（应用数学专业论文）一类半线性抛物系统能稳与零能控的关系.pdf

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t i o na n dn u l lc o n t r o l l a b i l i t yo fak i n do fs e m i l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m s b yu s i n ga g e n e r a l i z e di m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e m ，w eo b t a i nt h ee q u i v a l a n c eb e t w e e ne x p o n e n t i e ls t a b i l i z a t i o na n dn u l lc o n t r o l l a b i l i t 矿m o r e o v e r ，w ed i s s c u s st h eo b j e c tr e a c h a - b i l i t yw i t hc o e f f i c i e n ta sc o n t r o lq u a n t i t y a n do b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s a t f i r s t ，w el i n e a r i z e dt h es e m i l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e mb y v a r i a t i o n a la p p r o a c h ， a n dp r o v e dt h ec o m p a c t n e s so ft h es o l u t i o nm a p p i n go ft h el i n e a r i z e ds y s t e m w e o b t a i nt h el o c a ln u l lc o n t r o l l a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a rs y s t e m ，b ya p p l y i n gag e n e r - a l i z e di m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e m ，a n dc o m b i n i n gt h e ”g o o d ”p r o p e r t yo fs o l u t i o n m a p p i n go ft h es e m i l i n e a rs y s t e ma n dn u l lc o n t r o l l a b i l i t yr e s u l t so fl i n e a r i z e ds y s t e r n t h e r e o u t ，w eo b t a i nt h ee q u i v a l a n c eb e t w e e ne x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o na n d n u l lc o n t r o l l a b i l i t y t h e n ，w ea d o p tt h es a m em e t h o da p p e a r i n gi n t h ef i r s t p a r t ，o b t a i na n d i m p r o v es o i n cr e s u l t si nt h el i t e r a t u r ei n 1 1 】a tt h es a m et i m e ，w ea l s od i s c u s st h e o b j e c tr e a c h a b i l i t y ，b yu s i n gas i m p l et r a n s f o r m a t i o n ，o u rp r o b l e mi s ag e n e r a l i z e d p r o b l e mi nt h el i t e r a t u r ei n 【11 1 w eo b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sb yc o m b i n i n g t h er e s u l t si nr e f e r e n c ea n dt h ea b o v em e t h o d k e y w o r d s ：i m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e m ，v a r i a t i o ne q u a t i o n ，a p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t y ，n u l lc o n t r o l l a b i l t y ，s t a b i l i z a t i o n ，c o e f f i c i e n tc o n t r o l ，o b j e c tr e a c h a b i l i t y 4 1 引言 陕玑- i v 刮+ ( 咄v ) 毡鳟 其中，( ) 是一已知函数，“是控制量我们对，做如下的假设： ( h ) ，( ) c 1 ( r ) ，f ( 0 ) = 0 ，且存在某个常数c 0 和1 0 ，vy o l 2 ( q ) ，v u l 2 ( q t ) 存在充分小的q ( 丁) 0 ，当 o l i l ：( n ) + 1 l “l z ( o ) 曼z l ( t ) ( 1 2 ) 时，问题( 1 1 ) 存在唯一解y g ( o ，t 】，l 2 ( q ) ) nl 2 ( o ，t ；h o ) ) 并且，对任何满足 ( 1 2 ) 的初值和控制对( ? ，地) ( i = 1 ，2 ) ，对应的问题( 1 1 ) 的解叭( 。= 1 ，2 ) 满足下式 i l y , 一w i l l 一( o t ；l ：( n ) ) n l 。( o ，t ；h o l ( n ) ) sc 1 l y ? 一：i i l ：( n ) + l i u l u 2 l i l z 旧) 】 ( 1 3 ) 在这里，我们给出下面能控性的定义： 定义1 1 系统( 1 1 ) 是局部零能控的，如果弓t 0 ，3r 0 ，使vy o ，当 l l y o i i l 。( n ) r ，ju l 2 ( q ( 0 ，t ) ) 使方程( 1 1 ) 的解( z ，t ) = 0 定义1 2 系统( 1 1 ) 是局部任意零能控的如果vt 0 ，| r 0 ，使v o ，当 i l y o i i l z ( n ) r ，3u l 2 ( q ( 0 ，t ) ) 使方程( 1 1 ) 的解( z ，t ) = 0 5 定义1 3 系统( 1 1 ) 是零能控的如果it ，使vy o l 2 ( q ) ，j 也l 2 ( qx ( 0 ，t ) ) 使方程( 1 1 ) 的解v ( x ，t ) = 0 定义1 4 系统( 1 1 ) 是任意零能控的，如果对vt o ，vy o l 2 ( q ) ，ju 酽( q ( 0 ，t ) ) 使方程( 1 1 ) 的解y ( x ，t ) = 0 定义1 5 系统( 1 1 ) 是指数能稳的，若ju 0 ，| c 0 ，j l 2 ( nx ( 0 ，t ) ) ，使 系统( 1 1 ) 的解y ( x ，t ) 满足 二2 ( z ，t ) d z c e - h , t 上韶( z ) 如 在文献 2 l 中，作者在条件( h ) 下得到了系统( 1 1 ) 的局部有限维零能控结论在文献 【1 】中，作者得到了局部任意零能控的结论，但初值y o 明( n ) ，并且，还满足一定的”符 号条件”本文在y o l 2 ( n ) 的条件下，且还去掉了，的”符号条件”，还是得到了系统 ( 11 ) 局部任意零能控的结论另外，用本文的方法，还可推出如下文献【2 ，3 ，5 ，6 ，7 】等中 的部分结论在很多的文献中，讨论了能控与能稳的关系。易知，能控一定能稳，但能稳不一 定是能控的本文针对一个具体的系统( 1 1 ) ，得到了能稳与零能控的等价性 我们有下面的主要结果： 定理1 1 假没条件( h ) 成立，则系统( 1 1 ) 是指数能稳的 = = 争系统( 1 1 ) 是零能控 的 本文同时还考虑了下面的问题： i ! ，一= u y ，( z ，t ) q t ， ( 。，t ) = ，( z ) ，o f ) ( o ，丁) ，( 1 4 ) 【y ( x ，0 ) = 口o ( 。) ， z q 其中u l 。( q ) ，- 厂( z ) g ( a q ) 且，扛) 0 ，vz a q 且y o ( x ) 0 ，y o ( x ) l 2 ( q ) 目标能达问题q ：对给定0 ( x ) e ( 西) r l w 2 ，o 。( q ) ，o ( x ) 0 ，。q 且o ( x ) = ，0 ) ，v 工0 f 2 ，是否存在t 0 ，存在u ，使y ( x ，t ) = 目扛) ? 我们的回答是肯定的，见如下定理1 2 定理1 2 ：系统( 1 4 ) 对应的问题q 是目标能达的 6 2 预备引理和定理 为了简化问题，我们不妨假设问题( 1 1 ) 存在唯一的整体解 定义问题( 1 1 ) 的解映射g ( y o ，u ) ：= ，t ) ( 问题( 1 1 ) 的温和解在t 时刻的值) 下面对问题( 1 1 ) 在( y o ，, a 0 ) = ( 0 ，0 ) 处关于( h o ，v ) 方向求g 一导数 ve 0 ，v ( h o ，”) l 2 ( q ) l 2 ( q ) ，令c ( y o + e h o ，u o4 - e u ) 是下面问题 慝蓉= 托 fy t a y4 - ，( ) = “o = o ， 【可( z ，o ) = 可。( z ) ， n ( 0 ，t ) ， a q ( 0 ，t ) ，( 2 1 ) z q q ( 0 ，t ) a n ( 0 ，t ) ， z q 恳藏孔辫 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 令z ( x ，) 21 i _ + m 。扩( z ，) ( 在解空间的意义下) 由估计式( 1 3 ) 得z ( x ，) 在弱的意义下满足 如f 的系统： z - a 高z + f 。， 扣扛，讪a ：臻 ( 2 4 ) ( 2 4 ) 式即是方程( 1 ，1 ) 的变分方程( 2 4 ) 式所定义的解映射m ( h o ， ) = g 7 ( o ，o ) ( 危o ， ) ：= ( 2 4 ) 式的解z ( x ，t ) 7 定理2 1 m = g 7 ( o ，0 ) 是l 2 ( q ) 三2 ( q ) _ 工2 ( q ) 的紧映射 证明：记x = l 2 ( q ) ，定义x 上的算子a ： d ( a ) = 础( q ) n h 2 ( q ) ( a z ) ( x ，t ) = 一a z + ，( 0 ) 。( z ，t ) 将( 2 4 ) 式写成抽象微分方程的形式： z t + a z ( t ) 。k s ， 设 丁( t ) ) ( t 0 ) 是x 上的以a 为生成元的c o 半群。由a 定义可知 t ( ) ) t o 是自伴 紧半群，且满足| | t ( t ) | | m e “( vt 0 ) 方程( 2 5 ) 式的温和解是 z ( t ) = t ( t ) 动+ f t ( t s ) ( s ) d s ( o t t ) ( 2 6 ) 0 下证m = g ( o ，0 ) 是l 2 ) l 2 ( q ) _ l 2 ( q ) 的紧映射为此，设r ，r 0 d = ( 劲，”( 。) ) i ( 名o ， ( ) ) l 2 ( q ) l 2 ( q ) ，i l z o l l x 茎r ， i i v ( ) 1 1 l 。( 。】兰r ) 是上2 ( n ) l 2 ( q ) 中的有界集，只需证 b = m ( z o ， ( ) ) i ( 动，”( ) ) d ) 首先，当i i z o l l x r ，由于 丁( t ) ) t ，o 是自伴紧半群，知 t ( ) z o ) 是列紧集，不妨设 t ( t 1 ) z ；a ( 礼+ o o ) 8 ( 2 7 ) d 0 ”占一 i zz 0 丁 | | 孙 烈 于的敛收有 冲为 q 因 l 在 其次，证当i l u ( ) i l l ：( o 】sr 定义 s ( t - ) ：= ? t ( t 1 一s ) u ( s ) d s 是列紧集选取。 o 知，1 厂- 5 t ( t 1 - - s ) u ( s ) d s 是l 2 ( n ) 有界集，从而有弱收敛的子列由r ( ) 是紧算子知。酽 ( t 0 1 ) 是l 2 ( q ) 中的列紧 集不妨设为 s v n ( t 1 ) - - - + 卢( 7 1 , + o 。) 考虑 s v ( t ) 一s 6 ”( t - ) 1 1 = h t ( t 一s ) ”( s ) d s 一t ( t 。一s ) ”( s ) d s 00 t i = i i ，t ( t 。一s ) ”( s ) d s i i 1 2 5 0 1 1 7 1 ( - 一s ) i l i i ”( s ) l i d s 0 ，可以选取充分小，使 i s u n ( t 1 ) 一s 6 u 。 1 ) i | s6 3 当n 充分大时，有 s 5 ( 1 ) 一刚 0 ，j6 ( ) 0 使 | | a ( v ) 一a ( x ) 一m ( v 一。) i i | | v z | i 成立vz ，u ，满足l i z n ，1 1 一a i l o ，vy o 三2 ( q ) ，存在u l 2 ( 0 ，丁) ) ，使得其解满足 而且 满足如下的估值式 口扛，t ) = 0 l ，( 。( 。，t ) ) e 。【( 1 + l t + 7 十( t 5 十r ) 川n | | c ( 。) 十i l n l | ( 口一【 其中c 仅依赖于n 和” ( 2 1 4 ) 5 3 定理1 1 的证明 本节完成定理1 1 的证明 证明： ( 1 ) ( 乍) 它是显然的 ( 2 ) ( = = = ) 当控制u 0 = 0 ，y g = 0 ，对应的( 1 1 ) 的解y o ( 1 ，z ，y o ，u o ) = 0 ，vt 1 0 成立 定义g ：l 2 ( q ) l 2 ( 【o ，t 1 ，l 2 ( q ) ) l 2 ( q ) 如下： g ( y o ，u o ) ：= y ( tl ，z ，y o ，u ) ( 方程( 1 1 ) 的解在t l 时刻的值) 易知，g ( o ，0 ) = 0 ，g 在( 0 , 0 ) 点关于( h o ，u ) 的变分系统是( 2 4 ) 式 m ( h o ，口) = g ( o ，o ) ( h o ， ) ：= ( 2 4 ) 式的解z ( z ，t 1 ) 在定理2 2 中，取s = 0 ，由系统( 2 4 ) 的零能控结果，vh o l 2 ( q ) ，3 v h 。使 z ( t l ，z ， o ，v h 。) = 0 ，vc = ( ，v h 。) ，l = 1 成立故g ( y o ，u ) = 0 有局部解，且可表示为 y o = 0 + t h o + 啦( ) ，y o 0 ， u = 0 + t v + q 1 ( ) ，“0 其中，q 1 ( ) ，啦( t ) _ o ( t o ) ，且t 充分小由h o 的任意性可知，y o 覆盖了0 点的 一个小的邻域，故系统( 1 1 ) 在时刻l 是局部零能控的而由假设( 1 1 ) 是指数能稳的，知存 在j 0 ，ju 1 ( z ，t ) 使 上2 如曼g e - w t 正9 氓v t o 1 3 故，存在某时刻t ，在控制u l ( x ，t ) 作用下，其解进入原点的一个小邻域，整个过程可选取控 制 “( z ) ：札l ( 。，2 ) ，当。 o ，t 】， ( 能稳的控制) 、7 iu 2 ( z ，t ) ，当t t ，t 1 】( 隐函数所确定的控制) 采用此控制可知“( t l ，z ) = 0 故系统( 1 1 ) 零能控 注1 定理中时间t 依赖于初值所在的球的半径 注2 系统( 1 1 ) 逼近零能控与快速零能控是等价的，且能控时间是公共的 注3 若控制取局部内部控制x 。u ，定理1 1 仍然成立，其中u 是q 的非空开子集 注4 当系统( 1 1 ) ，( h ) 仅有局部解时，我们可以选取i l y o l l l z ( n ) ( 待定) ，i i - 1 1 l 。( o ) 叩( t ) 一e ，通过引理2 5 可待定出的值然后l i i l n 本文开始，同法求变分方程，且隐函数 定理同样适用，只须取初值所在的凸开集为 控制值所在的凸开集为 x ：= l 2 ( q ) n y o o | | l 2 ( f 1 ) ) y ：= l 2 ( q ) n | i i 口l i 妒( q ) 叩( t ) 一e ) | _ f 此可得到系统( 1 1 ) ，( h ) 的局部零能控的结论 注5 此方法同样适用于边界能控性 注6 此方法同样适用于f ( t ，x ，y ，v y ) 形式 注7 此方法同样适用于双控制问题 本节完成定理1 2 的证明 证明： 第一步： 5 4 定理1 2 的证明 1 4 由( 1 4 ) 式，令z = y 一0 ( z ) ，得到 i 盈一z = ( z + 口扛) ) + a o ( x ) ，0 ，) q 丁， z = 0 ，a q ( 0 ，r ) ，( 3 1 ) 【z ( z ，0 ) = z o ( x ) = y o ( x ) 一p ( z ) ， z q = = = a 急篓 b z ， 由文献1 8 】中的定理2 4 ，因z 0 ( z ) 2o ( z ) ，施= 0 o ) ，故系统( 3 2 ) 是逼近零能控的， 。( 。，t ) 一ol i e f 盈一z = u ( z 一( z ) ) 一a ( z ) ，( z ，t ) q t ， z = o ，a q ( o ，t ) ， c a 3 ) 【。( z ，0 ) = z oc x ) ， z q 当z o c 石) = 0 时，。取二含铲时系统c 3 3 ) 只有零解即 下面对系统( 3 3 ) 在z o ( z ) ，u 。) = c o ，= ：铲) 处作变分选取 z o ( ) x = z o ( ) l 2 ( q ) l l l z o l ll 2 ( n ) m ( 待定) ) ， “u = “l 2 ( q t ) il i , , ll l 一( 口，) ( 待定) ) 1 5 其中m ，n 的待定方法如下对下面系统( 3 3 ) 的变分系统 fu 。一u = “o u ( z ，z ) + ( 一o ( z ) ) ，( 。，t ) q t ， u = 0 ，a q ( 0 ，t ) ， 【u ( z ，0 ) = h o ( x ) ， 。q 易知使系统( 3 4 ) 零能控的控制u 有一个一致的估计( 见第五步) i l “l | l 。o ( n c o ，r ) ) 曼c l i h o l i l 。( n ) ， v h o l 2 ( n ) 事实上，我们只需用到系统( 3 4 ) 的局部的零能控性，故选取 i i h 0 1 i l 2 ( n ) 0 ，如，t ) u o ，t 】a e ， 礼= l ，其中u 是q 的非空开子集，q = ( 0 ，1 ) ，作者得瓠了系统( 3 1 4 ) 局部快速零能控的 结论 采用本文定理1 2 的方法。可以得到如下的结论， 定理3 1 ：假设o ( x ，t ) l 。( q t ) 和i 口( z ，t ) l c 0 ，扛，t ) u 【0 ，t 1 1 则系 统( 3 1 4 ) 是局部快速零能控的而且是零能控的 0 z 以 一 ， 如 炉 刊仉r = 可可可 ，：l 参考文献 b a r b u v ，e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo fs u p e r l i n e a rh e a te q u a t i o n ，a p p l m a t h o p t i m 4 2 ( 2 0 0 0 ) ，7 3 8 9 e f e r n a d e z c a r a ，e z u a z u a ，n u l la n da p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yf o r w e a k l yb l o w i n g u ps e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n s ，a n ni n s th p o i n c a r ea n a l y l i n e a r e1 7 ( 2 0 0 0 ) ，5 8 3 6 1 6 3 p u r s i k o r av ，i m a n u v i l o v o y u ，c o n t r o l l a b i l i t yo fe v o l u t i o ne q u a t i o n s l e a t u r e sn o t e ss e r i e s3 4 ，r i ms e o u ln a t i o n mu n i v e r s i t y ( 1 9 9 6 ) 【4 】b d c r a v e n ，m z n a s h e d ，g e n e r a l i z e d i m p l i c i t f u n c t i o nt h e o r e m s w h e nt h ed e r i v a t i v eh a sn ob o u n d e d i n v e r s e ，n o n l i n e a ra n m y s i s ，t h e o r y , m e t h o d sa n da p p l i c a t i o n s v 0 1 6 n o 4 ( 1 9 8 2 ) ，3 7 5 3 8 7 5 1 s a n i t aa n dd t a t a r u ，n u l lc o n t r o l l a b i l i t yf o rd i s s i p q t i v es e m i l i n e a r i t e a te q u a t i o n a p p l m a t h o p t i m 4 6 ( 2 0 0 0 ) ，9 7 1 0 5 a k h a p a l o v ，e x a c tn u l lc o n t r o l l a b i l i t yf o rt h es e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n s w i t hs u p e r l i n e a rt e r ma n dm o b i li n t e r n a lc o n t r o l ，n o n l i n e a xa n a l y s i s ， 4 3 ( 1 9 9 6 ) ，7 8 5 8 0 1 a k h a p a l o v b i l i n e a rc o n r t o lf o rg l o b l ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hs u p e r l i n e a rt e r m s ，i nc o n t r o lo f n o n l i n e r ad i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ，g c h e n ，i l a s i e c k aa n dt ，z l i o u ，e d s m a r c e l d e k k e r ，n o wy o r k ，( 2 0 0 1 ) ，1 3 9 1 5 5 a y k h a p a l o v c o n t r o l l a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o ng o v e r n e db yar n u l t i p l i c a t i v ec o n t r o li nt h er e a c t i o nt e r m ：a q u a l i t a t i v