（计算数学专业论文）脉冲微分方程在种群生态管理数学模型研究中的应用.pdf

摘要 经过近三十年的研究，脉冲微分方程的理论已经得到深入的发展，但是这些理 论在实际中很难应用，全局稳定性等几乎没有什么结果因此，讨论脉冲微分系统 在各领域、各学科的具体应用仍具有较高的理论价值和实际意义对于种群动力学 模型的研究，学者们一直采用连续的或离散的模型来进行研究，而忽略了外界的干 扰，可是现实世界中有许多生物现象以及人们对某些生命现象的优化、控制是脉冲 的本文针对种群生态管理上的些实际问题以及脉冲在这些实际问题上的意义建 立具有脉冲效应的种群动力学模型，并以脉冲微分方程的理论为基础，同时结合离 散的、连续的动力系统和算子理论的相关理论和方法，并借助于计算机模拟讨论所 提出模型的各种动力学行为，包括周期解的存在性与全局稳定性，一致持久性与灭 绝性、系统的动力复杂性我们的研究具有很强的生物背景，所得结论能为生产实 际提供可靠的决策依据本文的主要结果可以概括如下： 第二章基于害虫控制问题建立了固定时刻的具有脉冲效应的种群动力学模型并 研究了这些模型的动力学性质基于天敌助增，我们研究了具有脉冲效应的两个食 饵一个捕食者系统，利用脉冲微分方程的f l o q u e t 乘子理论、比较定理和分析的方 法，证明了两个害虫都被根除的周期解的全局渐近稳定性，给出了系统持续生存的 条件，和主要害虫灭绝，次要害虫( 或者不是害虫) 和天敌持续生存的条件，此外还 把连续释放天敌与脉冲释放天敌进行比较基于综合害虫管理，讨论了具有脉冲效 应和相互干扰的捕食者一食饵系统，给出了灭绝与持续生存的条件，利用分支理论 证明了正周期解的存在性，此外还讨论了综合策略的有效性，并通过数值模拟讨论 了当正周期解的稳定性失去时，系统会出现哪些复杂现象基于综合害虫管理，还 讨论了具有脉冲效应和相互干扰的h o l l i n gi 捕食者一食饵系统，给出了灭绝与持 续生存的条件，并把受迫系统与非受追系统作以比较，讨论脉冲扰动如何影响非受 i 自系统的动力学性质 第三章考虑了周期环境中具有脉冲效应和相互干扰的捕食者一食饵系统利用 f l o q u e t 乘子理论讨论了边界周期解的稳定性，给出了系统持续生存的条件，利用 分支理论，算子理论及l y a p u n o v s c h m i d t 小参数法讨论正周期解的存在性 第四章建立了种子季节性传播的数学模型并讨论了种子季节性传播对种群生长 产生的影响利用脉冲微分方程所对应的差分方程及l y a p u n o v 直接方法，证明系 统存在一个全局渐近稳定的周期解， 第五章研究了可更新生物资源生物经济管理的脉冲捕获模型分别讨论了满足 g o m p e r t z 增长规律的单种群和阶段结构种群的脉冲捕获问题对于单种群脉冲捕 获问题，分别讨论了捕获量为常值和捕获量与种群的存量水平成比例两种情况当 捕获量为常值时，得到了最大承受生产如果捕获量小于最大承受生产，系统存在 两个正周期鳃，讨论了这两个正周期解的稳定性与吸引性捕获量等于最大承受生 产时，系统存在一个正周期解并且是半稳定的当捕获量与种群的存量水平成比例 时，我们证明了系统存在唯一一个正周期解，并且是全局渐近稳定的因此，比例 捕获优于常值捕获对于比例捕获我们给出了以单位时间最大持续捕获量为管理目 标的最优脉冲捕获策略，得到了单位时间最大持续捕获量，最优的捕获努力量和相 应的最优种群水平对于阶段结构种群的脉冲控制问题，也讨论了常值捕获和比例 捕获两种情况当捕获量为常值时，讨论了周期解的存在性与稳定性，得到了最大 承受生产对于比例捕获我们证明了正周期解的存在性与全局渐近稳定性，讨论了 以年持续经济收益为管理目标，捕获努力量为控制变量的最优脉冲控制策略，给出 了最优的捕获努力量，最优的幼年和成年种群水平，最大的年持续经济收益此外 我们还讨论了以捕获时刻为控制变量的最优脉冲控制策略 关键词：脉冲微分方程，种群动力学模型，持续生存，灭绝，全局稳定性，复杂性 i i a b s t r a c t f a i r ) , r i c h r e s u l t sh a v eb e e nm a d ef o rt h et h e o r i e so f i m p u l s i 、_ e d i f i e r e n t i a l e q u a t i o n sf o ra l m o s tt h i r t yy e a r s h o w e v e r ，t h e s et h e o r i e sa r eh a r dt ob ea p p l i e d a n dt h e r ea r ea h n o s tn od e v e l o p m e n t si nt h es t u d yo fg l o b a ls t a b i l i t y t h e r e f o r e ，i t i so fv a l u ei nt h e o r ya n do fs i g n i f i c a n ti np r a c t i c et oi n v e s t i g a t et h ea p p l i c a t i o no f i m p u l s i v ed i f i b r e n t j a le q u a t i o n si ne a c hf i e l d s c h o l a r sh a v eb e e nu s i n gc o n t i n u o u s o rd i s c r e t ee q u a t i o n st os t u d yt h ep o p u l a t i o nd y n a m i cm o d e l s w h i l ei g n o r i n gt h e e x t e r n a ld i s t u r b a n c e h o w e v e r ，i nt h en a t u r a lw o r l d ，m a n yb i o l o g i c a lp h e n o m e n a a n dt h eo p t i m i z a t i o na n dc o n t r o lo fs o m eb i o l o g i c a lp h e n o m e n aa r ei m p u l s i x ，ei n t h i sd i s s e r t a t i o n ，p o p u l a t i o nd y n a m i cm o d e l sw i t hi m p u l s i v eo f r e c ta r ee s t a b l i s h e d c o n c e r n i n gs o m ea c t u a lp r o b l e m so fp o p u l a t i o ne c o l o g ym a n a g e m e n ta n dt h em e a n i n go fi m p u l s ei nt h e s ep r o b l e m s m a t h e m a t i c a l l yac o m b i n a t i o no fa p p r o a c h e st o d i s c r e t ed y n a m i c s ，c o n t i n u o u sd y n a m i c s ，i m p u l s i v ed y n a m i c s ，o p e r a t o rt h e o r ya n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eu s e dt oi n v e s t i g a t ed y n a m i c a lb e h a v i o r si n c l u d i n gt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a ls t a b i l i t 3 ro fp e r i o d i cs o l u t i o n s ，p e r m a n e n c ea n de x t i n c t i o na n d a l lk i n d so fc o m p l e x i t i e s t h em a t h e m a t i c a lm o d e l sa r ep r e s e n t e db a s e do nb i o l o g i e a l m e a n i n g sa n dt h er e s u l t sw eo b t a i n e dc a nb eu s e dt op r o v i d er e l i a b l ed e c i s i v e b a s i sf o rt h ep r o d u c t i o n t h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n m a yb e s u m m a r i z e da st h ef o l l o i n g ： i nc h a p t e r2 ，p o p u l a t f o nd ) n a m i cm o d e l sw i t hi m p u l s i x r ee f f e c ta tf i x e dm o m e n t c o n c e r n i n gp e s tm a n a g e m e n ta r ee s t a b l i s h e da n da n a l y z e d t w o - w e 3o n e p r e d a t o r s y s t e mw i t hi m p u l s i v ee f f e c ti si n v e s t i g a t e dc o n c e r n i n ga u g m e n t a t i o no fn a t u r a le n e m i e s b yu s i n gf l o q u e tt h e o r y ，t w o p e s te r a d i c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o ni ss h o w nt o b eg l o b a l l ya s 3 m p t o t i c a l l ys t a b l e f u r t h e rt h ec o n d i t i o n sf o rt h ep e r m a n e n c e o ft h e s y s t e ma r eo b t a i n e dh yc o m p a r i s o nt h e o r e ma n da n a l 3 t i cm e t h o d ，a n dm e a n w h i l e t h ec o n d i t i o n sf o rt h ee x t i n c t i o no fo n eo ft h et w op r e ya n dp e r m a n e n c eo ft h er e m a i n i n gt w os p e c i e sa r ea l s og i v e n i na d d i t i o n ，c o n t i n u o u sr e l e a s en a t u r a le n e m i e s i sc o m p a r e dw i t hp u l s er e l e a s en a t u r a le n e m i e s ap r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hm u t u a l i n t e r f e r e n c ea n di m p u l s i v ee f f e c tc o n c e r n i n gi n t e g r a t e dp e s tm a n a g e m e n t i ss t u d i e d 、 t h ec o n d i t i o n sf o rt h ep e r m a n e n c eo re x t i n c t i o na r eg i v e n m o r e o v e r ，t h ee x i s t e n c e o f p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nw h i c ha r i s e sf r o mt h ep e s t e r a d i c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o n i s p r o v e db yb i f u r c a t i o nt h e o r y , a n dt h ev a l i d i t yo fi n t e g r a t e dp e s tm a n a g e m e n ti s d i s c u s s e d w h e nt h eu n i q u ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nl o s e si t ss t a b i l i t v n u m e r i c a l s i m u l a t i o ns h o w st h e r ei sas e q u e n c eo fb i f u r c a t i o n ，l e a d i n gt oac h a o t i cd y n a n l 一 i i i i c s ah o l l i n gip r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hm u t u a li n t e r f e r e n c ea n di m p u l s i v ee f f e c t c o n c e r n i n gi n t e g r a t e dp e s tm a n a g e m e n t i sa l s os t u d i e d t h ec o n d i t i o n sf o rt h ep e r 。 m a n e n c eo re x t i n c t i o na r eg i v e n f i n a l l y , t h ef o r c e ds y s t e mi sc o m p a r e dw i t ht h e c o r r e s p o n d i n gc o n t i n u o u ss y s t e ma n dt o b ef o u n dt h ef o r c e ds y s t e mh a sd i f f e r e n t d y n a m i c a lb e h a v i o r sw i t hd i 雎r e n tr a n g e o fi n i t i a lv a l u e sw h i 幽a r ei n s i d eo ro u t s i d e t h eu n s t a b l el i m i tc y c l eo ft h eu n f o r c e dc o n t i n u o u ss y s t e m i n c h a p t e r3 ，ap e r i o d i cp r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hm u t u a li n t e r f e r e n c ea n d i m p u l s i v ee f f e c t i sc o n s i d e r e dt h el i n e a rs t a b i l i t yo fs e m i t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n i ss h o w nb ya p p l y i n gf l o q u e tt h e o r ys o m ec o n d i t i o n sf o rt h ep e r m a n e n c eo ft h e s y s t e ma r eo b t a i n e d f u r t h e rt h eb i f u r c a t i o nt h e o r y ，o p e r a t o rt h e o r ya n dl y a p u n o v s c h m i d ts e r i e se x p a n s i o na r eu s e dt os h o wt h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n i n c h a p t e r4 ，as e a s o n a ls e e d t r a n s f e rm a t h e m a t i c a lm o d e li s p r e s e n t e da n d t h ee f f e c to fs e a s o n a ls e e dt r a n s f e ro nt h eg r o w t ho ft h es p e c i e si sd i s c u s s e d u s i n gt h ec o r r e s p o n d i n gd i f f e r e n c ee q u a t i o n so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d t h el y a p u n o vm e t h o d ，ag l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o ni s s h o w n i nc h a p t e r5 i m p u l s i v eh a r v e s tm o d e l sf o rb i o e c o n o m i cm a n a g e m e n to fr e n e w a b l eb i o l o g i c a lr e s o u r c e sa r ei n v e s t i g a t e da s i n g l es p e c i e sw h i c ho b e y sg o m p e r t z g r o w t hl a wa n das t a g e s t r u c t u r e dp o p u l a t i o na r ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y f o rt h e s i n g l es p e c i e s ，u n d e rc o n s t a n th a r v e s t ，t h em a x i m u m s u s t a i n a b l ey i e l di so b t a i n e d a n dt h e r ea r et w op o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n si ft h ec o n s t a n ty i e l di sl e s st h a nt h e m a x i m u ms u s t a i n a b l ey i e l d t h e i rs t a b i l i t ya n dg l o b a la t t r a c t i v i t ya r ed i s c u s s e d i f t h ec o n s t a n ty i e l di se q u a lt ot h em a x i m u ms u s t a i n a b l ey i e l d ，t h e r ei sau n i q u e p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nw h i c hi ss e m i s t a b l e u n d e rp r o p o r t i o n a lh a r v e s t ，t h e r ei sa u n i q u ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nw h i c hi sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l et h e r e f o r e ， t h ep r o p o r t i o n a lh a r v e s ti ss u p e r i mt oc o n s t a n th a r v e s t f u r t h e rt h eo p t i m a l i m p u l s i v eh a r v e s t i n gp o l i c i e sa r eg i v e nf o rt h em a x i m u ms u s t a i n a b l ey i e l dp e ru n i tt i m ea s t h em a n a g e n l e n to b j e c t i v e f o rt h es t a g e - s t r u c t u r e dp o p u l a t i o n ，t h ee x i s t e n c ea n d s t a b i l i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o na r es h o w nm o r e o v e r ，t h em a x i m u ms u s t a i n a b l ey i e l di sa l s oo b t a i n e da n dt h eo p t i m a li m p u l s i v eh a r v e s t i n gp o l i c i e sa r eg i v e n f o rt h em a x i m u ma n n u a l s u s t a i n a b l ee c o n o m i cr e n ta st h e m a n a g e m e n to b j e c t i v e a n dt h eh a r v e s te f f o r to i t h eh a r v e s tm o m e n t sa sc o n t r o lv a r i a b l e s k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o np o p u l a t i o nd y n a m i cm o d e l ，p e r m a u e l l c e ，e x t i n c t i o n g l o b a ls t a b i t i t yc o r n p l e x i t y i v 月| j 吾 许多发展过程具有这样的特性，即系统经历一个不受系统本身控制的瞬间作用 或系统的状态在短时间内发生迅速改变，但这个短暂的扰动时间同整个发展过程的 持续时间相比可以忽略不计因此从数学上来对这个过程进行描述时，往往假设系 统状态的改变是瞬时的，所采用的数学模型不能单纯地是微分方程或差分方程分 析这种变化过程的特征和规律时，往往要研究解不连续的动力系统，即用脉冲微分 方程来进行研究我们把这类数学模型称为具有脉冲效应的系统【1j 具有脉冲效应 的系统广泛存在于应用科学的各个领域中，如机械，无线电工程，经济，药物动力 学，种群生态学，生物技术，脉冲控制等等1 2 脉冲微分方程的理论与常微分方程的理论相比要丰富得多比如即使微分方 程足够光滑，相应的脉冲微分方程的初值问题的解也不一定存在；一些基本性质， 如解对初值的连续依赖性也可能不成立；一些定性性质，如稳定性需要重新定义 此外，即使是一个简单的脉冲微分方程也可能呈现一些新的现象，如“鞭打”现象 4 ，解的合流现象吼有很多学者对脉冲微分方程的理论进行了研究，文献7 研 究了解的存在性，唯一性和连续性，文献 8 1 0 研究了解对初值和参数的连续依赖 性和可微性，文献 1 1 1 4 1 研究了系统的稳定性，文献【1 5 1 9 1 研究了解的振动性， 文献 2 0 2 4 研究了周期解的存在性和稳定性，这些性质几乎对应于常微分方程研 究的所有领域经过近三十年的研究，脉冲微分方程的理论已经得到深入的发展， 发表的论文数以百计，可以说理论上是一个比较完整的学科，b a i n o v ，s a i m e o n o v ， l a k s h m i k a n t h a m 等人的书【1 ，6 ，2 ”2 ，对此作了很好地总结应用上的需要使脉冲 微分方程的理论不断地完善，但是这些理论在实际中很难应用，如全局稳定性等几 乎没有什么结果因此，讨论脉冲微分系统在各领域、各学科的具体应用仍具有较 高的理论价值和实际意义 对于种群动力学模型的研究，学者们一直采用连续的或离散的模型来进行研 究，而忽略了外界的干扰，可是现实世界中有许多生物现象以及人们对某些生命现 象的优化、控制是脉冲的例如，某些物种的出生是有季节性的，有的可能是几小 时，有的可能是几年生育一次；某些鸟类或鱼类每年在固定的时候迁移到其它地方， 植物的种子只有成熟以后才能发生扩散；渔业生产中，鱼苗的投放和成鱼的收获； 森林管理中，树木的种植和砍伐；农业中在害虫的治理上，农药的喷洒和天敌的释 放等都不是连续的而是有规律的 脉冲微分方程在各个领域中的应用日益增加最近，脉冲微分方程才被引到了种 群动力学中，得到的结果至今还不多具有代表性的研究有：p a n e t t a 2 8 ，l a k m e c h e 和a r i n o 2 9 3 0 】考虑了癌细胞的化疗，c o h e n 3 “l i u 和r d h l 4 3 “，n e r n o v a a l ，a n g e l o v a 大连理工大学博士学位论文 和d i s l l l i e 、，f 3 4 = 3 5 考虑了种群动力系统的脉冲控制，b a l l i n g e r 和l i u l ”j 考虑了种群 动力系统的一致持续生存，a g u r l 3 7 j ；s h u l g i n 等l a s ) 、d ：o n o f r i o ”j ，z h o u 和l i u ! “j 研究了脉冲免疫接种，f u n a s a k i 和k o t “j 研究了资源的脉冲输入， r o b e r t s 和 k a o i j ，t a n g 和c h e n 4 目考虑了生于脉冲 本文将针对种群生态管理上的一些实际问题以及脉冲在这些实际问题上的意义 建立具有脉冲效应的种群动力学模型并以脉冲微分方程的理论为基础，同时结合离 散的、连续的动力系统和算子理论的相关理论和方法，并借助于计算机模拟讨论所 提出模型的各种动力学行为，包括周期解的存在性与全局稳定性，一致持久性与灭 绝性、系统的动力复杂性本文的主要结果可以概括如下： 第二章基于害虫控制问题建立了固定时刻的具有脉冲效应的种群动力学模型并 研究了这些模型的动力学性质基于天敌助增，我们研究了具有脉冲效应的两个食 饵一个捕食者系统，利用脉冲微分方程的f t o q u e t 乘子理论、比较定理和分析的方 法，证明了两个害虫都被根除的周期解的全局渐近稳定性，给出了系统持续生存的 条件，和主要害虫灭绝，次要害虫( 或者不是害虫) 和天敌持续生存的条件，此外还 把连续释放天敌与脉冲释放天敌进行比较基于综合害虫管理，讨论了具有脉冲效 应和相互干扰的捕食者一食饵系统，给出了灭绝与持续生存的条件，利用分支理论 证明了正周期解的存在性，此外还讨论了综合策略的有效性，并通过数值模拟讨论 了当正周期解的稳定性失去时，系统会出现哪些复杂现象基于综合害虫管理，还 讨论了具有脉冲效应和相互干扰的h o l l i n gi 捕食者一食饵系统，给出了灭绝与持 续生存的条件，并把受迫系统与非受追系统作以比较，讨论脉冲扰动如何影响非受 追系统的动力学性质 第三章考虑了周期环境中具有脉冲效应和相互干扰的捕食者一食饵系统利用 f l o q u e t 乘子理论讨论了边界周期解的稳定性，给出了系统持续生存的条件，利用 分支理论，算子理论及l y a p t l n o v s c h m i d t 小参数法讨论正周期解的存在性 第四章建立了种子季节性传播的数学模型并讨论了种子季节性传搔对种群生长 产生的影响利用脉冲微分方程所对应的差分方程及l y a p u n o v 直接方法，证明系 统存在一个全局渐近稳定的周期解 第五章研究了可更新生物资源生物经济管理的脉冲捕获模型分别对满足g o r e p e r t z 增长规律的单种群和阶段结构种群的脉冲捕获问题讨论了最大承受生产和最 优脉冲控制策略 第一章预备知识 本章介绍脉冲微分方程的一些基本概念和基本结论，给出脉冲微分方程三种常 见的形式，同时也介绍研究全局稳定性所用到的差分方程的有关概念和理论特别 地给出研究脉冲微分方程两个比较重要的理论，比较定理和分支定理此外还介绍 周期脉冲微分方程的一些概念和理论，给出具有脉冲效应的单种群周期l o g i s t i c 方 程的有关结果 1 ，1 脉冲微分方程 首先对于脉冲微分方程给出一个基本的描述考虑由以下系统描述的一个发展 过程 ( 1 ) 微分方程组为 一d x f r 一 ，1 1 、 出一。7 l 。， 其中，：r q _ r “，q 是1 3 维欧几里德空间酽中的一个开集； ( 2 ) f ( ) ，n ( t ) 是t t q 的两个子集，t r ： ( 3 ) 算子a ( t ) ：m ( t ) 一n ( t ) t 兄 令。( t ) = x ( t ，t o ，z o ) 表示系统( 11 1 ) 过初值( t o ，x 0 ) 的解，则点只= ( t ，z ( t ) ) 的 运动过程如下：点只= ( t 、z ( ) ) 从点r ，= ( o 、z o ) 出发沿着曲线 ( t 、t ) t t o ，z = z ( ) 运动，一直到时刻t 1 t o 、点n 遇到集合m ( t ) 在时刻t = t 1 算子( 1 ) 把 点r 、= ( t ，z ( ) ) 映射到只? = ( t ，。 ) n ( t t ) ：其中。，= a ( t - ) z ( t ，) 然后点以 沿着系统( 1 1 1 ) 过初值( t 。， ) 的解曲线继续运动，直到它在时刻t 2 t 。又遇到集 合肘( t ) ，于是点r = ( t 2 ，z ( 如) ) 又被算子4 ( t 2 ) 映射到点毋= ( t 2 ，。i ) n ( t 2 ) 其中z = a ( 2 ) z ( t z ) 点p l 又同样沿着系统( 11 1 ) 过初值( t 2 ，。i ) 的解曲线继续 运动只要系统( 1 1 1 ) 的解存在，这个过程就会继续下去 称由( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 3 所描述的运动变化过程为一个具有脉冲效应的微分方程系 统，点b 运动所经过的曲线为这个脉冲微分方程的积分曲线，定义此曲线的函数 为脉冲微分方程的解 脉冲微分方程与连续微分方程的解有很大不同： ( a ) 如果脉冲微分方程的积分曲线与集合m ( t ) 不交或交于算子a ( 砷的不动 点，则脉冲微分方程的解是连续函数； ( b ) 如果积分曲线与集合m ( t ) 交于算子a ( t ) 的有限个非不动点，则脉冲微分 方程的解是有有限个第一类间断点的分段连续函数； 大连理工大学博士学位论文 ( c ) 如果积分曲线与集合m ( t ) 交于算子a ( t ) 的可数个非不动点，则脉冲微分 方程的解是有可数个第一类间断点的分段连续函数 本文假设点r = ( t ，z ( t ) ) 遇到曲面o - 时发生脉冲，其中盯的方程为西( ，z ) = 0 ， 于是脉冲微分方程的数学模型可以表示为 筹= f ( t , z ) ： ，州o ，( 1 1 2 ) i 。= i ( t z ) ，西( t ，。) = 0 ， 其中：r n 一n 集合m ( t ) ：n ( t ) 和算子a ( t ) 定义为 m ( t ) = ( t ，o ) r n ：西( t ，。) = 0 ) ， n ( t ) = r xn ， a ( t ) ：m ( t ) _ ( ) ，( t ，z ) _ ( t z + i ( t ：z ) ) 点r 遇到集合m ( t ) 的时刻t k 称为脉冲时刻我们假设脉冲微分方程的解z ( t ) 在脉冲时刻是左连续的，即z ( 坛) 2 , 。i r 。a + z ( “一h ) 3z ( t k ) 集合m ( t ) ，( t ) 和算 子a ( t ) 的自由选取可以得到多种不同形式的脉冲微分系统，在应用中常见的有以 下三种： i 固定时刻的脉冲微分方程 集合m ( t ) 表示一系列平面t = t k ，其中 “) 是脉冲时刻所构成的时间序列， 并且满足_ 。时“+ 。c 只在t = 缸定义算子a ( t ) ，算子序列a ( k ) 满足： a ( k ) ：q q ，o - - + a ( k ) x = z + h ( x ) ， 其中几：qj n 相应地，n ( t ) 只在t = 如有定义，因此n ( k ) = 4 ) m ( n 于 是，在固定时刻发生脉冲的脉冲微分方程为 面d x 叫n t 地，缺v ， ( 1 1 3 ) 【。= 厶扛) ，t = t k ， 其中a x ( t 女) = z ( ) 一x ( t ) ，z ( t ) 2 l + i m 。+ z ( t k + ) 那么脉冲微分方程( 1 1 3 ) 的 解z ( ) 满足： ( i ) 百d x ( t ) = 巾，。( 蚍t ( t k , t k + 1 ， ( i i ) a x ( t , ) = 厶( z ( “) ) ，t = “，女n 显然脉冲微分方程解的性质受脉冲效应的影响 i i 脉；中时刻变化的脉冲微分方程 集合m ( ) 表示曲面序列( 鼠) ，其中乳：t = 女( z ) ， n 且“( z ) “+ i ( z ) 第一章预备知识 1 i mt kx ) = o c 则脉冲时刻变化的脉冲微分方程为 j 芸。巾，z ) ，f t k ( z ) ，女n ，4 ) 【z = 厶( 。) ，t = t k ( z ) 、n 脉冲时刻变化的系统( 11 4 ) 相对于脉冲时刻固定的系统( 1 1 3 ) 要复杂一些， 其脉冲时刻依赖于方程t = “( z ( 缸) ) ，= 1 2 的解因此不同初始位置出发 的解可能具有不同的不连续性；一个解可能多次碰到同一曲面& ，这称为“鞭打现 象”；此外，不同的解还可能从某一时刻后就重合在一起，这种现象称为“合流现 象” i i i 自治脉冲微分方程 集合m ( t ) im ，n ( t ) ；n 及算子a ( t ) ia 均与时间t 无关 ：肘_ 定义为a x = z + j ( z ) ，其中，：n _ n 则自治脉冲微分方程为 鲁- ，( 巩z m ( 1 1 5 ) i z = ，( z ) ，。m 当任何解z ( t ) = x ( t ，0 ，3 2 0 ) 在某时刻t 碰到集合m 时，算子。4 将m 上的点 z ( t ) 映成上的点y ( t ) = z ( ) + ，( z ( ) ) 在相空间n 内，两次脉冲之间点z ( ) 沿 着d x d t = f ( t ，z ) 的轨线运动系统( 1 1 5 ) 也称为状态脉冲微分方程，其不同的 解具有不同的脉冲时刻由系统( 1 1 5 ) 的自治性，有z ( t ，t o ，z o ) = x ( t t o 0 ，x o ) 而系统( 1 1 3 ) 和( 1 1 4 ) 不具有这个性质 1 2 脉冲微分方程解的存在性、唯一性、延拓性 本节我们给出脉冲微分方程解的存在性、唯一性和延拓性的一些结果，这些结 果主要引自文献 1 , 6 ，2 5 设o 卢，( 。，卢) 表示任意区间( 开、闭、半开半闭) ，表示正整数集， nc r “是一开集， ，：r q - 胛，厶：q 。钟，“：n - r 且t k ( ) 满 足如下条件： ( h 1 2 1 ) 如在q 上是连续的， ( h 1 22 ) 0 i t o ( x ) t l ( 。) 0 使得s t j ( 妒( s ) ) ， t s o ，使得当0 t 1 “( 口) 时，( s ，) 存在有 限极限 注释1 2 2 如果f 使得对应的连续系统的初值问题 塞_ ，( 酬：。 的解唯一，那么初值问题( 1 2 3 ) 的解。( t ) 是唯一的例如，当，在( t 0 , x o ) 的某个 邻域关于口是( 局部) l i p s c h i t z 连续的，此条件就可以满足 第一章预备知识 若初值问题( 12 3 ) 有唯一解，我们就将其记为z ( 厶t o ，x o ) 下面更为详细地考 虑固定时刻的脉冲微分方程： 鲁= f ( t ：x 地，( 1 2 4 ) i z = 厶( 。) ，= t k ， 其中“ t k 时f ( t ，y ) 存在有限 极限，则对每个( o ，t o ) rxn ，存在卢 t o ，使初值问题( 1 2 4 ) ，( 122 ) 存在解 。：( t o ，8 ) - 4 r “如果函数，关于z 在r q 上是局部l i p s c h i t z 连续的，则此解 是唯一的 定义1 2 3 设妒：( o l ，卢) - 彤是( 121 ) 的解，如果存在一个解妒：( o l 7 ) - - + 印，使得当t ( q ，卢) 时母( t ) = 妒( ) ，则称妒( t ) 可以廷拓到卢的右边，u ( ) 就是 妒( t ) 的一个延拓 给定脉冲微分方程( 1 2 4 ) 的解，下面给出解的延拓性定理 定理1 2 3 假设下列条件成立， 1 函数，：r n _ r “在集合( t k ，“+ 1 q ( n ) 上是连续的，并且对每 个女n 和z q ，当( t ，g ) 一( 女z ) ， “时，( t ，y ) 存在有限极限； 2 函数妒：( n ，p ) - r “是( 124 ) 的解； 则解妒( t ) 可延拓到卢的右边当且仅当存在极限 l ! m 妒( t ) = q 及下列条件之一成立， ( a ) 对所有的n ，q q ，都有卢“， (