（一般力学与力学基础专业论文）有界噪声激励下软弹簧杜芬振子的动力学分析.pdf

浙江大学硕十学位论文 摘眦。， 摘要 本论文主要讨论有界噪声激励对软弹簧杜芬振子的倍周期分岔至混沌道路的影 响及对应的统计特性。利用动力学理论、随机振动理论及数值模拟方法等，讨论了此 类系统的安全盆的侵蚀、运动的相图和倍周期分岔图等复杂动力学行为的变化过程， 由系统响应的庞卡莱映射图与最大罩亚普诺夫指数等模拟结果分析了噪声诱发混沌 这一新动力学现象。基于本论文所讨论系统的强非线性与随机特性，作者应用c h e n 和c h e u n g 等提出的方法，推导出了此系统的随机平均方程，并初步给出了一些关于 此系统响应的平稳概率密度模拟结果。对此类系统的研究表明，外加的有界噪声激励 的作用往往会掩盖原确定性系统内在的规则运动，对原确定性系统的动力学行为有典 型的分散效应，并可延缓系统的分甜。此外，有界随机激励的作用还可使得系统的内 在随机行为提前发生，即可使得系统更容易出现混沌运动。本论文安排如下： 第一章简要介绍混沌的定义、研究概况以及近期发展情况，并介绍了一些国内外 学者对噪声诱发系统内在混沌的讨论结果；第二章给出本论文的研究模型有界噪 声激励下的软弹簧杜芬振子，详细讨论了有界噪声激励对此系统的安全盆的侵蚀的影 响；第三章利用第二章关于系统安全盆侵蚀的模拟结果，选定对系统响应进行模拟时 的初值点，通过蒙特一卡罗模拟方法，给出了系统参数变化时的分岔图、相图、时间 历程等，并进一步从庞卡莱映射图以及最大单亚普诺夫指数等计算结果讨论了噪声诱 发的混沌响应这一动力学行为；第四章利用随机振动理论，对系统进行了一些理论分 析，推导了此类系统的随机平均方程与f p k 方程，并初步给出了一些关于系统响应 的平稳概率密度的模拟结果。在本论文的最后，作者给出了结论与展望。 关键词：软弹簧杜芬振子，有界噪声，安全盆，倍周期分岔，混沌，最大里亚普诺 夫指数，蒙特一卡罗模拟，f p k 方程 堂兰查兰竺堂坚一一 摘要柚。瞰。， 。_ 。- _ _ - h - 。 _ 。- 。_ _ _ _ _ 。- - _ _ _ _ 1 ，_ 。_ _ _ _ _ _ 。_ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ 。_ 。_ - 一 一 a b s t r a c t t h i st h e s i sd i s c u s s e dt h ee f f e c t so ft h eb o u n d e dn o i s ee x c i t a t i o n o nt h e p e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o na n dc h a o t i cr e s p o n s e so ft h es o f t e n i n gd u f f i n go s c i l l a t o r , a n d t h ec o r r e s p o n d i n gs t a t i s t i c a lc h a r a c t e r i s t i c sw e r ea l s oa n a l y z e d b yt h ed y n a m i c a lt h e o r y , t h es t o c h a s t i co s c i l l a t i o nt h e o r ya n dt h em o n t e c a r l om e t h o d ，t h ea u t h o rs t u d i e dt h e c o m p l i c a t e dd y n a m i c a lb e h a v i o ro f t h es o f t e n i n gd u f f i n go s c i l l a t o rw i t ht h eb o u n d e dn o i s e e x c i t a t i o n t h en o i s e i n d u c e dc h a o t i cr e s p o n s e sw e r es t u d i e db a s e do nt h en u m e r i c a l r e s u l t sf o rt h ep o i n c a r em a pa n dt h em a x i m u ml y a p u n o ve x p o n e n t d u et ot h ed i f f i c u l t y f r o mt h es t r o n g l yn o n l i n e a ra n ds t o c h a s t i cn a t u r eo f t h es y s t e m ，t h em e t h o df r o mc h e na n d c h e u n gw a se m p l o y e dt oo b t m nt h es t o c h a s t i ca v e r a g i n ge q u a t i o na n dt h ef p ke q u a t i o n ， f r o mw h i c ht h es m t i o n a r yp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o nw a ss i m u l a t e d i tw a ss h o w nt h a t ， t h er e g u l a rm o t i o n si nt h eo r i g i n a ld e t e r m i n i s t i cs y s t e mw o u l db em a s k e db yt h ee x t e m a l b o u n d e dn o i s ee x c i t a t i o n ，a n dt h es t o c h a s t i ce x c i t a t i o np l a y e dad i s p e r s i v er o l et ot h e d y n a m i c a lb e h a v i o ra n dc o u l dd e l a yt h eb i f u r c a t i o no f t h es y s t e m i na d d i t i o n ，t h eb o u n d e d n o i s ee x c i t a t i o nc o u l db r i n gf o r w a r dt h ei n t e r n a lc h a o s ，e g ，c h a o t i cr e s p o n s e sw o u l da r i s e m o r er e a d i l y t h et h e s i sw a sa r r a n g e da sf o l l o w s ： t h ef i r s tc h a p t e rb r i e f l y s u r v e y e dt h es t u d i e s o nc h a o s ，s o m ed i s c u s s i o n so nt h e n o i s e i n d u c e dc h a o sb yo t h e r sw e r ea l s oi n t r o d u c e d i nc h a p t e ri i ，t h es o f t e n i n gd u f f i n g o s c i l l a t o ru n d e rt h eb o u n d e dn o i s ee x c i t a t i o nw a sp r e s e n t e d ，t h ee r o s i o no ft h es a f eb a s i n o ft h es y s t e mw a sd i s c u s s e di nd e t a i l b a s e do nt h es i m u l a t i o nr e s u l t sf r o mc h a p t e ri i ，t h e i n i t i a lp o i n tf o rs i m u i a t i n gt h ed y n a m i c a lb e h a v i o rw a sc h o s e n ，a n dt h eb i f u r c a t i o n s c e n a r i o ，t h ep h a s ep o r t r m ta n dt h et i m eh i s t o r i e s ，e l c ，w e r ep r e s e n t e d t h en o i s e i n d u c e d c h a o sw a st e s t i f i e db yt h ep o i n c a r em a pa n dt h em a x i m u ml y a p t m o ve x p o n e n t t h e s e r e s u l t sw e r eg i v e ni nc h a p t e ri i i i nt h ef o u r t hc h a p t e r , t h e o r e t i c a la n a l y s i sw a sp e r f o r m e d b yu s i n gt h es t o c h a s t i co s c i l l a t i o nt h e o r y , t h es t o c h a s t i ca v e r a g i n ge q u a t i o na n dt h ef p k e q u a t i o nw e r ed e d u c e da n ds o m es i m u l a t i o nr e s u l t sa b o u tt h es t a t i o n a r yp r o b a b i l i t yd e n s i t y f u n c t i o no fs u c hs y s t e mw e r eg i v e n c h a p t e rvp r e s e n t e dt h es u m m a r i z a t i o na n d d i s c u s s i o n k e yw o r d s s o f t e n i n gd u f f i n go s c i l l a t o r , b o u n d e dn o i s ee x c i t a t i o n ，s a f eb a s i n ， p e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n ，c h a o s ，m a x i m u ml y a p u n o ve x p o n e n t ， m o n t e c a r l os i m u l a t i o n ，f p ke q u a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不含有其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝塑盘堂或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同j 二作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文巾作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名。弓寻乙 签字时间：护，年3 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝垦墨太至有关保留、使用学位沧文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权逝姿盘垒可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位论文作者签名 毛韵 签字时间：巧年弓月日 导师签名 签字时间：心年亏月 粒 弓同 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：中国船舶重工集团第七零四研究所 e - m a i l ：! 业女! ! ! ! 鲤! ：! ! 坐 通讯地址：上海市衡山路1 0 号 邮编：2 0 0 0 0 0 浙讧土学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 稳定性、分岔和混沌的研究始于1 9 世纪末p o i n c a r e 和l y a p u n o v 的工作，在2 0 世纪得到长足的发展。运动稳定性的l y a p u n o v 方法在力学中有了广泛的应用。在4 0 年代，林家翘建立了流动稳定性理论，v o l t k a r m a n 、钱学森等开展了板壳等结构稳定 性研究。它们为连续介质力学领域的稳定性分析奠定了基础，并在各类工程技术问题 中有重要作用。 混沌是指在确定性系统中出现的一种有限范围的运动，这种运动毫无规律可言， 类似于随机过程，对初值极其敏感，当初值有了微小的变化，经过很长的时间后，运 动则可能相差甚远，这意味着里雅普诺夫意义下的不稳定，也就是说混沌运动具有长 期不可预测性，称之为蝴蝶效应。顺便指出，确定性系统是由微分方程、偏微分方程、 差分方程甚至简单的迭代方程所描述的，且方程中的系数都是确定的。 混沌运动是一种不稳定的有限定常运动，即全局压缩和局部不稳定的运动。这个 定义指出了混沌运动的两个主要特征：不稳定性( 可用平均里雅普诺夫指数大于零来 精确化) 和有限性，或除了平衡、周期和拟周期以外的有限定常运动称之为混沌运动。 这里所谓的有限定常运动，指的是运动状态在某种意义上( 以相空间的有限域为整体 来看) 不随时间而变化。1 9 6 3 年l o r e n z 在对气象预报研究引出的一类非保守系统里 发现了这类混沌现象。另一方面，1 9 5 4 年1 9 6 2 年k o l m o g o r o v 、a r n o l d 、m o s e r 从数 学上证明了k a m 理论，解释了保守的力学系统里出现的混沌现象。6 0 年代以后，对 非保守和保守系统中混沌理论及应用的研究得到很大的发展，并且认识到混沌往往在 参数空间的一系列分岔之后出现。混沌理论的产生，揭示了牛顿力学中确定性和随机 性之间的辨证关系，反映了自然现象的复杂性 1 】。 在庞加莱划时代的研究之后，对混沌现象的普遍性和精确示意图的清楚认识，共 花了约6 0 年时间。以下三个因素是那时快速吸收混沌思想的原因。第一个也为最重 要的一个是计算机技术的快速发展。有了计算机，就使对庞加莱映射所需的迭代过程 晰江土学硕士学位论史第一章绪论 进行详尽的研究成为可能。迭代过程和计算机乃“相辅相成”。迭代就是原原本本重 复明确的特定过程，就是那种可在计算机上编程序的过程。让计算机长时间运行，就 得到大量迭代的结果，因而，汁算机能给出大量迭代的详尽信息，而且可获得多类系 统的此种信息，这在以前绝做不到。计算机技术实际上是混沌研究中一切新知识和大 多数新知识之源。第二个因素是，人们认识到许多用十分简单方程描述的系统仍能呈 现无规则行为乃至无法分辨的行为，故能展示混沌。最后一个要素是，计算方法、解 析方法和抽象数学方法并举加深了对非线性方程的了解：许多非线性方程不仅会产生 混沌行为，而且与原先的预期相反，非线性方程还拥有许多普适特性。来自物理学、 天文学、生理学、种群生物学以及气象学的许多很不相同的系统都会呈现混沌特性。 此外，对其中有些系统而言，混沌区域可用实验探究，并且观测实验结果和数学模型 之间的一致性往往令人诧异。 梅( r o b e r t m a y ) 2 】构建并研究了一个显现惊人数量混沌特性的相当简单的系统a 这个系统描述生态学中生长和竞争的结局，方程十分简单，结果却出乎意料。这应称 之为“梅奇迹”，它是一个实际演示所有混沌特性的系统：令m 为时刻t 时的对象( 动 物) 数目，则数n 。由生长和衰减之间的竞争而定，并由式n 。= n je x p r ( 1 一n ，) 】给 出。这显然是复杂的生态过程的简化和图式化表述。量r 等于生长和衰减之比。若 | v ：l ，则j v 停留在1 ( 即平衡解) 。该方程是确定性的：，唯一的确定m 应当 不难确定f 斗0 0 时m 是否趋近于1 ( 即平衡值) ，不管n 的初值如何。例如，设，2 1 ， 选n o = o 5 ，答案是否定的。 更微妙的问题是该平衡解是否稳定。只要，在0 和2 之间，i = 1 就是稳定的。r 在2 和2 5 2 之问时，系统会逼近稳定的2 循环。例如，取，= o 2 3 ，从n 。= o 5 开始。 相继的将在约1 5 9 和约0 4 之间振荡“2 循环”。r 再大，存在稳定的4 循环。 ， 3 1 0 2 时，无稳定的循环。所有的循环，包括3 循环都有可能，系统的行为极其复 杂。任意接近的初始值，会沿彼此不同的道路演变；系统实际上不可预测。这样 的时间演化与由概率规律决定的演化无法区分，尽管其表面上是确定的。 由于混沌运动的复杂性，对它的发现和继后的研究大量采用了数值分析的方法。 晰江土学硕士学位论文第一章绪论 目前，数值分析的方法仍然是重要的手段，特别是在应用领域中。理论分析的方法至 今仍然是局限的，一般能被各方面接受的研究方法有哈密顿系统的k a m 定理、麦尼 柯夫方法、斯麦尔马蹄映射、几何的方法( 包括分形几何学与自相似几何学) 以及弗 根巴木的重整群理论等。 1 - 2 混沌的判定、通向混沌的途径 现实生活中的系统( 物理系统、化学系统或生物系统) 能显现混沌，这一点目前 已经得到普遍共以，使得许多学者在实验室里或在自然状态下对混沌识别进行尝试。 对此，已经有数百篇论文的发表。但在实际情况中，“混沌”的识别并不容易。实验 室中，噪声会与决定演化的内在方程所支配的动力学特性发生相互作用。因此实验系 统肯定会有随机输入的发生，从而给理论解释带来了困难。许多先前认为是噪声的过 程现在可能认为是确定性的混沌过程，但是所研究的系统，包括测量仪器在内，其中 真正存在的噪声却混淆了这种可能性。此外，在确定性方程中仍存在着许多对混沌的 不同定义，认识到这种混淆性，我们通常可采用功率谱、庞加莱映射、通向混沌的途 径、李雅普诺夫指数和相关维数等来进行判断。 功率谱( p o w e rs p e c t r u m ) 是应用最多的一种表征复杂时间序列特性的统计量。 它是把复杂的时间序列分解成不同频率的正弦振荡的叠加。在给定频率处的功率谱值 与该频率的正弦波系数的平方成正比。 对于很多的生理变量，如心率、血压、潮气量、脑电图和震颤等，我们已经知道 了它们的功率潜。典型的功率谱有一个或多个尖峰，它们对应于信号中出现的主要频 率。除主频外，其他频率也会出现，幅值较低，并且通常分布在宽频带上。 宽频带功率谱，多半是叠加尖峰，往往与混沌动态相联系。但是，噪声通常也与 宽带谱密切相关，因此从功率谱的角度来区分混沌与噪声是没有多大意义的【3 】。 我们通常用微分方程来表达非线性动力学模型。对这些方程求积分就能得出相空 间的轨线。用比相空间低一维的平面去切相空间区域中的轨线，给出相继回到该平面 的交点之间的函数是一有限差分方程，这样就确定了一个庞加莱映射( p o i n c a r em a p ) 。 浙江太学硕士学位论文 第一章绪论 从连续的时间系统导出的庞加莱映射可以用来分析该系统的动力学特性。因而观 察到与混沌动力学特性相一致的庞加莱映射j 下是确证实验系统中存在混沌的依据。图 1 1 为庞加莱映射生成的示意图【2 】。 图1 1 相空间的轨道与面s 交于点一l ，a 2 ，a 3 ，a 4 连接这些点，在面s 。上产生一条曲线 在二维情况下，庞加莱截面可能极其复杂，如图1 2 所示的为上田吸引子，点打 着旋涡，就好像是被搅动的一杯咖啡的表面( 4 ，5 ) 。 图1 2 上田吸引子。 系统出现分叉，特别是全局分叉，在许多情况下会导致混沌运动。通向混沌道路 浙江土学硕士学位论文 第一章绪论 的途径多种多样，至今人们知道的有倍周期分岔、准周期分岔、间歇过渡( 阵发混沌) 及k a m 环面破裂等。在一些实验中我们可观察到周期倍化分岔及随后的不规则动力 学特性，它可作为判别该不规则动力学行为是混沌态的方法。混沌性态最有力的证据 是，存在一种动力学系统，随着参量的变化，系统内部既能出现周期性动态也能出现 混沌动态。分叉理论可使我们了解系统是如何从正常的有序状态过度到混沌状态的理 论之一。庞加莱曾经说过，分叉理论是一支火炬，它照亮了从可研究的动力系统走向 不可研究性的道路。混沌和完全的随机运动不同，它有一定的运动模式和精细结构， 如自相似结构等。 李雅普诺夫指数等在后续章节做进一步介绍。 1 3 混沌产生的优缺点以及噪声的影响的重要性 7 0 年代后期以来，混沌现象的研究成为了科学界的热点问题，吸引了物理、数 学、力学等诸学科科学工作者的注意。到8 0 年代末，在混沌动力系统的数学基础、 数值模拟算法和实验室实验诸方面都取得了进展。9 0 年代以来，随着对混沌现象研 究的深入，工程技术等应用问题中的混沌研究也取得了一些进展 6 ，7 】。混沌在自然界 和人类社会中广泛存在这一事实已经被普遍接受，如何应用混沌的研究成果为人类服 务已经成为了非线性科学的重要课题之一。 目前来说，人们对混沌控制的广义认识是：人为并有效地影响混沌系统，使之朝 实际需要的状态发展，一般包括以下三个方面： ( 1 ) 当系统中的混沌运动有害时，成功的抑制混沌。在许多实际问题中，混沌是 种有害的运动，因此在很多时候抑制混沌成为控制混沌的一个重要任务。由于混沌 具有长期的不可预见性和近似于随机的性质，混沌输出常常不能满足实际的需要。例 如，等离子体混沌会导致等离子体失控；混沌状态下飞行器的飞行失控；化学反应中 流体系统的混沌则会破坏人们期待的各种相干结构和有序运动，等等。在这种情况下 我们就要消除混沌，使系统恢复到正常运行的各种有序状态中去。 ( 2 ) 当系统中的混沌行为有用时，产生实际需要的具有某些特定性质的混沌运动， 淅仁大学硕二 学位论文第一章绪论 甚至产生出特定的混沌轨道。在一些实际问题中，混沌态本身就是很有用的运动形态， 甚至是我们需要的目标。例如，实际中通常需要快速将两种或多种流体混合，这时混 沌态的效果就大大优于各种周期运动。混沌的指数发散特性一方面导致了信息的丧 失，但另一方面却又使得有限测量精度下不可区分的不同点变得可以区分，从而产生 信息，混沌运动的过程就是源源不断的信息产生和持续不断的信息湮灭过程。这一点 使得混沌运动在信息处理中必然占有极其重要的位置。当前混沌应用的一个重要方 向，就是利用混沌的初值敏感性实现混沌加密通信。当然，并不是任何混沌系统都能 用来进行混沌通信，人们必须通过混沌控制产生出与给定的混沌序列同步的混沌轨 道，这就指的是混沌同步问题。混沌同步研究进一步的扩大，大大的推进了它们的应 用进程，诸如在电子学、激光、化学、生物、脑科学、神经网络系统、密码学以及机 密通讯等诸多学科领域中都具有无可限量的应用潜力。 ( 3 ) 当系统处于混沌状态时，通过控制产生实际需要的各种输出。 在许多应用问题中，我们不希望出现混沌这种没有任何征兆、难以预测甚至突然 剧烈变化的运动状态。这就需要对混沌的诱发与抑制提出更高的要求。 这里简单的引出一些关于混沌抑制的方法。抑制混沌就是要求改变非线性动力系 统的混沌运动性态，使之呈现周期性动力学行为，但这种抑制混沌后得到的周期性动 力学行为的具体形式无须考虑，更不用是事先指定的。抑制混沌的最直接的方法是系 统的重新设计，用理论或经验的方法建立系统存在混沌的判据，这些判据往往表现为 系统参数空间的某些区域，重新设计系统而选择参数于上述区域之外，系统便不会出 现混沌。然而，除非常具体简单的系统外，很难建立充分有效的混沌存在判据，而且 实际问题中的系统往往没有完全重新设计的可能性。当系统不能或不便重新设计时， 有几种方法可以适当的抑制混沌：加随机噪声、加周期摄动、加动力吸振器和输出变 量反馈等。 1 4 噪声诱发混沌与本论文的工作 谐和力外激下具有负线性刚度的d u f f i n g 振子是混沌运动的一个古典例子 6 浙江土学硕士学位论文 第一章绪论 h o l m e s 8 等用m e l n i k o v 方法得到了产生混沌的必要条件，后来a r i a r a m a m 等f 9 1 研究 了谐和力参激下d u f f i n g 振子的混沌运动。鉴于激励往往具有随机性质，x i e 1 0 用修 正的m e l n i k o v 方法导出了谐和力与白噪声参激下d u f f i n g 振子出现混沌的条件，发现 噪声的作用可增大混沌产生的谐和力幅值，而通过计算最大l y a p u n o v 指数却发现噪 声的作用减小混沌产生的谐和力幅值，两个结论正好相反。l i n 与y i m 1 1 1 研究了谐 和力与白噪声外激下d u f f i n g 振子的随机m e l n i k o v 过程，发现了弱噪声降低了出现混 沌的谐和力幅值，扩大了参数空间中的混沌域。最近，在文 1 2 ，1 3 中，作者通过研究 随机激励下的拟可积哈密顿系统，给出了随机、高维m e l n i k o v 函数的推广形式，并 得出噪声激励的作用可使系统内部更容易出现混沌响应这一结论。由此可见，关于噪 声对混沌振动系统的响应的影响尚无一致结果。然而，基于混沌产生的利弊与工程应 用中噪声激励的普遍性，我们开展此方面的研究。本论文的主要工作是研究软弹簧杜 芬振子在外加有界随机激励作用后的动力学行为的变化状况。第二章简要介绍模型的 选取、系统安全盆的侵蚀情况以及对初始点的选择问题；第三章给出了有关系统运动 的相图、倍周期分岔图和庞卡莱映射图等数值模拟结果。第四章利用随机振动理论， 初步给出系统响应的一些统计结果。论文的最后给出我们的结论与展望。 1 5 本章小结 本章首先介绍混沌定义、混沌学研究的起源以及发展情况，继而介绍了一些判断 混沌发生的条件。混沌作为一种科学现象是很有用处的，不管是使它产生还是在抑制 其发生等方面。出于外界随机激励对系统影响的普遍性，因此，研究噪声激励作用下 非线性振动系统的动力学行为很有现实意义。本文的主要研究工作围绕这一问题而展 开。 浙江大学硕士学位论文 一 2 1 引言 第二章模型的选取与安全盆的侵蚀 当我们确定了所要描述的问题后，就要从力学模型出发，导出其数学模型，最后 由计算机对数学模型进行相关的理论分析与模拟计算，得出我们所需了解的结果。在 整个研究的开始，力学模型的选取十分重要。本论文选取软弹簧杜芬系统模型，因为 这一模型具有典型的力学特性。 杜芬系统是具有非线性恢复力的强迫振动系统，在工程各领域中具有广泛的代 表性。从它提出( 1 9 1 8 年) 到现在，已经8 0 多年了。迄今，对它的解的性质并未完全 弄清楚。单自由度强迫杜芬振动系统的标准形式是： 戈十0 9 c 十脚+ 摩3 = f c o s c o t( 2 1 1 ) 其中o s 可取0 ，1 或一1 ；可取】或1 。式( 2 1 1 ) 有三个参数：，珊和。当口= 0 ， 口= 1 时称为日本型的，c h a y a s h i 等人研究较多，其工程背景是电子电路的非线性 振荡。当口= 一l ，= 1 时，由p h o l m e s 研究磁弹性梁的振动时得到。当口= 1 ，= 1 时称为硬弹簧型。d = 1 ，= 一l 时称为软弹簧型。许多力学问题( 如非线性振荡、保 守系统的扰动问题等) 的数学模型都可以归结为杜芬方程。模型( 2 1 1 ) 的外激即 f c o s c o t 项也可为宽带和窄带激励。宽带作为激励的模型研究已经非常的成熟了，而 在现实生活中非线性系统随机振动的绝大部分研究都属于窄带随机过程。例如，近 十年来，地震工程中很重视研究主次系统的地震响应。在串联分析中，若主系统可 模型化为在宽带随机激励下的小阻尼单自由度线性系统，则次系统的激励就是窄带 随机过程，在窄带随机激励下系统的非线性效应表现更为突出，因此分析非线性系 统对窄带随机激励的响应具有重要的理论与实践意义 1 4 。 对于一般的非线性系统，精确解很难求出，甚至根本就不存在封闭解。因此，人 们就利用各种方法寻求它的近似解。对于形立u ： 浙讧土学硕，上学位论文 一侵蚀 戈+ 由2 x = 矿g ，膏)( 2 1 2 ) 的弱非线性自治系统，以及形如： 膏十6 9 2 x = 矿g ，孟，c o t )( 2 1 3 ) 的弱非线性非自治系统，目前已有多种有效的近似解法，如l i n d s t e d t p o i n c a r e ( l - - p ) 法、平均法、时间变换法、k b m 法和多尺度法等 1 5 ，1 6 。但是，对于一般的强非 线性系统，由于问题复杂，目前还缺乏像弱非线性系统那样普遍适用的近似求解方 法。这一问题近年来引起了不少学者的关注，并对此开展了一系列的研究工作 1 7 ，1 8 。 在本章，我们首先介绍一下关于安全盆的内容。安全盆的提出对很多科学领域 的研究都具有重要的理论指导意义，涉及到多学科领域，如环境科学、岩石采矿科学、 地理学以及水文学等等。 对工程结构控制的研究迄今已有二十多年的历史。自从1 9 7 0 年y a o 等在其先驱 性工作 1 9 中介绍结构控制的概念以来，学者们在这方面陆续作了大量的工作( 见文 2 0 2 2 等) 。从工程应用的角度来说，实际考虑的问题并非仅仅为平衡点、周期解 和混沌运动等，有时更为重要的是振动的有界性问题。若质点的运动振幅超过一定限 度，往往会导致结构的破坏，由此产生对安全盆的研究( 见文 2 3 2 7 ) 。对于一个给 定的动力系统，其安全盆可由相空间的一个有界区域b s 来定义，从b s 内部出发的 轨线当时间趋于无限时仍在有界区域内运动。换句话说，从b s 外出发的运动是无界 的，最终将导致结构的破坏。安全盆的结构与某些吸引子的吸引盆结构( 见文 2 8 ，2 9 ) 极为类似，当系统参数发生变化时，安全盆的面积和形状将发生很大的改变。 如图( 2 1 ) 所描绘的为系统( 2 1 4 ) 在f 取两种不同值情况下时，系统安全盆的侵 蚀情况。如图所示的黑色阴影区域为安全区域，相反的白色区域为系统的不安全区域 3 0 。 舅+ 卢( 宝一! ) + x 、- - i t ) 一x ，一“) ：2 ，f s i n 、( ，o ) t ) ， ( 2 1 4 ) + 脚一g 一矗) + k u g 一“) + g 一“) 2 = 0 。 。 9 晰江土学硕士学位论文 一 ( a ) i = b ) ( c ) 图2 1 系统( 2 1 4 ) 的4 维相空间的多种交叉区域。 ( 左列为f ：0 0 ，右列为f = 0 0 6 5 。这里取0 2 = 0 7 5 ，o = 1 8 0 0 , m = 1 6 。) 1 0 浙江土学硕士学位论文 一 2 2 动力学模型的选取以及其安全盆的侵蚀情况 在现实中，核物理、流体力学、燃烧学等的许多现象可用软弹簧杜芬振子来刻画， 此系统含有十分丰富的动力学现象，是一个典型的非线性振动系统( 见文 3 卜3 4 j ) 。 它和范得波方程，f o u c a u l t 单摆等具有同等的重要性，几十年来，许多学者一直 致力于此系统的研究。因此，在本文中选取软弹簧杜芬振子系统作为我们的研究模型。 具阻尼的软弹簧杜芬振予在周期性外力作用下的形式为： 膏+ x + ，瞳一x3 = f c o s c o t ( 2 2 1 ) 其中为阻尼系数，厂与分别为外激励振幅与频率。 系统( 2 2 1 ) 是对称的，其对称周期解仅能以鞍结分岔和对称性破缺这两种方式失 稳。文 3 5 对该系统数值地分析了参数作定常变化时安全盆的侵蚀现象以及倍周期分 岔现象。在研究过程中，首先要对安全盆的侵蚀情况进行分析，因为这是选取初始点 并以此点数值地分析其动力学行为的重要前提。 我们首先给出系统( 2 2 1 ) 的安全盆的侵蚀情况。这罩先给出作定常变化时系 统( 2 2 1 ) 的安全盆的变化情况，以便进行初始点的合理选取。我们令z = o 5 ， 厂：0 3 5 ，迭代步长h = 0 0 1 ，且在系统的相空间中选取一个有界区域d ： 一2 5 x 2 5 ，一2 5 y 2 5 ，并把此区域分成5 0 0 5 0 0 个小格子，将格点作为系 统解的初始值。当系统过这些初始值的解在1 0 0 0 0 个时间单位内逃逸区域d ，这表明 它们是无界的解，否则，我们近似的认为它们是有解的。对不同的确定的值，由图 2 2 可以看出安全盆的变化结果。其上阴影部分代表系统的有界解所构成的安全盆， 而空白部分由导致无界运动的初始点组成。从这些图上可以得出，对珊o 7 4 ；系统 的安全贫无任何侵蚀，见图2 2 ( a ) 。随着逐渐减小，系统( 2 2 1 ) 的解将发生对称性 破缺和倍周期分岔现象( 见文 3 6 ) ，安全盆慢慢被侵蚀，且将导致安全盆的分形形状 ( 图2 2 ( b - c ) ) 及完全侵蚀( 图2 2 ( d ) ) 。 浙江大学硕士学位论文 一黼 ( a ) o = 0 7 4 ( c ) = 0 6 8 ( b ) 珊= 0 7 0 ( d ) 国= 0 6 7 5 幽2 2 确定性系统( 2 2 1 ) 的安全盆的侵蚀。 浙江太学硕士学位论文 第二章模型的选取与安伞盆的侵蚀 2 3 随机激励因素 在我们的现实生活中，随机激励的影响是无处不在的。在自然界与工程中，存在 着大量的诱发机械或结构系统振动的振源，诸如大气湍流，地面强风中湍流，湍流边 界层，喷气噪声，路面不平度及地震地面运动等。它们的一个共同特点是随机性，即 不能用确定性的时间与空间的坐标函数来描述它们，而只能用概率与统计的方法去描 述它们。这类振源通常称为随机振源，由这类振源引起的机械或结构系统的振动称为 随机振动。对随机激励的数学描述通常是以它的相关函数，谱密度函数来表示。接下 来简单的给出几个描述随机激励的例子。 ( - - ) 凹凸不平的路面 道路表面的不平给在它上面行驶的车辆的轮子施加位移扰动，这种随机激励产生 的振动可引起乘员的不适，也可引起结构的疲劳破坏，甚至可使汽车失控或使火车出 轨等等。在目前的技术水平下，通常对道路表面沿纵向做一维测量。大量测量表明， 路面不平度日b ) 是具有零均值的一维局部均匀各态历经的高斯随机场，可用如下波 数谱密度描述 3 7 】。 相应的相关函数为 ) ( 2 3 1 ) 删e ”| ( c o s 厅瓦+ 志血瓜硼) ( 2 3 2 ) 1 似n 一口 其中参数d ，口，k 取决于道路的类型及其状态。 ( 二) 大气湍流 大气湍流是指大气微团的无规则运动，它由风剪或积云与雷电中的对流产生， 其能量来源于太阳的辐射，而地球的转动又) j h 启j 了这种湍流。大气湍流对飞机的设计 与使用具有深刻的影响，飞机结构可能在严重的湍流中因超载而破坏。测量表明，大 晰江土学硕士学位论文 气湍流的垂向与侧向分量都是具有零均值的局部均匀的一维高斯随机场，其谱密度为 嘶，：譬蒜筹 s ，= 2 , 3 ，分别表示侧向与垂向：工为大气湍流尺度，是高度的函数。盯；为大气湍流速 ( 三) 噪声激励 噪声激励是我们在理论研究中经常要用到的一种随机激励形式。此处主要介绍 一下白噪声。理想白噪声只是一种数学抽象，因为在无限的带宽上都有有限的平均功 率，意味着该随机过程必须具备无限大的能量，这在实践中是不可能实现的，但是将 激励看作理想白噪声还是可取的，因为这样做在数学上便于处理。按定义，白噪声的 功率谱密度为 最如) = s 。( 常数) ( 2 3 4 ) 相应的自协方差函数可表示为 c ；( r ) = 2 咒乳占( r ) ( 2 3 5 ) 从上式可以看到，对于白噪声过程来说，不同时刻派生出的随机变量之间是不相关的， 即它的相关时间为零。若随机过程的功率谱在有限带宽上是均匀分布的，则称之为限 带白噪声。其功率谱密度可表示为 s = 佼畦q 刮韶2 ( 2 ，固 相应的协方差函数可表示为 c ，( f ) = 2 f ：2 s 0c o s ( i ) 砒= 孕s i n 0 ) 2 - z - - s i n 叩) ( 2 姗 对应于国，= 0 的情形，有 c ，( ) 2 s _ 虬o s i n f 晰江史学硕士学位论文 蝴一 当珊：斗m 时，此过程就趋于白噪声了。 2 4 随机激励作用下的动力学模型 通过前面有关随机激励的介绍可知，随机激励的影响非常普遍。在本论文中，作 者在模型( 2 2 1 ) 的基础上进行了变化，使其变为有界噪声激励下的强非线性软弹簧 d u f f i n g 振子模型。随机激励形式引用文 3 3 ，3 4 中的有界噪声： z ( r ) = f s i n ( q + 妒) ( 2 4 1 ) 妒= 柏( f ) + y( 2 4 2 ) 其中b ( ，) 为单位维纳过程：y 为 0 ，2 7 r ) 之间均匀分布的随机变量：f ，q ，盯为常数，f 为随机激励的幅值，q 为激励的平均频率，盯为噪声的强度。z ( f ) 是一个广义平稳的 随机过程，均值为零，相关函数为： e z ( t 1 ) z ( t 2 ) = e f s m q t 】+ d 曰( f 1 ) + y f s i n q t 2 + d 曰( f 2 ) + y ) ：昙f ：e c 。s q o ：一f 。) + ( 培o ：) 一g b ( t 。) 卜 ( 2 4 3 ) c o s q ( t 2 + t 1 ) + 西b 0 2 ) + 口曰( f 1 ) + 2 y ) ( 2 4 3 ) 式的第二个c o s i n 项的均值为零，因为y 是一致分布的，而口( f 2 ) 一b ( f 。) 为均值 为零、标准漂移量为il ：- t 。l 的高斯随机变量。通过简单计算可得： 研加；) 加：) - 吉f 2 c 。s 叫：_ f 1 ) e x p 一手h _ 1 】 ( 2 4 4 ) z ( f ) 的协方差函数为： 巾) = 圭f 2e x p ( 一譬) c o s q f ( 2 4 5 ) 谱密度为： 淅讧土学石贞士学位论文 一 方差为常数： 蹦加譬面古了+ 面古了 ( 2 4 - 6 ) 。( o ) ：嬖( 2 4 7 ) 鉴于iz ( t ) 峰f ，z ( t ) 是一个有界的随机过程。改变盯的值可使z ( t ) 有不同的带宽。 盯寸0 时z ( t ) 为窄带过程；仃寸o o 时z ( f ) 趋向于一个具有常数功率的白噪声。另外， 适当选取f 与盯的值，z ( f ) 可具有大气湍流的d r y d o n 谱和y o n k a r m a n 谱1 3 8 ，可模 拟风中湍流与地震的地面运动。因此，有界噪声是一个合理的噪声模型。 在外加随机激励后，系统( 2 2 1 ) 变为： 王+ x + 皿一x 3 = f c o s c o t + fs i n ( f 】t + a 曰( f ) + y )( 2 4 8 ) 对有界噪声的数值模拟通常采用蒙特一卡罗法 1 4 。本论文主要讨沦在上述有界噪声 激励下系统( 2 4 8 ) 的安全盆侵蚀、倍周期分岔和混沌运动等动力学行为的变化状况以 及系统响应的统计特性。 2 5 随机激励作用下系统安全盆的侵蚀情况 在上节我们已经得出了系统( 2 2 i ) 在激励频率u 发生变化时安全盆的侵蚀情况， 在此基础上我们进一步分析在外加有界随机激励的强度发生变化时，系统安全盆的侵 蚀情况。对于系统( 2 4 8 ) ，取：= o 5 ，厂= o 3 5 ，= 0 7 2 ，n = 0 8 。经过类似的 数值计算，可得出系统的安全瓮的侵蚀情况如下图2 3 所示。由图2 3 ( a d ) 可以 明显的看出，当伴随有外加随机激励的出现或者随着外加随机激励的幅度f 逐渐增大 时，系统安全盆也会逐渐被侵蚀。只有对这些变化现象有了一定的了解，我们才能在 接下来的动力学分析中对初始点和参数值予以更好的选取。系统安全盆的描绘对于我 们后续的数值计算以及相关的理论计算具有很重要的指导意义。 晰江土学坝上学位论文 一 ( a ) f = 0 0 ( c ) f = 0 0 2 ( b ) f = 0 0 0 5 ( d ) f = 0 0 5 1 7 图2 3随机激励下系统( 2 4 8 ) 的安全盆的侵蚀。 7 淅仁上学硕士学位论文 一 2 6 本章小结 本章主要提出了所要进行数值模拟与理论研究的力学模型，并介绍了一些有关 随机激励的概念与实例。在此基础上引入了系统安全盆的概念，通过对有无有界随机 激励时系统安全盆侵蚀情况的比较，我们知道，当伴随有随机激励或随着激励幅值增 大时，系统安全盆同样被侵蚀，这对于我们后续数值计算的初始点的选取产生了很大 的难度。因此，对随机激励下系统的安全盆侵蚀的研究具有一定的实际意义。 浙江土学硕士学位论文第三章倍周期分翁至混沌道路 3 1 引言 第三章倍周期分岔至混沌道路 非线性动力学中的分岔和混沌是非线性科学研究的重要内容之一，也是非线性微 分方程研究的重要组成部分。分岔理论主要分析究非线性常微系统由于参数的改变而 引起的解的不稳定性从而导致解的数目的变化行为。如果某个动力系统是结构不稳定 的，则任意小的扰动都会使系统的拓扑结构发生突然的质的变化，我们称这种质的变 化为动态分岔。由于当动态分岔出现时，系统必定是结构不稳定的，可见系统的分岔 问题与结构稳定性问题有着密切的联系。与此同时，动力系统中还可能通过一系列的