（应用数学专业论文）小波分析及其在数字水印中的应用.pdf

摘要 摘要 本文在详细介绍小波的基本理论和方法的基础上，介绍了小波在数字水印方 面的应用，及其今后发展的方向。 小波时频局部化特性，使得对非平稳信号的处理变得相对容易。其中，小波 函数的构造是小波理论分析与应用研究的基础，而小波滤波器的构造又是重中之 重。一般，二维小波滤波器的构造都是采用一维小波滤波器的张量积形式，这是 由于它构造简单，便于实现，但此种方法构造出的滤波器在图像处理中有明显的 人工痕迹，对处理二维图像中水平和垂直方向上的信息也是困难的。因此本文提 出了一种基于余弦函数的二维正交小波滤波器的构造方法，此方法构造自然简便。 另一方面，小波的应用成果介绍也是十分必要的。随着互联网和多媒体技术、 通信技术的迅速发展，数字媒体的版权保护问题日益突出，使得数字水印技术备受 人们关注。它是目前解决版权保护问题最有效的手段之一。 本文主要研究基于小波分析的鲁棒性数字水印技术。( 1 ) 仔细分析后发现大 部分算法中的水印强度都采用固定强度来嵌入水印，它不会结合 l v s 的特性，不 会在不同的区域使用不同的水印强度，这样会影响水印的可见性和鲁棒性，因此 提出了一神智能调节水印强度的水印嵌入算法。采用数学表达式定义的水印强度 能充分结合 i v s 特性对水印强度进行动态调节，实现在不同的位置采用不同的水 印强度，因此水印有更好鲁棒性和不可见性。此外，本算法采用灰度图像作为水 印，它比传统水印在信息量，可感知性，可辨识性及保密性上更有优势。实验证 明，该算法下嵌入的水印具有好的不可见性和鲁棒性。( 2 ) 针对基于小波的水印 算法的研究大致可分为两大类：低频算法和高频算法各有优劣，提出一种将同一水 印分别两次嵌入图像的不同位置的算法。首先，我们将水印嵌入到低频予带部分， 然后利用h v s 特性并选择合适的位置实现水印的第二次嵌入高频子带。这样， 即使其中一个水印受到了损坏，另一个水印仍在。当然，嵌入两个水印后，图像 所含信息量较大，所以我们利用前面我们提到的一种智能调节水印强度的公式来 控制高频水印嵌入强度。实验表明本算法是鲁棒的，不可见的，尤其是在面对剪 切攻击的时候，显示大多数算法不可比拟的优势。 关键词：小波变换，多分辨分析，数字水印 电子科技大学硕士学位论文 i t 卧c t b a s e do n0 1 l re x p l a n a t i o no fw a v e l e t 廿l e o 啦w ei n 廿o d u c e di t sa p p l i c a t i o no n d i g i t a lv ，a t e 衄a l 蜘ga n ds h o wi t s 胁h e rd i r e c t i o n t i m e 一丘e q l l e n c y l o c a l i z a t i o nc h a m c t c r i s t i co fw a v e l c ta 1 1 a l y s i sm a ：k e s t l l e p r o c e s s i n go fn 衄s 枷。力a r ys i g n a l sm o r ee f i 宅c t i v em a n 删t i o n a lf o 面e ra i l a l y s i s w h e r c ，t h ec o n s 咖c t i o no fw a v e l e t 劬c t i o np l a y sm em o s ti m p o r t a l l tr o l e ，s od ot 1 1 e c o n s 扛1 l c t i o no f w a v e l e tf i n e r s g e n e f a l l y ，t h ec o n s n l l c t i o n2 一dw a v e l e t 矗l t e r sa l w a y se m p l o y 也et e n s o rp m d u c t o f1 一d r a v e l e t ，b e c a l l s eo fs i m p l ea 1 1 dc o n v e i l i e n t b u tt h i sk i n do ff i l t e r s 谢1 1b r i l l g 枷f h c t s 抽i m a g ep r o c e s s i n g s ow ep r e s e n tan e w m e t l l o db a s e d0 nc o s m e 矗m c t i o n t 1 1 a ti ss i m p l et ou n d e r s t a l l d 1 1 1 e n ，w ei n t r o d u c em e 印p l i c a t i o no ft h ew a v e l e t w i t ht l l ef a s tg r o w mo ft h e i n t e m e t ，d i g i t a lw a t e 瑚a 幽n gh a v eb e c 砌eo n eo f 山em o s ti n l p o r t a n tt o o l sf o r p r o t e c t i n gt l l es e c u r i t yo f t l l en e “叼r ki n f o h n a 埴o n w em a i n l y 咖d yt h ed i g i t a lw a t e r n l a r l ( i n gb a s e do nw a v e l e ta n a l y s i s ( 1 ) b a s e d o nm o s ta l g o r i 也m sa d o p t e d 恤e 奴e di n t e n s 时o fw a t e h n a i ：k h gw h i c ho b t a i n s 丹o m e x p e r i m e n t ，t l l i sp 印e rp r o p o s e dan e ww a t e m a r k i n ge m b e d d e da l g o r i t h mw h i c hc a n r e g u l a t e 廿l e 曲t e n s i t yo fw a t e 衄a r k i n ga u t o m a t i c a l l y i nn l i s n o v e la l g o r i m m ，t h e i n t e n s i t yo fw a t e m l 破i n gd e f - m e db yam a 血e m a t i c a le x p r e s s i o nc a nn m yc o m b i n e h v sc h 盯a c t e r i s t i c s ，趾dg e td i 妇略r e n tt l l ei n t e n s i 母o fw a t e 册a r k i n gi nd i f f b r e n tp l a c e t h i sa l s om a k e sw a t e r m a r k i n gm o r er o b u s ta n dm o r ei n v i s i b l e b e s i d e s ，t h e f a y s c a l ei m a g eu s e da sw a t e m l a r k m gi nt h i sp 印e rc o n t a i n sm o r ei n f m l a t i o n ，a n di s m o r ec o g n i z a b l e ，m o r es e c u r ct 1 1 a n 州i t i o n a lo n e e x p 嘶m e n t a lr c s l l l t ss h o w 协a tt l l e t e c h n j q u ei sr o b u s ta 1 1 dp e r c 印t u a l i n v i s i b i l 咄 ( 2 ) w e p r o p o s e dan e ww a t e m a r k j n g e m b e d d i n ga l g o r i t l l m ，w h i c he m b e d d e dt l l es a m ew a t e m a r k 曲gt 、v i c ef o rm o r cr o b u s t i t f sd i 艉r c m 舶mm o s ta l g o r i m m se m b e d d e do n l yo n ew a t e n n a r k j n g c o n s i d e r i n g d i 虢r e n tf r e q u e n c y - b a i l d sh a v ed i 疏r e n t 锄t i - a t t a c ka b i l 咄w ef i r s te m b e d d e dt h e w a t e r r n 妣gi n 也e1 0 wf r e q u e n c yb a n d t h e nc h o o s i n gs o m es u i t a b l ee m b e d d i n g p o s i t i o na n dc o m b i l l i n gh v sc h a r a c t e r i s t i c s ，w ea l s oe m b e d d e dt h ew a t e 肌a r h n gi n 1 t a b s t r a c t & 麓鎏蠹e q 毽e n yb 熊蠡。s o ，e v e no 糙弧d e s 如y ，l h 黜旗| l & 瓤。氇髓。辩。 b e s i d e s ， b e c a u s eo fe m b e d d i n g 、糊t e 肌幽g州c e ， i tc o n t a i n sm u c hm o r e 主珏受瞅戚触，瓣w e 鞠l o m 撕始l l y 踅g 瀵a l e 硅i 蘸t 馏泠礴w 越嘲搿睡矗g 熏。静越赫塘e s w a t e m l a r k i n gi n v i s i b l 0 e x p e r i m e n t 越r e s l l l t ss h o wt h a tm et e c h l 血q u ei sr o b l l s ta n d i n v i s 瓣e 。 x 拶羽畦：w a v e l e 圭智a 建s f o 搿l s ，翔珏l 畦* 辖s o l u 建聍矬墨鞋越y s 主s ，瑾鲋w a 圭e 瓣锻睡 i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 彤年2 月巾 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：趔导师签名：群 日期：劢石年亏月卜日 第一章绪论 第一章绪论 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用 十分广泛的双重意义。小波分析作为近二三十年从工程、物理及纯数学发展起来 的综合学科，吸引着越来越多的来自不同行业的科技工作者。信号小波分析、小 波分析快速算法和积分变换已经取得了令人兴奋的成绩，其它更广泛的应用正在 被研究。小波分析是目前国际上公认的最新的时频分析工具，其“自适应性”和 “数学显微镜”的性质是众多工作者爱不释手的分析工具。经过二十多年的发展， 小波分析已经成为了国际上科技学术界高度关注的前沿领域。 小波分析作为一门学科始于1 9 9 0 年前后，它是f o u r i e r 分析发展史上里程碑 式的进展，是f o u r i e r 分析理论发表1 8 0 多年来最辉煌的继承、总结和发展，对 分析工具起着承前启后、继往开来的重要作用，并取得了许多传统分析方法难以 实现的显著应用效果，这种分析技术是一种高新技术，是高科技的重要内容，它 已经把信息工业和信息技术推向了一个新时代，是当今国际学术研究和产业发展 的热点内容之一。 f o u r i e r 变换1 1 是信号在整个时域内的积分：f o u r i e r 频谱只是信号频率的统 计特性，没有局部化分析信号的功能：它虽然能将信号的时域和频域特征联系起来， 但却不能将它们有机地结合起来对信号进行分析，这样的方法只适合处理平稳信 号，无法处理非平稳信号。 g a b o r 变换【2 1 在一定程度上克服了f 0 u r i e r 变换不具有局部化分析能力的问题。 但也存在着一些缺陷：g a b o r 变换的时频窗口的形状一旦选定就是不可改变的，即 不能根据待分析信号频率的变化而改变分辨率：g a b o r 变换的品质因数q 是随x 变 化而变化的，所以它不能准确反映信号的特性：g a b o r 变换所得结果受窗口函数的 影响，有一定的失真：无论x 和s 如何离散化，g c ( x ) ，s ( t ) 都不能形成三2 ( r ) 上的正 交基”。 与f o u r i e r 变换、窗口f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 相比，小波变换是一个时 间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算 功能对函数或信号进行多尺度细化分析，当a 值较小时，时轴上观察范围小，而在 频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细致观察：当a 值 电子科技大学硕士学位论文 较大时，时轴上观察范围大，而在频域上相当于用较低频小波做概貌观察，很符合 实际工作的需要，从根本上克服了f o u r i e r 分析只能以单个变量描述信号的缺陷， 解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题，小波变换被誉为“数学显微镜”。 目前，小波分析已经成功的应用于信号处理，语音分析，模式识别，数据压 缩，地震勘探，c t 成像，数字水印，天文学，计算机视觉，分形，湍流等等。由 小波分析带来的高新技术成果迅速增加，其研究正向纵向发展。 1 1小波的发展历程 小波分析，也称为多分辨分析，是建立在泛函分析，f o u r i e r 分析，样条分析 于调和分析基础上的新的信号分析处理工具，具有很强的应用性。 任何理论的提出和发现都有一个漫长的准备过程，小波分析也不例外。1 9 l o 年h a r r 提出了小波规范正交基，这是最早的小波基【3 】，当时并没有出现“小波” 这个词；七十年代，a c a l d e r o n 表示定理的发现、h a r d y 空间的原子分解和无条 件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且j 0 s t r o m b e r g 还构 造了历史上非常类似于现在的小波基，为小波分析奠定了基础。 1 9 8 1 年，法国从事石油信号处理的工程师j m o r l e t 在分析地质数据时基于群 论首先提出了小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 这一概念，建立了以他名字命名的 m o r l e t 的小波；1 9 8 5 年，法国大数学家m e y e r 首次提出光滑的小波正交基，后被 称为m e y e r 基，对小波的理论作出了重要贡献。1 9 8 7 年，m e y e r 和m a l l a t 建立了 多分辨分析，给出了构造正交小波基一般方法，因为在此之前人们构造的正交小 波基都带有高度技术性和不可模仿性。多分辨分析概念是小波理论最基本的概念 之一。1 9 8 8 年，年轻的数学家d a u b e c h i e s 提出可具有紧支集光滑正交小波 基一d a u b e c h i e s 基为小波应用研究增添了催化剂，因此d a u b e c h i e s 名 扬天下。其中，文献 4 被认为是小波分析的经典的纲领性著作。后来，m a l l a t 受 金字塔算法口1 的启发，以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算 法m a l l a t 算法( f w t ) 口 ，这是小波理论突破性的成果，其作用和地位相 当于f o u r i e r 分析中f f t 。m a l l a t 算法的提出宣告小波从理论研究走向宽广的应 用研究。现在人们借助d a u b e c h ie s 基和m a l l a t 算法可以进行广泛的研究。1 9 8 8 年，a r n e o d o 和g r a s s e a u 等人将小波变换运用到混沌动力学和分形理论以研究湍 流和分形生长现象。1 9 9 0 年，崔锦泰和王建中构造了基于样条函数的所谓单正交 小波。 第一章绪论 1 9 8 8 年，d u a b e c h i e s 等人证明了除了h a r r 小波外，不存在具有对称系数( 对 应于滤波器的线性相位性质) 的标量正交小波变换，为了保证在正交的意义下保 持系数的对称性，2 0 世纪9 0 年代初期，人们将标量小波推广到矢量空间上。由矢 量函数中( r ) = ( f ) ，竹( r ) ，竹一。( 0 r 可以生成矢量小波( 多小波) 甲o ) = 【p ) ，妒，。0 ) r 。多小波”1 同时具有正交性，短支撑性，消失矩等性 质，这些性质在信号处理诸多领域中的应用是十分重要的。 为了进一步提高小波的计算速度，简化小波实现难度以及克服常见的小波基 函数不能无损表示信息的弊端，s w e l d e n s 在1 9 9 5 年系统的提出了通过矩阵的提 升格式来研究完全重构滤波器，从而建立了称之为第二代小波变换【5 的框架体系。 另外，为了避免实系数小波不具有平移不变性以及方向性能差等缺陷，k i n g s b u r y 等在1 9 9 9 年对复数小波进行了研究并在图像去噪等方面获得成功。同时，为了 克服经典小波在二维或高维奇异性达不到的缺陷，c a n d 6 s 和d o n o h o 等人在1 9 9 9 年提出了脊波( r i d g e l e t ) 和曲波( c u r v e l e t ) 理论【5 】。 可以看到小波分析发展到今天，其理论已经相当丰富了，但是我们也要客观 的认识小波，不要以为它是包打天下的有效工具。( 1 ) 除了一维小波理论比较成 熟外，高维小波，向量小波的理论还远非人们所期待的那样，还有很多问题需要 我们解决；( 2 ) 第二带小波，多小波，脊波、曲波的研究才刚刚开始需要我们去 研究： ( 3 ) 需要在应用方面提出更多的研究课题，使小波应用的深度和广度得到 进一步提高。 1 2 小波分析的基本思想、基本原理和基本方法 从数学的角度看，小波实际上是在特定的空间按照称之为小波的基函数( 通 常具有鲜明的物理意义) 对数学表达式的展开与逼近，作为快速高效、高精度的 近似方法，小波理论构成调和分析领域中f o u r i e r 分析的重要发展。与f o u r i e r 变换由三角基函数构成相比，小波基函数大多为具有快速衰减、充分光滑、能量 主要集中在一个局部区域的函数y ( z ) 经过伸缩与平移得到的函数集 m ” f ，( 讲一6 ) ， 其中6 起到平移作用， 辨的特性) 。 而口为伸缩因子( 4 作为一种尺度在变换时产生多分 若矿( r ) 满足允许小波条件吒【眦国 厂( 2 7 ( x 一_ j ) ) k = 厂( 2 7 x 一2 一七) j ，( x 一2 一t ) 定理2 1 【6 】：j 妒k ，使得 伊o 一) i 七z ) 构成k 的规范正交基，即 f l ，七= 撑 ( 妒( x 一七) ，妒( x 一行) ) 。屯2 o 后珂； 【 其中：贴) 2 去旧鼬+ 2 础炒“2 如) j 、，厶矿il e zj 可以证明：若j 妒k ，使得 矿0 一七) l 七z ) 构成的规范正交基，则： 2 以p ( 2 x 一i ) i _ j z ) 构成矿，的规范正交基。 妒。( x ) = 2 以妒( 2 7 x 一_ j ) ，为尺度，为平移。 2 2 3m r a 明确了矿的结构 由于是_ + ，中的子空间，j ，使得 0 20o 巧上彤 = 巧1 ( 巧。在巧中的正交补) 。 由第一个式子：v ，e _ + 。厂= z + 左，五巧，五 由第二个式子：“，正) = o ，w 巧，厶，于是称称为小波空间，称 为尺度空间。 再由第一个式子可得 电子科技大学硕士学位论文 繁j _ 一 故 由于： 而亡巧+ l ， 巧+ - = 巧o = 一一，o 髟一t o 一。曼，吸女= h l “ 即构成r ( r ) 。 r ( r ) 2 是，彬上( j ) 可以推得： 彬上( f 力 2 2 4 小波空间的性质： 再3 v | j 上+ 1 i 平移不变性：w ( x ) j w o 一七) ； 2 伸缩性：以功甘w ( 2 x ) 磁； 也就是说由所决定。 考虑：当给定妒时，是否一定j y ，使得 妒 一后) l _ j z ) 构成的规范正 交基。 假设当给定妒时，j y ，使得 y 一后) i z ) 构成的正交基，称y 为正 交小波。则的规范正交基为 妒”i _ ，七z ) 小波基，其中 y ，i ( 曲= 2 7 2 缈( 2 7 x 一_ i ) ； 由r 2 是得，r 的规范正交基为 ，t i 工七z ) ，即：v 厂r ( r ) ， ，= ( 。) 矿，。( x ) ， j t 有如下关系 _ = s p a i l 妒m ( x ) l 七z ) ， = s p a n m ( 工) i 后z ) ， 巧上j ( 膨纺) = o v t ，七z ； 一上( j _ ) ： 2 2 5 m r a 所确定的数字滤波器 在 f r a 中，双尺度方程 第二章小波分析的基本理论 f 矿( 功= 嚏妒( 2 x 一曲 i y ( 曲= 甑烈2 x 一_ j ) lt 起着关键的作用。 由妒亡k ，得伊( x ) = 嚏烈2 z 一七) 即 妒( 莉 魄妒( x 一 对两边作f o u r i e r 燹抉 妒( 2 国) = ( ) 妒( 缈) 其中，顶妫= 去嚏e 一“，可以看到日( ) 是低通滤波器的频域表现，它在频域中 的低通滤波效果是通过时域中的离散卷积魄妒( 2 x 一) 来实现的，玩) 是低通数 字滤波器。 由上式得： ；( ) = 日( 争；( 争= 日( 争日呼) ；9 一= 尊h ( 拳) 参( o ) 因此，由上有：伊( 0 ) = h ( 0 ) 妒( 0 ) 故日( o ) = 1( 2 一1 ) 由于 伊o 一j ) 七z 构成的规范正交基 = 1 月。( ) 1 2 + 1 月。( + 万) 1 2 = 1 ( 2 2 ) 由于要求妒c k ，所以( 曲= 繇妒( 2 z 一七) ，则矿) = 妒。一i ) 。 对两边作f o u r i e r 变换： p ( 国) = g ( 争( 等) 其中g ( 曲= 去p 1 “， 岛 是高通滤波器。 又因为k = k 0 呒，k 上， 由k 上j 日) g ( 国) + 日向+ 万) g + 万) = 0 ( 2 3 ) 由妙( x 一七) i _ i z j 构成的规范正交基，得 = ，i g ( 曲) 1 2 + l g ( m + 万) 1 2 = l ( 2 4 ) 因此，由( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 、( 2 4 ) 可得，若移，妒 使得： 妒，且 p 0 一后) i _ i z ) 构成的规范正交基， e ，且渺 一七) l 七z ) 构成的规范正交基， 电子科技大学硕士学位论文 和上成立的必要条件为 日( 0 ) = l 1 月( ) 1 2 + 1 月( 山+ 石) 1 2 = 1 i g ( ) 1 2 + l g ( 国+ 石) 1 2 = 1 日( 国) _ 夏面+ 日( + 7 r ) 否五i ：两= o 取g ( 国) = 丽而孓。铮= ( 一1 ) 瓦， 则必要条件变为： f日( o ) = 1 1 1 日( 国) 1 2 + h ( 国+ 丌) 1 2 = 1 因此：日( m ) ： 吃) j 少( 砷。所以，m r a 为构造小波提供了一个统一框架。 2 3 m a i l a t 分解与重构算法 多分辨分析理论为人们讨论信号的局部信息提供了一个相当直观的框架。这 一点在非平稳信号中的作用尤为重要，因为非平稳信号的频率随时间而变化，这 种变化可以分为慢变和快变两部分。慢变部分对应于非平稳信号的低频部分，代 表信号的主要轮廓；而快变部分对应于信号的高频信息，表示的信号的细节。上 述结论对于图像而言仍然成立，即任何一幅图像都可以分成两部分：低频( 主体 信息) 和高频( 细节纹理) 。为了将信息的缓变( 低频) 与快变( 高频) 部分分开 处理，这就是m a l l a t 算法。 m a l l a t 算法的基本思想可以归纳如下：设日，厂为能量有限信号厂r ( r ) 在分 辨率2 广f 的近似，则h ，厂可以进一步分解为厂在分辨率2 h 下的近似h 。厂( 通过 低通滤波器得到) ，以及位于分辨率2 与2 ，之间的细节d 。厂( 通过高通滤波器 得到) 之和，其分解过程如图2 2 所示f ”。 h 低频分解 h 4 d j f弋= 弋 图2 2 信号的不同频率分解图 h f d “ 第二章小波分析的基本理论 2 3 1 正交小波分解与重构 由2 1 可知， 巧 是r ( r ) 的一个多分辨分析，伊是尺度函数，y 是小波函数。 由巧+ ，= 巧o 可得，对任意正整数和m ，有 = 一。o 。= 一，o 一：o o 一o 一。 从而，b ，有惟一的分解，即 厶= 厶q + w 一l = w 一l + w 2 + + w 州+ 厶州 其中，正巧，吩哆 巧，叶，它们有惟一的级数表示，即 蒜黧 f ( x ) = 酬y 似( x ) 2 i d ，= 酬) ，2 ( z ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 由。= 乃+ 叶得 + 。( x ) = “纺m ( x ) = 纺。( z ) + 耀吩，。( x ) ( 2 7 ) 从而 ”= 一 + 彰 经计算可得m a l l a t 分解算法 f = 矿1 巧。 兰 ( 2 8 ) l 酬= 一“辱。 重构算法 其中， 吃) 和 ) 由两尺度方程给出，凰= ( 一1 ) 石。是爿“的近似信号，酬 电子科技大学硕士学位论文 是d “细节信号。 事实上，m a l l a t 分解算法相当于先把输入信号通过滤波器 k ( 或 重。) ) ， 再对滤波器输出进行抽样，取其偶数部分。此时，获得信号的分辨率是原始信号 的l 2 。 m a l l a t 重构算法相当于先对近似信号进行上采样，再分别通过滤波器像) 和 既 ，最后把滤波器输出相加。 在m a l l a t 算法中，( i + ，吾+ ) 用作分解滤波器；( 自，g ) 用作重构滤波器。 小波分解与重构的二通道滤波器组图形2 2 表示如下： c j “ 图2 3 一维信号的小波滤波 2 3 2 二维小波分解与重构算法 c j + 将一维小波变换推广到二维小波变换空间，只需分别在x 方向y 方向上进行 一次一维小波变换。 根据一维空间口似) 中多分辨分析空间一构造r ( r 2 ) 中的多分辨分析空间口 满足哆= o 巧，其中。表示予空间的张量积。考虑可分离的二维尺度函数 妒( x ，) ，) 满足 妒( x ，y ) = 妒( 功妒( y ) 于是孵的正交基为 2 垃妒( 2 。x 一聊，2 。x 一功= 2 。7 2 妒( 2 。x 一肿z ) 2 7 2 妒( 2 x 一 ) 由此可得以下定理。 定理2 2 嘲令 砰，e z ) 是口( r 2 ) 中的可分离多分辨分析空间，并令 妒( x ，y ) = 伊( x ) 妒) 是相应的二维尺度函数，y ( x ) 是一维小波函数。定义下列二维 小波 妒1 ，y ) = 妒 ) 妒( y ) 2 ( x ，y ) = 妒( x ) 妒( y ) 妒( x ，y ) = y ( x ) y ( y ) 第二章小波分析的基本理论 到 2 7 2 p 1 ( 2 x 一掰，2 7 x 一砷，2 7 豫y 2 ( 2 茁一研，算一胛) ， 2 7 2 妒3 ( 2 。x 一搬，2 。x 一片) ；磁，栉z ) 构成r ( 贾2 ) 的标准正交基。 剥用定理2 2 ，采恩粼姨一缎瓶l l 越算法的撩导，则夺 c ：，。一不：。瓦。c 群：，。曩：。磊。拶 竺 一 ( 2 1 0 ) 剧，。= 夏m 五。c 秽 、 y ：，。= 萄咖磊。c 甜 藕寂静，黧构算法就是将j 尺度上的4 组数据滚复出，+ l 尺度上酌数据。即 础= 。氏。+ 略k 。器m 每，毛墨岛 + 懿g 卅。，魂越+ 理i 孙。晶m ( 2 一1 1 ) 南，南，吒 2 4 小波理论在数字水印中应用 小波分析的应用研究怒与小波分析的理论研究紧密结合在一趣的。目前，它 己在科技馈愚产业颁域取褥了令人疆基斡威赣。应髑范围主要包捂：数学镁域、信 号分析、图像处理、量子力学、军缮领域、音乐与语言的人工合成、故障诊断等。 在小波分板的诲多应鹰中，郡可以羟续海信号处理闫题( 图像可以看佟是二维 信号) 。作为信号处理问题之一的数字水印技术，小波变换在其水印隐藏及检测中 有羲重要成用。 一幅圈可看成一个二维的数字信号，从m a l l a t 快速算法可看出，如果从数字 滤波的角度来看，戏( 2 一l o ) 和式( 2 一1 1 ) 所撼述的二维小波分勰和羹槐过程霹用图 2 3 来示意。图中下表x 表示对二维信号沿行方向滤波，下标y 表示对信号沿列方 向滤波。 由于h 具有低遇性质，g 具有离通性质，若将初始输入信号看作一个二维离散 信号的话则一次分勰后所褥到的腰部分输 姓分别经过了不阀的滤波器，代液了原 始信号的不同信息。其中，l l 经过行和剜蕊个方向的低通，对应了原始离敝图像 在下一个尺度上的概貌：h l 经过了行方向上的高通，列方向上的低遵，对应予水平 电子科技大学硕士学位论文 方向的细节信号在垂直方向的概貌。相应地，l h 表示的是原始图像垂直方向的细 节信号在水平方向的概貌： 1 i 表示的是沿对角线方向的细节m 1 。 l l l l 列行 田田一二：匝h 互丌匝一岫 l 互) 田一隅 团 表示每两行中取一行 团 表示每两列中取一列 ( a ) 二维小波分解 ：! ：习表示每两行中插入一行 田 表示每两列中插入一列 ( 风( n ) ，g o ( n ) 分别为低通和带通滤波器) ( b ) 二维小波重构 阁2 4二维小波分解和重构图示 一l l l + 一h l i + - l h i + h h i 第二章小波分析的基本理论 ( a ) 原始图像( b ) 一级小波分解系数 图2 5图像二维小波分解图 电子科技大学硕士学位论文 第三章基于小波变换的数字水印算法 近年来，随着小波理论的日趋完善，小波应用范围越来越广泛。其中，基于 小波变换的数字水印就是一个热点，它比传统的加密和基于离散余弦变换的算法 更有优势。 以i n t e r n e t 为标志的网络时代的到来和以电子商务为代表的网络经济的兴 起，网络信息安全问题也日益突出，如何有效的保护这些数据成为当前研究的热 门之一。传统的加密系统口1 在数据传输过程中虽有保护作用，但数据旦被接收 并解密，其保护作用也随之消失因此只能满足有限的要求而数字水印技术是国 际上最新的门信息隐藏技术，是对传统加密技术的有效补充，就是将数字、序 列号、文字、图像标志等版权信息嵌入到多媒体数据中，以起到版权跟踪及版权 保护的作用。除此之外，数字水印还在真伪鉴别、隐蔽通信、标志隐含、电子身 份认证等方而具有重要的应用价值，研究预示着数字水印具有巨大酊广阔的应用 前景，并已引起学术界、工业界和军方的广泛关注。 3 1小波变换和数字图像处理 小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，它是继1 8 2 2 年法国人f c ，u r i e r 提出f 0 u r i e r 变换后的又一里程碑式的发展，解决了很多f o u r i e r 变换不能解决 的困难问题。f o u r i e r 变换虽然己经广泛应用丁信号处理领域，较好地捕述了信号 的频率特性，取得了很多重要的成果，但f o u r i e r 变换却不能很好地解决突变信 号的问题。其根本原因在于f o u r i e r 是对整个时域上进行积分，是对整体的变换 而非对局部的变换，用f o u r i e r 变换解决这些问题的办法是使用加窗口的f o u r i e r 变换，而小波变换则是加窗口f o u r i e r 变换的进一步发展，它是( 空间) 时间和频 率的局部变换，其基本思想和f d u r i e r 变换一样都是将信号展开成一族基函数的 加权和，即可以用一族函数来表示或逼近信号或函数( 这一族函数是通过基本函数 的平移和伸缩构成的) 。 1 9 8 6 年，s m a l l a t 和y m e y e r 提出了多分辨率分析的概念，将以前所有 的正交小波基的构造统一了起来，使小波理论有了突破性进展。同时，在多分辨 率理论分析基础上sm a l l a t 给出了离散二维小波变换的算法，从此，小波分析被 率理论分析基础上sm a l l a t 给出了离散二维小波变换的算法，从此，小波分析被 第三章基于小波变换的数字水印算法 引入到数字图像处理中来。小波变换应用到数字图像处理中的基本思想就是把数 字图像进行多分辨率分解，分解成不同空间、不同频率的子图像，然后再根据各 个子图像的特点有针对性的进行处理。对小波系数处理是小波变换用于予图像处 理的核心。对一幅图像的三级小波分解示意如下： 4l 叫叫 珥i 聪 科 噬谚 d ；d ； 图3 1 图像的三级小波分解 每一级分解都把图像分解为四个频带：水平( h l ) 、垂直( l h ) 、对角( 咖) 和低 频( l l ) ，其中低频( l l ) 部分还可以进行下一级的分解，从而构成了小波的塔式分 解。一幅图像经过分解之后，图像的主要能量主要集中于低频部分，这也是视觉 重要部分：而图像的高频部分即图像的细节部分所含能量较少，分布在h l ，l h ，删 三个子图中，主要包含了原图的边缘和纹理部分信息。小波变换的这些性质为数 字图像的局部特性( 如边缘，纹理等) 提供了很好的空间一一尺度定位，同时由于 其多分辨率的表示，可以直接对图像进行分级处理，这一特性更可以实现水印的 渐进解码和传输。 3 2 数字水印的简介 数字水印是实现版权保护的有效办法，因此如今已成为多媒体信息安全研究 领域的一个热点，也是信息隐藏技术研究领域的重要分支。数字水印的概念最早 出现于1 9 9 4 年的图像处理会议上( i c i p 9 4 ) ，它是一种在数字图像信号中嵌入 其他数据的技术，该技术即是通过在原始数据中嵌入秘密信息一一数字水印 ( w a t e r a r k i n g ) 来证实数据的所有权。 电子科技大学硕士举位论文 3 。2 。 对数字水鞠鸯不同的分类嘲： 梭水印载钵分类：文本本印，图像水印，语音表印和视频水印。 按水印的用途分类：版权保护水印，图像认证水印，隐藏标志水印，防止复 印水印等。 按特性分类；鲁棒水印和易损水印。鲁棒性水印是一种抗攻击的数字水印术， 最大限度的防止非法使用者获取、消除嵌入的水印。目前对水印的簧棒性研究是 最多的，本文也主要讨论鲁棒性水印，易损承印，安全性就高的多，因为它只需 要防止非法用户获取水印、梭测图像被篡改。 按嵌入水印分类；空域、时域永印和变换域永印。直按在空域中对采样点的 幅度值做改变，嵌入水印信息的称为空域水印。对变换域中的系数傲改变叫变换 域水印。空域数字承印算法楚最早瓣出的东印算法之一，懑想简单，但是抗攻击 性能不是很好。变换域水印算法包括离散f o u r i e r 变换水日】算法，离散余弦水印 算法，小波交抉永印算法。本论文重点讨论蕊予枣波交换的数字水印算法。 按水印嵌入后的表现形式分：可见水印和不可见冰印，其中不可见水印又可称 为豫含永审，求窜倍息隐含在图像中，是不珂觅的，登须通过专门稳检测设备才 能提取。可见水印嵌入到图像中后怒可以直接看到的，关键的信息被可见水印遮 蔽，或者菲滚孺户完全不甏够萼冬承印去掉。 3 。2 ，2数字水如的基本要求f 1 0 。2 l ： 不可见一隧或隐蔽性：不易被察觉，不会引起原来图像质量下降，即看不至数字 水鼙的存在。 鲁棒性：即当被保护的信息经过某种改动后，比如在传输、压缩、滤波，图像 静咒侮交换懿平移、伸缩、旋转、蓠裁等怒疆下，数字承印不容易被破琢。两其 它的修改是破坏性的，会使水印丢失即在信息隐藏方厦，脆弱性水印同样要具有 较赢豹鲁捧髓，不稔让未授权方知遂承窜鹣凝律蠹容( 该文经蔫基予琢裰豹辫像置 乱技术作水印预处理的目的) ，否则别人可以随便篡改后再加入同样的水印，使其 霹戮逐菇法镣翡责任。 安全性：加入水印和检测水印的方法对没有授权的第三方是保密的而且不可 轻荔被破簿，瑟嫒被罴窖检测裂了墩不麓读蠢( 鼗字窳露嚣黉热密) 。 不可见性和稳健性是对数字水印的最基本要求，也是一对矛盾的两个因祭实 瑷墅像数字拳印数愈题是：在傺诞不改交蒙媲图像褫鳖感黯效果( 鄄不可炙髅) 缝 第三章基于小波变换的数字水印算法 前提下，实现的水印具有较好的稳健性和抗攻击性。 3 3 数字水印的基本原理 数子水印系统的设计包括水印的生成，嵌入和提取三部分。 3 3 1 水印生成【9 】 水印生成算法g 应保证水印的惟一性，有效性，不可逆性和图像相关性。水 印信号一般由伪随机数发生器生成，或一幅二值图像，或一幅灰度图像等。 3 3 2 水印嵌入【9 】 嵌入算法需考虑水印的不可见性和鲁棒性。嵌入过程把数字水印信号w - w ( k ) 嵌入到产品蜀= ( 七) 中，一般的水印嵌入规则可描述为 h ( _ j ) = ( _ j ) o ( ) o w ( 七) 其中。为某种叠加操作，h = f ( 丘) 称为水印嵌入掩码。最简单的水印嵌入算 法为 j 0 ( _ ) = ( 后) + c ￥w ( 七) ( 力法规贝) h ( t ) = ( 七) + 口( 后) w ( 七) ( 乘法规则) 变量x 指采样强度幅度( 空域时域) 或是变换系数大小( 变换域) 。根据对 水印的可察觉程度的不同要求，参数口在各种数据采样中可能不同。早期许多水 印嵌入算法都采用空域方法和加法规则，近年来，变换域算法得到了更多的研究。 3 3 3 水印检测 在应用伪随机序列噪声作为水印的情况下，水印检测方法通常采用如下假设 检验： 风：e = f 一f = ( 无水印) 且：e = f 一f = 矿+ ( 有水印) 其中，f 分别代表待测图像和原始图像中用来隐藏水印的像素或特征值：矿为 待测水印序列，矿+ = # ：为噪声由于嵌入水印的图像可能存在失真，从中所 检测到的水印也将在一定程度上与原始水印有所不同为了确定图像中是否含有 水印，需要计算缈+ 。 与矿的相似度 电子科技大学硕士学位论文 p ( 肜，矽) = # 葺、f ( # ) 2 ，一0yi = o 水印存在与否的判定标准为：若p ( 矿，矿) 丁，可以判定被测图像中有水印形 存在：否则，没有水印肜。这实际上是一个假设检验问题，丁通常为一门限，其选 择要同时考虑虚警概率和漏警概率丁减小，漏警概率降低而虚警概率提高：t 增 大，虚警概率降低而漏警概率提高所谓虚检( f a l s ep o s i t i v e ) 就是将没有水印信 号的数据误认为含有水印信号。所谓漏检( f a l s en e g a t i v e ) 就是未能从含有水印 信号的数据中检测到水印信号。在实际应用中，更注重对虚检概率的控制。 在一些应用场合下，水印的检测允许有原始图像的辅助而在另外一些场合 下，有可能无法得到原始图像通常，由于水印信号与原始图像信号相比弱得多， 没有原始图像相助的检测方法更加困难也就是说，借助原始图像，水印算法的抗 噪声稳健性能更好一些 在几何变换和几何失真的情况下，水印分量的同步问题也将使水印检测更加 复杂。 3 4 基于小波变换的数字水印 上一章我们讨论了小波变换中占有主导地位的多分辨分析。利用多分辨分析 的思想，我们处理数字图像的思想就是把数字图像进行多分辨分解，分解成不同 的空间、不同频率的子图像，然后在根据各个子图像的特点有针对性的进行处理。 对小波系数的处理是小波变换用于图像处理核心内容。一幅图经过一级小波变换 过后，被分为四个子图：逼近子图( l l l ) 和三个细节子图( h l l l h l h h l ) 。其中 逼近子图( l l l ) 还可进行下一