（应用数学专业论文）神经网络的稳定性及广义周期解.pdf

摘要 摘要 本论文对几类具有不同时滞的细胞神经网络模型的动力学性态进行了研究， 讨论了这些神经网络模型的周期解和概周期解的存在性、唯一性和指数稳定性。 全文共分六章。 首先介绍了细胞神经网络的产生、发展和对应的数学模型，引出研究细胞神 经网络周期解、概周期解和稳定性的意义，总结了该文主要涉及的内容。 其次讨论了变时滞细胞神经网络概周期解的全局指数稳定性。本章利用拓扑 度理论和广义h a l a n a y 不等式方法，获得了几个新的充分判据，从而证明了概周期 解的存在性以及全局指数稳定性，进一步提高和扩展了以前的结果。 再次利用不动点方法，得出确保变时滞分流抑制细胞神经网络概周期解的存 在性和唯一性的新判定条件。本章在已有结果的基础上进行了很大的创新，提高 和扩展了以往的结果，并利用两个具体实例阐释了本章结果的使用性与创新性。 进一步分析了具有连续分布时滞的分流抑制细胞神经网络概周期解的存在 性、唯一性和全局吸引性。利用不动点理论、微分不等式技巧和l y a p u n o v 泛函方 法，通过给出新的参数范围，得到了几个新的充分条件，确保了该系统概周期解 的存在性、唯一性和全局吸引性。对比于以前的研究，在证明具有连续分布时滞 的分流抑制细胞神经网络概周期解的问题上，此方法将更加有效。 最后利用构造l y a p u n o v 函数的方法讨论了具有反应扩散的变时滞细胞神经 网络的全局指数稳定性、平衡点和周期解。在输出响应函数有界且满足l i p s c h i t z 条件合于系统满足本章所给的条件下，得到了判定该类网络解的稳定性、平衡点 存在的唯一性、网络关于平衡点的全局指数稳定性及周期解的几个充分判据。 关键词：细胞神经网络，时滞，周期解，概周期解，全局指数稳定性 a b s t r a ( 汀 t i l i st h e s i sd e s c r i b e s8 0 m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so fd y n a m i cb e h a v i o r so fs e v e r a l c l a s s e so fc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sm o d e l sw i t hd i f f e r e n td e l a y s ，w h i c hi n c l u d e st h e e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa sw e l la s a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n i ti sc o n s i s t so fs i xc h a p t e r s f i r s t l y , t h i sc h a p t e ri n t r o d u c e dt h ep r o d u c e ，t h ea d v a n c ea n dt h ed i f f e r e n t i a ls y s t e m o fc e l l u l a rn 既n a ln e t w o r k s t h e n , t h ep r e f a c eg e n e r a l i z e st h eb a s i ct h e o r y , d e r i v e st h e m e a n i n go fi n v e s t i g a t i n gs t a b i l i t ya n da l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o nf o rc e l l u l a rn e u r a l n e t w o r k s ，a n ds u m su pt h ec e n t r a lc o n t e n to ft h ep a p e r g l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo f a l m o s tp e r i o d i c s o l u t i o nf o rc e l l u l a rn e u r a l n e t w o r k sw i t ht i m e - v a r i n gd e l a y si sc o n s i d e r e d b yu s i n gt h em e t h o d so ft h et o p o l o g i c a l d e g r e et h e o r ya n dg e n e r a l i z e dh a l a n a yi n e q u a l i t y , af e wn e wa p p l i c a b l ec r i t e r i aa r e e s t a b l i s h e df o rt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s o m ep r e v i o u sr e s u l t sa r ei m p r o v e da n de x t e n d e di nt h i sc h a p t e r b a s e do nt h ef i x e dp o i n tm e t h o d ，an e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o ni so b t a i n e df o rt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o no fs h u n t i n gi n h i b i t o r yc e l l u l a r n e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s o m ep r e v i o u sr e s u l t sa r ei m p r o v e da n d e x t e n d e di nt h i sc h a p t e ra n dt w oe x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h e n e wr e s u l t t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a la t t r a c t i v i t ya r ed i s c u s s e do na l m o s tp e r i o d i c s o l u t i o no fs h u n t i n gi n h i b i t o r yc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t hc o n t i n u o u s l yd i s t r i b u t e d d e l a y s b yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m ，d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h n i q u ea n d l y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d ，g i v i n gt h en e wr a n g e so fp a r a m e t e r s ，s e v e r a ls u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r eo b t a i n e dt oe n s u r et h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo f a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n c o m p a r e dw i t ht h ep r e v i o u ss t u d i e s ，0 1 1 1 m e t h o d sa r em o r e e f f e c t i v ef o ra l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o na n a l y s i so fs h u n t i n gi n h i b i t o r yc e l l u l a rn e u r a l n e t w o r k sw i t hc o n t i n u o u s l yd i s t r i b u t e dd e l a y s s o m ee x i s t i n gr e s u l t sh a v eb e e n i m p r o v e da n de x t e n d e d g l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , p e r i o d i c s o l u t i o na n d e q u i l i b r i u mp o i n t a r e n a b s t r a c t i n v e s t i g a t e df o rc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t hr e a c t i o n - d i f f u s i o na n dt i m e - v a r y i n g d e l a y sb yt h eu s e o fl y a p u n o v - f u n c t i o n a s s u m et h a te a c ho u t p u tf u n c t i o ni sb o u n d e d a n ds a t i s f i e st h el i p s c h i t zc o n d i t i o na n ds o m eo t h e rc o n d i t i o n sg i v e nb yt h i sc h a p t e r , a s e r i e so fr e s u l t sa r eo b t a i n e df o rt h es t a b i l i t ya n dp e r i o d i cs o l u t i o n , e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s sa n dt h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fa ne q u i l i b r i u mp o i n t k e y w o r d s ：c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ，t i m e - v a r y i n gd e l a y s ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，a l m o s t p e r i o d i cs o l u t i o n , g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y u i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以= 标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 至! 盔 e im ：姗8 年r 月忽日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、。缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 日期：硼r 年r 月2 z - e i 第一章绪论 第一章绪论 1 1 细胞神经网络的发展概况及现状 细胞神经网络是神经网络动力系统研究中最为常见的神经网络模型之一，这 个模型是c h u a 和y a n g 在文 1 ，2 】中于1 9 8 8 年首次提出来的。细胞神经网络是由被 称为细胞的基本电路单元所构成的，而每个细胞包含线性或非线性的电路元件， 其结构类似于我们所熟知的细胞自动机，这就是说，细胞神经网络中的任何细胞 只与其相邻的细胞相联结。关于细胞神经网络的电路实现的电路图可参见文【1 ，2 】。 由于稳定性、周期性和概周期性等动力学特性，在细胞神经网络进行图象处理、 模式识别以及联想记忆中发挥着十分重要的作用，因此，许多研究者对细胞神经 网络的动力学性态进行了广泛的研究，具体见文 3 7 】。 考虑到信号在传输过程中的时滞，目前对具有时滞的细胞神经网络模型的研 究异常活跃，见文【4 ，5 ，8 1 2 】。但另一方面，由于时滞的介入，由泛函微分方程所 描述的神经网络模型的动力学行为是异常复杂的，时滞往往对系统的稳定性、周 期解和概周期解的存在性与吸引性等动力学行为产生重要的影响，有时对系统的 稳定性起到破坏性的作用。如神经网络用于并行计算和信号处理时，传输时滞对 运行结果会产生严重的负面影响。在这种应用中，如果我们能得到与时滞无关的 稳定性条件，这在实际应用中将是十分有益的，其中一个重要的原因是：在一个 具体的电路中，我们往往无法知道时滞的具体表现形式。有关时滞无关的动力学 行为的评述与讨论可参见文 1 3 ，1 4 。因此，研究时滞神经网络动力学行为有着重要 的理论和现实意义。 1 1 1 变时滞细胞神经网络的结构及研究历史 细胞神经网络自1 9 8 8 年由l v c h u a 和l iy a n g 在【1 ，2 】中提出以来，已有许多 文献对其作了较深入的研究，其研究结果表明了细胞神经网络在模式识别、记忆 和信号处理、图象处理与计算机技术等诸多方面具有广泛的应用背景。细胞神经 网络有时滞和非时滞之分。无时滞的细胞神经网络可用于信号处理，特别擅长处 理静态图象，而关于无时滞的细胞神经网络的数学特性，诸如耗散性、平衡态分 电子科技人学硕+ 学位论文 析、全局稳定性、周期解，已有文献【6 ，7 】做了分秽r 讨论。我们在这里要详细阐述的 是具有时滞的细胞神经网络。 文献 1 5 1 7 】中研究了具分布时滞的神经网络 i ( f ) = 一6 j ( f ) + 妻口 ，( f ) 乃( 一c 屯( ) ( f s ) 凼) + ( f ) 的稳定性。 文献 1 8 2 1 1 2 7 、研究了具时滞细胞神经网络 z ( r ) = 嘲( r ) + 嘉( r ) 乃( _ ( r ) ) + 砉气( r ) 乃( ( t - o ) + 砌 的周期解的存在性和全局稳定性。 1 1 2 分流抑制细胞神经网络的模型概念及历史现状 一般地，一个二维的m x n 排列的细胞神经网络，可以描述为下列微分方程 ( f ) = 一( f ) + 。聂“) 彰厂( h ( r ) ) + 厶， 1 f m ，l _ 玎， 其中信号传输函数为 厂( “) = 去口 + l l l 甜一1 1 ( f ) 表示在第i 行和第列的细胞勺的网格状态，c ：f ，的，一邻域，( f ，j ) 表示为 2 v ( i ，_ ，) = ：m a x ( i 七一i l ，i ，一巾厂，l o ) 。有 关连续分布时滞在积分微分方程的应用在文【2 5 中专门的论述，同时，我们也可以 参考文 2 6 ，2 7 】。 如果系统既包含一般的变时滞，又有分布时滞，则我们可以得到下列具有混 合型时滞的分流抑制细胞神经网络模型 弓( r ) = 一( z ) 吻( r ) + 钿。聂u ) 彰( f ) 厂( h ( f 一勺( f ) ) h ( f ) + 钿。聂u ) ( f ) 厂( f 岛( “h ( f 一”) 幽h ( f ) + 乃( f ) 屯子科技大学硕七学位论文 其中，1s f 研，1 刀，延迟率嘞：r - - - r + 是正函数，联结权重硝( f ) 和c 岁t ) 都 是连续函数，时滞勺：r - - r + 是非负的连续函数，外部输入：rj r 是连续函数。 1 2 预备知识 本节内容提供了本文其他各章将要用到的基础知识：l i p s c h i t z 条件、全局指 数收敛、全局指数稳定、概周期、概周期解的全局指数稳定性、m 一函数等。利用 这些知识和工具可以用新的方法来研究细胞神经网络的稳定性和周期解的情况， 这种方法不仅直观上吸引人，而且正广泛的应用于神经网络研究的各个领域。 下面介绍本文所需要的定义。 定义1 2 1 汹1 一个函数g 称为是满足l i p s c h i t z 条件的，如果存在一个常数 k ，使得v f 。，乞r ，有k ( ) - g ( t 2 ) i 0 ，总能找到一个实数，= ，p ) 0 ，对于任意长度为，( 占) 区间， 一定在这个区间内存在一个数f = r ( e ) 使得对于任意的t r ，有下式成立 i x ( f + f ) 一x ( t ) i 0 和m 1 使得对于任意t 0 ，下式成立 i i x ( t ，q 0 - x ( t ，y ) i i ：m0 q 一、i ，i | ：p 1 0 咱 4 第一章绪论 其中x ( t ，) 是系统的任意解。概周期解x ( t ，c , o ) 称为全局指数稳定，如果x ( f ，咖关于 1 1 1 | ，是全局指数吸引的。 定义1 2 6 1 3 0 1 设c = c ( 【f r ，f 】，r “) ，_ r 0 ，f ( t ，x ，y ) c ( r x r 4 x c ，r ”) f ( t ，x ，y ) = c o l ( f ( t ，工，j ，) ，z ( f ，毛y ) ，z ( t ，工，y ) ) 称为m 一函数，如果 ( d 1 ) 对每个t 足，x r ”，y “，y c 有f ( t ，x ，y n ) f ( t ，x ，y 2 ) ，其中 y n y 2 ，y o = c d ，o ，一) ，y = c d ，o 蜉，鲜) ： ( d 2 ) 函数f 的每个i 单元满足z ( f ，x n ，y ) f ( t ，x ，y ) ，其中y c ，t t o ，且任 意的属于r “的x n x 2 有相同的i 单元霹d = 霹2 1 ，其中x 1 = c d ，( 墨n ，j , a ( 1 ) ， x = c o l ( x 1 2 ) , x 2 2 2 ) ，x ( n 2 ) 1 3 选题依据及内容结构简介 1 3 1 选题依据 随着科学技术的迅猛发展，神经网络以其密切相关的模糊推理、模拟进化计 算等已经逐步形成一门新学科。这门新学科的主要目标是实现用计算机来替代并 且更好地完成人的各种智能工作。这不但对信息科学与技术而且对经济、军事、 工业生产和生物医学等领域将产生极其深远的影响。因而，以神经网络为重要内 容的计算智能学的理论及其应用研究的重大意义以被越来越多工作者广泛认同。 从神经网络发展的4 0 年历史来看，它的发展是不平衡的，曾多次出现起伏。 二十世纪八十年代初期，神经网络研究的重新兴起归功于h o p f i e l d 的工作。h o p f i e l d 神经网络是1 9 8 2 年h o p f i e l d 在文【3 1 】率先提出的。由于该类网络在组合优化和联 想存储方面的良好应用，二十多年来h o p f i e l d 神经网络一直是神经网络研究中的 一个非常热门的话题。众多不同领域、不同研究方向的理论与应用工作者坚持不 懈的工作使得其研究成果层出不穷，参见文 3 2 3 5 】。 至八十年代中期与九十年代初期，神经网络系统理论的研究发展迅速，出现 了细胞神经网络等众多神经网络模型并且不少模型在工程方面得到很好的应用。 细胞神经网络最基本的特性是局部连接性，正是由于这一特点，使其硬件实现比 一般神经网络容易得多。目前，细胞神经网络已经用于信号处理，尤其擅长处理 静态图像。然而，动态图像处理却需要在细胞之间传输信号中引入时滞，这样便 形成了具有时滞的细胞神经网络。 电子科技大学硕士学位论文 1 3 2 论文的结构介绍 本论文对几类具有不同时滞的细胞神经网络模型的动力学性态进行了研究， 讨论了这些神经网络模型的周期解和概周期解的存在性、唯一性和指数稳定性。 全文共分六章。 在第一章中，首先介绍了细胞神经网络的产生、发展和对应的数学模型，引 出研究细胞神经网络周期解、概周期解和稳定性的意义，总结了该文主要涉及的 内容。 在第二章中，讨论了变时滞细胞神经网络概周期解的全局指数稳定性。本章 利用拓扑度理论和广义h a l a n a y 不等式方法，获得了几个新的充分判据，从而证明 了概周期解的存在性以及全局指数稳定性，进一步提高和扩展了以前的结果。 在第三章中，利用不动点方法，得出确保变时滞分流抑制细胞神经网络概周 期解的存在性和唯一性的新判定条件。本章在已有结果的基础上进行了很大的创 新，提高和扩展了以往的结果，并利用两个具体实例阐释了本章结果的使用性与 创新性。 在第四章中，分析了具有连续分布时滞的分流抑制细胞神经网络概周期解的 存在性、唯一性和全局吸引性。利用不动点理论、微分不等式技巧和l y a p u n o v 泛 函方法，通过给出新的参数范围，得到了几个新的充分条件，确保了该系统概周 期解的存在性、唯一性和全局吸引性。对比于以前的研究，在证明具有连续分布 时滞的分流抑制细胞神经网络概周期解的问题上，此方法将更加有效。 在第五章中，利用构造l y a p u n o v 函数的方法讨论了具有反应扩散的变时滞细 胞神经网络的全局指数稳定性、平衡点和周期解。在输出响应函数有界且满足 l i p s c h i t z 条件合于系统满足本章所给的条件下，得到了判定该类网络解的稳定性、 平衡点存在的唯一性、网络关于平衡点的全局指数稳定性及周期解的几个充分判 据。 在第六章中，对全文做了总结，并指出了全文的创新点和后续工作建议。 6 第二章变时滞细胞神经网络的概周期解的全局指数稳定性 第二章变时滞细胞神经网络的概周期解的 全局指数稳定性 在本章里，讨论了变时滞细胞神经网络概周期解的全局指数稳定性。我们利 用拓扑度理论和广义h a l a n a y 不等式方法，获得了几个新的充分判据，证明了概周 期解的存在性以及全局指数稳定性，进一步提高和扩展了以前的结果。 2 1 引言及模型介绍 在神经网络的动力学模型的研究中，细胞神经网络是目前最流行的人工神经 网络之一。特别是带有时滞的模型，在文献 2 9 】中，带有离散时滞的模型用指数二 分性和l y a p u n o v 泛函的方法进行了讨论，两个充分条件说明了其概周期解的存在 性和吸引性。 然而，在现实中，动力系统的时滞是不同的，文献 3 6 】研究了带有混合时滞的 细胞神经网络。作者运用不动点理论和微分技巧，得到了两个定理，确保了概周 期解的存在性、唯一性和指数稳定性。 另外，带有可变时滞的细胞神经网络 垡d t = - a , x l ( f ) + 杰乃( 删) + 嘉白o ) f j ( x j ( t - 删) + 删( 2 - 1 ) 其中f = l ，2 ，刀，在文献 3 7 】中被研究。作者利用不动点理论和微分不等式技巧获 得了几个充分条件，证明了概周期解的存在性和全局指数稳定性。 在本章中，我们研究如下微分方程所描述的变时滞细胞神经网络的概周期解 的全局指数稳定性 鲁= 一a i ( 如+ 杰( f ) z ( _ ) + 砉勺o ) f j ( x j ( t - 一) ) + 加) ( 2 - 2 ) 其中i = 1 ，2 ，刀自然数n 表示在一个神经网络中细胞单元数；x t ( t ) 表示第i 个神经 元在时间f 时的状态；乃( _ ( f ) ) 是第_ ，个神经元在时间f 时的激励函数；口f ( f ) o 表 示在与神经网络不连通并且外部附加电压差的情况下第i 个神经元恢复静息状态 的速率；b u ( t ) ，白( f ) 是在时间f 时的连接权；r j ( t ) 表示轴突信号传输时滞并且满足 7 电子科技人学硕十学位论文 0 r i ( f ) f ( f 是常数) ：l ( t ) 表示第f 个神经元在时间t 时刻的外部输入。 显然系统( 2 1 ) 是本章当口。( f ) = a j ( 常数) 时的一种特殊情况。同时，在以上提到 的所有文章中，作者们几乎都是用不动点理论、l y a p u n o v 泛函方法、指数二分性 理论或者微分不等式技巧等方法。但是在本章中，我们将利用广义h a l a n a y 不等式 方法和拓扑度理论，得到新的充分条件进而判定变时滞细胞神经网络概周期解的 唯一性和全局指数稳定性。 2 2 预备知识 在文章中，我们首先假设q ( f ) o ，( f ) ，b u ( t ) ，c u ( t ) ，r j ( t ) 都是在r 上的连续概周 期函数并且系统( 2 2 ) 满足初始条件( s ) = 仍( s ) ，其中仍( s ) 是在r = ( o ，佃) 上的连 续概周期函数。我们作如下定义 ) 1 1 2 = 捌删艮) 1 1 2 = 嘴咖) i 其中9 ( f ) = z ( 仍( f ) ，仍( f ) ，f o ( t ) ) 为了本文需要引入如下引理。 引理2 2 1 p o i 假设向量函数 x ( t ) = c o i ( x , ( t ) ，( f ) ，( f ) ) ，y ( t ) = c o l ( y ( f ) ，y ：( f ) ，y ( f ) ) ， x 5 ( f ) = s u px ( t + s ) = c d z ( i ( f ) ，o ) ) ，彳( f ) = s u p 薯( f + s ) ，i = 1 ，2 ，万 y s ( f ) = s u py ( t + j ) = c o l ( y ：( t ) ，以( f ) ，( f ) ) ， 吖( f ) = s u p 只o + s ) ，i = 1 ，2 ，n 满足下列条件： ( l 1 ) x ( f ) f ( t ，y ( f ) ，y ( f ) ) ，t t o 0 ： d + x ( t ) r ( t ，x o ) ，x 。( f ) ) ，t t o 0 则有x ( f ) - t o ，f ( f ，x ，y ) = c o l ( f ( t ，x ，y ) ，z ( f ，工，y ) ，l ( t ，x ，y ) ) 是m 一函 数。 第二章变时滞细胞神经网络的概周期解的全局指数稳定性 2 3 主要结果以及证明 疋理2 3 11 段砹 ( a 1 ) 系统( 2 2 ) 的每个输出函数z 都满足l i p s c h i t z 条件； ( a 2 ) w = a a ( b + + c + ) 是一个m 一矩阵； 则系统( 2 2 ) 至少有一个概周期解。 其中a = d i a g ( a ( f ) ，口：o ) ，q ( f ) ) ，口j ( f ) o ，b = ( 岛( f ) ) 。，c = ( c ：i ( f ) ) ， b + = ( i 气( f ) 1 ) 。，c + = ( 1 勺( f ) 1 ) 。，i = c o l ( 1 。o ) ，1 2 ( 0 ，l ( f ) ) ，o r = m a x t r , ，t r , ，t r ) ， q 0 是l i p s c h i t z 常数 证明设h ( x , 1 ) = a x 一( b + c ) 厂( x ) 一i ， v h ( a 1 ) ，可知i 乃( j ) i 0 ，使得w q 0 设 u ( r ) = x ：x + r = q + w 叫 ( b + + c + ) f + ( o ) + i + ( 2 - 3 ) 则u ( r ) 是非空的，记砌( r ) 是u ( r ) 的边界，从条件( 2 - 3 ) 我们可以看到对于任意 的x ( t ) = ，( ( f ) ，x 2 ( t ) ，( f ) ) 硼( r ) ，都有一个常数毛( 1 毛刀) ，使得 l 弋i = g + 气，且i f q ：+ 巧，1 f 甩，f 乇，记 c o l ( r , ，互，z ) = w ( b + + c + ) f + ( 0 ) + i + 】 设w = ( ) 。，我们已经从m 一矩阵的定义知道 0 ， ( 1 一五) i 气l + a 砉k ，( i x , i 一巧) ( 1 一无) l 气i + 允砉k ，g o 其中五o ，1 1 因此对于任意x 加( r ) ，a e o ，1 】，都有h ( x ，旯) o 由h o m o t o p y 不变定理1 3 9 j 得到 d ( h ，u ( r ) ，0 ) = d ( h ( x ，1 ) ，u ( r ) ，0 ) = d ( h ( x ，o ) ，u ( 民) ，0 ) = l 其中d ( h ，u ( r ) ，0 ) 表示拓扑度。由拓扑度理论i 柏i ，我们知道系统( 2 - 2 ) 在u ( r ) 里至 少有一个概周期解。 即系统( 2 2 ) 有至少一个概周期解】。证毕。 定理2 3 2 假设系统( 2 2 ) 满足定理2 3 1 ，则有下列两结论成立： ( b 1 ) 系统( 2 - 2 ) 有唯一的概周期解q ( f ) ： ( b 2 ) 此唯一概周期解q ( f ) 是全局指数稳定的 证明 设叩( f ) = ，( 够( f ) ，皱( f ) ，纸( f ) ) 是概周期解，对于系统( 2 - 2 ) 的任意解 v ( t ) = c o l ( y ( f ) ，y ：( 叭一，g t ( t ) ) ，我们有 丝等趔= 哪脚h ) + 嘉删乃( 哆( f ) ) 一乃( ( f ) ) ) l o 第二章变时滞细胞神经网络的概周期解的全局指数稳定性 + 丢勺( f ) ( 乃( 纺。一乃o ) ) ) 一乃( ( f 一0 ( f ) ) ) ) 则 d l c p - ( t j ) - _ v 一, ( t ) 一q ( f ) i 仍( f ) 一( f ) i + 壹阮( f ) b i 乃( f ) 一o ) i j 口f= t 。7 。 + 叠l 勺( f ) p i 纺。一一( f ) ) 一( f 一乃( f ) ) l 所以 地等丝哪愀f ) - 俐嵫( 啪i + i 刊) 仃0 鲵( f 一乃o ) ) 一”( f 一乃o ) ) l i ：( 2 - 4 ) 因为w = a - a ( b + + c + ) 是一个m 一矩阵p ”，存在t 1 = c o l ( r l , ，砚，仉) 0 ，使 得( - a + c r ( b + + c + ”t 1 0 取0 0 ，设 q ( t ) = r r l e 。o 训( 1 l q - v l l ：+ ) ，t _ t o ( 2 - 7 ) 其中 i i q , - v 虻= 嘉( o 哆一d 2 2 ， l i 纺一0 ：= 恶8 纺( f + j ) 一( r ) l l ： 则从( 2 - 5 ) 一( 2 7 ) ，我们有 d + q ( f ) = 一6 r r l e - 8 0 - b ) ( i l 叩一v i i ：+ g ) ( a q + a ( b + + c + ) t i e 5 ) r ( i i 叩- v l l ：+ 占) p 一5 一 = 一a q ( t ) + a ( b + + c + ) 1 尺( 0 9 一、i ，虻+ s ) e 。o - f 咱 - a q ( t ) + o - ( b + + c + ) q ( f ) = f ( t ，q ( f ) q ( f ) ) ，t t o 电子科技大学硕士学位论文 其中q ( f ) = z ( g ；( f ) ，g i o ) ，g ：( f ) ) ，g ；o ) = s u p 仉r ( 0 甲一v 虻+ 占) p 。o ”一 一r s j 5 u 下面我们证明v ( t ，q ( f ) ，q 。( f ) ) 是m - 函数 事实上，如果q 一q ，其中q p = c o t ( q ( 2 ( f ) ，g ( f ) ，g ：l ：( f ) ) ，q 一= c o l ( q ：”( f ) ，g 九) ，g 翔) ) ，则 f ( t ，q ( f ) ，q 一) = 一a q ( t ) + c r ( b + + c + ) q 一”( f ) 一a q ( f ) + c r ( b + + c + ) q 口( f ) = f ( t ，q ( f ) ，q 一2 ) 反之对于任意q c ( f ) ，q ( 2 ( f ) r 1 ，如果q i ( f ) q ( 2 ( f ) ，并且有某个i 使得 研1 = 斫舶，则 ，( f ，g m ，g ( f ) ) = - 口。( f ) 彰1 ( f ) + o r ( b o ( t ) l + l 勺o ) 1 ) g ；( f ) = 一q o ) g j 2 o ) + o r ( b o ( t ) + i 气o ) j ；o ) = f ( t ，q t 2 ) , q ( f ) ) 所以已经证明了f ( t ，q ( f ) ，q 5 ( f ) ) 是m 一函数 另一方面，我们有 慨一吼慨一州- - i i q 一、i ，虻 r r l e 嘶i i p - v l l ： r , 7 , c l l , - v l l ：+ s ) e 可“咱 = g j ( f ) ( 2 8 ) i = 1 ，2 ，n ，t o f t t o ， 可以得到【叩( f ) 一、i ，( f ) 】7 q ( f ) ，f 【毛一f ，f 。】成立，【p ( f ) 一、i ，( f ) 】，= c o l ( 慨( f ) 一( f ) l 2 ，慨( f ) 一( f ) 由式( 2 4 ) ， d + 【币( f ) 一、l ，( f ) 】，一a 【9 ( f ) 一v o ) r + c r ( b + + c + ) ( 【9 ( ，) 一l l ，( f ) 】。) = f ( t ，【q ( f ) 一、i ，( f ) 】。，( 【币( f ) 一、i ，( f ) 】。) 5 ) ，t f o 第二章变时滞细胞神经网络的概周期解的全局指数稳定性 其中 ( q ( f ) 一v o ) 】7 ) 5 = c d 蚓l 够( f ) 一少。o ) 哐，0 纯( f ) 一( f ) 哐) 根据引理2 2 1 ，我们有【q ( f ) 一v ( f ) y t o 由式( 2 8 ) ，让占专0 + ，有 【9 0 ) 一v o ) 】。_ o ， 因此q ( f ) = q ( f ) 即( b 1 ) 真 下面再设平( f ) = c d z ( 够( f ) ，仍( f ) ，识( f ) ) 是系统( 2 2 ) 唯一的概周期解，对于系统 ( 2 2 ) 的任意解v ( f ) = c d ，( ( f ) ，( f ) ，虬( f ) ) ，下面的式子成立 l l 叩( f ) 一、i ，o ) i i ：- o ， o ( f _ ，) 且其谱半径p ( q ) l ，q = ( ) 。， f 0 ，f = j = 1 ，2 ，刀 其中圹 丝，吲，f 川2 ，以 【 很显然，当条件之一被满足时，我们能得到w = a 一仃( b + + c + ) 是m 一矩阵， 根据本章的定理就能得到系统有唯一的概周期解且其是全局指数稳定的。 2 4 数值例子 如 衍 咄 d t 如 衍 讨论下面的变时滞细胞神经网络： -35(i 2 0“们45(2+cost)耋0憾xx(ti)0 045 ( 2s i n2 0 | ii i + i i ( f ) i +0曼65csoinsft 0兰：28。co。ssft。0i5cosisn2t04 s i n 2 t 07 c o s 2 t05 s i n 2 t 妻l 兰嚣 + i | i ，= r 五“) ) i i i i ，= ( 五o ) ) l 1 0 2 c o s t0 4 s i n t0 9 s i n 2 tl | 彳( 五( 卜s i n t ) ) l