（概率论与数理统计专业论文）混合分布极值与多维高斯序列最大值的几乎处处收敛定理.pdf

目录 摘要 i a b s t r a c t 。i i 第一章前言 1 1 1 引言。 1 1 2 文献综述j 2 1 3 符号与命题 4 第二章有限混合分布最大值的极限分布6 2 1 有限混合分布极值分布 6 2 2 等价类的有限混合分布极值。1 0 第三章多维非平稳高斯序列最大值的几乎处处收敛定理1 6 3 1 多维非平稳高斯序列最大值的极限分布1 6 3 2 多维非平稳高斯序列最大值的几乎处处收敛定理2 2 参考文献2 4 致谢。2 7 硕士期间发表完成论文2 8 西南大学硕士学位论文摘要 摘要 本文主要包括两部分内容，第一部分足有限混合分布最大值的极限分布，第二 部分讨论的足一类多维高斯序列最大值的几乎处处极限定理 有限混合分布具有很强的灵活性，已被广泛应用于很多复杂情形的分布中有 限混合分布定义如下；f ( z ) = 胁只( z ) ，其中p i o d = 1 ，r ，p i = 1 ，且 e ，i = 1 ，r 足不同的分布函数本文的第一部分研究了同服从有限混合分布的 独立随机变量序列最大值的极限分布，分别探讨了两种情形：一种是定义中的只服 从一些特殊分布，另一种足等价类的有限混合分布的极值分布 本文的第二部分探讨的足一类多维高斯序列最大值的几乎处处极限定理高斯 序列的极限分布很大程度上依赖于其相关系数的收敛速度在b c r m a n 条件和多维 随机变量序列的相关条件下，我们得到了多维非平稳高斯序列最大值的弱收敛性和 它的几乎处处收敛定理 关键词：有限混合分布；极值分布；几乎处处极限定理；高斯向量序列 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t e x t r e m e so fm i x e dd i s t r i b u t i o n sa n da l m o s t s u r ec o n v e r g e n c et h e o r e mo fm a x i m ao f m u l t i v a r i a t eg a u s s i a ns e q u e n c e c h e n gq i o n g d i r e c t e db vp r o f p e n gz u o x i a n g a b s t r a c t t h e r ea r et w om a i np a r t si nt h i st h e s i s t h ef i r s tp a r ti sf o rt h el i m i t i n gd i s - t r i b u t i o n so ff i n i t em i x e dd i s t r i b u t i o n s ，a n dt h ea l m o s ts u r ec o n v e r g c n c eo fm a x i m a o fac l a s so fm u l t i v a r i a t eg a u s s i a ns e q u e n c ef o rt h es e c o n dp a r t t h ef i n i t em i x e dd i s t r i b u t i o nh a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt of i tt h ec o m p l e xd i s - t r i b u t i o nf o ri t sf l e x i b i l i t y t h ef i n i t em i x e dd i s t r i b u t i o ni sd e f i n e db yf ( x ) = rr 鼽只( z ) ，w h e r e 胁 o , i = 1 ，r ，p i = 1 ，a n de ，i = 1 ，ra r ed i f f e r e n t i = 1i = 1 d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s i nt h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rl i m i t i n gd i s t r i - b u t i o n so fe x t r e m e 8w i t hp a r e n tf o l l o w i n gf i n i t em i x e dd i s t r b u t i o n s t h e r ea l et w o c a s e ：o n ei st h ec o m p o n e n t s 只f o l l o ws o m es p e c i a ld i s t r i b u t i o n s t h eo t h e ri st h e c a s eo ft a i le q u i v a l e n tc l a s s e s i nt h es e c o n dp a r t ，w ec o n s i d e rt h ea l m o s ts u r el i m i tt h e o r e mo fm a x i m ao f ac l a s so fm u l t i v a r i a t eg a u s s i a ns e q u e n c e t h el i m i td i s t r i b u t i o n so fg a u s s i a ns e - q u e n c e sa l w a y sd e p e n dh e a v i l yo i lt h ec o n v e r g e n c er a t e so ft h e i rc o r r e l a t i o n s u n d e r b c r m a n sc o n d i t i o na n dt h ec o n d i t i o n sr e s t r i c t e do nt h em u l t i v a r i a t el e v e l s ，w eg e t t h ew e a kc o n v e r g e n c eo ft h em a x i m ao fm u l t i v a r i a t en o n - s t a t i o n a r yg a n s s i a nv e c t o r s e q u e n c ea n di t sa l m o s ts u r ec o n v e r g e n c et h e o r e m k e y w o r d s ： f i n i t em i x e dd i s t r i b u t i o n ；e x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ；a l m o s ts u r e c o n v e r g e n c e ；g a u s s i a nv e c t o rs e q u e n c e i i 都有着广泛的应用如在气象预报中对气温，降雨，风力等的最值的估计；在水利 方面对洪水的最高洪峰，最大流量及最长持续时间的研究；对地震灾害预防与监测 的研究；大型土木建筑和设备的可靠性研究；建筑业中对建筑物的最大负载压力分 析和最小持续抗阻尼分析；经济学中对金融序列厚尾现象的研究等都足离不开极值 理论的 假设 咒，i 1 ) 足独立同分布( i n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ，简记 为i i d ) 的随机变量序列，其分布函数为f ( z ) 记 矗= m a x l o , i = 1 ，r 且 r p i = 1 i = 1 m l a d e n o v i d 1 2 1 给出了由两个指定的分布构成的混合分布的极值理论，即混合 正态分布、混合柯西分布、均匀与截断指数分布的混合其结论如下：若 f ( x ) = p 圣( ( z p 1 ) 盯1 ) + f 圣( ( z p 2 ) 观) ， ( 1 2 ) 其中p ，q 0 ，p + q = 1 ，且仃1 o 2 ，p 1 ，p 2 r 或者0 1 = 0 2 ，p 1 p 2 ，则f d ( 人) 若 即) 刊三+ ；xa t c t a n 砉) + g ( 三+ 昙删a n 毫) ， ( 1 3 ) 其中p ，q 0 ，且p + q = 1 ，则f d ( 圣q ) 当 f “功= i 0 ，z c 其中p ，q 0 ，p + q = 1 ，则f d ( 皿。) 本文第二章将上面的结论分别推广到有限混合分布与等价类情形 极限定理，特别是中一1 、5 极限定理，在概率统计的理论研究和实际应用中都占有 十分重要的地位，一直以来都足概率统计工作者们研究的热点问题令x l ，x 2 ， 2 西南大学硕士学位论文第一章前言 为i i d 随机变量序列，其分布函数为f ( z ) 若e x l = 0 ，e x = 1 ，则对任意的 z r ，当凡_ o o 时有 p ( 二等z ) 一圣( z ) ， 、， 其中晶= ：1 x i b r o s a m l e r 1 3 】和s c h a t t e 【1 4 】首次在e i x l 2 舢 0 条 件下，证明了i i d 随机变量部分和的几乎处处极限定理( a h n o s ts u r el i m i tt h e o r e m ， 简称为a s l t ) ：当n _ o 。时 l 0 9 1n k = l - 乏1j ( 袅z ) 叫z ，们一 ( 1 4 ) l a c e y 和p h i l i p p 【1 5 在二阶矩有限的条件下，将( 1 4 ) 式推广到函数形式，即当 佗啼。o 时 土l o g nk三，(袅)_仁m脚)们一=l k 其中，为满足l i p s c h i t z 条件的有界函数b e r k e s 等【1 6 】构造了满足a s l t 但 中心极限定理不成立的独立随机变量列 i b r a g i m o v 和l i f s h i t s 【1 7 】，b e r k e s 和 c s i k i ( 1 8 ， 19 】) 在一定条件下得到了无界函数的a s l t 关于随机变量部分和乘积 的a s l t ，见g o n c h i g d a n z a n 和r e m p a t a 2 0 ，m i a o 【2 l 】，谭中权和彭作祥 2 2 】 对于极值的a s l t 的研究，f a h r n e r 和s t a d t m f i l l e r 【2 3 ，c h e n g 等 2 4 讨论了 i i d 。随机变量序列最大值的a s l t ，即当n 一。时 志去i ( 口i 1 ( 慨一b k ) z ) _ g ( z ) 眠 其中m k = m a x l l 0 时， c s 五k i 和g o n c h i g d a n z a n 【2 9 得到序歹| 最大值的a s l t p e n g 和 n a d a r a j a h 【3 0 】推广了其结论在一定条件下，c h e n 等【3 1 得到多维高斯向量序 列最大值的a s l t l i n 【3 2 】证明了一类强相依高斯序列最大值的a s l t w e n g 等 【3 3 】将其推广到多维情形关于非平稳高斯序列的情形，c h e n 和l i n 3 4 】证明了 相应的结论，本文第三章将把此结论推广到多维的情形，即讨论多维非平稳高斯序 列最大值的极限分布和几乎处处收敛性 由于在实际抽样中要获取完全样本比较困难，因此对不完全样本的极值分布的 研究有重要的现实意义m l a d e n o v i 6 和p i t e r b a r g 【3 5 】首次研究了不完全样本下极 值分布问题，得到了i i d 情形下完全样本最大值和不完全样本最大值的联合渐近 分布，并将其推广到平稳序列情形在一定条件下，t o n g 和p e n g 3 6 】得到了不完 全样本最大值的a s l t p e n g 等【3 7 】讨论了不完全样本下最大值与最小值的a s l t 5 ，( ) 表示示性函数 6 c 表示正实数，在本文不同的公式中，c 可能取不同的值 本文使用的基本结论有； 命题1 3 1 ( 正态比较引理) 设 矗，n 1 ) ， ，r t 1 ) 为标准正态随机序列， 其协方差矩阵分别为a o = ( a 易) ，a 1 = ( a 易) 令p i j = m a x ( i i o j l ? i a i j l ) ， 札。) 为实数 列，若m a # ji p i j i = j 1 ，令k 为只与5 有关的正常数，则 l p 【已，1 j 礼) 一p 仇，1 j n ) l k1易以怖(一篇)j 0 有 熙掣1f 鬻t 一口 t 一。c一( ) 其相应的正规常数为b n = 0 ，a n = ( 1 ( 1 二f ) ) 一( n ) ( i i i ) f d ( 皿口) 当且仅当x o 0 和某个a 0 有 恕譬料一口 西南大学硕士学位论文第一章前言 其相应的正规常数如下确定：记= ( 1 ( 1 一f ) ) 。( 竹) ，那么f “( z o + ( 如一 ) z ) _ 皿。( z ) ，z 0 ，当t 0 0 时有 帮f ( t 一志- 2 x 唧h 一高h 1 一 ) 1 + 盯2 ( t p ) “下“ 2 ( 一p ) 2 1 。 于是由命题1 3 2 ( l c a d b e t t e r 等【2 】定理1 6 2 ) 得到f ( x ) d ( a ) 下面来确定a n 和b n ：我们首先确定，使得当n o o 时 1 一f ( ) 一元1 e 一 由( 2 2 ) 可得 l _ f ( 协) 一焉( 2 矿 酬一去( 竽) 2 】一 类似于l e a d b e t t e r 等【2 或者r e s n i c k 1 】中的方法可以得到 2 志z + p + 口v 2 l o g n 一志( 1 0 9 l o gn + l o g 爹( 去) 8 堕童盔堂堡主堂垡丝窒：。：= ：皇叁三兰二童垦堡垒坌童塞奎堡丝墼堡坌查 ( 2 ) 由已知可得当t 【0 ，1 ) 时，有 1 一即，= 唧( 告) 喜鼽唧 ( 等半) ) ， 其中a ：m i n a ，1 s r ) 显然当tt1 时， e x p ( 九一入) t ( t 一1 ) ) 一0 ，故当 t 下1 时 1 一f ( t ) 。p e x p ( 西a t ) ， ( 2 3 ) 其中p = e i ；p 巧，i j s ：入。= 入 记，= ( 1 一f ( t ) ) f 讹) ，可以验证当下1 时 ，( t ) 一止芒于是对任意的z 0 ，当t 1 时 督一 等鹁坐t - 1 ) 一 再次利用命题1 3 2 ( l e a d b e t t e r 等 2 1 定理1 6 2 ) 我们得到f ) d ( a ) ，且由命 题1 3 2 ( l e a d b c t t e r 等 2 1 推论1 6 。3 ) 得到规范化常数k = l o gn p ( 1 + l o gn p ) ， a 。= 1 ( 入( 1 + l o gn p ) 2 ) ( 3 ) 容易验证得到对于任意的a 0 有 熙。晤一甜c t a n ( 耐) 】- 五1 故当t o 。时，有 r 1 一f ( t ) 一p i a i t r 1 t 于足对任意的z 0 ，当t o 。时有 1 - f i ( t _ x ) _ z 1 一f 一 由命题1 3 2 ( l e a d b e t t e r 等【2 】定理1 6 2 和推论1 6 3 ) 得到f ( x ) d ( 垂1 ) ，且规范 化常数为口札：佗( 壹鼽九) 7 r 和k = 0 ( 4 ) 由已知当t 【0 ，c 1 时，有 1 一f ( c - - t ) = 1 - 壹a t l - - i e - 沁f ( e - t ) 于足对任意的z 0 有 恕竿等署一l ， 所以由命题1 3 2 ( l e a d b e t t e r 等【2 】定理1 6 2 ) 得f ( z ) d ( 皿1 ) 9 掣 孤 ，澍 = 西南大学硕士学位论文第二章有限混合分布最大值的极限分布 下面根据命题1 3 2 ( l e a d b e t t e r 等【2 推论1 6 3 ) 确定规范化常数：b n = c ，且 a n 满足对任意的z 0 ，i = 1 ，2 故 制= 鬻唧c 2 盟掣蚍 又! i m ( 1 一r ( ) ) ( 1 一日( z ) ) = 0 ，故有口1 q 2 反之，若口l 0 ，有 z 一= 恕搿 亿1 一易( t z ) 1 一f 1 ( t x ) 1 一只( t ) 。熙f 雨丁玎丽两 一 = 胁咱弓 = z - - o r l 故a 12 勉反之，由反证法易证，若o l l2 口2 ，则熙( 1 一足( ) ) ( 1 一日( t ) ) = a ( 0 ，。) 口 1 0 西南大学硕士学位论文第二章有限混合分布最大值的极限分布 引理2 2 2 日，足均为分布函数，假设只d ( 皿q ，) ，最d ( 皿。：) ，且其右端 点分s , l 是z f l 和，x f 2 如果记錾罂( 1 一f 2 ( z 恐一九) ) ( 1 一只( z r 一 ) ) = a ，那么 n l u 倒a = 0 铮q l q 2 夕j 以砂a ( 0 ，。o ) 口1 = a 2 证明设分布函数f 的右端点z ，是有限的，则 f d ( 圣。) 铮1 一f ( x p z 一1 ) r v _ 口铮f ( x f z 一1 ) d ( a ) 于足由f l d ( 皿口。) ，f 2 d ( m 口：) ，我们有r l ( z f i x 一1 ) d ( 圣n 。) ，f 2 ( x f ：一x 一1 ) d ( 圣n ：) ，并且 恕岩鞘= l m i m 粼= a 引理2 2 2 便可由引理2 2 1 的结论得到证明口 在引理2 2 1 和引理2 2 2 的帮助下，我们可以得到本节的主要结论： 定理2 2 1 磊，佗1 ) 为独立同有限混合分布的随机变量序列，分布函数 f ( z ) 如( 2 1 ) 式定义，那么 以，若存在某个歹，有乃d ( 圣。) ，而且对所有的iei 有 l i m 高地 其中a i f 0 ，+ ) ，则f d ( 虬) 记 j = 如，l 墨恐( 1 一只* ( ) ) ( 1 一乃( t ) ) = a 砝j0 a 氓 o 。：1 k r ) ， ( 2 5 ) 那么这种情形下规范化常数k = 0 ， a 。= ( i 0 一f ) ”( 扎慨。a n + + p i 。a 缸) ) ， 其中缸z 七= 1 ，u 例若存在某个歹i 有局d ( 皿口) ，而且对所有的i i 有 l i r a 粥刊t j 其中a l 【0 ，+ 。o ) ，则f d ( 皿。) 特男d 地，当z n = z f 2 = = z f r = x f 并且记 ，= 旗，l 甓器( 1 一只t ( z f 一九) ) ( 1 一乃( z f 一 ) ) ；g i k 0 a 珏 o 。，1 ksr ) ， ( 2 6 ) 1 1 要童盔兰塑士学垡论文 第二章有限混合分布最大值的极限分布 则规范化常数k = x f ，a n = x f 一 t n ，其中 = ( 1 ( 1 一f ) 。( 礼慨，a i ，+ + p i 。a 屯) ) ， 其中i k zk = 1 ，u 俐若存在某个j ，有乃d ( a ) ，而且对所有的i ，有 咖l i r a f 瑚地， 咖fr j 蓊2 a ， 其中a i 【0 ，十o o ) ，则f d ( a ) 记 ，= 饥刨i 啦l i m f ( 1 一只t ( 驯( 1 一f a t ) ) = a i k , 0 a 珏 0 和任意的i ，有 l i m 瑚= l i m 瑚她 。o 故当t _ ( 2 0 时。有 ! 二p ! 日( 缸) 一肼b ( 幻) 1 一弓( 缸)k = l 饥告鸶舞 。l p 1 日( 。) 一肼b ( 。) 。 l 一乃( ) 妻m 上x - 且f a 盟t ) k = l 因此f d ( 垂。) 由( 2 5 ) 可以得到当z _ o 。时 1 一f ( z ) = 鼽( 1 一只( z ) ) ( 1 吲瑚壹1 = 1 鼽器 一( 1 一乃( z ) ) p l ，a i 。+ + p i 。a o ) 根据命题1 3 2 ( l c a l b e t t e r 等【2 】推论1 6 3 ) ，我们有b n = 0 和= ( 1 ( 1 一f ) ) 一( 几) ， 即当几一0 0 时一0 0 因此 1 一m n ) 一( 1 一乃( ) ) ( 气+ 十九屯) 一熹， 1 2 西南大学硕士学位论文第二章有限混合分布最大值的极限分布 于是得到a n = ( i 0 一f ) 一( 竹( p i 。a n + 十p i 。a i 。) ) ，其中i k 工角= 1 ，u ( 2 ) 类似( 1 ) 的证明思路可以得到f d ( 皿。) 的结论当z n = x f 2 = = z b = z f 时，结合( 2 6 ) 有当h 上0 时，1 一f ( x f h ) 可以变形为 刈咧一喜功荆 一( 1 一f j ( z r 九) ) ( 鼽，a i l + + p i 。a o ) 由命题1 3 2 ( l e a d b e t t e r 等【2 】推论1 6 3 ) 可以得到b n = x f 和a n = x f 一，其中 7 n = ( 1 ( 1 一f ) ) 。( n ) ，即当n o 。时丁x f 所以 1 一f ( ) 一( 1 一弓( ) ) ( 致。a i 。+ + p “a 。) 一言， 即= ( 1 ( , 1 一f ) 。( n ( 鼽。a 。+ + p i 。a o ) ) ，其中i k zk = 1 ，u ( 3 ) 根据已知存在某个j 使得乃d ( a ) ，于足我们设它的辅助函数为9 ( t ) ，则 有 ， 纰l i m ，等等产一 结合r e s n i c k 1 ，f 理1 2 可以得到 m l i m p ( t + z 9 ( t ) ) = z f 又因为对所有的i i 有 啦l i m p 篙= 啦l i m f 高吼 。o ， 啦pf 百瓦丽而2 啦f 丽2 a 0 , i = 1 ，s 如果存在一个靠g 使得对所有g 有 。1 i m 黜= a m ， ( 2 s ) 其中a 。( 0 ，+ 。) j 同时对所有n ( z g ) 有 恕端碱 ( 2 9 ) 恐二瓦而2 d n ，) 其中玩【0 ，+ o 。) ，那么o 1 = q 2 = = o l 。= ：q 且有f d ( 圣口) 证明对任意的g 有，t l 。i r a ( 1 一乃。( t ) ) ( 1 一弓t ( t ) ) = 厶，其中a m ( 0 ，o 。) ，由引理2 2 1 可得到n 1 = q 2 = = o 。利用定理2 2 1 ( 1 ) 便可得到 f d ( o 口) 口 推论2 2 2 在定理2 2 j 的条件下假设有毋。d ( 吒，) ，乃。d ( 。) ，其 中0 o l l o t 2 o l ，而且对所有的r t ( i g ) 有 恕高砥 ( 2 1 0 ) 恐f 瓦而2 a n ，u j 其中鼠【0 ，+ 。) ，那么f d ( 圣口，) 证明由引理2 2 1 可得，口】 a 2 0 , i = 1 ，5 如果存在一个靠g 使得对所有g 有 l i m 苷糖爿刊m ， 其中a 。( 0 ，+ 。) ，同时对所有礼( z g ) 有 limh,t0篱1 h 砥 一f ；。( z n 一) ”7 其中鼠【0 ，+ 。) ，那么口l = q 2 = = = ：o t 且有f d ( 皿n ) ( 2 1 1 ) 口 d ( 皿。) ， ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 推论2 2 4 在定理2 2 j 的条件下假设有弓，d ( 皿q 。) ，弓。d ( 皿。) ，其 中0 0 1 1 q 2 q 。，而且对所有扎( i g ) 有 长船f 1 - 瓢f , ( x i f - - 习h ) = 既， 其中玩【0 ，+ 。) ，那么f d ( m 。) ( 2 1 4 ) 证明结合引理2 2 2 和定理2 2 1 ( 2 ) ，类似推论2 2 1 和推论2 2 2 的证明便可 得到推论2 2 3 和推论2 2 4 的结论 1 5 口 第三章多维非平稳高斯序列最大值的几乎处处收敛定理 设 瓦，k 1 ) 为d 维非平稳高斯向量序列，其中瓦= ( x k l ，x k d ) ， p 航= e ( 托t ) ，吒= v 缸( x 航) ，并且 r i j ( k ，1 ) = c o v ( x k i ，义b ) ，k ，l 1 ， 1 i ，j d 定义部分最大值为a k = ( 3 i 。1 ，d ) ，其中i = m a x x k l ，1 k n ) 为了 讨论 厶的极限分布，我们先做如下变换：对于任意的实值向量d n = ( “l ，一，面们) ， 有 p ( m n 证n ) = p ( x k tsf i , u ，1 k n ，1si d ) = p ( 警业。t k i ，1 呦，1 吲) 口航 = p ( 圪 u k i ，1 k n ，1 i d ) = p ( y k u k ，1 尼几) ， 其中u k i = t 正航( n ) = ( 豇住t p 航) 吼 ，1 1 k = ( u k l ，u k d ) u k ) 要满足 记 并假设 a n = m i n u 奄i ，1 k 礼，1 i d ) c ( 1 0 9 n ) 1 2 ， 如= s u p r o - ( k ，1 ) 1 ，l l k l 仇，1 i j d ) ， m 0 ， 镌= s l l p l r i i ( k ，z ) l ，l l k i m ，1 i d ，m 1 ， 如 1 ，虻 。 3 1 多维非平稳高斯序列最大值的极限分布 本节将讨论多维非平稳高斯向量序列最大值的极限分布 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) c o n = ：鳄+ 骅) 鳄南 1 i j d 弋- 、 le x pi 一 1 七 z 几 l - k _ o n 2 ( i 其指数项不会超过e ) ( p ( 一毛( 1 + 南) ) + e 即( 一乱弓( 1 + 如) ) ，于是有 鳄南 l i j d1 k l n t - k _ e n ( 唧( 一熹) 一( 一熹) ) +1，善d萎n唧(一燕22d60(on ) + 1 ) e x p ( 一熹) t 上托e x p ( 一舶u 毛) c 以k e x p ( 一伽a ：) ( 1 一圣( u 航) ) i = 1 七= 1 由于u k i 入n c ( 1 0 9 n ) m _ o 。，故u 嚣 对于足够大的z ，xe x p ( - o o x 2 ) 足递减的 ( 3 1 0 ) e x p ( - u 2 t 2 ) ( 1 - - 圣( u k i ) ) 足一致有界的，且 但足由于( 3 2 ) 式成立，即耋。冬，( 1 一 垂( u k i ) 是有界的，于是由0 ，7 0 ，记p = n 。，显然有 蹬易唧( 一 l i j d l 一 k 一 l 一n 、 昂 k = 1唧( 一禹) ) 2 现在记满足1 一圣( ) = 1 n ，并将它的和式分为乱舰v n 和乱兢 两部 分，于足有 掣品- 唧( 一禹) + 知- 唧( 一禹) + t k i l i t , 如唧c 碟如，( 等唧( 一萼) + 善d 唧( 一禹) ) 2 唧( 一譬卜站，) ) 2 佗 u ；e x p 七= 1 由于当佗_ 时昂砖一2 6 nl o g n = ( 2 q ) 如。l o gn q _ 0 ，且 型e x p o n ( 一萼) 一 l 一昔j z d t l + u 寻e x p 扛：1 女= 1 譬) c ( 礼d c l 一垂c 可n ，+ 娄砉( 1 - - 垂( u k i ) ，) 硝 故当n _ o 。时鲆一0 ，再结合( 3 1 1 ) 式便可得到( 3 8 ) 类似的可以证明，当n _ o 。时有乃一0 令钱= e x p ( o + 镌) ，0 矿 = ( 1 一蝣) 2 ( 1 + 啦) ，我们将瓦分为两部分， 即 死=ff 一1 一 1 i d1 k l “ l - k _ 铝 +ff t 一一 r “( k , 1 ) 1e x p ( 一 l i d1 0 ，故当n _ 。时，有 dn 砭1 c 鲒k e x p ( - r l ；碍) ( 1 一圣( 钆航) ) c 入n e x p ( 一( 慌一矿) 硅) _ 0 i = i 七= 1 1 8 ( 3 1 2 ) 、， 堕妫 + 一十 堕即 d 汹 扣 西南大学硕士学传论文第三章多维非平稳高斯序列最大值的几乎处处收敛定理 又由于钱= e x p ( 0 + a 。2 ) e x p ( c 2 矿l o g 礼) = 矿，q + = c 2 r + 0 ，记口= n “，我们可 以得到 掣印：唧c u ：蝣，砉( 薏唧( 一萼) + 妻k = l 缸k - ：e x p ( 一譬) ) 2 又当7 , _ o 。时螃u ：一2 蝶。1 0 9n = ( 2 o + ) 蛙。1 0 9 n 矿一0 ，且 ；no x p ( 一萼) + 喜u 嚣唧( 一等2 ) c ( n ( 1 一圣( ) ) + ( 1 一圣( 乱托) ) ) 于尾当几_ 0 0 时霸2 _ 0 ，再结合( 3 1 2 ) 即可得到( 3 9 ) 式成立引理证毕 口 引理3 1 2 u k ，k 1 ) 如上定义，且：蔫足( 3 1 ) ，( 3 2 ) & ，b 如同引理3 1 中的定义，假设( 3 5 ) ，( 3 7 ) 成立，那么对任意的 0 有 & 丽啬且死丽啬而 证明根据引理3 1 1 可以得到 蹬c 入ne x p ( 一( 7 7 ；o 一7 7 ) a ：) c n 一( n o 一町) c 2 ( 1 0 9n ) 1 2 由于7 7 0 ，使得鳄礼一面 在证明引理3 1 1 的过程中我们得到 印昂口：唧c 秽：妨，f ，型v no ( 一萼) + 善d 喜u 嚣e x p ( 一譬) ) 2 由于如醒一2 如。l o g n = ( 2 q ) 矗。l o g n n c ( 1 0 9 l o g n ) 1 托，故鳄c ( 1 0 9 l o g n ) 1 + s ， 于足有 & 丽亩一 类似的方法可以得到 瓦面意而 引理证毕 口 引理3 1 3 v k ，k 1 ) 是相关系数为 (