（概率论与数理统计专业论文）概率极限理论的若干研究.pdf

痰骞分绍 概率极# 艮理论是概率论的一个重要分支，也是概率统计学科中极为莺臻的理论基础它着重 研究各类随机变量的各种收敛性及其收敛遗度以及各类随机过程的样本轨道性质本文深入地 骚宠了睫撬避程秘睫撬变熬豹一些经典蔼壤缝豹摄隈鳇凝走褰电括王个帮努： g a u s s 过程戆 泛函型投隈健质和相关分形性质，无穷绻g a u s s 过程弱小球概率估计，随帆环境中随机游动的极 限性质，随机变量部分和的极限性质，最近邻图的极限性腋 第一章研究g a u s s 过氍的进一步泛灏极限性质和棚关分形性质以及无穷维g a u s s 过程的 小球概率佶计，g a u s s 过程精细的极限性质已经研究了数十年，一直是极限理论中一个十分 活跃懿领域：一些重要或袋总结在c s r 9 6 穗嚣谣s z 熬蓉名麓专著 ( 1 9 8 1 ) ，林正炎和陆传荣的专著强极限定理 ( 1 9 9 2 ) 及林设炎，陆 传荣和张立新的专著高斯过程的样本轨遒性质 ( 2 0 0 a ) 中，随后叉谢了许多新进展，作者在 其博士学位论文中系统研究了g a u s s 过程的一些泛函檄限性质这一章前一部分内容怒作者博 士学位论文研究鲍继续第一节研宠了w i e n e r 过程的泛蕊连续模和泛嚣大增量定理的精确收敛 速囊俸为攘论建立了瑟灏连续摸霸不可擞模之阉嚣联系辑梁j 筮爱泛爨大增量定理秘臻繁多枣 之间的联系桥梁第二节研究了分数w i e n e r 单的泛函重对数律，所得的结果蕴涵了已往的关于 一参数和掰参数w i e n e r 过程的泛函重对数律第三节开创了两参数w i e n e r 过程增量的泛函极 限定理的研究证得了两参数w i e n e r 过獠的泛函大增量定理第四节进一步研究了一般g a u s s 过程的泛函搬隈性质，完饕了作毒搏士论文中懿关于分数布麓运动的溅黼连续模和泛滋大增鬟 定理，疆满嚣答了萁孛所强豹阐题+ 第五节研究了势数奇瀚运动泛函登黠数律的分形谯攒援翻 了一个集合棚分数布朗运动的泛函型对数槔成立的对间点集相交非空的临界值，指出遮一临界 值是由这一豢合的p a c k i n g 娥数所决定的前人只对w i e n e r 过程取得一熄进展这一章最后两 节研究无穷维g a u s s 过程的小球概率不等式证明了限假和f ”值g a u s s 过程的小琳概率不 等式，得到了理想器上舅孝簦下葬毽计在遨嚣节孛，还聱l 薅g a u s s 过稼黪谱分解鲍方法，诞嚷了 弘僵穗l 。w 蘧g a u s s 遥程的c h u n g 壅重对数律前a 露瓣宠了这类遥嘏豁上极限性鬟。 第二章研究随机环境中随机游动的极限性质和随机变量部分和的极限性质涟机环境中随 机游动的极限性质是近年来出现的崭新课题，但都要限制随机游动是独立同寂布的，当随机游动 不独立时，问题就变的很难处理本章第一节利用g a u s s 避程的方法研究了独立随机环境中相依 随巍辩动懿璐彀敛阕瑟，诞褥了疆立睫橇霹：境孛长记忆懿疆桎游魂是弱牧鼓嚣一个嚣为9 枣朗 风景中的分数布朗运动口的随机过程，樽到了一类薪越啻糯似随机过程第二节研究了糕相伴序 列的强逼近惫理 y u ( 1 9 9 6 ) 研究了正相伴序列的强逼近斌理，但需要限制混合速度是指数递减 的，作为推论我们将其对混合速度的限制减弱至5 次多项斌递减即可大大改进了前人的结果 第二节中所腭的方法同样也适用于负相伴序列，我们的结聚叙述在第三节中，竣进了蔚人关于负 褪癸寥到懿强逼近定理。攀嚣节聚究了歪悉暇；l 场中睫撬交羹部分露的囊瓣琵h a n s o n 。r u s s o 壅 ( 滞后) 增量建理经典的h a g l s o n r n s s o 黧增蒙定理都是簧求加矩静条件，并且它的最大变程依 赖于所加的嫩条件，其证明的关键要借助予强逼近定理并制用相应的w i e n e r 过程的增墩定理来 证日月 而对自正则化的情形，由于没有理想的强逼近定理，因此要证明h a n s o n r u s s o 型增量定 理就显得困撼，本节中我们皋用直接信算的方法，证得了疑歪则化增量静大偏差不等式，从丽迁 得h a n s o n r u s s o 的增量定理，所用的方法同样也适用于经典的情形本章的最后一节是利用第 四节的证明方法研究了稳定律吸引场中的h a n s o n r u s s o 型增量定理 第三章研究最近邻图的极限性质第一节通过深入的分析最近邻图的结构，研究了最近邻 图总长度的一个强不变原理作为推论我们得到了最近邻图的重对数律和c h u n g 重对数律以及 它的弱不变原理第二节继续前一节的内容，通过更为细致的分析最近邻图的结构，利用适当 的自正则化因子，证得了最近邻图的自正则化重对数律 在以上讨论随机过程样本轨道的极限性质过程中，除了要通过一些新的途径建立一些精细的 大偏差不等式外，还遇到独立化问题在前人的基础上，一些独立化方法在不同的章节得到了大 大的改进和发展郡分成果具有开创意义，所建立的方法可应用于更为一般的g a u s s 过程本文 的不少结果都已是完美的，不可再改进的在前人的基础上，一些概率极限理论中的方法在一定 程度上得到了改进和发展所有结果都已分成不同的几篇文章投稿n n 内外的各种杂志上，其中 的一些已被正式发表或被录用( 见文末) 王文胜 于浙江大学 2 0 0 3 年5 月 a b s t r a c t p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yi s o n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e so fp r o b a b i l i t yt h e o r y i ti so n eo f t h em o s ti m p o r t a n tf i m d a m e n t a l so fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s i te m p h a s i z e st h es t u d yo fv a r i o u s c o n v e r g e n c ea n dt h e i rr a t e so fv a r i o u sr a n d o mv a r i a b l e sa n d ，t h es a m p l ep a t hp r o p e r t i e so fv a r i o u s s t o c h a s t i cp r o c e s s e s t h ep u r p o s eo ft h ep r e s e n tr e s e a r c hi st os t u d ys o m ec l a s s i c a la n df i n er e s u l t s o nt h el i m i t i n gb e h a v i o r so fs t o c l l a s t i cp r o c e s s e sa r mr a n d o mv a r i a b l e s t h er e s e a l c he m p h a s i z e s t h es t u d yo ft h ef o l l o w i n gf i v ep a r t s ：f u n c t i o n a ll i m i tt h e o r e m so fg a u s s i a z lp r o c e s s e sa n dr e l a t e d f i a c t a ln & t n r e 、s m a l lb a l lp r o b a b i l i t i e so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lg a u s s i a np r o c e s s e s ，l i m i t i n gb e h a v i o r s o fr a n d o mw a l ki nr a n d o ms c e n e r y , l i m i t i n gb e h a v i o r so fp a r t i a ls u m so fr a n d o mv a r i a b l e s ，l i m i t i n g b e h a v i o r so ft i l en e a r e s tn e i g h b o rg r a p h c h a p t e r1i n v e s t i g a t e st h ef u r t h e rf u n c t i o n a ll i m i tt h e o r e m so fg a u s s i a np r o c e s s e sa n dr e l a t e d f r a c t 出n a t u r ea n d s m a l lb a l lp r o b a b i l i t i e so fi n f i n i t ed i m e n s i o n 甜g a u s s i a l lp r o c e s s e s t h el i m i t b e h a v i o r so fg a u s s i a np r o c e s s e sa r eb e i n gs t u d i e df o rd o z e n so fy e a r s m o s to ft h ei r n p o r t a z l t r e s u l t sw e r ec o l l e c t e di nt i l ew o r k so fmc s s r 9 6a n dp r d v 6 s zn a m e ds t r o n ga p p r o x i m a t i o n s 。n p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s ( 1 9 8 1 ) ，z y l i na n dc r l un a m e ds t r o n gl i m i tt h e o r e m s ( 1 9 9 2 ) a n d zyl i n ，c rl ua n dl x z h a n gn a m e dp a t hp r o p e r t i e so yg a u s s i a np r o c e s s e s ( 2 0 0 1 ) a f t e r t h ep u b l i c a t i o n so ft h e s eb o o k s ，s o m en e wd e v e l o p m e n tw a sg o t t e ni np a s tf i v ey e a r s is t u d i e dt i l e f u n c t i o n a ll i m i tb e h a v i o r so fg a n s s i a np r o c e s s e sa n dr e l a t e dp r o c e s s e si nm yp h d t h e s i s t h ef i r s t p a r t , o f c h a p t e r1i st h ec o n t i n u i t yo f m y p hd t h e s i si ns e c t i o n1 1 is t u d yt h ee x a c tc o n v e r g e n c e 0 f f u n c t i o n a l m o d u l u s o fc o n t i n u i t ya n d f u n c t i o n a l l a r g e i n c r e m e n t t h e o r e mo f a w i e n e xp r o c e s s a s c o n s e q u e n c e s ar e l a t i o n s h i pb e t w e e n f 1 i n c t i o n a lm o d u l u so f c o n t i n u i t yw i t ht h en o n d i 如r e n t i a b i l i t y m o d u l u so fc o n t i n u i t ya n d f u n c t i o n a ll a r g ei n c r e m e n tt h e o r e mw i t hh o ws m a l lt h ei n c r e m e n t so fa w i e n e rp r o c e s s ，i se s t a b l i s h e dw i t ht h eh e l po ft h ew e l l k n o w ns t r o n gi n v a r i a n c ep r i n c i p l e ，s i m i l a r r e s u l t st op a r t i a ls u m sa r e a l s og i v e n i ns e c t i o n12 is t u d ys t r a s s e n t y p el i lf o raf r a c t i o n a l b r o w n i a ns h e e ti n c l u d i n gt h a tf o rs m a l lt i m ew h i c hi m p l ym o s to ft h ef o r m e rl a w so ft h ei t e r a t e d l o g a r i t h ma n ds t r a s s e n t y p el i l sf o ro n e p a r a m e t e ra n dt w o p a r a m e t e rw i e n e rp r o c e s s e s h l s e c t i o n13 ，io b t a i nat h e o r e mo nt h es e to fl i m i tp o i n t so ft h ei n c r e m e n t so fat w o p a r a a n e t e r w i e n e rp r o c e s sv i ae s t a b l i s h i n gl a r g ed e v i a t i o np r i n c i p l eo nt h ei n c r e m e n t so ft h et w o p a r a m e t e r w i e n e rp r o c e s sb e f o r et h ep r e s e n tr e s e a r c h t h e r ei sn os t u d yo nf u n c t i o n a ll a r g ei n c r e m e n t t h e o r e mo fm u l t i p a r a a n e t e rg a u s s i a np r o c e s s e ss ot h ep r e s e n tr e s e a r c hg i v e saf u n d a m e n t mi d e a t op r o v ef u n c t i o n a ll a r g ei n c r e m e n tt h e o r e mo fg e n e r a lg a n s s i a np r o c e s s e si ns e c t i o n1 4 is t u d y f u n c t i o n a l1 i m i tr e s u l t so ni n c r e m e n t so fg e n e r a lg a u s s i a np r o c e s s e s a p p l i c a t i o n st oaf r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o n t h ef u n c t i o n a lm o d u l u so fc o n t i n u i t ya n df u n c t i o n a ll a r g ei n c r e m e n tt h e o r e m o faf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ns t u d i e di ns e c t i o n2 2i nm yp hd t h e s i sa r ei m p r o v e dig i v ea s a t i s f a c t o r ya n s w e r t oa q u e s t i o np r e s e n t e di np h dt h e s i si i ls e c t i o n 】5ig i v ea h i t t i n gc r i t e r i o n f o rt h es e to fp o i n t sw h e r ee x c e p t i o l l a jo s c i l l a t i o n so faf r a c t i o n a lb r o w n i a l lm o t i o no c c u ri u f i n i t e l y o f t e n ，a n d4 捕s e r tt h a tb i t t i n gp r o b a b i l i t i e sa r ed e t e r m i n e db y t h ep a c k i n gd i m e n s i o nd i m p ( e ) o ft h e t a r g e ts e te ，b e f o r e t h ep r e s e l l ts i u d y , s i m i l a rr e s u l t sa r eo b t a i n e do n l yf o rw i e n e rp r o c e s s e s t h e o h d p a r to fc h a p t e rii st os t u d ys 瑾采lh a l ip r o b a b i l i t i e sf o rc a l i e ds m a l ld e v i a t i o ni n e q u 舔i t i e s ) a n dc h u n g * t y p el i lo fi n f i m i 妇d i m e n s i o n a lg a u s s i a np r o c e s s e s i p r o v es m a l lb a l ip r o b a b i l i t y e s t i m a t e so ff p v a l u e da n df ”一v a l u e dg a u s s i a np r o c e s s e s u s i n gt h e s ee s t i m a t e sa n du s i n gt h e s p e c t r a lr e p r e s e n t a t i o no fg a u s s l a np r o c e s s e s ，ip r o v ec h u n g ”t y p el i lo ft h e s ep r o c e s s e s b e f o r e 妇ep r e s e n t , s t u d y 。o n l y 7 7 i i m s u p ”b e h a v i o r s 黻辞s t a j d i e dh u tl i l t 廷遮k 球州赣o nl i m i n fb e h a v l o r # 。 t h r o u g h o u tt h ef i r s tp a r to fc h a p t e rl ，t h el a r g ed e v i a t i o np r i n t i p t e sm li n e r e m e n t so fg a u s s i a a p r o c e s s e sp l a y i m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d nw h i c ha r ea l s oi n d e p e n d e n ti n t e r e s t c h a p t e r2i n v e s t i g a t e sl i m i t i n gb e h a v i o r so fr a n d o mw a l ki ar a n d o ms c e n e r ya n dp o r t i a ls l i m so f r a n d o mv a r i a b l e s 、t h e s l ；u d yo nl i m i tb e h a v i o r so f r a n d o mw 俎ki nr a n d o ms c e n e r y i san e w s n b i e c t i nt h ep a s t , y e a r s m a n yp a p e r sa r ea p p e a r e di nl i t e r a t u r e + b u ti na l lo ft h e m ，t h ei n d e p e z n l e n c e o fr a n d o mw a l ki s i m p o s e d w t m nt h er a n d o mw a l ki sn o th l d e p e n d e n t t h es t u d yo fl i m i t i n g b e h a v i o r sb e c o m e sv e r yc o m p l i c a t e di ns e c t i o n21 1 ) vd e v e l o p i n gan e wm e t h o d ，is t u d yl i m i t b e h a v i o ro fd e p e n d e n tr a n d o mw a l ki ni n d e p e n d e n tr a n d o ms c e n e r ya n do b t a i n e dt h a tt h e1 0 n g - m e m o r y r a n d o mw a l ki nr a n d o ms c e n e r yi sw e a k c o n v e r g e n c e t os t o c h a s t i cp r o c e s sc a l l e df r a c t i o n a l b r o n m i a nm o t i o n 逸b r e 辅m i a ns e e g f 强ii n t r o d m ean e 箨c l a s so fs e l f - s i m i l a rs t o c h a s t i cp r o c e s s 。 w h i 彘拓i n d e p e n d e n ti n t e r n s t t h es e c o n dp a r to fc h a p t e r2i st os t u d yl i m i t i n gb e h a v i o r so f p a r t i a l s u n l so fr a n d o mv a r i a b l 踟，i ns e c t i o n2 2 ，is t u d ya s t r o n ga p p r o x i m a t i o n t h e o r e mf o rq u a s i a s s o c i a t e ds e q u e n c e s y u ( 1 9 9 6 ) 1b yc o m b i n i n gc s 6 r 9 5 一r d v 4 s zq u a n t i l em e t h o da n d b e r k e s p h f l i p p a p p r c z d m a t i o nt h e o r e m p r o v e das t r o n ga p p r o x i m a t i o nf o rp o s i t i v e l ya s s o c i a t e f ls e q u e n c e su n d e r t h er e s t r i c t i o no fe x p o n e n td e c a ym i x i n gr a t e + a sa e o r b s e q u e n o eo ft h ep r e s e n tf a d 1 1o b t a i n t h es t r o n ga p p r o x i m a t i o nt h r e mo n l yu n d e r5 - s i z ep o l y n o m i a ld e c a ym i x i n gr a t e s oh l 秘9 9 6 ) s r e s u l t si si m p r o v e db yw e a k e n i n gi t sm i x i n gr a t e t oa r r i v ef l f i s lt h em a i nt h e o r e t i cp o i n ti st h a t iu s e ds k o r o h o d s t r a s s e nm a r t i n g a l ee m b e d d i n gt h e o r e mi n s t e a do fb e r k e s p h i l i p pa p p r o x i m a t i o n t h e o r e m m o r e o v e r ，ld e 越瓤t ht h er e s u l t sf o rq u a s i a s s o c i a t e ds e q l l e n c e sw h i c hj st h ew e a k e s t f o r mo fa s s o n i a t , i o n ，戳矗t h es l l em e t h o d s t u d y3 s t r n k gi n r i a n e ep r i n c i p l ef o rn e g a t i v # r y a s s o c i a t e ds e q n e n c e si ns e c t i o n23 s o m ep r e v i o u sr e l a t e dr e s u l t sa r ei m p r o v e d i ni a 8 tt w o s e c t i o n so fc h a p t e r2 is t u d yl i m i tt h e o r e m so fs e l f m o r m a l i z e dp a r t i a ls u m so fr a n d o mv a r l a b l e s to b t a i ns t u d e n e i z e dh a n s o n - i l s s ot y p e ( o rc a l l e dl a 9 1i n c r e i n e u tt h e o r e m si ut h ea t t r a c t i o n 碳a n o r l 2 i a tl a wa n do fas t a b l el a wi ns e c t i o n s2 ，4a n d2 。5 ，r e s p e c t i v e l y _ c h a p t e r3i n v e s t i g a t e st h el i m i t i n gb e h a v i o r so ft h en e a r e s tn e i g h b o rg r a p h ，l i m i tb e h a v i o r s o i lr a n d o mg r a p ha r ei n t e r e s t i n ga n di m p o r t a n t , t h e o r i e si na p p l i e dp r o b a b i l i t y i ti su s u a l l yd i f - f i c u l tt oo b t a i ns o m er e s u l t sb e c a u s et h ec o m p l i c a t e ds t r u c t u r eo ft h eg r a p h ，i ns e c t i o n3 1 i s t u d yt h e1 0 c a ls t r u c t u r eo ft h en e a r e s tn e i g h b o rg r a p hi nad e l i c a t em a n n e ra n dp r o v e das t r o n g i n v a r i m l c ep r i n c i p i ef o rc n l e ds t r o n gf c l t ) f o rt h et o t a lf e n 辩h 西t h en e a r e s tn e i g h b o rg r a p h a sc o n s e q u e n c e s 、t h el i l + c h u n g - t y p el i la n af u n c t i o n a lc e n t r a ll i n d tt h e o r e ma r ee s t a b l i s h e d f o rt h et o t a ll e n g t ho ft h en e a r e s tn e i g h b o rg r a p h i ns e c t i o n3 2 ，b ys t u d y i n gt h el o c a ls t r l l e _ c ；l l r e c a r e f u l l y ，ip r o v eas e l f - n o r m a l i z e dl i lo ft h et o t a ll e n g t ho ft h en e a r e s tn e i 尊h b o rg r a p h 1 3 n c r e n l e l l t so ft w o - p a r a l n e t e rw i e n e rp r o c e s , s e s 1 3h o w b i g a r et h ec s 5 r 9 6 - r 6 v 6 s zi n c r e m e n t so f t w o p a r a m e t e r w i e n e rp r o c e s s e s ? a b s t r a c tl nt h i ss e c t i o n w ep r o v eat h e o r e m t h es e t0 fl i m i tp o i n t s 。ft h ei n c r e m e n t s o fat w o p a r a m e t e rw i e n e rp r o c e s sv i ae s t a b l i s h i n gl a r g ed e v i a t i o np r i n c i p l eo nt h ei n c r e m e n t s o ft h et w o p a r a m e t e rw i e n e rp r o c e s s 1 3 1i n t r o d u c t i o n l e t w ( 氓t2o ) b e as t a n d a r dw i e n e r p r o c e s s ，c 0 1 h et h eu s u a ls p a c e o fe o n t i u u o u 8f u n c t i o n s o nt h ec l o s e di n t e r v a l 0 ，1 ja n da tb eap o s i t i v ef u n c t i o no ft 3 、$ r i t e 所= ( 2 a t ( t o g t a t l + l o g l o g t ) ) 一 k ，( ) = 6 - ( t 矿( + z a t ) 一h 7 ( ) ) ，0so 茎1 0 曼；t t a t i n1 9 7 7 ，c s s r 9 5a n dr 6 s zi n t r o d u c e dt h e f o l l o w i n gw e l lk n o w nr e s u l t s ：i f a ts a t i s f i e st h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n s ： i 】0 a 7st i s n o n i n c r e a s i n g ， i i ) a r t 括n o n i n c r e k s i n g ， t h e n w eh a v e i i ms u p s u pl 班r 1 ) l ( 1 3 1 ) t f w e m s o s l t m e t h a ，t 谳) 舰器一。 t h e nw ea l s oh a v e ( 1 3 。2 ) = l i m s u ps u ps u p 】k r ( x ) l = 1 a s t _ + 。o t 蔓丁一幻、0 x 曼1 l + i m 。 s n p 一惭( 1 ) 一l i m s u ps u pf k ( o ) l = 1 a s 0 t 7 7 0 ( t 一 k 叼翌蜓 熙 眦 c h a p t e r1s o m e l i m i tt h e o r e m so ng a u s s i a np r o c e s s e s 1 4f u n c t i o n a ll i m i tt h e o r e m sf o r i n c r e m e n t so fg a u s s i a n s a m p l e s a b s t k a c t f u n c t i o n a ll i m i tr e s u l t sf o ri n c r e l e n t so fg a u s s i a ns a m p l e sa r eo b t a i n e d i n p a r t i c u l a r ，t h e r e a r ea p p l i c a t i o n st of u n c t i o n a lm o d u l u so fc o n t i n u i t ya n df u n c t i o n a ll a r g e l n c r e m c n tt h e o r e mf o rf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n s 1 4 1i n t r o d u c t i o n l e t w ( ) ，t 0 ) b eb r o w n i a nm o t i o n ( b m ) i n 皿1a n dc o l 0 ，1 】b et h es p a r , eo f c o n t i n u o u sf u n c t i o n s o nt h ec l o s e di n t e r v a l 【o ，1 】w h i c hv a n i s ha tt h eo r i g i n a s s u m eh pc c 0 0 ，1 】i st h eh i l b e r t - s p a c e o fa b s o l u t e l yc o n t i n u o u sf u n c t i o n so n 0 ，1 】w h o s eu n i tb a l li st h es e t ( 14 1 ) 5 = ，( ) = z ，如) 出，。f 1 ：z 1 l ，如) | 2 小茎1 ) h e r et h ei n n e rp r o d u c ti sg i v e nb y ( 1 42 )川。：f 1 i ，如) 阻) l 2 ，马。 、j 0 7 a n di 1 1 1 1 0 。d e n o t e st h eu s u a ls u p - n o r mo nc o 【o ，1 】i f = 券，吲0 1 e o , 1 - h ，蚴至1 t h e nt h ef u n c t i o n a lm o d u l u so fc o n t i n u i t y ，g i v e nb ym u e l l e r ( 1 9 8 1 ) a n dc h e na n dc s 6 r 9 5 ( 2 0 0 1 ) s a p a r a t e l y ，s t a t e st h a t ( 143 ) 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t i o n a li n c r e m e n tr e s u l t sf o rg e n e r a lg a u s s i a np r o c e s s e s i ns e c t i o n1 4 2 w cr e c a l ls o m eb a s i cf a c t sa b o u tg a u s s i a nr a n d o mv e c t o r a n di ns e c t i o n1 4 3 w es t a t et h ei l l a i nr e s u l t so ft h es e c t i o n t h e o r e m sr e l a t i n gt of u n c t i o n a lm o d u l u so fc o n t i n u i t y a n df u n c t i o n a ll a r g ei n c r e m e n tt h e o r e mf o rf r a c t i o n a lb r o w n i a nn l o t l o n s ( f b m s l ，w h i c hg e n e r a l l z e 14f u n c t i o n a ll i m i tt h e o r e m sf o ri n e r e l n e r l t so fg a u s s i a ns a m p l e s t h er e l a t e dr e s u l t sf o rb m sm e n t