（计算数学专业论文）几类约束矩阵方程的定秩解问题.pdf

摘要 约束矩阵方程广泛应用于系统工程、自动控制、统计学、经济学、网络规划、 土木工程、振动理论等，研究约束矩阵方程的解的秩和定秩解问题，对于丰富和 完善约束矩阵方程理论有极其重要的意义。本篇论文主要研究以下问题： 问题i 给定矩阵彳，b r ，集合scj i c 删，记 s = x i x s ，a x = b ) ， 求s 中元素x 的最大秩m 和最小秩m ，以及最小秩的元素构成的子集 g = 江i x s ，r a n k ( x ) = 聊 问题i i 给定矩阵彳，b r 一，c r 一，集合scr 脚，记 岛= x i x s ，a x b 7 = c ， 求& 中元素x 的最大秩m 和最小秩m ，以及最小秩的元素构成的子集 = 江i x s 2 ，r a n k ( x ) = m 问题i i i 给定矩阵a e 尺撤p ，b r 删，c r ”埘，记 s 3 = 想r ，y ) i 么r + 冶= c ，x 尺胛，y 尺辩w ， 确定& 中元素x ，y 的最大秩和最小秩，并给出x ，】，的秩分别达到最小时的表达 式。 问题给定矩阵a r ，b r “p ，c 尺“”，记 瓯= ， d e t e r m i n et h em a x i m a la n dm i n i m a lr a n k so fxi ns ，a n dg i v et h er e p r e s e n t a t i o n so f t h ee l e m e n t si n 研= x l x s ，r a n k ( x ) = 肌 p r o b l e m i ig i v e na ，b r 胂m ，c r 删。s c r 脚，l e t s 2 = x l x s ，a x b 2 = c ， d e t e r m i n et h em a x i m a la n dm i n i m a lr a n k so fxi n s 2 ，a n dg i v et h er e p r e s e n t a t i o n so f t h ee l e m e n t si n s ；= 讧l x s 2 , r a n k ( x ) = m p r o b l e mi i ig i v e na r ”。，b r g 研，c r ”埘，l e t 马= 戤，r ) la x + r s - c ，x er z ” ，y er r a x q ， d e t e r m i n et h em a x i m a la n dm i n i m a lr a n k so fx ，yi ns ，a n dg i v et h er e p r e s e n t a t i o n s q txa n dy ，w h e nt h er a n k sr e a c h e dt h e i rm i n i m a l ，r e s p e c t i v e l y p r o b l e m g i v e na 尺“”，b r 删p ，c 尺黼，l e t 瓯= ( x ，圳删r + b y b 7 = c x 天棚，】，r ， ， d e t e r m i n et h em a x i m a la n dm i n i m a lr a n k so fxa n dyi ns ，r e s p e c t i v e l y t h em a i na c h i e v e m e n t sa r ea sf o l l o w s ： i f o rp r o b l e mi ，w h e nt h es e tsa r ec e t r o - s y m m e t r i c ，s y m m e t r i ca n db i s y m m e t r i c m a t r i c e s ，r e s p e c t i v e l y , t h em a x i m a la n dm i n i m a lr a n k s j o fxi n s a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n so ft h e e l e m e n t si n 研a 托o b t a i n e d ，b yu s i n g s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n ( s v d ) a n dq u o t i e n ts i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o n ( q s v d ) f o r s = c s r ”埘i np a r t i c u l a r , t h eo p t i m a la p p r o x i m a t es o l u t i o n st oag i v e nm a t r i xa r ea l s o g i v e n ，a sw e l la st h ea l g o r i t h ma n dt h en u m e r i c a le x a m p l e 2 f o rp r o b l e mi i ，w h e nb = aa n ds = 尺舢o rs = 歙脚，t h ef i x e dr a n k s o l u t i o n sa r ed e r i v e db yu s i n gs v d ；w h e nbi sag e n e r a lr e a lm a t r i x ，p r o b l e mi i i s s o l v e dm a i n l yu s i n gq s v d 3 b ya p p l y i n gr e s t r i c t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ( r s v d ) a n dt h er a n k i n e q u a l i t i e s ，p r o b l e mi i ii ss o l v e d 4 p r o b l e mi vi ss o l v e db yu s i n gs v da n dt h et h e o r i e so nr a n k s i na d d i t i o n ，t h e p r o b l e mo fr a n k so fb i s y m m e t r i cs o l u t i o n s t ot h em a t r i xe q u a t i o na x a r = ci s c h a n g e di n t op r o b l e mi v , a n dt h er e l e v a n tr e s u l t sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：c o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o n ；f i x e dr a n ks o l u t i o n s ；s v d ；q s v d ； r s v d ；o p t i m a la p p r o x i m a t i o n 1 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担 作者签名： 0 1 价杉寸矗 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 翻矗移羚 日期：矽毋年r 月如日 导师躲田公显，吼坼f 月励日 1 1 课题研究背景 第一章绪论 约束矩阵方程问题是指在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程( 组) 的解，约束条件不同，则得到不同的问题。约束矩阵方程问题在结构设计，参数 识别，生物学，电学，分子光谱学，固体力学，自动控制理论，振动理论，有限 元，线性最优控制等领域都有重要的应用。如：有限元静力模型修正问题就可归 结为矩阵方程a x = b 的反问题求某约束解及其最佳逼近；无阻尼有限元动力修正 问题可归结为矩阵方程a r x a = b 求某约束解及其最佳逼近；等等。此类问题还涉 及到如何进一步求解集合有关秩的问题，这些领域提出的各种类型的问题刺激了 约束矩阵方程理论的快速发展，使其成为当今计算数学领域的热门研究课题之一。 到目前为止，经过国内外专家、学者的不断探讨，约束矩阵方程问题的研究 已取得了一系列丰硕的成果，所研究的矩阵方程有a x = b 、a x a r = b 、a x b = c 、 a x + y b = c 、a x a r + b y b r = c 等；涉及的约束矩阵集合有对称矩阵、反对称矩 阵、中心对称矩阵、中心反对称矩阵、双对称矩阵、正定矩阵、正交矩阵、非负 矩阵等等【1 1 ；所采用的方法包括奇异值分解( s v d ) 1 2 3 】、广义奇异值分解( g s v d ) 1 4 1 、 商奇异值分解( q s v d ) 【6 】、标准相关分解、s c h u r 分解、c h o l e s k y 分解【2 圳、广义逆 和秩的相关理论【1 3 - j 等。 对于矩阵方程似= b ，1 9 5 1 年b i e m 锄m a r 【9 j 利用广义逆得到了其有一般解 的充要条件和通解表达式；1 9 8 8 年孙继广f l o 】和1 9 9 0 年张磊【】分别用不同的方法 在对称矩阵集合类中讨论了逆特征值问题a x = 似和最小二乘问题 l l a x 一捌= m i n 及其最佳逼近，给出了解存在的条件及通解表达式。对于矩阵方程 a x b = c ，1 9 5 5 年p e n r o s e 1 2 】得到了它有一般解的充要条件：1 9 9 0 年戴华【1 3 】研究 其在对称矩阵集合类中求解问题，利用广义奇异值分解得到了解的表达式。此外， 胡锡炎、张磊和谢冬秀【1 6 1 ，廖安平【1 7 1 ，周富照【1 3 - 2 0 ，邓远北阎等都对此类问题 进行了大量的研究，取得了一系列成果。 对于矩阵方程的定秩解问题及其最佳逼近，1 9 7 2 年，s k m i 仃a 1 2 3 j 提出了线性 矩阵方程( 组) 的定秩解问题；1 9 8 4 年，s u j i tk u m a rm i t r a 2 4 1 利用空间有关理论及 秩的相关不等式，给出了矩阵方程组a x = c ，船= d 的极小秩及其它定秩的通解； 1 9 8 7 年，f r a n ko h l i g z 5 l 明确给出了矩阵方程从= b 的所有可能的秩解；2 0 0 0 - - 2 0 0 2 年，y o n g g en a n 【3 1 j 先后讨论了矩阵表达式a b x c ，a l b i x lc l 一最x 2 c 2 的秩，并将其推广，解决了一系列广义逆表达式的最大最小秩问题；2 0 0 0 年，j u r g e n g r o b 3 2 j 给出了矩阵方程a x a r = b 对称正定解中的最大最小秩；2 0 0 2 - - 2 0 0 4 年， x i a nz h a n g 。m e i y uc h e n g 3 3 捌】用不同的方法分别得到了矩阵方程a x a 厂= b 和方 程组a x , 4 = b b ，c x c 。= d d 的对称正定最大最小秩解：2 0 0 6 年，林玲【3 5 j 。m j 用商 奇异值分解等方法解决了一类逆特征值及最小二乘问题的的定秩解及其最佳逼 近。2 0 0 6 - - 2 0 0 7 年，y o n g h l l il i u 【删1 j 利用秩的相关不等式，分别给出了矩阵方程 d x b = c 的最d x - - 乘解的秩以及矩阵方程a x + y b = c 的一般解的秩。 约束矩阵方程的定秩解问题虽然已经取得了丰硕的成果，但还有不少问题尚 未解决，如：矩阵方程肘= b 的中心对称定秩解，矩阵方程4 x , 4 r = b 的对称定 秩解等。本文将对此类问题进行研究，使约束矩阵方程秩的理论趋于完善。 1 2 本文主要工作 本硕士论文主要针对以下问题进行研究： 问题i 给定矩阵彳，b r ，集合scr 啪，记 s = x i x s ，a x = 艿) ， 求s 中元素x 的最大秩m 和最小秩m ，以及最小秩的元素构成的子集 研= 阻e s i ，r a n k ( x ) = m 问题i i给定矩阵彳，b r ，c r ”_ ，集合scr 脚，记 迎= x i x s ，a x b l = c ) ， 求s ，中元素x 的最大秩m 和最小秩m ，以及最小秩的元素构成的子集 s ：= 忸l xes 2 ，r a n k ( x ) = 1 1 1 j 问题i i i 给定矩阵彳r 嬲p ，b r 鲫，c r ，记 墨= 诞x ，】厂) 1 4 r + 阳= c ，x r 朋，】，r ”w ， 确定墨中元素x ，】，的最大秩和最小秩，并给出x ，】，的秩分别达到最小时的表达 式。 问题i v给定矩阵彳r ，b 尺“，c r “”，记 & = ( x ，d l 7 + b y b 7 = c x 尺脚，】，j 5 c ，) ， 分别确定& 中元素x ，j ，的最大秩和最小秩。 1 本文第二章讨论问题i ，当集合s 分别为中心对称、对称和双对称矩阵时， 利用矩阵的奇异值分解、商奇异值分解，得到了集合墨中元素x 的最大秩、最小 秩以及群元素的表达式，特别地，当s 为中心对称矩阵时，给出了对给定矩阵的 最佳逼近解，以及相应的算法和数值实例。 2 第三章讨论问题i i ，首先考虑b = 彳时的特殊情形，主要利用矩阵的奇异值 分解，给出了s 分别为一般实矩阵及对称矩阵时，集合& 中元素x 的最大秩、最 小秩以及s ：元素的表达式；其次，当b 为一般实矩阵时，文【4 1 】求出了其解的最大 秩和最小秩，本文利用矩阵对的商奇异值分解，给出了定秩解的通式。 2 3 第四章研究含有两个未知矩阵的方程，对于问题i i i ，利用三矩阵奇异值分 解( r s v d ) 及秩的相关不等式，得到了& 中元素x ，y 的最大秩和最小秩，且给出了 x 和】，的秩分别达到最小时解的通式：对于问题l v ，在广义l y a p u n o v 方程 a x a r + b y b r = c 解的基础上，利用矩阵的奇异值分解及秩的相关结论，得到了墨 中元素x ，l ，的最大秩和最小秩；另外，将矩阵方程a x a r = c 的双对称解的秩的问 题转化为问题i v 进行研究，得到了相应的结论。 1 3 符号定义 力阶单位矩阵 疗阶单位矩阵的第f 列 刀阶反序单位矩阵，瓯= ( e n , 巳小，巳) 矩阵彳的转置 矩阵彳的m o o r e p e n r o s e 广义逆 矩阵彳的秩 矩阵a 的值域( 列空间) 不大于x 的最大整数 空集 矩阵f r o b e n i u s 范数 全体m 拧实矩阵的集合 全体珂撑实对称矩阵的集合 。全体刀疗实中心对称矩阵的集合 全体刀刀实正交矩阵的集合 全体疗刀实双对称矩阵的集合 3 l岛最帆删嘲e胖一一 第二章矩阵方程解= b 的定秩解问题 对于矩阵方程a x = b ，其最d , - - 乘的定秩解，对称解的最大、最小秩已分别 在文献 3 5 1 ， 3 9 1 q b 给出了很好的结果。本章研究在几个矩阵类约束条件下，矩阵 方程a x = b 的定秩解问题。第一节讨论中心对称的定秩解，将其转化为方程组， 利用矩阵对的商奇异值分解，得到了相应的结论，且给出了对给定矩阵的最佳逼 近最小秩解；第二节，第三节主要利用矩阵的奇异值分解，分别得到了从= 易的 对称，双对称的最小秩解的表达式。 2 1 矩阵方程a x = b 的中心对称最小秩解及其最佳逼近 首先给出问题的数学描述： 问题2 1 给定彳，b j 6 c ，记 s t = x l x c 炽脚，a x = 聊， 当集合s ，非空时，求 m = m i n ，r a n k ( x ) ，m = m 。，a x r a n k ( x ) ， x e s lx e s | 及最小秩的元素构成的子集 & = x l x s , ，r a n k ( x ) = 所 问题2 2 给定义er 棚，求j s 卅，使得 卜x + 0 = m i n l x x 8 2 1 1问题2 1 的解 为研究问题2 1 ，首先给出一个引理。 引理2 1 【1 1 矩阵x c s r 肼”的充分必要条件是x 可表示为 ，x = 日。( 繁曼) 巩，x 尺。州枞) ，x ：r h i ，七= c 疗，2 ， c 2 ， 当，= 2 七时，以= 去( 囊s 1 ，当刀蕊- ，? ，日。= 去 多 五r ( n - t ) x ( n - k ) , x 2 足妇，使得 1 彳以临羔卜b 0 压 o ( 2 2 ) 般a (25)2 - ，、l 【x 2 = 岛 p 吖 1y 。m 。一i 。n ，。一。，r a n k ( f ( x 一) ) = 0 s 非空营方程组( 2 5 ) 有解j 即驴4 扯扣4 一 ( 2 6 ) x m i n , r a n k ( f ( x 2 ) ) = 0 m l n r a n g e r f0 0 0 、i fi s l 0 0 1 m = l 吕i 。a 1 j o i 毛一s 1 一墨，罗 b i - - l 。0s 。b ! ：i 毛一盏一墨。2 9 ， l o0 0 夕m k l l 00 o jm - k ! f0 0 0 、l 吃 f ，l a 2 0 o 、 r 2 ， ：= l 。0 i 。a 3 ，) 4l 屯一s 吃2 一s ：，b 2 - i 。0 s 。b 2 ：l 七：一s 吃2 一s 2 。2 。， 、l 000j m 一乞l0 0 o jm - k 2 5 用上述分解中的u ，u ：，k ，吃将u f x 。k ，畦x ：分块为： 吖叫塞 u 2 r x 2 x 1 2 x 2 2 x n 以一k 一- - 8 l ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 定理2 1 若a h 。和b h 。如( 2 3 ) 所示，矩阵对4 ，蜀和彳：，b 2 的商奇异值分解分 别由( 2 7 ) ，( 2 8 ) 式给8 1 ，w x 。k ，v l x 2 圪分别按( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 式分块，则解集合s 非 r a n k ( a l 最) = r a n k ( a 1 ) 王i r a n k ( a 2b 2 ) = r a n k ( a 2 ) ， ( 2 1 3 ) 此时，s ，中的元素可表示为 x = q ( 舌羔) 风 c 2 ， 五= u 毒：专3 g ，r , x 2 = u 2 零2 享 曙 c 2 ，5 ， 这里，五：，五3 ，k ：，k ，任取；集合s ，中元素x 的最小秩m 和最大秩m 分别为 m = n + r a n k ( b 1 ) + r a n k ( b 2 ) - r a n k ( a 1 ) - r a n k ( , 4 2 ) ( 2 1 7 ) 且最小秩解集合瓯中元素可表示为 x = 风( 繁羔 以， q 朋， 其中， 耻州v 。r , x 2 = u 2 哆 亿柳 这里，x 。2 ，k 2 任取。 6 毛 一 咯 一 + “ 一 一 毛 托 、， b 珏 弘 x 石 如 西 吃屯吒 一 “ 分吖 、i，一 !翔1 i 2 2 2 岛如岛如化隅吃 = f c x l ) = a i x i 一马= m e 月l u ( x l 一 龙b i k r = m ( _ l u f 五k e b , ) “r 因此 r a n k ( f ( x l ”= r a n k ( z l 【，j x l k - z 8 1 ) ( 2 2 0 ) 由( 2 7 ) ，( 2 9 ) ，( 2 11 ) 式得 ( - i 朋0 0 、 ，1 啪矿旧x 2 1 置刖冰 亿2 。， l 0 00j m 一毛 而刀一k 一1 一s i i 氢x o ( i ，j = l ，2 ，3 ) 的任意性及( 2 2 0 ) 式要使x s e 脚。柑，r a n k ( f ( x t ) ) = 0 ，必须且仅 须 x 2 3 = o ，x 3 2 = o , x 3 3 = o , x 2 2 = s n l ，且，1 = r a n k ( a , e ) 一r a n k ( a , ) = 0 ( 2 2 2 ) 亦即方程4 墨= 蜀有解的条件。此时，代入( 2 “) 式，得 f 五：0 、 五= u l is 册0 附， ( 2 2 3 ) l0o j 同理可得方程4 置= 岛有解的条件及五的表达式，再结合引理2 1 ，即为 ( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 式。 由( 2 6 ) 式知解集合s ，非空。此时，代入( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 式，再结合引理1 ，便可得 ( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 式。 由( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 式易知 m = m i n r a n k ( x , ) + r a i n r a n k ( x 2 ) = r a n k ( s b l ) + r a n k ( s b 2 ) = 而+ s 2 = r a n k ( b , ) + r a n k ( b 2 ) 由于 毛= r a n k ( a , 最) = r a n k ( a 0 ， & = r a n k ( b , ) + r a n k ( a 1 ) 一岛= r a n k ( b 1 ) = r a n k ( a l x i ) ， 因此，墨毛同理，s 2 k 2 故有 m = m a x r a n k ( x 1 ) + m a x r a n k ( x 2 ) = 岛+ m i n 玎一七一s l ，n - k - k , + s 2 + m i n k s 2 ，k 一定2 = 毛+ n - k - k , + j 2 + k - k 2 = n + s l + s 2 一毛一k 2 即为( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 式。 由( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 式易知最小秩解集合s 肿中元素由( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 式表示。证毕。 注：若问题2 1 有解，则最大秩解集合为( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 式，其中，x 1 2 ，k 2 任取， x 1 3 ，x 3 为任意行满秩阵。若要求秩为，( 肌f m ) 的解集合，r - 制e ( 2 1 5 ) 中选择 7 五3 ，k 3 ，使得r a n k ( x i 3 ) + r a n k ( y 1 3 ) - t - - $ i s 2 推论2 1 若集合s ，非空，则最小秩解集合瓯中元素的最小范数解为 其中， 且 五= u i ix 、 小以l 0 1 珈， 叫丢 l n i r , l l x l l = x e 曲。 l 2 1 2 问题2 2 的解 由( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 式可知，集合s ，的秩为f 的元素构成的子集中，只有最小秩解 集合是一个闭凸集，则问题2 2 必存在唯一最佳逼近解。 将日。x 日。分块为 陵 ( 2 2 4 ) 其中，五l r ( n - k ) x ( n - k ) , x 2 2 r “，七= i n 2 。 ， 利用q s v d 分解中的矩阵u 。，k ，u 2 ，砭，分别对u7 1 。k ，u 2 r x 2 2 匕进行分块 u l r 又。k = 蜀刀- k 一岛 【，：r 我= 七- - 8 2 ( 2 2 5 ) 于是有如下定理： 定理2 2 若集合s 非空，则问题2 2 存在唯一最佳逼近解戈，且最佳逼近解 可表示为 其中， 舅诅哺x 0 1 日 似： x l = u l l8 8 l i o 8 ( 2 2 6 ) 弘啦妒 、嘞 蟛 、j 0 o 0o & o ，。_ ， 、， 幢 篮 x x 如：吨 叫是一 后 如一、i3 b b瓦瑾聪2 2 2瑶坛圪 七 一 s 七 既一 一 毛 靠 一、i，-i-、 。孙 x x x 住勉。驼 x x x ， r k 、， o 0 o i i x - x n 2 = ：8 - 了。( 。： ：2 _ ) ，鼍i 忑j 5 2 = = o 。：) - 7 。x j - 了。8 2 = x 1 - x x - ：一- 穿j 1 2 ： 1 1 2 = l p ，l 一戈。，4 2 + l 廖，：8 2 + l 眵：，4 2 + l p ：一戈：8 2 而 i k 一置盯= l 【零1 o 一u j 墨。k 2 = l k ：一氍| 1 2 + 慨一疋8 2 + 8 磁8 2 + 阻8 2 + i 瞻8 2 + l 嵋8 2 故r a i n i x , - 2 。堋五：= x 乏 同理，m i n k - 2 ：l 营k ：= 聪 因此，m x 哦i n 。l x x 。i l 五：= 氍且k ：= 墨： ( 2 2 8 2 1 3 算法与算例 算法： 1 输入矩阵么，b ，按( 2 3 ) 式计算4 ，4 ，岛，岛； 2 r a n k ( a le ) = r a n k ( d 1 ) _ h r a n k ( a 2 岛) = r a n k ( a 2 ) ，则转第3 步，否则，问 题2 1 和问题2 2 无解； 3 根据( 2 7 ) ，( 2 8 ) 式，计算矩阵对a l ，b 。和4 ：，b 2 的商奇异值分解，可得最小秩解 ( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 式； 4 输入矩阵x ； 5 将日。x 以按( 2 2 4 ) 式分块，再将u 。r 舅。巧，u 2 t 戈2 2 吒按( 2 2 5 ) 式分块，得到矗， 】；：； 6 按( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 式计算戈。 数值实例： 给定 9 b = r2 3- 14 l l 一324 彳：l o-235 i 78 21 3 i 一2 28一1 2 l 12 3 4 4 2 11 10 3 0 8 7- 1 8 9 9 60 8 2 3 3 3 1 4 5 90 4 3 7 4一1 5 3 0 70 9 0 6 1 - 3 3 3 317 6 3 4 41 2 2 9 60 4 8 6 9 1 1 7 9 6 3 11 3 2 8 9 - 1 7 6 5 52 9 3 1 5 l1 4 7 8 81 3 2 8 5 22 8 9 6 83 6 8 1 4 2 0 4 4 0 6 9 5 2 9 2 10 9 6 0 7 6 2 4 z 。= 02 5l o一1 54 - 1 06 56 2 3 5 8 9 0 9 6 8 3 1 2 4 0 5 7 5 9 3 l - 1 9 6 7 2 3 0 8 4 0 6 0 4 7 8 3 2 9 7 5 7 6 6 9 6 2 5 3 4 6 0 1 1 8 1 7 9 8 4 9 9 9 0一l001一lo 5 0 501oo 5l0 0 一o 50 500 0 50 0 50 00000 5 o一0 500o 50 5o 0l一0 50loo 5 o 5一llool0 根据上述算法，利用m a t l a b 计算得 x = 0 0 1 3 8 0 5 2 1 8 0 2 2 2 7 一o 5 8 4 8 一o 1 6 2 7 0 2 7 8 4 0 3 4 1 4 一o 9 4 3 5 0 1 9 5 l 一0 4 6 3 8 0 0 7 3 0 0 5 5 6 6 1 3 4 0 6 一1 3 9 4 4 0 0 8 1 4 0 3 0 7 0 0 1 3 6 0 0 0 3 4 3 0 2 0 2 2 0 4 3 4 1 0 3 9 1 0 0 2 9 3 6 0 0 2 8 6 0 1 7 3 9 0 0 0 8 4 一o 1 7 3 9 0 0 2 8 6 0 2 9 3 6 1 0 0 3 9 1 0 0 4 3 4 1 0 2 0 2 2 0 0 3 4 3 o 1 3 6 0 0 3 0 7 0 0 0 8 1 4 1 3 9 4 4 1 3 4 0 6 0 5 5 6 6 0 0 7 3 0 0 4 6 3 8 0 1 9 5 1 0 9 4 3 5 0 3 8 5 1 ”一0 5 0 7 9 - 3 3 3 5 7 1 6 3 1 1 1 2 5 0 6 4 一o 9 2 8 8 0 3 4 1 4 一o 2 7 8 4 一o 1 6 2 7 0 5 8 4 8 0 2 2 2 7 0 5 2 1 8 0 0 1 3 8 2 2 矩阵方程a x = b 的对称最小秩解 问题2 3 给定a ，b r ，sc 尺肛”，记 岛= x i x s ，a x = 毋， 当集合s i 非空时，求 册2 赠翮七( x ) ，m2 搿r a n k ( x ) ， 及最小秩的元素构成的子集 s 幢= 讧i x s , ，r a n k ( x ) = m 本节研究问题2 3 中集合s 为对称矩阵的情况。 首先对彳进行奇异值分解，即存在u o r “朋，v o r 嗍，使得 ， 么= u 言三) y ， c 2 2 9 ， 其中，= d i a g ( t r n ，仃，) ，q o ( i = 1 ，) ，= r a n k ( a ) 分别对u r b u ，v r 进行分块，设 u r b u = ( l 岛b n 。b 乏) m 二，哪= 晓乳二， 。2 3 0 ) l 岛l 2 2j 一，l x 2 l 如j 刀一， ( 引理2 2 【1 3 1 设矩阵彳有( 2 2 9 ) 式分解，u r b u ，v r x v 按( 2 3 0 ) 式进行分块，则 问题2 3 当s = s r “一时集合s 非空的充分必要条件是彳b 7 = b a7 ，且岛l = = 0 ， 此时，解的通式可表示为 。、 p 麓2 卜 亿3 ， 其中，如艘肛7 m 一任取。 为方便起见，我们先定义一些符号。 由于矩阵1 马。是对称的，则可奇异值分解为 一b i l m e t ( 含三卜 亿3 2 ， 其中，p o r ”，人= d i a g ( 五，五) 0 ，s = r a n k ( b 1 1 ) 令 耻m 二s ， ( 2 3 3 ) 再将矩阵群进行奇异值分解 p 2 r = s r ( 苫鼽 亿3 4 ， 其中，s o r ”一) x 一一”，w o r 卜k r _ ”，n = d i a g q r l ，万f ) o ，f = r a n k ( p 2 ) 眠叫舻吼二 ( 2 3 5 ) 定理2 3 若s = s r 棚时，集合马非空，且按照( 2 2 9 ) - ( 2 3 5 ) 式定义符号，则集 合墨中元素的最小秩，最大秩分别为 且对称最小秩子集墨中元素可表示为 f ，e - i b l l y - i b l 2 、 x = 1 磁_ s7 ( 鲁) + e r 人一e j y r ( 2 3 8 ) 其中，墨尺“h 任取。 。 特别地，若最= o ，即m = s = r a n k ( b ) ，则 一眨妻怒卜 证明将( 2 3 2 ) 代入( 2 3 1 ) 得 唧：牡- i b i 2 ， 叫 l 磋_如j 结合( 2 3 3 ) n ( 2 4 0 ) ，有 瞄? 户r ( ：； = ( 暑曼量 ，c 2 4 ， f ，人0 丑 、 10 一x 2 2 - e , r 人- l 丑i ( 2 4 2 ) l 0 0 bj 由于经过相似变换后，( 2 4 2 ) 式的秩与x 的秩相同，因此 1 2 m a x r a n k ( x ) = r a n k ( a ) + ( n - r ) + r a n k ( p 2 ) = n - r + s + f ( 2 4 2 ) 式的秩达到最小当且仅当 j 5 c ( 如一只r 人_ 1 p ) rcr ( 最) ， 即 r a n k ( p rx 2 2 一p i t 人1 p ) = r a n k ( p r ) 将( 2 3 4 ) ，( 2 3 5 ) 代入( 2 4 3 ) ，利用块高斯消去法得 黜9 显然( 2 4 3 ) 式成立当且仅当岛= o ，结合引理2 2 与( 2 3 5 ) 式便得( 2 3 8 ) 式。 毕。 2 3 矩阵方程a x = b 的双对称最小秩解 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 定理证 引理2 3 【1 1 a b s r “疗的充分必要条件为a = s a s 。，a = a r 佃2 4 1 4 1 当n = 2 k 时，令。= 击旺封x b s r 删： 。r x d = 浠x o l ，鼽砒s r m ； 当玎= 2 足+ - 时，令。= 去 萋吾羔 ，若x 鼹r ，则：2 【、瓯。一瓯j 。丁x d = ( 舌x o ) ，其中，五s r 他椰似+ l 、，x ：艘h q 拍， 根据引理2 4 ，当力= 2 k 时，由于d r d = l ，则求x b s r 脚，满足魃= b ， 等价于求五，五艘m ，满足 彳j d ( 舌妒姐 乃 a d = ( a ja ：) ，肋= 慨b 2 ) ， ( 2 4 8 ) 其中a 1 r ”q “圳，a 2 r ，蜀r 所q 柑，岛r 枞。 1 3 0 一x - a 2 x 2 ) 2 慨岛) 。 ( 2 4 9 ) 当力= 2 k + l 时，我们可以得到与( 2 4 9 ) 式相同的结果，即求双对称矩阵x 满足方程 删= b 等价于求对称矩阵五和五，满足方程组： 般 【4 x 2 = 岛 、- 7 结合引理2 4 ，类似定理2 3 的证明过程，可得如下定理： 定理2 4 若问题2 3 中s = b s r 砌时，集合马非空，r 按n ( 2 2 9 ) ( 2 3 5 ) 式的 方式定义符号，则集合墨中元素的最小秩，最大秩分别为 m = 2 n 一+ 岛+ ，l 一吃+ 屯+ ，2 且双对称最小秩解子集瓯中元素可表示为 石= 文繁跏r 其中 r i 1 蜀。 i 墨2 、1 五= k l 磁- ls r ( 之1 ) + e ：a 。q 只。j k r ， f ，- - ：l 1 vl ：1 c 、l - - z i z 五= 【岛r ( 孕) + 饼鸟j 曙， v 夕 1 4 第三章矩阵方程a x b7 = c 的定秩解问题 对于矩阵方程a x b r = c ，1 9 5 5 年p e n r o s e i l 2 】首先得到了其有一般解的充要条 件和通解表达式。1 9 9 0 年，戴华【1 3 】利用矩阵对的广义奇异值分解研究了此方程在 对称矩阵集合类中的求解问题。其后在各种不同约束条件下，对此方程解的问题 进行了大量的研究。在有关秩的问题上，2 0 0 7 年，l i u 4 i j 利用秩的相关不等式， 给出了其最d , - 乘解的最大，最小秩。当b = a 时，即产生于振动理论的特殊方程 丘翻r = b ，z h a n g t 3 3 l 得出了其对称正定的定秩解。本章就此类问题继续讨论，得 到了矩阵方程五捌r = b 的一般和对称的定秩解，以及中心对称解的秩。对矩阵方 程a x b r = c ，不同于【4 1 】，利用奇异值分解及商奇异值分解，给出了最小秩解的 表达式。 3 1矩阵方程a x a r = b 的一般及对称定秩解 本节讨论以下问题。 问题3 1 给定矩阵aer 褂埘，b r ，集合gcr 舢，记 蜀= 讧l 删，= 艿，x g 当集合s ，非空时，求 朋= m i n r a n k ( x ) ，m = m a x r a n k ( x ) xes，xesr 及其最小秩的元素构成的子集 s 肼= 留i x s ，r a n k ( x ) = 所 3 1 1 矩阵方程a x a r = b 的定秩解 首先考虑一般实矩阵的情况，即问题3 1 中集合g = r 。 令兀x ) = b a x a ，则显然有 s t 非空c ： 揪m i nr a n k ( f ( x ) ) = o 因此，问题3 i 的可解性转化为f ( x ) 最小秩的研究。 对a 进行奇异值分解，即存在u 微“- ，y 锨俐，使得 、 彳= u ( 言3 ) 矿r ， 其中，= d i a g ( o i ，q ) ，吼 o ( i = 1 ，) ，= r a n k ( a ) 分别对u r b u 。y r x v 进行分块，设 1 5 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 届：、i ， b n lm r ， m 一， 则有如f 定理： 定理3 1 设矩阵a 有( 3 2 ) 式分解，u r b u ，v r x v 按( 3 3 ) 式进行分块，则集合s 非空的充分必要条件是 马2 = 0 ，岛l = 0 ，岛2 = 0 ，( 3 4 ) 此时，蜀中元素可表示为 肛y ( f 等。1 净r 5 ， lx 2 lx 2 2j 、7 其中，五2 ，x 2 l ，x 2 2 任取，且集合s 中元素x 的最小秩m 和最大秩m 分别为 m = r a n k ( b ) ，( 3 6 ) m = n - r a n k ( a ) + r a n k ( b ) 证明由( 3 2 ) 式得 f ( x ) = b a x a r u ( 唧( u r = u u r b u 唧p 故 阳坝删一( u r b u - ( 唧sm o 乃 将( 3 3 ) 式代入计算得 咖u 一唧= p - 垦e 。x l l 岛b 1 2 ：) n 8 ， 由( 3 1 ) 式，结合( 3 7 ) ，( 3 8 ) 式，集合s ，非空必须且仅须 垦：= 0 ，岛。= 0 ，= 0 ，( 3 9 ) 此时，五。= z - l 尽。，代入( 3 3 ) 式即可得( 3 5 ) 式。 由( 3 5 ) 式易知 m = m ，i n r a n k ( x ) = r a n k l 。1 蜀l 1j = r a n k ( b ! 1 ) = r a n k ( b ) s x ei “ ， o7 m = m 描a x ，r a n k ( x ) = r a n k ( z _ 1 e l - ) + 力一，= 刀一r a n k ( a ) + r a n k ( b ) 证毕。 我们进一步讨论最小秩解集合& 将1 蜀。一奇异值分解为 1 6 ， 一 、 八1 ，肛墨t ， 沙矿 e b 广 ， =u bu 啊= 啦：o r 埘 其中，p ，q o r ”，人= 咖( 丑，如，五) o ，s = r a n k ( b ) 分别对尸，置2 及x 2 ，q 进行分块 q b ( 3 1 1 ) ，一j 定理3 2 若集合s 非空，e - i b i 。z 一的奇异值分解如( 3 1 0 ) 式，p7 墨：及x 2 1 9 按( 3 1 1 ) 式进行分块，则问题3 1 的最小秩解集合中元素可表示为 ， x = 一咿倒旷， 伍均 l 娩o ) q rq 1 人- 1 只j 其中，丑足以扣，qer 卜如任取。 证明将( 3 1 0 ) 式代a ( 3 5 ) 式，得 哪= 心妒置：、1 伍聊 l五lx 2 2 j 将( 3