( 待l ，2 ，) 表示系统中的物体，下角标f 为 物体的序号；连接物体的有向线段表示铰，记作日( ，= 1 ，2 ，) ，下角标，为铰的序号。 物体和铰的编号方法暂不做具体规定。规定铰的方向的目的是便于确定所连接的两个物 体中哪个物体选作参考物以确定另一个物体的相对运动。也便于确定物体之间作用力与 反作用力的正方向。 树系统：如果构型图中没有闭环，则称为树系统，如图2 1 - a 所示。 非树系统：如果构型图中含有闭环，则称为非树系统，如图2 1 - b 所示。 a b 图2 1 多体系统的拓扑结构 f i 9 2 1 t o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fm u l t i b o d ys y s t e m 树系统的拓扑结构图由若干个开链形式子结构组成。如果不计零号物体，树系统中 物体个数等于铰的个数。如图2 卜a 所示：物体个数和铰的个数均为“3 ；而非树系 统中至少存在一个闭环，所以系统中铰的个数多于物体的个数，铰与物体的数目之差等 闭环多体系统约束反力的求解 于系统中闭环的个数。如图2 1 - b 所示：物体个数为“4 ，而铰的个数为“5 ，闭环 的个数为“1 。 派生树系统：通过切断非树系统中构成闭环的某些铰所产生的树系统。被切断的铰 称为切断铰。在如图2 1 - b 所示的多体系统中切断鼠铰所得到的多体系统就是相应的 派生树系统。 实际问题中树系统比非树系统更为少见。然而，有两种原因促使我们首先去研究这 种系统。第一种原因是这种系统的连接结构和系统的运动学的数学描述非常简单。第二 种原因是切除经过适当选择的铰，任何非树系统都可转化为树系统。 2 1 2 多体系统的规则标号 系统的拓扑结构图能直观的表示出任意一个多体系统中物体和铰的连接状况。对于 一个复杂的多体系统而言，要将系统中成百上千个物体和铰用拓扑结构图表示出来是相 当繁琐、耗时的，出错的几率也会随着系统的复杂程度的增大而增高。因此随着计算机 技术在工程中应用的推广，在系统的运动学和动力学分析中，必须要使用适合计算机的 数学工具来描述系统，这时只要用户把铰与物体连接的情况( 例如：，号铰连接了b 。和 e 两个物体，吃是内接物体，e 是外接物体) 输入计算机，程序就会把这些信息用矩 阵的方式储存，然后自动生成系统的拓扑结构图。可想而知，同一个系统，如果物体与 铰的标号不同，那么计算机中存储的矩阵就会不同，为了方便从矩阵中读出数据和写入 数据以及进行快速的数值迭代运算，对多体系统中的物体和铰通常采用规则标号。 对于任何树系统，物体和铰规则标号的原则如下： 1 ) 物体标号与相应的内接铰标号相同 2 ) 物体标号大于其内接物体标号 3 ) 铰的方向均背离零号物体 图2 1 一a 所示的树系统中的物体和铰的标号是规则的。 对于含有闭环的多体系统，为了保证对它的派生树系统也可以按照上面的规则进行 标号，切断铰的标号就一定要大于物体的个数。图2 1 一b 所示的闭环多体系统中的物 体和铰的标号是规则的。 综上所述，对于一个任意的多体系统的拓扑结构图，只要图中的物体标号连续，铰 的标号连续，每个物体都跟其他物体相连，就可以通过以下方法得到规则标号后的多体 系统的拓扑构型图。 大连理工大学硕十学位论文 2 2 闭环多体系统中切断铰的自动生成 2 2 1切断铰的选择及其规则标号 ( 1 ) 切断铰的选择 对于含有闭环的多体系统，构成闭环的铰都可以被当作切断铰，因此切断铰的选择 不是唯一的。一些多体应用软件需要用户人为的选择切断铰，这就要求用户对多体系统 有一定程度的了解，这无疑会给用户带来使用上的不便，而且对于一个复杂的多体系统 而言，这也是很费时费力的。所以我们可以把多体系统看成是一个动态搭建的过程，用 矩阵来表示物体和铰的连接情况，矩阵随着系统的搭建不断演变，在这个过程中可以自 动地判断出切断铰。定义如下两个矩阵： =雕0s一嘲c 0 0= = 1 月何胃斗 = i i 1 c ( o ，1 ) c ( o ，b + 1 ) c ( 1 ，0 ) 1 c ( 1 ，b + 1 ) c ( b + l ，b ) 1 s 的初值是3 歹维的零矩阵( 为系统中铰的个数) 接物体标号，若i 号铰为切断铰，则 ，s ( 3 ，i ) = 1 ( 2 1 ) ，研、研分别表示i 号铰的内外 ( 2 2 ) c 的初值是p + 1 ) ( 6 + 1 ) 维的单位阵( b 为系统中物体的个数) ，它反映在搭建系统的 过程中任意两个物体的联通情况。 a b c 图2 2 闭环的形成( i ) f i g 2 2 t h ef o r m a t i o no fc l o s e d l o o p ( i ) 若朋号铰的内外接物体分别为e 和哆，如图2 2 一a 所示，且此时 闭环多体系统约束反力的求解 c ( i + 1 ，j + 1 ) = c ( j + l ，i + 1 ) = o ( 2 3 ) 那么物体垦和易通过册号铰联通，则 c ( i + i ，+ 1 ) = c ( ，+ 1 ，i + 1 ) = 1 ( 2 4 ) 若一号铰的内外接物体分别为b ，和甄，如图2 2 - - b 所示，且此时 c ( i + 1 ，k + 1 ) = c ( k + l ，i + 1 ) = 0 ( 2 5 ) 那么物体e 、曰；、反通过m 号铰和咒号铰互相联通，则 fc ( i + l ，j + 1 ) = c ( ，+ 1 ，i + 1 ) = 1 c ( i + 1 ，k + 1 ) = c ( 后+ 1 ，i + 1 ) 一 ( 2 6 ) 【c ( j + l ，七+ 1 ) = c ( 七+ 1 ，歹+ 1 ) = 1 若f 号铰的内外接物体分别为置和b ，如图2 2 一c 所示，而此时 c ( i + 1 ，k + 1 ) = c ( 七+ 1 ，i + 1 ) = l ( 2 7 ) 则说明t 号铰连接了两个已经联通的物体，那么这时程序会自动地把t 号铰作为切断铰。 除此之外，还有一类铰应该被作为切断铰。因为零号物体是运动已知的物体，因此 当系统中有两个以上的物体与零号物体相关联时，就应当把该系统分割成几个子系统来 研究，使每个子系统均只有一个物体与零号物体相关联。所以当与鼠关联的铰超过一个 时，只能保留其中的一个，其它的与鼠关联的铰都要作为切断铰。 a b c 图2 3 闭环的形成( i i ) f i 9 2 3 t h ef o r m a t i o no fc l o s e d l o o p ( i i ) 大连理t 大学硕士学位论文 如图2 3 - - a 、2 3 - - b 所示，若、b ，、b ，已经通过m 号铰和刀号铰互相联通，f 号 铰又连接了玩和最，如图2 3 一c 所示，则程序会自动地把f 号铰作为切断铰。即若 c ( 1 ，i + 1 ) = c ( i + i ，1 ) = 1 ( 2 8 ) f ( f i ) 号铰又连接了8 0 和色，则f 号铰应该作为切断铰，相应的s ( 3 ，) = 1 。这里需要 说明的是，若f 号铰不是第一个与岛相连的铰，则该铰连接的物体壤不与岛联通，即 c ( 1 ，k + 1 ) = c ( k + l ，1 ) = 0 ( 2 9 ) 综上所述，我们可以将任意一个多体系统看作是一个动态搭建的过程，物体和铰连 接的情况由矩阵s 和c 表示，动态搭建系统的过程就是不断修正矩阵的过程，程序会根 掘矩阵的特征自动确定非树系统中的切断铰。 ( 2 ) 切断铰的规则标号 对于一个含有闭环的多体系统，系统中铰的个数一定大于物体的个数。按照规则标 号的原则，系统拓扑构型中切断铰的序号一定大于物体的个数。设一个闭环多体系统中 的物体个数为b ，铰的个数为j ( j b ) ，若存在 s s ( 3 岛碧0 2 ( “b ：三) c 2 。， 【，z ) = 刀 ) 则说明此时m 号铰为切断铰，而n 号铰却没有构成闭环，明显不符号切断铰规则标号的 原则。这时只要交换m 和n 号铰的标号，就可以使切断铰的序号大于物体的个数。 2 2 2 铰方向的自动调整 在规则标号的树系统中，任何一个铰的外接物体标号都要大于其内接物体标号。用 户只需要指明一个铰所关联的两个物体的标号，不用考虑物体标号输入的先后顺序，程 序能够实现自动的将所有铰的方向调整到均背离碌。 考虑到与末端物体相连的铰的方向一定指向末端物体，所以如果末端物体是某些铰 的内接物体，那么说明这些铰是反向的。交换反向铰的内外接物体标号，就可以生成正 确的铰的方向。 这里需要特别说明的是确定末端物体的方法。在确定切断铰并对其规则标号之后， 取s 矩阵的f i i j b 列( b 为系统中物体的个数) ，得 闭环多体系统约束反力的求解 l 研研磁i & = 1 月何何i ( 2 1 1 ) 【- o o 0 j 同样的，研，研，可是1 ，2 ，b 号铰的内接物体标号；何，何，何是1 ，2 ，b 号铰 的外接物体标号，则各物体标号在& 矩阵前两行中出现的次数就是系统中与该物体相关 联的铰的个数。 对于一个规则标号的树系统，除了鼠和末端物体，其它的所有物体均至少与两个铰 相关联，只有鼠和末端物体仅与一个铰相连。则在矩阵中只出现一次的物体为系统 的末端物体。设m ( 江1 ，2 ，b ) 为f 号物体在& 矩阵中出现的次数，若 f = 1 ( 2 1 2 ) 则说明f 号物体为系统的末端物体。 确定末端物体之后，要判断与末端物体相连的铰的方向是否正确。因为末端物体只 能作为铰的外接物体，也就是说末端物体的标号只能出现在中的第二行，所以如果末 端物体标号出现在了& 中的第一行，即 b i = h ： ( 2 1 3 ) 则说明f 号物体为尼号铰的内接物体，这时可以确定七号铰的方向是相反的，交换矩 阵中的研和何，即交换该铰的内外接物体标号就完成了对该铰方向的修改，此时与末 端物体相关联的铰的指向均为规则的指向。 调整完与末端物体相关联的铰的方向之后，将所有的末端物体及与它们相关联的铰 从该系统中去掉，得到一个新的树系统，此时，因为七号铰已经不在系统中，所以 s w ，k ) = s t ( 2 ，k ) = s t ( 3 ，k ) = 0 ( 2 1 4 ) 则 l f u2 1j w 何。碥o o 0 0蹈o 研矸o =& 大连理r t 大学硕士学位论文 对新系统重复相同的操作，当判断完与昂相连的铰的方向是否正确之后，就完成了派生 树系统中所有铰方向的判断，并对反向铰的方向进行了修改，得到的就是所有铰方向都 背离岛的树系统。 2 2 3 物体和铰的规则标号 ( 1 ) 物体的规则标号 对于一个含有b 个物体的树系统，按照树系统规则标号的原则，系统末端物体的序 号一定是从b 开始，依次递减。根据这个准则，我们选择从末端物体开始进行规则标号。 为了找出系统中的末端物体，首先引入内接物体数组的概念。对于一个树系统，系 统中除玩之外的所有物体都有内接物体，所以若一个树系统含有b 个物体，其内接物体 数组三( 州，= l ，2 ，b ) 就是一个含有b 个元素的行向量，由派生树系统的矩阵 | - i - i ：研砑 & = 1 月何何l ( 2 1 6 ) 【- 0 0 0j 得 三( 何) = 研 ( 2 1 7 ) 可以看出在内接物体数组中的物体均是其它物体的内接物体。若所没有出现在内接物 体数组中，则物体月为系统的末端物体。 确定系统的末端物体之后，用系统中最大的号数6 ，b 一1 对末端物体进行标号。将 规则标号后的末端物体及与其相关联的铰从系统中去掉，得到了一个较小的新系统。此 时铰f 已经不在系统中，所以 l 研磁0i - i ；, wi & = i 何何l0 甄何l ( 2 1 8 ) l0 0000 j 根据修改后的& 进行第二轮的筛选：设新系统的物体个数为b m ，在找到新系统 的末端物体后，用b m ，b m 一1 ，对其进行标号。以此类推，当与零号物体相关联的物 体被规则标号后，系统中的所有物体的标号都被规则化。 闭环多体系统约束反力的求解 ( 2 ) 铰的规则标号 按照规定：在规则标号的树系统中，任何一个铰的序号都与其外接物体的序号一样， 所以只要找到一个铰的外接物体规则标号后的序号，就得到了这个铰的规则标号。 对于切断铰而言，它的外接物体同时也是派生树系统中其它铰的外接物体，所以切 断铰的标号不能与其外接物体的规则标号相同。因为切断铰的序号总要比系统中物体的 序号大，所以切断铰的标号为b + l ，b + 2 ，j f 。其中b 为物体总数，为铰的总数。 但是此时各铰的标号并不一定是最终的规则标号，若在切断铰的自动生成过程中， 存在 s s ( 3 是碧0 2 ( h b ：三) c 2 1 9 ， 【，刀) = ，z ，) 则要交换m 和n 号铰的标号，那么最后还要交换m 和n 号铰的规则的标号。 2 3 程序实现 下面结合程序分析任意一个含有闭环的多体系统。如图2 4 所示的多体系统，物体 总数为6 ，铰的总数为9 ，可知系统中有3 个闭环。 图2 4 含有闭环的多体系统 f i 醇4t h em u l t i b o d ys y s t e mw i t hc l o s e d - l o o p s 首先定义各物体的m a r k e r 点，如图2 5 所示。 大连理工大学硕士学静论文 图25 物体的m a r k e r 点 f i 9 2 5t h e m a r k e r p o i n t s o nb o d i e s 将m a r k e r 点连接成物体，如图2 6 所示 图26 物体的形成 f i 口6 t h ef o r m a t i o no f b o d i e s 定义物体间铰的类型、内外接物体标号和铰坐标系，如图2 7 所示 闭环多体系统约束反力的求解 幽27 铰的定义 f i 醇7t h ed e f i n i t i o no f j o i n t s 当系统中的物体和铰均己定义完毕，程序会自动生成系统的拓扑结构图，如图2 8 所示，从图中可看出物体和铰连接的情况及各铰的指向。 幽28 系统的拓扑结构 大连理工大学硕士学位论文 下面程序会按照以上三个步骤顺序执行，自动把系统中的物体和铰进行规则标号。 一切断铰的自动生成及其规则标号 ( 1 ) 铰q ，皿，马搭建后的系统结构图如图2 9 一a 所示 ab 图2 9 切断铰的选择( i ) f i 9 2 9 t h es e l e c t i o no fc u t - o f f j o i n t ( i ) 此时，物体蜀、垦、岛、日互相联通，则 1o 0 ooo 0 011o101 o11o101 o0o10 oo o11o1o1 o0 oo01o 01lolo1 ( 2 2 0 ) ( 2 ) 铰只连接了垦和反，但是因为此时c ( 3 ，5 ) = c ( 5 ，3 ) = 1 ，也就是说垦和反已 经是联通的了，所以只是切断铰，如图2 9 - - b 所示。所以 一1 5 一 lo o 0ooo o11olo1 o11o1o1 ooolo o o o11o1o1 ooo 0 o1o o1l01ol ( 2 2 1 ) =c ， 1j o o o o 0 o 0 0 0 0 0 0 o 0 o 0 o 0 1 2 o 6 1 o 6 4 0 。l = s = c ， 1j o o o 0 0 o 0 o o 0 0 0 o 0 0 2 4 1 l 2 0 6 1 o 6 4 0 。l = s 闭环多体系统约束反力的求解 ( 3 ) 铰皿，氓搭建后的系统结构图如图2 1 0 一a 所示 a 图2 1 0 切断铰的选择( i i ) f i 醇10 t h es e l e c t i o no fc u t - o f f j o i n t ( i i ) 此时物体骂、垦、岛、局、马、吃相互联通，则 b 1o 0 o oo0 o111111 o111111 o11l11l o11l111 o11l1l1 ol11l11 ( 2 2 2 ) ( 4 ) 铰马连接了物体马和骂，但是因为此时c ( 4 ，2 ) = c ( 2 ，4 ) = 1 ，也就是说b 和 e 已经是联通的了，所以马是切断铰，如图2 1 0 b 所示。所以 10o0000 o11 11l1 o111111 o1111l1 01 111l1 o1111l1 o111