（应用数学专业论文）一类非线性色散波方程的孤立子解.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 非线性现象是自然界中既普遍又重要的现象。非线性科学是研究非线 性现象共性的一门学问，它研究的主体是孤立子，混沌和分形。许多非线 性问题的研究最终可归结为非线性系统的描述。 非线性系统的精确解对研究相关的非线性问题非常重要。孤立子研究 的一个主要内容，就是寻求非线性系统的解，特别是孤立波解。在过去大 约5 0 年中，非线性科学研究领域颇具特色的新成果之一就是创造了求非 线性方程的解特别是孤波解的各种精巧方法。 本文正是应用上述方法来研究非线性的色散波方程的孤立子解。在第 一、二章首先介绍了非线性波动方程及孤立子理论的研究背景、研究进展 和发展现状和意义，总结并分析了现有的求解非线性波动方程的方法。随 后介绍了本文研究非线性波动方程孤立波解所用的方法及涉及的相关的 概念、定理。 第三章，利用动力系统的定性分析理论，通过相图分析的方法，借助 m a t h e m a t i c a l 软件，通过同宿轨，异宿轨，周期轨，对应解的情况，研究 了广义c h 方程的孤立子解，并且给出了光滑周期波解，光滑孤立波解， 类似扭波解和类似反扭波解的存在条件以及周期尖波解，孤立尖波解的精 确表达式。第四章，利用相图分析的方法，研究了f o m b e r g w h i t h a m 方程 的类似扭波解和类似反扭波解，给定参数值，求出了解的精确表达式，画 出其图形。 关键词：广义c h 方程，相图分析，同宿轨，异宿轨和周期轨，孤立尖波 解，类似扭波解和类似反扭波解 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rs c i e n c e ，w h i c hh a ss o l u t i o nt h e o r y , f r a c t a la n dc h a o sa si t s m a i n p a r t s ，i st h es u b j e c to fs t u d y i n gt h ec o i l m o nf u t u r e so fn o n l i n e a r i t y n o n l i n e a r i t yi su n i v e r s a la n di m p o r t a n t m o s tn o n l i n e a rp r o b l e mc a nb e d e s c r i b e db yn o n l i n e a re q u a t i o n s ，w h i c hg e n e r a l l yi n c l u d e sn o n l i n e a r h o wt oo b t a i nt h ee x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re q u a t i o n si so fv i t a l i m p o r t a n c et os t u d yo ft h ec o r r e s p o n d i n gp r o b l e m t h ek e yp r o b l e mi n s o l i t o nt h e o r yi st og e ts o l u t i o n so ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ， i n c l u d i n ge x a c to n e so rn u m e r i c a lo n e s d u r i n gt h ep a s t5 0y e a r so rs o ， t h es c i e n t i s t sh a v ec r e a t e dv a r i o u si n g e n i o u sm e t h o d st oc o n s t r u c te x a c t s o l u t i o n s ，e s p e c i a l l ys o l i t o ns o l u t i o n so fn o n l i n e a re q u a t i o n s i nt h i sp a p e r , w es h o u l du s e da b o v em e t h o d st os t u d yn o n l i n e a r d i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n i nc h a p t e r1a n dc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h e s t u d yb a c k g r o u n d ，s t u d yd e v e l o p m e n ta n ds i g n i f i c a n c eo fn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o na n ds o l i t o nt h e o r y t h em e t h o d sk n o w nu pt ot o d a yf o rs o l v i n g t h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o na r es u m m a r i z e da n da n a l y z e d t h e nt h e c o n c e r n e dc o n c e p t sa n dt h e o r i e sw h i c hu s e di nt h i sp a p e ra r ei n t r o d u c e d i nt h et h i r dc h a p t e r , t h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i sm e t h o d so fd y n a m i c a l s y s t e m a r eu s e dt o i n v e s t i g a t e t h es o l i t o ns o l u t i o n so ft h e g e n e r a l i z e dy 。c he q u a t i o n u s i n gt h ew a yo ft h e p h a s ep o r t r a i t b i f u r c a t i o na n a l y s i sa n dm a t h e m a t i c a ls o f t w a r e ，w eo b t a i nt h es o l i t o n 江苏大学硕士学位论文 s o l u t i o n sb yt h es o l u t i o n s c o r r e s p o n d i n g t ot h eh o m o c l i n i co r b i t ， h e t e r o c l i n i co r b i ta n dt h ep e r i o d i co r b i t h o w e v e rw eg i v et h ec o n d i t i o n s o ft h e r ea x ee x i s ts m o o t hp e r i o d i cw a v es o l u t i o n s ，s m o o t hs o l i t o nw a v e s o l u t i o n s ，p e r i o d i cc u s ps o l u t i o n s ，k i n k l i k ew a v es o l u t i o n s ，a n t i k i n k - l i k e s o l u t i o n s a n de x a c te x p l i c i tp a r a m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n so fp e r i o d i cc u s p s o l u t i o n sa n ds o l i t o nc u s pw a v es o l u t i o n sa r eg i v e na n dt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o ni sm a d e i nt h ef o r t hc h a p t e r , u s i n gt h ew a yo ft h ep h a s e p o r t r a i tb i f u r c a t i o na n a l y s i s ，w es t u d yk i l l l 【- l i k ew a v es o l u t i o n sa n d a n t i k i n k - l i k es o l u t i o n so ft h ef - w e q u a t i o n t h ee x a c te x p l i c i tp a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n s o f t h o s es o l u t i o n sa x eo b t a i n e da n dt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o ni sm a d e k e y w o r d s ：t h eg e n e r a l i z e dc he q u a t i o n ，t h ep h a s ep o r t r a i ta n a l y s i s ，t h e h o m o c l i n i co r b i t ，t h eh e t e r o c l i n i co r b i ta n dt h ep e r i o d i co r b i t ， t h ep e a k e dw a v es o l u t i o n s ，k i n l 【- l i k ew a v ea n da n t i k i n k l i k e w a v es o l u t i o n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论 文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密西。 学位论文作者签名：毫量i 奏 加嚣年陋月1 8 日 1 指导教师釜移 舻m ( 珀 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：否筮底 日期：沙_ 6 年协月易日 江 苏大学硕士学位论文 第一章绪论 自然科学和技术的发展，正在使传统的学科划分和研究方法发生深刻的变 化。学科间的相互渗透和传统学科与日新月异的新技术结合，促使大批综合性边 缘学科的孕育与发展。这种发展的一个重要特征是“非线性。非线性科学是近 三十年来在综合各门以非线性为特征的科学研究基础上逐步形成的、旨在揭示非 线性系统的共同特征和运动规律的一门跨学科的综合性科学。非线性科学是继量 子力学、相对论之后2 0 世纪自然科学的重大发展。非线性科学的发展从根本上影 响和改变着整个科学体系。 本文从应用数学角度出发，利用定量和定性理论研究一类具有广泛应用背景 的非线性波动方程及其孤立波的一些重要性质。下面将概述非线性波动方程及孤 立波的研究背景、研究现状和发展前景及本文的研究内容和意义。 1 1 研究背景 世界本质的非线性得到人们的普遍认同。人们对线性系统已经有了深入的了 解和应用，而这些线性系统只是对于复杂客观世界的近似的线性抽象和描述。非 线性模型是对世界更真实更准确的反映。过去人们在解决非线性问题时经常采用 的策略是忽略非线性项，从而将一个复杂的非线性问题纳入到线性理论的框架 中，其结果是涉及复杂问题本质的非线性规律被掩盖甚至抹杀了，无法揭示问题 的本质和特征。相比于线性系统，非线性模型能更好更准确地描述自然现象从而 更接近现象的本质，这使得非线性科学得以产生并蓬勃发展。由此，非线性系统 得以大量涌现，从而研究这些非线性系统就顺其自然的成为了非线性科学研究领 域的首要任务之一。 非线性科学就是近三十多年来在综合各门以非线性为特征的科学研究基础 上逐步形成的，旨在揭示非线性系统的共同特征和运动规律的一门跨学科的综合 性科学。继牛顿力学和量子力学之后发展起来的非线性科学促使现代自然科学发 生深刻的变化，正在改变人们对世界的看法，促使了一大类新兴学科的诞生和发 展，极大地影响着现代科学的逻辑体系。非线性科学研究的主要范畴是混沌 ( c h a o s ) ，分形( f r a c t a l ) ，孤立子( s o l i t o n ) 和斑图( p a t t e r n ) ，也包括神经网络 江苏大学硕士学位论文 ( n n ) ，元胞自动机和复杂系统。下面我们仅介绍孤立子的有关研究情况。 孤立子和孤立波是推动非线性科学发展的重要概念之一。孤立子又称孤立 波，是指一大类非线性偏微分方程的具有特殊性质的解以及与其相应的物理现 象。在历史上，孤子和孤波的概念是从一维浅水槽中小振幅波的研究开始的【1 ，2 1 。 随着近代物理学和数学的发展，早在1 8 3 4 年由英国科学家r u s s e l l 发现的孤 立波现象近二十年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增。这是 因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用 孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象；另一方 面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步 形成比较完善的理论体系( 参考文献f 3 9 1 ) 。 孤立子理论自1 9 6 5 年由7 _ a b u s k y 和k r u s k a l 对孤立子( s o l i t o n ，简称孤子) 命 名后得到了迅速地发展。究其原因是孤波现象无所不在，从天上涡旋星系的密度 波、海上冲击波、分子系统、生物系统、激光的传播、非线性传输线、超流氦一3 、 超导j o s e p h s o n 结、磁学、结构相变、液晶、流体动力学以及基本粒子等，都与 孤子有关。其发展大致可分为三个阶段。 第一阶段，主要是1 9 世纪。最早讨论孤立子问题的是s c o t tr u s s e l l 。1 8 3 4 年英国工程师r u s s e l l 发现船在运河中快速行驶着，当这条船突然停止时，在船 头附近产生了一个光滑的、像小山包一样的水波，然后这个水波离开船头保持它 的形状和速度不变，接着这个水波的高度逐渐减少，最后在运河的一个拐弯处消 失掉，他把这种水波称为孤立波，认为它就是流体运动的一个稳定解。直到1 8 9 5 年，荷兰阿姆斯特丹大学的k o r t e w e g 教授和他的学生d ev r i e s 才成功导出了著 名的k d v 方程，求出了与r u s s e l l 描述一致的即具有形状不变的脉冲状的孤立波 解，在理论上证实了孤立波的存在，并对孤立波现象作了较为完整的分析，解释 了r u s s e l l 的浅水波，解决了这个问题。他们的数学模型为 u ，+ 6 u u x + “。= 0 ( 1 1 ) 孤立波解为 厂 。 u 1 ( x , t ) = i cs e c h 2 ( 半 一甜) ) ( 1 2 ) 二 二 后人称u 1 0 ，t ) 为卜孤立子解( c o m p a c t o n ) ，如果令f = x - c t ，那么l i l 在# - u 平面 2 江苏大学硕士学位论文 上的图为图1 - 1 所示。 图1 - 1 光滑孤立子岣在善一u 平面上的图形 1 9 6 5 年美国数学家k r u s k a l 和z a b u s k y 对k d v 方程的孤立波解进行数学模 拟，他们发现两个孤立波相撞之后，各自的运动方向和大小形状都保持不变。这 种性质与物理中粒子的性质类似，因此他们称这种孤立波为孤立子。在通常情况 下，人们把孤立波和孤立子混为一谈，不把它们区别开来。与此同时，在1 8 7 6 1 8 8 2 年发现了b a c k l u n d 变换，成为发展孤子理论的重要基础。 第二阶段大致可划在1 9 5 5 1 9 7 5 年。1 9 5 5 年，f e r m i ，p a s t a ，t n a m 0 叩t j ) 将6 4 个质点用非线性弹簧连成一条非线性振动弦，用计算机计算了一维非线性晶格在 各个振动模之间的转换。初始时，这些谐振子的所有能量都集中在一个质点上， 其他6 3 个质点的初始能量为零。按照经典的理论，只要非线性效应存在，就会 有能量均分，各态历经等现象出现，即任何微弱的非线性相互作用，可导致系统 的非平衡状态向平衡状态的过渡。但实际计算的结果却与经典理论是背道而驰。 实际上，经过相当长时间之后，能量似乎又回到了原来的初始分布，这就是著名 的f p u 问题。由于f p u 问题是在频域空间考察的，未能发现孤波解，因此该问 题未能得到正确的解释。后来，人们发现可以把晶体看成具有质量的弹簧拉成的 链条，这恰好是f e r m i 研究的情况。t o d a 研究了这种模式的非线性振动，得到 了孤波解，使f p u 问题得到正确的解答，从而进一步激发起人们对孤立波的研 究兴趣。 第三阶段( 1 9 7 3 ) ，把孤子概念及理论广泛应用于物理学，生物学，天文学 等各个领域，开展了高维孤子的研究。1 9 8 0 年非线性效应专刊p h y s i c a d 问世， 与此同时，光纤中的孤子已在实验中产生出来。此后的发展更是突飞猛进。 描述孤波现象的方程包括各种修正型方程至少有十几种，最为常见的是k d v 3 江苏大学硕士学位论文 方程、b u 唱e m 方程、b o u s s i m e s q 方程、s m e g o r d o n 方程、即方程、n l s 方程、 c h 方程、d p 方程、k ( m ，n ) 方程等。从2 0 世纪6 0 年代开始，以前人们所知道的 孤立子解都是光滑的，但在1 9 9 3 年，美国洛斯阿拉莫斯国家实验室的c a m 嬲s a 和h o l m 应用哈密尔顿方法导出的一个色散浅水波运动方程( 参考文献 1 0 1 ) 配f + 2 k u j - 二“删+ 3 比“，= 2 u ，“。+ h “掰 ( 1 3 ) 其中u 是x 方向上的流体速度( 或水的自由表面的高度) ，k 是与临界浅水波波速 相关的一个常数，下标表示偏导数。该方程被称为c a m 弱s a h o l m 方程，简称为 c h 方程。当k = 0 时，得到无色散项的c h 方程。 f 一“删+ x = 2 u ，u u 3 u u2 uu 艇+ “掰( 1 4 ) f 一“删+x 2 j 艇+ “掰 l l 4 ， 方程( 1 4 ) 是一个完全可积的非线性偏微分方程，是对不可压缩e u l e r 方程的 h a m h t o m a n 系统渐进展开，保留其高阶项得到的，若丢掉这些高阶项，则得到 b b m 方程或相同阶下的k d v 方程。c a m 硒s a 和h o l m 得到了方程( 1 4 ) 的尖峰 孤立子解 “2 ( x ，t ) = c e 一卜“i ( 1 5 ) 其中c 为任意常数，该函数在x = c t 时不可导，故理解为日1 意义下的弱解，且是 整体解。这表明方程( 1 4 ) 可用于描述水波的不光滑现象，因此，c h 方程比 k d v 方程和b b m 方程能更好地描述水波运动。 如果令孝= x - - c t ，那么在善一u 平面上口：的图形如图1 2 所示。 。二 o l 一7 5 5 2 52 557 5 图l - 2 孤立尖波解比2 在孝一u 平面上的图形 从图1 - 2 我们看到，c h 方程的孤立子解在波峰处有一个尖点，故被称为孤立尖波 解( 有时也称尖峰孤立子解) ( p e a k o n ) 。这种孤立子解出现了尖点，与人们认识 4 江苏大学硕士学位论文 的孤立子的光滑性形成了鲜明的对照，因此这种奇特的尖峰性质引起了人们的高 度重视。由于对孤立子解的研究有助于理解非线性系统的物理现象，因此孤子方 程的求解已成为一个重要的研究内容。 1 2 研究现状 在2 0 0 1 年，d u l l i n ，g o t t w a l d 和h o l m 提出了一种非线性方程： u t + c o u ，+ 3 u u ，一口2 删+ u u a x x + 2 u ，u 。) + 肛。= 0 ( 1 6 ) 当参数口2 = 1 和y = 0 时，方程( 1 6 ) 变成了方程( 1 3 ) 。这两个方程有许 多相识的性质( 参考文献 1 1 1 3 ) 。 在2 0 0 1 年，刘，钱在文献 1 4 中给出了一种广义的c h 方程： l l f + 撕，一“捌+ a u ”u x = 2 u ，+ “。 ( 1 7 ) 当m = 1 ，2 ，3 时，田，宋 1 5 给出了方程( 1 7 ) 的新的尖峰孤立波解。同样，当 肌= 1 ，2 ，3 时，k h u r i 1 6 得到了方程( 1 7 ) 的一些尖峰孤立波解和不连续孤立波 解的精确表达式。对于任意正整数m ，沈，徐在文献 1 7 中证明了方程( 1 7 ) 具有孤立子解和孤立尖峰解。 当m = 2 时，方程( 1 7 ) 变为 “f + 2 k u ，一“州+ a u 2 u ，= 2 u 。u 。+ u u x a x ( 1 8 ) 当a = 2 , k = 3 时，w a z w a z 1 8 ，1 9 运用几个特殊的函数得到了方程( 1 8 ) 的很多 孤立波解的精确表达式。刘，o u y a n g 在文献 2 0 证明了方程( 1 8 ) 当a = 3 , k = 0 时钟型孤立波解与尖峰孤立波解共存。 1 9 6 7 年，b f o m b e r g 和g bw h i t h a m 为研究“碎波( w a v e b r e a k i n g ) 的定 性行为而引入的一类非线性色散波方程( 参考文献【2 1 】) ： 一+ 心= “。一“畋+ 知， ( 1 9 ) 后来被称为f o m b e r g - w h i t h a m 方程。1 9 7 8 年，他们 2 2 】得到了方程( 4 1 ) 的一 个尖峰孤立波解： 5 江苏大学硕士学位论文 “c l d = 彳e x p c 圭卜一詈r 1 ) ， 其中，a 是一个任意常数。并且指出，方程( 1 9 ) 的可可积性有待研究。直到 2 0 0 5 年，才由i v a n o v 才由i v a n o v 【2 3 】证明了方程( 1 9 ) 的不可积性。这也就 说明，虽然f o m b e r g w h i t h a m 方程形式上看和c a m a s s a h o l m 方程以 d e g a s - p e r i s p r o c e s i 方程是相似的，但跟它们还是有本质区别的。在文献 2 4 中， 周，田给出了f - b 方程的类似扭波解和类似反扭波解。并且对于给定的参数值， 画出了这些解的图形。 1 。3 研究的内容和意义 本文主要研究y - c h 方程： 吩+ 2 k u z 一“删+ 口u 2 h ，= 2 u ，“积+ h 砧。+ 7 u 搬 ( 1 1 0 ) 的孤立子解以及f - w 方程： 一口积+ h x = u u x x r u u z + 3 z ，u “ 的类似扭波解和类似反扭波解。 第二章给出了孤立子理论的基本概念。 第三章研究了y c h 方程( 1 1 0 ) 的孤立子解。利用动力系统的定性分析理 论，用计算机软件做出方程对应系统的相图分支，在相图中寻找同宿轨，异宿轨， 周期轨，根据同宿轨对应孤立波解，异宿轨对应扭波( 反扭波) ，极限环或周期 闭轨对应周期解的理论，得到方程的孤立子解。对于奇异系统我们给出了周期尖 波解及孤立尖波解的精确表达式。同时，通过数值模拟给出了部分解的图像。 第四章研究了带有参数项的f w 方程( 1 1 1 ) ，利用相平面分析的方法得到 了带参数的类似扭波解和类似反扭波解，给参数以具体的值，画出了解的图 形。 本文研究的意义在于：通过本文的研究得到了非线性色散波方程的孤立子 解，揭示了孤立子形成的过程，当非线性项和色散项达到平衡时即产生孤立子解， 该研究对于揭示色散项的影响以及参数对整个系统孤立子的形成都具有极为重 6 江苏大学硕士学位论文 要的意义，为孤立子的应用作好理论准备。相图分析的方法与计算机软件的结合， 使的数学问题的求解变得更加的快捷、方便。对于该类方程解的研究，这种方法 都具有很大的优越性和直观性，相信将在以后的研究中会有更好的体现。 7 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念 2 1孤立子及尖峰孤立子 目前，对孤立子有多种定义方式，但还没有一个确切的定义。李政道认为： 在一个场论系统中，如果有一个经典的解，它在任何时间内都束缚于一个有限区 域内，那么这样的解就叫做经典孤立子解。 通常在应用数学中，将孤立子理解为非线性演化方程局部化的行波解，经过 互相碰撞后，不改变波形和波速( 或许相位发生变化) 。在物理领域，孤立子被 理解为：经相互作用后，波形和波速只有微弱改变的孤立波。或者被理解为：非 线性演化方程能量有限的解。即能量集中在空间有限区域，不随时间的增加而扩 散到无限区域中去。 本文采用下述定义，即 定义2 1 1 孤立子是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的 解，以及与之相应的物理现象。它满足以下三点： ( 1 ) 孤立子( 孤波) 是波动问题中的一种能量有限局域解； ( 2 ) 能在空间给定区域稳定存在； ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 从以上定义可知，孤立子能量集中在一个较狭小的区域，两个孤立子相互作 用时出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到原状( 或许相位有一些改变) 。 因此，孤立子具备了粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性。近年来， 人们也从更广泛的意义下理解孤立子这一术语，比如说，把能量集中在一个较狭 小的区域的静态解有时也称为孤立子。 定义2 1 2 若孤立子解在波峰处有一个不连续的一阶导数，则称此孤立子 解为尖峰孤立子解( p e a k o n ) ，如图2 - 1 所示。 8 江苏大学硕士学位论文 22 孤立于的分类 图2 - 1 尖峰孤立子解 通常所说的孤波，是指非线性演化方程局域行波解。所谓“局域”，指的是 非线性演化方程的解在空间的无穷远处趋于零或趋于确定常数的情况。目前已经 有一系列非线性演化方程存在孤波解，除k d v 方程外比较重要的还有非线性 s c h r o d i n g e r 方程( n l s 方程) 、s i n e g o r d o n ( w g o r d o n ) h - 程、h h o t a ( m t , x i a ) t e 线性晶格方程、铁磁链方程、布森内斯克方程、波恩( m b o r n ) - - 英菲尔德 似l i n f e l d l 方程。归纳起来，孤波的典型类型不外乎图2 - 2 中的四种：( a ) 波包 型( 钟型) ；( b ) 凹陷型( 反钟型) ：( c ) 扭结型：( d ) 反扭结型。其中( a ) 和 ( b ) 都是当吲斗时，解识( 0 - + 0 ：而( c ) 和( d ) 则是当f _ + + 或一0 0 时， 仍( 0 趋向千不同的常数值。 j 。i t i u ( a ) 波包型( 钟型) j 。上i u ( b ) 凹陷帮( 反钟犁) 江 苏大学硕士学位论文 j 。卫j u 一 j s u _ 、 、 ( c ) 扭结型( d ) 反扭结型 图2 - 2 孤立子的分类 从拓扑性质角度，孤波可分为拓扑性孤波和非拓扑性孤波。 2 3 非线性方程行波解的一般论述和求解方法 2 3 1 非线性方程的论述 文献中引入了极限零点和非极限零点分析法来讨论各类非线性方程的行波 解。 对于已给定的非线性方程h ，= f ，u ，“。，) 或比打= f ，u ，比职，) 求其行波解的一般方法是，令u ( x ，t ) = 以9 ，孝= x - c t 式中的c 是标志行波速度的待定参量，带入非线性方程上式通过适当的积 分，可能会得到 u ；= p ， )( 2 1 ) 或 u f = p )( 2 2 ) 对于式( 2 2 ) ，暂讨论p ) 为实函数的情况；对于式( 2 1 ) ，暂在p 。 ) 0 的“值区 域内讨论，这时，式( 2 1 ) 立即化为( 2 2 ) ，且 p ( “) = p 。( h ) ( 2 3 ) 式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) 还是有很大区别的，即式( 2 1 ) 总是给出对称或反对称解，但式( 2 2 ) 则不一定。使”f = o 的“( 孝) 的值，即p ) = 0 的根，或者是“( 善) 的极值点，如钟 1 0 江苏大学硕士学位论文 型波峰值，周期波峰值等，这时称为非极限零点；或者是比( 善) 的极限值，即 手一+ o o 时的“( 0 的极值，这时称为极限零点。下面给出两类零点的判断依据， 设巧。是p ( u ) 的某一零点，如果存在某一s 使 。 l 脚 器卜 则当s 1 时，“。为非极限零点；当j 1 时，则为极限零点。 讨论式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 解的性质时大致有以下步骤： ( 1 ) 首先找到p ， ) 或p ) 的所有零点，对于式( 2 1 ) ，需要去掉使a ) 0 的区间； ( 2 ) 判断各零点的阶数j ，对于s 1 的零点称为非极限零点，s 1 的零点 称为极限零点； ( 3 ) 如果相邻两个零点“。，“：都是非极限零点，则在“l 跖( 0 “2 区间内有 周期闭轨，存在周期解。这时有 卜扣焉 “如如：) i ：p j 令 刖2 碥 ( 2 5 ) 则 “( 0 = 日- 1 ( f 一彘)( 2 6 ) ( 4 ) 如果两个零点配。，配：都是极限零点，则在配。“( 0 跖：内有异宿轨，存 在k i n k ( 扭结) 解。这时 刖5 壕 即，= 壕 o u u 2 ) l u u o ) 其中h 。是善= 彘时h ( 孝) 的取值。基本暗孤子就属于这一类。 1 1 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 江苏大学硕士学位论文 ( 5 ) 如果h 。是极限零点，而h 2 是非极限零点，则在“。( 0 “：内有同宿 轨，存在钟型孤波解。这时 脚) = 壕( u n u u 2 )( 2 9 ) 当h ，0 时是明孤波解，当“：0 时是暗孤波解。如果u ：是极限零点，而h 。是非 极限零点，则在u 。配( 0 跖：时也存在钟型孤波解。这时 h 引p d 两u ( u 1 u o 时) 当 0 ，由条件苁= 办，：可得：七= 一史专进口+ 五c ( 3 5 ) 设m ( 仍y ) 表示系统( 3 4 ) 的线性系统在奇点( 仍y ) 处的系数矩阵，则有： j ( o ，0 ) = d e t m ( 0 ，0 ) = ( c y ) ( 2 k c ) ， ，( 谚，0 ) = d e t m ( 破，0 ) = ( c 一厂一力) 【口+ ( 2 七一c ) 谚】，o = 1 ，2 ) ， ，( 织，打) = d e tm ( 织，歹) = 一2 ( c 一厂) 昙。一y ) 2 + ( 2 后一c ) 】：一】，z 其中i ，( ，y ) 是g n ( 3 4 ) 的线性系统的雅可比行列式 由平面动力系统理论，在平面可积系统中，对于奇点( 缈，y ) ，若厂( 仍y ) 0 且迹丁似( 仍y ) ) = 0 ，则此点为中心点；若 ，( 仍y ) 0 且口似( 仍y ) ) ) 2 - 4 j ( 缈, y ) 0 ，则此点为结点；若j = 0 ，且 p o i n c a r e 指数为0 ，则此点为尖点所以，奇点( 织，4 - ) 是鞍点 若记： 忍= 日( 谚，o ) = 毒p - 2 k ) 2 ，( f = l 2 ) ， j 1 0 = 日( o ，0 ) = o ， z a 魄= 日( 唬，e g g ) = 一。一y ) 2 【兰p 一力2 + ( 2 七一c ) 】 ( 3 6 ) n 那么，对于给定的常数c ，当( c 一力0 时，绣= 0 当且仅当 拈一譬口工2 1 2 、 再由，( 0 ，0 ) = o ，可以得到厂= c ，七= 三 我们记： 1 8 江苏大学硕士学位论文 啦一，( t 力一华“丐 t ：吲训一趔1 2a + i ”t 鸹( 训= ； ( 38 ) 对于给定的常数c 0 ( 我们只讨论c 0 的情形，当c 0 时可以类似的讨 沦) ，曲面s 。“= l 2 ) ，以及平面s 3 ，d = 0 和，= c 将二维参数空间分成如图31 所示的部分。 下面画出各部分的相圈 图3 一 _ _ ，y r 长 嚣 差建 粼 吣 j ， ( c，) 1 c m ( 。，) 。 ( 。，) c ( 1 ) k ( 一，t 一一 62 621 22 。 0 ：，t ；一 0 畦， t 0 江苏大学硕士学位论文 k y y e ， 心气 r l ，耐了隆 j 彳 副 ，f ?彳。 7l i炉 l。 r 、烈 莎试 差 叶 1 、。s巡7 f 于、 cc ( 4 ) t ：一竺丛口+ 三，( 5 ) 一+ 一 一，a 0 ， 22 1 22