（应用数学专业论文）z紧、z可数紧与zlindelof+lfuzzy集.pdf

五邑大学硕士学位论文 本人声明 本人郑重声甓：所呈交的学位论文及其研究工作有本人在导师指导下独立完 成，完成论文所用的一切质料均已在参考文献中列出。 作者：朱俊灵 签字：床役叉 ，2 0 0 8 年4 月l o 日 五邑大学硕士学位论文 垒 a b s t r a c t n l ec o n c e p to ff u z z yt o p o l o g i c a ls p a c ew a si n t r o d u c e db yc l c h a n gi n19 6 8 u n d e rt h et h e o r yo ff u z z ys e t s a tt h es a m et i m et h eo p e ns e t s ，t h ec l o s e ds e t s ，7 t h e n e i g h b o r h o o d s ，t h ec o m p a c t n e s s ，t h ee o u n t a b l yc o m p a c t n e s sa n dt h ec o n n e c t e d n e s s w e r ei n t r o d u c e d a f t e rt h a ts a m er e s e a r c h e se x t e n d e dt h ep r o p e r t i e st ot h eg e n e r a l l - f u r yt o p o l o g i c a ls p a c e s i nt h i sp a p e rw eh a v ei n t r o d u c e dak i n do fn e wo p e ns e t s a n dh a dd i s c u s s e dt h ez c o m p a c t n e s s ，z - t y p eo fs t r o n gc o n n e c t e d n e s s ，e o u n t a b l y z c o m p a c t n e s s ，z - l i n d e l s fp r o p e r t i e s ，a n ds p - u r y s o h ns p a c e ，i tp r e s e r v e sm a n yg o o d p r o p e r t i e s n l ef i r s tc h a p t e rw el a yo u ts o m eb a s i ck n o w l e d g e 啦e l u d i n gs o m er e s u l t sw h i c h w i l lb eu s e dl a t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ei n t r o d u c em a n yn e wk i n d so fn e a r l yo p e n s e t si nl - f t s ，d i s c u s si t sb a s i cp r o p e r t i e s i nt h et h i r dc h a p t e r , w es h a l ls y s t e m a t i c a l l y d i s c u s sz - c o m p a c t n e s s 、c o u n t a b l yz - c o m p a c t n e s sa n dz - l i n d e l s fp r o p e r t i e s t h e y c a nb ec h a r a c t e r i z e di nt e r mo fa - n e t a f i l t e r , r - z c o v e r sa n d 广- f i n i t ei n t e r s e c t i o n p r o p e r t y i nt h ef o r t hc h a p t e r , w es h a l li n t r o d u c ean e wt y p eo fc o n n e c t e d n e s s ， i n t r o d u c ez - t y p eo fs t r o n gc o n n e e t e d n e s s ，d i s c u s si t sp r o p e r t i e s ，a n ds t u d yi t sr e l a t i o n 、析t ho t h e rt y p eo fc o n n e c t e d n e s s i nt h ef i f n lc h a p t e r , w ea l s oi n t r o d u c e dt h ec o n c e p t o fs p u r y s o h ns p a c ei nl f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s ，e s t a b l i s hs o m eo fi t sf u n d a m e n t a l p r o p e r t i e s ，a n ds t u d yt h e i rs t r u c t u r er e l a t i o n sw i t hk n o w nm a n yk i n do fu r y s o h n s p a c e s k e yw o r d s ：三一f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s ；z - o p e ns e t ；z - c o m p a c t n e s s ；c o u n t a b l y z - c o m p a c t n e s s ；z l i n d e l 5 fp r o p e r t i e s ；z - t y p eo fs t r o n gc o n n e c t e d n e s s ；z - r e m o t e n e i g h b o r h o o d ；s p u r y s o h ns p a c e s 五邑大学硕士学位论文 4 = 摘要 1 9 6 8 年，c l c h a n g 以f u z z y 集的理论为骨架，引入了f u z z y 拓扑空间以及其中的开集、 闭集、邻域、紧性、可数紧性、连通性等概念，之后一些学者把研究对象扩展为更一般的 l - f u z z y 拓扑空间。本文就是在l - f u z z y 拓扑空间中引入了新的开集并讨论乙紧性、可数乙 紧性、z - l i n d e l s f , z - 型强连通性、s p - u r y s o h n 空间等概念，具有若干较好的性质。 第一章中我们给出了一些预备知识以及论文中所要用到的一些结果。第二章中我们在厶 拓扑空间中引进了一种新的近似开集( 即z 开集) ，讨论了其基本性质。第三章中我们系统 讨论了二紧性、可数z 紧性和z - l i n d e l s f 性质，给出了叶网，洳滤子，r + z 覆盖和广z 有 限交性质刻画。第四章中我们给出了一种新的连通性，即，乙型强连通，再对其性质以及与 其他已有种类的连通性进行了讨论。第五章中我们在三拓扑空间中介绍了s p - u r y s o h n 空间 的概念，得到了它的若干良好性质与特征，并讨论它与其他u r y s o h n 空间之间的关系。 关键词：三模糊拓扑空间；z 开集；压紧性：可数压紧性；压型强连通性；z - l i n d e l s f 性质； z 一远域；s p - u r y s o h n 空间 五邑大学硕士学位论文 星 c h a p t e rii n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s s i n c et h ec o n c e p to ff u z z ys e tw a si n t r o d u c e db yl a z a d e hi n19 6 5 ，a n dt h e t h e o r yo ff u z z ys e tw a se s t a b l i s h e d n l ec o n c e p to ff u z z yt o p o l o g i c a ls p a c ew a s i n t r o d u c e db yc l c h a n gi n19 6 8 l 13 。，f u z z y t o p o l o g yh a sb e e nd e v e l o p i n gq u i c k l y e a r l i e rw o r k sw e r ed o n eb yc k w o n ga n db h o t t o n m u c ho ft h e i rw o r k sw e r ed i r e c t g e n e r a l i z a t i o no fr e s u l t si nc l a s s i ct o p o l o g yl 2 j h o w e v e r , a sc o n c e p to fp o i n tw a s n o t m e n t i o n e di nb h o t t o n sw o r k sa n dt h ed i r e c tg e n e r a l i z a t i o no fp o i n ta n d n e i g h b o r h o o ds y s t e m sw e r eg i v e nb yc k w o n g ，m a n ys e r i o u s l yc o n t r a d i c t i o n sa n d d i f f i c u l t i e se m e r g e d t h e s eu n s o l v e dp r o b l e m sg r e a t l yi m p e d ea n yf u r t h e rr e s e a r c h c o n s e q u e n t l y , r e s e a r c h e r sh a dt og i v e nu pf o r m a li d e a la n dt r yt oe x p l o r ean e w a p p r o a c h 。 i n19 7 7 ，b ya n a l y z i n gt h ed e f e c to ft h et h e o r yo fn e i g h b o r h o o ds y s t e m si n t r o d u c e d b yc k w o n g ，a n dr e m i n d i n gr e l a t i o nb e t w e e nap o i n ta n daf u z z ys e t ，p r o f e s s o r y m l i uc r e a t i v e l yi n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fq u a s ic o i n c i d e n tn e i g h b o r h o o df o rt h e f i r s tt i m e 1 6 1 b a s eo nt h i s ，h ee s t a b l i s h e dac o m p l e t em o o r e - s m i t hc o n v e r g e n c ei n f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s 1 6 j s i n c et h e n t h ef o r m a ld i 颤c u l t i e sh a d b e e ns u c c e s s f u l l y r e s o l v e d ，a n dr e s e a r c hi nf u z z yt o p o l o g yd e v e l o p e dp r o m p t l y i n19 81 ，s i n c es e m i o p e na n dr e g u l a ro p e ns e t sw e r ei n t r o d u c e db yk k a z a d l i j o n eo fw h i c hi sr e s e a r c ho ns e m i t o p o l o g y m a n yp a p e r $ h a db e e nd e v o t e di nt h i sa r e a r e s e a r c h e r sh a v ei n t r o d u e e dm a n yk i n d so fn e a r l yo p e ns e t s ，s u c ha sp r e - o p e n ( s e m i r e g u l a r ( s e m i ) o p e n ，s e m i r e g u l a rs e m i - o p e n ，s t r o n g l ys e m i - o p e n ，s e m i p r e o p e n ) s e t si nv a r i o u ss p a c e sd j s i n c et h em a i nd e f i c i e n c yw a so v e r c a m eb yl i ua n da c o m p l e t ea n ds y s t e m a t i c a ls t r u c t u r ew a se s t a b l i s h e d r e s e a r c ho nh a sb e i n gt u r n e d i n t ov a r i o u sd i r e c t i o n s f u r t h e rs t u d i e ss h o w e dt h o s en e a r l yo p e ns e t ss t i l lp r e s e r v i n g l o t so ft o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s i n19 8 5 ，n e v e r t h e l e s s ，r e s e a r c ho nf u z z yt o p o l o g yi sj u s tb a s eo nt h ei n t e r v a l 0 ，1 】 a st h et h e o r yo fl a t t i c ed e v e l o p i n g ，a n d 0 ，l 】i sj u s tav e r ys p e c i f i cl a t t i c e ，am o r e g e n e r a l i z e d f o r mo fr e s e a r c hh a sb e e nr e q u i r e d i nc o n s i d e r i n gt h i s ，p r o f e s s o r g j w a n gi n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fr e m o t en e i g h b o r h o o dl z i j i ti sam o r eg e n e r a l f o r mt h a nq u a s ic o i n c i d e n tn e i g h b o r h o o d ( i fal a t t i c e 三h a si n v o l u t i o no p e r a t o r , t h e n t h et w oc o n c e p t sa r ee q u i v a l e n t h o w e v e r , t h ef o r m a lo n ec a nb eu s e de v e n 三h a sn o i n v o l u t i o no p e r a t o r t h i sc a nb es e e ni nt h et h e o r yo ft o p o l o g i c a lm o l e c u l a rl a t t i c e 川1 ) h lw 抽g sr e s e a r c h m o l e c u l a r , r e m o t en e i g h b o r h o o da n dh o m o m o r p h i s ma r ek e y e d i m p o r t a n t ，b yw h i c h ，h et r a n s f o r m e df u z z yt o p o l o g yi n t o 三一f u z z yt o p o l o g y s u c c e s s f u l l y 2 7 】 i nt h i st h e s i s w ew o u l dl i k et oi n t r o d u c ean e wk i n do fn e a r l yo p e ns e t ( n a m e l y z - o p e ns e t ) i n 三- f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s ，a n dd i s c u s si t sp r o p e r t i e ss y s t e m a t i c a l l y t h ef o l l o w i n ga r eb r i e fi n t r o d u c t i o no fc o n t e n to ft h i st h e s i s i nt h ef i r s tc h a p t e ro f t h i st h e s i s ，w el a yo u ts o m eb a s i ck n o w l e d g ei n c l u d i n gs o m er e s u l t sw h i c hw i l lb e u s e dl a t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ei n t r o d u c es o m en e wk i n d so fn e a r l yo p e ns e t si n 三f i s d i s c u s si t sb a s i cp r o p e r t i e sa n dg i v er e l a t i o n sw i t ho t h e rn e a r l yo p e ns e t s i nt h e t h i r d c h a p t e r , w e s h a l l s y s t e m a t i c a l l y d i s c u s s z c o m p a c t n e s s ，c o u n t a b l y z - c o m p a c t n e s s ，z l i n d e l s f t h e yc a nb ec h a r a c t e r i z e di nt e r mo f 洳n e t ，a - f i l t e r , 五邑大学硕士学位论文 垒 r - z c o v e l 苫a n d 广m n i t ei n t e r s e c t i o np r o p e r t yf o ra n yl - f u z z ys u b s e t ，a n di tp r e s e r v e s m a n yg o o dp r o p e r t i e so fc o m p a c t n e s si n 三一f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s i nt h ef o r t h c h a p t e r , w es h a l li n t r o d u c ean e wt y p eo fc o n n e c t e d l l e s s ，n a m e l yz - t y p eo fs t r o n g c o n n e c t e d n e s s ，d i s c u s si t sp r o p e r t i e s ，a n ds t u d yi t s r e l a t i o nw i t ho t h e rt y p eo f e o n n e c t e d n e s s i nt h ef i f n lc h a p t e r , w ea l s ow ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fs p - u r y s o h n s p a c ei nl f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s ，e s t a b l i s hs o m eo fi t sf u n d a m e n t a lp r o p e r t i e s ，a n d s t u d yt h e i rs t r u c t u r er e l a t i o n sw i t hk n o w nm a n y k i n do fu r y s o h ns p a c e s xa n dyw i l ld e n o t en o n - e m p t ys e t am a p p i n gf r o mxi n t oli ss a i dt ob ea n 三f u z z ys e to n xm c o l l e c t i o no f a l ll f u z z ys e t so n 五d e n o t e db y l = l ( ，v ， 入，。) a l w a y sd e n o t e saf u z z yl a t t i c e ，i e ，ac o m p l e t e l yd i s t r i b u t i v el a t t i c ew i t ha n o r d e r - r e v e r s i n gi n v o l u t i o n “”0a n d1d e n o t et h el e a s ta n dt h eg r e a t e s te l e m e n ti n l ，r e s p e c t i v e l y m 三) t h es e to fa l l - n o n z e r oi r r e d u c i b l ee l e m e n t s t 工均1o f l f o rt h e d e f i n i t i o no fa n 三f u z z yp o i n thw ef o l l o wt h er e f 7 s p e c i f i c a l l y , w h e na e m ( l ) ， w es h a l lc a l l ap o i n t ( o ram o l e c u l e ) i n p u ta 硝) = 汔? x e x a n da e m ( l ) ，0 3s t a n d sf o ra l ll - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ( b r i e f l yl f l s ) 【io 驯j ，w h i c hi s i n t r o d u c e db yc h a n gl 1 j 。r e li sc a l l e da ni r r e d u c i b l ee l e m e n to f l i fa v b = ri m p l i e s 俨，o r6 气w h e r ea ，b e l r e li sc a l l e dap r i m ee l e m e n to f l ，i fa a b s ri m p l i e s 口夕 o r6 巍w h e r ea ，b e l t h es e to fa l lt h ep r i m ee l e m e n t sw h i c ha r en o tlo f 三i s d e n o t e db yp r ( l ) ae li sc a l l e dau n i o n i r r e d u c i b l ee l e m e n to f 厶i ff o ra r b i t r a r ya ， b e lw i t ha _ a ，bi sp r e c l o s e ds e t ， ( 3 ) a 口= v b ：b 5 a ，bi ss e m i - p r e o p e ns e t ) ， ( 4 ) a = 八 b ：b 独，bi ss e m i - p r e c l o s e ds e t ) ， ( 5 ) a a - - - - v b ：b 垒，bi sp r e s e m i o p e ns e t ) ， ( 6 ) a 产八 b ：b - 2 a ，bi sp r e , s e m i c l o s e ds e t ， a 佗洲岫弘面蛾p 帆鳓【i 】i 巾商蛐霸：i 】i 掣盹帆p 纠啜1 1 i ：疏函口纠髓m d c 船0 f a ，i e 甲。c 西咄 d e f i n i t i o n l 3 i 1 5 淄il e t 0 3b ea l ll - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，ae l x , t h e nai s c a l l e d ： ( 1 ) ar e g u l a r l yp r e - o p e ns e ti f f a = a 口；ar e g u l a r l yp r e - c l o s e ds e ti f f a = a t 扒 ( 2 ) ar e g u l a r l yp r e s e m i o p e ns e ti f fa 早a 。；ar e g u l a r l yp r e s e m i c l o s e ds e ti f f 醛人h d e f i n i t i o n l 4 1 2 4 1l e t 0 3b ea nl f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，ae l x , t h e nai sc a l l e d ： ( 1 ) aj - o p e ns e ti f f a = ( a ) 口； ( 2 ) a j - c l o s e ds e ti f f a = ( a 口) d e f i n i t i o n l 5 1 2 7 1l e t 三b eac o m p l e t el a t t i c ea n d 口三as e tbo fli sc a l l e da m i n i m a lo f a ，i ft h ef o l l o w i n gt w oc o n d i t i o nh o l d ； ( 1 ) v b = a ； ( 2 ) f o re a c h x e ba n de v e r ys u b s e tc o f l 谢mv c a ，t h e r ei sz e cs u c h t h a t z x d e f i n i t i o n l 6 1 3 1 1as e ts c i sc a l l e daf i l t e r , i fp 鸳t o g e t h e rw i t h 尸si m p l i e s q e ：3a n d 只q 3i m p l i e sp a q e ：3 af i l t e r 争i n i sc a l l e da l la f i l t e r ( a 4 犯) ) ，i f f o re a c hf 3 ，v x e 必礅沦0 d e f i n i t i o n l 一1 6 1l e t 廿0 3b ea l ll - f t s 。ae p 。r e p r ( l ) a n dq c z x i ff o re v e r yf i n i t e s u b f a m i l y 、i ，o f 午a n df o re a c ht a c t ( ，) ，t h e r ei sx ，似) s u c ht h a t ( 八们娆，t h e nw e s a yt h a t9h a sa nt + f i n i t ei n t e r s e c t i o np r o p e r t yi na ，v，v d e f i n i t i o n l 8 1 2 7 1l e t ，国，1 ，西b et w ol f t s sa n d 厂：_ 工。b eam a p p i n g i n d u c e db yac r i s pm a p p i n g ，：x 只w r ed e f m et h c ，：一l 。a n di t si n v e r s e m a p p i n gf ：p _ l r a sf o l l o w s ： v a e l x ，y ey , f ( a ) = v 彳：x e x , ，7 ) ， v b e l l ，x e x , 厂1 ) 铂( 厂( 砷) t h e n ：d l li sc a l l e daf u n c t i o no fz a d e h ! st y p e ，o ri sc a l l e da nl - f u z z ym a p p i n g d e f i n i t i o n l 9 。1 2 7 1a m a p p i n gf ：l l - l 2i sc a l l e da l lo r d e rh o m o m o r p h i s mi ft h e 五邑大学硕士学位论文垒 f o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ： ( 1 ) ，( o ) = 0 ( 2 ) ，( v 彳，) = v ，口df o r 似， c 三， ( 3 ) 厂1 ) = 旷1 ) ) f o re a c hb e l 2 d e f i n i t i o n l 1 0 闭1l e t 回b ea l l 三舡an e ti n 0 3i sam a p p i n g & d _ 酌，d e n o t eb ys = s 俐，刀印 ，w h e r edi sad i r e c t e ds e ta n d t h e s e to f a u n o n z e r oi r r e d u c i b l ee l e m e n t so fl x d e f i n i t i o n l 1 1 。1 3 4 1l e t 世。0 3b ea l ll i t s 。琳订廿) a n dpac l o s e ds e ti nl x t h e np i sc a l l e dar e m o t e - n e i g h b o r h o o do f 瓿，i fx x 仨p t h es e to fa l lr e m o t e - n e i g h b o r h o o d s o f x 丸w i l lb ed e n o t e db y 瑁 d e f i n i t i o n l 1 2 1 2 6 1a n 三f t s 0 3i sc a l l e dal e s sw e a k l yu r y s o h ns p a c ei ff o re v e r y p a i r 三一f u z z yp o i n t s 瓿a n d 肌、i t h 磅，t h e r ee x i s tp e t l ( x x ) a n dq 卵s u c ht h a t p v q o = 1 w h e nz r _ 【o ，l 】i ti sl e s sw e a k l yu r y s o h ns p a c e d e f i n i t i o n l 1 3 i 1 2 1l e t 0 3b ea n 三一f t s i ff o re v e r yp a i rl - f u z z y p o i n t sx xa n d 肌 w i l lx - g y , t h e r ee x i 建p e t l ( x x ) a n dq 叩s u c ht h a tp a v q a = 1 ，t h e n 0 3i ss a i dt o b ep s - u r y s o h ns p a c e 五邑大学硕士学位论文 皇 c h a p t e r i i z - o p e ns e t s 2 1 z - o p e ns e t s d e f i n i t i o n2 1 1l e t ，0 9b ea l l 三一f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，么，t h e nai sc a l l e d ： ( 1 ) az - o p e ns e ti f fa _ a 口； ( 2 ) a z - c l o s e ds e t i f f a = a 队 p w i l la l w a y sd e n o t et h ef a m i l yo fz - o p e ns e t s ，w i l la l w a y sd e n o t et h ef a m i l yo f z - c l o s e ds e t si n 国 d e f i n i t i o n2 1 2l e t 0 9b ea nl f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，ae l x , t h e na i sc a l l e d ： ( 1 ) ab o p e ns e ti f f a = ( a ) 口； ( 2 ) a b - c l o s e ds e ti f f a = ( a 口) t h e o r e m2 1 3l e t 0 3b ea nl f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，么矿i f ai saj - o p e ns e t , t h e n ai saz - o p e ns e t p r o o f t h i si se a s y t h e o r e m2 1 4l e t 0 9b ea nl f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，ae l x , i f ai sab o p e ns e t ， t h e n ai saz - o p e ns e t p r o o f f o ra n ya l x , b e c a u s ea - ( a ) 口，b yl e m m a1 ，a 怠a s o ( a 1 之a 帅b y d e f i n i t i o n s2 1 1 ，2 1 2 ，a i sas e m i - p r e o p e n s o a _ a 口：! 口，t h e na = a ，、口 t h e o r e m2 1 5l e t 0 9b ea nl f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，ae l x , i f ai saz - o p e ns e t ， t h e nai sas e m i - p r e o p e ns e t p r o o f t h i si si m m e d i a t et og e tt h ec o n c l u s i o nf r o md e f i n i t i o n s1 ，2 t h e o r e m2 1 6l e t 。0 3b ea nl - f u z z yt o p o l o g i c a l s p a c e ，a l x , i fai s a s e m i - r e g u l a r l ys e m i o p e ns e t ，t h e na i saz - o p e ns e t