.建筑力学教案

云南城市建设职业学院课程教案系 （部）： 中专部 课程名称 ： 建筑力学 班级名称： 14建管1+2+班 二一 五 年课程名称 建筑力学学时分配总学时：64讲 授：56实 训：2授课专业建筑工程管理授课班级14建管1、2、3班课堂讨论：2任课教师任国峰职称习题课：4所选教材无教学目的要求教学目的建筑力学是研究建筑结构的力学计算理论和方法的一门科学。许多建筑专业课程如建筑结构、建筑施工都是以建筑力学为基础的。结构设计人员只有掌握了建筑力学知识，才能对所要设计的结构进行正确的受力分析和力学计算，以确保所设计出的结构及既安全有经济合理。教学要求要求学生能够牢记基本定理，并能灵活运用。真正掌握原理。能够有解决力学问题的基本思维方式。能够在头脑中建立力学模型，简化力学问题，并能找到解决办法。教学重点难点重点：1、静力学公理及受力图的分析和绘制； 2、平面汇交力系的合成与平衡，力矩、力偶的合成与平衡； 3、轴向拉、压杆的内力及强度的计算； 4、剪切、挤压、扭转的概念及计算； 5、梁的内力及强度的计算，梁的内力图的。难点：1、平面汇交力系的合成与平衡，力矩、力偶的合成与平衡； 2、轴向拉、压杆的内力及强度的计算； 3、梁的内力及强度的计算，梁的内力图的。参考书目1、高健主编，工程力学，中国水利水电出版社，2008年9月； 2、庄表中、王惠明编著，理论力学工程应用新实例，高等教育出版社，2009.7 3、孙训方，方孝淑，关来泰. 材料力学（第三版）. 北京：高等教育出版社，1994教案授课章节第0章 绪论教学目的1、了解建筑力学的研究对象、任务；2、了解静定结构的平衡、强度、刚度、稳定性；3、掌握建筑力学的分析方法。 重点与难点教学重点建筑力学的研究对象、任务；静定结构的平衡、强度、刚度、稳定性。教学难点静定结构的平衡、强度、刚度、稳定性。教学方法以理论教学为主，结合多媒体教学。通过做实验、趣味力学比赛等实践活动，来加深理论知识的认识。增加随堂练习题和课后作业，来提高和巩固学生所学习的知识教学手段多媒体教学教学过程时间分配教学内容学时数 建筑力学研究的对象、任务 2 教学过程设计1、 建筑力学的作用举例：讲述一千多年前，利用木材、石材建造的复杂建筑物依然不倒，在力学方面进行分析；2、 如何学习建筑力学？1） 建筑力学系统性强，各部分有较紧密的联系，学习中要循序渐进，及时解决不清楚的问题，以免在以后的学习中失去信心；2） 要注意深入体会和理解基本概念、基本理论和基本方法，不能满足于背公式、记结论。要注意有关概念的来源、含义和用途；注意有关公式的意义及适用范围；注意分析问题的思路和解决问题的方法。总之要善于思考，善于发现问题，并加以解决。3） 课后应及时复习，在复习理解以后，再做一定量的练习。练习时运用基本理论解决实际问题的一钟基本训练，是回到实践的第一步。因此，一定 要在理解概念、掌握公式的基础上进行。实 验思考题及作业题备 注授课章节第1章 力和受力图教学目的1、学会做物体的受力图；2、理解约束和反约束力。重点与难点教学重点受力分析，受力图的画法。教学难点物体间的受力分析。教学方法以理论教学为主，结合多媒体教学。通过做实验、趣味力学比赛等实践活动，来加深理论知识的认识。增加随堂练习题和课后作业，来提高和巩固学生所学习的知识教学手段多媒体教学教学过程时间分配教学内容学时数1.1 力的基本知识和静力学公理 21.2约束和反约束力 21.3受力图和载荷 2教学过程设计 1-1 约束与反约束力一、 概述 自由体：在工程中，将能自由地向空间任意方向运动的物体，如工人上抛的砖块，在空中自由飞行的飞机等称为自由体。1、物体的分类非自由体：在空间某一方向运动受到限制的物体（例如，大粱受到柱子的限制，柱子受到基础的限制，桥梁受到桥墩的限制等等，而不能自由运动。）称为非自由体。2、约束：通常将限制物体运动的其他物体叫做约束。（或限制物体自由运动的条件叫约束）3、约束力：是约束对于被约束物体的运动起限制作用的力，称为约束力，也称为约束反力，简称反力。4、几种常见的约束及其反力（1）柔索约束 概念：用绳索、链条、皮带等阻碍物体的运动时，称为柔体约束。 特性：只能限制物体沿着柔体伸长的方向运动。 约束反力的方向：柔体对物体的约束反力是通过接触点，沿柔体中心线作用的拉力。如图1-1所示。在图12所示的皮带轮中，皮带对两轮的约束反力分别为F1、F2和F1、F2。（2）光滑面约束 概念：当两物体在接触处的摩擦力很小，即可以忽略不计时，两物体彼此间的约束就是光滑面约束。 特性：这种约束只能限制物体沿着接触面的公法线指向接触面的运动，而不能限制物体沿着接触面的公切线或离开接触面的运动。 1-2结构的计算简图一 结构计算简图的概念 用一个能反映结构主要工作特性的简化模型来代替真实结构的简化模型称作结构计算简图。二 简化原则1反映结构实际情况2分清主次因素3视计算工具而定三简化方法1 支座的简化： 举例。2 铰节点的简化：举例说明。3 刚节点的简化：举例说明。4 计算简图示例： 结构的简化举例：如桁架的简化，包括1.荷载2.支座3.杆连接处。四 平面杆系结构分类1分类i. 梁ii. 拱iii. 刚架iv. 桁架v. 组合结构 1-3 物体受力分析一、脱离体和受力图在力学求解静力平衡问题时，一般首先要分析物体的受力情况，了解物体受到哪些力的作用，其中哪些是已知的，哪些是未知的，这个过程称为对物体进行受力分析。工程结构中的构件或杆件，一般都是非自由体，它们与周围的物体（包括约束）相互连接在一起，用来承担荷载。为了分析某一物体的受力情况，往往需要解除限制该物体运动的全部约束，把该物体从与它相联系的周围物体中分离出来，单独画出这个物体的图形，称之为脱离体（或研究对象）。然后，再将周围各物体对该物体的各个作用力（包括主动力与约束反力）全部用矢量线表示在脱离体上。这种画有脱离体及其所受的全部作用力的简图，称为物体的受力图。对物体进行受力分析并画出其受力图，是求解静力学问题的重要步骤。所以，必须掌握熟练选取脱离体并能正确地分析其受力情况。二、画受力图的步骤及注意事项1、确定研究对象取脱离体应根据题意的要求，确定研究对象，并单独画出脱离体的简图。研究对象（脱离体）可以是单个物体、也可以是由若干个物体组成的系统，这要根据具体情况确定。2、根据已知条件，画出全部主动力。应注意正确、不漏不缺。3、根据脱离体原来受到的约束类型，画出相应的约束反力对于柔索约束、光滑接触面、链杆、可动铰支座这类约束，可以根据约束的类型直接画出约束反力的方向；而对于铰链、固定铰支座等约束，经常将其反力用两个相互垂直的分力来表示；对固定支座约束，其反力则用两个相互垂直的分力和一个反力偶来表示。约束反力不能多画，也不能少画。如果题意要求明确这些反力的作用线方位和指向时，应当根据约束的具体情况并利用前面的有关公理进行确定。同时，应注意两个物体之间相互作用的约束力应符合作用力与反作用力公理。4、要熟练地使用常用的字母和符号标注各个约束反力，注明是由哪一个物体（施力体或约束）施加。注意要按照原结构图上每一个构件或杆件的尺寸和几何特征作图，以免引起错误或误差。5、受力图上只画脱离体的简图及其所受的全部外力，不画已被解除的约束。6、当以系统为研究对象时，受力图上只画该系统（研究对象）所受的主动力和约束反力，不画成对出现的内力（以及内部约束反力）。7、系统中的二力杆应当明确的指出，这对系统的受力分析很有意义。三、举例说明如何画物体的受力图图13例11 重量为G的梯子AB，放置在光滑的水平地面上并靠在铅直墙上，在D点用一根水平绳索与墙相连，如图13a所示。试画出梯子的受力图。解：将梯子从周围的物体中分离出来，作为研究对象画出其脱离体。先画上主动力即梯子的重力G，作用于梯子的重心（几何中心），方向铅直向下；再画墙和地面对梯子的约束反力。根据光滑接触面约束的特点，A、B处的约束反力FNA、FNB分别与墙面、地面垂直并指向梯子；绳索的约束反力FD应沿着绳索的方向离开梯子为拉力。图13b即为梯子的受力图。 例12 如图14a所示，简支梁AB，跨中受到集中力F作用，A端为固定铰支座约束，B端为可动铰支座约束。试画出梁的受力图。解：（1）取AB梁为研究对象，解除A、B两处的约束，画出其脱离体简图。（2）在梁的中点C画主动力F。（3）在受约束的A处和B处，根据约束类型画出约束反力。B处为可动铰支座约束，其反力通过铰链中心且垂直于支承面，其指向假定如图14b所示；A处为固定铰支座约束，其反力可用通过铰链中心A并相互垂直的分力FAx、FAy表示。受力图如图14b所示。此外，注意到梁只在A、B、C三点受到互不平行的三个力作用而处于平衡，因此，也可以根据三力平衡汇实 验思考题及作业题P18.5、6、7题备 注授课章节第2章 平面力系的合成与平衡教学目的1、掌握力的合成与分解的方法；2、理解力矩以及力偶的概念和作用效果；3、掌握力的平移定理。重点与难点教学重点力的合成分解；力的平移定理。教学难点力的合成分解；力的平移定理。教学方法以理论教学为主，结合多媒体教学。通过做实验、趣味力学比赛等实践活动，来加深理论知识的认识。增加随堂练习题和课后作业，来提高和巩固学生所学习的知识教学手段多媒体教学教学过程时间分配教学内容学时数2.1平面汇交力系的合成与平衡 22.2力矩.平面力偶系的合成与平衡 2 2.3平面一般力系的合成与平衡 22.4考虑摩擦力时的物体的平衡 2教学过程设计21平面汇交力系合成与平衡条件一、 平面汇交力系的概念力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。二、二力汇交的合成作法：、平行四边形法则。2、三角形法则（各力首尾相连）。注：合力大小和方向与各力相加的次序无关。讲例题三、平面汇交力系的合成1、平面汇交力系的几何法可先将力系中的两个力按力的平行四边形法则合成，用所得的合力再与第三个力合成。如此连续地应用力的平行四边形法则，即可求得平面汇交力系的合力。平面汇交力系的合力矢量等于力系中各力的矢量和，即FRF1+F2+Fi+FnFi2、平面汇交力系平衡的几何条件：必要和充分条件是该力系的力多边形自行闭合。即说明：汇交力系中，未知力数超过两个就不能作出唯一的闭合多边形，故平面力系汇交用图解法只能求出不超过两个未知力的问题。讲书例题3、力在坐标轴上的投影、合力投影定理(1)力在坐标轴上的投影a、如何投影：自加两端向x,y轴作垂线，则在轴上两垂线的线段，称为力在该轴上的投影。b、符号规定：力在坐标轴上的投影是代数量，有正负之分，当力投影与坐标轴一致时，投影为正，反之为负。如：x=cos.F，即：段sin.F，即：A”B”段讲例题。c.如果已知，则合力的大小和方向也可确定，据几何关系：；tg=| 22 力矩一、力矩1、什么叫力矩：一力使物体饶某点O转动，O点叫矩心，力的作用线到O点的垂直距离d叫力臂，力的大小与力臂d的乘积叫力对矩心O点之矩，简称力矩，以M0（）表示，数学表达式为：M0()=2、力矩的正负：逆时针为正，顺时针为负。力矩是代数量。3、力矩的单位：N.m，KN.m讲例题。23、合力矩定理一、合力矩定理。如图：M0（）=-Pd=-P.a.sin又：将用两分力PX，PY代替，M0（X）=0；M0（Y）=-a.P.sina即：M0（）= M0（X）+ M0（Y）由此得：合力对力系作用平面内某一点的力矩等于各分力对同一点力矩的代数和。讲例题24 力偶力偶矩一、力偶和力偶矩1、力偶：大小相等，方向相反，但不作用在一条直线上的两个相互平行的力叫力偶。2、力偶矩：为了描述力偶对刚体的作用，我们引入了一个物理量力偶矩。它等于力偶中的一个力与其力偶臂的乘积。即：M=（d两力间垂直距离）3、正负规定：逆时针为正，顺时针为负。实 验思考题及作业题P67.33、34、37、40题备 注授课章节第三章 轴向拉伸和压缩教学目的1、掌握杆件受轴向力作用而产生拉伸或压缩变形时杆件具有的内力；2、了解杆件在受轴向拉、压时截面上具有的应力；3、了解材料的变形时所具有的力学性质。重点与难点教学重点内力和应力的概念以及计算方法；轴向拉、压杆的强度计算。教学难点杆件内力和应力的理解以及计算。教学方法以理论教学为主，结合多媒体教学。通过做实验、趣味力学比赛等实践活动，来加深理论知识的认识。增加随堂练习题和课后作业，来提高和巩固学生所学习的知识教学手段多媒体教学教学过程时间分配教学内容学时数3.1、 轴向拉、压杆的内力轴力； 23.2、 轴向拉、压杆横截面上的正应力； 23.3、 轴向拉、压杆的强度计算； 23.4、 轴向拉伸和压缩时的变形； 2教学过程设计3-1轴拉（压）时的内力，应力一、轴向拉（压）的概念力作用在杆的轴线上。二、内力，截面法，轴力，轴力图1、内力：外力作用而构件分子间的互相牵制力。2、截面法，轴力，轴力图（1）向伸长：说明截面有拉力（2）截面仍然垂直杆轴：说明内力均匀分布。（3）轴力正负规定：拉（背离截面）为正，压（指向截面）为负。（4）轴力图：直观反映内力变化规律。三、轴向拉（压）应力1、轴拉（压）横截面上的应力 （1） 应力：截面某点内力所分布的密集程度 （2） 单位：P）（3） 应力：正应力 剪应力 垂直于截面的应力：=，两边同时积分：N=A 平衡于截面的应力：=；两边同时积分：Q=A （4） 拉（压）杆横街面上的应力：=；N轴力A面积 2、 轴向拉（压）杆斜截面上的应力。 从x轴标起，逆时针往n轴旋转为正，反之为负。说明：斜截面与横截面虽说分布轴力密集程度不一样，但轴力的大小应该一样。则：即：斜截面上的正应力（拉应力为正，压应力为负）斜截面上的剪应力（顺时针为正，逆时针为负） 3、最大应力。 当 当32、轴拉（压）杆的变形及虎克定律一 、变形（1）纵向变形： （2）横向变形： 纵向线应变二、 纵向变形及虎克定律 实验：，引入比例系数：虎克定律 式中：N轴力；A截面积；E材料弹性模量；变形；原长；EA抗拉、压刚度 虎克定律的另一种形式：将 得：注：虎克定律适用条件：杆截面应力不超过比例极限。 三 、 横纵向变形及泊松比1、 横向变形：；纵向变形：拉伸时：为负，为正；压缩时：为正，为负。2、 实验所得：泊松比3、 横纵向应变的关系 33材料在拉伸、压缩时的力学性质一 、概述1、学性质主要研究：a、强度b、变形2、塑性材料如低碳钢3、脆性材料如铸铁、混凝土、木材等二、在拉伸时的力学性质：1、试件取样：试长件：l=10d短试件:l=5d2、拉伸图 应力应变图说明：1、O1G/(OB)；2、OO1属塑性变形；3、01g为弹性变形。3、变形发展的四个阶段：（1）弹性阶段：（OB）材料完全处于弹性阶段，最高应力在B点，称弹性极限（e）。其中OA段表示应力与应变成正比。A点是其段最高值，称 为比例极限（p），在OA段标出tg=E。因为e与p数据相近。可近似为弹性范围内材料服从虎克定理。（2）屈服阶段：（BD）材料暂时失去了抵抗外力的能力。此段最低应力值叫屈服极限（s）。钢材的最大工作应力不得达到s（3）强化阶段：（DE）材料抵抗外力的能力又开始增加。此段最大应力叫强度极限b（4）颈缩阶段：（EF）材料某截面突然变细，出现“颈缩”现象。荷载急剧下降。总结四个阶段：、弹性阶段：虎克定理=E成立，测出tg=E、屈服阶段：材料抵抗变形能力暂时消失。、强化阶段：材料抵抗变形的能力增加。、颈缩阶段：材料抵抗弯形的能力完全消失。4、塑性指标： （1）延伸率： 如果 （2）截面收缩率： 5、冷作硬化：将屈服极限提高到了G点，此工艺可提高钢材的抗拉强度，但并不提高钢材抗压强度，故对受压筋不需冷拉。三、铸铁的拉伸试验。 1、近似视为=E在OA段成立；2、只有b四、低碳钢压缩时力学性质：1、 强度极限无法测定。2、 与拉伸相同。五、铸铁压缩试验。1、 没有屈服极限，只有强度极限。2、 在低应力区（0A），近似符合3、 强度极限高出拉伸45倍。六、塑性材料力脆性材料的比较（自学内容）七、许用应力与安全系数： = 3-4 轴向拉（压）杆强度计算一、强度条件：二、强度三类问题：1、 强度校核：2、 选择截面尺寸：A如果：槽钢、角钢查附表确定面积，3、 确定最大外载：说明：最大外载有两种确定形式：1、N=P 2、P必须据题意，通过间接途径求得，如：实 验思考题及作业题P85.2、3题 P86.3、4、5、7题。备 注授课章节第4章 剪切和挤压教学目的掌握剪切、挤压时的受力变形以及剪切、挤压的概念和使用性的计算。重点与难点教学重点剪切、挤压的实用性计算。教学难点剪切、挤压的实用性计算。教学方法以理论教学为主，结合多媒体教学。通过做实验、趣味力学比赛等实践活动，来加深理论知识的认识。增加随堂练习题和课后作业，来提高和巩固学生所学习的知识教学手段多媒体教学教学过程时间分配教学内容学时数4.1剪切的概念和实用计算 24.2挤压的概念和实用计算 2 教学过程设计41剪切的概念及实例剪切变形的实例与概念 剪切也是杆件基本变形中的一种形式,如动画演示。化工机器和设备常采用焊接或螺栓等联接方式将几个构件联成整体，例如螺栓受力图图a中用螺栓联接两块钢板。当钢板受到P力作用后，螺栓上也受到大小相等、方向相反、彼此平行且相距很近的两个力P的作用，如图b。若P力增大，则在m-m截面上，螺栓上部对其下部将沿外力P作用方向发生错动，两力作用线间的小矩形，将变成平行四边形，如图c。若P力继续增大，螺栓可能沿m-m面被剪断，如图d。螺栓的这种受力形式称剪切，它所发生的错动称为剪切变形。演示动画 综上所述，剪切有两个特点：1受力特点 在构件上作用大小相等、方向相反、相距很近的两个力P。2变形特点 在两力之间的截面上，构件上部对其下部将沿外力作用方向发生错动；在剪断前，两力作用线间的小矩形变成平行四边形。42 挤压的概念和实用计算1 剪切的实用计算（1）连接件：铆钉、销钉、螺栓、键等都是受剪构件。剪切：当在杆件某一截面处，在杆件两侧受到等值，反向、作用线平行且相距很近一对力作用时，将使杆件两部分沿这一截面（剪切面）发生相对错动的变形，这种变形称为剪切。（2）切应力假定切应力在剪切面上均匀分布，则（3）强度条件强度计算：2 挤压的实用计算（1）挤压：在外力作用下，在连接件和被连接件之间，必须在接触面上相互压紧，这种现象称为挤压。（2）挤压应力F挤压力Abs挤压面面积假定挤压应力在挤压面上均匀分布。（3）挤压面面积：挤压面为平面，面积为平面面积挤压面为圆柱面，取直径面面积，所得平均应力与最大挤压应力大致接近。（4）强度条件：例1 已知材料的剪切许用应力和拉伸的许用应力之间关系约为：=0.6，试求螺钉直径d和钉头高度h的合理比值。解：（1）拉伸强度条件为（2）剪切强度条件为故：例2 车床的传动光杆装有安全联轴器，当超过一定载荷时，安全销即被剪断，已知安全销的材料为30#钢，剪切极限应力u=360MPa，光杆可传递的最大力偶矩为Me=120N.m，试求安全销的最大直径dmax。解：与冲床工作原理相同，属剪切删除强度计算的反向题剪断条件为：即：故实 验思考题及作业题P93.11、2题备 注授课章节第五章扭转教学目的正确理解圆轴扭转时受力与变形的特点；掌握圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图。重点与难点教学重点圆轴扭转内力和应力的分析计算。教学难点圆轴扭转内力和应力的分析计算。教学方法以理论教学为主，结合多媒体教学。通过做实验、趣味力学比赛等实践活动，来加深理论知识的认识。增加随堂练习题和课后作业，来提高和巩固学生所学习的知识教学手段多媒体教学教学过程时间分配教学内容学时数5.1圆轴扭转的内力 25.2圆轴扭转的应力 2 教学过程设计51扭转的概念及及内力实例扭转的概念和实例一、扭转1、力的特点、外力偶矩计算、扭矩和扭矩图a. 力的特点：力偶的作用平面垂直于杆轴线b. 外力偶矩计算 M=9549N/n （NM） Mk=7024N/n （NM）c. 扭矩、扭矩图右手螺旋法： 拇指背离为正，反之为负 2、扭转变形分析：看图： （1）图周线间距不变；（2）各纵向平行线都倾斜了同一微小的角度，矩形成了平行四边形。 说明：（1）横截面没有正压力，（2）两截面发生错动 是剪力变，则必有存在，并垂直于半径 x=y 大小相等，方向相反，互相垂直证明：yA=yA ，形成一对力，据力偶平衡：上下面必有一对力与其平衡3、应力公式推导： 三个方面：a、变形几何关系； b、物理关系 ；c、平衡关系a、变形几何关系 看图 d=d 剪切角 d扭转角 =d/dx 说明： 垂直于半径b、物理关系： 实验所得： = G G=E/（1+ ） G剪切弹性模量 横向线应变由前式 ：（d/dx）G= 说明：与成正比，并是一次函数，垂直于半径c、静力平衡关系：微面积d上的剪力：d ，此剪力产生的微扭矩d=d整个截面：Mn = = =G 即： Mn= I/ 代入上式得上式写成： =Mn/I 实圆： I=D4/32 Wn=I/R=/16 I=（D4-d4）/32 Wn=（D4-d4）/16D横截面任一点剪应力 （最大） max=MnR/I=Mn/Wn 4、强度条件： max=（Mn/Wn） 5、薄壁圆环： Mk=MnMn=2 得 强度条件： max=Mmax/2 6、圆扭转的变形计算由前式 ：d=（Mn/GI）dx 两边积分d相距为dx两横截面的相对转角=MnL/GI工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。扭转有如下特点：1. 受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶-扭转力偶。其相应内力分量称为扭矩。2. 变形特点横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。若杆件横截面上只存在扭矩这一个内力分量则这种受力形式称为纯扭转。5-2圆柱扭转时的应力和变形圆轴扭转时横截面上的切应力一、 实验现象和平面假设 为了确定圆轴扭转时横截面上的应力，同样必须要研究圆轴的变形，也就是说要对圆轴进行扭转变形试验，把观察到的变形现象进行分析，提出一些假设，从而进一步寻找变形的几何关系，再综合考虑物理和静力学方面，最后才能导出应力公式。为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面上画上几条纵向线和圆周线（图3-7a）。然后施加外力偶矩 ，使圆轴发生微小的弹性变形（图3-7b）。这时可以看到以下变形现象： 1 所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了同一角度 ，变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成菱形。2 所有圆周线都相对地绕轴线转过了不同角度，且圆周线的大小、形状及其相互之间的距离均保持不变。根据观察到的现象，作如下假设：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两横截面之间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。按照这一假设，可设想圆轴的横截面就像刚性平面一样绕轴线转过了一定的角度。以平面假设为基础导出的圆轴扭转的应力和变形计算公式，符合实验结果，且与弹性力学公式一致，从而说明该平面假设是正确的。根据平面假设，既然圆轴横截面的形状、大小及其相互之间的距离在变形后保持不变，说明圆轴无轴向线应变和横向线应变，因而可认为扭转圆轴横截面上无正应力，只可能存在切应力。同时由于圆轴的相对转动引起纵向线的倾斜，倾斜的角度 就是圆轴表面处的切应变。二、 横截面上的切应力计算公式推导1几何方面从图3-7b所示受扭圆轴中取dx 微段并放大于图3-8a中,再从所取微段中任取半径为的圆柱（图3-8b）。横截面nn相对于mm转过的角度 ，称为相对扭转角。以为半径的圆柱表面处的切应变用表示。因为变形很小，故由图3-8b可知：(a) 式中/dx表示扭转角沿轴线长度方向的变化率，在同一截面上它为一常数。所以切应变与成正比。2物理关系设圆轴服从虎克定律。则由剪切虎克定律（3-7）可知，半径 处的切应力为： (b)上式表明，横截面上任一点的切应力与该点到圆心的距离成正比。由于与半径垂直，所以切应力也与半径垂直。3静力学关系由于式（b）中/dx未知，故必须利用静力学关系式求取。考察微面积d(A)上的微切力 ，如图3-9所示。它对圆心O的微内力矩为 ，其合力矩即为该截面上的内力MX（由平衡条件可知：M（x）=T）。所以 (c)将式（b）代入上式，则有 （d）式中 ，称为圆截面对圆心的极惯性矩，是与圆截面的大小及形状有关的几何量，它描述截面的一种几何性质，其常用单位为 mm4或m4 。由（b）、（d）两式可得圆轴横截面上任一点的切应力为 (3-10) 式中Mx为所求横截面上的扭矩，Ip为截面极惯性矩，为所求点到圆心的距离。公式表明，距圆心为的一点处的切应力，与该点到圆心的距离成正比，与横截面上的扭矩成正比，与该截面对的极惯性矩成反比。对某一横截面而言，其上的扭矩Mx是常数，Ip也是确定的，故该横截面上的切应力仅仅是的线性函数。显然，在圆心处，=0 ，在圆轴表面处，=max ，且 （e）其中， 和 均为几何量，令 称为圆截面的抗扭截面模量，单位为mm3或m3。于是式（e）可以写成(3-11)由上述分析可知，受扭圆轴横截面上切应力分布规律如图3-10a所示。要运用以上公式计算横截面上的切应力大小，必须先计算截面的极惯性矩Ip和抗扭截面模量Wp。对于直径为D的实心圆截面（图3-11），取代入 可得（3-12）从而 （3-13）若圆轴为空心圆截面（图3-12），该截面的内径为d，外径为D，则（3-14）（3-15）其中 ，=d/D为截面内、外径之比。受扭空心圆截面上切应力分布规律如图3-10b所示。公式（3-10）可适用于任何实心或空心圆截面的受扭圆轴。若对于空心圆截面，当内、外径非常接近，特别是当 时，空心圆轴可视为薄壁圆筒（图3-13）。因为薄壁圆筒的壁很薄，故可认为横截面上的切应力均匀分布，此时横截面上的切应力为(3-16)式中R0为薄壁圆截面的平均半径，为壁厚，该公式可适用于任何受扭的闭合薄壁杆。二、 切应力互等定理(纯剪切)三、 在图3-14a所示受扭圆轴中，A为圆轴表面处的任意一点。用四个平面和一个圆柱面围绕A点切出一瓦片状微块体（图3-14b）。因微块体尺寸很小，故可视为边长为dx、dy、dz的正六面体（图3-14c），即单元体。图 3-14因为单元体的左右两侧面是圆轴的部分横截面，所以这两个侧面上有切应力，且左侧面切应力方向向上，右侧面的方向向下。这一对在单元体左右两侧面上的合力 组成一力偶，大小为。为使单元体保持平衡，必有另一等值反向的力偶作用在单元体上。因此，单元体的上下侧面上必存在切应力，它们的合力组成力偶 ，并与力偶平衡，即()dy = 从而 =由此可见，在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必成对存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线。这一规律称为切应力互等定理。该定理具有普遍意义，即任何两个相互垂直的平面，只要一个面上有垂直于两平面交线的切应力，而不管该平面上是否同时存在正应力，另一个面上也必有切应力存在，其大小和方向均符合切应力互等定理的规定；反之，一个面上没有垂直于两平面交线的切应力，另一面上也没有相应的切应力。图3-14c所示单元体，四个侧面上均只有切应力而无正应力。单元体的这种应力情况称为纯剪切应力状态，简称纯剪切。由于单元体的前后面上均没有应力，因此为方便起见，A点的纯剪切应力状态通常画成图3-14d所示的平面形式。圆扭转时横截面上的应力状态均为纯剪切应力状态。例3-3 一直径为D=50的圆轴，受到扭矩Mx=2.15kNm的作用。试求在距离轴心10处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。解 首先求截面的极惯性矩 根据公式（3-10）有而 87.7Mpa例3-4 如将上题中轴的实心圆截面改为内、外径之比为1：2的空心圆截面，要使两种情况产生相同的最大切应力，求此时空心截面的外径，并比较实心轴和空心轴的重量。解 由上题求得实心圆截面。设空心圆截面的内、外径分别为d和D,=d/D=1/2，此时横截面上最大切应力为 = Pa ，根据题意必须有 ，从而可求得D=51.1mm。实 验思考题及作业题P97.1、2、3题备 注授课章节第六章 直梁弯曲教学目的使学生对梁的弯曲这一基本变形获得比较全面系统的基本知识。掌握梁弯曲正应力、弯曲剪应力的计算方法；能够进行梁的强度计算；了解提高梁强度的措施。重点与难点教学重点梁的内力的计算方法；梁的内力图的画法和应力及其强度的条件。教学难点梁的内力图的画法和应力及其强度的条件。教学方法以理论教学为主，结合多媒体教学。通过做实验、趣味力学比赛等实践活动，来加深理论知识的认识。增加随堂练习题和课后作业，来提高和巩固学生所学习的知识教学手段多媒体教学教学过程时间分配教学内容学时数6.1 平面弯曲和梁的形式； 26.2梁的内力剪力和弯矩； 26.3梁的内力图剪力图和弯矩图； 26.4梁的应力及其强度条件 2教学过程设计61 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念与实例弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。 例如：火车轮轴受力后的变形；工厂车间里的行车受力后的变形；还有水泥梁、公路上的桥梁等受力后的变形。 弯曲：构件在通过其轴线的面内，受到力偶或垂直于轴线的横向外力的作用（受力特点），杆的轴线由直线变为曲线（变形特点）。 梁：变形为弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，工程上习惯称之为梁。 平面弯曲：如果梁有一个或几个纵向对称面（梁的轴线应为该纵向对称面内的一条平面直线，且该纵向对称面与各横截面的交线也是各横截面的对称轴），当作用于梁上的所有外力（包括横向外力、力偶、支座反力等）都位于梁的某一纵向对称面内时，使得梁的轴线由直线变为在纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形就称为平面