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原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得由墓直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：伛翌呈指导教师签名 日 期：掣翠6 = 五p 日期 监 ! 幽：i 垫 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名 日期磐 攀 内蒙古大学硕士学位论文 开放式基金的投资组合选择 摘要 本文应用经典的h a r r ym a r k o w i t z 投资组合的收益一风险模型，分析了开放式基金的投 资组合问题开放式基金的投资组合问题与一般的投资组合问题的主要区别在于面临赎回 风险本文采用三种方法建立开放式基金的投资组合模型，一种方法是将开放式基金的投 资理解为负债投资，在负债变化率为一随机变量的假设下，建立以净资产收益率的数学期 望为目标函数的模型；另一种方法是用经验函数对赎回机制进行描述，根据实际经验刻画 了赎回的损失函数，由此建立以资产收益率的数学期望为目标函数的模型；第三种方法是 用经验函数对赎回量进行描述，建立以资产扩张率的数学期望为目标函数的模型论文对 上述模型的选择问题作了进一步的讨论 关键词：开放式基金，负债，赎回准备金，赎回函数 a b s t r a c t t h ep o r t f o l i oo ft h eo p e n - e n df u n d s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w eu s et h ec l a s s i cr e w a r d - r i s km o d e lo fh a r r ym a r k o w i t zt oa n a l y z et h e p o r t f o l i oo ft h eo p e n - e n df u n d s j i - h em a i nd i f f e r e n c eb e t w e e nt h ep o r t f o l i ea n dt h a to ft h e o p e n - e n df u n d si st h a tt h eo p e n - e n df u n d sa r ew i t ht h er i s ko fr a n s o m w ee m p l o yt h r e e d i f f e r e n tm e t h o d st od e a lw i t ht h er i s ko fr a n s o m t h ef i r s to n ei st h a tw et a k et h eo p e n - e n d f u n d sf o rt h ep o r t f o l i ou n d e rl i a b i l i t y , a n dt a k et h ee x p e c t a t i o no ft h er e t u r nr a t eo fn e ta s s e t s a sa no b j e c t i v ef u n c t i o n ，s u p p o s e dt h a tt h eh a b i l i t yv a r i a b i l i t yi sas t o c h a s t i cv a r i a b l e ；t h e s e c o n do n ei st h a tw ed e s e r i b et h em e c h a n i s mo fr a n s o mb yae m p i r i c a lf u n c t i o n ，i nw h i c hw e d e f i n eaf u n c t i o no fr a n s o ma n de s t a b l i s hm o d e l st h a tt a k et h ee x p e c t a t i o no ft h er e t u r nr a t eo f a s s e t sa sa no b j e c t i v ef u n c t i o n ；t h et h i r do n ei st h a tw ed e s c r i b et h ea m o u n to fr a n s o mt h r o u g h ae m p i r i c a lf u n c t i o na n dt a k et h ee x p e c t a t i o no fa s s e t se x p a n s i o n a no b j e c t i v ef u n c t i o n i n t h i st h e s i s ，w ed i s c u s ss o m eq u e s t i o n sa b o u tt h es e l e c t i o no ft h em o d e i s k e y w o r d s ：t h eo p e n - e n df u n d s ，l i a b i l i t y , t h ep r o v i s i o no fr a n s o m ，t h ef u n c t i o no f r a n s o m 2 内蒙古大学硕士学位论文 1 1 金融数学的历史回顾 第一章绪论 金融学，作为经济学的应用分支学科，经历了百余年的发展，最终在上个世纪五十年代 从经济学中分离出来成了一门独立的学科1 9 5 2 年，h a r r ym a r k o w i t z 发表了一篇题为证 券投资组合选择的论文，提出了怎样选取证券组合，使得它的“收益与风险”有一种最 优权衡，于是证券的组合选择问题就归结为一个以收益率的均值代表收益，以方差代表风 险的数学问题这样一来，由于数学工具的介入，金融学便由定性描述阶段发展到了定量 分析阶段，这是金融学发展史上的一次重大变革，理论界称其为“第一次华尔街革命”， h a r r ym a r k o w i t z 也由此荣获了1 9 9 0 年的诺贝尔经济学奖金融数学的起源实际上可以更 早的追溯至l j l 9 0 0 年，当时一位不得志的法国数学家l b a c h e l i e r 曾在他的博士论文投机 理论( t m o n 6d el as p e c u l a t i o n ) 中提到过证券定价问题引出了许多对于经典金融学 极为重要的数学概念，如随机游走，布朗运动和鞅，其中布朗运动的概念比爱因斯坦还要 早五年然而不幸的是，l b a c h e l i e r 的工作没有引起金融界的认可长达5 0 余年，2 0 世纪5 0 年代 初，p a u l a s a m u e l s o n 与统计学家l j s a v s g e 重新发现了l b a c h e l i e r 的工作，标志着金融数学 的开始今天他已经被认为是金融数学当之无愧的先驱 “金融资产的定价”是经典金融学的核心问题，他所依赖的定价法则来源于均衡市场 的性质，这种性质是市场上应该不存在套利机会，即没有“免费的午餐”无套利机会主要体 现在两方面：首先是“一价定律”，即未来价值一样的金融资产当前的价值也一样其次，未 来值钱的金融资产当前也值钱分析后可以看, 出, h a r r ym a r k o w i t z 模型的求解实际上与“一 价定律”所导出的线性定价函数的确定是等价的 经典的h a r r ym a r k o w i t z 收益一风险模型如下： f m i n ( a 1 ) 。皇 【 元= u t v w = w r # = 芦， w t l = 1 其中u 为组合，= ，p 为组合的收益，砣= 扩y o 为组合的风险，称其解击为对应面( 投 资者事先假设的预期收益) 的极小风险组合h a r r ym a r k o w i t z 的模型还可以表示为： fm a x ( 。兰 【 恤。= r * 砣= = 矿 w t l = 1 该解击称为是对应风险矿的极大收益组合上述两个模型实际上是等价的如果再加上 3 不允许卖空的条件，即u o ，则模型( a 1 ) 可变为： 模型( a 2 ) 可以转变为： ) j 烹 吒；“，t 1 m = u t p = i ， w r l = 1 。 u 0 1 警2 。p ( 小) 卜儿0 2 = t j t l ，v w 身， 【 “，20 由h a r r ym a r k o w i t z 模型可以推导出同样作为“第一次华尔街革命”标志的资 本资产定价模型，r p c a p m 模型，它是由w i l l i a ns h a r p 于1 9 6 4 年，j o h nl i n t n e r 于1 9 6 5 年， j a nm o s s i n 于1 9 6 6 年三人分别独立推出的，建立了第一个在不确定情况下分析资本资产 定价理论的数学模型，为金融市场收益结构的分析提供了强有力的理论依据 1 9 7 3 年。f b l a c k 和m s c h o l e s 发表了一项重要成果名为“期权定价与公司债务”的论 文，这是一项突破性的成果，解决了长期困扰金融界的一个难题一如何给期权定价的问题他 给出了一个漂亮的期权定价公式，o o b l a c k s c h o l e s 公式，被理论界和实业界广泛接受和使 用，称之为“第二次华尔街革命”1 9 9 t 年的诺贝尔经济学奖颁给了m e r t o n 和s c h o l e s ，为奖励 他们与b l a c k 在确定衍生物证券价格方法方面的贡献，如果b l a c k 不是英年早逝的话，一定会 获此殊荣的不久后m e r t o n 给出了连续支付红利的股票标的物的期权定价公式，并把公式 推广到风险利率和标的物价格变异度可以不为常数的情形 1 2 我国的研究现状 由于我国近代特殊的国情，历史和体制等因素的影响，现代金融学的起步较晚，9 0 年代 初，中国证券市场的建立，是现代金融学研究的开始，虽然时间不长，条件艰难，但我国学者在 该领域仍做出了大量的贡献，现回顾如下： 李仲飞、汪寿阳和邓小铁，刘海龙、樊治平、潘德惠和孙良，研究了带交易费的投资组 合选择问题 晏木荣、杨昭军和师义民研究了带消费的投资组合选择问题 费为银和吴让泉，徐大江、杨辉煌、曾勇和唐小我研究了国际证券的投资组合问题 唐小我、伏庚、曹长修、马永开、杨德权、胡运权和刘鹏伟、张京和马树才研究了不 允许卖空时投资组合的模型、计算方法和有效前沿的性质 4 内蒙古大学硕十学位论文 张世英和王东，用模糊随机的方法研究了投资组合决策吕昌会、何湘藩，黄德斌和严 碧清提出了模糊多目标方法研究该问题对于这个问题的研究，还有李仲飞、李仲翔、汪寿 阳和邓小铁提出了交互式方法，程仕军、徐大江、李仲飞、汪寿阳和邓小铁提出了新的线 性规划方法 1 3基金的发展简史及研究开放式基金的意义 投资基金是一种收益共享，风险共担的集合投资机制在其运营过程中，一方面通过基 金凭证的发行，将基金从普通投资者那里集中起来；另一方面，通过委托专业投资管理机构 对基金资产进行股票、债券、外汇、货币等投资管理，以获得投资收益 投资基金的发展起源于英国政府于1 8 6 8 年设立的“海外与殖民地政府信托”，这一机 构的设立，标志着投资基金产业的形成随之逐渐发展壮大，尤其是在2 0 世纪7 0 年代，投资基 金的发展更为迅速，现已成为全球范围内一种极其重要的投资方式基金业已经与银行业、 证券业、保险业并驾齐驱成为现代金融体系的四大组成部分 我国基金业的发展是在改革开放后逐渐形成规模的，2 0 0 1 年9 月，首次推出了华安创新 基金和南方稳健基金由于历史和体制的原因，总体上讲我国基金业还处于发展的初期，对 基金的研究时间不长，虽然取得了许多有益的成果，但基金投资组合方面的文章相对来说 还是比较少所以研究基金投资组合有着重要的理论和现实意义 基金分为开放式基金和封闭式基金，开放式基金的发行量是不固定的，可根据发展需 要变动般资者可根据市场动态和各自的投资决策随时在基金公司设定交易日而封闭式 基金的发行量是固定不变的，在封闭期内基金单位总数不变而且两种基金的交易价格制 度也不相同，开放式基金的价格是由基金单位的净资产值确定，而封闭式基金的价格由市 场竞价决定所以开放式基金与封闭式基金相比有一定的优势 开放式基金自身的优势有：( 1 ) 价格由净资产决定开放式基金的申购，赎回价格以基 金单位净资产值加减一定的手续费计算得出，投资者需要基金时可直接向基金管理公司要 求赎回，其价格不受市场供求的影响( 2 ) 流动性好在开放式基金中，投资者进行买卖的对手 是基金管理公司也就是说，投资者是向基金管理公司购买或由基金管理公司卖出这与一 般的股票买卖要去寻找买卖的对手不同因此，在正常情况下，投资者不存在买不进或卖不 出的情况( 3 ) 透明性强开放式基金一般每日公布净资产值，并按规定披露相关信息由于这 些特点开放式基金的发展非常迅速，中国的基金发展时间很短，但是基金公司数量正在迅 速增长基于基金的发展，研究基金的投资组合问题就成为一种必需，而研究开放式基金的 投资组合选择问题就显得十分必要 5 1 4 本文的主要工作 开放式基金的投资组合选择是研究基金经理在收益一定情况下的最小风险问题与 证券投资组合选择的主要区别在于投资者的身份发生了变化，证券投资组合选择的模型既 适合证券公司的投资又适合个人的投资，而开放式基金的投资组合问题则主要是针对基金 经理的情况进行讨论，即基金经理从基金申购人那里融资，然后对证券市场进行投资，实际 上可以理解为负债下的经营因为开放式基金具有可赎回的特点，所以基金经理在进行投 资时不能把全部资产都投入市场，手里应留有一定比例的赎回准备金，以应付申购人随时 赎回基金 本文的第二章是在h a r r ym a r k o w i t z 收益风险模型的基础上讨论了开放式基金的投 资组合问题在这里我们将问题解释为负债下的投资组合选择问题在负债变化率为一随 机变量且净资产收益为一确定值的条件下，使得风险最小考虑了基金经理留有赎回准备 金的情形，并进一步讨论了在市场存在无风险资产的情况下，赎回准备金有收益的投资组 合选择问题 在第三章主要是针对我国金融市场不允许卖空的特殊性讨论了开放式基金的最优投 资组合问题，李仲飞【1 8 】曾经建立了不允许卖空时证券投资组合的模型，在该模型的基础 上同样考虑了基金经理应留有一定比例赎回准各金和准备金有收益等情形时开放式基 金的投资组合选择问题 第四章首先根据实际经验刻画了一个以资产收益率为自变量的线性函数，称之为赎回 函数依据这一经验函数的定义，建立了以资产扩张为目标函数的数学模型，给出了基金经 理收益水平一定时，使得风险最小的最优解和组合前沿表达式然后针对赎回发生在末期 与赎回发生在初期与末期之间两种不同的情况分别建立了以资产收益率均值为目标函数 的模型并进一步讨论了如何选择开放式基金投资组合数学模型的问题 1 5 本文所使用的符号 本文所讨论的资本市场，共有n 种风险资产和1 种无风险资产现引入符号如下( 其 中t 表示矩阵的转置 - 表示随机变量) ： 瓦：第i 种风险资产的随机收益率， = 1 ，2 ， f ：n 种风险资产的随机收益率向量，f = ( _ 1 ，y 2 ，靠) t 0 j i ：投资者投入到第i 种风险资产的比例j = 1 ，2 ，n u ：投资者的投资组合权重，u = l ，眈，) r 1 ：n 维向量，1 = ( 1 ，1 ，1 ) t 死：投资组合的随机收益率，= w t y 6 内蒙古人学硕士学位论文 d 0 ：阶段初的负债 a 。：阶段末的负债 d ：负债变化率，- d = 乌乎 内：阶段初资产的价值 - 1 ：阶段末资产的价值，- 1 = 葡( 1 + ) a o ：阶段初净资产的价值，a o = 匈一d o - 1 ：阶段末净资产的价值，- 1 = z 1 一a 1 r ：初始资产负债率，r = 鲁 ：净资产收益率，_ 4 = 紫= 2 宁一生争= 瓦一嘲 p ，：无风险资产的收益率 u ，：投资者投入无风险资产的比例 蚺：赎回准备金的比例 现在假设f 与_ d 的均值和方差都存在，并记 p = e _ 】， 吒= ，v w ， 脚= e 【r 而】， 霸= v a r ( r f d ) ， p = ( p 1 ，戊，砌) t ， 内= r c o v f f i ，- d ) ，i = 1 ，2 ，一，n 收益率的协方差矩阵为： v = c o v f f i ，- j ) = 何，死) ，v i ，j 易知y 是对称和半正定的( 在本文中均假设是正定的，下文会具体作出说明) 负债下投资组合的收益率为： p 。= e i 矗】= e l 九一r - d 】= u r p 一脚 方差为： 程= y o r ( 死) = v a r f f 。一7 珊) = “，i o 一2 w t p + 霸 1 6 预备知识 引入下列记号： a = 1 t v 一1 p = p t v 1 1 b = ，v q p ， c = 1 t v 一1 1 7 绪论 d = 6 c a 2 e = 1 t v 一1 p ；p r y 1 ，= p t v 一1 p = p t v 一1 “ g = p t v l p h = b 一2 a p f + 田 引理1 1 常数b ，c ，g 均为正数，有 吲器，器， ， n7 1 , ， 。【瓦i 而，丽j ， g 。 i l p 。l ( 1 ；西，瓦u p ( 2 2 y ) 。1 i l l 划踏， 忙i o ，则有 a = p t v - i # ec 器，晶， 同理可证c 与g 因为y o , p 和“线性无关，则有 c pp ，t y 一1 c pp ，= ；： 。， 则 ，2 一加 0 ，可知， ( d p b 1 ) t v 一1 ( p b 1 ) = b ( b c d 2 ) = b d 0 ， 8 内蒙占大学硕十学位论文 所以d 0 推论1 1h 0 因为c o 且d o ，所以= ( 一2 a ) 2 4 b c = 4 ( 一d ) 0 引理1 2 ( k u h n t u c k e r 定理) 设n + 是下列非线性规划的极小点，g j ( n ) ，1 jsz 是线性函 数其中n = 扣：雎咄= 声，咄= 1 t = 1i = 1 i m i n f ( n ) 乳t 卯( q ) = 0 ，1 j se ， lg j ( n ) 20 ，e + 1 j 1 则存在向量r + = ( 贯，嵋，竹) t 使下述条件成立： ， l iv f ( a + ) 一霄v 彩( n + ) = 0 ， -，= l 1嵋g j ( q + ) = 0 ，e + 1 j s z ， l 彳0 ，e + 1 j 1 上述条件简称为k t 条件，满足这个条件的点成k u h n t u c k e r 点 引理1 3 如果问题 砰田一肌咄 t = 1i = 1 u n 的最优解扩中，对某个j ，四 o ，则由6 q = o 有j = o ，从而由上式可得 v 【；吒2 2 一店恍+ a ( 胁岫一) + 卢( 咄一1 ) 】= 0 上式是( 1 ) 的唯一最优解所满足的k u h n t u c k e r 条件，因而应该有哼= 碍 0 假设2 2 至少有两种资产的期望收益率不同，p a l ，饱r 构造l a g r a n g e 函数， l ( u ，a 1 ，a 2 ) = ；u t v w + a 1 ( 面- - t o t p ) 十a 2 ( 1 一，1 ) ， 其中a 1 表示收益乘子，a 2 表示预算乘子 其解。= 击满足的必要条件为： 0 l ( 击, a t , a 2 ) ：y 击一a 1 肛一a 2 1 ：0 ， o l o d l ( 孑五, r a 1 , 一a 2 ) ：声一面t p ：o ，锨1 o l ( 石, a t , a 2 ) ：1 一矿1 ：o o a 2 。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中式( 2 1 ) 是n 维向量等式，o 表示n 维向量这里关于u 的“偏导数”只是一种形式，它表示 对u 的每个分量求偏导数后，再记成向量的形式模型( b 1 ) 的解通过下面的定理给出 1 0 内蒙古大学硕十学位论文 定理2 1 模型( b 1 ) 最优解为： 证明：由式( 2 1 ) 可得 击= ! 学p + 字俨1 孑= a 1 v 一1 p + a 2 y 一1 1 式( 2 4 ) 两端同时左乘以p 丁，再结合式( 2 2 ) - 1 - 得， a 1 r y 一1 p + a 2 p r v 一1 1 = 面 式( 2 4 ) 两端同时左乘以1 r ，再结合式( 2 3 ) 可得， 联立式( 2 ，5 ) 和式( 2 6 ) 即得， 再由式( 2 4 ) ，便得 a 1 1 r v 一1 “+ a 2 1 t v 一1 1 = 1 a 1 2 c # _ - a d ，a ：掣 d 西= 字旷p + 字沪， 现在讨论模型( b 1 ) 的组合前沿表达式，仍以定理的形式给出 定理2 2 模型( b 1 ) 的组合前沿表达为： o - 。2 = 白t = ；( 声一：) 2 + ： 证明：将模型( b 1 ) 的最优解( 定理2 1 ) 代入吒的定义式，得 1 1 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 开放式基金的投资组合选择 以；矿 = 【学p + 竽州t y 等y + 竽州 = 壶【c 2 面2 ，y 一1 矿y 一1 p n c 础t v 一1 v v 一1 i t + b c 础r v 一1 v v 一1 1 一口c 矿p r y 一1 y y 一1 1 一a c 面j u t y 一1 矿y 一1 p + 矿，y 一1 y y 一1 p a b # t v 一1 y y 一1 1 + 口2 ；砸r y 一1 y y 一1 1 + 6 币1 t v 一1 y y 一1 p a b l t v 一1 y y 一1 p + 6 2 1 r y 一1 y y t i 一口b 面i t v 一1 v v 一1 1 一o c 芦l t v 一1 v v 一1 p + d 2 t , 1 t v 一1 v v 一1 p a b e l t v 一1 v v 一1 1 + a 2 声2 1 t v 一1 y y 一1 l 】 = 壶【静铲一n 雌+ n 呻一。2 苹2 一出面+ a 2 b - - a 2 b + a 3 芦 + n 嘶一a 2 b + 6 2 c n 6 c 面一0 2 c 面+ 矿面一。屺巧+ 铲铲j = 壶【耐+ 2 a 3 面- - n 嶂+ b 2 c - a 2 明 = 嘉 彬一2 雌+ 卅 = j c 【p 一：) 2 + ： 在平面( 以，) 上，极小风险组合击的收益与风险之间画出了一条抛物线，它称为组合 的前沿，其中抛物线的顶点为最小方差组合u g ，其对应顶点的组合收益为p g = ：，组合风险 为碚= ：1 ，即 d1 r 旷l “ 阳2 i 2 f 两， 。 1 1 略2 ：2 f 矿可 而 啪= u - ! v - l i t + 半y - i i = 竽v - 1 1 = 鼎 抛物线的上半部分称为有效前沿，有效前沿上的每一点所对应的组合称为有效前沿组 合，它们都代表一种收益固定时风险最小的组合以及风险固定时收益最大的组合抛物线 的下半部分称为无效前沿，在无效前沿上的每一点也都代表一种收益固定时风险最小的组 合，但在风险固定时收益却不是最大对于理性投资者来说，当然只关心有效前沿组合 2 2开放式基金的收益风险模型 本节将在把基金的融资理解为随机负债的前提下考虑净资产收益率一定时的i i l d , 风 险问题设阶段初的净资产为蜘= c o d o ，阶段末的净资产为_ 1 = - 1 一- 1 ，则净资产的收益 率为瓦= 紫= 訾一4 皆= 一吼，其中r = 鲁现建立模型如下： 1 2 内蒙古人学硕十学位论文 p m i n 嚣v a r ( 掣p w - - t f 吒d ) ， 警警 这里声= 声+ p d 除了认为假设2 1 和假设2 2 成立外，还要对资本市场作如下假设： p a l ，r 其中p = ( 以，伪，一，肌) r ，肼= t c o v ( 霞，- d ) ，i = 1 ，2 ，t 1 假设2 4 p a p ，v q r 构造l a g r a n g e 函数， ( u ，a 1 ，a 2 ) = ；u t y u 一，p + a 1 ( 声- - w t p ) + 沁( 1 - - w t l ) 其解u = 口满足的必要条件为： o l ( 亩，a 1 ， 乩 a l ( 孑，a 1 ， a a l a l ( 蟊a 1 ， o a 2 a 2 ；声) a 2 ；声) a 2 ；声) = y 孑一p a l p 一沁1 = 0 = 声一孑r p = 0 ， = 1 一面t 1 = 0 其中式( 2 8 ) 是n 维向量等式，模型( b 2 ) 的解通过下面的定理给出 定理2 3 模型( b 2 ) 的最优解为： 其中， 西= y 一1 p + a 1 v 一1 p + a 2 v 一1 1 a - = j c l p a 一，_ ：+ 警) ， a 。= 字一：( 面一，一：+ 警) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 证明：由式( 2 8 ) 可得， 西= y 一1 p + a 1 v 一1 肛+ , x 2 v 1 1 式( 2 1 1 ) 两端同时左乘以，再结合式( 2 9 ) 可得， ，+ ) q b + a 2 a = 岔 式( 2 1 1 ) 两端同时左乘以1 r ，再结合式( 2 1 0 ) 可得， 联立式( 2 1 2 ) 和式( 2 1 3 ) 可得， e + a l a + a 2 c = 1 a 1 = 孑c p 一，一。a + a c e ) ， 枷宰一：( 声一f a _ 。+ a 。e ) 西= y 一1 p + a i v 一1 “+ a 2 v 一1 1 由下面定理给出模型( b 2 ) 的组合前沿表达式 定理2 4 模型( b 2 ) 的组合前沿表达式为： 程2 ；伍+ 心一，一：+ 警) 2 9 + 盟亏! z + 以 证明：将模型( b 2 ) 的最优解( 定理2 3 ) 代入程的定义式得， 程= d t v o 一筋0 + 程 ；【p 一1 ( p + a l p + a 2 1 ) 】t y v 一1 妇+ a 1 p + a 2 1 ) 】一2 p 7 v 一1 0 + a 1 p + a 2 1 ) + 司 ：g + a l f + a 2 e + a 1 ，+ a i 6 + a l 沁n + a 2 e + a 1 a 2 口+ a ；c 一2 9 一2 a l ，一2 a 2 e + 司 = 一9 + x 2 b + 2 a 1 a 2 a + 蝎c + 司 = 一9 + 和一，一：+ 誓) 】2 6 + 2 暖伍一，一：+ 警) j _ 1 - - _ e 一；( 面一，一：+ 警) j 口 + 【了x - - e 一；( 声一，一：a + 誓) 】2 c + 司 = 一9 1 = 等( 声一，一：a + + 2 等( 面一，一：+ 警) 一2 爹( - ，一：+ 詈) 2 + 掣一z 等( - ，一：+ 了o , e ) + 警( 芦一，一：+ 警) 2 + 以 = ；( 互一，一：+ i a e ，2 9 十掣+ 胡 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) f 2 1 3 ) 内蒙古大学硕十学位论文 因为声= 声+ p d ，所以有 以= _ 【cp + 一，一：+ i a e ，2 一g + 鱼 望+ 以 由定理2 4 可知，模型( b 2 ) 的最小方差为： 碚= 训华十司， 所对应的收益为： p g = f + a 。一警一心， 此时的组合为： 叼= 等v - 1 1 十一p s 2 3带有固定比例的赎回准备金 下面考虑带有赎回准备金的情况，此时认为假设2 1 ，假设2 2 ，假设2 3 和假设2 4 都成 立建立模型如下： r a 。i n v a r ( 一晚) s t e 一嘞】= 面， u t l + 嘶= 1 ， o j r 0 其中要求应该是非负的，这是要保证不存在套利机会，否则，相当于借到了一笔无息贷 款，从而便形成了“免费的午餐”此时建立的是一个两期模型，认为赎回可以在初期与末期 之间连续发生，所以赎回准备金不能进行任何投资或者银行存储，这时赎回准备金应该没 有任何收益可以将上述模型等价地转化如下： f 嘲n u t y u w t p ( b 3 ) & 屯w ，t 。1 + 2 w 反r ：1 ， l坼 0 这里互= 声+ p d 构造l a g r a n g e i 函数 上( a 1 ，抛；刃= ；，m - - t j t p + a 1 - - f t t o j ) - - a 2 ( 1 一，1 一坼) 1 5 开放式基金的投资组合选择 具解u = 西满足的必要条件为： 型鼍业崾! ：一p 一址一址：o 型掣：声一矿p ：o a a l rr 。 丝堕! 叁：垄i 盟：1 一石t 1 一坼：o a a 2 一一 其中式( 2 1 4 ) 是n 维向量等式，模型( b 3 ) 的最优解由下面定理给出 定理2 5 模型( b 3 ) 的最优解为： 击= y 一1 p + a 1 v 一1 p + a 2 v 一1 1 ， 其中 ；( 口一，一! 掣+ 警) ， 沁= 半一j a l p a 一，一a ( 1 - - w , ) + 警) 证明：由式( 2 1 4 ) - - t 得， 孑= v 一1 p + a 1 v 一1 p + a 2 v 一1 1 式( 2 1 7 ) 两端同时左乘以，再结合式( 2 1 5 ) 可得， ，+ a l b + a 2 a = 声 式( 2 1 7 ) 两端同时左乘以l t ，再结合式( 2 1 6 ) t - - a - 得， 联立式( 2 1 8 ) 和式( 2 1 9 ) 可得， e + a 1 口+ a 2 c = 1 一冉 a t = ；( 声一，一a ( 1 _ - w ) + i a e ) ， 扣半一：( 声一，- a ( 1 - 。w r ) + 警) ， 击= y 一1 p + a 1 v 一1 p + a 2 v 一1 1 由下面定理给出模型( b 3 ) 的组合前沿表达式 定理2 6 模型( b 3 ) 的组合前沿表达式为： 砖= ；( 芦+ p d - - ，一_ a ( 1 - w , ) + 警) 2 9 + 旦专望+ 司 1 6 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) r 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 堕蓥直盔兰堡兰堡堡塞 i l l ：明：行模型( b 3 ) 的最优解( 定理2 5 ) 代入程的定义式，得 以；矿y 击一2 击t p + 以 = 【矿一1 p + a 1 p + a 2 1 ) 】t r i g 一1 + a 1 p + a 2 1 ) 】一2 p r v 一1 ( p + a 1 p + a 2 1 ) 】+ 以 = 田+ a l ，+ a 2 e + a l ，+ 碍6 + a i a 2 a + a 2 e + a 1 抛口+ a ；c 一2 9 2 a 1 ，一2 a 2 e + 旌 = 一9 + a ；b + 2 a 1 a 2 a + a ；c + 以 = 一g + 够一，一a ( 1 - _ w r ) + 誓) j 2 6 + 2 暖伍一，一丛学+ 警) 】【半一：( 五一，一_ a ( 1 - - w r ) + 警m “生一；( 芦一，一譬掣+ 秘c + 司 = 一g + 警( 声一，一掣十警) z + 2 掣( 五一，一业掣+ 警) 一2 窘( 声一卜a ( 1 吾w r ) 十警) 2 + 掣 一2 掣( 声一，一_ a ( 1 - - w , ) + 詈) + 警( 五一，一生掣+ 警) 。+ 司 = ；( 声一，一_ a ( 1 - - w r ) + 了a e ，2 9 + 掣+ 以 因为声= 声+ p d ，所以有 记= ；晒+ p d - - ，一丛生 盟+ 了a e ，2 9 + 鱼 望+ 以 由定理2 6 可知，模型( 口3 ) 的最小方差为： 碚= 训掣+ 司， 所对应的收益为： p g = ，+ _ a ( 1 - - w r ) 一警一m 此时的组合为： 啪：三掣y 1 1 + y 一1 p 啪5 _ ”1 l + y 1 p 。 s 2 4 存在无风眙；各声 市场上除了风险资产外，还存在无风险资产( 比如银行定期存款) 基金经理在进行投资 时，有时也需要进行无风险投资，假设无风险资产的收益率为w ，投资的比率为吖，现在考虑 1 7 开放式基金的投资组合选择 市场上存在无风险资产的情形类似于模型( b 3 ) ，仍然认为赎回发生在初期与末期之间建 立模型如下： j 霉嚣掣吖w 吒 i ，l + 蚺+ 吖“， 【 蚺0 ，r a i n 器。， 型堑掣；- p - 椰咄1 ：o ， 砌 型鸣粤婴：一a l p ! - - a 2 扎 i d k j ， 堂学矿矿，l 一咖_ 0 型堕丛边盈：1一矿1一嘶一西：ooa2 j 一 其中式( 2 2 0 ) 是n 维向量等式，模型( b 4 ) 的最优解由下面定理给出 定理2 7 模型( b 4 ) 的最优解为： 西= y 一1 p + a 1 v 一1 “+ a 2 v 一1 1 1 8 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 内蒙古人学硕十学位论文 其中， 证明：由式( 2 2 0 ) 可得， 枷坠上车坚型，n 枷一坠上堂 孑= v l p + x i v 一1 p + x 2 v 一1 1 式( 2 2 4 ) 两端同时左乘以，再结合式( 2 2 2 ) 可得， ，+ a 1 6 + x 2 a + w i # l = 声 式( 2 2 4 ) 两端同时左乘以1 t ，再结合式( 2 2 3 ) 可得， e + x a a + a 2 c + ”= 1 一蚺 联立式( 2 2 1 ) ，式( 2 2 5 ) 和式( 2 2 6 ) 可得， 、一( 芦一，一( 1 一坼一e ) p ，) 赴2 一， x 2 = - 坠上出 面= y 一1 p + a 1 v 一1 p + x 2 v 一1 1 由下面定理给出模型( b 4 ) 的组合前沿表达式 定理2 8 模型( b 4 ) 的组合前沿表达式为： 以：坠坐上 剑一，+ 以 1 9 开放式基金的投资组合选择 i 正n 1 4 ：行楔型( b 4 ) 的葳优解e 弼a 2 7j 代入口：的足又式得， 砣= 矿一2 亩t p 4 以 = 【矿一1 0 + a 1 p + a 2 1 ) 1 r v v 一1 ( p + a 1 p + a 2 1 ) 】一2 ，f y 一1 p + a 1 p + 沁1 ) 】+ 以 = g + a l ，+ 抛e + a 1 ，+ a i 6 + a l a 2 口+ a 2 e + a 1 沁n + ) , 2 2 c 一2 9 一2 a 1 ，一2 ) t 2 e + 以 = 一g + 研6 + 2 5 1 $ 2 a + a ；c + 刃 ；一9 + 【生生三二出】z 6 + 2 【吐丝学】【_ 坠上与堂】a + 卜坠上与等业业1 2 c + 刃 ：一g + 【生上与业】2 ( 6 2 叩，+ 田) + 以 ：坠上剑一9 + 司 因为芦= 芦+ ，所以有程= 坠坐上 剑一g + 以 由定理2 8 可知，模型( b 4 ) 的最小方差为： 碚= 一g + 以， 所对应的收益为： p g = ，+ ( 1 一e 一) p ，一脚， 此时的组合为： 叼= v p 2 5 赎回准备金存在收益 上两节讨论了基金经理在进行投资时没有把全部资产投入资本市场，而是留有一定比 例的赎回准备金，实际上如果假定赎回只能发生在末期，那么把这部分资产存入银行可以 得到一定的利息收益，这实际上相当于把赎回准备金进行了无风险投资建立模型如下： m i nv a r ( r , 一嘞) u ，u ， s t e 阢一衍- d 】+ ( 吖+ 蚺) p ，= 面， 0 1 + u t + ”i = 1 坼0 内蒙古大学硕士学位论文 对于无风险资产的收益率对净资产收益率的影响，仍然类似于上一节的情况作处理，此时 记u ，r = 吖+ 坼上述模型可以等价地转化如下： ，r a i n 誊 这里声= 面+ p d 这时实际上就是只有无风险资产的情况对于它的解及组合前沿表达式类 似于定理2 7 和定理2 8 很容易可以得到，限于篇幅，这里不再赘述 2 1 不允许卖空时开放式基金的投资组合选择 第三章不允许卖空时开放式基金的投资组合选择 针对我国金融市场的特殊情况，下面考虑不允许卖空时开放式基金的投资组合问题实 践当中，基金经理在投资时会选择不同行业，不同种类的资产进行组合投资，这些资产收益 之间的相关性一般很小可以认为是不相关的因此下面就这种情形考虑投资组合在收益 给定时的最小风险问题 假设市场上的n 种风险资产不相关，即它们的收益率是不相关的， 则对不同 的i ，j ，有c d t ，( 磊，弓) = 0 此时的协方差矩阵v = d i a g ( 一，以，砖) 是一对角矩阵因 为砖 o ，则y 是正定的y 的逆矩阵可表示为v - 1 = d i a g ( a i 2 ，町2 ，啄2 ) 此时有 n = l t v 1 t = 町2 肚， 扛= 1 n b = ，y 一1 p = 叮2 版2 ， i = 1 n c = l t y 。1 1 = 町2 ， i = 1 n e = 1 r v p = 町2 “， = 1 n ，= ，矿_ 1 p = 町2 地店， 扛1 n g = ，y 。1 p = 町2 彳 3 1 不允许卖空时的收益- 风险模型 对于不允许卖空的资本市场，建立模型如下： 其中峨2o 表示不允许卖空 m i nv a r ( 一吼) u s t e 一7 _ d 】= 声， u t l = 1 u20 内蒙古大学硕七学位论文 由上面引入的符号，可以将上述模型变换如下： 睁 砰一m 岫+ j 1 。d 2 ) w i = 1i = 1 s t m 咄一脚= 芦， i = 1 吣= 1 ， i