（应用数学专业论文）时滞微分方程周期解与微分方程边值问题的研究.pdf

摘要 本篇博士论文由五章组成，主要讨论了具时滞微分方程周期正解的存在性， 具偏差变元微分方程边值问题解的存在性，具共振条件下二阶非线性微分方程多 点边值问题解的存在性和具高维二阶脉冲微分方程多点边值问题解的存在性 第一章简述了问题产生的历史背景和本文的主要工作 第二章讨论了一类具时滞微分方程周期正解的存在性，通过利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，建立了存在一个或多个周期正解的若干充分条件，同时也给出了两 个著名生态数学模型存在周期正解的条件 第三章考虑了一类具偏差变元微分方程边值问题，利用l e r a y s c h a u d e r 度理 论，在对阻尼力没有任何限制的前提下，获得了解存在的充分条件，这些结果大 大改进和推广了一些已知的结果 第四章研究了具共振条件下二阶非线性微分方程多点边值问题解的存在性， 通过使用重合度理论和一些分析技巧，建立了一系列解存在的充分条件，其中在 第一节考虑了同号情形，在第二节考虑了异号情形 第五章考虑了具高维二阶脉冲微分方程多点边值问题，经过使用重合度理论 和自治曲率界集概念，首先建立了一般性存在定理，然后给出了解存在的一些简 明条件，这些结果即使没有脉冲点也是新的 、l 关键词时滞微分方程，周期正解，存在性，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，锥，泛 函微分方程，边值恂题，p l a p l a c i a 博子，l e r a y s c h a u d e r 凌理论，共振条件， 多点边值问题，重合度理论，脉冲微分方程，自治曲率界集 a b s t r a c t t h i sp h d t h e s i si sc o m p o s e do ff i v ec h a p t e r s ，w h i c hm a i n l y i n v e s t i g a t e dt h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o ran o n a u t o n o m o u sd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t sa n dp - l a p l a c i a n ，s o l v a b i f i t yo fm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa tr e s o n a n c e a n dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rm - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fs e c o n d o r d e rd i f i e r e n t i a ls y s t e m sw i t hi m p u l s e s i nt h ef i r s t c h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fp r o b l e m sw h i c hw i l l b ei n v e s t i g a t e da n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h ek r a s n o s e l s l d if i x e dp o i n tt h e o r e m ，w e s t u d yt h ee x i s t e n c e o f p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so f an o n a u t o n o m o n s d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a n ds o m e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw i l lb eg i v e n t w ok n o w nd y n e m i cm a t h e m a t i c a lm o d e l sw i l lb e s t u d i e dt o o c h a p t e r3m a i n l yc o n s i d e r st h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hd e v i a t i n ga r g u m e n t s a ne x i s t e n c e r e s u l t ，o b t a i n e db y t h eh e l po f l e r a y s c h a u d e r d e g r e et h e o r y , h a v en or e s t r i c t i o no nt h ed a m p i n gf o r c e s o u rr e s u l ti m p r o v e sa n d g e n e r a l i z e st h es o l _ 】f l ek n o w n r e s u l t s t h ep u r p o s eo fc h a p t e r4i st os t u d yt h es o l v a b i l l t yo fm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sa tr e s o n a n c e ，a n de s t a b l i s h ss o m e e x i s t e n c et h e o r e m su n d e rn o n f i n e a rg r o w t h r e s t r i c t i o n o u rm e t h o di sb a s e du p o nt h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y i ns e c t i o n1 ，w e c o n s i d e rt h es a m es i g nc a s e ，a n di ns e c t i o n2 ，d i s c u s st h en o n - s a m es i g nc a s e i nt h el a s tc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rm p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so fs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hi m p u l s e s w ef i r s to b t a i n ag e n e r a le x i s t e n c er e s u l t ，a n dg i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s t h ek e yt o o li no u r a p p r o a c hi sb a s e do nt h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n dt h ec o n c e p to fa u t o n o m o u s e c u r v a t u r eb o u n ds e t o u rr e s u l ti sn e we v e nf o rt h ec a s ew i t h o u ti m p u l s i v ep o i n t k e y w o r d sd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n ，e x i s t e n c e ，k r a s n o s e l s k i if i x e dt h e o r e m ，c o n e ，f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，p - l a p l a c i a no p e r a t o r ，l e r a y s c h a u d e rd e g r e et h e o r y , r e s o n a n c ec o n d i t i o n ，m u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，c o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a - t i o n ，a u t o n o m o n s ec u r v a t u r eb o u n d s e t 第一章绪论 1 1 问题产生的历史背景 随着现代科学技术的发展，在许多科学领域的研究中，例如自动控制、生态系统、遗传 学、经济学、物理学、通讯理论等等，都涉及到泛函微分方程，而周期解一直是泛函微分方程 理论的一个重要分支，尤其是在近三十年来取得了实质和全面的发展，其成果，相当丰富， 许多著作都总结和收录了这方面工作 1 - 4 同时，由于经典力学、流体力学、势传导理论、化学理论等学科提出了大量的边值问题。 这一问题，自从十九世纪由l i o u v i l l e 和s t u r m 开创以来，由于它广泛的应用性，一百多年来 已经得到了长足的发展，特别是近几十年来不仅常微分方程边值问题得到了极大的关注1 5 】， 而且泛函微分方程边值问题 】和脉冲微分方程边值问题【8 】也是当前比较活跃的研究领域 之一 因此，对于泛函微分方程周期解和微分方程边值问题的研究，在理论和实际应用中都是 非常有意义的工作 下面就本文研究的问题产生的历史背景作一简要概述 一具时滞微分方程的周期解 众所周知，周期现象普遍存在于自然界中，而这些周期现象通常导致人们去研究泛函微 分方程周期解的存在性，特别是在一些生态模型中，由于实际生态意义需要，往往还要求人 们讨论周期正解的存在性，这方面已发表了许多有代表性的论文 9 - - 2 2 最近，李永昆利用 重合度理论研究一些生态系统周期正解的存在性 2 3 - 2 7 ，尤其是文【2 7 研究了一类较广泛的 具多个滞量的周期l o g i s t i c 型方程 ( t ) = y ( t ) f ( t ，y ( t n ( ) ) ，y ( t h ( t ) ) )( 1 1 ) 周期正解的存在性，显然，许多生态模型都可看成( 1 1 ) 的一些特殊形式，如单种群生长的 l o g i s t i c 模型【2 8 3 。 v 讹) - 0 们， 一等铲 c 曲= 。c 。 nc 。一圣n ；a ，c 幻”。一 c t ， ( 1 2 ) ( 1 3 ) 和乘积型l o g i s t i c 方程i s 4 以归础m 小重铲 t ， 但有一些模型并不属于方程( 1 1 ) 比如，1 9 8 0 年，g u r n e y 等人在n a t u r e 上研究了 n i c h o l s o n s 苍蝇模型 p ( t ) = - - r y ( t ) + 础( t r ) e 一。v ( “7 ( 1 5 ) 其中 a 口，r 为正常数1 9 7 7 年，m a c k e y 等人在s c i e n c e 上研究了血液细胞生成模型 ( 蹦 以归- r 卵) + 嬲 ( 1 6 ) 其中r 风，日，n ，r 为正常数显然方程( 1 5 ) 和方程( 1 6 ) 都不属于( 1 1 ) ，但它们属于非自治 时滞微分方程 ( ) = 一。( t ) ( t ) + f ( t ，( 一n ( t ) ) ，一，o ( t t 。( 幻) )( 1 7 ) 另一方面，某些形如( 1 7 ) 的非自治时滞微分方程，例如 就不存在周期正解因而有必要研究方程( 1 砷周期正解的存在性 关于方程( 1 7 ) ，我们总假定g ( r ，【o ，o c ) ) ，n ( ) 0 ，a ( t + 丁) = n ( t ) ，c ( r o ，o 。) “， o ，。) ) ，f ( t + t ，t t l ，一，“n ) = f ( t ，“l ， ，u 。) ，t c ( r ，【o ，) ) ，n ( + = t ( ) ( 1 墨i 兰n ) ，t 0 是一固定常数 现在，让u = ( u 1 ，“2 ，+ ，u n ) 【o ，。) “，记i u i = m “l j 。 q ) 6 ：e - - 蠢。( 4 d s m a x 加l i m e 一 ot l 箐 m “= l i r a 吲m 啊a x 马铲 2 m 喊、0 。器眢i川_ + 吒“1 。 “l “j d i u f l jsn 嘶n 胁l i m 印m i ，n 卅眢il u l 叶吒”1 “l u j d 川 在1 9 9 9 年，蒋达清和魏俊杰得到了下面结果【3 5 定理a 方程( 1 7 ) 至少存在一个t 一周期正解，如果下列条件之一成立 ( i ) m a x ，0 = 0 ，m i n 。k = o o ； ( i i ) r a i n y o = ，i i l a x k = 0 显然方程( 1 5 ) 和方程( 1 6 ) 不满足定理a 的条件因此，从这个定理，我们自然有下面 两个重要的问题： 问题1 如果m a x i o = i n d , x ，。= 0 或m i n 如= r a i n ，。= o 。，那么方程( 1 7 ) 是否存在 r 一周期正解? 问题2 如果i t l a x ，m i n 南，1 2 1 a x ，。，r a i n ，。g o ，。c ) ，那么方程( 1 7 ) 是否存在p - 周 期正解? 二具偏差变元微分方程边值问题 关于泛函微分方程边值问题的研究，专著 6 7 j 介绍了大量这方面的工作特别是希腊学 者ygs f i c a s ，s kn t o u y a sa n dpc ht s a l n a t o s 利用拓扑横截定理，在具偏差变元边值问题 解的存在性方面，建立了许多存在性准则 ”。“ 现考虑p - l a p l a c i a n 算子型具偏差变元微分方程边值问题 f 一( p ( z ，) ) + d g r a d f ( x ) + g ( t ，z ( t ) ，z ( 6 ( ) ) ，z ( t ) ，z ( r ( t ) ) ) = 0 ，【o ，1 z ( # ) = 妒( t ) ，ts0 ( 18 ) lz ( f ) = ( ) ，t 1 其中f g 2 ( r “，固，9 ：1 0 ，1 ( 钟) 4 - r “是c a r a t h o d o r y 函数，6 ，f c 1 ( 1 0 ，1 ，r ) ， f t 0 ，1 ：6 ( t ) = 0 或r ( t ) = 1 ) 是有限集，：r “_ r “定义为 咖p ( z ) = 西p ( 。l ，z 。) = ( i 。i i 一2 z l ，i z 。l ”一2 z n ) 这里1 p m 是一固定实数那么如是同构且逆为九( ；1 + i 1 = 1 ) 而且，假定 一。 一72 。：j 】 6 ( 。) ，7 ( 。) ) ( o ，1 是 瑟】 6 ( 。) ，7 ( 。) ) 2d 。0 以及妒c 1 ( 【_ r ，o ，r “) ，c 1 ( f 1 ，( 1 ，r “) 当p = 2 或丸( z ) = z ，1 9 9 4 年，p c h t s a m a t o s 和s kn t o u y a s 在文 5 1 中，利用拓扑 横截定理研究边值问题( 1 8 ) 解的存在性然而，他们的结果依赖于一个阻尼力条件，即存 3 在一个非负常数0 满足 sq i , j 2 ， v u ， r “ 其中a 是f 的h e s s i a n 阵，| i 和 分别表示j p 中的欧氏模和内积 当p = 2 且边值问题( 1 8 ) 没有阻尼力项即f ( z ) ；0 时，1 9 9 1 年，p c h t s a m a t o s 和 sk n t o u y a s 在文 5 2 中也研究边值问题( 1 8 ) 解的存在性 因此，一个自然的问题是： 问题3 如果对阻尼力项袅g r a d f ( = ) 没有任何限制，边值问题( 1 8 ) 解存在的条件是什 么? 三具共振条件下二阶非线性微分方程多点边值问题 微分方程边值问题的研究一直受到极大的关注，专著【5 】5 系统地介绍了这个领域的基本 理论，基本方法和一些成果关于二阶线性微分方程多点边值同题的研究，最早的工作出现 在1 9 8 7 年，由v ai l i n 和ei m o i s e e v 在文5 4 5 5 1 中首次讨论了其解的存在性，从此以 后这个问题引起了人们的极大兴趣，特别是二阶非线性微分方程多点边值问题获得了许多 有影响的结果，最具代表性的工作是美国学者cpg u p t a 的文章【”“目和我国学者马如云 的论文f 6 6 1 6 “ 考虑二阶非线性微分方程 z ”( ) = ( t ，z ( t ) ，一( t ) ) + e ( ) ，t ( 0 ，1 )( 1 9 ) 和边界值条件 z ，( o ) = 邙( ，z ( 1 ) = 岛z ( m ) ( 1 1 0 ) t = l j = l m 一2n 一2 z ( o ) = a t z ( 锄，z ( 1 ) = 岛z ( 啦) ( 1 1 1 ) t ；l j 3 1 f n 一2n 一2 z ( o ) = 叩( 国，z ( 1 ) = 岛一( q ，) ( 1 1 2 ) t = 1 j = l ”1 2n 一2 z ( o ) = 。i z ( 釉，z ( 1 ) = 岛z ) ( 1 1 3 ) = l，= l 其中，g ( 【o ，1 1xr 2 ，r ) ，e 工1 o ，1 1 ，毗，岛r ，0 l f 2 f m 一2 1 ，0 叼i 目2 q n 一2 0 是固定常数 在本章，我们利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，建立了方程( 2 1 ) 存在t - 周期正解的一些 存在性结果，从而肯定地回答了第一章的问题1 和问题2 同时也给出生态数学模型( 1 5 ) 和( 1 6 ) 存在t - 周期正解的条件 2 1 一些引理 令u = ( “一，u 。) 0 ，o o ) “，川= m a x x s 0 满足 坤，u ) ! 品，对v s p - 那么方程( 21 ) 至少存在两个t 一周期正解y l 和y 2 满足 0 f ”l | | p 1 ( q d t ) ，存在p o p l 满足 f ( t ，“) f l j “j ，v | “l p o ，“，6 i “( j = 1 ，2 ，- ，n )( 2 7 ) 令n p 。= y k ：i p l 满足 f ( t ，u ) f u i ，v i “l2j p ：，u j d i u l ( 11j n ) ( 2 9 ) 9 令n p ；= k ：i t y l l 廊) ，对v yea f 2 踮，由于yek ，( t ) 6 l l u l l = 6 p 5 ，让u ( ) = ( y ( t 一丁1 ( t ) ) ，y ( 一丁n ( t ) ) ) ，那么 u ( t 一，- a t ) ) 2d l l y l l = d 廊 i 2 1 m 二j a s x 。 y ( 。一删) ) d i l y l l = 6 p ： u i ( t ) = y ( t q ( t ) ) d l l y l f 5 l u ( t ) l 因此，对ea n 踮，由( 2 6 ) ，( 29 ) 和引理2 1 ，有 f l + t ( a y ) ( t ) q ，( s ，9 ( s n ( s ) ) ，一，可( s n 。( s ) ) ) d s n 尬6 p ；r j 蹦= 这样 i i a y l i l y l l ，v ye0 n “ ( 2 1 0 ) 最后，让n p 。= k ：j n ) ，那么由( z 如) 和引理2 1 ，有 丁1 ( s ) ) ，( s 一下n ( s ) ) ) d s 】f y | | 于是 i i a y l l l ，v yea n p 。( 2 1 1 ) 因此由( 28 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 和引理2 3 ，a 有不动点y l 瓦。n ，。和不动点y 2 再p ；n 并且f 1 和2 都是方程( 21 ) 的t - 周期正解以及 0 l f y l i 【 p l 0 满足 ”，u ) 三吕，v i u l ，船】 那么方程( 2 1 ) 至少存在两个t - 周期正解y l 和2 满足 0 i l | | p 2 i i ”2 | 1 0 “ p & = “ 丁 厂骨 一 一 证明首先，由m a x f o = 0 ，对v ! 由，存在“ r 0 取 p i r o + 1 + 2 芦tn l a x ，( ，u ) 0 ，州 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 命n 。= y k ：j 7 0 ) ，1 2 = s f 0 ，t ：i ( s ) f t o ，而 ”( s ) = ( v 0 一t 1 ( s ) ) ，一，”( s h ( s ) ) ) 这样由( 2 1 6 ) 有 i i a u l i 墨l ， v y a n 矿( 2 1 7 ) 最后，让n p ：= f y k ：i p 2 ，对v y a n 由于y k ，( t ) 兰刮训= 6 p 2 令 u ( t ) = ( y ( t n ( t ) ) ，y ( t h ( t ) ) ) ，那么 ( t 一勺( t ) ) 26 m l = 6 p 2 1 1 l u ( ) 12 1 m 二j a 二x 。( u ( 一q ( 。) ) ) d i l y l l 2 6 p 2 l u ( ) l 2 l 臻舯一q ( ) ) ) s i l y l l 2 p 2 因此，由( 2 6 ) 和( 凰) 有 ，t + t ( a y ) ( t ) d ，( s ，( s t l ( s ) ) ，一，( s n 。( s ) ) ) d s n 等r = p ：= 于是 l i a | i | | y l i ，v y a n p 。( 2 1 8 ) 因此，由( 2 1 3 ) ，( 21 7 ) ，( 2 1 8 ) 和引理2 3 l 和2 都是方程( 2 1 ) 的| 周期正解， 证毕 a 有不动点y l 丽p ，n p 和不动点y 2 珥n p 。 且 0 l l l l | p 2 f l y 2 52 3 单重周期正解的存在性 在本节，在条件m “f 0 ，m i n f o ：m a x ，。，r a i n ，。g o ，o 。) 成立的前提下，讨论方程( 2 1 ) 周期正解的存在性 定理2 3 假设存在两个正常数p l ，2 满足 ( 凰) ，( t ，) s 器，对i “isp 1 ， 0 ，t 1 ； ( 凰) f ( t ，u ) 三鲁，对川 6 p 2 ，p 2 ，t 【0 ，司 那么方程( 2 1 ) 至少存在一个t 一周期解y 满足1 i y | | 在p l 和p 2 之间 证明不妨假设p 1 p 2 ，现令n p 。= y k ：i | y | | p 1 ) ，对v y a n 由( 2 6 ) 和条件 ( h 5 ) 有 + t ( 4 ) ( t ) sp ，( s ，y ( s t l ( s ) ) ，u ( s 一7 i ( s ) ) ) d s j 口器t = p t = 恻 即 l i a y l l | | y l l ，v y a n p 。 ( 2 1 9 ) 1 2 令n p ，= 扣k ：i l u l 比) ，对v y a n 由于y k yc t ) 6 l l u l i = 6 p 2 ，让 “( t ) = b ( c 一7 l ( ) ) ，一，u ( t r n ( ) ) ) ，那么 y ( t q ( t ) ) 6 l l uj | = 6 p 2 i “( 。) i 2 l m s j a ! x 。 y ( 一q ( 。) ) ) d i l u l l = 6 p 2 l “( o ) f “= p 2 这样，由( 26 ) 和条件( 凰) ，我们得到 ，+ 丁 ( a ) ( t ) n ，( s ，v ( s 一丁1 0 ) ) ，( s h ( s ) ) ) d s n + 导t = p ：= 即 圳i i y l i ，v y 0 叱：( 2 2 0 ) 因此，由( 2 1 9 ) ，( 22 0 ) 和引理2 3 ，a 有不动点y 丽m n y 是方程( 2i ) 的t 一周期正解 且, o i o 满足 吲m 咽a x 眢如高 对u ， 因此，定理2 3 的条件( 日5 ) 破褥足 又由m i n 厶= 口l ( 由，0 0 ) ，对5 = p l 一丽1 0 ，存在充分大p 2 ( p 1 ) 满足 。蕊眢孙一e = 击，对| u i 狲。，啦洲i ，j _ 1 2 ，n 这样，当i u i 6 p 2 ，p 2 ，t 【0 ，司有 巾，u ) 丽1 衍16 p 2 = 导 1 冀 卅 0 p 一 u 对 旦肛 o 满足 。搿? ：眢独一s = 击，对。 0 ，存在充分大加( p 2 ) 满足 矧i - r l 。a x 等蚋+ e = 刍，对| 咖，。 ( 2 2 1 ) 下面考虑两种情形： ( i ) 假设m a x 。+ 一l ( t ，“) 无界，那么存在“1 0 , 。) “，l “+ i = p l 加和t 。 o ，列满 足 ，( ，u ) 曼，( t o ，u + ) ，对i u l l u = p l ( 这是由于r z l a x t o ，卅，( ，“) 无界) 由于1 u 1 = p l p o ，那么从( 22 1 ) ，( 22 2 ) ，我们有 s ( t ，u ) 巾洲) 而1i u + 1 = 品，对川儿咿1 ( i i ) 假设m a xc h t if ( t ，u ) 有界，不妨设 s ( t ，u ) m ，v ( ，u ) f 0 ，t 0 ，。) “ ( 2 2 2 ) ( 22 3 ) 在这种情形，取充分大p 1 m a x m t ，舢) ，那么e h ( 22 3 ) 有 m ，u ) s m 畚，对 “i s “t 【o ，q 总之，无论何种情形，定理2 3 的条件( 风) 被满足，因此，从定理2 3 知推论2 2 结论成立 1 4 推论2 3 假设条件( h s ) ，( h s ) 和( 凰) 成立，那么方程( 2 1 ) 至少存在两个b 周期正解 y 1 和y 2 满足 0 | | y t | j p l p l 满足 巾，u ) 品，对l d m 脚 根据( 凰) 和推论2 2 的证明过程，我们知存在充分小p ；( 0 ，p 1 ) 满足 ”，u ) 筹，对川【d 西p 射 因此，从定理2 3 ，方程( 2 1 ) 至少存在两个t 一周期正解y l 和y 2 满足 p ； j i y l j i p l l i y 2 | | p 2 推论2 4 假设条件( 凰) ，( 日7 ) ，( h l o ) 成立，那么方程( 2 1 ) 至少存在两个d 周期正解 y l 和y 2 满足 0 | | y l | | p 2 p 2 满足 m ，u ) ! 筹，对i u i 西 o ，司 因此，由定理2 3 ，方程( 21 ) 至少存在两个t 一周期正解g l 和y 2 满足 p l i i 玑i f p 2 0 满足 巾，u ) 而p l t 对o ! u p l 于是条件( h 2 ) 成立，因此，由定理21 ，方程( 2 2 4 ) 至少存在两个2 - 周期正解y l 和2 满 足 0 1 | | 4 2 是单调减少，取p 2 = 8 ， 6 p 2 ，p 2 】= 【2 ，8 】，器= 彳2 4 ， f ( t ，u ) f ( t ，p 2 ) = i 2 4 ，对u 【d p 2 ，p 2 ，因此存在p 2 = 8 满足 巾“) 2 筹，x , i u ，p z 这样条件( h 4 ) 成立因此，由定理2 2 ，方程( 22 5 ) 至少有两个”一周期正解y l 和2 满足 0 i | l i | 8 ；，这样条件 ( 胁) ，( h 8 ) 成立因此，根据推论2 1 ，方程( 2 2 6 ) 至少有一个2 7 r 周期正解 例2 4 考虑时滞微分方程 ( t ) = 一2 。s i n 2 t y ( d + ( 1 + c o s 2 t ) y ( t - n ) + i ；鹅 ( 2 2 7 ) 其中n 0 ，口o 是常数，让口( f ) = ，g s j l 2 f ，丁= t ，( f ，h 2 ) = 刍( 1 + c 0 8 2 ) 【i + 畿】， 那么口。( 。) 如：1 ，d ：。一rn ( 州。：，。：f 8 f m 冲一1 1 ：击，卢：。r 。( 1 ) m ( e j 了州一) = 南，( 击，o c ) = ( 丛学，。) ，h 由) = h 导) ，n 。= n - i n ，o = 寺( ，+ 2 4 7 r ) 6 丛j 半，仍= r l a x ，o 。= 击 鲁，这样，条件( 凰) ，( 日l o ) 成立，因此，由推论 2 2 ，方程( 2 2 7 ) 至少有一个”一周期正解 注11 使用本章的方法，同样可以讨论方程 ( ) = ( t ) ( t ) 一，( ，( 一n ( t ) ) ，v ( t 一7 i ( t ) ) ) 周期正解的存在性 注1 2 关于方程( 2 1 ) ，对情形r l a x ，0g 0 ，。c ) ，i i l i n k = o o 和情形r a i n ，0 = ， m a xk g o ，o c ) ，我们也能讨论其正解的存在性 1 7 第三章具偏差变元微分方程边值问题 考虑p - l a p l a c i a n 算子型具偏差变元微分方程边值问题 i 一( p ( 一) ) + 岳9 r n d f 扛) + g ( t ，z ( t ) ，z c 6 c t ) ) ，一( ) ，一( r ( f ) ) ) = 0 ，t 【0 ，1 】 。( ) = 竺( t ) ，t 0( 3 1