（理论物理专业论文）特殊边界条件下的量子真空涨落和布朗运动.pdf

摘要 在经典物理学中，真空被认为“一无所有”。但是，在量：f 力学和量二产场 论中，由于测不准关系，虽然真空能量的平均值为零，但是真空中的一点在 某- - u 寸刻能量可能为正值，而另一时刻又可能为负值，也就是说，真空中始 终存在着涨落。由于真空涨落，会有许多经典物理学中所没有的物理现象， 例如： c a s i m i r 效应。c a s i m i r 效应是指真空中两块不带电的平行导体板除了 引力还会有一个相互吸引力，c a s i m i r 计算了它的大小，c a s i m i r 效应后来被 许多物理实验所证实。最近，余洪伟和f o r d 研究了一块全反射平面附近的真 空电磁场涨落。他们计算了这种情况下带电试验粒子速度平方的涨落和位移 平方的涨落，发现由于真空电磁涨落，带电试验粒子会有布朗运动。 本文将对有两块全反射平面存在和空间一维是紧致化的真空电磁场涨落 展开研究，计算了这些情况下带电试验粒子的位移平方的涨落和速度平方的 涨落随时间变化的规律，并对计算的结果进行分析和讨论。我们的研究表明， 有两块全反射平面存在时粒子的涨落效应比只有一块全反射平面的效应要大 二倍，涨落更明显；同时，由于第二块全反射平面的存在还可以延长试验粒 子落到平面上所需要的特征时间，所以，两块全反射平面之间试验粒子的布 朗运动更容易被观测。而对于周期性边界条件下的真空电磁场涨落表明，我 们原则上有可能通过实验来检查我们的宇宙是不是紧致化的。 最后，总结我们近期所做的工作，并展望未来。 关键词：真空涨落，测不准关系，波包扩散，布朗运动，紧致化。 a b s t r a c t i nc l a s s i c a l p h y s i c s ，v a c u u mi sr e g a r d e da sh a v i n gn o t h i n gh o w e v e r i nq u a u t m n m i c h a n i c sa n dq u a n t u mf i e l d t h e o r y , a l t h o u g ht h ea v e r a g ee n e r g yo fv a c l l u n li sz e r o ， t h e r ee x i s t p o i n t sw h e r ee n e r g yd e n s i t yc a nb ep o s i t i v ea t o n et i m ea n dn e g a t i v ea t a n o t h e rb e c a u s eo ft h eu n c e r t a i n t yp r i n c i p l e t h a ti st os a yt h a tv a c u u mf l u c t u a t e sa l l t h et i m e d u et ot h ee x i s t e n c eo fv a c u u m f l u c t u a t i o n s ，t h e r ea p p e a rm a n yn e wp h e n o m e n a t h a ta r ea b s e n ti nc l a s s i c a lp h y s i c s s u c ha st h ec a s i m i re f f e c tw h i c hh a sb e e nv e r f i e di n e x p e r i m e n t s r e c e n t l y , y u a n df o r dh a v es t u d i e dt h e e l e c t r o m a g n e t i cv a c u u m f l u c t u a t i o n s a n dt h eb r o w n i a n ：n o t i o no fa c h a r g e d t e s tp a r t i c l en e a rar e f l e c t i n gb o u n d a r y t h e yh a v e c a l c u l a t e dt h em e a n s q u a r e df l u c t u a t i o n si nb o t ht h ep o s o t i o na n dt h ev e l o c i t yo ft h et e s t p a r t i c l e i nt h i s p a p e rw ew i l le x p l o r ev a e u u l nf l u c t u a t i o n sa n dt h eb r o w n i a nm o t i o no fa c h i n g e dt e s tp a r t i c l eb e t w e e n t w o p a r a l l e lr e f l e c t i n gb o u n d a r i e sa n di nac y l i n d r i c a ls p a c e - t i m e ，w ew i l lc a l c u l a t et h ee f f e c t so fv a a 2 u u n lf l u c t u a t i o n so nt h em o t i o no fa c h a r g e d t e s t p a r t ，i c l ea n dc a r r yo u td e t a i l e dd i s c u s s i o n so ft h er e s u l t so b t a i n e d o u rr e s u l t ss h o wt h a t t h ee f f e c t sa r es t r o n g e ra n de a s i e rt oo b s e r v et h a nt h a ti nt h es i n g l e - p l a t ee a s e i nt h e c y l i n d r i c a ls p a e e t i m e ，o u rr e s u l tf o rt h el te a s ei si np r i n c i p l ea p p l i c a b l et od e t e r m i n i n gw h e t h e ro u rs p a c e t i m eh a sa n yc o m p a c t i f i e ds p a t i a ld i m e n s i o n s f i n a l l nw ew i l lc o n c l u d ew i t has u m m a r yo fo u rw o r ka n da no u t l o o kf o rp o s s i b l e h 】t t i r er e s e a r c h k e y w o r d s ：v s _ 2 u u mf l u c t u a t i o n s ，u n c e r t a i n t yp r i n c i p l e ，w a v e - p a c k e ts p r e a d i n g ，b r o w n i a n m o t i o n ，c o m p a c t i f i c a t i o n 第一章绪论 1 1 真空涨落 在经典物理中，两块不带电的金属板平行的放置在真空中时，两块平面之 间除了万有引力之外是没有其它相互作用的。但是，在量子力学和量子场论 中，这两块金属平面之间还会有除引力外的吸引力，这就是众所周知的c o s i m i r 效应 1 】。1 9 4 8 年，物理学家h bg c a s i m i r 预言，真空中两块平行导体板会相互 吸引，并且计算了相互吸引力的大小s k l a m o r e a u 2 ) ，u m o h i d e e n 和ar o y i 3 ，4 1 以及r s d e c c a 5 】等人通过实验测量了c a s i m i r 力，结果与理论预言符合的很好 1 1 1 】真空涨落的引入在解释c a s i m i r 效应【1 时是必要的由于真空涨落， 在板间产生了负能量f 1 1 】，两块板上受到的压力为负值，所以它们相互吸引。 这样，在引入真空涨落之后，c a s i m i r 效应被合理的解释了。 真空涨落还会引起光锥涨落 1 2 1 5 】。在狭义相对论和广义相对论中，真 空中的光速是恒定不变的。这时，光锥把时空分成三个区域：类时区域、类空 区域和类光区域。因为光速是恒定的，所以光锥是完美的锥形。但是考虑到 真空涨落，就会引起时空几何的涨落，无论这种效应多么微小，光速都不再 是恒定的了，这样就会有光锥涨落余洪伟和f o r d 在文献f 1 2 1 5 】中，是这样 来计算光锥涨落强弱的考虑平直的时空背景中一个线性微扰h 。，这时，时 空的度规为 d s 2 一( 仇+ h u u ) d x u d x ”= d t 2 一d x 2 + h u ，d x u d x ”，( 1 1 ) 这里的指标p ，”取0 、1 、2 、3 令一( z ，z 7 ) 是。与z 7 两点之间短程线长度平 方的一半，a o ( x ，z 7 ) 是与平直时空相对应的值这时，a ( x ，一) 可用线性微扰h 。 展开， d = o 0 + o r t + o ( ：。) ( 1 2 ) 上式中一。是一阶小量。因为h 。，是量子化的，所以会导致真空引力场的涨落， 于是短程线的长度就会涨落，从而就导致了光锥涨落虽然( 。( z ) ) = 0 ，但是 由于涨落( 。( z ) “m ( z ，) ) 一般不等于零，这样可以得到( 一 ) 为 ) = 扣厂( 1 打( 1 出批嘣加) p a ( ：l t ) ) ( 1 3 ) 上式中是光源到探测器之间短程线的切向矢量，用r 表示光源与探测器 之间的距离则有 上式的是指：由于涨落，光传播一定的距离所超前或落后没有涨落情况 下，光传播这个距离所要的时间。因此，如果测量光脉冲从光源到达探测器 的时间，那么这个时间可能比经典物理计算的值要大一点或者小一点原因 就是涨落使得光传播的速度不是恒定的，有一定的起伏。 1 2 布朗运动 布朗运动是指1 8 2 7 年植物学家布朗首先发现的，他用显微镜观察花粉微 粒在水中的运动时，看到颗粒不停地进行着无规则运动，所以叫布朗运动 人们起初不了懈布朗运动的原因，5 0 年以后，在1 8 7 7 年德耳索才正确指出， 布朗运动是颗粒受到介质分子碰撞不平衡引起的。直到二十世纪初，爱因斯 坦和朗之万等发表了他们的理论，皮兰完成了他的实验工作，布朗运动才得 到清楚的解释 布朗颗粒是非常微小的宏观颗粒，其直径的典型大小为1 0 7 m 。1 0 6 7 r 。 颗粒不断受到介质分子的碰撞，在任一时刻，一个颗粒受到介质分子从各个 方向的碰撞作用力一般来说是不平衡的，颗粒就顺着净作用力的方向运动 由于分子运动的无规性，颗粒所受到的净作用力是涨落不定的，力的方向和 大小都不断发生变化，颗粒就不停地进行着无规则的运动 一个布朗颗粒在液体中受到液体分子的碰撞，每秒大约有1 0 1 9 次，直接计 算碰撞后颗粒的速率是不可能的，所以，观察到的布朗颗粒的运动只是一种 平均运动布朗颗粒的位移只是一种剩余的热涨落 上述是经典的布朗运动，除此以外还有很多科学家在研究形形色色的布 朗运动【1 6 2 3 】。本文我们计算了两块全反射平面之间和周期性边界条件下， 带电试验粒子运动的速度平方的涨落和位移平方的涨落【2 4 ，2 5 ，2 6 2 7 。由于真 空电磁涨落是随机的，因此带电试验粒子会受到一个随机的电场力，在这个 随机的电场力的作用下，试验粒子就会有随机的速度和位移。粒子的这种运 动与经典物理中的布朗运动是类似的，所以，我们把试验粒子的这种无规则 的运动也叫布朗运动。由于这里的试验粒子运动是由真空涨落引起的，所以 这是一种量子的布朗运动f 2 4 、2 5 ，2 6 ，2 7 1 1 3 一块全反射平面附近的真空电磁涨落和布朗运动 真空涨落会引起一些经典物理中所没有的效应，许多物理学工作者努力 去研究这些效应，并且希望通过宴验检验这些效应 2 4 4 0 】在文献删中，余 洪伟和l h f o r d 详细讨论了一块全反射平面附近带电试验粒子的真空涨落和 布朗运动，研究了试验粒子由于真空电磁涨落而引起的速度和位置的变化 他们得出z 、和z 方向的速度平方的涨落为： ( 蜘( ”；) = 丽e 2 【玉胁f 丝t - 2 z 、2 一志 ， 和 ) = 羔丽t 抚、t + 2 。z ) 2 当t 。时，z 、和z 方向的速度平方的涨落化为 ( ) ：( 嵋) z 一翥壶一瓣8 e 2 z 2 ， 和 。e 2 le 21 ( ”；) 2 薪+ 瓣乒 上面的结果中，( ) 是负的，这显然是违背直觉的，因此需要一个合理的物 理解释在量子力学中，由于测不准关系，一个粒子的位置和速度是不能同 时完全精确确定的在量子力学中，是用波包来描述粒子的随着时间的推 移，波包会扩散，所以波包位置的测不准尺度会变大。如果我们用( ”! ) 表示有 边界和没有边界两种情况下试验粒子速度平方涨落的差别，那么负的( 谚) 就 可以理解为：波包的测不准尺度随着时间的演化比没有全反射平面的情况下 的测不准尺度减小了而在垂直于平面方向的涨落( ”；) 是正的，并且比平行 于平面的方向的涨落效应( 记) 要大，这说明全反射平面的存在使得在垂直于 平面方向的真空涨落相对于真空中的涨落是加强的，使平行于平面方向的涨 落相对于真空的涨落是减弱的。 同样的方法，计算得到z 、口和。方向的试验粒子位移的涨落为 ( 酣) = ( a y 2 ) = 纛i 去i n ( 篙卜鑫双等) | 。) 3 砷 计 踯 1 l 1 1 木 c 酣) = 羔纛扣( 篙) 2 + 翕+ i l m ( 学) 1 _ ， 当t z 时，上面两式近似为 ( a z 2 ) = ( a y 2 ) 一二3 7 r 2 m 2 h ( t 2 z ) ， ( 11 1 ) 和 ( 膨) z 嘉 未+ 扣t 2 z ) + ；+ o ( z 2 例t 2 ( 1 1 2 ) 以上所计算的( ) 和( a x 。) 是负的，对它的解释是，全反射平面的存在使得平 行于平面方向的涨落相对于没有全反射平匿存在时的涨落是减弱的。下面我 们更具体地讨论试验粒子传播过程中波包的扩散我们用指标q 表示试验粒 子量子特性所引起的不确定性。设开始时波包的宽度为o 。波包的宽度随 时间的变化是 。= 。知+ 生竺警乒竺 ( t t 。) 这里p 2 是波包在动量空间的宽度。考虑最小的测不准关系细ap 。= 1 2 ， 代入上式可以得到 厂五一 舭q2j z q 2 0 + 戒幽钿m ( 1 1 4 ) 下面的问题是：怎样比较由于真空涨落引起的试验粒子位置的不确定性和由 于测不准关系及波包传播所引起的试验粒子位置的不确定性? 对于确定的时 间t ，我们利用波包在t 时刻的宽度，得到这时波包最小的不确定性是 z 知。赤， ( 1 1 5 ) 与之相应的任意方向的最小位置不确定性是 z q m = 。q m2 去 ( 1 一l 6 ) 令 a x f = 、i ( z 2 ) 【 ( 1 t 7 ) 是由于真空涨落而引起的位置不确定性，那么zr 就表示与之相对应。方向 4 位置不确定性。与，：时，如果试验粒子是电子，我们有 急曲v m ( 】1 8 ) 上式中n 是结构常数。z 方向相应的l t 值是 瓦a z = i = v2 。, v f 。f j l = 3 1 4 x1 0 - 2 a z ：q m ( 1 1 9 ) 因为白。相对于z 来说是很小的，所以一般来说上式的比值是很小的。 1 4 本文研究内容 本文将研究带电试验粳予茌几种特殊边界条件f 的真空电磁涨落和真空 涨落引起的带电试验粒子的布朗运动 首先，文章的第二章讨论了两块全反射平面存在时的真空电磁涨落与真 空涨落引起的带电试验粒子的布朗运动【2 5 i27 我们发现，有两块全反射平 面存在时，试验粒子的速度平方的涨落是： ( 辨( 栌丽e 2 。曼， 瓣丢硒一研t n r 唑- 2 n a i 、) 2 一。曼 丽研 一丽t 研t n ( 搿) 2 ” ( 1 z 。) 这里带撇的求和表示求和时去掉n 一0 那一项， c 辨嘉 ，。曼 赤，n ( 糍) 2 】 + 。曼 蒜岛h ( 葛制) 2 j ， 。、， 试验粒子位移平方的涨落为 (腊)=y2)=未，量赤陋it2+16(ay2t 2 + 1 6 m n ( 学) 2 ( 缸2 ) = ) 2 南 。曼赤陋i m h ( 茅) 2 椭t - 2 m l h a l 2 】一。曼丽b 陋圳 堋i n a + z n ( 等筹) 2 m - ( 渊) 2 ” 和 c 膨，= 羔 。蔓赤卜妒+ s | m ( 窘) 2 “，n ( 渊) 2 十。曼蒜番 a l n a + z 妒 + s i n a + z 3 i n ( 群2 + t 3 i n ( 裂) 2 l z 。， 当两块平面之间的距离很大时，结果回到只有一块全反射平面存在时( 2 4 j 的 结果。在相同的条件下，两块平面之间的涨落效应比只有一块全反射平面存 在时要容易观测我们计算出涨落效应的等效热温度为： 聊卢a 啪丽1 = 1 7 x1 0 - 6 ( 半) 2 耳乩7 1 0 2 ( 警肛( 1 2 4 ) 随后，在第三章研究了周期性边界条件下由于真空涨落而引起的骷电试 验粒子的位置平方的涨落和速度平方的涨落的变化，计算结果为 ( 咖( 弘嘉薹 瓣苦丽一南h 、t + n l l ，、2 1 ( 曙) 一丽e 2 蚤c o 赤吣t + n 工l 、2 ( 舻) = ( a y 2 ) = 丽e 2 薹瓣1 4 n l t 2 + 2 2 ( n l ) 3 l n ( 铲) 2 ( 舻) = ( ) = 丽圣面研i( 哥) 2 ”t - n 上l 、2 1 1 和 a z 2 ，= 嘉耋击 2 n l t 2 + ) 3 l n ( 第2 + t 3 i n t + n l 、i 2 我们发现试验粒子由于真空涨落而引起的运动类似于经典物理中的布朗运 动。随后，我们计算了l 和l t 两种情况下涨落效应的近似值，计算 的结果表明，原则上我们有可能通过实验来判断现实的宇宙的空间维是不是 紧致化的，以及现实的字宙空间是否有额外维。然后考虑了周期性边界条件 下涨落效应与只有一块全反射平面存在时涨落的关系。 6 眄 客i 船 q u n 姐 最后，第四章我们总结r 近期所做的工作，并且对i e 在进行的有温度情况 下的涨落效应做简单的介绍。本文中使用自然单位制r 一 一l ，度规张鞋是 钆，= 二9 p ”= 二d i a g ( 1 、一1 ，一1 ，一1 ) 第二章两块全反射平面之间的真空电磁涨落和布朗运动 在本章中，我们考虑了两块平行的全反射平面之间的真空电磁涨落与带 电试验粒子的布朗运动，包括几种特殊初始条件下的真空涨落。在这些情况 下，我们计算了由于真空涨落而引起的两块全反射平面之间的带电试验粒子 的速度平方的涨落和位移平方的涨落，从而知道了试验粒子的速度平方的涨 落和位移平方的涨落与粒子的初始位置以及两板之间的距离有关。 0 2 1 在两块全反射平面之间的真空电磁场涨落 我们假设一真空态| o ) ，这时( e ) = o ，在量子场论中，一般来说，由于真 空涨落( e 2 ) o 。 现在我们计算两块平行导体板之间真空电磁涨落的期望值这里所考虑 的两块全反射平面一块位于z = 0 平面，另外一块与z = n 平丽重合真空中光 子场的两点格林函数是 d “”0 ，z 7 ) = ( o i a “扛) a ”( 。，) | o ) = d 扛一z ) + d 第印，一) ，( 2 1 ) 这里瑞”( 。一z ) 是没有全反射平面存在时的两点函数，即m i n k o w s k i 时空中的两 点函数d 掣( z ，z ) 则是有全反射平面存在时重整化之后的两点函数，在f e y n m a n 规范中，我们有 d g ”扛一z 7 ) 2 砑讴矿7 r 五孬， ( 2 2 ) 和 8 ，2 8 】 啪，z ，) - 一。蔓砸瓦等等丽 + 。三7 硒砭五a 正x 丢a y 可忑而2 n 丽a ) ， ( 2 3 ) n ：! = 矗4 7 r 2 ( t 2 2 2 一( 2 2 +2 ) 、7 ( 这里带撇的求和表示求和时除去n = 0 那一项) u p = ( o ，0 ，o ，1 ) 是平面z = 0 ，。= n 的单位法向矢量。通过求( 2 3 ) 式的四维旋度，我们可以得到电场在z y 。方向 的函数形式 ( e 。( z ) 易( z ) ) = ( 确；( z ) f b ( z 7 ) ) = o o o o a | f ( x ) a j ( x 7 ) ) + o i o j a o ( x ) a o ( x 7 ) ) ， ( 24 ) 假设粒子的初始位置在( o ，0 。) 处，我们得到重整化之后，z ，方向电场的两点 9 函数 ( 日( x ) 乜( x ) r = ( 岛( x f 7 ) 岛( x ，f ”) ) r = = 孔曼7 篇一。曼筹裟端卜s ， 以及。方向电场的两点函数 ( 剐x ，幻匠( ) ) r = 嘉 。= 曼- - 7 两1十。妻厨j 晶) ( 2 。) 由真空电磁场的涨落可以计算出带电粒子速度的涨落值。考虑非相对论情况 下，有真空涨落时带电试验粒子的运动方程由l a n g e v i n 方程确定 v = ：ef o e ( x ，) 出，( 2 1 7 ) 我们考虑电子，设其初始时刻是静止的，荷质比是e m 。很明显，对于电子速 度的平均值( v ) = 0 ，因为电场的平均值( e ) = 0 但是速度平方涨落的值 ( v 2 ) = 丽e 2z o ( e ( x , t t ) e ( x ，一) 蒯 ( 28 ) 一般来说是不会为零的，因为( e ( kt 7 ) e ( x ，t ”) ) 月0 。把( 2 5 ) 式带入( 2 8 ) 式，我 们得到电子在z 方向的速度平方的涨落值为 ( 曙) = ( 喈) = e 2z z ( b ( x ，t 7 ) 如( x y ) ) r ：三2 ( ”2 m o ，o 、 r ) ( 最。( x ，t ) e ；( x ，t ”) ) r 打 = 嘉 。曼， 丽去硒一瓣t ，n ( 渊) 2 一。曼 丽研寿丽两 一丽h ( 筹) 2 ” 。， 这里r = t 7 一t ”，上式的积分由二重积分化为一重积分仅对涵( x ，t 7 ) e z ( x ，) ) 是 r = t 7 一t ”的偶函数才成立 类似的，把( 2 6 ) 式带入( 2 8 ) 式，我们得到试验粒子在z 轴方向速度平方 的涨落值 ( 曙) = 嘉z z ( 以e ( 拶) ) 删舻 1 0 = 羔 ，壹i 赤m ( 黉2 一一。萋 采备t n ( 离剖) 2 ” 汜“” 把以上两式含带撇求和的项去掉，并令n = ( ) 就可以得到( 1 5 ) 、( 16 ) 两式，可 见只有一块全反射乎面是两块金反射平面的特殊情况。 由电场两点函数可以计算试验粒子的位移平方的涨落是 ( x 2 ) = 嘉j ( 2 出，z “出0 2 出z o “彬e ( x ，们e ( x ，) ) a ， 2 1 1 ) 把( 2 5 ) 式带入( 2 i i ) 式，我们可以计算出带电试验粒子。和y 方向位移平方涨 落的值为 ( 舻) _ ( 奶= 嘉z 。如z “出t d t 2 z o t 2 d t t t ( e = ( 脚，) ) r = 磊e 2 五td t ，f 引p 7 小以脚，如聃，) 冗 = 妄肛小t z 出”蚓跏，幻踯胁 = 嘉z 出7 z 出”妙( 既( 纠b ( 州，) ) 叫 = 嘉 。曼7 丽1m t 2 + 1 6 吣1 3 l n ( 筹) 2 矶r 型t + 2 1 。1 、2 ) 】一。曼砾s l 砟2 州i n a + z 门n ( 与搿) 2 十t 3 l n ( 罄) 2 ” ( 2 1 2 ) 同样的方法对电场的两点函数积分，即把( 2 6 ) 式带入( 2 1 1 ) 式，可以得到。方 向位移平方涨落的值 ( 舻) = 嘉肛tf 斑z 出。t t d t ( e z ( x , t 心x ，胁 = 羔 。塞7 击卜垆删叫3 n ( 喾) 2 矾( 糍) 2 + 。曼d 而 a | r t a + z 垆 + s i l o - 1 - z ；t n ( 端警) 2m t ( 渊) 2 ”( 2 ) 从上面的结果我们很容易看出这些值在z 和。一。两点是对称的。同时，结果 在。= 0 和：= n 处是发散的，这是因为我们考虑的全反射平面是经典静止的 平面 因为上面的求和要求出解析的结果是非常困难的，所以我们考虑两个特 殊的例子。t 和t 。，以及这些例子下的一些特殊情况 2 2 关于几种特殊情况的讨论 在这一郡分，我们通过分析这些情况f 由于真空涨落引起的( 曙) ，( 曙) ， ( z 2 ) ，( z 。) 的值，从而了懈两块全反射平面对真空涨落的影响，以及有第 二块平面存在时所得到的结果与只有一块全反射平面相同情况下结果 2 4 j 的 联系与区别。 ( 1 ) 当n t 时的涨落情况 一、当。t ，z 、y 方向速度平方的涨落化简为 t 吩c 协丽e 2 薹卜丽t 2 + 蒜毒 + 重 茄 一赢硒岳丽+ts(a6 4 ( a 习- n ( 糍) 2一z ) 2 0 2 4 ( o 一= ) 2 ) 一z ) 3 1 t 一2 ( 口一z ) 一南+一t822(t2 4 2 26 4 z a - n ( 笔2 z ) 1一 ) t 一f ：旦一! 生+ 7 r 4 t 2 ( 2 + 2 u z 4 , ”一! 一旦 m 2 【 7 2 0 a 44 8 a 4 1 6 ( a z ) 4 1 6 2 4 一瓦研筹面雨十丽习ts(a 2 h ( 粥) 2一名) ( t 2 4 ( n z ) 2 ) 6 4 ( d z ) 3u 一2 ( n 一：) 一南822(t24 2 2 + 一6 上4 2 3 一n ( 兰2 z ) 2 | 1 一 ) t 一1 1 ” 在化简的时候，我们用到了下面的求和公式： 宝嘉= 芸 1 2 和 量南= 塑熊3 a 4 同样的方法，我们可以计算出z 方向速度平方的涨落值 c 咖i e 2 丽r 2 t 2 + 丝篙挚坐一茄与一去 2 1 6 1 21 7 1 + 丽与一n ( 譬高) 2 + 丽t k 、t + 2 卿z 、 皿埘 从上面的( 2 。1 4 ) 、( 2 1 8 ) 式我们可以看出，在这些取了近似的式子中，把z 和 。一z 相互交换式子的值保持不变同时指出，当t 一2 z 或t ：2 a 一2 z 时，上面 的( 2 1 4 ) 、( 2 1 8 ) 两式是发散的因为这正是光从带电试验粒子到像点所需要 的时间类似的方法，我们可以计算出z 方向位移平方的涨落为 ( a x 2 ，* 羔吲一嘉+ 2 4 ( a 一 2 4 2 2 j 6 4 ( n a l + z ) 4 卜n 曼= 2 f 2 4 一2 ) 2 一e 2 一r 7 r 4 t 4 ( 2 + c o s 警) c s c 4 警 。再丽i 一蠢i 殍+ 1 两矛一 t 2 2 4 a z 、2 杀一如c - 一杀，z z 方向位移平方的涨落化简为 c 腊，a 嘉 十2 t 2 4 ( o 一名) 2 。一l 3 2 n 4 4 6 4 ( a + # 1 4 2 4 ( a z ) 2 十2 4 ( a z ) 2 z ) 3 胁f ! 二! ! ! 二 f t 手2 ( a z 1 4 9 6 ( a 一。、3 + 未+ 知c 一芸) 2 + 去州慧，2 1 ( 2 1 9 ) 一丽 一 。 = 一0 一、，)， 产 宕 拓一瑟 l | | 十 户 呱 生必1 2 啦兰舻 一心 卜 一 呱 孑三心 2 、1 尚杀 毒 脚 + 0 一：蒜 ， f 一f 2 l7 r t t 4 7 7 4 t 4 ( 2 一f o _ 警) f s 一等 ，1t 1 2 ”2 d 2 l 一丽十i 甄声一一i 可；= 河面 + 痴十扣卜j 击n 丽与扣t ( 等等) 2 + 鑫+ 扣，一为2 十去m ( 兰) 2 | - 皿z o ， 对于上面的计算结果，在n 一。时，上面( 2 j 4 ) 、( 2 i s ) 、( 2 1 9 ) 、( 2 2 0 ) 四式 的第一项都是小量，而其它的含有n 的项都趋近于零，这些结果固到只有一 块平面的情况这比较容易理解，因为当两块平面之间的距离逐渐变大时， 远离试验粒子的那块平面的作用就越来越弱，当。很大时，两块平面中的一 块就可以忽略不计了，所以回到只有一块平面的情况同时，z 方向位移平 方的涨落比z 方向的涨落的值要大，这说明有平行平面时，垂直予平面方向 的真空涨落效应比平行平面方向的涨落效应要明显，所以，在实验的时候我 们应该选择测量z 方向的涨落效应 二、当a t ，z t 时，。方向速度平方的涨落为 c 哈嘉一南一南 + 。曼 赤岛+ 舞 ) 一e 2 ft 2 丌i t 2 7 r 4 ( 2 + c 了2 7 r zj c 5 。4 i z v 1 一_-o一l 彬【7 2 0 a 4 4 8 a 4 j ：，r 2 e 2 t 2 一而1 + 坠堕罄1 ， ( 2 2 1 ) 2 7 n 2 a 4j _ 面+ 。嗑。1 | ， ( 2 - 2 l ( 这里的求和是用m a t h e m a t i c a 计算的) 类似的可以计算，z 方向速度平 方的涨落为 c 咖丽7 r 2 e 2 t 2 去+ 坠絮蝗 ， z 、z 方向位移平方的涨落为 c 醒，“筹卜丽1 十坠害坐 和 ( 腊) z 筹 志+ 唑。9 2 4 引- j 在这种情况下，当z = a 2 时有极值，且这时( 2 + c o s 盲2 1 r z ) c s ( 1 1 警= 1 ，( v 2 ) 和 a x 2 ) 变成了时间的简单函数，但是时间很小时，真空涨落引起的带电试验粒子的 1 4 恐 船 n 2 2 2 布朗运动不明显，不香易观祭。 1 5 _ 、把上面的结果在。z 情况下展开，我们得到，z 疗向速度平方的涨 落为 c 吩( 喈) z 筹( 志一纛j 一甜 ( 2 。s ， z 方向速度平方的涨落为 c 吩等f 鑫一熹十甜 。， z 、z 方向位移平方的涨落为 诉帅a y 2 等( 未一鑫一志) ， 江z ， 和 c 脚筹f 矗一鑫十去) 江。s ， 四、当n z 时，z 方向速度平方的涨落为 ( 曙) ：( 曙) m 一熹壶+ 志( 批i ) 8 刍， ( 2 z 。) z 方向速度平方的涨落为 ( 曙) z 志去十盏( ：) 2 + 志刍 江s 。) z 、：方向位移平方的涨落为 ( 舻) ：( 甜) * 一嘉扣姚) + 熹( 批 ( 2 3 - ) 及 ( 醴) “丽e 2 陋it 2 粕1 h ( 麦) + 1 1 4 4 0 k a 4 | - ( 2 3 2 ) 从上面的结果我们可以看出。当两块板的距离很大，且试验粒子在平面之间 运动的时间很长时，除去高阶小量，结果回到只有一块平面的情况。这正是 我们所希望的 ( 2 )t 。的情况 一，首先我们考虑。的情况，那么( 2 9 ) 式，( 2 1 0 ) 式，( 21 2 ) 式，( 2 1 3 ) j 5 式的求和可以近似为积分来计算 。曼【 1 3 1 ，例如 j 2 土1 。f 8 1 2 h a l 3 i 两五干弦) 2 t 2 一( 2 n a 十2 z ) 2 8 t 2 n a l2 2 1 3，n ( 篙) 2 1 = 嘉z 列，+ 薹 2 ，( 2 酬叫z 州m = 衙c 2 一，( 2 z ，t ) 一f ( 2 z - 2 a , t ) + g ， 这里定义 f ( 2 z , t ) ；志一击州兰) 2 4 - o 。 + o o 。= 萎 2 f ( 2 m ，卜，( 2 抖2 n o , ，t ) 一丕坤一2 m ，dn 2 lo 2 h a 2 h a f ( 2 z + 2 n a , t ) l jj ( 23 3 ) ( 2 3 4 ) f 2 3 5 1 因为( 嵋) 中的几项是类似的，所以我们先计算其中的一部分为7 便于书写， 令f = t 2 a ， 董。，( 2 酬。主而b 出一刮e o c 1 t n ( 篝) 如 三2 ，( 2 酬。蠹1 几而南妒弘 。h ( 高严 = e ( 丢譬幕硒如一刍蜃刍，n ( 等) 如) = e f 刍( 去叫1n 而t + 2 a ) 一去( 去+ i l h t 丽- - 2 a + 知t + 2 a 。、) j 。卜竺一型1 ， ( 2 3 6 ) 蚍i 3 t 3 1 5 t 5j ， - 由上面的结果我们可以计算出函数9 的值 gz e 阳e ) 一- h ( 1 e + 2 z ) 一- h ( 2 e - 2 z ) ， ( 2 3 7 ) 从而，我们得到平行于全反射平面z ，g 方向速度平方的涨落近似为 c 埒，。嘉f 去( 一铲4 a 一丽3 2 a 3 + 掣+ 掣+ 毪 2 n 打。 一p 2 d骱2 妻一 ，、【 一乎一丽 一丌 1 6 ( o z ) 。、l 8 一l 8 扣一：州 1 1 5 垆3 t 2 5 t t3 t 25 1 4 i =丽e2卜驴127 7 1 2 + 塑笋| 1 n 删 一7 r l3 护。1 5 亡41 1 p ” 这里写成z ( e z ) 是为了便于观察用z 代替n z 是对称的这里咯) 为受值的 解释是：全反射平面使得波包的测不准尺度相对于真空的情况是减小的。类 似的，我们可以计算出z 方向速度平方的涨落的近似值 ( 蜘丽e 2 船丽4 ( 1 + 志一掣+ 志一挈) 。11l11 + 虿+ 弘+ i i 砑+ 孬 = 嘉i 冬掣+ 孬1 + 丽厕3 一卦 ( 2 。) 2 茅霜1 1 珂云习r 十孬十硒了孤两一再l - o 叫 从上面的结果我们发现z 和。方向速度的涨落 曙) ，( 曙) 在时间趋于无穷大的 时候分别趋近子零和常数这里( 曙) ，( 喈) 在时间很大时趋近于零，而( 嘭) 则 为常数说明有导体板存在的情况下的涨落比真空中的涨落值要明显，并且 是对垂直导体平面的方向影响强一些，对平行平面的方向没什么影响。对于 ( v 。) 趋于常数我们可以理解为这是能量守恒的结果同样的取近似方法，我 们计算出z ，y 方向的位移平方的涨落近似值为 ( a x 2 ，。丽e 2 t ( 、一面4 a 跏去+ 掣轨南十鼍h 剩与) - - l in 瓦t 1n 南j e 2 li ，tl 。t2 ，t o 十z ，t 。；磊芦l 百o “夏一吾打。五鬲：面一i 打。酝+ j 2 “百：i ；面 + ! # 蕊上弋| ，(240)in + 百丽两| ， 皑 z 方向的位移平方的涨落近似值为 ( 刃z 7 f 2 7 二l t 2l 去( 去一面4 a 轨五t + 可两一塑专m 可习+ 可丢与 一挈h 南) + 孙1 乏+ 南q 1n 南i ：嘉f 锩型+ 杀十丽豢两+ ；跏南 2 i i ；l 百瓦- ：；f 一+ j + 萄i ；i 可互：；= 可+ j “。夏西= j i 1 7 警z n 志一等m 百南| ( 2 a 1 ，1 m 丽了百1 - 打百西i 五l j 这里，我们发现( 咯) 和( z 。) 是负的，正如绪论中所提到的，这种现象我们把 它解释为：全反射平面使得在平行于平面方向波包的测不准尺度相对于没有 全反射平面时的减小了。同时，；方向的涨落是大于零的，说明全反射平面 加强了z 方向的真空电磁场涨落我们发现计算结果在o z 时回到一块板在 t 。时的近似【2 4 j ，这正是我们所期望的 二、当。= a 2 时，各涨落效应的值有极值，我们得到平行平面方向速度 平方的涨落为 ( 嘭) z 嘉( 一壶+ 等) ， ( 2 a z ) 同样的可以得到垂直平面方向速度平方的涨落 ( 曙) * 嘉( 品一击) ， ( 2 4 3 ) 下面是各个方向位移平方的涨落值 ( 腊) z 未( 一扣丽t 2 + i n 壶) ， ( 2 4 4 ) ( 腊) z 嘉( 篆+ 嚣叫2n 磊t - i n 壶) ( 2 a s ) 上面四式是= = n 2 情况下涨落的极值。这些结果表明，两块全反射平面之间 的距离越小涨落就越明显。在这里，需要指出的是，把上面的结果与只有一块 平面在z = a 2 1 2 4 】时的结果进行比较，我们发现，在垂直于平面的方向，这里 的值是只有一块平面的值的1 7 6 。2 8 倍即这里的结果近似为只有一块平面 结果的三倍，这表明由于第二块板的存在，真空涨落的效应加强了。而在平 行于全反射平面的方向，这里的值比只有一块全反射平面的值负的更少了。 因为负值表示有平面时波包的测不准尺度被减弱了，所以，两块平面比只有 一块平面在平行于平面的方向的真空涨落减弱的更少。 三、下面我们计算t o z 时的结果。x 方向速度平方的涨落值近似为 ( 蟛) = ( 曙) * 未( 一嘉+ 鳖笋) ， ( 2 a s ) 1 8 。方向速度平方的涨落值是 c 嵋) 。7 f 2 1 1 1 j ( 去+ 孬7 一击) ， z 、y 、：方向位移平方的涨落大小为 ( 舻) z 未(抄1 夏t 一扣) ( 24 8 ) 和 ( a z 2 ) z 嘉( 墨+ 丽7 t 2 吲1 n 夏t 习2n 五t 吲2n 去) 江t 。) 我们把上面的结果与只有一块平面的结果比较就会发现两块平面的结果比只 有一块平面 2 4 时要大，要明显所以在测量时，我们选择测量两块平面下的 速度和位置会明显一些，更加容易被观测到。 2 3测量的可行性 我们所考虑的带电试验粒子，因为有镜像粒子对它的吸引力，最终都会落 在全反射平面上就算粒子处于两块全反射平面的正中间，因为粒子所处的 平衡是不稳定平衡，考虑到量子涨落，试验粒子会受到随机大小和方向的作 用力，所以试验粒子迟早都会落到全反射平面上那么，我们所考虑的情况 t n 能不能实现呢? 这里我们所说的t n 是指粒子下落的特征时间k 远远 大于o 只有这样，我们才有足够的时间来观测试验粒子由于真空涨落所引 起的布朗运动。 下面我们证明试验粒子下落过程所需要的特征时间t 。是远大于两块平行 平面之间的距离。的假设粒子开始位于。= 韧处，经过时闻t 向平面运动了 ( t 1 ，则有：= z o f ( t ) 这时，粒子受力为： o8 2f 1 ，导，1 一1、1吣n 、 “一4l ( 加) 2 。差三( n o + z o f ) 2 ( n d z o + f ) 2 i 卜7 在经典的情况下，当。；a 2 时，( o ) = i ( o ) = 0 。试验粒子会一直处于两块板 的正中间，即：f ( f ) ：0 然而试验粒子的平衡是不稳定平衡，只要一个很小 的扰动试验粒子就会失去平衡开始向全反射平面运动，然后落到平面上。由 于量子化的真空是有涨落的，所以这样的状态在现实物理世界中是不可能存 在的量子力学中的测不准关系告诉我们：一对共轭的物理量是不能同时测 准确的。而这里f ( f ) 和( t ) 是一对共轭的物理量，所以( o ) = ( j 和和j - 0 同时 成立是不可能的，因此，试验粒子迟早会落到导体平面上去。为了估计试验 粒子从两块平行平面的正中间( z o = a 2 ) 运动到导体平面上的i t 寸l h - j ，我们假设 ( o ) = 6 。o 和( o ) = 慨。它们满足h e i s e n b c r g 测不准关系 m o z o b v ：三1 2 当o 时，( 2 5 0 ) 式近似为： 心著薹志= 譬sz 孥 近似方程的解为 e = ( 字+ 卢警) e “佃+ ( 警+ p 警) e v 口 汶单 从而，我们可以计算出试验粒子从两块全反射平面的正中间落到平面上的特 征时间近似为： 删。) 厚刊缸 ( 25 5 ) ( 2 5 5 ) 式中的幻是指只有一块全反射平面存在时，粒子从z o 开始运动落到平 面上所需要的特征时间因此，n ( a ) 的大小就可以反应增加了一块平面涨落 效应所增加尺度的因子当( 2 5 1 ) 式取等号时。有最小值，这