（应用数学专业论文）q过程定性理论的概率证明.pdf

摘要 q 过程的定性理论一直是概率中的重要问题，侯振挺在总结前人结果的基 础上利用分析方法细致讨论过利用分析法得到的结果比较具体，但概率意义 不直观本文用概率方法重新讨论了这个问题文中利用m a r k o v 过程的游程 理论来构造满足条件的m a r k o v 链从而证明各种q 过程的存在性，唯一性及若 有多于一个如何构造所有q 过程的问题 关键词：k o l m o g o r o v 向前方程k o l m o g o r o v 向后方程游程测度局部时 a b s t r a c t t h eq u a l i t a t i v et h e o r yo fq p r o c e s sh a sb e e nb e i n gt h em o s ti m p o r t a n ti s s u ei n p r o b a b i l i t y i ns u m m i n gu pt h er e s u l to ft h ep r e d e c e s s e r s ，h o uz h e n t i n gh a sd i s c u s s e d t h i si s s u ei nd e t a i lb yu s i n gt h em e t h o do fa n a l y s i s t h er e s u l tw h i c hh a sb e e no b t a i n e d b yu s i n gt h em e t h o do fa n a l y s i si ss p e c i f i c ，b u ti t sp r o b a b i l i t ys i g n i f i c a n c ei sn o td i r e c t v i e w i n g t h i sa r t i c l er e d i s c u e st h eq u a l i t a t i v et h e o r yo fqp r o c e s sb yu s i n gt h ep r o b a b i l i t y m e t h o d w ee o n s t r u c t et h em a r k o vc h a i n sw h i c hm e e tt h eg i v e nc o n d i t i o n sb ym e a u so f t h ee x c u r s i o nt h e o r yo fm a r k o v p r o c e s s e s ，t h e np r o o ft h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e 8 8p r o b l e mo f t h eq p r o c e s s e sa n dh o ww ec o u l dc o u s t r u c t ea l lo ft h eqp r o c e s s e si ft h eqp r o c e s si s n t u n i q u e k e yw o r d s ：k o l m o g o r o vf o r w a r d - e q u a t i o nk o l m o g o r o vb a c k w a r d - 1 e q u a t i o n e x c u r s i o nm e a s u r el o c a lt i m e 2 引言 对任意一个q 矩阵，有下列三个基本问题需要解决：( a ) 是否存在一个 q 过程呢? ( b ) 如果q 过程存在，那么恰好存在一个q 过程的充要条件是什 么呢? ( c ) 如果知道q 过程不唯一了，那么全部q 过程如何构造出来? 从定 性和定量观点来看，上述三个问题中( a ) 和( b ) 是属于定性问题，( c ) 是属于 定量问题事实上，关于定性问题远不止这两个为了说明这点，今先引入 定义：对任给的一个q 矩阵，把满足k o l m o g o r o v 向后微分方程组 p 7 ( ) 一q p ( t )( o 1 ) 的印过程叫做b 型q 过程；把满足k o l m o g o r o v 向前微分方程组 p 7 ( t ) = p ( t ) q ( 0 2 ) 的q 过程叫做f 型q 过程；把同时满足( o 1 ) 和( o 2 ) ，既不满足( o 1 ) 也不满 足( o 2 ) ，不满足( o 1 ) ，不满足( o 2 ) ，不满足( 0 1 ) 但满足( o ：2 ) ，满足( 0 1 ) 但不满足 ( o 2 ) ，以及至少满足( o 1 ) 和( 0 2 ) 之一的q 过程分别叫做b n f 型，可口7 型， 百型，万型，- b n f 型，b n f f 型以及b u f 型q 过程；为了方便，把任一q 过程叫做0 型q 过程；把不断的b 型，不断的f 型，不断的b n f 型，不断 的墨町型，不断的0 型，不断的否型，不断的f 型，不断的- b n f 型，不断 的b n f 型以及不断的b u f 型q 过程，过程分别叫做一b 型，一f 型， 一b a f 型，n 一耵型，n 一0 型，一百型，一f 型，n 一- b n f 型， 一b n f 型以及n b u f 型q 过程凡二十种 对任给的一个矩阵，有下列定性问题需要解决。上述二十种类型的q 过 程的每一种类型不存在，恰好存在一个，有多个但有限以及有无穷多个这种类 型的q 过程这四种情况哪些情况是必然不出现的，哪些是必然出现的，哪些 是可能出现的，以及使可能出现的情况必然实现的充要条件是什么? 对于上述的定性问题，d o o b ，r e u t e r 等人已经有所研究，1 9 7 4 年侯振挺 在前人已有工作的基础上对定性问题进行了细致地研究，利用分析方法构造q 1 过程并给出这个问题的全部解答分析方法主要是使用分析工具和方法求解满 足柯氏向前方程或向后方程的过程，或求解出过程所产生的压缩半群的无穷小 算子，或求出过程的预解算子用分析方法得到的结果比较具体，但概率意义 不直观 为了凸现q 过程的轨道性质，1 9 5 8 年王梓坤教授提出用概率方法构造q 过程，他利用这种方法成功解决了生灭过程的构造问题，其思想是：由结构比 较简单的d o o b 过程的样本轨道逼近q 过程的样本轨道 本文用概率方法重新讨论了q 过程定性理论问题，利用的主要思想就是 用概率方法构造满足条件的m a r k o v 链具体来说：利用给出的条件来先构造 一个进入律仇，然后利用进入律给出了一个有限测度p 和游程e t ，然后可以得 到p o s s i o n 点过程，从而构造出局部时和逆局部时，利用p o s s i o n 点过程和逆局 部时可以构造出一个m a r k o v 链，最后构造一个预解式( a ) 并证明嘞( a ) 是 所构造的m a r k o v 链的预解式，而预解式和链的转移函数是一一对应的这样 我们就可以构造出一个满足条件的m a r k o v 链 本文的写作安排如下： 第一节：介绍q 过程定性理论的主要结论：二十个定理 第二节：预备知识列举本文中需要的定义及定理 第三节。介绍用概率方法证明这二十个定理的主要思想方法 第四节：定理1 1 一定理1 3 的概率证明 第五节：定理1 4 的概率证明 第六节：定理1 5 一定理1 2 0 的概率证明 2 q 过程定性理论的主要结论 定理1 1 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) b 型q 过程总存在，而且只有两种可能，或者只存在一个，或者有无穷 多个； ( 2 ) b 型q 过程唯一的充要条件是方程 棚q u _ 0 b o ( 1 - 1 ) 0 u 1 1 只有零解 定理1 2 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) f 型q 过程总存在，而且只有两种可能，或者只存在一个，或者有无 穷多个； ( 2 ) f 型q 过程唯一的充要条件是最小q 过程不断或方程 a n 。- n n q ，n = 。o 。 c l 2 ， o n ，n 1 + o o 1 只有零解，或等价地，最小q 过程不断或( 1 2 ) 的任一解卧= ( n ( 1 ) ，他 ( 2 ) ) ， 必有( 铷) 竹 0 ) + o o 定理1 3 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) b a f 型q 过程总存在，而且只有两种可能，或者只存在一个，或者有 无穷多个 ( 2 ) b a f 型q 过程唯一的充要条件是方程 沁一0 冀u 。三1 s ， 0 0 n ，n l + o o 磊( 彩一舌劬t ) 竹x u ) o ，o a + o o ( 1 5 ) ( i i ) ( 毋一彩) 扎 d ) + o o ，0 a 0 0 i h ，n 1 o ( o a 佃) ( 1 8 ) 其中亩= ( i ： o ) j e e ( i ) ”方程( 1 1 ) 只有零解 而( 3 ) 中的条件( i i ) 可用下列条件代替： 4 ( i i ) ， 、l i m a 扎 d ) + o o ( 1 9 ) 扣。磊 、 定理1 5 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) o 型q 过程总存在，而且只有两种可能，或者只存在一个，或者有无 穷多个； ( 2 ) o 型q 过程唯一的充要条件是下列两条同时成立： ( i ) 7 定理1 4 中的条件( i ) 或等价地，定理1 4 中的条件( i ) 和条件( i i ) ”； ( i i ) 7 最小口过程不断或对方程( 1 2 ) 的任一解n = ( n ( 1 ) ，n ( 2 ) ，) 必有 ( 劬k ) n 0 ) + ( 1 1 0 ) j e 酵j 定理1 6 设任给一个q 矩阵，对于一b 型q 过程，则 ( 1 ) 只有三种可能：或者不存在，或者恰好存在一个，或者有无穷多个 ( 2 ) 若q 非保守，则一b 型q 过程不存在； ( 3 ) 若q 保守且q 过程唯一，则n b 型q 过程唯一； ( 4 ) 若q 保守但q 过程不唯一，则有无穷多个一b 型q 过程 定理1 7 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) 对于一f 型q 过程，只有三种可能：或者不存在，或者恰好存在一 个，或者有无穷多个 ( 2 ) 若q 保守，o 型q 过程非唯一以及方程( 1 2 ) 只有零解，或q 非保守 且( 1 2 ) 只有零解，则一f 型q 过程不存在 ( 3 ) 若q 保守且o 型q 过程唯一或( 1 2 ) 恰有一个线性独立解，则一f 型q 过程唯一 ( 4 ) 若最小q 过程中断且( 1 2 ) 有多于一个线性独立解，则一f 型q 过 程有无穷多个 定理1 8 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) 对于n b n f 型q 过程，只有三种可能：或者不存在，或者恰好存在 一个，或者有无穷多个 5 ( 2 ) 若q 非保守，或者q 保守且d 型q 过程非唯一而f 型q 过程唯一， 则一b n f 型q 过程不存在 ( 3 ) 若q 保守且0 型q 过程唯一，或q 保守而0 型q 过程非唯一但方程 ( 1 2 ) 恰有一个线性独立解，则n b a f 型q 过程唯一 ( 4 ) 若q 保守且0 型q 过程非唯一但方程( 1 2 ) 有多于一个线性独立解， 则一b n f 型q 过程有无穷多个 定理1 9 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) 对于一目口节型q 过程，只有两种可能；或者不存在，或者有无穷多 个 ( 2 ) n 一薹町型q 过程不存在的充要条件是b - - u f 型q 过程不存在 定理1 1 0 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) 对于n o 型q 过程，只有三种可能：或者不存在，或者恰好存在一 个，或者有无穷多个 ( 2 ) 若q 非保守且q 过程唯一，则n o 型q 过程不存在 ( 3 ) 若q 保守且q 过程唯一，或q 非保守且下列两条同时成立，则n o 螫q 过程唯一t ( a ) ( 1 5 ) 成立； ( b ) 方程( 1 2 ) 恰有一个线性独立解1 1 = ( 凡 ( 1 ) ，n - ( 2 ) ，) ，且 熙a 毳坝o ) 慨( 1 1 1 ) ( 4 ) 若q 保守且q 过程非唯一，或q 非保守且( 1 5 ) 不成立，或q 非保守 且下列两条同时成立，则n o 型q 过程有无穷多个： ( o ) ( 1 5 ) 成立； 方程( 1 2 ) 有多于一个线性独立解，或方程( 1 2 ) 恰有一个线性独立解 n a = ( n x ( 1 ) ，n ( 2 ) ) ，且 牌a 磊n x ( j ) = 慨( 1 1 2 ) 定理1 1 1 设任给一个q 矩阵，则 6 ( 1 ) 对于百型q 过程，只有两种可能；或者不存在，或者有无穷多个 ( 2 ) 百型q 过程不存在的充要条件是：或者q 保守，或者q 非保守且q 过 程唯一 定理1 1 2 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) 对于f 型q 过程，只有两种可能，或者不存在，或者有无穷多个 ( 2 ) f 型q 过程不存在的充要条件是可型q 过程不存在 定理1 1 3 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) 对于百n f 型q 过程，只有两种可能，或者不存在，或者有无穷多个 ( 2 ) 存在百n f 型q 过程的充要条件是下列两条同时成立： ( i ) q 非保守； ( i i ) 方程( 1 2 ) 有非零解 定理1 1 4 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) 对于b n 型q 过程，只有两种可能，或者不存在，或者有无穷多个 ( 2 ) 不存在bn f 型q 过程的充要条件是方程( 1 1 ) 只有零解 定理1 1 5 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) b u f 型q 过程总存在，而且只有两种可能，或者只有一个，或者有无 穷多个 ( 2 ) b o f 型q 过程唯一的充要条件是b 型和f 型q 过程均唯一 定理1 1 6 设任给一个q 矩阵，则 ( 1 ) 对于一百型q 过程，只有三种可能，或者不存在，或者只存在一个， 或者有无穷多个 ( 2 ) 若q 保守，或q 非保守且q 过程唯一，则n 一百型q 过程不存在；若 q 非保守且 ( a ) ( 1 5 ) 成立； ( b ) 方程( 1 2 ) 有一个线性独立解n = ( n ( 1 ) ，n ( 2 ) ，) ，且 ( 彩一劬k ) 礼 u ) + o o ，0 0 ，五在( 8 一e ，s + e ) 中有无穷多次跳跃) ， 氏= 矧t o ，对于任意的s 0 ，x t 在( t e ，t ) 中有无穷次跳跃， 9 盯= i n f s i8 0 ，s s o o ，g r 称为x 的第一个飞跃时间 由于是1 0 ，) 的闭子集，盯是 五卜停时开集z = ( d r ，o 。) s 矗的构 成区间记作( g a ，d o ) ，o t = 1 ，2 ，每个构成区间都称为x 离开s 0 的游程，构成 区间的长度称为游程长度随机集合 啦 占，记作g 命题2 1 存在一列停时b ，n = 1 ，2 ，使得对于任意的u q ， lx t 一( u ) e o ，x ( u ) ge ，p 藏扣 盯 0 ) = 1 = ( u ) in = 1 ，2 ，) ， 并且每个死都是一个游程区间的左端点 命题2 2 对于任意的z e + ， 协i9 a ，p 一p o ) o ) = & ln = l 川2 ) ，pa 8 ； i 垡氐) = 瓦in = 1 ，2 ，) ，pa 8 对于任意的t 20 ，令 口= f o t 删， ( p k - 矿= o ) ) 扎，； 群= ( 1 一e x s e ” ) ； s k t 霹= ( 1 _ e x t n e 一4 ) ； 矗g t 一：+ c ；+ c ； 定理2 3 q ) ， c 2 ) ， c 3 ) ， 厶 是x = ( q ，五，五，0 t ，p ) 的满足以下条件 的可加泛函： ( i ) q 是连续的； ( i i ) 对于任意的茹e + ，t 0 以及 五) - 停时t ， c ”n = + c ；o o t ，pa 8 ； c ；+ t = c 拿+ c ；o o t ，pa 8 ； c + t = c 拿+ c ；o o t ，pa 8 ； c t + t = c r + oo t ，严a 8 ； 1 0 ( i i i ) 对于任意的xee + ，酽 e 一4 ) = e 2 0 。e - 8 d c 。) 定义2 2 称f 厶) 为正规链x = ( q ，五，x t ，巩，p ) 在氏上的局部时 定义2 3 集合印= 倒z e + ，p p = o = 1 ) 称为正则点集，集合 酵= z lz e 呻，p p o 卜= l 称为非正则点集 定理2 4 存在矿到户上的核p ( ( ，) ，使得对于任意的z e + ，可料过程 z t ) 以及q 的尹一可测子集f ， 酽【萋k ) 而c ) 瓦b 。】_ 酽吃乙尸( 五，f ) 托批 定义2 4 对于任意的z e + ，f 尹，令 地，f ) _ 鼬) p 【1 ) 聃神) 一器 称p ( ，) 为正规链x 关于的游程测度 3 主要引理 定理3 1 转移函数( t ) 满足k o l m o g o r o v 向前方程当且仅当 p ( x ， x o e = 0 ， c a s p t j ( t ) 满足k o l m o g o r o v 向后方程当且仅当q 是保守的 证明由定理2 4 可得 酽 e 一妯“k ge i x o e ) o ) 口 = 酽 正e 1 ， 五一g 日p ( 五， - c o e ) ) d c 。 = 酽 e - * i x , 一ge ) p ( 咒， x o e ) ) 找：) + o + i 芦 e - s p ( x s ， x o e ) ) d ：) ， 由上面的等式及【3 p 8 0 定理1 可得前一结论，由 3 1 仇。定理2 可得后一结论 命题3 1 对于任意的t ，j e ，t 0 ， p ( z ， x o = i ，盯 t ，x t = j ，) = p ( x ， x o = i ) ) 赡妯( ) 证明略 令 y i ( x , a ) = 上e m p ( x ， x og e ，盯 t ，x t = 歹) ) 疵，v j e ，a o 命题3 2 仍( z ，a ) 具有以下性质。 ( 1 ) 仍扛，a ) 0 ，a 仍0 ，a ) = p ( x ，i x o e ( 1 一e 一知) ) o ； ( 3 ) 熙a 善仍( 致柚= p ( ， 甓日) ，熙概( z ，a ) = o ，v 歹毋 ( 4 ) 仍( z ，a ) ，j e 满足向后方程 ( a i 一0 ) = 0 证明略 引理3 1 给定, k 0 0 ，设( 吼( a o ) ，i e ) 满足方程v ( a ，一q ) = 0 ，并且 1 2 仇( a o ) o 。，则存在关于p “( t ) 的进入律( 尬( ) ，i e ) 伽使得 i 依( a 。) = f e - x o t k i ( t ) d t ，vt e 并且l “0 i r a 髓( ) = 0 令玩= e u ( o 。) 为e 的一点紧化， u = u iu ：( o ，o o ) 一玩，存在s ，仳( s ) e ，且让( t ) = o o 兮乱 + s ) = 。o ) 矿上的坐标过程记作眦，由坐标过程产生的盯代数记作“盯 巩，8s ) 记作巩 令0 o o = i n f s i 眠= 0 0 定理3 2 给定p m i n ( t ) 的进入律( t ) ，i e ) 伽，存在( u , u ) 上的盯有限测度 户，使得对于任意的0 t 1 0 ，令 屈= m ) 1 3 显然展是独立增量过程，由于( r ) ：= 户( 盯o 。 r ) = 口t 碟1 “( r ) ，所以它的 七 i l e v y 测度为g ( d r ) 因此对于任意的a 0 ，有 e 【e 印卜桷) 】= e e x p - a ( k ) ) 】 = e x p = e x p 2e x p 8 e d y ，8 1 t 。二( 1 一e 一概) 户( 幽) ) 。1 0 。( 1 一e 咖) 丽( 咖) ) 书a f e - x 7 r i ( 岫) 从而 叫z 。e 一确d t 】= a 一1 盯e 一斯( r ) 州一l = a 。【a k r 。m i “( a ) 】_ 1 ， 知 j 令厅2 隳历 ( 3 ) 设 x t ；t 0 ，令 x t = 瓦，若t 0 ，i ，j e ， ( a ) 三e 幔e - , 、t ( x t ) d t l x o = i 】 = e 旺4e 枷叱) ( x t ) d t l x o = 司+ e e 一如i 弱= 司引莓层e 一如( k ( s ) ) d s l = 磁；”( a ) + e e 一蛔i 蜀= i 】 e 【莓e x p 丢。，。( k ) ) j ( “? 一h 锄阢( s ) ) d s 】， s ，“d y ，5 0 ， 可知( a ) 满足预解式方程 综合( 4 ) ，( 5 ) ，( 6 ) 可知 托) 是一个e 上的不中断的m a r k o v 链，其q 矩阵为 给定的q 从而存在与q = ( ) 诳f 对应的转移函数 定理3 4 如果全稳定的拟q 矩阵q = ( 哟) 诳e 所对应的极小转移函数 p 晌( t ) 不是诚实的，并且存在知 0 ，使得 n ( a o ，一q ) = 0( 3 2 ) 有非零的非负有界解，则存在与q = ( ) 幻。e 对应的诚实的转移函数 1 5 证明由引理3 1 ，存在p 蛐“( ) 的非零的进入律凰( t ) ，l e ，使得 依( a o ) ：j f o oe - - 址k i ( t ) d t ) d t ，vt e 依( a o ) 3 五 址 ，v 并且l 。i m 。k i ( t ) = o 由定理3 2 ，存在( “) 上的盯有限测度户，使得 p w ( t 1 ) = i l ，w ( t 。) = i 。) k ，( 1 ) 理粤( 2 一t 1 ) 龙翌 。( k t - 1 ) 然后再仿照定理3 3 的方式构造 咒) 趔并进行讨论，有所不同的是这里 p ) ：= 户( 仃o o r ) 2 ；k d r ) ， e t f e 一椭出】_ a 一1 l ( 。e 一打( r ) d r 】_ 1 = a 一1 晖哺( a ) 】， e 晖e z p 一a 仃。( k ) ) 厂e - x , i o ) ( k ( s ) ) d s l 8 u e d y a 0 ，使得i 班磁2 i n ( a ) 0 ，则对于任意的i e ， p p = o o i = i = 1 定理3 5q = ( 蜘) 供e 可以对应于诚实的转移函数的充要条件是： ( 1 ) 或者q 是保守的，并且q 所对应的极小转移函数碟；n ( t ) 是诚实的； ( 2 ) 或者极小转移函数赡缸( f ) 不是诚实的，而n ( a j q ) = 0 存在非零的非 负有界解或；i 。n e f 莩礤洫( a ) = 0 证明( 1 ) 由定理3 3 和3 4 可得充分性 ( 2 ) 必要性设极小转移函数四m ( t ) 不是诚实的，堪础“( a ) o 而方程 n ( a ，一q ) = 0 不存在非零的非负有界解p , a t ) 是诚实的转移函数，舫( t ) 所 对应的q 矩阵为q = ( ) 昧e ，设x = ( q ，五，x t ，巩，p ) 是p 嚣t n ( t ) 所确定的正 规链 由于局；甜e ，n = 1 ，2 ，所以当c 3 是非平凡的可加泛函时，我们有 p ( ) = 尚 从而p ( x t 。，p t ，五= i ) ) ，i e 是p 面“( t ) 的进入律，并且p ( 局；， x o e ”= 0 ， 由命题3 2 ， 上”e p ( x t 。加 t ，x t = i ) d t ，i ee 满足方程n ( a j q ) = 0 ，与假设矛盾! 所以c 3 是平凡的 1 7 假设c 1 是非平凡的可加泛函由命题3 1 ，命题3 2 以及n ( a j q ) = 0 不 存在非零的非负有界解，可得 p ( x ，q ) = p ( z ， x o e ) ) p ( x ，p # ，x t = i ) = p ( x ， = 研) 硪“( t ) ，v i e k e e 从而 p ( x ，q ) 2 三p ( z ， = ) ) 莩叼蛔( a ) 丽1 t e j厶“o 、4 ， 厕1 o 。e 一j e e i e e 酬= 嘲惮 2 丽1 f e 一舳j e e 酬五吒删) ) 班 2 可事1 莉p ( x , 1 - - e - a ) 露丽1 ：垂盟 伽i n f a 莩刚a ) 其中k ( a ) _ 蚓s u p 导管z ( o ，) 1 、 k ( x ) p ( x ，1 一e 1 ) 由于c 1 是非平凡的，可取i e ，t 0 ，使得p ( c ； 0 ) 0 ，从而 旺2e 一8 d c 劲：晒e 一。p ( 1 ) ( 咒，l e 一4 ) d c 劲 o ( 3 3 ) 又因为 矾k ) 切( 瓦) j - 旺p 1 ( 五，q ) d c i 9n，ga 0 ， 因此p 4 社 i 如t + 1 ) = 。) 0 ，从而由( 3 5 ) ，可得 ( 3 4 ) ( 3 5 ) o 。= 爿l 带t g a l9 0st + i t j ，t + 1 = p 【，p ( x 8 ，q ) d c s 】 纠“t 矛o 踟魄i t + l e 1 啦, 1 - e - 4 ) 蚓 纠+ 1 赤省驴讹j “+ 1 持一 矛盾f 所以c 是平凡的，故c = c 2 这时， m f 8 。1n ，= i n f s i8 氏) = - 由命题3 3 ，对于任意的i e ，p p = 。o ) = 1 ，所以c z 也是平凡的，从而 pf s o o ：毋：1 故x 是极小链这与极小转移函数不诚实矛盾，i 洛兽性得证 1 9 4 定理1 - 1 一定理1 3 的概率证明 命题4 1 若方程 、 加咱u - 0 b o ( 1 1 ) 0 u 1 j 只有零解，则b 型q 过程唯一 证明即证若x 是b 型q 过程，则x 是最小q 过程令 盯= i n f 8j v 0 ，五在( s 一，8 + e ) 中有无穷多次跳跃 则对任意的 e ，有 e 一蛔 = 酽 e 一加，n = 盯) + e 一蛔，n 矿) = e 一哦l 一概，n m i lj 。 k e e 理罂( t 2 一t 1 ) 理翌“( t 。一t n - 1 ) 冥中1 1 ，i n e ，c 为任恿正常数仿照定理3 3 的证明，司以构造取值于 的m a r k o v 链膏，这里 c + 磁( r ) n ( r ) ：= 户 r ) 2 互户( 形= ) 2 南，拒o 。r 厶肚， 一办：端， 旷猢一驴州：瑞， 俨e 山p ( 形钏如= i f = e - x , 一k j ( s ) 而扣端，v j 印 k e ee 所以 e 喀8 印 一as , u e d y “。m j 俨e - x 。l o ) ( k ( s ) ) d s 】 = e 盱e 砒训厂户( m = j ) d t 2 丽n j ( a ) 从而当i ，j e 时， l 凰( a ) 。四m ( a ) + e 【e 山l 刮】再安彗 当i e j ：0 时 t 所以 r f j ( a ) = 豆。( a ) = e i f o e - a t 如 ( x t ) d t l x o = i = e 、e 艄怕) _ ( x , ) d t l x o = i = 节蛔i 弱刮卜丽桶 妨， 铲( 卅节h l 蜀_ i 】耥 节打i 钮硒锄， i f i = 0 j e i t fi ，j e i f i e j = 0 显然vi ，毛( a ) = ；，下面验证熙a q 矗( a ) 一j ：) = 囝 j e e “ 当i ，e 时， 熙a ( a ( a ) 一妨) = 2 奶 ( 这是因为熙a e 【e 咖i = 司= q t - - 荟熙概( 入) = o ，h l i r a 。( c + a 莩佻( a ) ) o ) 当i e ，j = 0 时， h l i r a 。a 2 e e 咖l 刮卜丽翻 2 熙a e e - 蛔i x o = i 啊如黾d 其中d 。面j = _ 如玩= l t i m 。 1 一p i m k i “( t ) 当i = o ，j 时，显然鼻理a ( a ( a ) 如) = 0 = 奶 对任意的c ，仿照【2 】m 引理2 ( 6 ) 式证明可得袁( a ) 满足预解方程；所以五( 入) 是国对应的q 预解式 兄 是一个上的不中断的m a r k o v 链，其q 矩阵 为给定的o ，因此存在与亩对应的满足k o l m o g o r o v 向前方程的诚实的转移函 数，从而存在与q 对应的满足k o l m o g o r o v 向前方程的转移函数由c 的任意 性可知结论得证 定理1 2 的证明熟知，最小q 过程是f 型q 过程，故f 型q 过程总存 在由命题4 3 和4 4 可知定理1 2 ( 1 ) 后半部分和定理1 2 ( 2 ) 的前半部分成立 定理1 2 ( 2 ) 的后半部分是( 2 ) 的前半部分和【1 】1 引理1 2 5 1 的直接结论于是定 理得证 定理1 3 的证明由【1 】1 命题1 4 4 1 ，定理1 1 和定理1 2 立得我们的定理 矿皆 黧可 | + 兰卧 5 定理1 4 的概率证明 命题5 1 若q 非保守，且定理1 4 ( 3 ) 中条件( i ) 不成立，则存在无男多个 n 一耵型q 过程 证明( 1 ) 由定理3 3 知， 兄叫n ( 卅毒器埘j n ( a ) ( 5 1 ) 是一个n 一0 型q 过程 ( 2 ) 证明上面的如不是b 型q 过程，即证a 取一q 取一，0 ： 因为 ( a i q ) 砑妯一i = 0 ， 所以 a 戤一q 凡一j 叫聊“十蒜需删) 】 刊霹i n + 蒜器群卜。， 邶( 1 一御1 ) _ q ( 1 一御n 1 ) 】簇瑞 一蛐簇器舢 ( 因为q 非保守，q 1 0 ，q 磁曲( a ) 0 ，a n 砑5 “( a ) 1 o ；由条件( i ) 知， 1 一a 兄p 1 0 ) ( 3 ) 证明由( 5 1 ) 确定的瞰不是f 型q 过程，即证a 凡一兄q j 0 ： 因为 聊8 ( a j q ) 一j = 0 ， 所以 a 见一见q j = a 畔“+ 丽1 - 两a r 里丽 n l 。胖( a ) 】 一畔+ 舔q 州捌q 一， = 丽1 - - 聊a r 。塞m l i 。砑1 “( a ，一q )a q j 砰”( a ) 1 一“7 一攀群舢 a a r ? 1 “f a ) l 7 一 ( 因为o 0 ，a o 磁l i n ( a ) l o ；由条件( i ) 知，1 一a 磁“1 0 ) 由( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 知，由( 5 1 ) 确定的q 过程r 是一丽型q 过程 ( 4 ) 令 。： “1 ) + 2 一“ i 口( i ) ，i 1 q ( ”) = ( a ( n ) ( 1 ) ，o ( “( 2 ) ，) ( 几= 1 ，2 ，) 于是，仿照定理3 3 的证明可知 砍= 趔勘)