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文档简介
c a h n h i l l i a r d 方程的高精度数值方法 摘要 c a a n h i l l i a r d 方程是一类重要的四阶非线性扩散方程,此类方程很难求得 解析解,只能借助于数值方法来求它的近似解。此方程具有很强的非线性性质, 解对初值是敏感的,数值方法也不容易得到结果。本文主要讨论c a h n - h i l l i a r d 方程的数值解法。主要内容如下: 我们首先在引言部分介绍了c a h n - h i u i a r d 方程的应用背景,总结了国内外 学者的研究工作现状,简要介绍了本文工作的主要思路,把理论分析所需要的 基本知识进行了概述。 正文部分,分为三章来分别研究c a h n h i l l i a r d 方程和扩展的c a h n h i l l i a r d 方程( e o m 方程组) 初边值问题的高精度方法。 首先在第二章对一维c a a n h i l l i a r d 方程用b 样条g a l e r k i n 方法进行离散, 建立解此方程的离散有限元格式,证明了此格式保有该方程的两个重要性质: 总能量非增性和质量守恒性。由s o b o l e v 引理证明在最大值范数意义下解是有 界的,进而给出有限元解的稳定性分析,得到误差阶是o ( h 4 + 7 - 2 ) 的2 范数误 差估计。 第三章分别构造了解c a h n - h i l l i a r d 方程两层和三层紧差分格式,两种格式 同样保有原方程的质量守恒性质,利用归纳假设的方法进行了稳定性和收敛性 分析,得到的近似解的离散l 2 范数o ( h 4 + 7 2 ) 阶误差估计式。 第四章对描述相分离现象的另一种方程,也是c a h n h i u i a r d 方程的扩展形 式- - e o m 方程组用b 样条g a l e r k i n 方法近似求解,并根据能量法对近似解进 行了稳定性和收敛性分析。 关键词:c a h n h i l l i a r d 方程,b 样条g a l e r k i n 方法,紧差分格式,误差分析 h i g ho r d e ra c c u r a t en u m e r i c a lm e t h o d s f o r c a h n - h i l l i a r de q u a t i o n s a b s t r a c t c a h n - h i l l i a r de q u a t i o ni sa ni m p o r t a n tf o r t ho r d e rn o n h n e a rd i f f u s i o ne q u a - t i o n ,s i n c ew ec a n n o th o p ef o ra n a l y t i c a ls o l u t i o n s ,w em u s tr e s o r tt on u m e r i c a l m e t h o d st os o l v et h ec a h n h i l l i a r de q u a t i o n e v e nn u m e r i c a ls o l u t i o n sf i r en o t e a s yt oo b t a i n t h i si sp a r t l yb e c a u s et h es t r o n gn o n l i n e a rb e h a v i o ra n dt h e d e p e n d e n c eo ft h es o l u t i o no nt h ei n i t i a ld a t au ( z ,0 ) i sv e r ys e n s i t i v e o u rm a i n w o r ki st h a td i s c u s st h en u m e r i c a ls o l u t i o n s f i r s ti np r e f a c e ,w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d sa n ds i g n i f i c a n c e so fc a h n - h i l l i f i r de q u a t i o n ,t h ep r e s e n ts t u d i e so fh o m ea n da b r o a dr e s e r c h e r sa r es u m m a - r i z e d ,i n t r o d u c e sm a i ni d e ao fo u rw o r k ,s p r e a do u tr u d i m e n t a r yk n o w l e d g et h a t b eu s e d t h em a i nb o d yo ft h ea r t i c l ec o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ,w h i c hs t u d yi n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fc a l m h i l l i a r de q u a t i o na n dak i n do fc a h n h i l l i f i r d e q u a t i o nw i t hm e t h o d sh a v eh i g hd e g r e eo fa c c u r a c y t h ec h a p t e rt w oc o n s i d e r st h eo n ed i m e n s i o ni n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b - l e mo fc a h n h i l l i a r de q u a t i o n i tu s i n gbs p l i n eg a l e r k i nm e t h o dd i s c r e t e st h e s p a c i a lv f i r i a t e c o n s e q u e n t l y , i tc o n s t r u c t st h ef i n i t ee l e m e n tf o r m a t sf o rt h i s f o u r t ho r d e re q u a t i o n ,t h e np r o v e st h et w of a m o u sp r o p e r t i e st h a tt h et o t a lm a s s c o n s e r v e da n dt h et o t a lf r e ee n e r 9 3 rd e c r e a s e sw i t ht i m e w ep r o v e st h a ta p - p r o x i m a t es o l u t i o ni sb o u n d e da tm a x i m u mn o r mb ys o b o l e vl e m m aa n d o b t a i n s o ( h 4 + t 2 ) e r r o r s t h ec h a p t e rt h r e e ,w ec o n s t r u c t st h et w ok i n d sc o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c e s c h e m ef o rc a h l 3 - h i l l i a r de q u a t i o n t h et w on e ws c h e m e sa l s oi n h e r i tt h ec o n s e r - v a t i o no fm a s sp r o p e r t i e s t h e n ,b ym e t h o do fi n d u c t i v ea s s u m p t i o n ,w ep r o v e t h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo ft h en u m e n c ms o l u t i o n ,t h eo r d e ro fe r r o ri s p f + 一) t o o c a h n h i l l i a r d 方程的高精度数值方法 t h ec h a p t e rf o u r ,w eu s eb s p l i n em e t h o dt os o l v et h ee o me q u a t i o nw h i c h a l s od e s c r i b et h ep h a s es e p a r a t i o n ,p r o v et h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo ft h e n u m e r i c a ls o l u t i o nw i t he n e r g ym e t h o d k e y w o r d s : c a h n h i l l i a r de q u a t i o n ,g a l e r k i nm e t h o do nb s p l i n e s , c o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ,e r r o re s t i m a t e s x 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名:叛唐签字日期:碲岁月弗日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘,允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名: 越詹 签字日期:如节年岁月) 乒日 学位论文作者毕业后去向: 工作单位: 通讯地址: 导师签字: 确、缘叮搪 j 签字日期7 年,月印日 电话: 邮编: 第1 章引言 1 1方程背景 众所周知,能求得精确解的微分方程为数不多。特别是偏微分方程定解问 题,要求出它们的精确解是非常困难的。在这种情况下,求解微分方程的数值 方法具有十分重要的实际意义。g a l e r k i n 方法,有限差分法都是求解偏微分方 程定解问题有效的数值方法。 自从计算机问世以来,求解偏微分方程定解问题的数值方法取得了长足的 发展,在数值分析中占有极其重要的地位。有限差分法因为其良好的性质得到 普遍的应用,它能产生稀疏阵,节约存储,计算简单。构造高精度的差分格式一 直是数值分析工作者努力的方向。高精度的紧差分方法不仅能节省计算量,而 且能得到较精确的数值结果。g a l e r k i n 方法作为一种求解偏微分方程定解问题 的有力数值方法,是以变分原理为基础的。其基本思想是:先将偏微分方程定 解问题化成与之等价的变分问题,再用有限维空间来逼近变分问题中的无穷维 空间,最后通过求解常微分方程组或代数方程组得到某种精度的近似解,其关 键是逼近空间的构造,根据逼近空间构造方法的不同,g a l e r k i n 方法常用的有 两种:一种是谱方法。所谓谱方法是建立在三角插值基础上的配置方法。由于三 角插值具有很好的逼近性质,这使得谱方法成为一种高精度的数值方法。但是 谱方法的应用范围受到限制,主要反映在求解问题的边值条件上面。另一种是 有限元方法,它基于样条函数提供的一种选取逼近空间的“局部基函数”或“分 片多项式空间”技巧,这是二十世纪六十年代迅速发展起来的求解偏微分方程 定解为题的一种有效的数值方法,在固体力学、流体力学、物理学和其它工程 学科中得到了广泛的应用。 c a h n h i l l i a r d 方程是一类重要的四阶非线性扩散方程,最初是由c a h n 和 h i l h a r d 1 于1 9 5 8 年在研究热力学中两种物质( 如合金、聚合物等等) 之间 相互扩散现象时提出的,后来在描述生物种群竞争与排斥现象2 1 ,河床迁移 过程 3 】,固体表面上微滴的扩散4 1 等许多扩散现象的研究中也提出了同样 的数学模型。系统研究c a h n - h i l l i a r d 方程是从八十年代以后才开始的。由于 c a h n - h i l l i a r d 方程具有很强的非线性性质,构造高效的数值方法具有一定的 c a h n h i l l i a r d 方程的高精度数值方法 难度。近年来关于该方程的数值方法研究受到了广泛关注,对于该方程的数 值方法已有丰富的研究,从中发现,建立保持能量非增及质量不变的离散格 式是数值方法的关键。如e l l i o t t 和f r e n c h 5 1 等应用协调有限元方法和隐式 时间离散格式进行数值计算,在其全离散格式中,由于不存在l y a p u n o v 泛 函,其数值解的有界性估计不能建立。随后e l l i o t t 和f r e n c hf 6 1 应用非协调有 限元方法对方程进行了数值研究。e l l i o t t ,f r e n c h 和m i l n e r 7 1 等利用方程 的混合形式,给出了一个半离散格式,此格式保持了方程所具有的能量非增 及质量守恒性质。e l l i o t t 和l a r s s o nf 8 1 ,张铁f 9 1 讨论了空间半离散和全离 散的有限元方法,而且在光滑初值和非光滑初值的条件下给出了误差的最优 阶。e l l i o t t 和z h e n g 1 0 1 引入了一维协调g a l e r k i n 有限元,并证明了如果初值 仳( z ,o ) 属于磁三 ,h 2 ( q ) ,厶u = o ,那么c a h n - h i l l i a r d 方程就会有唯 一解乱( z ,t ) 日4 , 1 ( qx ( 0 ,丁) ) 。d u 和n i c o l a i d e s 1 1 1 讨论了一维c a h n h i l l i a r d 方程的d i r i c h l e t 问题,利用混合形式,建立了半离散和全离散格式,并证明 此格式保持能量非增性质。f u r i h a t af 1 2 1f 1 3 1 建立了一个保持能量非增和质 量不变性质的差分格式。叶,程等 1 4 1 利用f o u r i e r 谱方法、f o u r i e r 配点法 对一维c a h n h i u i a r d 方程进行了研究,f e n g 1 5 1 应用混合有限元法研究了高 维c a h n - h i l l i a r d 方程。y x i a ,y x u ,c w s h u 1 6 1 将l d g 方法发展到 c a h n h i l l i a r d 方程上。c a r t ,g u r t i n 和s l e m r o sf 1 7 1 研究了c a h n - h i l h a r d 方程 解的稳定性。s u n 1 8 1 提出了一个线性的有限差分格式,并证明了此格式有唯 一解且是二阶收敛的。其它关于c a h n - h i l h a r d 方程的研究见文献1 9 1 f 2 0 1 a 本文的具体内容如下:研究一维的c a h n h i l l i a r d 方程 j 家= 蓐等,z ( 吼) c r , 0 l 筹= ;u + r 乱3 + q 辔, 应用具有较好光滑性的三次b 样条插值函数对方程进行离散近似;再对方程中 的时间变量t 进行离散。这样做的原因是:样条有限元适合于各种边界条件,对 n e u m a n n 边界条件作为约束条件的影响极微,所使用的三次样条有限元空间维 数为n + 3 ( n 为剖分子空间的个数) ,而一般逐段三次h e r m i t e 多项式有限元 空间为2 n + 3 维,且三次样条内插式为俨函数比h e r m i t e 三次内插( c 1 函数) 更光滑。第三章分别采用了两层和三层高精度的差分格式对上述方程进行离散, 对差分格式的性质进行了分析,用归纳假设的方法给出了稳定性和收敛性估计。 第四章研究c a h n - h i l l i a r d 方程的推广形式e o m 方程组的b 样条g a l e r l d n 方 2 c a h n h i l l 队f 方程的高精度数值方法 法,进行了理论分析。 1 2 1s o b o l e v 空间 1 2预备知识 定义1 1( 妒空间) 设qc 船为一有界区域,在q 上l e b e s g u e 可测,且 川f ( x ) i d x + 。c , 的函数f ( x ) 全体为汐( q ) ,如果l p + 。c ,定义范数 驯o ) = ( i f ( x ) l p 如) ;, 则汐( q ) 是一个b a n a c h 空间。如果p = + 。c ,定义范数 | | ,l | l ( q ) = i l f l l 。= m ( i n f ) :。( q s u p i ( z ) i ) = e s s s z u q p i f ( z ) l 则l 也构成一个b a n a c h 空间,称它为本性有界函数空间,相应的函数称为本 性有界函数。 定义1 2 ( s o b o l e v 空间) 设m 为非负整数,1 p + 。c ,记 w m ,p = u l p ( q ) 1 6 p t 正二p ( q ) ,l q i m ) , 并赋予范数 i 私”m 巾= ( 1 ilolll,(a)al g , v 俨,p ( ,) q 七,p ( n m k 4 c a h n h 皿l 队r d 方程的高精度数值方法 1 2 3 几个常用不等式 引理1 4 ( 连续形式的g r o n w a l l 不等式) 设妒( 芒) 和g ( t ) 为 0 ,卅上的非负连 续函数,且砂( t ) 在【0 ,刁上可微,若存在常数q o ,使得对任意t ( 0 ,t ) ,有 或等价地 则有 咖7 ( t ) a ( 亡) + 9 ( t ) , 砂( ) ( 。) + f n ( 丁) + 9 ( 丁) i d a - , ( z ) e a 。咖( 。) + 9 ( 丁) e a ( t f ) 抚右 。,明 引理1 5 ( 离散形式的g r o n w a l l 不等式) 设为k 非负整数, ) 为离散函 数,满足不等式 m 一1 j j p + 口 j 咖l ,m = 七,七+ 1 ,m h 正 j = o 其中zq o ,o 为常数,若4 m o2 。g 墅1i 咖l 则有 i e q r ( z + a k h m o ) ,仇= k ,后+ 1 ,m z 引理1 6 【p o i n c a r d 不等式) 设52 是时甲的有界区域, ( j ) 若u 仉吉p ,1 p + 。o ,则 上川p 如c ( 佗mq ) 上l v u l p 如, ( 约若a q 满足局部l i p s c h i t z 条件, t t w 1 p ( q ) ,1 p + 。o 则 上l 仳一乱q i p 如c ( 佗,p ,q ) z i v u p 如, 其中 一高上毗 5 c a h n h i l l i a r d 方程的高精度数值方法 引理1 7( y o u n g 不等式) i la 和b 为正实数,p 1 ,q 1 ,且;1 + ;= 1 则有 口6 一a p + 一b q , pq 特别地,当p = q = 2 时,上述不等式也称为c a n c h y 不等式。 设 0 ,在上述不等式中用e l p a 和e l p b 分别代替a 和b ,可得 引理1 8 ( 带e 的y o u n g 不等式) 设a 和6 为正实数, 0 ,p 1 ,q 1 , 且三p + 百1 = 1 ,则有 a 6 一e a p + e - q p b q pq 特别地,当p = q = 2 时有 称它为带e 的c a n c h v 不等式。 口6 三“去6 2 , 引理1 9 ( h 6 1 d e r 不等式) 设p l , q l ,且;+ ;= 1 ,若,p ( q ) , 9 4 ( q ) ,则,9 l 1 ( q ) ,且 上抓z ,夕c 刮出( 上叭圳p 如) 坳( 上叭删a 如) v g 引理1 1 0 ( m i n k o w s h i 不等式) 设1 q + 。:,9 汐( q ) ,则,十g p ( q ) ,且 l l ,+ 夕i k ,( q ) | | 厂i k ,( q ) + i | 夕l k ,( q ) 引理1 1 1 ( s c h w a r z 不等式) 设f ,9 l 2 ( q ) ,则 i ( 六9 ) l :( n ) i m h q ) 吲h n ) 1 2 4b 样条有关性质 b 样条曲线方程定义为: p ( t ) = 只北刖, i = 0 6 cah n - h i l l l a r d 方程的高精度数值方法 其中,只( i = 0 ,1 ,n ) 是控制多边形的顶点,批,七( 亡) ,f = 0 ,佗称为后阶( k - 1 次) b 样条基函数,其中每一个称为b 样条,它是一个称为节点矢量,即非递 减的参数t 序列t :t o t 1 t n + k 所决定的后阶分段多项式,也即为七阶( 七一1 次) 多项式样条。下面简单介绍它的有关性质。 ( 1 ) 局部性 由于b 样条的局部性,尼阶b 样条曲线上参数为t t t ,t i + l 】的一点p ( t ) 至多 与七个控制顶点弓o = t 一凳+ 1 ,i ) 有关,与其他控制顶点无关;移动该曲线 的第i 个控制顶点r - 至多影响到定义在区间( t i ,t i + k ) 上那部分曲线的形状,对 曲线的其余部分不发生影响。 ( 2 ) 连续性 p ( t ) 在r 重节点屯( 七i 扎) 处的连续阶不低于七一1 一r ,整条曲线p ( t ) 的 连续阶不低于七一l 二- r 一,其中r 表示位于区间( “一1 ,t n + 1 ) 内的节点的最 大重数。 ( 3 ) 凸包性 p ( t ) 在区间 t i ,如十1 ) ,七一l i n 上的部分位于后个点只一七十1 ,最的凸包 q 内,整个曲线则位于各凸包g 的并集ug 之内。 ( 4 ) 分段参数多项式 p ( t ) 在每一个区间t 艺件1 ) ,七一1 i 扎上都是次数不高于七一1 的参数t 的多 项式,p ( t ) 是参数t 的七一1 分段多项式。 ( 5 ) 导数公式 由b 样条基的微分差分公式,有 p 似) = ( 壹只m 刖) = 妻i 只诎( t ) = ( 七一- 。卅,= 0 n f ) f ip i-pi-1i=0i = 0 1n t 【t k 一1 ,t n + 1 ( 6 ) 几何不变性 b 样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。 7 第2 章b 样条g a r l e r k i n 格式 考虑c a h n h i l l i a x d 方程的如下初边值问题: 豢:等等,z ( o cr ,t o , 瓦2 礤瓦, z l jc 氕, 。 u , 鲁= 叫州+ g 象, 让( z ,0 ) = 蜘( z ) , 豢b :裳b :o , 历1 z = o2 瓦b l 2 u 蕊0i5g。:。:孬o,5gii z :l :o 6瓦否i5 0 一瓦u 弘l u ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中系数p ,口和7 都是常数并且p 0 ,g 0 。方程中牡( z ,t ) 代表 两种混合物中的一种成分的分布函数。c a h n - h i l l i a r d 方程是1 9 5 8 年c a h n 和 h i l l i a r d 在研究一个叫做旋节线分解的体相分离现象时提出的。当一个包含着 两种到三种成分的均质系统从较高的温度迅速冷却一个临界温度时,相分离现 象就发生了。 函数g 表示局部自由能称为g i n z b u r g - l a n d a u 自由能。函数g 与鲁有以 下关系 h m lfolg(-啦一l g ( 啦) _ z l 和 从而很容易得到 ( 2 6 ) g ( 出一) = 矿12 + 丢r u 4 _ - 互1 9 ( 赛) 2 ( 2 7 ) 本章对上述初边值问题建立一个全离散三次b 样条g a l e r k i n 逼近格式,证 明近似解满足质量守恒和总能量递减的性质,进而给出近似解的稳定性和收敛 阶估计。 2 1 三次b 样条g a l e r k i n 格式 用日m ( o ,l ) 表示通常意义下的s o b o l e v 空间,相应的范数为 j l m = 纠2 , 日。( o ,l ) = l 2 ( 0 ,l ) ,相应的内积和范数分别记为( 。,) 和”i l 。记 赡= u h 2 ( o ,l ) ,( o ) = ( l ) = o ) 问题( 2 1 ) ,( 2 ,2 ) 的等价变分问题是:求u ( 亡) i ( o ,明_ 日刍,满足 f ( u ) = ( 籍,z ) ,v v 磁, 1 也( o ) = , ( 2 8 ) 其中毗= 镜,= 磬 。 l ,t :t m ,护:n t ,n = o ,1 ,m ,让n = u ( z ,护) 。为了能得到 姿 b 样条插值近似解u ,我们向两边扩充两个点z 一和z 十1 。这样寻次b 样条基 函数b m ( z ) ,m = 一l ,0 ,n ,+ l 可表示为 f ( z z m 一:) s x r n - 2 ,一,】 l 扩+ 3 炉( z z m 1 ) + 3 h ( z z m 1 ) 2 3 ( z 一玉m 1 ) 3 陋一l ,。m ! 眦,= 嘉p 3 萨x m + l - - x ) 尝2 _ 3 m + 1 川r 羔芝, i 。 优k i 者 设c a b n h i i l i 缸d 方程的全局三次b 样条近似解可表示为 n 十l 【,( z ,t ) = 岛( z ) 西( t ) , j = - i 其中如( t ) 是关于时间变量的函数,满足 g ( x m ) v 7 ( z m ) u ( z m ) = 如一1 + 4 靠+ 如+ 1 , 要( _ ) 去( 6 h 一- 一1 2 如+ 6 巧m + 1 ) , 1 0 c a h n h l l a r d 方程的高精度数值方法 利用边界条件u x ( o ,t ) = 钍z ( 己,t ) = 0 ,并记 则近似解 仍= b ,j = 0 ,2 ,一2 ,n , ( 2 1 0 ) 妒1 = b l ( x ) + s l ( x ) ,妒一i = b n l ( x ) + b n + i ( x ) , n u ( x ,亡) = 伤( z ) 岛( ) j = o 令= s p a n 妒i ( z ) ,i = 0 ,1 ,) 是赡的有限维子空间,显然 c 赡 记侥泸= 可u n + l _ u n ,u 时= 学 问题( 2 8 ) 的g a l e r l d n 格式为:求u n + 1 v h ,满足 c 妒= ( ( 铲5 触) ,氓 仁圳 其中 ( * = p 伊h ( u 2 r 扣+ ;+ g 噶 ( 2 1 2 ) 方程( 2 1 1 ) 的矩阵形式如下 ( 2 a a t ( p b + r d ( t ) + q e ) ) 6 州。1 = ( 2 a + a t ( p b + r d ( t ) + g e ) ) 扩,( 2 1 3 ) 其中 扩= ( 嚣,曰,婚,) t , a = ( 七) , b = ( ) ,d n = ( 啄) ,e = ( 啄) n _ j 七= ( 妒忌,町) ,b 七= ( ( 妒七) z ,( 妒j ) ) , 啄= ( ( 2 ) n + 妒七,( 叻) 。) ,勺七= ( ( 妒七) z ,( ) ) 实际计算上述( + 1 ) x ( n + 1 ) j c - e 阵由4 、单元矩阵叠加得到。 c a h n h i l l 队r d 方程的高精度数值方法 2 2 稳定性证明 本部分主要证明由格式( 2 1 1 ) 给出的解在日1 和l 范数下是有界的,即 上述格式是稳定的。证明包括两部分。 2 2 1 守恒性质 我们知道c a h n h i l l i a r d 方程满足质量守恒性和总能量非增性,即 卜囱我们将让明g a l e r k i n 袼式保待上述荫个性质o 1 质量守恒性 格式( 2 1 1 ) 中取诜= 1 即得 二a l t ( j ( l 矽n + 1 如一z 工u n d z )。n = z 二写笋如一o , 那么 f o lu n + l d z = j :u n a z 质量守恒性质得证。 2 总能量递减性 由 c ( u n ) = 圭p ( u n ) 2 + 互1r ( u n ) 4 一去q ( e ,n ) 2 , ( 2 1 4 ) ( 2 。1 5 ) 如 c ; “ 一 l z 广厶 ; 一 如 如 t、 l g u 厂一 0 l u厂厶 厂上d一出 c a i n h l l a r d 方程的高精度数值方法 则 壶l g ( - g ( ) 如 = 击知州坩,( 筹) 5 如 一忐z l 妒+ 1 邓n 州州坩吼伊1 抄k d x , t1 u n + l r _ u n( 筹) 5 如 由cc 2 及( 2 1 1 ) 可知 所以 即 c a u n ,= ( ( 篑) n + 5 ,c ,) , ( ( 篑) 址) i 脚如一o l g ( 如= - a t o l ( c 秘;) 2 如, ( 2 o lc ( 矿n + 1 ) 如o l g ( u n ) 如 2 2 2 稳定性证明 定理2 1 l l u 刈i 五丽f 去= 刁巧( z lg ( 扩) 如+ 五9 p 7 2 三) 1 3 ( 2 1 7 ) c a h n h i l l i a r d 方程的高精度数值方法 让明:汪思到p 如 m i n ( 一p ,一互1 9 ) z l ( n ) 2 + ( 矿n z ) 2 ) 如一互9p 7 2 l = 血n ( 鸭- - 9 1 ) l i 咄一兰各 由定理2 1 及s o b o l e v 不等式l i u n i l l 一m a x 何,v 匾 i i u n i l l 得到下 面推论 川妒忆。s 衙骊丽丽。 2 3 误差估计 由近似解的上述有界性估计及样条插值的逼近性质,并利用椭圆投影等技 巧,本部分将对格式( 2 8 ) ,( 2 1 1 ) 给出的数值解进行误差估计。 本节中的m :,c 表示广义常数,在不同位置有所不同。 定义双线性泛函 a ( u , ) = - q ( u 。z ,王) + ( u ,u ) ,v u , 月暑 显然双线性泛函是有界的。 由边界条件札。( o ) = u x ( l ) = 0 可知 如) = ( 0 :r ( s ) 幽) 2 外- 0 ) z z 似s ) | 2 d s 同理 设垆( z l 咄) 幽) 2 郇二。) 小删。如 c a h n - h i l l i a r d 方程的高精度数值方法 即 ( 三一z ) “:( z ) ( l z ) ( z 一0 ) l u z z ( s ) 1 2 d s , 产z j 0 ( z o ) 遽( z ) ( 三一z ) ( z 一0 ) l 仳拓( s ) j 2 d s ,l z 上面两式相加得 由此可知 所以 三( l x ) x l l u 。z | | 2 , 嘶工1 1 2 量i k i l 2 o 工( l 一咖如 陉勘北 。( 邺) = 一g | f 2 + i i “i i 2 ( - q l l 乱j | 2 - 扣z i i 2 + i i 圳2 ) m i n 似,一百3 q ,1 ( 1 1 1 1 2 + | i 珊i i + i i 训2 ) , 即此双线性泛函满足强制性条件 8 ( 铿,牡) 7 l 毯 l ;, 其中7 = r a i n 一,一罄,1 ) 为了估计误差,定义一个椭圆投影如,满足r h :磁一, o ( u r h u ,) ( ) = 0 ,x 坛, ( 2 1 8 ) 设u n = 乱( z ,t n ) 是方程( 2 8 ) 的解,u n k 是方程( 2 1 1 ) 的g a l e r k i n 近似 解。方程( 2 8 ) 可以记为 c a u n ,u ,= ( ( 等) 卅5 ,) + c 正,王,一c 乃,u , c 2 1 9 , 其中 死= 瓢k 圹( 等) 叶5 ,t 2 = u t ( 叫n + ;m 矿 c a h n h i l l i a r d 方程的高精度数值方法 根据筹的表达式,( 2 1 9 ) 可化为 ( 岛矿,u ) 一q ( 越专,) = p ( 让n + ,z ) 4 - 7 ( ( 牡2 ) 几+ j 1 让叶,) + ( 冗,z ) 一( 正,口) ( 2 2 0 ) 方程( 2 1 1 ) 可写为 ( 侥矿n ,) 一g i l r r z n 互- l - ,( ) z ) = p ( u n + ;,( ) z 。) + 7 ( ( u 2 ) n + 矽n + ,( ) 船) + ( 丑,( v h ) x x ) 一( 卫,v h ) ( 2 2 1 ) 设矿一u n = 矿+ 0 n ,p = u r h u ,0 = r h u 。由r h 的定义,很容 易得到 o ( p ,魄) = 0 ,v v h k ( 2 2 0 ) ,( 2 2 1 ) 两式相减得到误差方程如下 ( 侥矿,慨) + ( a 铲,魂) 一g ( p 譬;,( ) 。2 ) 一瓠i 口n n + ;,( 弼) z 盅) = p ( p “十 ,( u ) 。z ) + p ( 口“+ j ,( ) z z ) + r ( ( 牡2 ) n + 矿+ ;一( u 2 ) n + 矿n + ,( ) ) + ( 死,z ) 一( 正,u ) ( 2 2 2 ) 由( 2 1 8 ) 得q ( p j 专,( v h ) z ) = ( p n + ,v h ) ,所以上式记为 ( 反俨,v h ) 一g ( 聪壹,( ) ) = p ( 矿+ ,( ) z $ ) + p ( 目n + ,( ) 。) 一( p n + j , h ) 一( a t p “, u ) + ( 五,魄z ) 一( 正,u ) + 7 ( 死,( v h ) z z ) ,( 2 2 3 ) 其中t 3 = b ( 札n 十) 一b ( u n 十) ,记b ( u n 十) = ( u 2 ) n + ;u n + 设线性算子a u = g 札嚣2 z + u ,那么对于椭圆问题 吼a w - g :乏小。,l 。 ( 2 2 4 ) v g l 2 ,有且只有一个w 醒nh 4 ,并且有正则性估计l l 1 1 4 c l l g l l 引理2 3 存在一个与铁h 无关的常数m ,使得 l l u r a u i m h l l u l l 4 ,v u 磙nh 4 c a h n h i l l l a r d 方程的高精度数值方法 同理 证明:v 9 l 2 ,a u = g 其中 ( u r h u ,9 ) i = i ( u 一玩u ,a u ) i = i a ( u r h u ,u ) l = i o ( u r h u ,u 一凰u ) l m l l u 一如训i z l i u r u lj 2 m h 4 1 1 “1 1 4 1 1 u 1 1 4 m h 4 1 1 4 吲l , 取9 = u 一硫札,则i f 让一r h u i m h 4 1 1 “1 1 4 证毕 ( u r 矗乱) t l i m 7 l l 饥1 1 4 ,乱只刍n 日4 定理2 4 设“h 3 ( o ,丁;日4 ) 和u 分别是偿矽和俾_ j j 的解,初值满足 则存在常数k 使得 l f 缸。一沪l l = o ( h 4 ) , m a ,xi 旷一u 七l i k ( 下2 + h 4 ) 1 七 m ” ” 、 证明:取= 俨+ 代入( 2 2 3 ) 得 i i 俨+ 1 1 1 2 一i i o 州i i z 一2 9 圳唰n ;1 | 1 2 2 t ( j j 矿+ ;l j ij 侥p n l l + ij t zi i ) t l o n + 1 1 + 2 1 p l a t ( 1 i p + 1 1 + l i e + i l o x 竺5 i i + 2 龇( r l + 圳啦5 l l ”譬) 蛳岫f 2 + ( 3 + 譬) 古i i o 嘲1 2 + , a t i l 9 , p l t 2 + 蠢r 2 亡i i t 3 i i 。 + 去t i i t l i l 2 + t l i t 2 1 1 2 + 1 0 亡i l 篚;1 1 2 , ( 2 2 5 ) 1 7 c a h n - h i l l i a r d 方程的高精度数值方法 其中 乃i | 2 = 1 1 b ( 乱n + ) 一b ( u 叶) 1 1 2 = i i ( u 2 ) n + i 1u n + ;一( 乱2 ) n 十;u n + + ( 乱2 ) n + u n + 一( 2 ) n + ;u n + 1 1 2 = i i ( u 2 ) n + 互1 ( 矿十互1 一u n + ) + u n + ( 矿+ + v “+ ) ( 让n + 一u n + ) | 1 2 = 岖乱2 ) n 十+ u 叶( u n t - + u 叶) ) ( + 口n + 种 c l i p + 护+ 钏2 所以压r 2 l l 瓦1 1 2s _ r 2 c f t ( 1 l p n + + 口n + 钏:) 代入( 2 。2 5 ) ,并取e :寻,则 ( 2 2 5 ) 式可记为 1 1 0 - + 1 1 1 2 一i i o 刈2 ( 1 _ 警一丝2 q 池l i p + 钏2 + ( 3 一百5 1 p 1 2 5 r 么2 9 c 2 ) 酬州| 1 2 + a t l l p n l l 2 一云圳w + a t l i t 2 1 1 2 , 奠中 杪+ ;1 1 2 m h 8 i 妒+ 砒, 训2 f l 矾if 护t “+ l 删2 击慨| 1 2 蜒等一l 训瞄l 隅1 1 2 = i l u t ( z
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