（应用数学专业论文）模糊变量和模糊随机变量的熵度量的一般形式.pdf

abs t r a c t e ntr o p yisak i n dofmea 扫 u j e ofu n c e 此 a b 姚 y叨db 留b een st u di e d恤r a n d o m叨d fhazyfield s . unc e rt ai d t y 七 h eo ryisa g e 刀 e n c nameofp r o b abili tythe o ry ， c re d ibili tyt h eor y a n d f u z 叮r and om t h eory l et c 一 t heconcept ofcr 汕bi 1 ity theor y w hi c h st udiest hebeh avio r offu 二y ph如 menawas 目 v e n 勿l i u in2004 f b z zye n t r o p y b 朗b 脚 日 加d i e d 访 m a n y r 以 犯 ar ch娜， and e 毗r o 讨 ofhazyv ar 1 abl esincr e di b 1 li tyt h e 0 rywas d e fi ned 妙 liufr o m i n fo r m at i o n d e 五 州 cy. d 政r e n t fr o mpre vi o uss u r y y s ， 七 hea u t h o r d e 6 刀 esa g e n e r a l form ofe n t r o p yoffuzzyvan ables by d e 6 n i ng a g ene r alfo r mofe nt ro py off i1 z zy e v e d t s ， and we can obt a 切thatm o ste x i t ed fu z z ye n t r 叩ies ale j ust s o 幻 q e p a rt i c u la r forlns d e fi n e d int hi s p aper .f b rt h e r m o r e ， t he a u t hor p r o v l d 印a m e t h o dtogenerat e fu z z ye nt r o p y 句 d 诚ancem easu reorsi m il ar i tyme朋 ule ， andbrin 即。 皿 口 e new丘 12 叮e 刀 lt r o p ys u ch as wei ght ed一 e n t ro 伴 叨dp o y n o m l al-e n t ro 外 f 七 z zy彻 d o me ntro p yh asnot b een wid elr st u d l e d . int his p aper ， we d e 6 n e s a 罗n er ajfo r moffuzz y ran d om e 过 r 。 那 si m l l arl y ， a n d t h e d is c uss io n abo u t 五 扮 zyr and o me n t ropy iss h a 刃 ed， ke y w o r d s:e ntr o p y ， fuzz y eve nt， fuzzy r a n d om e v e nt， 五 l z zyvar l a b les， 允z zy r a n d o mvar i abl es 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了加以 标注和致谢的 部分外， 不包含其他人己 经发 表或公 布过的研究成果， 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。 与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己 在论文中 作了明 确的说明。 研 究 生 签 名 : 蜘照最 一 州年7 月右 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档， 可以 借阅 或上网公布本学位论文的 全部或部分内容， 可以向有关部门 或机构送 交并授权其保存、 借阅 或上网公布本学位论文的 全部或部分内 容。 对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名: 一和 、翼 里 -叫年 了 “ 6 日 硕士论文模糊变量和模糊随机变量的 嫡度量的一般形式 第一章绪论 本文主要就不确定理论中不确定变量的嫡度量进行研究，并分别给出模糊变量与 模糊随机变量的 摘度量的一般定义形式。本章将首先介绍国内 外研究的现状，然后将 给出本文的创新及主要工作。 ll 研究现状 不确定现象包括随机现象、模糊现象、模糊随机现象等，不确定理论研究的则 是现实世界中的不确定现象。随着研究的不断深入，不确定理论的涉及面己 经越来越 广， 包 括概率 论、 可信 性 理 论、 模 糊随 机理论以 及 混合 变 量降 刘 等。 模糊集合的概念是 z adeh叫在1 9 6 5 年引入的，当时是对集合中的每个元素赋 予一个隶属度函数，表示元素隶属于模糊集合的程度，在现实生活中应用极为广 泛。 z adeh!35 在1 9 78 年继 续引 入了 可 能性 测度对模 糊 集合进 行度量， 但是可能 性测 度 缺少 很重要的自 对偶 性. 为了 表现出 模糊度量的自 对 偶性， u u 和 l iu!1 5 在 2 0 02 年给出 了可信性测度的概念。可信性理论是数学的一个分支，主要研究模糊环境下的一些行 为。 为了 更系 统 地 研究 模 糊 变 量， l iu夕 lj 在 2 004年为 可 信 性 理论 建立了 坚实的 公 理 化 基础。 很多情形下，模糊现象与随机现象会同时出现，为了描述这样的一种情 况， k w a k e r n aa k 【 n 】 于19 78 年定义了 模糊随机变量， 它是 一个从概率空间到模 糊变量 集合的可测函数。后来众多学者针对各种需求推动了模糊随机变量的概念，出现了 许 多 意 义 下了 模 糊随 机 变 量 的 定 义。 li u 和 l iu!19 在 2 0 03 年 讨 论了 模 糊随 机变 量， 并 详 细 定义了基于可信性理论与概率论的模糊随机变量，给出了一个模糊随机事件很有用的 度量:机会测度。 不确定变量包括随机变量、 模糊变量以 及模糊随机变量等， 嫡就是用来度量不确 定变量不确定程度的。摘包括模糊嫡、随机嫡以及模糊随机嫡等，国内外关于不确定 变量嫡度量的研究如下: 硕士论文模糊变里和模糊随机变里的嫡度量的一般形式 ( 1)随 机 变量 嫡度量的 研究 19 48 年， shan non 份 5 提出了 随机信息嫡的 概 念， 文中主 要就通信中出 现的 编 码问题定义了随机不确定性的嫡度量，在通信领域中得到了广泛的应用。s h annon- 嫡的定义如下:假设我们研究的随机现象在集合 x= 丸， 勺， ， 纵 上， 尸= 沙 1， 2 ， 一 、 沙 任 0 ， 1 ，且 自 。 一 )是 集 合 上 元 素 的 概 率 分 布 我 们 用 h (尸 )来 表 示 这样一个概率分布的 嫡，这时嫡 h ( p)必须满足儿条必需的性质: 性质一是对称 性，也就是h 沪) 只跟概率分布情况有关，跟集合中元素先后顺序没有关系:性质 二是可扩展性， 若集合再加一个概率为0 的元素，则随机嫡h ( p)不发生变化; 性质 三是连续性，即 h ( p)对于 扒是连续的:性质四是大部分嫡度量必须满足的性质， 即 随 机 嫡 h ( p) 达 到 最 大 值 等 价 于 所 有 元 素 的 概 率 相 等 ， h (p ) = m 严 h 沪 ) 骨对 所 有 =1 ， 2 ， ， 。 有 跳=盖 。 这 个 性 质主 要是 说 当 集 合 中 元 素 概 率 相 等 时 是 最 不 确 定 的，也就说明了此性质的合理性;性质五如下，随着集合中元素个数的增加，等概 率 时 的 嫡 也 必 须 是 递 增 的 : 若 分 布 尸 对 任 意 满 足 扒 = 告 ， 分 布 户 对 任 意 * 满 足 药= 斋 ， 则 。 。 睁h 沪 ) h 伊) ， 这 个 性 质 称 为 单 调 性 ; 性 质 六 即 嫡的 最 小 化 条 件 : 随 机 嫡 h 伊) 达到 最小 值 时 等 价于随 机 性消 失， 即 存 在 某 个 落 使 得 ， =1 。 s h armon定义的 随 机信息嫡还有两条重要的 性质( 很大 程度上决定了 随机信息 嫡的 基本形 式) : 递 推 性和 可 加性. 这两个 性质 跟独立的 两个随 机 变量之间的 关 系有 很密 切 的 联 系 ， 从 而 导 致 了 下 面 的 sh an n on 形 式 的 嫡 : 一 艺 几 fo g ， . 德 =1 许多 学 者l降 0!3 周 对随 机嫡度量进行了 更 深 入的 研究， 实践 证明， 为了 更 广 泛 的应用，最后两个性质是可以弱化的。尽管有一定的应用局限性，但随着信息度量的 需要，s h a n n o n 提出的嫡形式应用已经越来越广泛。 ( 2 ) 模糊 嫡的 研究进 展 受到s h ann o n 定义的随机变量的嫡的影响，学者们开始研究其他不确定变 量的摘。 d e l uc a 和 1 飞 r n j n i 4， k a u fl 刀 a nn 1 0 ， hg e r 3 1 1 ， k o s ko 【 1 4 ， p al 和pal l2 61 ， b h a n d 刚和 阳 lsj ， 以 及 p a l 和 b 既 d e k 价 司 都 研究了 度 里 模 糊 嫡的 方法 由于模糊集合的非统计意义，模糊集合在现实生活中的应用极为广泛，发挥了很 硕士论文 模糊变量和模糊随机变量的嫡度量的一般形式 重要的作用。现实中存在大量的不确定现象，模糊的描述以及度量问题越来越为人们 所关注。一个模糊集合的 嫡就是一种模糊集合的 模糊性即模糊程度的度量。 一般说 来， 对于 离散论域 尤= 丸 ， 甸 ， ， 殊 上的 模糊集合的 模糊信息 消是一个 映射，即: h: f(x)*r 十 ， 其中 尸 (x) 是 x 上所 有 模 糊集的 集合。 在下面的讨论中， 我们设论域 x= 丸 ， 勿 ， 一， 纵 ，1 脚， 内， ， 人 为模糊集 合a 的隶属度函数。 19 68 年 ， z ad eh咚 6 最 先 提出 了 度 量 模 糊 不 确 定 性 的 设 想， 这 种 方 法 与 概 率 论紧 密 联系 在一 起， 是一 个与 模糊集 a 和概率尸 有 关的 测度。 设 为 “=1 ， 2 ， ， 司发生的概率 是叭，则 hz以 a ， 尸 ) = 一 e卿 1 09从 ， 对 任 何 ao f ( x ) 福 =1 可以 看出它是对概率嫡作了加权处理，而权值为隶属度。 自 z ade h 提出这个模糊嫡度量后， 人们开始试图 对它作进一步的探讨。 第一个没 有参 照概 率条 件 下的 模 糊性的 度量是由 意 大 利学 者 d el uc a 和飞 、 切 对 苗 给出 来的， 他们 利用s h a lmo n 函数的形式定义了模糊嫡，即 双 叮 召 ( 通 ) =一 兀e( 片 109片+ ( 1 一 价 ) 109( 1 一 产 ) ) 其中k为归一化因子。之后，学者们在各个领域定义了多种嫡，促进了模糊信息嫡在模 式识别、聚类分析和图像处理等领域的应用。 19 83 年， e b 越 永 日 el 讨 论了 模 糊 集 合的 信息 消必 须 满 足的5 个 性质: 锐 化 性、 最 大 嫡性 质、 确定 性、 对称性和可 计算性， 我们 可以 推出 月 刀 ， 武 a ) 满足这样的5 条 性质 此外，eba 川 油 还引 入了 广义可加性的概念， 但是应用范围较为狭窄。 模糊 集 合间的 距离 测 度是反映 两 个模 糊 集合间 的 差异的 度量. k a ul 加 a 仙 !10 首先 使 用 距离测 度 来 度 量模 糊 集 合 之间 的 差 异。 bg e r i31 和 k os kol 闺 也用距 离 测 度 来定 义 模 糊 消。 1 9 92 年， li u 夕 司给出 了 模 糊集 合 嫡 和 距 离 测 度的 公理 化定 义， 利 用 hg e r 的 结论给出了模糊集合嫡和距离测度之间的一些联系并得到了一些重要的结论。 硕士论文 模糊变童和模糊随机变量的 嫡度量的一般形式 上面的一些模糊嫡的定义都是从直观概念而不是从信息缺失角度来定义的， 并且当 隶属 度均为1 时嫡变为 002 0 02 年， l iu!1 5 引入了可信性理论， 可信性理论研 究的主要是模糊变量的公理化定义以及一些性质。可信性理论给出了一种模糊变量 的新定 义， 解决了 模糊集的 测度自 对偶问 题。同时， li 和 li u l 刁23 1 还给出了 基于 可信性空间的模糊变量的嫡，这个嫡的定义主要是从信息缺失角度来考虑，主要从 分辨模糊变量取值问题出发，与前面模糊集合的嫡的定义有一定区别.设( 为取值 于 众， 勿， ， ， ， ， 几 的 模糊变量， cr为 可信性 测度， li u 定义的 墒如 下: h ( ) =一 艺( c r 若 = x 、 logc r 心 = 二 + ( 1 一 cr ( = 二 ) 1 0 9 ( 1 一 c r 若 二 二 ) ) 此外， 瓦 u 还讨论了简单模糊变量的最大嫡原理问题。 虽然对于模糊嫡以及随机嫡的研究已经很多了，但是对于模糊嫡的 研究还不够成 熟， 而且对于同时含有两种不确定性的 变量如模糊随机变量的 嫡度量的 研究还很少。 2 本文的主要工作 以往的研究中出现的模糊墒形式大都是针对现实生活中出现的模糊现象提出来 。本文不同于以 往的研究方法而是从一般形式出发研究模糊变量的嫡度量，同时给 l的 出模糊随机变量的嫡度量的一般形式，也即本文的创新方向。 本文的研究主要是在前人研究的模糊嫡的基础上继续研究模糊变量和模糊随机变 盘的嫡度量，目的是定义模糊变量的 嫡度量的一种一般形式，并从此出发定义模糊随 机变量的 嫡的一般形式，研究的过 程是:首先定义模糊事件嫡度量的一般形式，然后 从此出 发讨论模糊变量嫡度量的一般结构并定义出模糊变量的 嫡的一般形式，最后对 模糊随机变量的嫡采用类似的方法给出 模糊随机嫡的一般形式。 论文的大体框架如下: 第2 章主要介绍模糊变量和模糊随 机变量的一些基本概念;第3 章定义模糊事件的 嫡的一般形式，随后给出模糊事件间的距离测度、相似测度的定义并讨论它们与 模糊 事件的嫡的关系从而提供了一种产生模糊事件的淌的方法:第4 章从模糊事件的嫡以 硕士论文模糊变量和模糊随机变量的嫡度量的一般形式 及模糊变量的摘的一般结构出发定义离散模糊变量，连续模糊变量的嫡的一般形式; 第5 章给出模糊随机事件的嫡的一般形式的定义，随后给出模糊随机事件间的距离测 度、相似测度的定义并讨论它们与模糊随机事件的 嫡的关系从而提供了一种产生模糊 随机事件的嫡的方法;第6 章定义离散模糊随机变量、连续模糊随机变量的嫡的一般形 式，然后对模糊随机环境下的嫡度量问题进行讨论。 硕士论文模糊变量和模糊随机变t的嫡度量的一般形式 第二章基本概念 这一章我们介绍模糊变量和模糊随机变量的定义及其性质方面的基本概念。首先 介绍可信性理论，然后将介绍模糊随机理论的相关内容。 2.1 可信性理论 可信性理论作为一门研究模糊现象的数学分支。1 9 65年，2 翻eh通过隶属度函数 首先提出模糊集的概念，并在1 9 7 8 年提出了可能性测度的概念。尽管可能性测度使用 的非常的广泛，但是其没有自 对偶性，然而一个自 对偶的测度无论在理论上还是实际 应用上 都是 绝对需要的. 为了 去 定 义一 个自 对偶性的 测度， li u 和li u l 司于 2 00 2 年 提 出了 可 信性 测度的 概念， li 和 li u 1 6 给出了 可信性理论的 公 理 化定义。 设e 为 非空 集 合， 双 e)为 e 的 幂集， 对于 双 e)中 的 一 个元素a 都有 一 个 数值 来表示 a 发 生的可 信性， 它必须满足下面四条公理: 公理ic r e =1 ; 公理2 . c r a 三c r b 当 acb ; 公理3 . c r 是自 对偶的， i e ， c r a +c r 矛 =1 对于 任何 a ， ( e ) ; 公理4c r u 人 =5 哈 c r 人 ， 若c r a 0 5 ， =1 ， 2 ， 定 义2. 1邝 葱 咖 l 她夕 ej)设 e 为 非空集合， 烈 e ) 为 e 的 幕集。 如果 c r 在 双 e)上满足上 面四条公理，则c r 称为可信性测度。 定 理2. 1(l 拓脚 幼设 e 为非 空 集合， 到 印为 e 的 幕 集， 且 cr为 可 信性 测 度. 则 对于 任 意 a任 以 e ) ， 有 0 三c r a 三1 .( 2 1 ) 定义2. 2邝 她脚 匆 夕 设 e 为非 空集合， 双 e)为 e 的 幕集， 且cr为可信性测度。则 三元 组( 0 ， ， ( 0 ) ， c r ) 称为 可信性空间。 硕士论文模糊变量和模糊随机变量的嫡度量的一般形式 定义2. 3任 她招 叨 若 石 为 一 从可 信性空间 (e， 烈 e)， c r)到实 数 集的 可测函 数， 则称 若 为 模糊变量。 注: 对a b c ， 若模糊变 量 石 满足 x 一a 2 ( 石 一a ) 劣 一c 2 ( b 一 c) 0 ， 若a 三二 三瓦 若b 三x 三c， 其他 了.1、.，扭. - 多 - 亡 cr 则 称 若 为 三角 模糊 变量， 记为 (a ， b ， c) 。 定义2. 4(l 她稗 幼模 糊 变 量 七 被 称为: (a) 非 负的 ， 若 c r 任 0 = 0 ; (b) 正的，若c r 长三0 =0 : (c) 连续的， 若 cr仗=好为 二 的 连续函 数; (a) 简单的 ， 若 存在 有限 序 列 xl ， 勿， ， 编 使 得 c r 心 务忿 ; ， 芍 尹二 2 ， ， 若 尹劣 二 =0 :( 2 . 2 ) (e) 离 散的， 若 存在 可 数序 列 勿 ， 二 : ， 使得 cr 若 尹二 1 ， 唁 尹二 : ， =0 0( 2 3 ) 2.2 模糊随机理论 模糊随机理论是研究模糊随机现象的数学分支。模糊随机变量是从概率空 间到一组模糊变量的可测函数， 即一个模糊随机变量是一个取模糊值的随机变 里。 k w a k e r n aa k 【 1 1111 刘第 一次 提出 模 糊随 机变量的 概 念， 然后这个概念随后 被许 多 学 者根 据不同 的 测 度要 求 而 扩 充，如p u ri a ndb 池 le se u !2 刀 ， k r use and m 即 e r l l 司 ， a n d li u 朋d l inll 田 . 这一 节， 我 们 将介绍 模糊随 机变量的 基本 概念， 给出 连续的、 简 单的 和 离散的模糊随机变量的定义。 硕士论文模糊变最和 模糊随机变量的 嫡度量的一般形式 定 义2. 5必 : 诩l 她夕 gj)我 们 称 ( 为 一 个 模 糊随 机 变 量， 若 心 为 从 概 率 空 间 ( 。 ， 滋 ， pr) 到 模 糊 变 量 集 合的 函 数， 且 对于 貌 的 b 口 二 澳b ， cr ( ( 。 ) b 是 二 的 可 测 函 数。 定 理2. 2(l 诩l 她 11 0j)设 若 是 一 个 模 糊随 机 变 量， 则 对 况 上 的 任 意 b 口 ， 集b ， c r 若 ( 。 ) 任 b 的 可信 性测 度是 一 个随 机 变 量。 定 理2. 3必 ; 咖众 。 11 0j)假设 若 是 一 个模糊随 机 变量， 如果 对 每一 个 。 期 望值 到 。 ) ! 都是 有限的， 则 侧 ， ) 是 一 个随 机 变 量。 模糊随 机变量是从 概率空间 旧， 涯 ， pr) 到定义在可能 性空间 (e， 州 e)， c r) 上的 模糊 变量集合的函 数， 对于 任意 。 和 口 ， 心 伽) ( 句 为一 个实数. 我 们 定义 长 b 为几x e 的 一 个子集 著 b = 抽， 夕 ) 几x g】 石 ( 、 ) ( 夕 ) b ， 我 们称 它为 模 糊随 机 事 件。 为了 能 够 度量它， l in2 例 给出 了 机 会 测 度( 函 数) 的 定 义。 定义2. 6邝她招 oj ， g a 雨l 她10j) 假设 石 是一个模糊随机变量， b 为任意b 口 ， 喋， 则模 糊 随 机 事件任 b 的 机会 测 度是 一个 从(0 ， 1 到 (0 ， 1 的函 数， 定 义如 下 刃句 俘(z. c h “ b (“ ) 一 p 提。 音戮 c ( ) “ ” 。 定义2. 7模糊随 机变量 芍 称为 (a) 非负的， 若c h “0 ( a ) =0 对每一个a ( 0 ， 1 ; ( (a) 简 单的， 若 存在 有限 序列 勺， xz， 一， 际 使 得 c h 长笋二 1 涛笋 二 : ， ， ， ， 心 尹阮 ( a ) 二0 ， 对 任 意 a ( 0 ， 1 ; 闲 离 散的， 若存 在 可 数 序列 几， 勿， 使 得 c h 伏尹 二 : ， 心 务x z ， ( a ) =0 ， 对 任 意 a 任 ( 0 ， 1 1 。( 2 . 句 硕士论文模糊变盆和模糊随机变量的嫡度量的一般形式 第三章度量模糊事件的摘 本章，我们将给出 模糊事件嫡度量的一般形式的定义。同时，为了提供一种产生 模糊事件的 摘的方法，我们将继续给出 模糊事件间的距离测度与相似测度的定义，并 讨论模糊事件的嫡与距离测度、相似测度的关系，从而给出产生模糊事件的嫡的方 下 面的 讨 论中 ， 我 们 分 别 用 马。 、 d 介 、 s，e来 表 示 模 糊事件的 摘、 距 离测 度及 相 似 3 . 1 模糊事件的摘的一般形式 对于 模糊集合，自 z ade h 网 提出 这个概念以 来，人们就对它进行了 深入的 研究. 模糊集合的嫡度量也是国内 外学者研究的一个重点，许多学者给出了 模糊集合的嫡的 定 义 为了 更 好的 研究 模糊 集 合的 嫡， aeba ll 肠10 在1 9 83年给出了 模糊 集合的 嫡 度量 必须满足的5 条性质 ( 锐化性、最大嫡性质、确定性、对称性和可计算性)。由于模糊 集合上定义的可能性测度缺乏对偶性，所以就在很大程度上限制了 模糊集合的墒的发 展。 为了 更好 地 研究 模糊环魔， l i u l21 1 建立了 可 信性理论. 下面的 讨论 就是 基于可 信 性理论的研究， 我们将从a.ebank s 给出的几条性质出发来对模糊事件定义摘度量，我 们可以 发现对可信性空间 上的一个模糊事件定义一个摘度量将很有利于对模糊变量的 嫡形式作更深入的研究. 设 ( e ， 双 e ) ， c r) 为 可信 性空间， 模 糊事件就是 可信性空间 上的 一 个集合元 素 a ， 其 中 a 烈 e ) . 下 面 我们 就 来讨 论模 糊事 件 a 的 嫡 均已 ( a)。 为了 度量 模糊事 件的 嫡， 我们 可以 使 用模糊 事 件 a 的 可 信 性测度 c r a ，即 模糊 事 件的 墒是 模糊事 件可信 性 测度的 函 数，记为: 场亡 ( a ) 二月 乞 r ( c r a ) ， 其中 月 乞 护 为 一 个 从0 ， 1 到 0 ， + 00) 的 函 数。 下面 给出 模 糊事 件的 嫡的 详 细 定义。 定义3. 1灌糊事 件的 摘 夕 设 a 为 可 信性空 间( e ， 烈 e)， cr) 上的 模糊事 件。 则 马已 ( a ) =万 访 ( c r a ) 9 硕士论文模糊变量和模糊随机变量的 摘度量的一般形式 称为 模 糊事 件 a 的 嫡， 若 连续函 数 月 七 r : 10 ， 11 *10 ， + 00) 满 足 下 面的四 条 性 质: (1 ) 月 七 r ( a ) 七。 ， 且hcf ( a ) =0 劳a =0 或1 ; (e) a 勺摺 邵月 乞 俨 ( a ) =0 5 : (s) a 三b 三0 .5 或 a 全b 之0 . 5 睁月 b( a ) 三万 济( b ) ; (4) 月 乞 r ( a)=万 。( 1 一a)。 从上面的 定 义， 我 们可以 立即 得到 0 三万 汾 已 ( 习三hc， (0.5 ) 。 下 面即 模糊事件的 最 大嫡理论: 定理3. 1灌糊事 件的 最大 嫡理论夕 设 a 为 一个模糊事 件， 则 有 万 介 ( a ) =月 乞 r ( cr a ) 5h 6( 0 5 ) 。 即模糊事件的可信度为0. 5 时模糊事件的嫡达到最大值。 由 上 面的 定 义 可以 看出 ， 函 数月 卜: 10 ， 1 一10 ， 十 co) 是 0 ， 0 .sj 上 递 增、 10 .5 ， 1 上 递 减 的连续函数。 下面我们将给出 一些模糊事件的嫡函数月 乞 r 的 例子，这些形式是从模糊集合的 墒的 形式转化而来. 例子中 所指的 模糊集合 b 如下: 设 论域为 二 : ， 甸， ， 闪， 趣， 产 好 为模糊集合b 的隶属度函数，b c 为模糊集合b 的z a d e 醉卜 集，b la.为距离模糊集合b 最 远的分明集，b 为距离模糊集合b 最近的分明集口 例3. 1(de 玩 c d 和几 二械的 嫡函 数形 式14j) d e 她 c 雨 几 州 . 云 ” 在1 夕 湘 年 给 模糊集 合b 定 义t 下 面的 烧: 万 脚召 ( a ) =一艺( 片1 09脚+( 1 一 阳 ) 1 09( 1 一 户 ) ) 。我们将他们定义的模 糊集合的嫡形式转化为模糊事件a 的嫡度量: 场。 ( a ) =月 乞 ， (cr a ) ， 其中 月 乞 r : !0 ， 1 1 、0 ， + co ) ，月 乞 甲 ( x ) =一 二 fo g 二 一 ( 1 一 二 ) l o g x o 我 们 知 道这 样的 函 数 场旧 ( a)=万 d r ( cr a ) 满 足 定 义度 1 的四 个条 件。 硕士论文模糊变量和模糊随机变量的嫡度量的一般形式 例3. 2(ko sko的 嫡函 数形 式j1 4j) koak 。 用模糊 集合 b 与 b 的 距离以 及 b 与 b 加的 距 离的比 例作为 模糊集合b 的 嫡: 月 沃 比 ( b ) = 件a 的嫡度量: d ( b ， b 月 侣 盯 。 我们将他定义的嫡转化为模糊事 场已 a =hc， ( c r a ) 其中 10 ， 1 1 *0 ， + co) ， 1一t ， 1一t t 若t 0. 5 若t 全0 5 。 hcr卜 hc. 这 样 h，e a =刀 。 ( c r a ) 也是 满足 定 义及 1 的 模糊 事 件 a 的 摘. 例 3 3 函数: (pa 琳尸 al 的 嫡形式招 oj) 尸 。 俐尸 川为模糊集合b 定义了 一个基于指数函 数的嫡 hppz (b ， 一 叠 恤 ， 卜 、 + “ 一 、 )产 ) 。 我 们 也 将 它 转 化 为 模 糊 事 件 a 的 嫡 形 式 : 马。 a =刀 七 r ( c r a ) 其中 月 舀: 10 ， 1 一10 ， + 00 ) ，月 乞 r (t)=tel一 亡 十( 1 一 约 八 场 a =hc， ( c r a ) 同 样是满 足定义， 1 的 模糊事件a 的 嫡。 3. 2 模糊事件的距离测度与相似测度 两个模 糊 集合间的 距离 测 度是 一 种反映 两 个模 糊集 合的 差 异的 度量。 k aun 刀 a n n 卜 01 首 先使 用距离 测 度 来度量 模 糊 集合 之间的 差异。 hg e r 31 和k o s k o 【1 习 也用距 离测 度来定 义模 糊集合的 嫡。 1 9 92 年， l in俘 司给出了 模 糊集 合的 嫡和 距离 测度的 公理 化定 义， 利 用hg e r 的结论给出了模糊集合墒和距离测度之间的一些联系并得到了一些重要的结 论。 下面我们将给出 模糊事件间距离测度和相似测度的定义。 设(e， 到 e)， cr) 为 可 信 性 空间 ， a 双 e)， b任 到 e)为模 糊事 件。 下面 我 们就 来讨 论 模 糊事 件 a 和 b 之间 的 距 离 测 度 马。 (a， b ) 。 为 了 度 量 模 糊事 件间 的 距 离 测 度， 我 们 可 1 1 硕士论文模糊变量和模糊随机变量的嫡度量的一般形式 以 使 用 模 糊事 件 a 和 b 的 可 信 性 测 度 cr a 和 cr b ， 即 两 个 模 糊 事 件间 的 距离 测 度 是 两个模糊事件的可信性测度的函数，记为: d，e ( a ， b ) =dc， ( c r a ， c r b ) 其中 刀 。 为 一 个从 【 0 ， llx io ， 1 到 10 ， + 00 ) 的 函 数。 下 面 给出 两 个 模 糊事 件间 的距 离 测 度 的详细定义。 定 义3. 2俩个 模 糊 事 件间 的 距 离 测 度 少 设 ( e ， 州 e)， cr) 为 可 信 性 空 间， a 任 州 e ) ， b 任 州 e ) 为 模 糊事 件。 则 d 介 ( a ， b ) = d 。 ( c r a ， cr b ) 称为 模 糊 事 件a 和 b 之间 的 距离 测 度， 若 连 续函 数d cr: 10 ， 11x io ， 1、10 ， + 00 ) 满 足下 面 四条性质: (1 ) d 。 恤 ， 1 一 a ) = 工 uax a ， !0 ， 1 1 d 。(a ， 句件a =0 或1 ; (s) d c 卜 ( a ， 石 ) =0 骨a =b ; (s) d 。(a， b)=刀 。( b ， a ) ; (4) 若a 三b 三c 或 a 之b 全c ， 则刀 。( a ， b ) 三d cf( a ， c ) 且 d 。 ( b ， 目三d 。 ( a ， c) . 同 样，为了 度量模糊事件间的相似测度，我们可以 使用模糊事件a 和b 的可信性测 度 c r a 和 c r b ， 即 两个 模糊 事 件间 的 相 似测 度也 是两 个 模 糊 事 件的 可信 性测 度的 函 数，记为: 5，。 ( a ， b ) =灸十 ( c r a ， c r b ) ， 其中 凡于 为 一 个从10 ， ll x 0 ， 1 到0 ， 十 00 ) 的 函 数。 下 面 给出 两 个 模糊 事件间 的 相 似测 度 的 详细定义。 定义3 .3俩个模 糊 事 件间的 相 似 测 度 夕 设( e ， 州 e)， cr) 为 可 信 性空间， a任 烈 e)， b任 州 e ) 为 模 糊 事 件。 则 sle( a ， b ) =凡r ( c r a ， c r i b ) 硕士论文 模糊变量和模糊随机变里的 摘度量的一般形式 称为 模 糊事 件 a 和 b 之间 的 相 似 测 度， 若连 续函 数命r : 10 ， 1、 10 ， 1 、10 ， + 00) 满足下面 四条性质: (1 ) 凡r ( a ， 1 一 a ) =0 劳a 二0 或 1 ; (e) scr ( a ， a ) 二 二 二1 l l ax 久 比10，1凡护 ( a ， 句 ， 对于 任何 a e lo ， 11 ; (s)若 。 三b s c 或 a 之 b 全 c ， 则 际(a ， b)zdc， (a ， c) 且 刀 。 ( b ， c)全 刀 。 ( a ， c) : (4) scr ( 。 ， b)=5 七 r ( b ， a ) 。 3 . 3 由距离测度、相似测度产生模糊事件的摘 本节我们将介绍模糊事件的嫡与距离测度、 相似测度的关系，从而我们就给出了 产生模糊事件的嫡的途径。 性质3. 1灌糊事 件间 距离 测 度与 相 似 测度的 关 系 夕 设 a 和 b 为 两 个模 糊事 件。 若 sje( a ， b ) =凡r ( c r a ， c r b ) 为模糊事件a 和b 间的相似测度，则 马。 ( a ， b ) =凡r ( 0 5 ， 0 . 5 ) 一召 云 r ( c r a ， c r b ) 为 模糊事 件 a 和 b 间 的 距 离 测 度。 我 们 称 模糊 事 件间 的 距离 侧 度d 了 。 (a， b ) 是由 相似 测 度 5， 。 ( a ， b ) 产生的 。 由于函数凡， 满足定义 沃 凡 ( a ， b): 0 ， 1 x0 ， 1 】 一10 ， + 。) 所以由定义中的四条性质我们不难证明函 =凡r ( 0. 5 ， 0. 6 ) 一凡f ( a ， b)满足定义 获 召 的四条性 性质3. 2灌糊事件的 嫡与 模糊事件间的 距离测度的 关系 少 设a 和b 为 两 个模糊 事件。 若 刀 介 ( a ， b ) =d 。 ( c r a ， cr b ) 硕士论文模糊变量和模糊随机变量的嫡度量的一般形式 为模糊事件a 和b间的距离测度，则 h，。 ( a ) =刀 。( 0 ， 1 ) 一 d cf( c r a ， 1 一 c r a ) 为 模 糊 事 件 a 的 嫡。 我 们 称 模 糊 事 件的 嫡 场。 ( 川是由 模 糊 事 件间 的 距 离 测 度 d j 。 ( a ， b ) 产 生的。 证明:由于函数d 。 满足定义 忍 ，所以由定义中的四条性质我们不难证明函 数 万 访 ( a ) : 10 ， 1 1 一沁 ， + co ) = d 。 ( 0 ， 1 ) 一 刀 c r ( a ， 1 一 a ) 满足 定 义亥 j 的四 条性 质。 上面的几个性质给我们提供了许多产生模糊事件的炯的方法，如由距离测度产生 嫡、由相似测度产生嫡等。接下来的两个例子向我们表达了由距离测度产生模糊事件 的嫡以及由相似测度产生距离测度的过程。 例3 .4两离测度产生模糊事 件的 消夕 设a 和b 为两个模糊事 件， 函 数 d ，e ( a ， b ) 二d 。( c r a ， cr b ) 为 模 糊事 件a 与b 间 的距离测 度， 其中 dc戒 a ， b)=la一 列 。由 性 质3 龙 ， 我 们设 月 访: 10 ， 1*10 ， + 00) ， 万 伪 (a) =刃 七 ， ( 0 ， 1)一d 。( a ， 1 一。 ) =1 一z a 一11 . h，。 a =月 乞 ， ( c r a ) 为模糊事件a 的嫡。 例3. 5湘似 测度 产生 距离 测 度 夕 设 a 和b 为 两 个 模糊 事 件， 函 数 sje 扭， b =凡护 ( cr a ， c r b ) 为 模 糊 事 件 a 与 b 间 的 相 似 测 度 ， 其 中 scr(a ， 句=习 袅 可 。 我 们 设 刀 c ， ( a ， b)=凡r ( 0 ， 5 ， 0 5 ) 一sc， ( a ， b)=1 一舀 福 不 硕士论文模糊变盆和模糊随机变量的嫡度量的一般形式 由性质 3. 1 ， d 介 ( a ， b ) =d c ( c r a ， cr b ) 为模糊事件a 和b 间的距离测度。 中， 问题 从上面的定义、性质和例子我们可以得出许多产生模糊事件的消的方法。本章 模糊事件的墒度量问 题已 经得到很好的讨论，下一章将讨论模糊变量的嫡磨量的 如何将模糊事件的嫡度量与模糊变量的嫡度量有机结合是下章研究的重点。 硕士论文模糊变皿和模糊随机变里的嫡度量的一般形式 第四章模糊变量的嫡度量 前一章中， 我们定义了模糊事件的嫡、距离测度、相似测度，如何从模糊事件的 嫡来定义模糊变量的 嫡是本章研究的重点。本章将从非统计意义角度讨论模糊变量的 嫡的一般结构以 及与 模糊事件的 嫡的关系。 模糊变量是从一个可信性空间到实数集的函数， 通过模糊事件的嫡度量来度量模 糊变量的 嫡是本节的重点。 模糊情形不同于随机情形，因 而度量模糊变量的嫡方法也 应有所不同。模糊的非统计意义是模糊度量的主要性质，从这点出发结合模糊事件的 嫡度量是研究模糊变量的嫡的一般定义形式的由来。首先我们将给出一种离散模糊变 量嫡度量的一般形式以及性质，然后将给出一种连续模糊变量嫡度量的一般形式及性 质。 下面的 讨 论中 ， 我 们 用马. ( 旬 来表示 模 糊 变 量 荟 的 墒。 对于 x 掀 我们有模糊事件仪二x( 即 钾任 e: 七 ( 6)=好) ，它的模糊事件嫡 为 场。 ( 亡 =好) 。 我 们 用 街。 ( 石 =的: 况 *阳 ， + co ) 表示函数 j(劝: 貌*0 ， + co) ，j( 习=均已 ( 心 =对) ， 容易 看出， 函 数 万 扮 ( ( = ) 为 定 义在 况 上的 非 负函 数。 我 们 希 望 模 糊 变 量 石 的 嫡 场。 ( 幻 为 非负 函 数 马。 心 =) 的 函 数， 记为 h，。 ( 心 ) =h，。( 场已 ( 七 “于 ) ) ， 其中 场。 为从 非 负函 数 到 扣 汁co) 的函 数。 下面 分别 讨论 离散 模 糊变量和连续 模糊 变 量的 摘度 量. 讨 论中 ， 我 们 分别 用 几和 从表 示 离散 和连 续 情 形 下的 场。 4 。 1 离散模糊变量的摘的一般形式 定 义4. 1漓散模糊变量的嫡 少 设 若 为取值于 x : ， xz ， 的离散模糊变量。则 若 的 摘 万 介 ( 日 定 义 为 万 加 ( 右 ) = 场( h，。 ( 石 = x i ) ， 场巴 ( ( =: 2 ) ， ) ， 1 6 硕士论文模糊变量和模糊随机变量的嫡度量的一般形式 其中 ， 连续函 数 几: 10 ， + co ) x io ， 十 co ) x 一 10 ， 十 co) 满 足: (l 夕 场(a ， ， 勿 ， 全。 ; (2) 固 定 al ， ， 内 一 1 ， 内 + ; ， ， 场(. ， 入 ， 4 二 ) 为 a 的 递 增 函 数， 二1 ， 2 ， 注4. 1 特别 地， 当 七 为取 值 于 二 ， ， 勿 ， ， 介 的 简 单 模 糊 变 量。 则 夸 的 嫡场. ( 幻 定 义为 场幻 ( 若 ) =hd( 场己 ( 七 =二 1 ) ， 均 ( 若 = 勿 ) ， ， 万 介 ( 心 = 二 。 ) ) ， 其中 ， 连续函 数 儿 : 0 ， + co ) x 父 10 ， 十 co ) *10 ， 十 co ) 满 足: (l) 凡(al， 勿 ， ， 人) 全 伍 (2) 固 定al ， ， 内 一 : ， 内 十 ， ， ， ， a : ， 凡( ， 人 ， ， 嘶) 为 山 的 递增函 数， 云 =1 ， 2 ， ， 、 简单模糊变量的最大嫡理论可以从定理 孚 . 1 以及上面的定义立刻得到: 注4. 1漪单 模 糊 变 量的 最 大 嫡理论 少 设 专 为 取值于 介， 勿， ， 几 的 简单 模 糊 变量， 则 0 三月 如( 若 ) 三几( 万 。( 0 5 ) ， 刀 6( 0 5 ) ， 周乞 护 ( 0 ， 5 ) ) 。 h，。 ( 心 ) =hd( 万 。( 0 ， 5 ) ， 万 6( 0 . 5 ) 声乞 护 ( 0 ， 5 ) ) 成立等价于 心 的 取 值为 二 1 的 可信 度均为 已 5 口 p 对 任何 =1 ， 2 ， 一， 。 有c r 化=升 二0. 习 . 下面，我们将讨论一些己 经存在的 模糊集合的 嫡形式。我们可以立刻将它们转化 为 我 们上面 定 义的 模糊变 量的 嫡的 一 般形式。 最 后两 个例子 ( 模糊变量的 加权 嫡、 多 项 式嫡 ) 是我们根 据定义的 模 糊 变量的 嫡的 一般形式引 入的 ( 例 子中， 我们 假设 石 为 取 值 于 二 ; ， 勺 ， 的 模 糊 变里， 凡， 脚， 为 相应 隶属 度 函 数， cr为 可信性 空间 上的 可 信 性测度) . 硕士论文模糊变童和模糊随机变里的摘度量的一般形式 例4. 1 (pa 邢p al 的 嫡 阳 ej)尸 “ 俐pal 为 模糊 变 量 著 定 义了 一 个 基 于指 数函 数的 嫡函 数: 肠召 (a ， 一