（应用数学专业论文）一些特殊2群的研究.pdf

一些特殊2 一群的研究 作者简介：许必才，男，3 1 岁，应用数学专业，现代数学及其应用方向，主要从事群论方 面的研究工作。 摘要 群的构造和性质是群论研究的主要课题，而对p 群的构造和性质的研究在 这个课题中起着重要的作用。在国内外，对p 一群的研究，群论学者都得出了不少 结论。如p h a l l 用“同倾族”这一概念，提出了口一群分类的一般思想；1 9 7 3 年， b r u c ew k i n g 给出了亚循环p 一群的分类等等，这些方法和结论都大大丰富了p 一 群的研究内容。但是，关于2 一群的研究在国内外得到的结果都较少，尤其是国内 的2 群方面的文章都鲜有所见。 本文主要以“2 群”为研究内容，综合分析和整理了2 群的研究成果，并对其 中的一些结论给出了自己的证明方法。本文主要分析了最大类2 群及其自同构 群；初步研究了二元生成导群循环的亚交换群，并证明了具有p 阶导群的二元生 成p 一群的一个性质；给出了由翁( g ) 决定2 群g 的构造的例子和几个结论。 关键词：亚循环p 一群；亚交换群：自同构群；最大类p - 群 s t u d y o ns o m e s p e c i a l2 - g r o u p a b s t r a c t t h es t r u c t u r ea n d p r o p e r t i e s o f g r o u p a r e i m p o r t a n to b j e c t s f o r r e s e a r c h i n gi nt h et h e o r yo fg r o u p s a n ds t u d yo ft h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e s f o rp g r o u p sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h er e s e a r c hf i e l da th o m ea n da b r o a d g r o u p - r e s e a r c h e r so b t a i n e ds o m ec o n c l u s i o n sf o rs t u d yo fp g r o u p ss u c ha s p h a l ip r e s e n t e dt h ec l a s s i f i c a t i o ni d e ao fp g r o u p sw i t hi s o c l i n i cf a r a l l y , b r u c e w k i n go b t a i n e dt h ec l a s s i f i c a t i o no fm e t a c y c l i cp g r o u pi n19 7 3a n ds oo n a t h e s ec o n c l u s i o n se n r i c h e dt h er e s e a r c h e so ft h ef i e l do fp g r o u p s t h u ss t u d y o f2 - g r o u ph a sf e wc o n c l u s i o n sa th o m ea n da b r o a d e s p e c i a l l yi nd o m e s t i c 1 nt h i sp a p e r , w i t hat h e m eo f2 - g r o u p 1 h ea u t h o rc l e a n e du pa n da n a l y z e d t h ec o n c l u s i o n so f2 一g r o u p sa n do b t a i n e do w np r o o ff o rs o m ec o n c l u s i o n s i n t h i sp a p e rt h ea u t h o rr e s e a r c h e da n da n a l y z e dm a x i m a lc l a s sp g r o u pa n di t s a u t o m o r p h i s mg r o u p s ；i n i t i a l l ys t u d i e das p e c i a lm e t a b e l i a np - g r o u pw h i c hi s g e n e r a t e db yt w o e l e m e n t sa n dw i t hc y c l i cc o m m u t a t o rs u b g r o u pa n dp r o v e da c o n c l u s i o no f p g r o u p w h i c hi s g e n e r a t e db yt w o e l e m e n t sa n dw i t h c o m m u t a t o rs u b g r o u po fo r d e rp ：d r a w e ds o m ec o n c l u s i o n so f2 一g r o u pw h i c h q 3 ( g ) h a ss p e c i a ls t r u c t u r e k e y w o r d s ：m e t a c y c l i cp - 伊o u p s m e t a b e l i a ng r o u p s a u t o m o 砌s mp - g r o u p sw i m m a x i m a ln i l p o t e n tc l a s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑堡王太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者导师签名：皴 学位论文作者签名。 掩串介 0 年f 月“、日 ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛叠理王太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛都堡至太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：诤喀砑 乱年 6rf b 第一章引言 1 1 序言 第一章引言 群论是现代数学的基础，它对数学的许多分支以及其他学科如理论物理， 量子力学，量子化学，结晶学，计算机科学等都有深刻的影响和广泛的应用。 a c a y l e y 在给出了抽象群的公理化定义以后，于1 8 7 8 年明确地提出了 对于一般的n 阶有限群的同构分类问题。和循环群以及交换群的情形迥然不 同，人们发现这个问题是惊人的复杂和困难。经过数百名科学家数十年的艰 苦努力，今天我们已经解决了有限单群的同构分类问题。但距离解决c a y l c y 提出的一般有限群的分类还十分遥远。尽管如此，近百年来，我们总算得到 了若干具有具体意义的有限群的构造定理，诸如直积分解定理，关于h a l l 子 群的存在性和共轭性问题的s c h u r - z a s s e n h a n s 定理以及s c h r e i e r 群扩张理论 等。它们为解决有限群的同构分类问题指出了方向并勾画了粗糙的轮廓，而 且对有限群的整个理论来说都具有基本的意义。 1 2 本课题的研究背景 对有限群的研究，主要目标是确定其结构。研究有限群的结构主要有 两种途径。其一是先决定有限单群，再应用群扩张理论由给定的合成因子决 定群的方法，这方面已经取得了较大成就。例如亚循环群的同构分类被成功 解决就是这方面典型的例子( b c - b a s m a j i ，1 9 6 9 ) 。国内群论专家徐明曜在该 问题上也作出了研究，得到了亚循环p 群的完全分类( ac l a s s i f i c a t i o no f m e t a c y c l i c p g r o u p s ，1 9 9 0 ) ，这其中的简单情形就是亚循环2 群。我们知道， 亚循环群是循环群被循环群的扩张，虽然亚循环2 群的构造问题解决了，如 果将条件放宽为循环群被交换群的扩张，则闯题就交锝复杂了，即使对于导 群为循环群的二元生有限2 群，其构造问题至今仍是一个未解决的问题。研 究有限群结构的第二种途径是试图决定所有的有限p 群，然后设法造出以给 定的p 群为s y l o w 子群的有限群。这种方法成功的例子就是对s y l o w 子群皆 成都理工大学硕士学位论文 循环的有限群的研究，得到了这样的结果：若群本身是交换群，则其循环； 若群本身不交换则其必是亚循环群，因此，这种群的结构问题得到了解决。 但这种方法成功的例子很少，这一方面的原因是s y l o w 子群对群结构的影响 目前还知之甚少，另一方面是p 一群结构的复杂性。但是，对p 一群的研究仍然 是众多群论学者的研究方向。目前，对于阶群g ，当1 ”7 时，g 的结 构已经确定，但是离最终问题的解决还有很长的路要走。 另外，研究有限群的自同构群可以从一个侧面了解群本身的某些性质。 研究给定群的自同构群和确定具有以给定群作为自同构群的有限群的结构 是有限群研究中的热点问题，这其中对p 群的自同构群的研究在国内外都有 不少的结果。 1 9 8 9 年，c u r r a n 在国际群论会议上提出了关于口群作为自同构群的如下 三个猜想： ( 1 ) 不存在群g 使得i g = i a u t ( g ) i = p 6 。 ( 2 ) 当p ；l ( m o d 3 ) 时，p - 群作为有限群的自同构群的最小阶为p 7 。 ( 3 ) 3 - 群作为有限群的白同构群的最小阶是3 9 。 这一猜想被国内的群论专家班桂宁解决，并且，以班桂宁为首的群 论学者还解决了从p 4 跏6 阶群的若干家族的自同构群的阶的问题。但是 其中没有涉及到p = 2 的情形，因此对于2 群的自同构群的研究目前结论 还不多。 齐j t 2 一群的研究，其子群q 。( g ) ： 对群的结构具有很强的 影响。例如，q 2 ( g ) 是亚循环群，则g 本身也是亚循环群( n b l a c k b u r n ) 。如果q n ( g ) 具有某种结构，则g 的结构能够被确定。这种特殊的2 群也是研究的热点。 由于s y l o w 定理的成立，p 一群的研究在有限群理论中具有特殊的意义。早在 3 0 年代末霍尔关于p 一群的重要论文刚发表不久，国内群论专家段学复就开始了 这方面的研究。他与华罗庚合作研究了含有指数为p ( p 2 ) 的循环子群的p 群，给出了有关的计数定理，并对这种群作了完全分类，其结果用英文发表。在 此基础上，华罗庚进行推广，引进了p 群的秩( 即p 一群中包含的最大循环子群 第一章引言 的指数) 和伪基底的概念，证明了任意奇数阶p 群必有伪基底，并证明了循环子 群的个数的米勒定理的推广等计数定理。段学复运用华罗庚的上述结果，通过精 细的分析计算，对于奇数阶p 群中子群个数的库拉考夫定理进行了推广，证明了 p ”阶秩a 的p 群中p ”阶子群的个数n ( m ) m o d ( p 3 ) 当2a + 1 s m ! i 1 时必为 1 ，1 十p ，1 十p 十p 2 或1 十p 十2 p 2 之一。这方面后来有很多外国尤其是 苏联的数学家进行研究，至今仍然吸引着研究者的注意。段学复还对华罗庚的伪 基底定理给出了一个更加简明的证明。 从8 0 年代初起，段学复和王萼芳的学生徐明曜、唐守文等人在上述几篇论 文的思想指引下和发展中进行工作，在p 一群的幂结构和换位子结构之间的联系上 取得了研究成果。唐守文继续段学复1 9 3 9 年对于具有循环f r a t t i n i 子群的有限 p 群的工作，最终给出了这类p 群的一个完全分类。 段学复在关于p 一群的一个定理中，利用换位元素的运算法则证明了：若 p 群g 包含一个最大交换正规子群a 且g a 为循环群，则a z - - - - - k ，其中z 是g 的中心而k 是g 的换位子群。对于g 的上、下中心群列中相应的子群，他 也证明了存在相应的同构。这项工作为一些中外学者所引用。另外，徐明曜在亚 循环p 群特别是亚循环2 群的研究上也得到了一些重要的结果。 在p 群的自同构群研究方面，班桂宁解决了c u r r a n 猜想，并且在p i 群的自 同构群的研究方面得到了不少的结果。而在2 群的研究方面，国内的研究结果还 比较少。 国外方面，关于2 群的研究结果比较丰富。有从2 群的自同构群方面研究 2 群的，得到了一些阶不整除其自同构群的阶的2 群的例子。也有通过对2 群的 子群q 。( g ) 作限制从而得到群结构的结果，所有这些结论都大大丰富了p 群的研 究成果。 3 成都理工大学硕士学位论文 第二章群及p 群的基本概念与结论 2 1关于群的基本概念与结论 定义2 1 1 集合g 称为一个群，若g 中定义了_ 一个二元运算，叫做乘法， 它满足： ( 1 ) 结合律：( a b ) c = a ( b c ) ，v a ，b ，c g ； ( 2 ) 存在单位元素：3 1 g ，使1 a = 口1 = av a g ； ( 3 ) 存在逆元素：v a g ，3 a - 1 g ，使得a c l 一= a - l a = 1 。 若群g 中元素个数( 称为g 的阶，记为i g i ) 有限，则g 称为有限群，否则 称为无限群。若g 中乘法运算满足交换律，即v a ，b g ，a b = b a ，则称g 为交换 群或a b e l 群。 定义2 1 2 群g 的非空子集h 称为g 的子群，若h 对于g 的乘法运算成 群，记为日g 。设s 是群g 的子集，若记p ) 为所有包含s 的子群的交，则称 ( s ) 为由s 生成的子群；若s = a ) ，则( s ) = 0 ) 称为由a 生成的循环群。若日s g ， 称h a = 1 l a l h h 为子群h 的右陪集。同理，我们可以定义左陪集a h 。有限群 g 可以表示为若干h 的右陪集的并，即g = 如u u u 胁，其中r 称为子 群h 在g 中的指数，记为i g ：h i 。 定理2 1 1 嘲( l a g r a n g e ) 设g 是有限群，贝, j i g i = f g ：日l 1 日i 。 定义2 i 3g 是群，a g ，若有最小正数m ，使矿= l ，则1 1 1 称为a 的阶， 记为o ( a ) ，若g 中所有元素的阶存在最小公倍数n ，则n 称为g 的方次数，记为 e x p g 。 4 第二章群及p 群的摹本概念与结论 方次数对群的结构有较显著的影响，例如： 定理2 1 2 若e x p g = 2 ，则g 为交换群。 证明：v 如g ，由e x p g - - - - 2 ，则( a b ) 2 = a 2 b 2 = 1 ，故a b = b a ，即证。 定义2 1 4 称群g 到群g i 的映射口为同态映射，若( 西广= 矿扩，v a ，b g 。 若口是一一映射，则a 称为同构映射，这时记g 兰g 1 。g 到自身的同态映射的集 合记为e n d ( g ) ，g 到自身的同构映射的集合记为a u t ( g ) ，则a u t ( g ) 按映射的乘 法成群，称为g 的自同构群。v g g ，由g 诱导的g 的自同构盯国) ： 矿s = g - 1 a g ，称为g 的内自同构，g 的内自同构的集合i n n ( g ) 是a u ( g ) 的子群。 定义2 1 5 称群g 的子群h 为g 的特征子群，若h 8 = h ，v a a u t ( g ) ； 称群g 的子群h 为g 的全不变子群，若h 4 = h ，v 口e n d ( c ) ； 称群g 的子群h 为g 的正规子群，若h 7 = h ，v y i r m ( g ) ，记为日 g ，若 g 仅有1 及g 为正规子群，则g 称为单群。 定义2 1 6 若日9 7 ，则h 的陪集集合按运算：( h s ) ( 峨) = h a ，成为一个 群，称为g 对h 的商群，记为6 h 。 定义2 1 7 g 为群，v 柚g ，称【口，6 】= 口- 1 b 。曲为元素a 与b 的换位子， g = ( 【口，6 】k 6 g ) 称为g 的换位子群或导群。设g 。= g ，g 2 g 一1 ) ，称群 列g = g 。g g lg 7 l 为群g 的导群列。若存在正整数n ，使g ”= 1 ， 则称g 为可解群，此时称n 为g 的导列长，记为k ( g ) 。 关于换位子与换位子群，还有更一般的定义，称h ，呜lq 】= 【q ，吒l 。1 ，吒 为q ，0 2 l 的换位子，而 f 4 ，4 l4 】 k ，呸l 】k 4 ) 称为4 ，4 l4 的换位子群，很显然， g = 【g ，g 】a 若记瓯，= 【q ，g 】，g 1 = g ，则群列g = g 1 2g 2 g 3 lq l 称 为g 的下中心群列。 5 成都理工大学硕上学位论文 定理2 1 3 g 是群，口，6 g ，且【以b e z ( g ) ，n e z + ，则 口”，6 = 【口，6 r 。 证明：n = l 时，结论成立，设”= 后时，结论成立，即 矿，6 = 【口6 l n = k 4 - 1 时， a k + l ，b = d 一+ 1 b 一1 口+ 1 b = 口- ( k + 1 ) b 。1 扩b a a ，b 】 = 口。1 ( 口一b 。d 6 ) 口 口，b 】 = 口。6 口b 纠 = 口。1 口，6 】a o ，b 】 = 【吼6 r 由归纳法知，结论成立。 定理2 1 4 设g 是群，则是交换群；且若多，则是交换群 营n g 。 证明：( 必要性) 若是交换群，则v 以6 g ，有a n b n = b o a b n = b a n ，由此可得：( 6 ) 一1 a b = 口，b 】n i i i j g n 。 ( 充分性) 若n g 。v a ，b g ，则( 州) 1 ( w ) - 1 ( 州) ( 6 ) = 口“b1 a b n 。 而a - l b - l a b g ，故( 堋一1 ( 6 ) 一1 ( 口) ( 6 r ) = ，即得是交换群。 特别地，若取= g ，则可得是交换群。 在讨论群的性质及结构的时候，西洛定理起着举足轻重的作用。 定理2 1 5 若g 是有限群，p 是素数，设ij g i ，但p ”1 ，蚓，则g 中必 存在矿阶子群，叫做g 的西洛p 一子群；g 中西洛p 一子群的个数i i g l ，且 l i p ；1 ( 历d 咖) ：g 中任二西洛p 一子群在g 中共轭。 推论：若素数p0 g l ，则群g 必有p 阶元。 定义2 1 8 若g 中任意元之阶为素数p 的方幂，则g 称为p 一群。 6 第二章群及p 群的基本概念与结论 定理2 i 6 g 是有限p 一群铮l g | _ p ”。 证明：“j ”g 是有限p 一群，若i g l p “，即存在素数钏g | ，则由定理2 4 的推论，g 有g 阶元，这与g 为p 一群矛盾。 “仁”若i g l - p ”，则g ，为l a g r a n g e 定理，a 生成的循环群 的阶 必为p 的方幂，即a 的阶为p 方幂，即证。 定义2 i 9 设乙( g ) 乙一。( g ) = z ( g 乙一。g ) ，z 0 ( g ) = 1 ，则z g g ) = z ( g ) ，则 群列1 = 乙( g ) z l ( g ) l 乙( g ) l 称为群g 的上中心群列 定义2 1 1 0 设【墨，g 】k 。k = g ，则群列g = 蜀l 墨+ = 1 称为 群g 的中心群列。s 称为中心群列的长度，存在中心群列的群称为幂零群。 定理2 1 7 嗍有限p 一群g 是幂零群，从而也是可解群，而且g 的上中心 群列止于g ，下中心群列止于1 ，并且上、下中心群列有相同的长度c ，c 称为g 的幂零类，记为c ( g ) 。 定义2 i 1 1 设g 是有限群，咖( g ) 是g 的所有极大于群的交，则庐( g ) 称为 g 的f r a t t i n i 子群。 定理2 1 8 3 1 有限群g 幂零铮g 毋( g ) 。 在有限p 一群的研究中，下面两种子群对群本身的结构有较大影响。 定义2 1 1 2 设g 是有限，一群，证( g ) = g f g ，= 1 ) ，g ( g ) = ( ( g ) ) ； v ，( g ) = 9 9 。k g ) ，j ，( g ) = ( v ，( g ) ) 。群列1 = 瓯( g ) q 。( g ) l j 。( g ) = l ，称为g 的上、下幂群列，其中p 。= e x p g ， e = e ( g ) 称为g 的幂指数。 定理2 i 9 州设g 是有限p 一群，则妒( g ) = g ，j 。( g ) ，f f g ( g ) 是初等交 换p 一群。并且若 1 证明( 一) ：设g 的共轭类分解式为：g = c l uc 2 w lv c , ，其中c l = 1 。 则类方程为i g i = 1 + i g d + i c , i + li c l 且| c i i i g i ，2 1 。 定理2 1 1 3 t 3 1 设g 是有限p 一群， ! g ，且f i = p 1 ，则互( g ) ，特别地 r z ( g ) 。 定义2 1 1 4g 是有限p - 群，定义p ”们= t g j ，( g ) i ，则d ( g ) 似g ) 。 在有限p 一群的研究中，有限p - 群的导群列，上、下中心群列，上、下幂群 列，这五个群列以及导列长k = k ( g ) ，幂零类长c = c ( g ) ，幂指数e = e ( g ) ，d - d ( g ) 与w = w ( g ) 这五个算术不变量起着举止轻重的作用，对p - 群的研究主要集中在对 8 第二章群及p _ 群的基本概念与结论 p 一群算术结构( 研究p 一群的算术不变量之间的关系) ，换位子结构以及幂结构的 研究中。 2 2 p - 群的有关计数定理 定义2 2 i 设g 是有限p - 群，以s a o ) 与g ( g ) 表示g 的p 阶子群和p 阶 循环子群的个数。 定理2 2 i 【习设g 是有限p - 群，则 ( 1 ) l 2 ，g 非循环，则最( g ) = i + i o ( m o d p 2 ) ，1 s k y - 1 。 定理2 2 4 吲 i g l = ，g 为初等交换p 一群，则 踯， 小学筹瑞 定理2 2 5 陋1 l g i = p np 2 , 1 3 。则g 有p 个循环极大子 群，另一个极大子群h 满足a ( e d = 1 。 华罗庚推广了m i l l e r 的上述结论，得到： 定理2 2 8 t 5 l 设p 2 ，l g i = p n ) 口( g ) = 口且打2 a + 1 ，则对任意所， a + 1 m 2 ，则 & ( g ) = 1 + l + p p + + 2 p p 2 ：( m ( m 。o d d p 3 p 3 ) ) ，1 , k = 七l , n 胛- “1 ； 定理2 2 1 0 t 5 1设p 群g 非正则，亦非最大类p - 群，则 1 0 第二章 群及p 群的基本概念与结论 墨( g ) = 1 + p + p 2 + a + p p - i ( m o d p 9 ) 。 定理2 2 1 l 吲设2 - 群g 不是最大类的，l g = 2 “，2 k 一，则g 中2 k 阶最大 类子群个数是4 的倍数。 定理2 2 1 2 同 设2 - 群g 非循环，亦非最大类2 - 群，i g f = 2 “，则 ( 1 ) g ( g ) z 0 ( m o d 2 ) l k ，矿= 1 ，b m = ，b - i a b = 4 r ，其中，一，m ，f ，是整数，满足：i 1 ， m o ，e1 ( r o o d 斤) ，t ( r n - f f i 0 ( r o o d n ) 。 关于亚循环p 群，有如下结论。 定理3 1 2 1 4 1 ( b l a c k b u r n ) 有限p 一群g 是亚循环群铮g 妒( g ，) g 3 是亚循环的。 定理3 1 3 4 1 设p 2 ，则有r e 群g 亚循环营w ( g ) 2 。 关于亚循环p 群的完全分类，在1 9 7 3 年由b r u c ew k i n g 作出。 定理3 1 4 5 1 亚循环p 一群g 有如下定义关系： g = ，a ，= 1 ，b f = 口，h ，b - i a b = 口7 ，y m l + ，”一 其中，聊，n ，j ，g 士1 的不同选取就刻划了所有互不同构的类型，但它们要满足： 1 陀3 或p = 2 ，4 1 r - 1 ，c 柳- 1 ，舵互时 ( 1 ) 0 = s c m i n c ，m - c + l ，； ( 2 ) m a x 1 ，m - n + 1 ) s i n i n c ，m - c + l ： 2 p = 2 ，4 r + 1 ，c n - 1 时 ( 1 ) 0 = s m i n n + l ，m - 1 ( 2 ) 1 = s ，m a x 1 ，m - n + 1 鱼s l i n i l ，m - l ，或者s = l ，c = 0 。 由此，我们得到： 定理3 1 52 ”阶亚循环2 群g 必是下列群之一： ( 1 ) 2 “阶循环群； ( 2 ) ( 2 ”1 ，2 ) 型交换群； ( 3 ) 广义四元数群q 4 n ：，胛3 ，g = ，4 2 “= 1 ，b 2 = a 2 , , - 2 ，b - 1 a b = 口一1 ； ( 4 ) 二面体群d 2 n ： 3 ，g = 勺，胗，口一= l ，b 2 = 1 ，b - l a b = a 一1 ； ( 5 ) 半二面体群：玎4 ，g = ，口：b 2 ：i ，b - l a b md t - l + r 4 ； ( 6 ) 盯4 ，g = 肜。= 勺，玲，口2 “= 1 ，b 2 ：1 ，b - l a b = 矿； 成都理工大学硕士学位论文 ( 7 ) g = ( 口6j 口2 一= 1 ，6 r = 口，矿= 口“2 7 ) ，其中，r ，s ，t ，u 是非负整 数，且r 2 ，“ r 。 定义3 1 2 群g 中的一个2 阶元称为对合。 定理3 1 6 t 2 7 1设g 是亚循环2 群，则 ( 1 ) g 只含一个对合营g 或者是循环群，或者是广义四元数群。 ( 2 ) g 包含多于三个对合营g 是二面体群或者是半二面体群。 ( 3 ) 所有其它亚循环2 群都是只含三个对合。 证明：假如g 是循环群或者是最大类的，则g 中对合的个数模4 余1 。 假如g 是亚循环的，但既不是循环的又不是最大类的。设l z = 是g 的 循环正规子群，且g z 是循环的。设h z 是g z 的2 阶子群，则g 的所有对合 全在h 中。由于g 非循环，故h 不是循环群。假若h 是交换群或者h 同构于m 。， n 4 ，则q 1 ( h ) - - - - - - - e 4 ，且g 恰有三个对合。假如h 是最大类的，则o ( b ) 4 。取 x h z ，则x _ 1 b x = b 1 或x - i b x = b “2 “，此处o ( b 户2 ”，n 3 。因而，g - - - - h ，且是最 大类的，这与g 非最大类矛盾，即证。 3 2 亚交换p - 群 定义3 2 1 称群g 是亚交换的，若g ”= 1 ，即g 交换的群g 称为亚交换群。 定理3 2 1 4 1 g 是亚交换群，a ，b a g ，m ，疗屈正整数，则有 m f mv h 矿】= 兀n i a ，j b o “，其中 i a ，朋= 【口，6 ，即胡；6 ，6 】。 t = l j = l 定义3 2 2 州称p 一群g 是p - 交换的，如果v a ，b g ，有c a b ) = a p b 。 定理3 2 2 川 g 是二元生成的有限亚交换p 群，则g 是p - 交换营e x p g p 并 且c ( g ) p 。 推论：g 是有限亚交换p 一群，则g 是p 一交换j 。( g ) = i 且对任二元生成子 群k 有f ( 固印。 1 4 第三章导群为循环群的二元生成有限p - 群 定理3 2 ，3 g 是有限亚交换p 一交换p 一群，则c ( g ) 。 定理3 2 4 设g 是有限亚交换，一群，则 ( 1 ) g 正则任取g 的二元生成子群世，成立弓j 。( k ) ； ( 2 ) g 正则g jj ( g ) 。 定理3 2 5 g 是有限正则p - 群，则g 。( g ) ；若吠g ) = 2 ，则函妒( g 7 ) 。 利用上述定理，可以得到如下关于正则2 一群结论。 定理3 2 ，6 正则2 一群是交换群。 证明：设g 是正则2 一群，v a , bs g ，令k = ，则世是正则2 - 群，且d ( k ) = 2 。 由定理3 2 ，5 知，如= k 矿( k ) ，故k 。= ( k ) ，所以k 1 = 1 ，即k 是交换 群，故口，b 交换，由a m b 的任意性，即有g 是交换群。 关于二元生成导群循环的亚交换p 一群，有如下结论： 引理设g 是有限p - 群，若n z ( g ) ，且g n 循环，则g 交换。 证明：由于g n 循环，设g n = ，因n z ( g ) ，故g = = 是交换群。 定理3 2 7 设g 是有限p 一群，且f g i - - p ，d ( g ) = 2 ，则g 是内交换群。 证明：由于l g l = p ，故g ； ( 2 ) g 是( 2 - - 1 , 2 ) 型交换群。 ( 3 ) g 是2 ”阶循环群。 ( 4 ) g = ，其中m 5 。 定理4 2 【“1 ( j a n k o ) 设g 是2 群，b - i g i 2 4 ，胁( g ) 1 = 2 4 ，则q 2 ( g ) 必同 构于下列群之一： q s + c 4 ，q o x c 2 ，d s x c 2 ，c 4 c 2 c 2 ，c 4 x c 4 如果哂( g ) - - - o s x c 2 或者( g ) - - - - - d 8 x c 2 ，月, u i g i = 2 5 。 定理4 3 【硐若g 是有限2 群，且q 2 ( g ) 是亚循环群，则g 也是亚循环群。 定理4 4 ( m i l l e r ) 设g 是内交换p 群。若g 是亚循环群，则 g = ： ，之2 ，忿1 或者g 兰q 8 。 定理4 5 ( s u z u k i ) 设g 是非交换p - 群，若g 有一个阶为p 2 的子群a ，满 足c g ( a ) ：a ，则g 是最大类p - 群。 定理4 6 设g 是有限2 - 群，a g i i q ( g ) t ，如果l 【b ( g ) l 雯3 ，则j 【b ( g ) l = 2 3 ， 且g 是循环群。如果i 哂( g ) i = 2 4 ，则q 3 ( g ) 是( 8 ，2 ) 型交换群，而且g 或者是 一个( 2 m ，2 ) 型的交换群，或者满足g 兰肘，。= 。 1 7 成都理工大学硕士学位论文 证明：设q 3 ( g ) = h ，若e x p ( h ) _ _ 8 ，因此i h l _ 8 。若i h i = 8 ，则o e ( g ) i = 4